人教版八年级数学上册 全等三角形单元复习练习(Word版 含答案)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点
D 作DF D
E ⊥与点
F ，
G 为BE 中点，连接AF ，DG ．
（1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】
(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.
(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】
解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图，
∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°,
∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF.
∴BF=AE,DF=DE.
∴△FDE是等腰直角三角形.
∴∠DFE=45°.
∵G为BE中点,
∴BF=EF.
∴AE=EF.
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴∠AFE=45°.
∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.
（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,
∵点G为BE的中点,BG=GE.
∵∠BGM∠EGD,
∴△BGM≌△EGD.
∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.
∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.
∵∠DAC=∠DBE,
∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.
∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,
∴∠BDF=45°-∠DBE.
∵∠ADE=∠BDF,
∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.
∵BD=AD,
∴△BDM≌△DAF.
∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.
∵∠BDM+∠MDA=90°,
∴∠MDA+∠FAD=90°.
∴∠AHD=90°.
∴AF⊥DG.
∴AF=2DG,且AF⊥DG
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.
2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，
F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；
（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此
CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；
（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出
EM=PN=1
2
AD，EC=MF=
1
2
AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结
论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．
【详解】
（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：
∵∠AED＝∠ACB＝90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径，
∵点F是BD的中点，
∴点F是圆心，
∴EF＝CF＝FD＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，
由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，
∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°
∴∠ECF＝45°＝∠CEF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝2EF．
解法2：
易证∠BED＝∠ACB＝90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF＝EF＝FB＝FD，
∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，
∴∠DFE＝2∠ABD，
同理∠CFD＝2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，
即∠CFE＝90°，
∴CE＝2EF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF＝∠GBF，
又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，
∵AC＝BC，
∴CE＝CG，
∴∠EFC＝90°，CF＝EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴CE＝2FE；
解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，
∴FA＝FB＝FD，
而AC＝BC，CF＝CF，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF＝∠BCF＝1
2
∠ACB＝45°，
∵FA＝FB，CA＝CB，
∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
又DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝2EF．
（3）（1）中的结论仍然成立．
解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，
∵DF＝BF，
∴FM∥AB，且FM＝1
2 AB，
∵AE ＝DE ，∠AED ＝90°， ∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°， ∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°
∴CN=AN=
1
2
AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ， ∴四边形MFNA 为平行四边形，
∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ， ∴∠EMF ＝∠FNC ， ∴△EMF ≌△FNC ， ∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，
由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°， ∴∠FCN+∠PFC ＝90°， ∴∠EFM+∠PFC ＝90°， ∴∠EFC ＝90°，
∴△CEF 为等腰直角三角形， ∴∠CEF ＝45°， ∴CE ＝2FE ． 【点睛】
本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．
3．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．
（1）填空：ABC S ?=______2cm ；
（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；
（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ?的面积是BDE ?面积的两倍，请你求出时间x 的值． 【答案】（1）8;(2)见解析；（3）
4
5
或4.
【解析】
【分析】
（1）直接可求△ABC的面积；
（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即
BD=CD，且BE=CF，即可证△CDF≌△BDE，可得DE=DF；
（3）分△ADF的面积是△BDE的面积的两倍和△BDE与△ADF的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x的值．
【详解】
解：（1）∵S△ABC=
1
2
?AC×BC
∴S△ABC=
1
2
×4×4=8（cm2）
故答案为：8
（2）如图：连接CD
∵AC=BC，D是AB中点
∴CD平分∠ACB
又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依题意得：BE=CF
∴在△CDF与△BDE中
BE CF
B DCA
BD CD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△CDF≌△BDE（SAS）
∴DE=DF
（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
当S△ADF=2S△BDE．
∴1
2
×AF×DN=2×
1
2
×BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=4 5
综上所述：x=4
5
或4
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．
4．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；
（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=2
9
CP，求
PF
AF
的值．
（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）
【答案】（1）∠AFE=60°；（2）见解析；（3）7 5
【解析】
【分析】
（1）通过证明BCE CAD
≌得到对应角相等，等量代换推导出60
AFE
∠=?；（2）由（1）得到60
AFE
∠=?，CE AD
=则在Rt AHF
△中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；
（3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路.)
【详解】
（1）解：如图1中．
∵ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在BCE和CAD中，
60
BE CD
CBE ACD
BC CA
=
?
?
∠=∠=?
?
?=
?
，
∴BCE CAD
≌（SAS），
∴∠BCE=∠DAC，
∵∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°，
∴∠AFE=60°．
（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，
∴∠AHF=90°，
在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，
∴∠FAH=30°，
∴AF=2FH，
∵EBC DCA
≌，
∴EC=AD，
∵AD=AF+DF=2FH+DF，
∴2FH+DF=EC．
（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，
∵∠AFK =60°，AF =KF ， ∴△AFK 为等边三角形， ∴∠KAF =60°， ∴∠KAB =∠FAC ， 在ABK 和ACF 中，
AB AC KAB ACF AK AF =??
∠=∠??=?
， ∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF = ∴∠AKB =∠AFC =120°， ∴∠BKE =120°﹣60°=60°， ∵∠BPC =30°， ∴∠PBK =30°， ∴2
9
BK CF PK CP ===， ∴7
9
PF CP CF CP =-=
， ∵45
()99
AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-
= ∴
7
7
955
9
CP
PF AF CP == . 【点睛】
掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.
5．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．
（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持
AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；
（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题； 【详解】
（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下： 如图1中，连接OP ．
∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6）， ∴OB=OA=6，∠AOB=90°， ∵P 为AB 的中点，
∴OP=
1
2
AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，
在△PON 和△PAM 中，
ON AM PON PAM OP AP =??
∠=∠??=?
， ∴△PON ≌△PAM （SAS ）， ∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ， ∴∠NPM=∠OPA=90°， ∴PM ⊥PN ，PM=PN ．
（2）结论：OD=AE ．理由如下：
如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．
∵BD⊥OP，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO，
∵OB=OA，
∴△DBO≌△GOA，
∴OD=AG，∠BDO=∠G，
∵∠BDO=∠PEA，
∴∠G=∠AEP，
在△PAE和△PAG中，
AEP G
PAE PAG
AP AP
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△PAE≌△PAG（AAS），
∴AE=AG，
∴OD=AE．
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．
（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．
（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53
v = 【解析】 【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值． 【详解】
解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm = ∵12BC cm =
∴()122PC BC BP t cm =-=- 故答案为：()122t - （2）∵ABP DCP ??? ∴BP CP = ∴2122t t =- 解得3t =．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ， ∴PC=AB=5 ∴BP=BC-PC=12-5=7 ∵2BP tcm = ∴2t=7 解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7 解得2v =．
②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ??? ∵12BC cm =
∴1
62
BP CP BC cm === ∵2BP tcm = ∴26t = 解得3t = ∴3CQ vcm =
∵5AB CQ cm == ∴35v =
解得53
v =
． 综上所述，当2v =或5
3
v =时，ABP ?与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
7．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE=BD+CE ．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，求证:△DEF 是等边三角形．
【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析
【解析】 【分析】
（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ?△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.
（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ?△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.
（3）由BDA AEC ?△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ?∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即
FBD FAB ?∠∠，所以BDF AEF ?△△，所以FD=FE ，BFD AFE ?∠∠，再根据=60BFD FA BFA =?∠＋∠D ∠，得=60AF FA =?∠E ＋∠D ，即=60FE =?∠D ，故DFE △是等边三角形. 【详解】
证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m
∴∠BDA ＝∠CEA=90°，∵∠BAC ＝90°
∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD ，又AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA ∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD= BD+CE
(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α
∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC
∴△ADB ≌△CEA ，∴AE=BD ，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE
（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF为等边三角形.
【点睛】
利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.
8．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，
△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交
∠=?,因此有BM⊥AN；
AN于点C，得出MCN90
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC ＝∠PCA ＝60°， 又∵CA ＝CB ， ∴∠CAB ＝∠ABC ＝30°， ∴∠PAB ＝∠PAC +∠CAB ＝90°． 【点睛】
本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
9．已知：4590ABC A ACB ?∠=∠=，，，点D 是AC 延长线上一点，且
22AD =+，
，M 是线段CD 上一个动点，连接BM ，延长MB 到H ，使得HB MB =，以点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ． （1）依题意补全图形； （2）求证：ABQ AMB ∠=∠；
（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果
QA BN =， 求线段AB 的长．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB =【解析】 【分析】
（1）根据题意可以补全图形； （2）根据三角形外角的性质即可证明； （3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得
QEB BCM ?，根据HL 证得
Rt QEA Rt BCN ?，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，
2
2
CD x =
，结合已知22AD =，构建方程即可求解. 【详解】
（1）补全图形如下图所示：
（2）解：∵∠ABH 是ABM 的一个外角，
∴ ABH BAM AMB ∠=∠+∠ ∵ABH HBQ ABQ ∠=∠+∠ 又∵45HBQ BAM ∠=∠=?
∴ ABQ AMB ∠=∠
（3）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E ，
如下图：
∵⊥QE AB
∴90QEB BCM ∠=∠=?，
在QEB 和BCM 中，QEB BCM QBE BMC QB BM ∠=∠??
∠=∠??=?
∴
QEB BCM ?(AAS)
∴EB CM =，QE BC =， 在Rt QEA 和Rt BCN 中
∵QE BC =，
Q A BN = ∴Rt QEA Rt
BCN ? (HL)
∴AE CN CM MD DN ==++ ∵点N 是点M 关于点D 的对称点，
∴MD DN =
∴22AE CM MD EB MD =+=+
∴ ()2222AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+= 设AC BC x ==，则2AB x =，2
2CD x =
， 又∵22AD =+，2
2
AD AC CD x x =+=+ ∴2
222
x x +
=+ 解得：2x = ∴ 22AB = 【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．
10．如图，A （0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．
（1）若AB ∥x 轴，如图1，求t 的值；
（2）设点A 关于x 轴的对称点为A ′，连接A ′B ，在点P 运动的过程中，∠OA ′B 的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA ′B 的度数，若改变，请说明理由．
（3）如图2，当t ＝3时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．
【答案】（1）4；（2）∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45?，理由见解析；（3）点M 的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1） 【解析】 【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；
（2）根据对称的性质得：PA ＝PA '＝PB ，由∠PAB +∠PBA ＝90°，结合三角形内角和定理即