埃尔米特插值函数在公路平面线形设计中的应用
课程设计---Hermite 插值法的程序设计及应用
课程设计说明书题目：Hermite 插值法的程序设计及应用学生姓名：学院：班级：指导教师：2012年 1月 5日摘要Hermite 插值是数值分析中的一个重要内容，在相同的节点下得到比拉格朗日插值更高次的插值多项式，而且，相应的曲线在部分节点处也更光滑.在我们所学课程中，只给出了当所有节点处一阶导数均已知时的Hermite 插值.但在实际应用中，并不是所有节点处的一阶导数都是已知的.为此，通过查阅文献、学习总结，给出了更具一般性的Hermite 插值公式.已有的Hermite 插值公式成为本文所得结果的一个特例.本次课程设计，对Hermite 插值法进行了总结,包括Hermit插值法的理论推导，不同情形下的例，以及在解决实际问题中的应用.同时也给出了Hermite插值公式的Matlab算法.关键词Hermite 插值；Matlab 实现；数值分析引言 (1)第一章 Hermite插值 (2)§1.1 Hermite插值的概念 (2)§1.2 Hermite插值简单情形 (3)§1.2.1简单情形解的存在性 (3)§1.2.2 简单情形解的存在唯一性 (5)§1.2.3插值余项 (5)§1.3 Hermite插值其他情形................................ . (5)第二章 Hermite插值的Matlab实现 (9)§2.1 导数完全情形Hermite插值的Matlab实现................... ..9 §2.2导数不完全情形Hermite插值的Matlab实现.. (10)§2.3 Hermite插值在实际问题中的应用 (13)参考文献 (15)附录A (16)附录B (17)附录C (19)在实际工作中, 人们得到的一些数据通常是一些不连续的点, 在土木工程、流体力学、经济学和空气动力学等学科中经常要遇到这样的问题. 此时, 这些数据如果不加以处理, 就难以发现其内在的规律性. 如果用户想得到这些分散点外的其他数值, 就必须运用这些已知的点进行插值.因此，对近似公式的构造产生了插值问题.在实际问题中，两个变量的关系)(x f y =经常要靠实验和观测来获得，而在通常的情况下只能得到)(x f 在有限个点上的值.,,1,0),(n i x f y i ==人们希望找到)(x f 的一个近似函数)(x y φ=，使得i i y x =)(φ，.,,1,0n i = ○1 此时，)(x f 称为被插值函数，点n i x x x ,,,0 称为插值结点，)(x φ称为插值函数，○1为插值条件. 常用的插值法有Lagrange 插值、Newton 插值、最近邻插值、Hermite 插值和三次样条插值插值法等. Lagrange 插值在向量X 区域内的插值较准确, 但向量X 区域之外则不太准确.Newton 插值仅适用于等距节点下的牛顿向前(后) 插值. 最近邻插值是最简便的插值, 在这种算法中, 每一个插值输出像素的值就是在输入图像中与其最临近的采样点的值, 当图像中包含像素之间灰度级变化的细微结构时, 最近邻插值法会在图像中产生人工的痕迹. 最近邻插值的特点是简单、快速, 缺点是误差较大; 三次样条插值一阶和二阶连续可导, 插值曲线光滑, 插值效果比较好, 应用较广Newton 插值和Lagrange 插值虽然构造比较简单,但都存在插值曲线在节点处有尖点、不光滑、插值多项式在节点处不可导等缺点.为了保证插值多项式)(x p n 能更好地逼近)(x f , 对)(x p n 增加一些约束条件, 例如要求)(x p n 在某些结点处与)(x f 的微商相等, 这样就产生了切触插值问题.切触插值即为Hermite 插值.它与被插函数一般有更高的密合度.本课程设计主要对Hermite 插值法进行总结，对其一般情况，特殊情况进行更进一步的学习，尽量实现其在Matlab 及C++上的程序运行.第一章 Hermite 插值实际问题中应用较广为Newton 插值和Lagrange 插值，虽然这辆种插值法构造比较简单, 但都存在插值曲线在节点处有尖点、不光滑、插值多项式在节点处不可导等缺点.为了克这些缺点，我们引入了Hermite 插值.§1.1 Hermite 插值的概念定义1.1 许多实际插值问题中，为使插值函数能更好地和原来的函数重合，不但要求二者在节点上函数值相等，而且还要求相切，对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.这类插值称作切触插值，或埃尔米特(Hermite)插值.该定义给出了Hermite 插值的概念，由此得出Hermite 插值的几何意义，如图1.1.定义1.2 满足上述要求的插值多项式是埃尔米特插值多项式.记为H (x ). 定义1.3 求一个次数不大于1++r n 的代数多项式 H(x) ,满足:).(,,2,1),()(.,,2,1),()(n r r i x f x H n i x f x H i i i i ≤='='== （1-1） 则（1-1）为Hermite 插值条件.定义1.4 令 ),(22y x ),(33y x ),(44y x),(11y x),(00y x xy图1.1 Hermite 插值多项式的几何意义含义.)()()()()(00∑∑=='+=rk k k n k k k x f x x f x x H βα (1-2)其中，),,1,0)(x (),,1,0)((k n k n k x k ==βα和都是1++r n 次待定多项式并且它们满足如下条件：⎩⎨⎧=01)(i k x α k i k i ≠= .,,1,0,n k i = .,,1,0,,,1,0,0)('r i n k x i k ===α⎩⎨⎧='01)(i k x β k i k i ≠= .,,1,0,r k i = .,,1,0,,,1,0,0)(n i r k x i k ===β称（1-2）为Hermite 插值公式.解决Hermite 插值问题，就是在给定结点处函数值与导数值的基础上根据插值公式构造Hermite 插值多项式，并根据已知条件解出多项式系数.§1.2 Hermite 插值简单情形已知函数表： x0x 1x 2x … m x … n x )(x f0y 1y 2y … m y … n y )(x f ' 0'y 1'y 2'y … m y ' … n y '求一个插值多项式,使其满足条件数表.由于数表中包含22+n 个条件,所以能够确定次数不大于12+n 的代数多项式 )(12x H n +.此情形为导数个数与函数值个数相等的情形,即 Hermite 插值问题的最简单也是最常用情形.1.2.1简单情形解的存在性由于Hermite 插值公式（1-2）已给出，接下来只需构造出)(x k α及)(x k β，即认为其存在.在此简介Lagrange-Hermite 插值法构造插值多项式.Step1 构造)(x k α（n k ,,1,0 =）由条件)(0)(')(k i x x i k i k ≠==αα知),,,1,0(k i r i x i ≠= 是)(x k α的二重零点.已知Lagrange 插值基函数)(x l k 是n 次多项式，且具有性质⎩⎨⎧=≠==i k i k x l ki i k ,1,0)(δ， 则2n 次多项式[]2)(x k k 也具有性质[]ki i k x l δ=2)(，而[]2)(x l k 的一阶导数在)(k i x i ≠处的值[]()0)()(2)(2='='i k i k i k x l x l x l 所以当k i ≠时，i x 也都是[]2)(x k k的两重零点.注意到)(x h k 是12+n 次多项式，而[]2)(x l k 是n 2次多项式，因此可设),,2,1,0)(()()(2n k x l b ax x k k =+=α其中b a ,为待定常数.显然k i ≠时满足0)(')(==i k i k x x αα，现只要求出b a ,满足k i =时，满足0)(',1)(==k k k k x x αα即可.由此得到确定b a ,的两个方程：)(2)())(()(2)(1)()()()(22=+'=++'='=+=+=a x l x al b ax x l x l x b ax x l b ax x k k k k k k k k k k k k k k k k k αα解出 k k kk k x x l b x l a ⋅'+='-=)(21)(2 于是[])())((21)(2x l x x x l x k k k kk -'-=α. Step2 构造)(x k β ),,1,0(n k =由条件)(0)(')(k i x x i k i k ≠==ββ知),,,1,0(k i r i x i ≠= 是)(x k β的二重零点.因此可设)(x k β也含因子)(2x l k ，又0)(=k k x β，所以)(x k β还含有因式)(k x x -,因此设)()()(2x l x x A x k k k -=β，其中A 为待定常数.显然)(x k β是12+n 次多项式，且当k i ≠时满足0)(')(==i k i k x x αα，由,1)(='k kx β可确定A 如下： 1)()(2)()()(2=='⋅⋅-+='A x l x l x x A x Al x k kk k k k k k k β所以 )()()(2x l x x x k k k -=β.到此为止，Hermite 插值问题的解)(12x H n +为[],)()()())((21)(2020k k nk k k kn k k k k f x l x x f x l x x x l x H '-+-'-=∑∑== 特别地，当=n 1时，满足113003113003)(,)(,)(,)(y x H y x H y x H y x H '=''='==的三阶Hermite 插值多项式为+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=21010000103)(21)(x x x x y x x y x x x x x H 2010111101)(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x y x x y x x x x .§1.2.2 简单情形解的存在唯一性为了简便理解，下面用流程图来说明解的存在唯一性.详见附录A.§1.2.3 插值余项定理 1.1 设)(x f 在包含1+n 个插值结点的最小区间[b a ,]上22+n 次连续可微，则存在与x 有关的ξ，b a <<ξ，使得),()!22()()()(222x w n f x H x f n +=-+ξ 其中∏=-=n0j )()(j x x x w .由此可得到三阶Hermite 插值多项式的误差为：,)()(!4)()()()(212043x x x x f x H x f x R --=-=ξ ξ在0x 与1x 之间.§1.3 Hermite 插值其他情形已知函数表：x 0x1x … m x … n x y0y 1y … m y … n yy ' 0y ' 1y ' … m y '求一个插值多项式,使其满足条件数表.该问题中，导数个数与函数值个数不相等.我们称之为Hermite 插值中其他情形.在此简介Newton-Hermite 插值法构造插值多项式.先分析插值条件的个数：2++m n 个，那么，所构造的多项式的次数一般不能超1++m n .于是，按牛顿差值的思想，可设);())(()(),()()()(1011n n n m n x x x x x x x x x P x N x H ---=+=++ ωω其中，)(x N n 为n 次牛顿差值多项式;)(x P m 为待定的次数不超过m 次的多项式. 显然：n i x f x N x H i i n i ,,2,1,0),()()( ===为确定)(x P m ，对)(x H 求导：)()()()()()(11x x P x x P x N x H n m n m n++'+'+'='ωω 根据插值条件)()(i i x f x H '='，有)()()()()()()()()(111i n i m i ni n i m i n i m i n i x x P x N x x P x x P x N x H +++'+'='+'+'='ωωω 得到m i x x N x f x P i ni n i i m ,,2,1,0,)()()()(1 =''-'=+ω 于是，把求)(x P m 的问题转化为又一个插值问题已知)(x P m 的函数表 x1x 2x … m x )(x P m )(1x P m )(2x P m … )(m m x P确定一个次数不超过m 的插值多项式)(x L m ，使其满足)()(i m i m x P x L =. 根据牛顿差值公式.)())(](,,[)](,[)()(10000100----++-+=m m m m m m x x x x x x x x P x x x x P x P x P将上式带回，即得到满足条件;,,2,1,0),()(;,,2,1,0),()(m k x f x H n k x f x H k k k k ='='==的Newton-Hermite 插值多项式.例1.1 已知函数表： x 0x1x y 0y1y y ' 0'y求一个插值多项式H (x )，使其满足条件：),()(),()(),()(001100x f x H x f x H x f x H '='==该问题中，导数个数与函数值个数不相等.我们称之为Hermite 插值中其他情形.在此简介Newton-Hermite 插值法构造插值多项式.先由函数表xx 0 x 1 yy 0 y 1作线性插值，即为 []()01001,)()(x x x x f x f x P -+= 再注意到H (x )与P 1 (x )在节点x 0, x 1上函数值相同，即：11110010)()()()(y x P x H y x P x H ====于是，它们的差可以设为 ))(()()(101x x x x K x P x H --=-其中K 为待定常数，上式又可记为：))(()()(101x x x x K x P x H --+= (1-3)为确定K ,对上式求导：)()()(101x x x x K x P x H -+-+'='令x = x 0，代入上式，并且注意到插值条件00)(y x H '='得： []010*******)(,)()()(y x x K x x f x x K x P x H '=-+=-+'='于是有[]01010x x y x x f K -'--=将上式代入（1-3）得[]))(()()(10010101x x x x x x y x x f x P x H ---'--+=[][]))(()(,)(10010100100x x x x x x y x x f x x x x f x f ---'--+-+= (1-4)可以验证（1-4）所确定的H (x )确实满足插值条件（1-1）.同时也可以看到，构造牛顿——埃米尔特插值多项式，完全采用牛顿插值的构造思想.最后，也可以把（1-4）式整理成拉格朗日形式：1001112010001101010)()(y x x xx x x y xx x x y xx x x x x x x x x x H '-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=插值余项为()()120)3(2!3)()(x x x x f X R --=ξ， ξ在0x 与1x 之间.第二章 Hermite 插值的Matlab 实现§2.1 导数完全情形Hermite 插值的Matlab 实现在实际应用中，应用最广也是最简单的Hermite 插值情形即为导数完全的情况下，Hermite 插值多项式的拟合.我们首先讨论该情形下的Matlab 程序.在给出程序之前，我们首先给出该公式所应用的Hermite 插值公式. 定理2.1 设在节点b x x x a n ≤<<≤≤ 21上，,)(,)(j j j j y x f y x f '='=,其中n j ≤≤1，则函数)(x f 在结点处n x x x ,,,21 处的Hermite 插值多项式为∑=+--=ni i i i i i i y y y a x x h x y 1])2)([()(其中 ∑∏≠=≠=-=--=nij j ji i nij j ji j i x x a x x x x h 1211;)(.该定理的证明详见文献.该情形下对应的Matlab 程序及流程图详见附录B . 为验证该程序的正确性与有效性，下面给出例2.1. 例2.1 设有如下数据表:x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5)sin(x y = 0 0.4794 0.8145 0.9975 0.9093 0.5985 0.1411 -0.3508 )cos(x y =' 1 0.8776 0.5403 0.0707 -0.4161 -0.8011 -0.9900 -0.9365在Matlab 工作台输入如下命令：>> x0=[0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5];y0=[0,0.4794,0.8415,0.9975,0.9093,0.5985,0.1411,- 0.3508]; y1=[1,0.8776,0.5403,0.0707,-0.4161,-0.8011,-0.9900,-0.9365]; x=x0;y=hermite(x0,y0,y1,x); yplot(x,y) y2=sin(x); hold onplot(x,y2,'*r') 则输出结点处的插值：y =0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093 0.5985 0.1411 -0.3508)sin(x y =的Hermite 插值多项式的拟合图像如图：§2.2导数不完全情形Hermite 插值的Matlab 实现在实际应用中，并不是所有节点处的一阶导数都是已知的，为此，我们给出了更具一般性的Hermite 插值公式及其算法实现，已有的Hermite 插值公式成为本文所得结果的一个特例.在此首先给出求解Hermite 插值问题的一般性公式。
埃尔米特插值
0，则可以设：
0(x) (x 1)(ax b)
将：
0 (0) 1
0
(0)
0
带入0(x) (x 1)(ax b)，则：
a 1 b 1
则：0 (x) 1 x2
同理： 1( x)为二次项式
又：
1(0) 0
1
(0)
0
则：x 0为1(x)的二重根
则：1(x) cx2 又：1(1) 1
xi
01
f(xi) 0
1
f (xi )
0
1
解: 本题利用承袭性的思想 首先利用:
xi
0
1
f(xi) 0
1
求出: L1(x)
L1 ( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
x
增加:
xi 0
yi 0
求：H2 ( x), 其中H2 ( x)满足：
xi
01
f(xi) 0
1
f (xi )
则：c 1
则：1(x) x2 同理：0 (x) x(1 x)
插值余项为:
R(x)
f (x) H2(x)
f
(
3!
)
(
x
x0
)2
(
x
x1 )
仿Lagrange 或 Newton 证明
情形2. 已知: 4个条件
xi
x0 x1
yi = f(xi) y0 y1
yi f (xi ) y0 y1
一、 Hermite插值多项式的定义
插值条件中除函数值外, 还有导数值（回顾 Taylor展开式, 是某点的导数值）, 如
已知: 2n+2个条件
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
例1 给定 f (− 1)=0, f (1)=4, f '(− 1)=2, f '(1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5).
解
x0 = − 1, x1 = 1,
H 3 ( x ) h 0 ( x ) 0 h1 ( x ) 4 g 0 ( x ) 2 g 1 ( x ) 0
y0 y1 m0 m1
其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a 2, a3, 代 入即得 H3(x).
1 1 0 0
x0 x1 1 1
x0 x1
2 2
x0 x1
3 3 2 2
2 x0 2 x1
3x0 3 x1
( x 0 x1 ) 0 .
4
基函数法
类似于拉格朗日插值多项式的构造手法，我们可以通 过插值基函数作出 。
对给定区间[a,b]作划分
a x 0 x1 x n b
给定 n +1个插值点：(xi , f (xi)), i = 0,1,2,„,n, 在每个小 区间[xi, xi+1]上作线性插值，节点 xi, xi+1上的基函数分别为：
li ( x ) x x i 1 x i x i 1 , 1 ( x ) li x xi x i 1 x i ,
在某些问题中，为了保证插值函数能更好地逼近原函数 ，不仅要求两者在节点上有相同的函数值，而且要求在节点 上有相同的导数值。这类插值称为Hermite插值。 ★ Hermite插值描述：
埃尔米特曲线插值
埃尔米特曲线插值
埃尔米特曲线插值是一种数学方法，用于通过给定的一组数据点来构建一个平滑的曲线。
这种插值方法常用于计算机图形学、工程建模和动画等领域。
埃尔米特曲线插值是由法国数学家Charles Hermite在19世纪提出的。
它的基本思想是通过给定的数据点来构建一个多项式曲线，使得曲线在给定的数据点上具有相同的函数值和导数值。
这样可以确保插值曲线能够光滑地通过给定的数据点，并且在数据点处的斜率也是符合要求的。
在埃尔米特曲线插值中，曲线的形状由给定的数据点和导数值决定。
通常情况下，我们需要给定每个数据点处的函数值和导数值。
这些导数值可以根据实际问题的需求来确定，比如可以根据相邻数据点的斜率来计算导数值，或者通过其他方法来估计。
利用埃尔米特曲线插值，我们可以构建出一个符合给定数据点的平滑曲线，而且在数据点处的斜率也是符合要求的。
这种插值方法在
计算机图形学和动画中得到了广泛的应用，比如可以用来绘制自然流畅的曲线和路径，或者用来模拟真实物体的运动轨迹等。
总的来说，埃尔米特曲线插值是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们通过给定的数据点来构建出平滑的曲线，并且满足特定的函数值和导数值要求。
通过合理地选择数据点和导数值，我们可以得到符合实际需求的插值曲线，从而在计算机图形学、工程建模和动画等领域中发挥重要作用。
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。
它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。
埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。
2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。
这就是插值问题。
给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。
3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。
为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。
4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。
- g i(x j)=0对所有i,j成立。
基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。
5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。
通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。
6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。
我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。
埃尔米特(Hermite)插值
实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。
二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。
要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。
函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。
裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。
数值分析2-4(埃尔米特插值)
在数值分析中的应用
函数逼近
埃尔米特插值可以用于逼近复杂的函数，为 数值分析中的函数近似提供有效的方法。
数值积分
利用埃尔米特插值，可以将复杂的积分转化 为简单的数值计算，提高数值积分的精度和 效率。
THANKS
度和可靠性。
埃尔米特插值的优点和局限性
优点
埃尔米特插值多项式具有数值稳定性、 计算效率高、适用范围广等优点，在 实际应用中具有广泛的应用价值。
局限性
埃尔米特插值多项式对于复杂函数和 多维数据的插值效果可能不够理想， 需要结合其他算法进行优化。
05
埃尔米特插值的应用实例
一维数据的插值
预测股票价格
利用埃尔米特插值方法，可以根据历史 股票数据，预测未来的股票价格走势。
VS
气象预报
在气象学中，埃尔米特插值可以用于填补 气象观测数据的空缺，提高气象预报的准 确度。
多维数据的插值
地理信息系统
在地理信息系统中，埃尔米特插值可以用于生成高精度的地形地貌模型，为土地利用、城市规划等领 域提供支持。
环境监测
03
埃尔米特插值的实现方法
构造插值多项式
01
02
03
确定插值点
选择一组已知的插值点， 这些点是数据点的坐标。
构造多项式
根据已知的插值点，构造 一个多项式，使得该多项 式在每个插值点处的函数 值为已知的函数值。
确定多项式的阶数
根据插值点的数量和所需 的插值精度，确定多项式 的阶数。
计算插值节点的位置
二次插值的优点是对于非线性数据更 为准确，但计算量相对较大，且需要 更多的已知数据点。
Hermite插值的若干问题研究毕业设计论文
毕业论文（设计）Hermite插值的若干问题研究Study of Hermite interpolation problems申请学位：学士院系：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学专业姓名：学号：指导老师：[摘要]本文主要是具体讨论Hermite插值的若干问题，主要介绍了二重Hermite插值在具体应用中出现的实际问题，并通过几个例子说明建立Hermite 插值多项式的方法、两点三次Hermite插值及其余项、Hermite插值公式的相关问题。
并编程计算来比较几种方法。
通过推导和证明得知三次Hermite插值已经较高，再高可能发生Runge现象。
关键词: 二重Hermite插值多项式，唯一性定理，误差定理[Abstract]This paper is detailed to discuss some problems of the Hermite interpolation, mainly introduced the double Hermite interpolation in the specific application of practical problems, and through several examples establish Hermite interpolation polynomial method, two point three times of Hermite interpolation and its remainder term, Hermite interpolation formula of the related problems. And the program calculation to compare several methods. By derivation and proof that cubic Hermite interpolation has been high, high Runge phenomenon may occur againKeywords: Double Hermite interpolation polynomial, the uniqueness theorem, the theorem of the error目录1、Hermite插值概述1.1 Hermite插值定义 (1)1.2 Hermite插值公式的推导 (2)1.3 几个重要的定理 (4)2、两点三次插值及其余项2.1 两点三次插值 (3)2.2 两点三次插值的余项 (4)2.3 三次埃尔米特插值多项式 (6)2.4 二重Hermite插值多式 (7)3、重节点插商与Hermmite插值3.1 重节点插商 (10)4、例题及其解答 (12)5、参考文献 (17)6、附录 (18)7、谢辞 (20)1 Hermite 插值概述1.1 Hermite 插值的定义理论背景：许多实际插值问题中，为使插值函数能更好地和原来的函数重合，不但要求二者在节点上函数值相等，而且还要求相切，对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。
5.2Hermite插值
三、Hermite插值问题的存在唯一性 插值问题的存在唯一性
证明 令:
第一步:存在性 第一步 存在性
Hm+n+1(x) = pn (x) + qm (x)ωn+1(x)
pn (xi ) = f (xi ),i = 0,1,2,L, n
qm (x) = ∑a j x j
j=0 m
Hm+n+1 ( xi ) = yi
参看 P157
第二步:唯一性 第二步 唯一性
~ 都满足 假设存在两个多项式 H (x), H (x) ∈ Dm+n+1 都满足:
Hm+n+1 (xi ) = yi , i = 0,1,2,L, n
′ Hm+n+1 (xik ) = yi′k , k = 0,1,2,L, m
令:
~ r(x) = H(x) − H(x) ∈ Dm+n+1
插值问题（ 二、Hermite插值问题（带导数条件的代数插值问题） 插值问题 带导数条件的代数插值问题）
P158
H5 (x) = p3 (x) + q1(x)ω4 (x) H5 (x) = p3 (x) + (ax + b)(x +1)(x − 0)(x −1)(x − 2)
插值问题（ 二、Hermite插值问题（带导数条件的代数插值问题） 插值问题 带导数条件的代数插值问题）
5.2 Hermite插值 插值
一 、Hermite插值的概念 插值的概念 二、Hermite插值问题 插值问题 三、Hermite插值问题的存在唯一性 插值问题的存在唯一性 四、Hermite插值问题余项 插值问题余项
平面隐式曲线的Hermite插值逼近
2018年8月图 学 学 报August 2018第39卷 第4期JOURNAL OF GRAPHICSV ol.39No.4第一作者：魏 利(1994 )，女，四川绵阳人，硕士研究生。
主要研究方向为数字几何处理。
E-mail ：wei_li_015@平面隐式曲线的Hermite 插值逼近魏 利， 赵晶洁， 黄慧敏(南京师范大学教育信息工程研究所，江苏 南京 210097)摘要：隐式曲线在医学图像处理、地理信息系统、数值场可视化等领域中有着重要应用。
在分析点采样和曲线逼近理论的基础上，提出一种运用Hermite 插值方法逼近平面隐式曲线的算法。
首先将曲线绘制区域网格化，在网格单元各边中通过线性插值计算曲线采样点；其次通过计算采样点精简前后构成的曲线段之间产生的误差优化采样点；最后通过Hermite 插值法逼近隐函数曲线。
实验表明，通过该算法绘制出的曲线在采样点数量较少的情况下，其光滑度和准确度仍较高。
关键词：图形绘制；隐式曲线；Hermite 插值；采样点优化中图分类号：TP 391.41 DOI ：10.11996/JG .j.2095-302X.2018040752 文献标识码：A文 章 编 号：2095-302X(2018)04-0752-05Approximating Planar Implicit Curves with Hermite InterpolationWEI Li, ZHAO Jingjie, HUANG Huimin(Institute of Educational Information Engineering, Nanjing Normal University, Nanjing Jiangsu 210097, China)Abstract: Implicit curves play an important role in medical image processing, geographic information system, and numerical field visualization. On the basis of sampling point analysis and curve approximation method, we introduce an algorithm for approximating planar implicit curves by means of Hermite interpolation. The sampling points were firstly obtained by linearly interpolating each edge of the grid cells distributed uniformly in the grid region. Then, we calculated the error between curve segments before and after optimizing. Once the error meets the optimizing requirements, the sampling points are consequently optimized. Finally, the algorithm approximated the implicit curves by the Hermite interpolation method. Experiments have shown that even when the number of sampling points is small, the curves drawn by the algorithm still have relatively higher smoothness and accuracy.Keywords: graph plotting; implicit curve; Hermite interpolation; optimizing sampling point隐式曲线是计算机辅助几何设计和计算机图形学的重要研究内容[1-2]，因其可描述平面上任意不规则的形状，且在离散采样曲线重建过程中，具有自动过滤数据噪声的优点，在生物学[3-4]、气象学[5]、地理学[6]、石油勘探及物探[7]等领域有着广泛且重要的应用。
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法埃尔米特插值法是一种利用已知数据点构建插值函数的方法，它可以通过给定的数据点来预测未知数据点的值。
这种方法是由德国数学家埃尔米特在19世纪末发明的，因此得名。
埃尔米特插值法的基本思想是利用已知数据点和其导数来构造一个多项式函数，该函数可以完美地通过这些数据点，并在每个点处具有相同的导数。
这样，就可以使用该多项式函数来计算任意位置处的函数值和导数。
具体而言，假设我们有n个数据点(xi,yi)，其中i=0,1,…,n-1。
我们还假设我们已经知道了每个数据点处的导数yi'。
那么，我们可以通过以下方式构造一个n次多项式函数p(x)：p(x) = Σ[i=0,n-1] Li(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Li(x)和Mi(x)分别为拉格朗日插值基函数和埃尔米特插值基函数。
拉格朗日插值基函数Li(x)定义为：Li(x) = Π[j=0,j≠i,n-1] (x-xj)/(xi-xj)而埃尔米特插值基函数Mi(x)定义为：Mi(x) = [1-2(xi-x)/hi]L^2i(x) + (x-xi)/hi L'i(x)其中hi为第i个数据点的步长，即xi+1-xi，L'i(x)为Li(x)的一阶导数。
使用这些基函数，我们可以计算任意位置x处的函数值p(x)。
此外，我们还可以通过求导来计算p(x)在任意位置x处的导数。
具体而言，p(x)在位置x处的导数可以表示为：p'(x) = Σ[i=0,n-1] Mi'(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Mi'(x)为Mi(x)的一阶导数。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常不知道每个数据点处的精确导数值。
因此，我们需要根据已知数据点推断出这些导数值。
一种常见的方法是使用差分逼近法来估计数据点处的导数值。
总之，埃尔米特插值法是一个强大而灵活的插值方法，它可以用于各种不同类型的数据集，并且能够提供高精度和高效率的预测结果。
埃尔米特插值
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
6、Hermite插值余项 、 插值余项
定理 若 f ( x) 在插值区间 [a, b] 内有 2n + 2 阶导数 f (2 n + 2) ( x) ， 则对于任何 x ∈ [a, b] ，Hermite插值问题（a）、（b）的 余项为
则有
g ( x) = f ( x) − H ( x) − k ( x)[π ( x)]2 = R( x) − R ( x) = 0
g ( xi ) = 0(i = 0,1,L , n)
又由插值条件（ ） 得 又由插值条件（b）,得
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
可知 g (t ) 在区间 [a, b] 上有 n + 1 个二重零点xi (i 零点 x i 。
若已知函数 f ( x) 在插值区间 [a, b]上 n + 1个 互异的节点
x0 ,L , xn 处的函数值 f ( xi ) = f i及一阶导数值 f '( xi ) = f 'i
(i = 0,1,L , n)，求插值函数 H ( x) 满足条件：
（a） H ( x)是一个次数不超过 2n + 1次的多项式； （b）
将上式与定理中要证明的（ ）进行比较， 将上式与定理中要证明的（*）进行比较，可知只需证明
先将
的定值， x 看作不同于 xi 的定值，作辅助函数
f (ξ ) k ( x) = (2n + 2)!
(2 n + 2)
g (t ) = f (t ) − H (t ) − k ( x)[π (t )]2 ,
埃尔米特插值多项式
埃尔米特插值多项式简介埃尔米特插值多项式（Hermite Interpolation Polynomial）是一种常用的插值方法，用于通过给定的数据点集合来计算一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。
本文档将介绍埃尔米特插值多项式的原理、计算过程和应用。
基本原理埃尔米特插值多项式的基本思想是通过插值条件来求解多项式的系数。
给定数据点集合和对应的函数值和导数值，目标是找到一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。
首先，对于每一个给定的数据点，我们需要求解一个插值多项式。
插值多项式的次数应该比给定数据点的个数少 1。
例如，给定数据点集合{ (x0, f0, f'0), (x1, f1, f'1), ... , (xn, fn, f'n) }，我们需要找到一个次数为n的多项式H(x)。
对于每一个数据点(xi, fi, f'i)，插值多项式H(x)满足以下条件：1.H(xi) = fi，即多项式在数据点上与函数值完全匹配2.H'(xi) = f'i，即多项式在数据点上与导数值完全匹配根据这两个条件，我们可以构建一个n+1次的多项式，满足上述条件。
计算过程下面是埃尔米特插值多项式的计算过程：1.根据给定的数据点集合，构建一个空的多项式，初始阶次为 0，即H(x) = a02.对于每一个数据点(xi, fi, f'i)：–计算多项式的阶次n，并更新多项式的阶次为n+1–求解f'i的差商f'i / (xi - x0)，记为f'i / (x[i]-x0)–更新多项式的系数a，使得H(x) = H(x) + a * (x - x0)^i–更新多项式H(x)的阶次为n3.返回多项式H(x)应用埃尔米特插值多项式在实际应用中具有广泛的用途，包括但不限于以下领域：1.数值计算和近似：埃尔米特插值多项式可以用于通过已知的函数值和导数值来近似计算未知的函数值，用于求解数值问题。
五次hermite曲线在电缆路径设计中的应用研究
五次hermite曲线在电缆路径设计中的应用研究
Hermite曲线是特别适合用于路径设计的曲线，它可以产生连续、平滑、单调递增和可优
化的贝塞尔曲线，这样就可以满足电缆布线路径设计中的多种要求。
首先，Hermite曲线具有严格的可优化性能，它可以完全控制当前的速度，加速度，适应
平面的特定区域，并且也可以很容易地实现特定的曲线特征，提供令人满意的路径起终点。
几何曲线方程能够反映出电缆运动路径的每一个细节，杜绝出现拐弯超过90°度现象，从
而降低路径设计的难度，使得设计流程更加简单。
此外，Hermite曲线的创建过程也很容易。
它提供了一组更容易理解和实现的计算方法，
能够根据特定的起终点封装一个曲线的线性和二次有限的组合。
最后，由于Hermite曲线的控制点可以改变曲线的形状，使用该曲线可以最大程度地减少电缆布线任务中的路径设计时间，从而节省了成本和人力等可见成本。
总而言之，五次Hermite曲线能够在电缆布线任务中发挥很强的优势，能够提高效率，节省成本。
这就是五次Hermite曲线在电缆路径设计中的应用研究。
埃尔米特插值函数在公路平面线形设计中的应用
3) 各节点支距按 ( 6) 式计算, 计算结果如下。
2) 利用埃尔米特插值函数拟合的 曲线最小 半径 Rm in满
足规范 要 求,
且 除顶 点 外 有 Ri & 3
Ai&
R i,
因而 满 足 设 计
表 3 三次样条函数拟合曲线上各点支距计算结果
要求。
x
50
70
90 100 110 130
150
y 10 10 19 32 27 35 30 54 33 02 36 02 36 89
应用于公路 平面 线形设 计中, 但 在对 线形设 计过 程中, 计 算量大, 应用 不便。在 该线 形设 计中, 笔 者研 究发 现, 如 以埃尔米特插值 函数 对线形 进行 拟合 设计, 可 以达到 同样 的目的, 且计算过程更 为简便。
下面是该 曲线段中线实测 资料 (为 计算 方便, 以曲 线两 端点的连线方 向为 x轴, 以连线的法向为 y 轴 )。
= f ( x 0 ) + ( x - x0 ) f [ x0, x1 ] + ( x - x0 ) ( x - x 1 )
f [ x0, x1, x 2 ] + A ( x - x0 ) ( x - x1 ) ( x - x 2 )
( 1)
式中: A 为待定系 数, f [ x0, x1 ]、 f [ x 0, x 1, x2 ] 分
别为牛顿一阶差 商、二阶 差商。显 然由 ( 式确定的 H ( x )满
足 H ( xi ) = f ( xi ) ( i= 0, 1, 2), A 可由 H ∃( x0 ) = f∃( x 0 ) 确 定。为此对 ( 1) 式两边求导得
H ∃( x ) = f [ x0, x1 ] + ( x - x1 ) f [ x0, x1, x2 ] + ( x - x0 )
牛顿形式的埃尔米特插值多项式
期末论文课程名称：数值分析院系名称：巢湖学院数学系所在班级：11级数本（2）班学生学号：11020170学生姓名：张秀丽目录【题目】：牛顿形式的埃尔米特插值多项式【摘要】：......................................................... 【关键词】：..........................................................【正文】：一、引言二、重节点均差与泰勒插值三、埃尔米特插值典例四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域【结束语】：......................................................... 【参考文献】：..........................................................牛顿形式的埃尔米特插值多项式【摘要】：在了解了插值法以后，陆续的又接触和学习到多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值多项式等，但在有些实际问题中，仍需要其它要求，下面又给出有关牛顿的埃尔米特插值的内容。
【关键词】：重节点均差、泰勒插值、泰勒插值多项式、埃尔米特插值。
【正文】：一、引言插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。
早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘绰将等距节点二次插值应用于天文计算。
但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。
近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。
在插值法的提出后我们了解了多项式插值；应用各种不同的方法对给定的插值点为求得形如01()...n n P x a a x a x =+++的插值多项式我们得到了线性插值与抛物线插值；把线性插值与抛物线插值推广到一般情形，通过讨论如何构造通过n+1个节点01...n x x x <<<的n 次插值多项式()n L x ，我们定义了n 次插值基函数从而得到了拉格朗日插值多项式：()()nn k k k o L x y l x ==å。
§ 6 埃尔米特插值
ϕ (t ) = f (t ) − P (t ) − k ( x)(t − x 0 )(t − x1 ) 2 (t − x 2 ).
且 ϕ ′( x1 ) = 0, ϕ ( x) = 0 ， 故 ϕ (t ) 在 ( a, b) 内有 5 个零点 （重 显然 ϕ ( x j ) = 0( j = 0, 1, 2) 。 根算两个） 。反复应用罗尔定理，得 ϕ
( j = 0, 1, L , n )
求解的思想： 这里给出了 2n + 2 个条件，可唯一确定一个次数不超过 2n + 1 的多项式
H 2 n+1 ( x) = H ( x) ，其形式为
H 2 n +1 ( x ) = a 0 + a1 x + L + a 2 n +1 x 2 n +1 ，
如根据上面的条件来确定 2n + 2 个系数 a 0 , a1 , L , a 2 n +1 ，显然非常复杂，因此，我们仍采 用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。 先求插值基函数 α j ( x) 及 β j ( x )( j = 0, 1, L , n) ，共有 2n + 2 个，每一个基函数都是
P( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x 2 ]( x − x0 )( x − x 2 )
+ A( x − x 0 )( x − x1 )( x − x 2 ),
其中 A 为待定常数，可由条件 P ′( x1 ) = f ′( x1 ) 确定，通过计算可得
α k ( xk ) = 1, α k ( xk +1 ) = 0,
有理三次三角Hermite插值样条曲线及其应用
π 2 （4），得：TH（i t）=
a
3
cos
π
2
t，a
3
sin
π
2
t
，它表示星形线，如图 5
所示，图中实线对应 t∈[0，1]，虚线对应 t∈[1，4]。
（4）令 qi=qi+1=（0，0），qi+2=（πa，0），qi+3=（0，-πa）（a≠0）及
摘 要：给出一种有理三次三角 Hermite 插值样条曲线，具有三次 Hermite 插值样条相似的性质。该样条含有三角函数和形状参
2
数，利用形状参数的不同取值可以调控插值曲线的形状，甚至不用解方程组，就能使曲线达到 C 连续。此外，选择合适的控制点和 形状参数，这种样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线。 关键词：三次插值样条；有理三次三角插值样条；超越曲线；星形线；四叶玫瑰线 DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.05.003 文章编号：1002－8331（2010）05-0007-03 文献标识码：A 中图分类号：TP391
π 2 （2）令 qi=qi+2=（a，a），qi+1=（0，0），qi+3=
-
πa 2
，0
（a≠0），及
π 2 μi=μi+1，代入式（4），得 TH（i t）=
a cos π 2
t，a
3
cos
π
2
t
，它表示一
条三次抛物线，如图 4 所示。
图 3 椭;2=（a，0），qi+1=qi+3=（0，a）（a≠0）及 μi=μi+1，代入式
XIE Jin，TAN Jie-qing，LI Sheng-feng，et al.Rational cubic trigonometric Hermite interpolation spline curves and appli－ puter Engineering and Applications，2010，46（5）：7-9.
一种显式﹢Hermite﹢曲线插值方法
一种显式﹢Hermite﹢曲线插值方法I. 引言- 研究背景和意义- 研究目的和内容- 国内外研究现状和不足II. Hermite曲线的概念及其性质- Hermite曲线的定义和一般形式- 一阶导数和二阶导数连续的Hermite曲线- 参数曲线形式下Hermite曲线性质的讨论III. 显式Hermite曲线的构造方法- 基于参数曲线形式的显式Hermite曲线构造方法- 对参数方程中的函数进行插值构造显式Hermite曲线IV. 插值误差分析和控制- 插值误差的定义和表达式- 插值误差分析方法- 插值误差控制方法V. 数值实验和应用- 数值实验的设计和分析- 应用场景和实际效果演示- 结果分析和对比VI. 结论和展望- 研究成果总结- 存在问题和展望- 进一步研究方向注意：此提纲仅为参考，实际写作中可根据情况作出适当调整。
I. 引言在科学计算、工程设计等领域中，曲线的插值构造是一项基本工作。
Hermite曲线是一种常见的曲线形式，它以一定的精度来描述实际曲线的广泛活动。
相比其他曲线插值方法，Hermite曲线能更准确地描述曲线的斜率和曲率变化，因此在机器人技术、计算机图形学、计算机辅助设计等领域得到了广泛应用。
在Hermite曲线的基础上，显式Hermite曲线插值方法是一种新兴的变形方法。
相较于显式曲线插值方法，显式Hermite曲线插值方法通过构造参数函数表达式来明确表达曲线形式，使得插值结果更具可视化性，插值误差更小。
而且，显式Hermite曲线插值方法可实现高速计算，为曲线计算和模拟提供了更加便捷的解决方案。
本论文将综述Hermite曲线及其性质，提出显式Hermite曲线的构造方法，并对插值误差进行分析与控制。
进而进行数值实验和应用分析，探讨显式Hermite曲线分别在机器人技术、计算机图形学和计算机辅助设计等领域的应用实践。
本章将首先介绍Hermite曲线的概念及其性质，为下文的显式Hermite曲线插值方法打下基础。
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H 1 ( x ) = 10 10 + 0 4088( x - 50) - 0 002818( x - 50 ) ( x - 100) 0 0000171 ( x - 50) ( x - 100) ( x - 150)
(4) 同 样可 建立 x) [ 150, 250] 段 的埃 尔米 特插 值函 数为 :
别为牛顿一阶差 商、二阶 差商。显 然由 ( 式确定的 H ( x )满
足 H ( xi ) = f ( xi ) ( i= 0, 1, 2), A 可由 H ∃( x0 ) = f∃( x 0 ) 确 定。为此对 ( 1) 式两边求导得
H ∃( x ) = f [ x0, x1 ] + ( x - x1 ) f [ x0, x1, x2 ] + ( x - x0 )
2) 各节点支距按 ( 4)、 ( 5) 式计算。计算结果如下。
表 2 拟合曲线上各点支距计算结果
x
50
70
90 100 110 130 150
y 10 10 20 79 27 99 30 54 32 53 35 22 36 89
x
150 170 190 200 210 230 250
y 36 89 36 06 33 34 30 54 27 17 19 15 10 10
f [ x0, x1, x 2 ] + A [ ( x - x 1 ) ( x - x2 ) + ( x - x0 ) ( x - x 2 )
+ ( x - x0 ) ( x - x 1 ) ]
( 2)
令 x = x0, 并利用插值条件 H ∃( x0 ) = f∃( x 0 ) , 得 到
f∃( x0 ) = f[ x 0, x1 ] + ( x0 - x1 ) f [ x0, x1, x 2 ]
于是得到:
+ A (x0 - x1) (x0 - x2)
A = f∃( x0 ) - f [ x0, x1 ] - ( x 0 - x1 ) f [ x0, x 1, x 2 ] ( 3) ( x0 - x 1 ) ( x0 - x2 )
3 设计方法及结果分析
3 1 建立 公路平面线形设计的埃尔米特插值函数
3) 在研 究中, 由 于未找到以埃尔米特插值函 数设计公 路平曲线的 相关文 献, 因而, 本文论 述的 设计方 法还 有待 更多的工程实例 的验证, 以及深入的研究。
- 2 495 + 10- 5 ( 250 - x ) 3 + 0 6732( 250 - x ) + 0 2020( x - 200), x ) [ 200, 250]
( 8)
2) 各 点的 曲率 半径 R ∗
1 - 0 0001495 + 50
=
133 60m, 满足路线设计规范 [8] 的要求。
4 结束语
1) 利用三次埃尔米特插值函数 对公路平曲线进行设计, 其拟合曲线光滑, 能满足路线设计要求。其最小曲率半径、节 点支距的计算结果与三次样条函数的设计结果接近。
2) 以三次埃尔米特插值函数对公路平面线形 曲线进行 拟合, 其表 达式 计 算过 程简 便, 易 为 工 程技 术 人员 掌 握, 因而值得在实际 工作中应用和推广。
2 埃尔米特插值函数曲线拟合的数学模型
2 1 埃 尔米特插值函数 [ 6] 设 函数 y = f( x ) 在区间 [ a, b ] 上有 定 义, 且 已知 它
在 n + 1个 互 异点 a& x0 < x1 < ∋ < x n & b 上的 函 数 值 y0, y 1, ∋ , yn, 若存在一 个次 数不 超过 n 次 的多 项式 H n ( x ) = a0 + a1x + a2x 2 + ∋ + an xn ( 其 中 ai 为实 数 ), 满足 条 件 H n ( x i ) = y i, 则称为 n 次代数 插 值问 题。但 是 这种 插值 问 题 往往不能全 面反映被 插值函数 f ( x )的 性态, 还要 求插值
应用于公路 平面 线形设 计中, 但 在对 线形设 计过 程中, 计 算量大, 应用 不便。在 该线 形设 计中, 笔 者研 究发 现, 如 以埃尔米特插值 函数 对线形 进行 拟合 设计, 可 以达到 同样 的目的, 且计算过程更 为简便。
下面是该 曲线段中线实测 资料 (为 计算 方便, 以曲 线两 端点的连线方 向为 x轴, 以连线的法向为 y 轴 )。
线形设计 工作参考。
关键词 公路; 平面线形; 设计; 埃尔米特插值函数
中图分类号 O241 5
文献标 识码 A
文章编号 1009 2307( 2007) 03 0149 02
1 引言
某公路的 技术标准 为山 重区 四级公 路, 拟改 建为 山重 区二级公路, 其 中有 一曲线 段地 处平 微区, 路 基宽度 已达 到山重区二级 公路标准, 如按传统 的 ! 直 线型 ∀ 或 称 ! 导 线型 ∀ 设计法 [ 1] (即首先 设置直 线, 然 后用曲 线连接 的设计 方法 [ 2] ) 对线形进行设 计, 则设 计中线偏 离原 路基中 线较 大, 原路 基 大 部分 不 能 利 用, 而 利 用 三 次 样 条 函数 拟 合 法 [ 3 5] 对线形设计, 则解决了这一问 题。三次样条 函数广泛
x
150 170 190 200 210 230
250
y 36 89 36 02 33 02 30 54 27 35 19 32 10 10
从上述计 算结果看, 两种设计方法计算结果接近。 3 3 2 计算结果比较
1) 一阶导数值、曲率半径值比较 将 ( 4)、 ( 5)、 ( 8) 式求一 阶、二阶导数, 得 到各节点 一阶导数、曲率半径、缓和曲线 参数值如表 4。
2) 求解 A 曲线端点有 f∃( x0 ) = tan24#54∃2 62%= 0 4642, 即端点
15 0
测绘科学
第 32卷
处的一 阶导 数为 直线 段的 斜率。根 据 ( 3) 式计 算得 到: A
= 0 0000171。 3) 建立公路平面线形设计的埃尔米特插值函数 根据 ( 1) 式可建立公 路平面 线形设 计的埃 尔米特 插值
已知 x 0、 x1、 x2 为中线一 系列 坐标 点 [ a, b ] 上 3个 互异的节点, 函数 y = f ( x )在 [ a, b] 上具有连续的四阶导
数, 由于曲线起 讫点 与直线 相连, 因 而要 求的插 值函 数满
足插值条件 H ( xi ) = f ( xi ) ( i= 0, 1, 2) 以及 H ∃( x0 ) = f∃ ( x0 ) 。
= f ( x 0 ) + ( x - x0 ) f [ x0, x1 ] + ( x - x0 ) ( x - x 1 )
f [ x0, x1, x 2 ] + A ( x - x0 ) ( x - x1 ) ( x - x 2 )
( 1)
式中: A 为待定系 数, f [ x0, x1 ]、 f [ x 0, x 1, x2 ] 分
值 也相等, 这 样的插值函 数能更好 地逼近函数 f (x), 这种
插 值问题称为 埃尔米特 插值 问题 , H n ( x)称为 埃 尔米 特插 值 函数。
2 2 公路 平面线形设计的埃尔米特插值函数 根据上述埃 尔米特 插值 函数的 定义 及其 特点, 可 用三
次埃尔米特插值 多项式进行公路平面线形的设计。
作者简 介: 文 畅 平 ( 1965 ), 男, 湖 南 邵阳人, 高级 工程师, 建筑与 土木 工程 硕士, 从事路基路 面工 程和道 路勘 测设 计的教学和科研工作。 E m a i:l urbanwen@ 163 com
收稿日期: 2006 05 26
函 数与被插值 函数在某 些节点或全 部节点上与 f( x)的导数
Ri =
[ 1+
(H ∃(
xi )
)2
]
Байду номын сангаас
3 2
H%(xi )
( 6)
最小曲率 半径按 ( 7) 式计算。
Rm in =
1 H % ( xi )
( 7)
经计算拟合曲线 曲率半径
R∗
1 - 0 005636+ 0 0000171( 6 + 50- 600)
= 92 88m,
满足路线设计规 范 [ 8]的要求。
1) 求解一阶、二阶差商 f [ x0, x 1 ], f [ x0, x 1, x2 ]
根据表 1的数据, 取 x 0、 x1、 x2 分别为 50、 100、 150, 对应的 f ( x i ) 分别 为 10 10、 30 54、 36 89。得 到一 阶、二 阶 差 商, 分 别 为: f [ x0, x1 ] = 0 4088、 f [ x 0, x 1, x2 ] = - 0 002818。
3) 各节点支距按 ( 6) 式计算, 计算结果如下。
2) 利用埃尔米特插值函数拟合的 曲线最小 半径 Rm in满
足规范 要 求,
且 除顶 点 外 有 Ri & 3
Ai&
R i,
因而 满 足 设 计
表 3 三次样条函数拟合曲线上各点支距计算结果
要求。
x
50
70
90 100 110 130
150
y 10 10 19 32 27 35 30 54 33 02 36 02 36 89
表 1 某公路曲线段中线实测坐标
x
50
100
150
200
250
y
10 10
30 54