【高考状元】数学错题本：第10章《概率统计》易错题(Word版,含解析)

我的高考数学错题本
第10章 概率统计易错题
易错点1、重复计算或漏算导致错误
【例1】4名考生在三道选做题中任选一道进行做答、则这三道题都有人选做的概率为 ( )
A 、
4
9
B 、
8
27
C 、
29 D 、427
【错解】
【错因分析】 第一种做法在计算的过程漏掉了“先选的三个人也可以有两个人同时做同一个
题”这种情况；第二种做法在计算过程中出现了重复计算、
【正解】4个人做三道题目、每题至少一人、则必有一个题目有两个人做、因此要先将四个人
分成三组、然后再排列、方法数为23
4336C A =、所求概率为
364
819
=、选A 【巩固练习1】 从1,2,3、…、9这9个数中任取5个不同的数、则这5个数的中位数是5的概率等于 （ ）
A 、
57 B 、59 C 、27 D 、49
【答案】C
易错点2、超几何分布与二项分布混淆
【例2】为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况、将所得的数据整理后、画出了频率分布直方图如图所示、已知图中从左到右的前组的频率之比为1:2:3、 其中第组的频数为12、
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据、若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人、设X 表示体重超过60公斤的学生人
数、求X 的分布列和数学期望、 【错解展示】
【错因分析】（1）对随机变量的含义不清楚、不能区分超几何分布与二项分布；（2）对于何时可以样本的频率代替总体的概率不清楚； 【纠错提醒】（1）超几何分布的本质是“不放回抽样”、是一种古典概型、而二项分布的随机实验是“独立重复实验”、强调每次实验的结果发生的概率相同、可认为是“有放回抽样”、本题中、“若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人”、特别强调人数很多、意味着实验可以看做是“有放回抽样”、所以是一个二项分布；
（2）本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据”、其意思是：用频率来代替概率、即16个人中每个人的体重超过60公斤的概率是105
=168
、也是说、全省每个学生的体重超过60公斤的概率为
58
、 【正解】（1）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为321,,p p p 、则由条件可得：
2131
1
2323(0.0370.013)51
p p p p p p p =⎧⎪
=⎨⎪++++⨯=⎩、解得、1230.125,0.25,0.375.p p p === 又因为212
0.25p n
==
、故48=、 （2）由（1）可得、一个报考学生体重超过60公斤的概率为35(0.0370.013)58
p p =++⨯=
、故X 服从二项分布、()33
5388k k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
∴ 随机变量X 的分布列为：
则271352251251501235125125125128EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=、或515
388
EX np ==⨯=、
【巩固练习2】盒子里装有大小相同的个球、其中个号球、个号球、个号球、
（1）若第一次从盒中任取一个球、放回后第二次再任取一个球、求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；
（2）若从盒中一次取出个球、记取到球的号码和为随机变量X 、求X 的分布列及期望、 【答案】记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件A 、 则3223123()88886416
P A =
⨯+⨯== （Ⅱ）X 可能取的值是6,5,4,3,2 23283(2)28C P X C ===、11
332
89
(3)28C C P X C ===、112323289(4)28C C C P X C +===、11322863(5)2814C C P X C ====、 2
2281
(6)28
C P X C ===
∴X
234562828281428284EX ∴=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==、故所求的数学期望为154
、
易错点3、几何概型与古典概型混淆
【例3】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关、某数学兴趣小组为了验证这个结论、进行了测试、经过多次测试后、甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟、乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟、现甲、乙各解同一道几何题、求乙比甲先解答完的概率、 【错解】
【错因分析】误认为时间是离散度的、将其看成了一个古典概型
【纠错提醒】时间是一个连续性随机变量、在求解时应建立几何概率模型、
【例3】解析：（1）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟、则基本事件满足的区域为57
68
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩(如图所示) 、设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >、
∴ 由几何概型1
11
12()228P A ⨯⨯=
=⨯、即乙比甲先解答完的概率为18
、
【巩固练习3】已知函数()2
23f x x x =-++、若在区间[]4,4-上任取一个实数0x 、则使
()00f x ≥成立的概率为（ ）
A 、
425
B 、12
C 、23
D 、
【答案】B 、
易错点4、忘记回归直线过样本中心致错
【例4】某单位为了了解用电量（度）与当天平均气温（°C ）之间的关系、随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如右表）、由数据运用最小二乘法得线性回归方程2y x a =-+、则a =___、 【错解】
【错因分析】不理解回归直线过样本中心点(,)x y 、随便带入数据导致结果错误、 【纠错提醒】求出样本的中心点(,)x y 、代入回归方程、即可求得、
【正解】解析：1813101104x ++-=
=、25353763
404
y +++==、样本中心为(10,40)、
回归直线经过样本中心、所以4021060a a =-⨯+⇒=、
【巩固练习4】已知变量与y 正相关、且由观测数据算得样本平均数3x =、 3.5y =、则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A 、ˆ0.4 2.3y x =+
B 、ˆ2 2.4y x =-
C 、ˆ29.5y x =-+
D 、ˆ0.3 4.4y
x =-+ 【答案】A 、
易错点5、对正态分布的性质及意义不熟悉致错
【例5】设随机变量X 服从正态分布()1,4N 、若()()125a a P X >+=P X <-、则
a = 、
【错解展示】
【错因分析】（1）对正态分布2(,)N μσ中的2,μσ的意义不清；（2）对正态分布的性质及意义不熟悉、
【纠错提醒】由题意1x a =+与25x a =-关于1x =对称、1252a a ++-=、解得2a =、 【正解】 解析：由()()125a a P X >+=P X <-、由正态分布的性质知、1x a =+与
25x a =-关于1x =对称、1251a a ++-=、解得2a =
【巩固练习5】设随机变量()2~,N ξμσ
、且()()1=2=0.3P P ξξ<->、则
()20=P ξ-<<______、
【巩固练习5】0.2、。