基于高振荡函数的数值积分
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
２ ０７ Ｏ ｒ
Ｎ０ ２ ．
基 于 高振 荡 函数 的数 值 积 分
赵 海清 周永雄 ，
（ 广东海洋大学理学院， 广东 湛江 ５４ ８ ） ２０８
摘
要： 对高振荡积分而言 ， 渐近方 法只是在求 积区间没有驻 点时是有效求 积方法 ． 本文将这种方法 推广到 出现驻 点的情
形， 数值实验也显示 了这种方法 的有效性 ． 关键词 ： 渐近 ； 高振荡 函数 ； 数值积分
，
定义 ２ １ 对给定的 ｓ∈ 口， ． 我们定义混合渐近方法为
门一 骞 ） ＝ 南
）ｓ ） ＋１ 南 － ） ｅ
显然 ， 这里构造的 Ｇ ） （ 要使得 ｛ ） 口 ａ ｂ ． ５ ∈ ，］ （ 定义 ２２ 我们将被积 函数 中含有 一ｅＧ ． Ｍ 因子的积分式称为导 出项 ． ｈ
维普资讯
２Ｏ Ｏ７年
第２ 期
青海师范大学学报（ 然科 学版 ） 自 Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｝ｉ ｏｍｌ ｎｖｒ ｔ（ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｌ ｌ ｒ ａ Ｕ ｉ ｓｙ Ｎ ｔ ｉ ｃ ） ｎ Ｑ １ａＮ ｇ ｅｉ ｕ Ｓｅ ａ
维普资讯
第２ 期
赵海清 ， 周永雄 ： 基于高振荡函数 的数值积分
１ ３
注到 ＝ 意
＝
＝ ＿ 别㈤＝１显 ∈ 秽 １ ＇ 若 雨 ， ） 然
时 较 的 合令｛ ） 和／有 好 拟 ・： ＝ （ ｅ ， （１ 可 成 ）ｈ ｇ ５ １ ） 是２） 写 Ｊ （ 一 于 ・式 ａ
另外 ， 如果 引入 调 和分析 中 Ｖ ｎ ｅ ｏｐ ｔ ａ ｄ ｒ ｒｕ 引理 的一个推 论 ： Ｃ
引理【２１ 设厂 ． 和ｇ 口 ６ 上的实值光滑函数 ， 是［ ， ］ 并且存在 ｒ １ 使得 Ｉ ‘（ Ｉ ＞０ ） ≥ ｇ 在 ∈ ［ ，］ ａ ｂ 上成立 ， ｒ＝ １ 另设 ｇ 单调 ， ： 在 时， 则
ｆ ｃ ） ［６ ｒ／ ） 】 ：） ） （ ） （ Ｉ ， 厂 （ （ 彻 ｒ ＋ Ｉ
定理 ２ １ 对任意的光滑函数 厂和 ｇ ｇ 在［ ，］ ． ， 口 ６ 上不变号 ， 并且存在 ＞０ ｒ １ ， 使得 Ｉ ‘（ ） ｇ Ｉ 在 ∈ （ ，） 口 ６ 上成立 ． 取 （ 恒正或恒负并且与 ｇ 保持同号 ， ： ） 则
－ 口． ） ）
（） １ ． １
， 一 南 ｛ －（一 ］耋 ＝ ［６ ，） ］
关于此 方法 的渐近 收敛性 有
定理ｎ１２ 对任意的光滑 函数 厂 ． 和ｇ有 ： ［ 一， 口０ 叫 ）叫一 ∞． 力 ［ 门 （ ，
从定 理 １２中可 以看 出 ， 法 的求 积精 度 随振荡 的加 剧迅 速提 高 ． ． 方 然而当 ［ ］ 在 被积区 间上 出现奇点 时， ｇ（ ） 虽然 经过许多作者 如 Ｉｖ ［， ｅｅ［ 】Ｉ ｒｓ ＿ ｉ ２ Ｉ ｒｓ ， ｅ ｅ 和 ， ｎ 】 ｓｌ ３ ｓｌ ｅ Ｎ ｒ ｔ 的诸 多努 力 ， 实际 上仍 然缺 乏有效手 段 ， 文尝 试解决 这一 问题 ． ｃｓ ｔ ｅｈ 但 本
１ 混合渐近方法
本文针对［ 在被积区间上出现奇点时作分部积分法 ， ｇ（ ） 所不同的是 ， 用的是“ 绕过 ” 奇点 的一 点技巧 ． 我们将会看到 ， 这样导出的式子分两部分 ： 渐近部分和导出部分 ． 因为导 出部分 的计算精度高 ， 故在实际中也应可行 ． 具体的求积步骤如下： （） １ 不妨设 ｇ 在 ［ ｂ 上不 变号 ， ｏ， ］ 否则 可将 ［ ｂ 划分 为一些使 得 ｇ 不 变号 的小 区间 ． ｏ， ］ （） ２ 分部积分 的第一 阶段 ． ｇ ｘ ＝ 。 ） ： ， 设 （ ） （ ＋ （ 若取 ： 恒正和恒负并与 ｇ 保持同号 ， ） （ ） 则
定 ｎ ． 令ｒ］） ，）＋］） 丢 理 １ ｄ （ ＝（，。 （ ＝ １ ０ ［ ［ 厂 ，
，＝， 则 ∞ ，： ０， 当 一∞ １ … 有
］耋 ｛ 。 口 由 一
定义 ［ １１ 对给 定 的 ｎ∈ 口， 义 渐近方 法为 ： １ ． 定
－ 口． ） ）
中图分类号： ２ １６ ０ ４ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ １ ５２ ２０ １２ ０２—０ １０ —７４ （０ ７０ —０ １ ３
求高振荡型函 数的数值积分 ， ］： １（） ［ 厂 ．ｚｅ ｄ， ０ 在科学和工程计算中是常见的， 厂 ｘ叫 １ 如果
［ ］ 在被积区间上没有 出现奇点时， ｇ（ ） 可以通过反复作分部积分处理 ．
可应用分部积分法
＝
） ＋
圳
＝
ｅ （ ｄ ｉ ｘ ｅ ￣ｌ ）
：
一
嚣 ｛ ｅ 躺
ｅ 】 【 】） ｅ Ｈ
（ ．） ２ １
收 稿 日期 （０７—０ ２０ ４—１ ０
作者简介： ￣
（７一， （ １ ９ ）男 汉族 ）四川南充 人， ９ ， 理学硕士 ， ， 助教 研究方 向： 数理统计与应用
｛）） Ｊｆ（（ ）ｊ）ｘ（ ｆ ￣ ）） ＋（Ｍｉ ５ 一Ｉ ｆ ｆ ｅｅ） （ ｆ５ ｆ ｅ￣ （ ｘ ）
， 这可导出所
其中 Ｍ 为一绝对值较大的常数并与 Ｇ ） （ 的符合相反 ， 一般地取 １ Ｉ Ｉ Ｉ 口 Ｍ 口 谓 的混合渐 近方 法 ．
引入记号： ｆ （ ｒ［］ ）＝厂 ｛ ） ｆ （ ［ ） （ ， ＝ １２… （） （ ， ［］ ５ ＋ ）＝ 门（ ｛ ） ５ ，， 其中 ｖＩ］ ｋｆ（ ｄ 门 （）｜＝ １２ …． ＇ ）＝ ［ ｉ ，， 有了这些准备 ， ｝ 就可给出如下定义：
２ ０７ Ｏ ｒ
Ｎ０ ２ ．
基 于 高振 荡 函数 的数 值 积 分
赵 海清 周永雄 ，
（ 广东海洋大学理学院， 广东 湛江 ５４ ８ ） ２０８
摘
要： 对高振荡积分而言 ， 渐近方 法只是在求 积区间没有驻 点时是有效求 积方法 ． 本文将这种方法 推广到 出现驻 点的情
形， 数值实验也显示 了这种方法 的有效性 ． 关键词 ： 渐近 ； 高振荡 函数 ； 数值积分
，
定义 ２ １ 对给定的 ｓ∈ 口， ． 我们定义混合渐近方法为
门一 骞 ） ＝ 南
）ｓ ） ＋１ 南 － ） ｅ
显然 ， 这里构造的 Ｇ ） （ 要使得 ｛ ） 口 ａ ｂ ． ５ ∈ ，］ （ 定义 ２２ 我们将被积 函数 中含有 一ｅＧ ． Ｍ 因子的积分式称为导 出项 ． ｈ
维普资讯
２Ｏ Ｏ７年
第２ 期
青海师范大学学报（ 然科 学版 ） 自 Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｝ｉ ｏｍｌ ｎｖｒ ｔ（ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｌ ｌ ｒ ａ Ｕ ｉ ｓｙ Ｎ ｔ ｉ ｃ ） ｎ Ｑ １ａＮ ｇ ｅｉ ｕ Ｓｅ ａ
维普资讯
第２ 期
赵海清 ， 周永雄 ： 基于高振荡函数 的数值积分
１ ３
注到 ＝ 意
＝
＝ ＿ 别㈤＝１显 ∈ 秽 １ ＇ 若 雨 ， ） 然
时 较 的 合令｛ ） 和／有 好 拟 ・： ＝ （ ｅ ， （１ 可 成 ）ｈ ｇ ５ １ ） 是２） 写 Ｊ （ 一 于 ・式 ａ
另外 ， 如果 引入 调 和分析 中 Ｖ ｎ ｅ ｏｐ ｔ ａ ｄ ｒ ｒｕ 引理 的一个推 论 ： Ｃ
引理【２１ 设厂 ． 和ｇ 口 ６ 上的实值光滑函数 ， 是［ ， ］ 并且存在 ｒ １ 使得 Ｉ ‘（ Ｉ ＞０ ） ≥ ｇ 在 ∈ ［ ，］ ａ ｂ 上成立 ， ｒ＝ １ 另设 ｇ 单调 ， ： 在 时， 则
ｆ ｃ ） ［６ ｒ／ ） 】 ：） ） （ ） （ Ｉ ， 厂 （ （ 彻 ｒ ＋ Ｉ
定理 ２ １ 对任意的光滑函数 厂和 ｇ ｇ 在［ ，］ ． ， 口 ６ 上不变号 ， 并且存在 ＞０ ｒ １ ， 使得 Ｉ ‘（ ） ｇ Ｉ 在 ∈ （ ，） 口 ６ 上成立 ． 取 （ 恒正或恒负并且与 ｇ 保持同号 ， ： ） 则
－ 口． ） ）
（） １ ． １
， 一 南 ｛ －（一 ］耋 ＝ ［６ ，） ］
关于此 方法 的渐近 收敛性 有
定理ｎ１２ 对任意的光滑 函数 厂 ． 和ｇ有 ： ［ 一， 口０ 叫 ）叫一 ∞． 力 ［ 门 （ ，
从定 理 １２中可 以看 出 ， 法 的求 积精 度 随振荡 的加 剧迅 速提 高 ． ． 方 然而当 ［ ］ 在 被积区 间上 出现奇点 时， ｇ（ ） 虽然 经过许多作者 如 Ｉｖ ［， ｅｅ［ 】Ｉ ｒｓ ＿ ｉ ２ Ｉ ｒｓ ， ｅ ｅ 和 ， ｎ 】 ｓｌ ３ ｓｌ ｅ Ｎ ｒ ｔ 的诸 多努 力 ， 实际 上仍 然缺 乏有效手 段 ， 文尝 试解决 这一 问题 ． ｃｓ ｔ ｅｈ 但 本
１ 混合渐近方法
本文针对［ 在被积区间上出现奇点时作分部积分法 ， ｇ（ ） 所不同的是 ， 用的是“ 绕过 ” 奇点 的一 点技巧 ． 我们将会看到 ， 这样导出的式子分两部分 ： 渐近部分和导出部分 ． 因为导 出部分 的计算精度高 ， 故在实际中也应可行 ． 具体的求积步骤如下： （） １ 不妨设 ｇ 在 ［ ｂ 上不 变号 ， ｏ， ］ 否则 可将 ［ ｂ 划分 为一些使 得 ｇ 不 变号 的小 区间 ． ｏ， ］ （） ２ 分部积分 的第一 阶段 ． ｇ ｘ ＝ 。 ） ： ， 设 （ ） （ ＋ （ 若取 ： 恒正和恒负并与 ｇ 保持同号 ， ） （ ） 则
定 ｎ ． 令ｒ］） ，）＋］） 丢 理 １ ｄ （ ＝（，。 （ ＝ １ ０ ［ ［ 厂 ，
，＝， 则 ∞ ，： ０， 当 一∞ １ … 有
］耋 ｛ 。 口 由 一
定义 ［ １１ 对给 定 的 ｎ∈ 口， 义 渐近方 法为 ： １ ． 定
－ 口． ） ）
中图分类号： ２ １６ ０ ４ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ １ ５２ ２０ １２ ０２—０ １０ —７４ （０ ７０ —０ １ ３
求高振荡型函 数的数值积分 ， ］： １（） ［ 厂 ．ｚｅ ｄ， ０ 在科学和工程计算中是常见的， 厂 ｘ叫 １ 如果
［ ］ 在被积区间上没有 出现奇点时， ｇ（ ） 可以通过反复作分部积分处理 ．
可应用分部积分法
＝
） ＋
圳
＝
ｅ （ ｄ ｉ ｘ ｅ ￣ｌ ）
：
一
嚣 ｛ ｅ 躺
ｅ 】 【 】） ｅ Ｈ
（ ．） ２ １
收 稿 日期 （０７—０ ２０ ４—１ ０
作者简介： ￣
（７一， （ １ ９ ）男 汉族 ）四川南充 人， ９ ， 理学硕士 ， ， 助教 研究方 向： 数理统计与应用
｛）） Ｊｆ（（ ）ｊ）ｘ（ ｆ ￣ ）） ＋（Ｍｉ ５ 一Ｉ ｆ ｆ ｅｅ） （ ｆ５ ｆ ｅ￣ （ ｘ ）
， 这可导出所
其中 Ｍ 为一绝对值较大的常数并与 Ｇ ） （ 的符合相反 ， 一般地取 １ Ｉ Ｉ Ｉ 口 Ｍ 口 谓 的混合渐 近方 法 ．
引入记号： ｆ （ ｒ［］ ）＝厂 ｛ ） ｆ （ ［ ） （ ， ＝ １２… （） （ ， ［］ ５ ＋ ）＝ 门（ ｛ ） ５ ，， 其中 ｖＩ］ ｋｆ（ ｄ 门 （）｜＝ １２ …． ＇ ）＝ ［ ｉ ，， 有了这些准备 ， ｝ 就可给出如下定义：