3.3电子在库仑场中的运动
量子力学复习题
3.6 算符与力学量的关系（续５）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
F Cn n C d
2 2 n
EX１ 求在能量本征态 n ( x) 量和动能的平均值 Solve
L * n
2 n x sin( ) 下，动 L L
ˆx, p ˆy, p ˆ z 彼此对易，它们有共同的 Ex.1 动量算符 p
本征函数完备系 i pr 3 2 (r ) (2) p e ( r ) 描述的状态中， px , p y , pz 同时有确定值。 在 p
ˆ ,L ˆ2 ] 0 ˆ2 和 L ˆ 对易，即 [ L Ex.2 角动量算符 L z z
( 2a 0 )
2
e
e
i pr cos
r 2 sin drdd
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
r a0
e
i pr cos
r drd cos
2 i pr
p (2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
思考题 （1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼 此对易。 （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同 本征态。 （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都 同时具有确定值。 ˆ, B ˆ ] =常数，A ˆ 能否有共同本征态。 ˆ 和B （4）若 [ A ˆ 和L ˆ （5）角动量分量 L 能否有共同本征态。 x y
电子在库伦场中的运动
, r a
U
(r)
0,
ra
求粒子的基态能级和波函数
解： 因为势能是球对称性的，因而波函数为
nlm RnlYlm ( , )
2 d 2R 2 dR l(l 1)
2m [ dr2
r
dr
r2
R] U (r)R ER
令 R(r) (r) / r
（1）阱内
'
'[
2
2
E
l
(l r2
1)
]
0
对于基态，l=0，并令
8 E
( 2
)1/ 2 ,
2Zes 2
Ze2s
( )1/ 2
2E
能量本征值：
En
Z 2es4
2 2 n 2
,
n 1, 2, 3, ...
束缚态的波函数 nlm Rnl (r)Ylm ( , )
nlm与三个量子数都有关，而能量只与量子数n有关，
所以能级En是简并的
对应一个n， l ＝0, 1, 2, …, n-1， 共n个值， 对应一个l， m可以取2l+1个值。
A
30 a5
(x)
30 a5
x(
a
x)
一维无限深势阱中的能量的本征值及本征函数为
En
22n2
2ma 2
,
n
2 sin n x
aa
因为任一个波函数都可由一维无限深势阱中的定态波函数 展开
(x) cn n
n
cn
a 0
n*
(
x)
(
x)dx
a 0
2 sin n x Ax(a x)dx
例题 1 在一个无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a， 如果粒子的状态由波函数：
量子力学教程Ch32
经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角 动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论 的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入
了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地
描述了微观粒子的运动状态。但 并不能作为量子力
学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概 念——算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与 波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。
若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 (r,t) ，
按子照坐波标函(x统, y计, z)解或释rr，的利平用均统值计平均方法，可求得粒
若知道粒子在动量表象中的波函数 C( p,t) ，同理
可求出粒子动量
(Px , Py , Pz )或
P
的平均值。
6
3.1 表示力学量的算符（续1）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
r
C
*
(
P,
t
)rˆC
(
P, t
)d
3
P
rvˆ
ihP
r ih i
Px
r j
Py
v k
Pz
称为坐标算符
Prove： r *(r,t)r (r,t)d3r
1
*(rv,t)rv[
C
(
v P,
t
)e
i h
Pvrv
d
3
v P]d
3rv
(2 h)3/2
1 *(rv,t)[
(2 h)3/2
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
第三章 量子力学中的力学量
电子在库仑场中的运动
)
1 sin
(sin
)
1 sin2
2
2
Ze2 r
E
2
2r 2
r
(r 2
) r
Lˆ2
2r 2
Ze r
2
E
此式使用了角动量平方算符 L2 的表达式：
Lˆ2
2
1
sin
(sin
0
nl 1
b0 l 1
0
b
b0
利用递推公式可把 b1, b2, ..., bn--1 用b0 表示 出来。将这些系数代入 f ( )表达式得：
f
(
)
b0
l 1
1
nl 1!(2l
1 2)
(n l 1)(n 2!(2l 2)(2l
Hˆ (r1 , r2 ) E (r1 , r2 )
其中
2
2
Hˆ 2 1 12 2 2 2 2 V (r1 r2 )
将二体问题化为一体问题
令
R r
1r1 1 r1 r2
2 r2
2
质心坐标 相对坐标
1
) sin 2
2
2
（二）求解 Schrodinger 方程
（1）分离变量化简方程
2
2r2
r
(r 2
量子力学复习题
Ex.1 已知一维粒子状态波函数为
(ra2x2
i 2
t
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出
现的几率最大。
Solve:
(1).求归一化的波函数
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
归一化常数
1/ 2
A a/
1
a2
归一化的波函数
1/ 2 1a2x2 i t
l0
个波函数，即 En的简并度为n2
Ex. n = 2 时，E2 是4度简并的，对应的波函数有
200 , 211 , 210 , 211
对库仑简场l、并中m ，电这子是的库能仑级场E所n只特与有的n有。关，与 (l, m无) 关，
3.6 算符与力学量的关系（续５）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
（1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼此 对易。 （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同本 征态。 （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同 时具有确定值。
（4）若 [ Aˆ, Bˆ ]=常数， Aˆ 和 Bˆ能否有共同本征态。 （5）角动量分量 Lˆx和 Lˆ能y 否有共同本征态。
§4.1 态的表象（续２）
Chap.4 The representation for the states and dynamical variable
命题 若 (r,t)是归一化波函数，则 C(P,t也) 归一。
证 1 *(x,t) (x,t)dx
[ C(p,t) p(x)dp] * [ C(p,t) p(x)dp]dx
Solve 选择动量表象:
量子力学 第三章3.3电子在库仑场中的运动
<4> 能级：
由于 2Zes Zes ( )1 / 2 、 n n r 1 ，考虑 2
2 2
2E
到 E 0 ，则有：
Z e s En 2n 2 2
2
4
， n 1,2,3,
(21)
即束缚态的能量是量子化的，它来源于粒子的波 动性及波函数的有限性。
ˆ 而角向方程 L2 Y L2 Y 的解与辏力场的具体形式无关，即：
L2 ( 1) 2 ，Y Ym (, )
o 所以径向 Schrdinger 方程可以表述为：
1 2 2 ˆ Tr [ 2 (r )] 2 r r r
( 1) 2 ˆ [Tr U(r) E]R 0 2 2r 2 2 ( 1) 2 (r ) U(r ) ]R (r ) ER (r ) 即：[ 2 2 r 2r r 2r
ˆ ˆ 即：[Tr T U(r )] E
球坐标系下的拉 普拉斯算符形式
ˆ 2 pr 1 ˆ T 其中： r [ 2 (r 2 )] 2 r r r 2 ˆ ˆ 1 r r ˆ ˆ ˆ pr ( p p ) 2 r r
2
为径向动能算符
有限性相矛盾，应否定它（不能是无穷级数）。
b.若 f () 级数是有限项，即 f () b s 为多项式，
nr
其最高次幂项为
bnr ，
n r s
0
nr 2 s 1 0。 于是 R e f () e 2 b 0 s b 由 b 1 (s )(s 1) ( 1)
电子的行为电子在电场中的运动规律
电子的行为电子在电场中的运动规律电子的行为：电子在电场中的运动规律电子作为带有负电荷的基本粒子，其在电场中的行为具有一定的规律性。
本文将重点探讨电子在电场中的运动规律，并阐述相关的物理原理。
一、电场的基本概念在研究电子在电场中的运动规律之前，首先需要了解电场的基本概念。
电场是指周围存在电荷的空间中，由电荷所产生的物理量。
电场可以分为静电场和动态电场，其中静电场是指电荷在静止状态下产生的电场，而动态电场是指电荷在运动状态下产生的电场。
电场具有方向性，通过电场线可以描述电场的方向和强度。
电场线由正电荷指向负电荷，其密度表示电场的强弱。
二、电子在电场中的运动规律1. 电子在匀强电场中的运动如果在一定的空间内存在匀强电场，即电场的强度在空间各点相等且方向相同，那么电子在该电场中的运动规律可以简洁地描述为直线运动。
电子在匀强电场中的运动可以根据其初始条件和电场的性质来决定。
当电子的初速度与电场的方向相同或相反时，电子将在电场中做匀速直线运动；当电子的初速度与电场的方向垂直时，电子将在电场中做匀速直线运动，并呈现经典物理学中的抛物线轨迹。
2. 电子在非匀强电场中的运动非匀强电场指的是电场的强度在空间各点不相等或方向不一致的情况。
在非匀强电场中，电子的运动轨迹会受到电场的非均匀性的影响。
根据电子的带电性质和电场的性质，电子在非匀强电场中的运动轨迹可以是弯曲的、扭曲的，甚至是闭合的。
这些运动的特点取决于电场的形状、电子的初速度以及电子和电场之间的相互作用等因素。
3. 电子受力和加速度的关系电子在电场中的运动是被电场力所驱动的。
根据库仑定律，两个电荷之间的相互作用力与它们的电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
所以电子受到的电场力与电荷量和电场强度的乘积成正比。
根据牛顿第二定律，电子的加速度也与电场强度成正比。
这意味着，电子在电场中的加速度与电子的质量无关。
三、电子在电场中的应用电子在电场中的运动规律对于现代电子学和通讯技术的发展具有重要的意义。
氢原子能级的精细结构超精细结构-USTC
Fz = mF
F是总角动量量子数， F = (I + J ),(I + J −1), I − J M F =−F, −F +1,, F −1, F
§3.3 氢原子能级的精细结构—超精细结构
F= I + J
F=2 ( I + J )2
I ⋅=J
1 [F 2 − J 2 − I=2 ]
(狄拉克方程在非相对论下的近似)
电子在原子核库仑场中的轨道运动 +电子的自旋运动 +考虑电子与真空虚粒子的作用
将原子核看作是一个带+Ze电荷、质量为M的质点。
§3.3 氢原子能级的精细结构—超精细结构
原子核并不是一个质点，是由核子(质子和中子)组成的。
(1) 原子核具有自旋角动量和相应的自旋磁矩 每个核子与电子一样也具有内禀的角动量，即自旋， 质子与中子的自旋均为1/2。 核子在原子核内运动也有相应的轨道角动量。
a
=
gI
me Mp
mec2α
4
1
Z3
j( j +1)(2l +1) n3
=
−2gI
me Mp
α 2Z n
En
1 j( j +1)(2l +1)
精细结构相互作用能
∝ α2En
超精细结构相互作用能
∝ (me/Mp)α2En
§3.3 氢原子能级的精细结构—超精细结构
对于氢原子的基态 12 S1/ 2
电子总角动量J = 0 和 1/2的原子，其核外电子在原子核处产 生的电场梯度为零。
碱金属原子铯(133Cs)的核自旋为7/2，而铯原 子的基态是2S1/2态，电子总角动量J = 1/2
电子的基本性质与电子运动
电子的基本性质与电子运动电子是构成原子的基本粒子之一，具有负电荷的特性。
在物理学和电子学领域中，对于电子的基本性质和电子运动的研究具有重要意义。
本文将针对电子的基本性质以及电子在不同情境下的运动进行探讨。
1. 电子的基本性质电子是一种带电粒子，其负电荷使其具有特定的行为和性质。
以下是电子的基本性质：1.1 质量和电荷电子的质量非常轻，约为质子质量的1/1836。
它被赋予了一个基本的负电荷，其大小等于电子电荷e = 1.6×10^-19 库仑。
1.2 自旋电子具有自旋，这是一个描述电子的内在角动量的属性。
电子自旋可为正或为负，分别表示为1/2和-1/2。
1.3 波粒二象性与其他微观粒子一样，电子也表现出波粒二象性。
在某些情况下它表现得像一个粒子，而在其他情况下表现得像一个波动。
2. 电子的运动电子运动的方式和行为可以通过考虑其在不同场景下的行为来理解。
2.1 原子内部的电子运动在原子内部，电子绕着原子核作圆周运动。
为了描述电子在原子内部的运动，量子力学提供了一套数学模型，如波函数和薛定谔方程。
根据此模型，电子的位置和动量不能同时被准确测量，而是存在一定程度的不确定性。
2.2 电子在导体中的运动当电子处于导体中时，它们可以在晶体中自由移动，因此导体具有良好的电导性。
电子通过原子之间的晶格离子传递，形成电流。
2.3 电子在真空中的运动当电子处于真空中时，它们可以在没有周围物质的情况下运动。
在真空中的电子运动称为电子束，例如在电子显微镜中使用的电子束可以产生高分辨率的图像。
3. 电子的应用电子的基本性质和运动对现代科学技术有着广泛的应用。
3.1 电子器件电子器件如电子管、晶体管和集成电路等是现代电子设备的核心组成部分。
通过控制和利用电子的运动，这些器件可以实现信号放大、开关、存储和计算等功能。
3.2 电子显微镜电子显微镜利用电子束的波动性和较短的波长，可以获得比光显微镜更高的分辨率。
这种设备在材料科学、生物医学等领域发挥着重要作用。
3.3电子在库仑场中的运动
∞
高阶项系数
(ν + s +1)(ν + s) −l(l +1)]bν +1 + (β −ν − s)bν = 0
得系数bν的递推关系 注意到 s = l+1
− (β −ν − s) s) b +1 = b ν ν (ν + s +1)(ν + s) − l(l +1) ν + l +1− β = bν (ν + l + 2 )(ν + l + 1) − l (l + 1) ν + l +1− β = bν (ν + 1)(ν + 2l + 2 )
r r
2 h2 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 Zes − (r )+ (sinθ ) + 2 ψ− ψ = Eψ 2 2 2µr ∂r ∂r sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ r
2.求解 2.求解 Schrodinger 方程
2 2 ∂ 2 ∂ Zes h 1 ∂ 1 ∂ ∂ − (r )+ (sinθ ) + 2 ψ− ψ = Eψ 2 2 2µr ∂r ∂r sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ r 2
ν =1
∞
+ ∑[β − (ν + s)]b ρν +s−1 = 0 ν
ν =0
∞
[s(s −1 − l(l +1)]b0ρ )
s−2
+ ∑[( + s)( + s −1) − l(l +1)]b ρν +s−2 ν ν ν
ν =1
考研量子力学量子力学大纲
《量子力学》课程教学大纲课程英文名称：Quantum Mechanics课程简介：本课程为专业基础课。
通过该课程的学习，学生可以掌握量子力学的基本理论与基本方法，能提高本科生分析和解决实际物理问题的能力，为本科生后续的专业课程学习和今后的实际工作奠定一定的理论基础，并掌握初步的解决问题方法。
让学生掌握描述量子力学的一些基本量子思想和量子理论方法。
这些内容将为今后本科生在固体物理学、磁性物理学、凝聚态物理等理论方面的进一步学习奠定一定的理论基础，并可以使本科生初步掌握分析问题和解决问题的方法。
一、课程教学内容及教学基本要求第一章绪论本章重点：1)介绍量子力学的产生背景时要说明提出问题和解决问题的条件：社会的需求、科学技术的水平、人们的前期努力和成就等等，用历史唯物主义的观点看待问题。
介绍杰出的人物的工作和贡献时同样应注意突出重点，兼顾全面的原则，从科学史的角度考察，借以获得更多的教益。
2)要着重注意介绍德布罗意假设、波粒二象性的概念，借以初步认识微观客体运动的特殊性和唯物主义思想的指导作用；介绍相应的实验验证和实践应用，认识理论和实践的关系。
3)使学员能从较宽广的角度认识量子力学的地位和作用，增强学习自觉性。
同时初步了解学科的特点，对下一步的学习有相应的准备。
难点：康普顿散射的推导及理解，微观粒子的波粒二象性。
第一节经典物理学的困难（之一：黑体辐射问题和Plank量子论）本节要求：理解：黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难和Plank量子论。
掌握：Plank 量子论（重点：考核概率50%）。
1 黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难（维恩公式、瑞利-金斯公式）。
2 Plank的电磁辐射能量量子化的思想，并推导Plank的黑体辐射公式，理解并掌握Plank 的能量量子化的假设。
第二节经典物理学的困难（之二：光电效应与爱因斯坦的光量子论；之三：A.Einstein光量子论在Compton效应的解释）本节要求：掌握：光电效应概念（脱出功A的概念、光电流等）；爱因斯坦的光量子论解释光电效应；Compton效应概念；A.Einstein光量子论在Compton效应的解释（重点：考核概率100%）；理解：在微观单个碰撞事件中能量动量守恒定律仍然成立）。
电子在电场中的运动轨迹
电子在电场中的运动轨迹电子是带有负电荷的基本粒子，它在电场中受到电力的作用而产生运动。
本文将探讨电子在电场中的运动轨迹及相关的物理原理。
一、电场的概念要了解电子在电场中的运动轨迹，首先需要了解电场的概念。
电场是由带电粒子产生的力场，它是描述电荷间相互作用的物理量。
一个电场中，带电粒子会受到电力的作用，从而产生运动。
二、电子在均匀电场中的运动轨迹在均匀电场中，电子的运动轨迹是直线。
均匀电场是指在空间中具有相同强度和方向的电场。
当电子进入均匀电场后，受到的电力会使其沿电场方向加速运动。
根据电力的定义，电子在均匀电场中受到的电力与其所处位置无关，而只与电场强度和电子所带电荷量有关。
因此，电子在均匀电场中的运动轨迹是直线。
三、电子在非均匀电场中的运动轨迹在非均匀电场中，电子的运动轨迹并不是直线，而是弯曲的。
非均匀电场是指在空间中电场强度和方向不均匀的情况。
当电子进入非均匀电场后，它会受到不同位置处的电力的作用，导致电子的运动方向改变。
根据库仑定律，电力与电子与电场间的距离成反比，因此电子在非均匀电场中的运动轨迹会弯曲。
四、电子在两个带电平行板之间的运动轨迹一个简单而重要的电场例子是位于平行的两个带电平板之间的电场。
在这种情况下，平行板之间的电场是均匀的。
当电子从一个平板进入另一个平板时，它会受到均匀电场的作用，从而沿直线运动。
然而，当电子与平板接触时，它会受到电荷的影响，从而发生偏转。
这种偏转导致电子在垂直于两个平板的方向上运动，并最终形成一条弯曲的轨迹。
五、电子在电场中的加速在电场中，电子不仅会受到电力的作用，还会受到电场的加速作用。
根据牛顿第二定律，电子的加速度与电力和电子的质量成正比。
因此，电子在电场中会加速运动。
六、总结电子在电场中的运动轨迹受到电场的强度、方向以及电子所带电荷量的影响。
在均匀电场中，电子的轨迹是直线；而在非均匀电场中，电子的轨迹会弯曲。
此外，电子在两个带电平板之间的运动轨迹也会产生偏转。
T(五章4讲)库仑场
(1)
5. 解径向薛定谔方程
u (r ) 1)我们先简化它，令 R ( r ) ，代入 r
Zes 2 l (l 1) 1 d 2 d 2 (r R(r )) [ 2 ( E ) ]R ( r ) 0 2 2 r dr dr r r
得：
Zes 2 d 2u ( r ) 2 l (l 1) [ 2 (E ) ]u (r ) 0 2 2 dr r r (2)
例 . 一质量为μ的粒子处于中心势场中，若t=0时 其状态波函数为：
(r , , , t0 ) R( r )( ) cos 2
求t时刻的Ｌz测量值的可能值、概率及平均值 解： ( r , , ) Rnl ( r )lm ( ) m ( )
1 eim 2 1 2 ( ) cos (1 cos 2 ) 2 1 1 2i (e e 2i ) 2 4 m ( )
2
s 0,1/ 2,1,3 / 2,...
s sz s
2
1 Sz 2
能量本征值： E
2本征值： ˆ L
n
Z es
2
4
确定能量的大小
2
2 n
2
2
2(2 1) 6
Z
(l 2)
l (l 1) , l 1,2,...
确定了角动量的大小
m=+2
+1
0 -1 -2 角动量大小量子化 角动量空间取向量子化
Rnlm
L2 l (l 1)
2
Enlm Rnlm
得：径向薛定谔方程
1 2 pr 2 2 r 2
Rnlm
Enlm Rnlm
电子的运动揭秘电子在电场中的受力与加速度变化
电子的运动揭秘电子在电场中的受力与加速度变化电子的运动揭秘：电子在电场中的受力与加速度变化电子在电场中的运动是一个常见而重要的物理现象。
了解电子在电场中的受力与加速度变化对于理解电路中的电流流动以及电子设备的工作原理具有重要意义。
本文将深入探讨电子在电场中的受力与加速度变化的原理和规律。
1. 电子在电场中的受力在电场中，电子会受到电场力的作用。
电场力的方向由电场的方向决定，电场力的大小由电子的电荷量和电场强度共同决定。
根据库仑定律，电子在电场中所受电场力的大小可以表示为：F = qE其中，F代表电场力的大小，q代表电子的电荷量，E代表电场的强度。
从上式可以看出，电场力与电子的电荷量成正比，与电场强度成正比。
2. 电子在电场中的加速度变化电子在电场中受到电场力的作用会产生加速度变化。
根据牛顿第二定律，电子在电场中的加速度可以表示为：a = F/m其中，a代表电子的加速度，F代表电子所受的电场力，m代表电子的质量。
从上式可以看出，电子在电场中的加速度与电场力成正比，与电子的质量成反比。
3. 电子在不同电场中的受力与加速度变化在不同电场强度下，电子所受的电场力和加速度也会发生变化。
当电场强度增加时，电子所受的电场力和加速度也会增加；当电场强度减小或为零时，电子所受的电场力和加速度也会减小或为零。
另外，在相同电场强度下，具有不同电荷量的电子所受的电场力和加速度也会不同。
电子的电荷量越大，所受的电场力和加速度也越大。
4. 电子在电场中的运动轨迹电子在电场中的运动轨迹与受力与加速度变化密切相关。
根据牛顿第二定律，电子在电场中的运动可以描述为匀加速直线运动，其加速度大小与电场强度、电子电荷量和电子质量有关。
根据运动学公式，电子在电场中的位移、速度和时间之间存在如下关系：s = ut + (1/2)at^2v = u + at其中，s代表电子的位移，u代表电子的初速度，t代表经过的时间。
5. 应用举例：电子束电子束是指由大量高速运动的电子组成的束流。
物理学中的电子运动轨迹
物理学中的电子运动轨迹电子是物质微粒中最小的单位之一，它在物理学中具有重要的地位。
电子的运动轨迹是研究电子行为和性质的关键因素之一。
本文将探讨物理学中电子的运动轨迹，从经典力学到量子力学的演变，带您领略电子在不同物理模型下的轨迹特征。
1. 经典力学下电子的轨迹在经典力学中，电子的运动轨迹可以通过经典力学的牛顿定律来描述。
根据库仑定律，电子受到电场力的作用。
当电子在恒定电场中运动时，其受力与其位置成正比，即F = qE，其中F为电子所受力，q为电子的电荷量，E为电场强度。
若电子的初始速度与电场方向相同，则电子将沿直线加速运动，速度逐渐增大。
若电子的初始速度为零，则电子将沿电场方向受力加速运动，直到其速度达到一定值时保持匀速运动。
电子在恒定电场中的轨迹可以看作是一条直线或抛物线，其具体形状取决于电场的方向和强度。
除了电场力外，电子在磁场中也受到洛伦兹力的作用。
当电子在匀强磁场中运动时，其受力与其速度、磁场强度和电子电荷的乘积成正比，即F = qvB，其中F为电子所受力，v为电子的速度，B为磁场强度。
在此情况下，电子的轨迹为螺旋线形状，称为洛伦兹轨道。
该轨道在垂直于磁场方向的平面上旋转，并向磁场方向进行偏移。
这种轨迹特征在电子在磁场中运动的实验中得到了验证。
2. 量子力学中电子的轨迹随着量子力学的发展，人们逐渐认识到电子运动并不遵循经典力学中的轨迹概念。
根据波粒二象性理论，电子既可以表现为粒子，也可以表现为波动。
根据德布罗意假设，电子具有波动性质，其波长与动量呈反比关系。
由此可得，电子在空间中的位置无法精确确定，而是存在模糊区域，称为波函数。
波函数可以用于描述电子的概率密度分布，即电子存在的可能性。
因此，在量子力学中，我们无法准确描述电子的轨迹，而只能通过波函数来描绘电子在不同位置的概率分布。
电子的运动变得更加随机和不确定，无法用经典力学中的轨迹概念来描述。
3. 电子云模型为了更好地理解电子在原子及分子中的行为，科学家们提出了电子云模型。
场强定义式和库仑定律
场强定义式和库仑定律甲方（一方）： ____________________________（以下简称甲方）乙方（另一方）： ____________________________（以下简称乙方）一、协议目的1.1 双方为明确场强定义式和库仑定律在特定项目中的应用，特订立本协议，明确双方的权利义务，以推动相关工作的顺利进行。
二、合作内容与范围2.1 合作项目：______________________________________________________。
2.11 项目目标：______________________________________________________。
2.12 合作方式：______________________________________________________。
2.13 合作期限：______________________________________________________。
2.2 各方责任：2.21 甲方责任：______________________________________________________。
2.22 乙方责任：______________________________________________________。
三、技术要求与标准3.1 确认场强定义式：_________________________________________________。
3.2 应用库仑定律的具体方法：_________________________________________。
3.3 技术标准与检验要求：_____________________________________________。
四、时间计划与交付期限4.1 合作项目启动时间：_______________________________________________。
电子在库仑场中的运动.
多项式！
拉盖尔多项式： L0 x 1, L1 x x 1, L2 x x 2 4 x 2,
L3 x x 3 9 x 2 18 x 6
设最多次项为 bn s nr , 即 r
nr 而 bnr 1 0 ，则(19)
(20)
(19)
式分子为0，得：
nr s
而 从0开始，不含 b 1 即 b1 0 而 b0 0 ,当 1 必须使上式分母为0， b0 0 才成立。即
能级简并度库仑场市中心力场辏立场具有反演对称性34nlmnllm库仑静电能仅与有关而与无关前一对称性造成电子能级对m简并后一对称性造成简并波函数由三个量子数决定而电子能仅由一个量子数主量子数n决定即一个能级对应多个波函数所描写的状态所以电子能级是简并对任一个可以取n个值根据式23式35对任一个值独立的阶求函数共有一个各有两个写为复函
8 E 2 Zes2 2 2 2 n
1 2
(28)
a0 定义：
2
2Z 2Z r r r (30) （无量纲半径） na0 n a0 最后得到电子的径向波函数（标注量子数 n, l ）
e
2 s
0.529 A
0
(29) 为第一玻尔半径
Rnl r N nl e
(3) (4)
1 1 2 l2 T sin 2 2 2 sin 2 r 2 2 r sin
15电子在库仑场中的运动.
2 ˆ 第二项：T 2r 2
ˆ2 1 1 2 L sin 2 2 2 sin sin 2 r （离心势能）
中心力场的薛定格方程为
ˆ T ˆ U (r ) E T r
v v
d
vr
r
0
L rv sin rv
L v r
1 2 1 L2 1 2 L2 E vr 2 2 U vr U 2 2 2 r 2 2 r
第一项 第二项
2 2 L 1 L 2 E vr2 U v U r 2 2 2 2 2 r 2 2 r 第一项 第二项
1 ˆ r i （径向动量算符） p r r
且
ˆ r p ˆr p
因为
1 ˆ p r r r r 2 1 1 2 2 2 2 r r r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r r r
它具有转动参考系中离心力的形式。
量子力学： 2 1 1 1 2 2 r 2 sin sin 2 2 r r r sin 2 ˆ H 2 U (r ) 2
Y ( , )Ylm ( , )sin d d
0
2 2 Rnl r dr 1
令
(r, , ) R(r )Ylm ( , )
代入到薛定格方程中，得
ˆ2 ˆ L U (r ) R(r )Ylm ( , ) ER(r )Ylm ( , ) Tr 2 2r ˆ2Y l (l 1) 2Y ，并约去 Y ，则有 利用 L
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1 21 2 i Y sin (5cos 1) e , 3,1 4 4 Y 1 105 sin 2 cos e i 2 , 3,2 4 2 1 35 3 i 3 Y3,3 4 4 sin e ,
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第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
Ylm ( , ) Nlm Pl|m| (cos )eim 球谐函数
1 7 3 Y3,0 (5cos 3cos ) , 4
1 1 35 3 i 3 sin e , Y3,3 Y3,3 4 4 4 1 1 105 2 i 2 sin cos e , Y3,2 Y3,2 4 4 2 1 1 21 2 i sin (5cos 1)e , Y3,1 Y3,1 4 4 4 35 3 i 3 sin e , 4 105 2 sin cos ei 2 , 2 21 sin (5cos 2 1)ei , 4
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第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
Ylm ( , ) Nlm Pl|m| (cos )eim 球谐函数 1 3 Y 0,0 Y cos 1,0 4 4 3 1 7 Y i 3 sin e Y (5cos 5cos ) , 3,0 1, 1 4 8
v( )
av
v 0
v
v :(v + 2)( v + 1)av 2 [ v( v 1) 2(| m | 1) v | m | m2 ]av 波函数有限性要求级数含有有限项,设v=k,ak+2=0 k (k 1) 2(| m | 1)k | m | m2 0
1 d dΘ (sin ) ( )Θ 0 2 sin d d sin
d 2Φ Φ 0 2 d
Y ( , ) Θ( )Φ( )
(r, , ) R(r )Y ( , ) R(r )Θ( )Φ( )
第三章 量子力学中的力学量
1 Y 1 2Y (sin ) Y 2 2 sin sin
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
1 Y 1 2Y (sin ) Y 2 2 sin sin
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Quantum mechanics
2
§3.3 电子在库仑场中的运动
|m| 2 2
d m 2 dP [(1 ) ] ( ) P 0, P( ) (1 ) v( ) 2 d d 1 2 d v dv 2 2 (1 ) 2(| m | 1) ( | m | m )v 0 2 d d
Y ( , ) Θ( )Φ( )
2 sin d dΘ 1 d Φ 2 (sin ) sin Θ d d Φ d 2
1 d dΘ (sin ) ( )Θ 0 2 sin d d sin
d 2Φ Φ 0 2 d
2
2
2
1 2 1 ( r ) (sin ) 2 2 r r r r sin 1 2 2 r sin 2 2
z z
P
O
r
y
y
1 2 1 [ ( r ) (sin ) 2 2 r r r sin
d |m| P ( ) 缔合勒让德多项式 |m| l d
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第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
1 Y 1 2Y (sin ) l (l 1)Y 2 2 sin sin
Ylm ( , ) Nlm Pl|m| (cos )eim 球谐函数
Zes2 U (r ) r
Zes2 l (l 1) 1 d 2 dR 2 (r ) { 2 [E ] }R 0 2 2 r dr dr r r
u 1 du d 2 dR d u 1 du u (r ) dR 2 , (r )r 2 R(r ) dr r r dr dr dr dr r dr r
Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
§3.3 电子在库仑场中的运动 Electronic movement in Coulomb field
一、 粒子在中心力场中的运动 (A particle moving in the center field)
二、粒子在库仑场中的运动 (A particle moving in Coulomb field)
Ylm ( , ) Nlm Pl|m| (cos )eim 球谐函数
Y0,0 1 4
3 i sin e 8 3 cos 4 3 sin e i 8
Y1,1 Y1,0 Y1,1
15 2 i 2 Y sin e 2,2 32 15 i Y sin cos e 2,1 8 5 2 Y (3cos 1) 2,0 16 15 sin cos e i Y2, 1 8 15 Y2, 2 sin 2 e i 2 32
2 d dP m [(1 2 ) ] ( )P 0 2 d d 1
方程有两个奇异点ζ =±1, 要保持P在ζ变化的全部区 域内有限,则有 |m| P( ) (1 2 ) 2 v( ), v( ) av v
v 0
第三章 量子力学中的力学量
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第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
二、粒子在库仑场中的运动 (A particle moving in Coulomb field) 1 d 2 dR 2 (r ) { 2 [ E U (r )] 2 }R 0 2 r dr r r
(k | m |)(k | m | 1), l k | m |
l 0,1, 2,... l (l 1) m 0, 1, 2,..., l
L l (l 1) Lz m
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第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
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Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
d 2Φ Φ 0 2 d
i -i Be , 0 Ae Φ C D , 0
Φ( 2 ) Φ( ) m 0, 1, 2,..., D 0 1 im Φm e , m 0, 1, 2,... 2
(l | m |)!(2l 1) (l | m |)!4
N lm
l=0的状态称为s态,处于这种态的粒子简称为s粒子,l=1 的态称为p态, l=2的态称为d态, l=3的态称为f态等等,
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
v( v 1) l (l 1) m 0, av 2 av (v + 2)( v + 1) 1 dl l P ( ) ( 1) 勒让德多项式 P l l (1) 1 l l 2 l ! d
|m| |m| 2 2
m 0, Pl ( ) (1 )
2
0
Φ Φm d 1
* m
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第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.3 电子在库仑场中的运动
1 d dΘ m2 (sin ) ( )Θ 0 2 sin d d sin
cos , Θ( ) P( )
d d d d 2 1/ 2 d sin (1 ) d d d d d
§3.3 电子在库仑场中的运动
2 d dP m [(1 2 ) ] [l (l 1) ]P 0 2 d d 1
(v + 2)( v + 1)av 2 [ v( v 1) 2(| m | 1) v | m | m2 ]av
m=0,方程的解称为勒让德(Legendre)多项式,以 Pl(ζ) 表示.
(r, , ) R(r )Y ( , )
1 d 2 dR 2 r 2 1 1 Y 1 2Y (r ) 2 [ E U (r )] [ (sin ) 2 ] 2 R dr r Y sin sin
1 d 2 dR 2 (r ) { 2 [ E U (r )] 2 }R 0 2 r dr dr r
2
1 2 ] (r ) U (r ) (r ) E (r ) 2 2 sin
x x
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§3.3 电子在库仑场中的运动
1 2 1 1 2 [ (r ) (sin ) 2 ] (r ) U (r ) (r ) E (r ) 2 2 2 r r r sin sin