(浙江版)2018年高考一轮复习《第7章不等式与证明》测试题有答案-(数学)
浙江省2018版高考数学一轮复习 专题：07 数列中不等式证明特色训练
七、数列中不等式证明一、解答题1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】（1）；(2)证明过程见解析（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据得，所以.试题解析：（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即.(2)证明：∵，，∴.2．【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列{}n a 满足1210a a +=， 432a a -=． （1）求{}n a 的通项公式．（2）设等比数列{}n b 满足23b a =， 37b a =，问： 6b 与数列{}n a 的第几项相等？ （3）试比较n a 与n b 的大小，并说明理由．【答案】（1）n a 22n =+（2）63n =（3）n n a b ≤试题解析：（1）∵{}n a 是等差数列，1214310210{{22a a a d a a d +=+=⇒-==，∴解出2d =， 14a =， ∴()11n a a d n =+-422n =+-， 22n =+．（2）∵232328b a ==⨯+=，3727216b a ==⨯+=，{}n b 是等比数列，∴1n n b b q -=⨯22n b q -=⨯，12n +=．又∵()61762221n b a n +====+，∴63n =，∴6b 与数列{}n a 的第63项相等．（3）猜想n n a b ≤，即()1212n n ++≤，即12nn +≤，用数学归纳法证明如下：①当1n =时， 1112+=，显然成立，②假设当n k =时， 12k k +≤成立，即120k k +-≤成立； 则当1n k =+时， ()1112k k +++-由①②得，猜想成立． ∴n n a b ≤．3．【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列{}n a 满足()1112,21n n n n a a a na n a ++=+=+，（I ）求证：数列{}1n b -为等比数列，并求{}n a 的通项公式； （II ，数列{}n c 的前n 项和n S ，求证： 2n S n <+. 【答案】（I（II ）证明见解析.试题解析：（I ）由已知易得0n a ≠，由()1121n n n n a a na n a +++=+ 即121n n b b +=+；∴,{}1n b ∴+是以.即数列{}n a 的通项公式为4．【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ， 12a a +，()142a a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2的前n 项和为n s ，求证： 6n s <． 【答案】（1）21n a n =-；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.试题解析：（1）数列{}n a 为等差数列，所以： 2112a a d a =+=+， 41136a a d a =+=+，1a ，因为12a a +， ()142a a +成等比数列，所以： ()()2121142a a a a a +=+，解得： 11a =，所以： 12121n a n n =+-=-（）. （2①-②得：，由于1n ≥，所以：5．【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】其前n 项的和为n S ，(Ⅱ) 证明：1n S n ++<【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.试题解析：（Ⅰ）当2n ≥时，, 112n n n n S S S S ---=，4为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（1）可知，1111111111222312n S n n n ⎛⎫⎛++=-+-++-=- ⎪ +⎝⎭⎝6．【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列满足：，（）.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析试题解析：（Ⅰ）解：，所以是以2为公差的等差数列，，所以，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，.7．【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列{}n a 满足3574,14a a a =+=， {}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a ；n T 为数列{}nb 的前n 项和，求证：【答案】（1）1n a n =+ （2）略解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为3574,14a a a =+=， 所以有1124{21014a d a d +=+=，解得12{1a d ==，所以()211n a n n =+-=+；11n ++--8．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足： 21n n S a =-. （1）数列{}n a 的通项公式； （2，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：【答案】（12）见解析【解析】试题分析：（1）根据当2n ≥时， 1n n n a S S -=-，得到数列{}n a 的递推关系式13n n a a -=，再根据等比数列定义及通项公式求数列{}n a 的通项公式；（2）将数列{}n a 的通再根据大小关系放缩为133n⎛++- ⎝（Ⅱ）证明：22311111111133333333n n n n b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111-<1T < 9．【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式 ；（Ⅱ）化简，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，则 .当时，，综上. （Ⅱ）由.. 得证.10．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知{}n a ， {}n b 分别为等差数列和等比数列， 11a b ≠， {}n b 的前n 项和为n S .的导函数是()'f x ，有()'n a f n =，且11,x a x b ==是函数3265y x x x =-+的零点.（1）求11,a b 的值； （2）若数列{}n a 公差为，且点(),n n P a b ，当*n N ∈时所有点都在指数函数()x h x a =的图象上.请你求出()xh x a =解析式，并证明：【答案】（1（2）见解析试题解析：（1，又()'n a f n =，所以∵()()32653121y x x x x x x =-+=--的零点为，而11,x a x b ==是3265y x x x =-+的零点，又1b 是等比数列的首项，所以10b ≠， 11a b ≠，又123,,,,,n P P P P都在指数函数()xh x a =的图象上，即na n ba =，当*n N ∈时恒成立，因为0n b >，所以当1n =时， n S 有最小值为11．【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列满足，则，且，，，成等比数列.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：….【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）见解析.试卷解析： （Ⅰ）由及，，，成等比数列得，即，解得，，又，所以，，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.（Ⅱ）因为.所以.12．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列{}n a 满足： ()2112n n n n a a a a n --=+≥.n S 为数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求证：对任意正整数n ，有（Ⅱ）的前n 项和为n T ，求证：对任意()0,6M ∈，总存在正整数N ，使得n N >时， n T M >.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.试题解析：∴2n ≥时， ()()112n n n n n a a a a a ---=-+-++12n ⎛++- ⎝当1n =时，n S n≤的前n 项和为当1n =时，结论显然成立.假设n k =时， 则当1n k =+时，由2110k k k k a aa a ++--=，得.以下同解法一.从而112n n n n n a a a a a ---=-+-++当2n ≥时，21a ++=设0N为不小于的最小整数，取01N N =+ (， 当n N >时， n T M >.13．【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a-≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】试题解析：（I ）由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤，故 111222n n n n n a a ++-≤，n *∈N ， 所以11223111223122222222nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121111222n -≤++⋅⋅⋅+ 1<，因此()1122n n a a -≥-．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m nmn n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭11132222mn n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得2n a ≤． ①否则，存在0n *∈N ，有02n a >，取正整数000342log 2n n a m ->且00m n >，则00340002log 23322244n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n *∈N ，均有2n a ≤．14．【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列中，，，其中，．（）当时，求，，的值．（）是否存在实物，使，，构成公差不为的等差数列？证明你的结论．（）当时，证明：存在，使得．【答案】（），，．（）存在，使，，构成公差不为的等差数列．（）证明见解析.（）∵，，成等差数列，∴，即，∴，∴，∴．将，，代入上式，解得．经检验，此时，，的公差不为． ∴存在，使，，构成公差不为的等差数列．（）∵，又，∴令．∵，，，，∴，即．取正整数，则：．故当时，存在,使得．15．【2018届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当1λ=时，求证：（3时，求证：当3n ≥时，【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】试题分析：试题解析： （1）若0λ=，则，即1n n S a +=-，即10n S +=， 则()230,2n S S S n n ====∈N ≥，所以不存在数列{}n a 使得0λ=．（2当2n ≥时，当1n =时，（3）证1当2n ≥时，另一方面，证2所以当3n ≥时，下同证1.16．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列满足，，求证： （I ）； （II ）；（III ）.【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法证明；（2）作差法比较大小；(3) 因为，所以.从而. 即，所以又，故.试题解析： （I ）（数学归纳法） 当时，因为，所以成立.假设当时，成立,则当时，.因为，且得所以也成立.（III）因为，所以.从而.所以，即.所以.又，故.17．【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当时，，满足，假设当（）时，，则当时，，即时，满足；所以，当时，都有．（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证明，即可．当时，．18．【2017浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】已知函数()()()2110x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，且点A 又在函数（Ⅰ）求实数a 的值；有两个不等实根时，求b 的取值范围； （Ⅲ）设()2n ag n =+， *n N ∈，求证，13n b ++<()*n N ∈．【答案】(1) 1a =；(2) b 的取值范围为（3）见解析．又因为A 点在()f x 上，则即 23a +=，∴ 1a =由图像可知： 021b <<，故b 的取值范围为（Ⅲ）21nn a =+，∴123n b b b b +++ *n N ∈． 19．【2017届浙江省ZDB 联盟高三一模】已知数列{}n a 满足的前n 项和为n S ，证明：当*n N ∈时， （1）10n n a a +<<；（2（3【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析法求和得结论试题解析：证明：（1，则1n n a a +≤.若1n n a a +=，则0n a =，与矛盾，从而1n n a a +<， n a>>，1n a +与n a 同号，，则10n a +>，即10n n a a +<<.（3 叠加：1n a a +++≥20．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列{}n a 中， 12a =，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，试求数列{}2n n S S -的最小值；（3）求证：当2n ≥时，【答案】（1）2nn a n =⋅（ 【解析】试题分析：（12，公比为2的等比数列，212n++，利用相邻两项的差得数列{}2n n S S -为单调递增数列，所以最小值为第一项（3）利用（2）中数列分解(2S S ++-．试题解析：解：（1，又12a =，所以2，公比为2的等比数列，因此， 2nn a n =⋅．（3）当2n ≥时， ()()()11221122222n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+1221122n n c c c c S --=+++++，由（2）知12222n n c c c --≥≥≥，21．【2017年浙江卷】已知数列{}n x 满足： ()()*1n n 1n 1x =1x x ln 1x n N ++=++∈， 证明：当*n N ∈时 （I ）n 1n 0x x +＜＜;（II 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++， 构造函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由()1111ln 1n n n n n x x x x x ++++=++≤+及试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明： 0n x >． 当n=1时，x 1=1>0． 假设n=k 时，x k >0，那么n=k+1时，若10k x +≤，则()110ln 10k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>． 因此()*0n x n N >∈．所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>， 因此()*10n n x x n N +<<∈．（Ⅲ）因为()11111ln 12n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，22．【2017年北京卷】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记{}1122max ,,,n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅- ()1,2,3,n =⋅⋅⋅，其中{}12max ,,,s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =， 21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，m ，使得12,,,m m mc c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（1）见解析（2）见解析试题解析：（Ⅰ） 111110,c b a =-=-={}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时， ()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以k k b na -关于*k N ∈单调递减.所以{}112211max ,,,1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-.所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则()()()()12111121111k k b na b k d a k d n b a n d nd k ⎡⎤-=+--+-=-+--⎣⎦.所以()()11212111211,{,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->=-≤当时，当时，①当10d >时，取正整数，则当n m ≥时， 12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时， 12,,,m m m c c c ++是等差数列.③当10d <时， 时，有12nd d <.对任意正数M ，取正整数故当n m ≥时，。
专题07 不等式-2018届浙江省高三数学优质金卷考卷分项(解析版)
第七章 不等式一．基础题组1. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】设不等式组0{ 1 y x y y mx≥+≤≥，所表示的区域面积为()S m R ∈.若1S ≤，则（ ）A. 2m ≤-B. 20m -≤≤C. 02m <≤D. 2m ≥ 【答案】A2. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】实数,x y 满足1{210 0x x y x ky ≤+-≥-≥，若3z x y =+的最小值为1，则正实数k = A. 2 B. 1 C. 12 D. 14【答案】C【解析】由311{1 2x y x k x ky +==⇒=-= ,舍; 由311{2 1 2x y x y k x ky+=+=⇒==作可行域,则直线过点A 12,55⎛⎫⎪⎝⎭取最小值1,满足题意,所以12k =,选C点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 3. 【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】若函数()1f x x在{|14,}x x x R ≤≤∈上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=（ ） A.74 B. 2 C. 94 D. 114【答案】C 【解析】4. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】当0x >时， (0)1ax a x +>+的最小值为3，则实数a 的值为__________. 【答案】4【解析】因为当0x >时， 1111a a x x x x +=++-≥++1-， (0)1a x a x +>+的最小值为3，所以1=3-，可得4a = ，故答案为4.5. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】已知实数,x y 满足不等式组0,{20, 30,x x y x y ≥-≤+-≤则()()2212x y -++的取值范围是A. []1,5B. ⎤⎦C. []5,25D. []5,26【答案】D【解析】【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】若关于x 的不等式()x x a b a R -<∈在[]1,2上恒成立，则实数b 的取值范围是_______. 【答案】2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭()0g x '=，得x =2≥，即4b ≥时， ()g x 在[]1,2上单调递减， ()()min 222b g x g ==+，显然2222b b+>-成立，所以4b ≥1≤，即01b <≤时()g x 在[]1,2上单调递增， ()()min 11g x g b ==+，所以122b b +>-，所以213b <≤；当12<<，即14b <<时， ()g x在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增， ()min g x g ==22b>-，即240+>2>，12b >-14b <<，综上23b >，故答案为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查了绝对值不等式以及导数在不等式恒成立中的应用，属于难题；首先根据绝对值不等式的解法，将其转化为b bx a x x x-<<+在给定区间内恒成立问题，继而可转换为max min b b x a x x x ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别将不等号两边看成两个不同的函数，然后利用导数与0的关系得其单调性，得其最值.7. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】已知ABC ∆的面积为S ，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且2sin C A 成等比数列，2213,218322b a c ac =≤+≤的最小值为 . 【答案】34【解析】试题分析：因为2sin C A 成等比数列，所以sin 2sin cos B C A =，所以22222b c a b c bc+-=⨯，整理得c a =，所以2sin 2b B a ==1sin 2S ac B ==23b a =，所以S =，因为21321822c ac ≤+≤，所以2132181322c ac a ≤+≤⇒≤≤，则()2224121144a a a a a a+-===-++，令()()222212(2)(+1)4(4)a a a f a f a a a a a ---'=⇒=++，因为13a ≤≤，可知当2a =时，()f a 取得最大值，()124f =的最小值为34. 考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出c a =，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到a ，利用导数研究其单调性确定最值即可.8. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为_________． 【答案】16【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.9. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】若x 、y 满足约束条件10{0 40x x y x y -≥-≤+-≤，则1y x-的最大值为 ． 【答案】A考点：线性规划.10. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】若实数,x y 满足1{ 21x y y x -+<≥-，则22x y +的取值范围是（ ）A. 12⎡⎢⎣B. 1,134⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. D. 1,135⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】D【解析】根据实数,x y 满足1{21x y y x -+<≥-，画出可行域如图所示设222(0)x y r r +=>，表示为以原点为圆心，半径为r 的圆由图可得，当圆与直线AB ： 210x y +-=相切时， r 最小，即min r当圆过点()2,3C ， r 最大，即max r ==∵可行域不包含()2,3C∴21135r ≤<，即22x y +的取值范围是1,135⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选D点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】当3,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式242ax bx a x ++≤恒成立，则6a b +的最大值是__________. 【答案】6设()44a f x ax b a x b x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， []44,5x x +∈∵()2f x ≤ ∴242{252a b a b -≤+≤-≤+≤∴()()6425a b a b a b +=-+++∴()()()2226425222a b a b a b -+⨯-≤+=-+++≤+⨯ ∴6a b +的最大值为6 故答案为6.12. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】已知实数0a >， 0b >，11111a b +=++，则2a b +的最小值是（ ）A.3 D. 2【答案】B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第七章数列、推理与证明第1讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1。
数列0，1，0，－1,0，1,0，－1,…的一个通项公式是a n等于（) A。
错误!B。
cos 错误!C.cos 错误!πD.cos 错误!π解析令n＝1，2，3，…,逐一验证四个选项,易得D正确。
答案D2。
数列错误!，－错误!，错误!，－错误!，…的第10项是（)A.－错误!B.－错误!C.－错误!D。
－错误!解析所给数列呈现分数形式,且正负相间，求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子。
很容易归纳出数列｛a n｝的通项公式a n＝(－1)n＋1·错误!,故a10＝－错误!.答案C3。
(2017·绍兴一中检测)在数列｛a n}中，已知a1＝1,a n＋1＝2a n＋1，则其通项公式a n＝( )A.2n－1B.2n－1＋1C.2n－1D.2（n－1)解析法一由a n＋1＝2a n＋1，可求a2＝3，a3＝7,a4＝15，…，验证可知a n＝2n－1。
法二由题意知a n＋1＋1＝2（a n＋1)，∴数列｛a n＋1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2n，∴a n＝2n－1.答案A4.数列{a n｝的前n项积为n2,那么当n≥2时,a n等于（）A。
2n－1 B。
n2C.错误!D。
错误!解析设数列｛a n｝的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝错误!＝错误!。
答案D5。
数列{a n｝满足a n＋1＋a n＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝( ) A.7 B。
6 C.5 D.4解析依题意得(a n＋2＋a n＋1)－(a n＋1＋a n)＝－（2n－3)，即a n＋2－a n ＝2，所以a8－a4＝(a8－a6）＋（a6－a4)＝2＋2＝4。
答案D二、填空题6.若数列{a n}满足关系a n＋1＝1＋错误!，a8＝错误!,则a5＝________.解析借助递推关系，则a8递推依次得到a7＝错误!，a6＝错误!,a5＝错误!.答案错误!7.(2017·绍兴月考）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *),则a 1＝________；a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义第七章数列、推理与证明第5讲Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A.lg(1＋a2)>0B.a2＋b2≥2(a－b－1)C.a2＋3ab>2b2D.ab<a＋1 b＋1解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案 B2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°答案 B3.已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( )A.a>bB.a<bC.a＝bD.a，b大小不定解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.答案 B4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是( )A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0解析由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇐2a 2－ac －c 2＞0⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0.答案 C5.①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.答案 D二、填空题 6.6＋7与22＋5的大小关系为________.解析 要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小， 只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋ 5. 答案 6＋7>22＋ 5 7.用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________.答案 都不能被5整除8.下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的序号是________.解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立.答案 ①③④三、解答题9.若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc 成立.上式两边同时取常用对数，得lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ， ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .10.设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和.(1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列.(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾.综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列.能力提升题组(建议用时：25分钟) 11.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A.A ≤B ≤CB.A ≤C ≤BC.B ≤C ≤AD.C ≤B ≤A 解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 答案 A 12.设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A.都大于2 B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D13.如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________.解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b ).∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0.∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b14.设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy . 证明 由于x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ， 只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得－＝－＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1).因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立.15.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈，证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34＜f (x )≤32. 证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ， 由于x ∈，有1－x 41＋x ≤1x ＋1， 即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32， 所以f (x )≤32. 由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34， 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924＞34， 所以f (x )＞34. 综上，34＜f (x )≤32.。
2018年高三数学课标一轮复习单元质检 七不等式、推理与证明含解析
单元质检七 不等式、推理与证明(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( )A.-3B.1C.-1D.32.(2017北京高考)若x ,y 满足 x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则x+2y 的最大值为( ) A.1 B.3 C.5 D.93.甲、乙两人一起到同一粮店买米,共买了2次,两次的价格分别为a ,b (a ≠b ),甲每次买m kg 的大米,乙每次买m 元钱的大米,甲、乙两人两次买米的平均价格分别为x ,y (平均价格等于购米总金额与购米总数之比),则x ,y 的大小关系是( ) A .x>y B .x<yC .x=yD .与m 的值有关4.(2017浙江温州瑞安调研)已知a>0,b>0,a+b=1a +1b ,则1a +2b 的最小值为( ) A.4B.2 2C.8D.165.(2017山东高考)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1b <b2a<log 2(a+b ) B.b 2a <log 2(a+b )<a+1bC.a+1b <log 2(a+b )<b 2a D.log 2(a+b )<a+1b <b 2a6.(2017浙江超级联考)若实数x ,y 满足不等式组 x -2y +2≥0,x +2y +2≥0,2x -y -1≤0,则2|x+1|+y 的最大值是( )A.143B.193C.4D.17.(2017浙江诸暨一模)若关于x 的不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(-6,+∞)D.(-∞,-6)8.(2017浙江金丽衢十二校二模)设正实数x ,y ,则|x-y|+1x +y 2的最小值为( )A.74B.33 22C.2D. 239.(2017浙江嘉兴一模)已知实数x,y满足x-3≤0,y-1≥0,x-y+1≥0,若ax+y的最大值为10,则实数a=()A.4B.3C.2D.110.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.已知正实数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为,y的取值范围是.12.已知整数x,y满足不等式y≥x,x+y>4,x-2y+8>0,则2x+y的最大值是,x2+y2的最小值是.13.(2017浙江宁波十校联考)已知点A(3,3),O为坐标原点,点P(x,y)满足3x-y≤0,x-3y+2≥0,y≥0,则满足条件的点P所形成的平面区域的面积为,OA·OP|OA|的最大值是.14.(2017浙江金华调研改编)已知不等式|x+1|-|x-3|>a,若不等式有解,则实数a的取值范围为,若不等式的解集为R,则实数a的取值范围为.15.(2017浙江湖州测试)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a为.16.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b4+1的最小值为.17.(2017浙江杭州四校联考)记max{a,b}=a,a≥b,b,a<b,设M=max{|x-y2+4|,|2y2-x+8|},若对一切实数x,y,M≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知f(x)=2xx2+6.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;(2)若对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求实数t的取值范围.19.(15分)设f(x)=11+x ,数列{a n}满足a1=12,a n+1=f(a n),n∈N*.(1)若λ1,λ2为方程f(x)=x的两个不相等的实根,证明:数列a n-λ1a n-λ2为等比数列; (2)证明:存在实数m,使得对任意n∈N*,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.20.(15分)设函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=c|x|+bx+a,对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤12.(1)求|f(2)|的最大值;(2)求证:对任意的x∈[-1,1],都有|g(x)|≤1.21.(15分)(2017浙江台州调研)已知数列{a n}满足:a n>0,a n+1+1<2(n∈N*).n(1)求证:a n+2<a n+1<2(n∈N*);(2)求证:a n>1(n∈N*).22.(15分)(2017浙江五校联考)已知数列{a n}中,满足a1=1,a n+1=a n+1,记S n为数列{a n}的前n项和.(1)证明:a n+1>a n;;(2)证明:a n=cosπ3·2n-1(3)证明:S n >n-27+π254. 答案：1.A 由题意,得集合A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A ∩B={x|-1<x<2}.又由题意知,-1,2为方程x 2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.2.D 如图,画出可行域,z=x+2y 表示斜率为-1的一组平行线,当过点C (3,3)时,目标函数取得最大值z max =3+2×3=9.故选D .3.A 由题意可得x=ma +m b2m=a +b2,y=2mm a +m b=2aba +b .∵a ≠b ,a ,b>0,∴a +b > ab ,2ab<2 ab= ab .∴x>y.故选A .4.B 由a>0,b>0,a+b=1+1=a +b,得ab=1,则1a +2b ≥2 1a ·2b=2 2,当且仅当1a =2b ,即a= 22,b= 2时等号成立.故选B .5.B 因为a>b>0,且ab=1,所以a>1,0<b<1.所以b a <1,log 2(a+b )>log 22 ab =1.所以2a +1b >a+1b >a+b ⇒a+1b>log 2(a+b ).故选B .6.B 题中不等式组表示的可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中A (-2,0),B 43,53 ,C (0,-1),因此当x ≥-1,z=2x+2+y 过点B 时取最大值193;当x<-1,z=-2x-2+y 过点A 时取最大值2;综上2|x+1|+y 的最大值是19.故选B .7.A不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4),令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.8.A∵x>0,y>0,∴|x-y|+1+y2=|x-y|+1+|y2|≥ x-y+1+y2= y-12+ x+1-1≥2-1=7.当且仅当y=1,x=1,即x=1,y=1时取等号.故选A.9.C画出满足条件的平面区域,如图所示.由x=3,x-y+1=0,解得A(3,4),令z=ax+y,因为z的最大值为10,所以直线在y轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10),所以z=ax+y与可行域有交点,当a>0时,直线经过A时z取得最大值.即ax+y=10,将A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.当a≤0时,直线经过A时z取得最大值.即ax+y=10,将A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.与a≤0矛盾,综上a=2.10.D(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.11.8(1,+∞)∵正实数x,y满足x+2y-xy=0,∴x+2y=12×2xy ≤12× x +2y 2 2,化为(x+2y )(x+2y-8)≥0,解得x+2y ≥8,当且仅当y=2,x=4时取等号.则x+2y 的最小值为8.由正实数x ,y 满足x+2y-xy=0,∴x=2yy -1>0, ∴y (y-1)>0,解得y>1.∴y 的取值范围是(1,+∞). 12.24 8 由约束条件 y ≥x ,x +y >4,x -2y +8>0作出可行域如图,由z=2x+y ,得y=-2x+z ,由图可知,当直线y=-2x+z 过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,由x =y ,x -2y +8=0可得 x =8,y =8,所以A 点坐标为(8,8). z 最大值为2×8+8=24.x 2+y 2的最小值是可行域的点B 到原点距离的平方, 由x +y =4,y =x可得B (2,2).可得22+22=8.13. 3 3 不等式组表示的可行域是以B (-2,0),O (0,0),C (1, 3)为顶点的三角形区域(含边界)图略,其面积为1×2× 3= 3.设向量OA 与OP 的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°. 又OA ·OP|OA |=|OP |cos θ,要使OA ·OP|OA |取到最大值,则30°≤θ≤90°,此时0≤cos θ≤32,1≤|OP |≤2,且cos θ取到最大值 32时,|OP |也取到最大值2,故OA ·OP|OA |的最大值为 32×2= 3.14.(-∞,4) (-∞,-4) 由||x+1|-|x-3||≤|x+1-(x-3)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.(1)若不等式有解,则a<4;(2)若不等式的解集为R ,则a<-4.15.-6或4 ∵函数f (x )=|x+1|+2|x-a|,故当a<-1时,f (x )= -3x +2a -1,x <a ,x -2a -1,a ≤x <-1,3x -2a +1,x ≥-1,根据它的最小值为f (a )=-3a+2a-1=5,求得a=-6. 当a=-1时,f (x )=3|x+1|,它的最小值为0,不满足条件. 当a ≥-1时,f (x )= -3x +2a -1,x <-1,-x +2a +1,-1≤x <a ,3x -2a +1,x ≥a ,根据它的最小值为f (a )=a+1=5,求得a=4. 综上可得,a=-6或a=4. 16.4 因为a ,b ∈R ,且ab>0,所以a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥2 4ab ·1ab=4.前一个等号成立条件是a 2=2b 2,后一个等号成立的条件是ab=12,两个等号可以同时取得,则当且仅当a 2= 22,b 2= 24时取等号17.[1- 7,1+ 7] 由题意得,M ≥|x-y 2+4|,M ≥|2y 2-x+8|,两式相加,∴2M ≥|y 2+12|≥12,即M ≥6,当且仅当 x -y 2+4=2y 2-x +8,y =0⇒ x =2,y =0时等号成立,∴m 2-2m ≤6⇒1- 7≤m ≤1+ 7,即实数m 的取值范围是[1- 7,1+ 7]. 18.解(1)f (x )>k ⇔kx 2-2x+6k<0,由已知其解集为{x|x<-3,或x>-2},得x 1=-3,x 2=-2是关于x 的方程kx 2-2x+6k=0的两根,则-2-3=2,解得k=-2. (2)∵x>0,∴f (x )=2xx 2+6=2x +6x≤ 66(当且仅当x= 6时,等号成立), 又已知f (x )≤t 对任意x>0恒成立,∴实数t 的取值范围是 66,+∞ . 19.证明(1)f (x )=x ⇔x 2+x-1=0,∴ λ12+λ1-1=0,λ22+λ2-1=0,∴ 1-λ1=λ12,1-λ2=λ22. ∵a n +1-λ1a n +1-λ2=11+a n -λ111+a -λ2=1-λ1-λ1a n1-λ2-λ2a n=λ12-λ1a n λ22-λ2a n=λ1λ2·a n -λ1a n -λ2,又a 1-λ1a 1-λ2≠0,λ1λ2≠0,∴数列a n -λ1a n -λ2为等比数列.(2)设m=5-12,则f(m)=m.由a1=12及a n+1=11+a n得a2=23,a3=35,a4=58.∴a1<a3<m<a4<a2.下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.①当n=1时,命题成立.②假设当n=k时,命题成立,即a2k-1<a2k+1<m<a2k+2<a2k,由f(x)在区间(0,+∞)上递减,得f(a2k-1)>f(a2k+1)>f(m)>f(a2k+2)>f(a2k),∴a2k>a2k+2>m>a2k+3>a2k+1,由m>a2k+3>a2k+1,得f(m)<f(a2k+3)<f(a2k+1),∴m<a2k+4<a2k+2,∴当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切n∈N*命题成立,即存在实数m,使得对∀n∈N*,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.20.(1)解∵对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤1,|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,∴|c|≤1,|a+b+c|≤1,|a-b+c|≤1;∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|≤|3(a+b+c)|+|(a-b+c)|+|-3c|≤3+1+ 3=7.∴|f(2)|的最大值为72.(2)证明∵-1≤a+b+c≤1,-1≤a-b+c≤1,-1≤c≤1,∴-1≤a+b≤1,-1≤a-b≤1,∴-1≤a≤1,若c|x|+bx=0,则|g(x)|=|a|,∴|g(x)|≤1,若c|x|+bx≠0,则g(x)为单调函数,|g(-1)|=|a-b+c|≤1,|g(1)|=|a+b+c|≤1,∴|g(x)|≤1.综上,|g(x)|≤1.21.证明(1)由a n>0,a n+1+1a n<2,所以a n+1<2-1a n<2,因为2>a n+2+1an +1≥2 an +2a n +1,所以a n+2<a n+1<2.(2)假设存在a N ≤1(N ≥1,N ∈N *), 由(1)可得当n>N 时,a n ≤a N+1<1,因为a n+1-1<1-1a n =a n-1a n<0,而a n <1,所以1a n +1-1>a n a n -1=1+1a n -1. 于是1a N +2-1>1+1a N +1-1,……1a N +n -1>1+1a N +n -1-1.累加可得1a N +n -1>n-1+1a N +1-1.(*)由(1)可得a N+n -1<0, 而当n>-1a N +1-1+1时,显然有n-1+1a N +1-1>0,因此有1a N +n -1<n-1+1a N +1-1,这显然与(*)矛盾,所以a n >1(n ∈N *). 22.证明(1)因2a n +12-2a n 2=a n +1-2a n 2=(1-a n )(1+2a n ), 故只需要证明a n <1即可. 下用数学归纳法证明: 当n=1时,a 1=1<1成立, 假设n=k 时,a k <1成立, 那么当n=k+1时,a k+1= a k +12< 1+12=1,所以综上所述,对任意的正整数n ,a n <1. (2)用数学归纳法证明a n =cos π3·2n -1.当n=1时,a 1=1=cos π成立, 假设n=k 时,a k =cosπ3·2k -1,2019届高三数学课标一轮复习单元质量检测试题11 那么当n=k+1时,a k+1= a k +12=cos π3·2+12=cos π3·2k . 所以综上所述,对任意n ,a n =cosπ3·2n -1. (3)1-a n -12=1-a n -1+12=1-a n 2=sin 2π3·2n -1< π3·2n -1 2,得a n-1>1-2π29·4n -1. 故S n >∑i =2n 1-2π29·4i +12=n-12−2π29×43×116 1-14n -1 >n-27+π254.。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 第07章 不等式与证明测试题
第七章 不等式与证明测试题班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2017山东，文1】设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则MN =A.()1,1-B. ()1,2-C. ()0,2D. ()1,2 【答案】C 【解析】2．【2017届浙江台州中学高三10月月考】已知:|2|3p x ->，:5q x >，则p ⌝是q ⌝成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A.3．若,,a b c R ∈，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b >，则a c b c ->- B. 若a b >，则11a b< C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则22ac bc >【答案】A【解析】当0a b >>时，B 不正确，当0a b >>时，C 不正确，当0c =时，D 不正确，由不等式的性质一知A 正确，故选A ．4．【2018河南南阳第一中学模拟】若实数x ， y 满足221x y xy ++=，则x y +的范围是（ ）A. ⎫+∞⎪⎭B. [)6,+∞C. ⎡⎢⎣D. 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】22222211122x y x y x y xy xy x y xy x y ++⎛⎫⎛⎫++=⇔=+-≤∴+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（），，（），令x +y =t，则2244t t t -≤≤≤，即x y ≤+≤ ∴x +y 的取值范围是⎡⎢⎣. 本题选择C 选项.5．已知实数 ,x y 满足{(0)x y ax y a a ya+≥-≤>≤，若22z x y =+的最小值为 2，则 a 的值为（ ）2 C. 4 【答案】B6．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若,a b R ∈，使4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a b +≥B. 4a ≥C. 2a ≥且2b ≥D. 4b <- 【答案】D【解析】A 中2+24≥，不满足4a b +> ；C 中2222≥≥，，不满足4a b +> ；B 中440a b =≥=，，不满足4a b +> ；D 中由4b <-可得4a b +>，但由4a b +>得不到4b <-，如1,5a b ==．选D.7．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <- B ．2a >- C ．6a >- D ．6a <- 【答案】A8．【2018湖北武汉高三起点调研】某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（ ） A. 1800元 B. 2100元 C. 2400元 D. 2700元 【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x 桶， y 桶，利润为z 元，则根据题意可得2212{212 ,0,,x y x y x y x y N+≤+≤≥∈ ， 300400z x y =+作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线:3004000L x y +=，然后把直线向可行域平移，可得0,6x y ==，此时z 最大2400z =，故选C.9．【2018湖北部分重点中学联考】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cosB 的最小值为 （ ）A.12 B. 2C. 34D. 2【答案】A【解析】2222b a c =+，2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥= ,当且仅当a c b ==时取等号，因此选A.10．【2018湖南永州第一次模拟】《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形： AB 是半圆O 的直径，点D在半圆周上， CD AB ⊥于点C ，设A C a =， BC b =，直接通过比较线段OD 与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（ ）A.(0,0)b m b b a m a m a +>>>>+)(0,0)a b a b ≥+>>C.20,0)ab a b a b ≤>>+ D. 0,0)2a ba b +≥>> 【答案】D11. 【2018江西南昌三中模拟】在ABC 中，点O 是BC 的三等分点（靠近点B ），过点O的直线分别交直线AB ， AC 于不同两点M N ，，若A B mA M =， AC nAN =， ,m n均为正数，则11m n+的最小值为（ ）A. 2B. 1+11 【答案】C【解析】由题意作出图形如下：易知()11212333333m n AO AB BC AB AC AB AB AC AM AN =+=+-=+=+ 由于M 、O 、N 三点共线，可知2133m n+=，所以1111221113333m n n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选C12．【2018江西南昌三中模拟】已知函数()12log f x x =，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A. [2，＋∞)B. (2，＋∞)C. [4，＋∞)D. (4，＋∞) 【答案】D∵m ＜n ，且f （m ）=f （n ），由图象可知，0＜m ＜1＜n ， ∴| 12log m |=| 12log n |，即1112221log log log m n n=-= ， ∴m=1n ，∴m+3n=1n+3n ， 令g （n ）=1n +3n （n ＞1），则g'（n ）=﹣21n+3＞0，∴g （n ）在（1，+∞）上递增，∴g （n ）＞g （1）=4，即m+3n 的取值范围是（4，+∞）， 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是 ． 【答案】【解析】用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是.14．【2018山西45校第一次联考】设表示不超过的最大整数，如，，则方程的解集为__________．【答案】[)[)1,02,3-⋃ 【解析】[][][]2201x x x --=⇔=-或[]210x x =⇔-≤<或23x ≤<，故答案为[)[)1,02,3-⋃. 15. 若关于x 的不等式(),ax b a b R x+≤∈的解集为{|012}x x x <≤≤或，则b a 的值为__________． 【答案】816．【2018江苏南京市溧水高级中学模拟】以C 为钝角的ABC ∆中， 3,12BC BA BC =⋅=，当角A 最大时， ABC ∆面积为________． 【答案】3 【解析】过A 作AD BC⊥，垂足为D ，则cos 312BA BC BA BC B BD BC BD ⋅==⋅==， 4BD ∴=，又3,1BC CD =∴=，设()0AD y y =>，则4133tan 4441y yBAC y y y-∠==≤++，当且仅当4y y =，即2y =时取“=”，由正切函数的单调性可知此时BAC ∠也最大，综上所述， ABC ∆的面积为13232⨯⨯=，故答案为3. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．若函数()log (4)(0,1)a af x x a a x=+->≠且的值域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】(](0,1)1,418．（I ）已知集合{}{}2|60,|04,A x x x B x x a =-->=<+<若AB =∅，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若不等式210-+>mx mx ，对任意实数x 都成立，求m 的取值范围. 【答案】（I ）1≤a ≤2；（II ）{}04≤<m m .【解析】(I) A={x|x<－2或x>3}，B={x|－a<x<4－a}∵A ∩B=φ， ∴ 243a a -≥-⎧⎨-≤⎩ ∴ 1≤a ≤2(Ⅱ)当010时，=>m ，不等式成立，∴ 0=m 当0≠m 时,则有2000()40即>>⎧⎧⎨⎨∆<∆=--<⎩⎩m m m m ⇒04<<m ∴m 的取值范围{}04≤<m m19．已知函数()2(0)f x kx k =+≠的图象分别与x 轴、y 轴交于,A B 两点，且)2,1(=AB ，函数2()6g x x x =--，当x 满足不等式4)()(+≥x g x f ，时，求函数()1()2g x y f x +=+的值域.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈127,23y 【解析】22(,0),(0,2)(,2)A B AB k k-⇒=,又)2,1(=AB ,所以K=2，又4)()(+≥x g x f ，可得[]4,1-∈x ,4252+--=x x x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++521)2(21x x 因为[]6,12∈+x ，所以函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈127,23y20．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值． 【答案】（1）3B π=．（2）3．（2）设AC 边上的中点为E ，由余弦定理得：4)(22222AC BC AB BE -+=422ac c a ++=34)2(164164)(22=+-≥-=-+=c a acac c a ， 当c a =时取到”＝”所以AC 边上中线长的最小值为3． 21.已知,m n R ∈， 2()f x x mnx =-．（1）当1n =时，①解关于x 的不等式2()2f x m >；②若关于x 的不等式()40f x +>在[1,3]x ∈上有解，求m 的取值范围； （2）若0,0,1m n m n >>+=且，证明不等式11()()7f f m n+≥．【答案】（1）①当0m >时，{}|2,0x x m x m m ><-=或时，{}|0x x ≠，0m <时，{}|2x x m x m >-<或；②)(5,∞-（2）见解析.【解析】（1）①不等式2()2f x m >代入整理为()()222020x mx m x m x m -->∴-+>，当0m >时，{}|2,0x x m x m m ><-=或时，{}|0x x ≠，0m <时，{}|2x x m x m >-<或；②()40f x +>整理得2440xmx m x x-+>∴<+有解，当[1,3]x ∈时4x x+最大值为55m ∴<，取值范围是)(5,∞- （2）222111111121f f m n m n mn mn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11144m n mn mn +=∴≤∴≥，所以211217mn mn ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11()()7f f m n +≥. 22.【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证： ．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当时，，满足，假设当（）时，，则当时， ，即时，满足；所以，当时，都有．（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证明，即可．当时，．。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义第七章数列、推理与证明第3讲Word版含答案
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2B.12C.2或12D.－2或12解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1（1＋q 3）a 1（q ＋q 2）＝1＋q 3q ＋q 2＝（1＋q ）（1－q ＋q 2）q （1＋q ）＝1－q ＋q2q＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C. 答案 C3.(必修5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( ) A.55 986B.46 656C.216D.36解析 设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为a n ，根据题意得数列{a n }成等比数列，a 1＝6，q ＝6，所以{a n }的通项公式a n ＝6×6n －1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a 6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B. 答案 B4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21B.42C.63D.84解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 答案 B5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150 B.－200 C.150或－200D.400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20).即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A.答案 A 二、填空题6.(2017·乐清市模拟)在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________.解析 两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3.即q ＝3. 答案 37.(2017·宁波调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 3＝________；通项公式a n ＝________.解析 ∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n(n ∈N *)，∴a 2＝a 1＋2＝3，a 3＝a 2＋22＝3＋4＝7.n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n－12－1＝2n－1(n ＝1时也成立)，∴a n ＝2n－1. 答案 7 2n－18.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________. 解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1（1－q 4）1－q ＝3a 1（1－q 2）1－q，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.答案 8 三、解答题9.在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.10.(2017·宁波十校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列. 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n ＋1}不是等比数列.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A.12B.13C.14D.15解析 设数列{a n }的公比为q ， 由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 答案 C12.(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n－1) C.9n－1D.14(3n－1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1).答案 B13.(2017·沈阳模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是________. 解析 当q >0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≥1＋2a 1a 3＝1＋2a 22＝3，当且仅当a 1＝a 3＝1时等号成立.当q <0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≤1－2a 1a 3＝1－2a 22＝－1，当且仅当a 1＝a 3＝－1时等号成立.所以，S 3的取值范围是(－∞，－1]∪∪[3，＋∞)14.(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.15.(2017·绍兴模拟)已知正项数列{a n }的奇数项a 1，a 3，a 5，…a 2k －1，…构成首项a 1＝1的等差数列，偶数项构成公比q ＝2的等比数列，且a 1，a 2，a 3成等比数列，a 4，a 5，a 7成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n ＋1a 2n，T n ＝b 1b 2…b n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n . 解 (1)由题意：⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 1a 3，2a 5＝a 4＋a 7，设a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…的公差为d ，则a 3＝1＋d ，a 5＝1＋2d ，a 7＝1＋3d ，a 4＝2a 2，代入⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝1（1＋d ），1＋d ＝2a 2，又a 2>0，故解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，d ＝3.故数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数，(2)b n ＝3n ＋12n ，显然b n >0，∵b n ＋1b n ＝3n ＋42n ＋13n ＋12n ＝3n ＋46n ＋2<1， ∴{b n }单调递减，又b 1＝2，b 2＝74，b 3＝108，b 4＝136，∴b 1>b 2>b 3>1>b 4>b 5>…，∴k ＝3时，对任意n ∈N *，均有T 3≥T n .。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质 考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b . (a ，b ∈R )2．等式的性质性质1 对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c. 3．不等式的性质性质1 对称性：a >b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋ma ＋m ； 若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(√ )(2)若ba >1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ，则b <a .( × )教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是( )A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>ab D ．ac 3<bc 3答案 D解析 因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b ，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －ab ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3<b <5，则a ＋2b 的取值范围是______．答案 (－7,12)解析 ∵－3<b <5，∴－6<2b <10，又－1<a <2，∴－7<a ＋2b <12.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A ．p <q B ．p ≤q C ．p >q D ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －a ab ＝b －a 2b ＋aab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 答案 B解析 令函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .教师备选已知M ＝e 2 021＋1e 2 022＋1，N ＝e 2 022＋1e 2 023＋1，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋1e 2 023＋1－e 2 022＋12e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021e －12e 2 022＋1e 2 023＋1>0. ∴M >N .方法二 令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e e x ＋1＋1＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1， 显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0. ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝21－ab1＋a 1＋b >0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝⎝⎛⎭⎫eππ－e ，又0<eπ<1,0<π－e<1，∴⎝⎛⎭⎫eππ－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二 不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2C ．若c >a >b >0，则a c －a <bc －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c 答案 D 解析 对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题； 对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但不满足a 2<ab <b 2，故B 选项为假命题；对于C 选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b ＝12，故C 选项为假命题； 对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c＝a b ＋c －b a ＋c b b ＋c ＝ac －bc b b ＋c＝a －b c b b ＋c>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题． (2)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab ； ②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b； ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析 由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0， 则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B 错误；对于C ，若c ＝0，a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析 因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝1 2，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14， 又3<a <8，∴19×3<a b <14×8， 即13<a b<2. 延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0， 又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2， 又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12 答案 A解析 因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3， 将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a <－1. (2)已知1<a <b <3，则a －b 的取值范围是________，a b的取值范围是________． 答案 (－2,0) ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵1<b <3，∴－3<－b <－1，又1<a <3，∴－2<a －b <2，又a <b ，∴a －b <0，∴－2<a －b <0，又13<1b <1a ，∴a3<ab <1，又a3>13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立；若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,3<b <4，则a 2b 的取值范围为( )A ．(1,3) B.⎝⎛⎭⎫43，94C.⎝⎛⎭⎫23，34D.⎝⎛⎭⎫12，1答案 A解析 因为－3<a <－2，所以a 2∈(4,9)，而3<b <4，故a 2b 的取值范围为(1,3)．4．若a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析 由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 不妨令a ＝1，b ＝0，故|a |>|b |不能推出a b >1，若a b >1，故a ，b 同号，若a ，b 都大于0，则a >b >0，从而|a |>|b |；若a ，b 都小于0，则a <b <0，从而|a |>|b |，故a b >1能推出|a |>|b |，从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式恒成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 B解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的是( )A ．c 2>cdB ．a －c <b －dC ．ac <bdD.c a －d b >0 答案 D解析 因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b， 故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 D解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b， 则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b>2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析 因为1a <1b<0， 所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析 方法一 令a ＝13，b ＝23， 则2ab ＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59， 故a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 方法二 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12， 即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12， 即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是( )A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2， 两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案 b >d >c >a解析 由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析 因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。
专题7-6 数学归纳法测-2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版 含解析 精品
2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第七章不等式与证明第06节数学归纳法班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A.2B.3C.5D.6【答案】B2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么( )A.n＝4时该命题成立B.n＝4时该命题不成立C.n≥5，n∈N*时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立【答案】C【解析】显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.3.对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式k2＋k<k＋1成立，当n＝k＋1时，（k＋1）2＋k＋1＝k2＋3k＋2<（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )A.过程全部正确B.n＝1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【答案】D【解析】在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法.4.用数学归纳法证明当n 为正奇数时， n n x y +能被x y +整除， *k N ∈第二步是（ ） A. 设21n k =+时正确，再推23n k =+正确 B. 设21n k =-时正确，再推21n k =+时正确 C. 设n k =时正确，再推2n k =+时正确 D. 设()1n k k ≤≥正确，再推2n k =+时正确 【答案】B5.用数学归纳法证明“()()()()1221221n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-”（n N +∈）时，从 “1n k n k ==+到”时，左边应增添的式子是（ ） A. 21k + B. ()221k + C. 211k k ++ D. 221k k ++ 【答案】B【解析】：当n=k 时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k ）=（k+1）（k+2）…（2k ）， 当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k ）（2k+1）（2k+2）， 故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 ()()2k 1)221k k +++（=2（2k+1），故选项为：B ．6. 用数学归纳法证明221111n n a a a aa++-+++⋅⋅⋅+=-（*1,a n N ≠∈），在验证1n =时，等式的左边等于 （ ）A. 1B. 1a +C. 21a a ++D. 231a a a +++【答案】C【解析】1n =时，等式的左边等于21a a ++,选C.7．观察式子：错误！未找到引用源。
2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习讲义：第七
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( ) A.120B.70C.75D.100解析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.答案 C2.(2017·杭州调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( ) A.9B.8C.17D.16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×＝4×(－50)＝－200. 答案 B4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A.5B.6C.7D.16解析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 答案 C5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( ) A.22 016－1B.3·21 008－3 C.3·21 008－1D.3·21 007－2解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B.答案 B 二、填空题6.(2017·嘉兴一中检测)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________.解析 由题意知所求数列的通项为1－2n1－2＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案 2n ＋1－2－n7.(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6.答案 68.(2017·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n－1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n）1－4＝4n －1.答案 4n－1 三、解答题9.(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3. ∴b n ＝b 1qn －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…). (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n （1＋2n －1）2＋1－3n1－3＝n 2＋3n－12. 10.(2017·贵阳一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2).故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *).(2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2016·郑州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 016中，有理数项的项数为( )A.42B.43C.44D.45解析 a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1＝（n ＋1）n －n n ＋1[（n ＋1）n ＋n n ＋1][（n ＋1）n －n n ＋1] ＝n n －n ＋1n ＋1. 所以S n ＝1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫nn－n ＋1n ＋1＝1－n ＋1n ＋1， 因此S 3，S 8，S 15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n 2－1(n ≥2)， 所以n 2－1≤2 016，且n ≥2，所以2≤n ≤44，所以有理项的项数为43. 答案 B12.(2017·济南模拟)在数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A.76B.78C.80D.82解析 因为a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，所以a 2－a 1＝1，a 3＋a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5＋a 4＝7，a 6－a 5＝9，a 7＋a 6＝11，…，a 11＋a 10＝19，a 12－a 11＝21，所以a 1＋a 3＝2，a 4＋a 2＝8，…，a 12＋a 10＝40，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋(a 9＋a 11)＋(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋(a 10＋a 12)＝3×2＋8＋24＋40＝78. 答案 B13.(2017·台州调研)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 1a 2a 3…a 15＝________；设b n ＝(－1)na n ，数列{b n }前n 项的和为S n ，则S 2 016＝________.解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，∴a 2＝1＋21－2＝－3，a 3＝1－31＋3＝－12，a 4＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋131－13＝2.∴a 4n ＋1＝2，a 4n ＋2＝－3，a 4n ＋3＝－12，a 4n ＝13.∴a 4n ＋1·a 4n ＋2·a 4n ＋3·a 4n ＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝1.∴a 1a 2a 3…a 15＝a 13a 14a 15＝a 1a 2a 3＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3. ∵b n ＝(－1)na n ，∴b 4n ＋1＝－2，b 4n ＋2＝－3，b 4n ＋3＝12，b 4n ＝13.∴b 4n ＋1＋b 4n ＋2＋b 4n ＋3＋b 4n ＝－2－3＋12＋13＝－256.∴S 2 016＝－256×2 0164＝－2 100.答案 3 －2 10014.(2015·山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13， 所以a 1a 2＝3.① 令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25， 所以a 2a 3＝15.② 解①②得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n，所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ×4n， 所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ×4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋ (4)－n ·4n ＋1＝4（1－4n）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋19.15.(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n . 所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1，当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n－n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.。
浙江省2018版高考数学一轮复习 专题：07 数列中不等式证明特色训练
七、数列中不等式证明一、解答题1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】（1）；(2)证明过程见解析（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据得，所以.试题解析：（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即.(2)证明：∵，，∴.2．【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列{}n a 满足1210a a +=， 432a a -=． （1）求{}n a 的通项公式．（2）设等比数列{}n b 满足23b a =， 37b a =，问： 6b 与数列{}n a 的第几项相等？ （3）试比较n a 与n b 的大小，并说明理由．（3）n n a b ≤，即12nn +≤，为公比的等比数列..届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ， 12a a +，6n s <． ）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求1n S n ++<（Ⅱ）见解析.1111111111222312n S n n n ⎛⎫⎛++=-+-++-=- ⎪ +⎝⎭⎝6．【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列满足：，（）.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析试题解析：（Ⅰ）解：，所以是以2为公差的等差数列，，所以，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，.7．【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列{}n a 满足3574,14a a a =+=， {}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a ；11n ++--133n ⎛++- ⎝22311111111133333333n n n n b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111-<1T <届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列的前项和（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：．然后求数列的通项公式 ；（Ⅱ）化简，利用裂项相消法和，再根据试题解析：(Ⅰ)由.时，，综上（Ⅱ）由{}n b 分别为等差数的导函数是()'f x ，有时所有点都在指数函数()x h x a =的,（,,,P都在指数函数n已知数列满足，则，且，，，成等比数列（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）见解析试卷解析： （Ⅰ）由及，，成等比数列得，即，解得，又，所以，所以数列是首项为3，公差为的等差数列，所以（Ⅱ）因为.所以.12．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列{}n a 满足： ()2112n n n n a a a a n --=+≥.n S 为数列的前n 项和.（Ⅰ）求证：对任意正整数n ，有++ (2a -212n n ⎛++-= ⎝，即n S n≤++ 2a -1+， 121a ++= 2试题解析：（I ）由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤，故 111222n n n n na a ++-≤，n *∈N ， 所以11223111223122222222nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121111222n -≤++⋅⋅⋅+ 1<，因此()1122n n a a -≥-．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m nmn n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭11132222mn n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得2n a ≤． ①否则，存在0n *∈N ，有02n a >，取正整数000342log 2n n a m ->且00m n >，则00340002log 23322244n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n *∈N ，均有2n a ≤．14．【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列中，，，其中，．（）当时，求，，的值．（）是否存在实物，使，，构成公差不为的等差数列？证明你的结论．（）当时，证明：存在，使得．【答案】（），，．（）存在，使，，构成公差不为的等差数列．（）证明见解析.（）∵，，成等差数列，∴，，∴，，∴，．，，的公差不为∴存在，使，构成公差不为的等差数列．，，∴令，，，，即．取正整数，则：时，存在使得月月考】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明 （3）证明见解析0n S ===11+=得证2同证16．【已知数列满足，（I）；（II）；（III）.因为所以.从而. 即，所以又，故.（I）当时，因为，所以成立假设当时，成立则当时，.因为，且得所以也成立.（III）因为，所以.从而.所以，即.所以.又，故.17．【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当时，，满足，假设当（）时，，则当时，，即时，满足；所以，当时，都有．（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，时，，时，，时，，只需证明，即可．时， ．13n b ++<n b + 13=-届浙江省ZDB 联盟高三一模】已知数列n a >>，1>-1n a a +++≥ 12a =，的最小值；，则由已知化简可得新数列为首项为2，公比为212n++，）利用（2）中(2S S ++-(2S S ++-21c c +++2c ≥≥，又)21111c c +-++．（Ⅲ）由，矛盾，故10k x +>．,,n n n b a n -，于是1n n c c +-,是等差数列。
【高三数学试题精选】(浙江版)2018年高考数学一轮复习数列中不等式证明特色训练(附答案)
(浙江版)2018年高考数学一轮复习数列中不等式证明特色
训练（附答案）
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七、数列中不等式证明
一、解答题
1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，
(1)求数列的通项式；
(2)证明
【答案】（1）；(2)证明过程见解析
（2）本问主要通过不等式的放缩对数列求和，根据得，所以试题解析（1）∵
∴ ，∴ 是以为首项，2为比的等比数列
∴ ，即
(2)证明∵ ，，
∴
2．【2018届北京西城35中高三上期中】等差数列满足，．（）求的通项式．
（）设等比数列满足，，问与数列的第几项相等？
（）试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（）（）（）
试题解析
（）∵ 是等差数列，
，
∴解出，，
∴
，
．。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题7.1 不等式的性质及一元二次不等式(讲)
第01节 不等式的性质及一元二次不等式【考纲解读】,21【知识清单】1.不等关系在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系. 对点练习【2016高考上海理数】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A2.比较法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 对点练习若,,,a b c d 均为正实数，且>a b ，那么四个数b a 、a b 、++b c a c 、++a d b d由小到大的顺序是_________. 【答案】b a 、++bc a c 、++ad b d 、a b.3.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．对点练习【2017届浙江台州高三4月调研】若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当，而 ，反过来也成立，所以是充要条件，故选C. 4.一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a>0)或ax 2＋bx ＋c<0(a>0)． （2）计算相应的判别式．（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．（4）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 对点练习【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【考点深度剖析】不等关系、不等式的性质的考查，往往与其它知识综合考查，如与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题；对一元二次不等式的解法的考查，较多与集合的运算以及二次函数相结合． 【重点难点突破】考点1 应用不等式表示不等关系【1-1】用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)【解析】假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k ＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k 2，有47＋47k ＋47k2≥1.所以可从中提炼出一个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k2≥1.【1-2】将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系． 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.综合点评：求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围. 【触类旁通】【变式】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答案】A考点2 比较两数（式）的大小【2-1】下列各组代数式的关系正确的是________． ①x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9； ②(x －3)2＜(x －2)(x －4)； ③当x ＞1时，x 3＞x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． 【答案】 ①③④【解析】 ①2x 2＋5x ＋9－(x 2＋5x ＋6)＝x 2＋3＞0， 即x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9.②(x －2)(x －4)－(x －3)2＝x 2－6x ＋8－(x 2－6x ＋9) ＝－1＜0，即(x －2)(x －4)＜(x －3)2.③当x ＞1时，x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1.④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， 即x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． 【2-2】若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则a,b,c 的大小关系是 ． 【答案】b a c >>【领悟技法】1、（利用比较法比较两数（式）的大小时，关键在于作差或商后的变形，需要分解因式或者通分等运算，一定化简彻底；2、构造函数法比较大小时，通常考虑所构造的函数图象特征或者函数的性质，尤其要注意利用单调性比较大小． 【触类旁通】【变式一】若0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．【答案】 a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b【解析】∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴a ＜12＜b ＜1，∴2b ＞1且2a ＜1，∴a ＜2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12＜12.即a ＜2ab ＜12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1＞0，b －1＜0，∴a 2＋b 2－b ＜0，∴a 2＋b 2＜b ，综上，a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b .【变式二】设+∈R c b a ,,，求证：b a c a c b c b a c b a c b a +++⋅⋅≥⋅⋅222. 证明：由于不等式是关于c b a ,,对称的，不妨设c b a ≥≥，于是1222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅⋅---+++ca cb ba b a c a c b c b a c a c b b a c b a c b a ，所以b a c a c b c b a c b a c b a +++⋅⋅≥⋅⋅222. 考点3 不等式的性质【3-1】若a ，b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a 3＋b 3＞0 C ．a 2－b 2＜0 D ．a ＋b ＜0 【答案】D【3-2】根据条件：,,a b c 满足c b a <<，且0a b c ++=，有如下推理：（1） ()0ac a c -> （2） ()0c b a -< (3) 22cb ab ≤ (4) ab ac >其中正确的是（ ）A ．（1） （2）B ．(3) (4)C ．（1） (3)D ．（2） (4) 【答案】B【解析】由33c b a c a b c a <<⇒<++<，因为0a b c ++=，所以00c a <⎧⎨>⎩，对于b 的值可正可负也可为0，对于（1）错误，因为0ac <，而0a c ->，所以()0ac a c -<；对于（2）错误，因为0,0c b a <-<，从而()0c b a ->；对于（3）正确，因为20b ≥，当2b =时，220cb ab ==，当20b >时，由22c a cb ab <⇒<；对于（4）正确，因为0,a b c ab ac >>⇒>；综上可知，选B ．【领悟技法】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 【触类旁通】【变式一】已知a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．ln a ＞ln b B.1a ＜1bC ．a 2＞abD ．a 2＋b 2＞2ab 【答案】D ．【变式二】已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？ 【解析】(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －adab＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc －adab＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③. (3)若bc ＞ad ，bc －adab＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①. 综上所述可组成3个正确命题． 考点4 一元二次不等式的解法【4-1】已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是{x | x<－2⎭⎬⎫或x>－12，求不等式ax2－bx ＋c>0的解集．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<2. 【解析】由条件知－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a<0，∴－2－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ca.∴b ＝52a ，c ＝a.从而不等式ax 2－bx ＋c>0变为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1>0.∵a<0，∴原不等式等价于2x 2－5x ＋2<0， 即(x －2)(2x －1)<0，解得12<x<2.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<2. 【4-2】【2017届浙江嘉兴高三上基础测试】设集合2{|20}A x x x =-->，{|||3}B x x =<，则AB =（ ）A ．{|31}x x -<<-B ．{|23}x x <<C ．{|3123}x x x -<<-<<或D ．{|323}x x x -<<-<<或1 【答案】C【领悟技法】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2.f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． 【触类旁通】【变式一】【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初来联考】已知集合2{|230}A x x x =--<， 2{|31,}B y y x x R ==-+∈，则A B ⋂=（ ）A. {|31}x x -<≤B. {|12}x x ≤<C. {|11}x x -<≤D. {|13}x x << 【答案】C【解析】{}{}2|230 |1 3 A x x x x x =--<=-<<，{}{}2|31, | 1 B y y x x R y y ==-+∈=≤，则A B ⋂= {}|1 1 x x -<≤，故选C ． 考点5 一元二次不等式恒成立问题 【5-1】若不等式的解集是R ，则m 的范围是( )A.B.C.D.【答案】A【5-2】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】试题分析：设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{10g g ->->，整理得22560{320x x x x -+>-+>，解得【5-3】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】C【解析】解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0⇒a ≥0.(如图1)②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0 ⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .【领悟技法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【触类旁通】【变式一】对任意实数x ，若不等式4x－m ·2x＋1＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2，2)C ．(－∞，2]D ．[－2，2] 【答案】A【变式二】已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2- 【答案】D【解析】试题分析：()x f 为R 上的减函数，故()()x a a x x a f a x f -<+⇔->+22，从而a x <2，所以()a a <+12，得2-<a .考点6 一元二次不等式的应用【6-1】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．【6-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【解析】由题意列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ＋0.1x 2>12，0.05x ＋0.005x 2>10，分别求解，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <－40或x >30，x <－50或x >40.由于0x >，从而可得30 /40 /x km h x km h >>甲乙，.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．【领悟技法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【触类旁通】【变式一】 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?【变式二】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．【解析】(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 【易错试题常警惕】易错典例1：已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213|x x x 或 易错分析：由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对a 、b 、c 符号的判断． 根据给出的解集，除知道31-和2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根外，还应知道0<a ，然后通过根与系数的关系进一步求解．正确解析：由于不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，可知0<a ，且 31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根， ∴a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=． ∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，由于0<a ∴0135322<-+x x ，即03522<-+x x ，解得213<<-x ． ∴所求解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x ，选C ． 易错典例2：已知11,15,3x y x y x y -≤+≤≤-≤-求的取值范围．易错分析：利用不等式性质，11,15,x y x y -≤+≤≤-≤两式相加，得03,x ≤≤ 由15x y ≤-≤，得51x y -≤-+≤-，则30y -≤≤ ，所以，039x ≤≤，03y ≤-≤，从而0312x y ≤-≤分析：当312x y -=时，x=3,y=-3,而6x y -=不满足已知条件，显然结果有问题.这种通过求出x,y 的范围，再3x y -求的取值范围是一种较为典型的错误.事实上，11,15,x y x y -≤+≤≤-≤不等价于03,x ≤≤30y -≤≤，利用不等式性质进行同向不等式向加，已知条件11,15,x y x y -≤+≤≤-≤仅仅是后来得到的结果的充分条件，即前者成立，后者不一定成立.因此，这是一个不恒等变形，其中的x,y 的取值被扩大了.但是，并不等于说不等式的性质在这里就不能用.我们可以不改变原条件的前提下，整体地对原不等式进行向加．正确解析：11,x y -≤+≤通过观察将后式两边乘2，得22()10,x y ≤-≤于是1311x y ≤-≤.温馨提示：注意不等式性质的单向性．。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第七章数列、推理与证明第6讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1。
用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立"时,第一步证明中的起始值n0应取（)A。
2 B.3C.5 D。
6解析∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立;n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立。
∴n的第一个取值n0＝3.答案B2。
某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＊）时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立。
现已知n＝5时该命题成立，那么( )A.n＝4时该命题成立B.n＝4时该命题不成立C。
n≥5，n∈N＊时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错。
答案C3.利用数学归纳法证明不等式“1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〉错误!（n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k"变到“n＝k＋1”时，左边增加了（)A.1项B.k项C.2k－1项D.2k项解析左边增加的项为错误!＋错误!＋…＋错误!共2k项，故选D。
答案D4。
对于不等式错误!<n＋1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下：（1)当n＝1时,错误!<1＋1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N＊）时,不等式错误!〈k＋1成立，当n＝k＋1时，错误!＝错误!<错误!＝错误!＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立,则上述证法( ）A.过程全部正确B。
n＝1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.答案D5。
用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝错误!，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（)A。
k2＋1B。
(k＋1)2C.错误!D。
(k2＋1）＋(k2＋2）＋…＋（k＋1）2解析当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第七章数列、推理与证明第4讲含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1。
等差数列｛a n｝的通项公式为a n＝2n＋1,其前n项和为S n，则数列错误!的前10项的和为（）A.120 B。
70 C.75 D.100解析因为错误!＝n＋2，所以错误!的前10项和为10×3＋错误!＝75.答案C2.（2017·杭州调研)数列{a n}的前n项和为S n,已知S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n,则S17＝（)A.9B.8C.17 D。
16解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋（－2＋3)＋（－4＋5）＋（－6＋7）＋…＋（－14＋15）＋（－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9。
答案A3。
数列{a n｝的通项公式为a n＝(－1）n－1·（4n－3)，则它的前100项之和S100等于( ）A。
200 B。
－200 C。
400 D。
－400解析S100＝(4×1－3)－（4×2－3)＋（4×3－3)－…－(4×100－3）＝4×＝4×（－50）＝－200.答案B4.(2017·高安中学模拟）已知数列5，6，1，－5,…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于（)A。
5 B。
6 C。
7 D。
16解析根据题意这个数列的前7项分别为5，6,1，－5，－6,－1，5，6,发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列,且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋（－6）＋（－1）＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7。
故选C.答案C5。
已知数列｛a n｝满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N＊)，则S2 016＝( ）A.22 016－1 B.3·21 008－3C.3·21 008－1 D。
高优指导2018高三数学(浙江)参考练习单元质检七不等式、推理与证明含解析
单元质检七不等式、推理与证明(时间：120分钟满分：150分)单元质检卷第81页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。
若a，b是任意实数,且a〉b,则下列不等式成立的是(）. A。
a2>b2B<1C。
lg (a—b）>0 D答案：D解析:∵0〈〈1,∴y=是减函数。
又a>b，2。
用反证法证明命题：“若a,b∈N，ab可被5整除,则a，b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是（）。
A.a，b都能被5整除 B。
a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a能被5整除答案:B解析:“至少有一个”的反面应是“一个都没有”。
故应选B。
3。
设函数f（x）=若f(—4)=f（0)，f（-2）=0,则关于x 的不等式f（x）≤1的解集为(）。
A。
（—∞，-3]∪[-1，+∞)B.［-3,-1]C。
[-3，-1]∪（0，+∞)D。
［—3，+∞)答案:C解析:由f(—4)=f(0）,得函数f（x）=x2+bx+c（x≤0）的对称轴x=—2=-，所以b=4,f（—2）=0得c=4。
不等式f（x）≤1解得x〉0或-3≤x≤-1.故选C。
4。
（2015广东高考)若变量x，y满足约束条件则z=3x+2y 的最小值为（)。
A.4 B C.6 D答案:B解析：作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-x+指的是直线y=-x+在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-x+通过点A时，可使取得最小值，即z取得最小值。
易知点A的坐标为,所以z min=3×1+25.已知a>0,b>0，a，b的等比中项是1，且m=b+，n=a+,则m+n 的最小值是（）.A。
3 B。
4 C。
5 D。
6答案：B解析:由题意知ab=1,则m=b+=2b，n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立）.6。
2018版高三数学复习能力大提升第七章不等式含答案
第七章不等式考点1 不等式的性质与解法1。
（2016·浙江，5)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（) A.（a－1）(b－1）＜0 B.(a－1）(a－b）＞0C。
（b－1）(b－a)＜0 D.（b－1)(b－a)＞01.解析由a,b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得：当a＞1时,b＞a＞1；当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1,代入验证只有D 满足题意。
答案D2.(2015·浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y,z,且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位:元/m2)分别为a，b，c,且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.ax＋by＋czB.az＋by＋cxC。
ay＋bz＋cx D。
ay＋bx＋cz2。
解析作差比较,∵x＜y＜z，a＜b＜c，（az＋by＋cx)－（ax＋by＋cz)＝a（z－x)＋c（x－z)＝(a－c）（z－x)＜0，∴az＋by＋cx＜ax＋by＋cz;（az＋by＋cx）－(ay＋bz＋cx）＝a(z－y)＋b(y－z）＝(a－b)（z－y）＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz ＋cx；（ay＋bz＋cx)－(ay＋bx＋cz）＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c）（z －x）＜0,∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz，∴az＋by＋cx最小．故选B.答案B3.(2014·浙江，7)已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1）＝f（－2）＝f(－3)≤3，则（）A。
c≤3 B。
3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞93.解析由已知得错误!，解得错误!,又0＜f(－1）＝c－6≤3，所以6＜c≤9.答案C4。
（2014·四川，5)若a＞b＞0，c＜d＜0,则一定有（)A。