2013年备考策略文科数学 全国各地试题解析分类汇编：7立体
2013备考各地试题解析分类汇编(一)文科数学：4数列1
各地解析分类汇编:数列（1）1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =-，376a a +=-，则当n S 取最小值时，n ＝A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】375526,3a a a a +==-∴=- ， 2,92(2)21n d a n n ∴==-+-=-， 671,1,a a ∴=-=6S ∴最小. 故选D ．2 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】数列{a n }的通项公式是a n，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．121 【答案】A 【解析】由n a ===，所以121)10n a a a +++=+++= ，即110-=，即11=，解得1121,120n n +==.选A. 3 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'(f x g x f x g x <，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N *∈）的前n 项和等于3231，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7 【答案】B 【解析】2()'()()()'()[]'()()f x f xg x f x g x g x g x -=，因为'()()()f x g x f x g x <，所以2()'()()()'()[]'0()()f x f xg x f x g x g x g x -=<，即函数()()x f x a g x =单调递减，所以01a <<.又25)1()1()1()1(=--+g f g f ，即152a a -+=，即152a a +=，解得2a =（舍去）或12a =.所以()1()()2x f x g x =，即数列()1()()2n f n g n =为首项为112a =，公比12q =的等比数列，所以111()(1)1121()112212n nnn a q S q --==⨯=---，由1311()232n -=得11()232n =，解得5n =，选B. 4 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】在等比数列{}375,2,8,n a a a a ===则A.4±B.4C.4-D.5【答案】B【解析】因为，因为225320a a q q ==>，又253716a a a ==，所以54a =，选B. 5 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A.209d >B.52d ≤C.20592d <≤ D.20592d ≤< 【答案】C【解析】由题意知数列{}n a 满足10900a a >⎧⎨≤⎩，即20902080d d -+>⎧⎨-+≤⎩，所以20952d d ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即20592d <≤，选C.6 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比数列中项为22，则1172a a +的最小值 A.16 B.8 C. 22 D.4 【答案】B【解析】由题意知224149a a a ==，即9a =。
山东省2013模拟试题文科数学分类汇编7：立体几何
山东省2013届高三最新文科模拟试题精选分类汇编7：立体几何1 ．在空间中,不同的直线m,n,l ,不同的平面,αβ,则下列命题正确的是（ ）A ．m//α,n∥α,则m∥nB ．m//α,m//β,则α//βC ．m⊥l ,n⊥l ,则m∥nD ．m⊥α,m⊥β,则α//β2 ．一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．163 ．已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为1V ,直径为4的球的体积为2V ,则12:V V =（ ）A ．1:2B ．2:1C ．1:1D ．1:44 ．点M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、A 1D 1的中点,用过A ．M 、N 和D ．N 、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为（ ）A ．①、②、③B ．②、③、③C ．①、③、④D ．②、④、③5 ．如图,中,,AB BD BD ABD ⊥∆沿将折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,连结AC .在四面体A BCD -的四个面中,互相垂直的平面有侧视图（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对6 ．如右图,一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的体积为（ ）A．12B ．6ππC ．12π D．67 ．已知m,n 是两条不同直线,,αβ是两个不同平面,给出四个命题:①若,,m n n m αβα=⊂⊥ ,则αβ⊥ ②若,m m αβ⊥⊥,则//αβ ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥ ④若//,////m n m n αβ,则//αβ 其中正确的命题是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④8 ．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为A ．π)55(+B ．π)5220(+俯视图左视图主视图C ．π)1010(+D ．π)525(+9 ．一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为（ ）A ．203 B．403C ．20D ．4010．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的体积是（ ）A ．323πB ．8πC ．163πD ．32π11．有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为（ ）A．B．6+C．30+D ．4212．已知四面体S ABC -的所有棱长都相等,它的俯视图如下图所示,的正方形;则四面体S ABC -外接球的表面积为正视图 俯视图左视图第11题图（ ）A ． 6πB ．4πC ．8πD ．3π13．已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,下列命题正确的是①l m a ⊥⇒∥β；②l ∥m αβ⇒⊥③l αβ⊥⇒∥m ④α∥l m β⇒⊥（ ） A ．①② B ．③④C ．②④D ．①③14．已知m ,n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（ ）A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α,则α//nD ．若α⊥n n m ,//,则α⊥m15．具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为（ ）A ．3B ．C ．72π (D)1416．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A．1B．13C．12D．3217．如图,,且一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4 D．818．右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（）A．8 B．20+C．16 D．24+19．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．9B．10C．11D．22320．一空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图为21．一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．422．一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为cm,则该几何体的体积为( )cm 3.（ ）A ．18B ．48C ．45D ．54 23．一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示,则该几何体的侧面积．．．等于（ ）A B ．6C ．第5题图24．如图,已知球O 的面上有四点,,,A B C D ,DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===,则球O的体积与表面积的比为__________25．一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为163π+,则图中x 的值为_______________.26．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上,且8,AB BC ==则棱锥O —ABCD 的体积为______.27．已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球为O 的表面积为_____. 28．某几何体的三视图如图所示,则它的表面积是________29．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积等于_______30．31．已知在如图的多面体中,AE ⊥底面BEFC ,//AD //EF BC ,12BE AD EF BC ===,G 是BC 的中点.(1)求证://AB 平面DEG ;(2)求证:EG ⊥平面BDF .32．如图,在多面体ABCDEFG 中,平面ABC ∥平面DEFG ,AD ⊥平面DEFG ,BA AC ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG .且1,2AC AB ED EF ==== , 4AD DG ==.(Ⅰ)求证:BE ⊥平面DEFG ; (Ⅱ)求证:BF ∥平面ACGD ; (Ⅲ)求三棱锥A FBC -的体积.ADFEBGC第20题图33．如图,斜三棱柱111A B C ABC -中,侧面11AAC C⊥底面ABC ,底面ABC 是边长为2的等边三角形,侧面11AAC C 是菱形,160A AC ∠=,E 、F 分别是11AC 、AB 的中点.求证:(1)EC ABC ⊥平面;(2)求三棱锥1A EFC -的体积.34．如图所示,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,且2PA=AD=2,E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点.(Ⅰ)求异面直线EF 与AG 所成角的余弦值; (Ⅱ)求证:BC∥面EFG;(Ⅲ)求三棱锥E-AFG 的体积.35．如图,在四棱锥S-ABC 中,底面ABCD 是矩形,SA ⊥底面ABCD,SA=AD,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC,且交SC于点N.(I)求证:SB∥平面ACM;ADE FP G1ABCD E G F(II)求证:平面SAC⊥平面AMN.ADNM平面ABCD,P为36．在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面⊥DN的中点.BD⊥;(Ⅰ)求证:MC(Ⅱ)在线段AB是是否存在点E,使得AP//平面NEC,若存在,说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.37．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其主(正)视图为矩形,左(侧)视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(I)求证:BC∥平面C1B1N;(Ⅱ)求证:BN⊥平面C1B1 N;(Ⅲ)求此几何体的体积.38．如图,已知平面ABEF ⊥平面A B C D,四边形ABEF 为矩形,四边形ABCD 为直角梯形,90,DAB AB CD ∠=︒ ,4,28AD AF AB CD ====.(Ⅰ)求证:AF 平面BCE ; (Ⅱ)求证:AC ⊥平面BCE ; (Ⅲ)求四棱锥C ABEF -的体积.39．如图(1),在等腰梯形CDEF 中,CB 、DA 是梯形的高,2AE BF ==,AB =现将梯形沿CB 、DA 折起,使EF//AB 且2EF AB =,得一简单组合体ABCDEF 如图(2)示,已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点.(1)求证://MN 平面BCF ;(2)求证:AP ⊥平面DAE ;(3)若2AD =,求四棱锥F-ABCD 的体积.D C B AE FM NP FE A BCD 40．如图,已知三棱柱ABC 一A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC,AC=BC,M,N 分别是棱CC 1,AB 的中点.(1)求证:CN⊥平面ABB 1A 1; (2)求证:CN//平面AMB 1.41．在如图所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1,AE AE =⊥平面ABC,平面BCD ⊥平面ABC,BD=CD,且.BD CD ⊥(I)AE//平面BCD;(II)平面BDE ⊥平面CDE.42．如图,已知AB ⊥平面ACD,DE//AB,△ACD 是正三角形,2,AD DE AB ==且F 是CD 的中点.(I)求证:AF//平面BCE;(II)求证:平面BCE ⊥.43．已知正三棱柱111ABC A B C -中,AB =2,1AA =,点D 为AC 的中点,点E 在线段1AA 上(I)当1:1:2AE EA =时,求证1DE BC ⊥;(Ⅱ)是否存在点E,使三棱锥1C BDE -的体积恰为三棱柱111ABC A B C -体积的13,若存在,求AE 的长,若不存在,请说明理由.44．如图,PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面,2,AD PA CD ===E 、F 分别是AB 、PD 的中点.(I)求证:AF//平面PCE; (II)求证:平面PCE ⊥平面PCD;(III)求四面体PEFC 的体积.第19题图45．如图,五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面ABF是等边三角形,棱EF//BC,且EF=12 BC.(I)证明:EO//面ABF;(Ⅱ)若EF=EO,证明:平面EFO⊥平面ABE.46．在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,EA⊥平面ABCD,EF// AB,AB=4,AE=EF =2.(1)若G为BC的中点,求证:FG∥平面BDE;(2)求证:AF⊥平面FBC.47．如图,四边形ABCD中,AB AD⊥,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABCD⊥平面EFDC,设AD中点为P.( I )当E为BC中点时,求证:CP//平面ABEF(Ⅱ)设BE=x,问当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值.48．如图所示,ABCD 是边长为a 的正方形,△PBA 是以角B 为直角的等腰三角形,H 为BD 上一点,且 AH⊥平面PDB.(1)求证:平面ABCD⊥平面APB;(2)点G 为AP 的中点,求证:AH=BG.49．如图,四棱锥P A B C D-中,底面A B C D 是平行四边形,90ACB ∠= ,平面PAD ⊥平面ABCD,1PA BC ==,PD AB ==、F 分别为线段PD 和BC 的中点 (I)求证://CE 平面PAF; (Ⅱ)求三棱锥P AEF -的体积.50．如图,在四棱锥P —ABCD 中,平面PAB ⊥平面ABCD,AB=AD,60BAD ∠=,E,F 分别是AP,AB 的中点. 求证:(I)直线EF//平面PBC;(II)平面DEF ⊥平面PAB.51．如图,几何体111ABCD B C D -中,四边形ABCD 为菱形,60BAD ∠=,AB a =,面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,且1BB =,E 为1CC 的中点. (Ⅰ)求证:1DB E ∆为等腰直角三角形;(Ⅱ)求证:AC ∥面1DB E .52．已知四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是菱形,PA=PD,∠BAD=60°,E 是AD 的中点,点Q 在侧棱PC 上.(1)求证:AD⊥平面PBE; (2)若Q 是PC 的中点,求证PA∥平面BDQ;(3)若3P BCDE Q ABCD V V --=,试求CP CQ的值.53．如图所示,PA ^平面ABC ,点C 在以AB 为直径的⊙O 上,30CBA ? ,2PA AB ==,点E 为线段PB 的中点,点M 在弧AB 上,且OM ∥AC .(1)求证:平面MOE ∥平面PAC ;(2)求证:平面PAC ^平面PCB ;(3)求三棱锥O PBC -的体积.M EB OCAP54．如图,已知在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,DC AD ⊥,AB //DC ,DC =DD 1=2AD =2AB =2.(Ⅰ)求证:⊥DB 平面B 1BCC 1;(Ⅱ)设E 是DC 上一点,试确定E 的位置,使得D 1E //平面A 1BD ,并说明理由.1第20题图。
2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)7：立体几何 )
2013年高考解析分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A．180B．200C．220D．240【答案】D【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。
由三视图可知该几何体是个四棱柱。
棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。
所以梯形的面积为284202+⨯=，梯形的周长为282520++⨯=。
所以四棱柱的表面积为2022010240⨯+⨯=，选D.2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC-的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。
上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为212482ππ⨯⨯⨯=，正方体的体积为22416⨯⨯=，所以该几何体的体积为168π+，选A.4 ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3C．3D ．13【答案】A【解析】如图，因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1，在Rt △CC 1O 中，过C 作CH ⊥C 1O 于H ，连结DH ，则∠CDH 即为所求，令a AB =，显然2223a CH a ⨯===，所以223sin 3a CDH a ∠==，故选A.5 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 （ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆台. 6 ．（2013年高考浙江卷（文5））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。
2013年全国高考文科数学 ：立体几何
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题错误！未指定书签。
．（2013年高考重庆卷 ）某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（ ）A ．180B ．200C ．220D ．240错误！未指定书签。
．（2013年高考大纲卷）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．23BCD ．13【答案】A错误！未指定书签。
．（2013年高考浙江卷 ）已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3错误！未指定书签。
．（2013年高考北京卷 ）如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有 （ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个错误！未指定书签。
．（2013年高考湖南 ）已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______ （ ）A B ．1 C D错误！未指定书签。
．（2013年高考浙江卷 ）设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （ ）A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB ．若m ∥α,m ∥β,则α∥βC ．若m ∥n,m ⊥α,则n ⊥αD ．若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β错误！未指定书签。
．（2013年高考辽宁卷 ）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A B ．C ．132D ．错误！未指定书签。
．（2013年高考广东卷 ）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）1A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥错误！未指定书签。
2013备考各地试题解析分类汇编(一)文科数学：2函数2
各地解析分类汇编:函数（2）1 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )A y=cos2x ，x ∈R B. y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0C. y=2xxe e --，x ∈R D.31y x =+，x ∈R【答案】B【解析】A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，排除C,D.当0x >时，22log log y x x ==单调递增，选B.2 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】函数ln xy x=的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数的定义域为(0,)+∞，当01x <<时，0y <，当1x =时，0y =，当1x >时，0y >，综上可知选A.3 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】函数()()l g 21x f x =+-的定义域为 A.(),1-∞B.(]0,1C.()0,1D.()0,+∞【答案】C【解析】要使函数有意义，则有21010x x ⎧->⎨->⎩，即01x x >⎧⎨<⎩，所以01x <<，即函数定义域为()0,1，选C.4 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】三个数60.7，0.76，log 0.76的大小顺序是 A.0.76＜log 0.76＜60.7B.0.76＜60.7＜log 0.76C.log 0.76＜60.7＜0.76D. 60.70.7log 60.76<<【答案】D【解析】0.761>,600.71<<,0.7log 60<，所以60.70.7log 60.76<<，选D. 5 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】定义运算ab c dad bc =-，函数()123x xx f x --+=图象的顶点坐标是(),m n ，且k 、m 、n 、r 成等差数列，则k+r 的值为 A.-5B.14C.-9D.-14【答案】C【解析】由定义可得22()(1)(3)2()43(2)7f x x x x x x x =-+--=+-=+-，函数图象的定点坐标为(2,7)--，即2,7m n =-=-。
2013年普通高考文科数学试题汇编-立体几何解答题_图文
2013年普通高考文科数学试题汇编-立体几何解答题三、解答题1. (2013年高考辽宁卷 (文如图 , . AB O PA O C O 是圆的直径, 垂直圆所在的平面, 是圆上的点 (I求证 :BC PAC ⊥平面 ;(II设//. Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点, 为的重心,求证:平面【答案】(I 由 AB 式圆 O 的直径,得 AC ⊥ BC.由 PA ⊥平面 ABC , BC ⊂平面 ABC ,得 PA ⊥ BC,又PA ∩ AC=A,P A⊂平面 PAC , AC ⊂平面 PAC,所以 BC ⊥平面 PAC.(II 连 OG 并延长交 AC 与 M ,链接 QM , QO.由 G 为∆ AOC 的重心,得 M 为 AC 中点,由 G 为 PA 中点,得 QM//PC.又 O 为 AB 中点,得 OM//BC.因为QM ∩ MO=M,QM⊂平面 QMO.所以 QG//平面 PBC.2. (2013年高考浙江卷 (文如图 , 在在四棱锥 P-ABCD 中 ,PA⊥面 3, ∠ABC=120°,G为线段 PC 上的点 .(Ⅰ证明:BD⊥面 PAC ;(Ⅱ若 G 是 PC 的中点 , 求DG 与 APC 所成的角的正切值 ;(Ⅲ若 G 满足 PC⊥面 BGD, 求 PG GC的值 .【答案】解 :证明 :(Ⅰ由已知得三角形 ABC 是等腰三角形 , 且底角等于 30°,且 6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB=⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且 , 所以 ; 、BD AC ⊥, 又因为 PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭; (Ⅱ设 AC BD O = , 由 (1知 DO PAC ⊥, 连接 GO , 所以 DG 与面 APC 所成的角是 DGO ∠, 由已知及 (1知 :1, 2BO AO CO DO =====,12tan 2OD GO PA DGO GO ==⇒∠===所以 DG 与面 APC 所成的角 (Ⅲ由已知得到 :PC===因为 PC BGD PC GD ⊥∴⊥, 在PDC ∆中 , PD CD PC ====, 设223107 2PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴=-∴-=--∴====3. (2013年高考陕西卷 (文如图 , 四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A 1O ⊥平面 ABCD, 1AB AA ==1A(Ⅰ证明 : A 1BD // 平面 CD 1B 1;(Ⅱ求三棱柱 ABD -A 1B 1D 1的体积 .【答案】解: (Ⅰ设 111O D B 线段的中点为 .11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 . 的对应线段是棱柱和同理, 111111D C B A ABCD O A AO -为平行四边形四边形且且 11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴ 1111111111//, . //B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕(Ⅱ的高是三棱柱面 ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形 AB CD中,AO = 1 . . 111=∆O A OA A RT 中, 在11 2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱 . 所以 , 1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱 .4. (2013年高考福建卷 (文如图 , 在四棱锥 P ABCD -中 , PD ABCD ⊥面 , //AB DC , AB AD ⊥, 5BC =, 3DC =, 4AD =, 60PAD ∠= .(1当正视图方向与向量 AD 的方向相同时 , 画出四棱锥 P ABCD -的正视图 .(要求标出尺寸 , 并画出演算过程 ;(2若 M 为 PA 的中点 , 求证 ://DM PBC 面 ;(3求三棱锥 D PBC -的体积 .【答案】解法一:(Ⅰ在梯形 ABCD 中 , 过点 C 作 CE AB ⊥, 垂足为 E , 由已知得 , 四边形 ADCE 为矩形 , 3AE CD ==在Rt BEC ∆中 , 由 5BC =, 4CE =, 依勾股定理得 :3BE =, 从而 6AB =又由 PD ⊥平面 ABCD 得 , PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中 , 由 4AD =, 60PAD ∠=︒,得 PD =正视图如右图所示 :(Ⅱ取 PB 中点 N , 连结 MN , CN在PAB ∆中 , M 是 PA 中点 ,∴ MN AB , 132MN AB ==, 又 CD AB , 3CD = ∴ MN CD , MN CD =∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴ DM CN又 DM ⊄平面 PBC , CN ⊂平面 PBC∴ DM 平面 PBC (Ⅲ 13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆= , PD =,所以 D PBC V -=解法二 :(Ⅰ同解法一(Ⅱ取 AB 的中点 E , 连结 ME , DE在梯形 ABCD 中 , BE CD , 且 BE CD =∴四边形 BCDE 为平行四边形∴ DE BC , 又 DE ⊄平面 PBC , BC ⊂平面 PBC∴ DE 平面 PBC , 又在PAB ∆中 , ME PBME ⊄平面 PBC , PB ⊂平面 PBC∴ ME 平面 PBC . 又 DE ME E = ,∴平面 DME 平面 PBC , 又 DM ⊂平面 DME∴ DM 平面 PBC(Ⅲ同解法一5. (2013年高考广东卷(文如图 4, 在边长为 1的等边三角形 ABC 中 , , D E 分别是 , AB AC 边上的点 , AD AE =, F 是 BC 的中点 , AF 与 DE 交于点 G , 将ABF ∆沿AF 折起 , 得到如图 5所示的三棱锥 A BCF -,其中 2BC =. (1 证明 :DE //平面 BCF ;(2 证明 :CF ⊥平面 ABF ;(3 当 23AD =时 , 求三棱锥 F DEG -的体积 F DEG V -. 图 4【答案】 (1在等边三角形 ABC 中 , AD AE =AD AE DB EC ∴=, 在折叠后的三棱锥 A BCF -中也成立 , //DE BC ∴ ,DE ⊄平面 BCF ,BC ⊂平面 BCF , //DE ∴平面 BCF ;(2在等边三角形 ABC 中 , F 是 BC 的中点 , 所以 AF BC ⊥① ,12BF CF==. 在三棱锥 A BCF -中 , 2BC =, 222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面 ;(3由 (1可知 //GE CF , 结合 (2可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭6. (2013年高考湖南(文如图 2. 在直菱柱 ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA 1=3,D是 BC 的中点 , 点 E 在菱 BB 1上运动 . (I 证明:AD⊥C 1E;(II当异面直线 AC,C 1E 所成的角为 60°时 , 求三菱子 C 1-A 2B 1E 的体积.【答案】解: (Ⅰ 11C CBB ADE 面为动点,所以需证因为⊥.AD BB ABC AD ABC BB C B A ABC ⊥⇒⊂⊥∴-11111, 面且面是直棱柱AD BC BC D ABC RT ⊥∴∆的中点, 为是等腰直角且又 .. 1111111E C AD C CBB E C C CBB AD B BB BC ⊥⇒⊂⊥⇒=⋂面且面由上两点,且 (证毕(Ⅱ 660, //111111=∆⇒︒=∠∴AE E C A RT E C A A C CA 中, 在 .的高是三棱锥是直棱柱中, 在 1111111111. 2C B A E EB C B A ABC EB E B A RT -∴-=∆⇒ .. 3232213131111111111111的体积为所以三棱锥 E B A C EB S V V C B A C B A E E B A C -⋅=⋅⋅=⋅⋅==∆-- 7. (2013年高考北京卷(文如图 , 在四棱锥 P ABCD -中 , //AB CD , AB AD ⊥, 2CD AB =,平面 PAD ⊥底面 ABCD , PA AD ⊥, E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 , 求证 : (1PA ⊥底面 ABCD ;(2//BE 平面 PAD ;(3平面 BEF ⊥平面 PCD【答案】 (I因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD.(II因为 AB∥CD,CD=2AB,E为 CD 的中点所以 AB∥DE,且 AB=DE 所以ABED 为平行四边形 ,所以 BE∥AD,又因为 BE ⊄平面 PAD,AD ⊂平面 PAD 所以 BE∥平面 PAD.(III因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由 (I知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD所以 CD⊥PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF,所以 CD⊥平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面PCD.8. (2013年高考课标Ⅰ卷 (文如图 , 三棱柱 111ABC A B C -中 , CA CB =, 1AB AA =, 160BAA ∠= .(Ⅰ证明 :1AB AC ⊥; (Ⅱ若 2AB CB ==, 1AC =求三棱柱 111ABC A B C -的体积 .1B 1A1【答案】【答案】 (I取 AB 的中点 O, 连接 OC O 、 1OA O 、 1A B , 因为CA=CB,所以 OC AB ⊥, 由于 AB=AA 1,∠BA A1=600,故, AA B ∆为等边三角形 , 所以 OA 1⊥AB.因为 OC ⨅ OA 1=O,所以 AB ⊥平面 OA 1C. 又 A 1CC 平面 OA 1C, 故 AB ⊥AC. (II由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形, 12AA B 都是边长为的等边三角形,所以2211111. OC OA AC AC OA OA OC ===+⊥又 ,故111111111, --=3.ABC ABCOC AB O OA ABC OA ABC A B CABC S A B C V S OA=⊥∆=⨯=因为所以平面 , 为棱柱的高,又的面积 ABC 的体积9. (2013年高考山东卷 (文如图 , 四棱锥 P ABCD -中 , , AB AC AB PA⊥⊥, , 2AB CD AB CD=∥ , , , , ,E F G M N 分别为, , , ,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ求证 :CE PAD∥平面 ; (Ⅱ求证 :EFG EMN⊥平面平面【答案】10. (2013年高考四川卷(文如图 , 在三棱柱11ABC A B C-中 , 侧棱1AA ⊥底面ABC , 122AB AC AA ===, 120BAC ∠= , 1, D D 分别是线段 11, BC B C 的中点 , P 是线段 AD 上异于端点的点 .(Ⅰ在平面 ABC 内 , 试作出过点 P 与平面 1A BC 平行的直线 l , 说明理由 , 并证明直线 l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ设 (Ⅰ中的直线 l 交 AC 于点 Q , 求三棱锥 11A QC D -的体积 .(锥体体积公式 :13V Sh =, 其中 S 为底面面积 , h 为高【答案】解:(Ⅰ如图 , 在平面 ABC 内 , 过点 P 作直线 BC l //, 因为 l 在平面 BC A 1外 , BC 在平面 BC A 1内 ,由直线与平面平行的判定定理可知 , //l 平面 1A BC .由已知 , AC AB =, D 是 BC 中点 , 所以 BC ⊥ AD , 则直线 AD l ⊥, 又因为1AA ⊥底面 ABC , 所以 l AA ⊥1,又因为 AD , 1AA 在平面 11A ADD 内 , 且 AD 与 1AA 相交 , 所以直线⊥l 平面11A ADD(Ⅱ过 D 作 AC DE ⊥于 E , 因为 1AA ⊥平面 ABC , 所以 DE AA ⊥1,又因为 AC , 1AA 在平面 C C AA 11内 , 且 AC 与 1AA 相交 , 所以⊥DE 平面C C AA 11,由 2==AC AB ,∠ BAC ︒=120, 有 1=AD ,∠ DAC ︒=60, 所以在△ ACD 中 , 2 323==AD DE , 又 1211111=⋅=∆AA C A S AQC , 所以 631233*********=⋅⋅=⋅==--QC A QC A D D QC A S DE V V 因此三棱锥 11A QC D -的体积为 6311. (2013年高考湖北卷(文如图 , 某地质队自水平地面 A , B , C 三处垂直向地下钻探 , 自 A 点向下钻到A 1处发现矿藏 , 再继续下钻到 A 2处后下面已无矿 , 从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 121A A d =. 同样可得在 B , C 处正下方的矿层厚度分别为 122B B d =, 123C C d =, 且 123d d d <<. 过AB , AC 的中点 M , N 且与直线 2AA 平行的平面截多面体 111222A B C A B C -所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面 , 其面积记为 S 中 .(Ⅰ证明 :中截面 DEFG 是梯形 ;(Ⅱ在△ ABC 中 , 记 BC a =, BC 边上的高为 h , 面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏储C 11BC B 1量 (即多面体 11122A B C A B C -的体积 V 时 , 可用近似公式 V S h =⋅估中来估算 . 已知1231( 3V d d d S =++, 试判断 V 估与 V 的大小关系 , 并加以证明 .【答案】 (Ⅰ依题意 12A A ⊥平面 ABC , 12B B ⊥平面 ABC , 12C C ⊥平面ABC ,所以 A 1A 2∥ B 1B 2∥ C 1C 2. 又 121A A d =, 122B B d =, 123C C d =, 且 123d d d << . 因此四边形 1221A A B B 、 1221A A C C 均是梯形 .由 2AA ∥平面 MEFN , 2AA ⊂平面 22AA B B , 且平面 22AA B B 平面 MEFN ME =, 可得 AA 2∥ ME , 即 A 1A 2∥ DE . 同理可证 A 1A 2∥ FG , 所以 DE ∥ FG . 又 M 、 N 分别为 AB 、 AC 的中点 ,则 D 、 E 、 F 、 G 分别为 11A B 、 22A B 、 22A C 、 11A C 的中点 , 即DE 、 FG 分别为梯形 1221A A B B 、 1221A A C C 的中位线 .因此 12121211( ( 22DE A A B B d d =+=+, 12121311( ( 22FG A A C C d d =+=+,而 123d d d <<, 故 DE FG <, 所以中截面 DEFG 是梯形 . (Ⅱ V V <估 . 证明如下 :由 12A A ⊥平面 ABC , MN ⊂平面 ABC , 可得 12A A MN ⊥.而 EM ∥ A 1A 2, 所以 EM MN ⊥, 同理可得 FN MN ⊥.由 MN 是△ ABC 的中位线 , 可得 1122MN BC a ==即为梯形 DEFG 的高 ,因此 13121231( (2 22228DEFG d d d d a aS S d d d ++==+⋅=++中梯形 ,即 123(2 8ahV S h d d d =⋅=++估中 . 又 12S ah =, 所以 1231231( ( 36ahV d d d S d d d =++=++. 第 20题图于是 1231232131( (2 [( (]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估 . 由 123d d d <<, 得 210d d ->, 310d d ->, 故 V V <估 .12. (2013年高考课标Ⅱ卷(文如图,直三棱柱 111ABC A B C -中, D , E 分别是AB , 1BB 的中点, 。
2013年高考真题——数学文(全国卷大纲版)解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1U （D ）()()-2,00,2U（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx ->（7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B ）33 （C ）23 （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==u u u r u u u rg 两点,若则（A ）12（B ）22 （C 2 （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =o ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若31sin sin , C.4A C -=求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆o中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()2f ;a x =时，讨论的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且 11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。
2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。
2013备考各地试题解析分类汇编(一)文科数学：2函数1
各地解析分类汇编:函数（1）1.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A.xx f 1)(= B.x x f -=)( C.xx x f 22)(-=- D.x x f tan )(-= 【答案】C 【解析】xx f 1)(=在定义域上是奇函数，但不单调。
x x f -=)(为非奇非偶函数。
x x f tan )(-=在定义域上是奇函数，但不单调。
所以选C.2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】函数x x x f ln )1()(+=的零点有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 【答案】B【解析】由()(1)ln 0f x x x =+=得1ln 1x x =+，做出函数1ln ,1y x y x ==+的图象，如图由图象中可知交点个数为1个，即函数的零点个数为1个，选B.3 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】已知幂函数)(x f 的图像经过（9，3），则)1()2(f f -=A.3B.21-C.12-D.1 【答案】C[来源:学,科,网]【解析】设幂函数为()=f x x α，则(9)=9=3f α，即23=3α，所以12=1=2αα，，即12()=f x x (2)1f f -，选C.4 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】若02log 2log <<b a ，则 A.10<<<b a B.10<<<a bC.1>>b aD.1>>a b 【答案】B【解析】由02l o g 2l o g <<b a 得2211log log a b <<，即22log log 0b a <<，所以10<<<a b ，选B.5 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】函数xx y ||lg =的图象大致是【答案】D【解析】函数lg ||()=x y f x x=为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,B.当=1x 时，lg ||(1)=0x f x=，排除C,选D. 6 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 为函数)(x F 的单调递增区间，将)(x F 图像向右平移π个单位得到一个新的)(x G 的单调减区间的是A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-02，π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡02，π C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223， 【答案】D 【解析】因为函数()()(),F x f x f x x R=+-∈为偶函数，在当[]2x ππ∈，为减函数，)(x F 图像向右平移π个单位，此时单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，选D. 6 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】已知)2()(),1()1(+-=-=+x f x f x f x f ，方程0)(=x f 在［0，1］内有且只有一个根21=x ，则0)(=x f 在区间[]2013,0内根的个数为A.2011B.1006C.2013D.1007 【答案】C【解析】由(1)(1)f x f x +=-，可知(2)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期是2，由()(2)f x f x =-+可知函数()f x 关于直线1x =对称，因为函数0)(=x f 在［0，1］内有且只有一个根21=x ，所以函数0)(=x f 在区间[]2013,0内根的个数为2013个，选C. 7.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫做函数)(x f 的“新驻点”，若函数3(),()ln(1),()1g x x h x x x x φ==+=-的“新驻点”分别为γβα，，，则γβα，，的大小关系为A.βαγ>>B.γαβ>>C.γβα>>D.αγβ>> 【答案】A【解析】'()1g x =，所以由()'()g g αα=得1α=。
2013高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版
3．已知向量 m 1,1 , n 2,2 , 若 m n m n , 则 = （A） 4 （B） 3 （C） -2 （D） -1 【答案】B 【考点】考查平面向量垂直，数量积坐标运算. 【解析】∵ m n m n , ∴ m n m n 0 ∴ m n 0
a7 4 a1 6d 4 ，所以 a19 2a9 a1 18d 2(a1 8d )
解得 a1 1 ， d
1 n 1 ，所以 an 的通项公式为 an . 2 2
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（Ⅱ） bn
1 2 2 2 所以 nan n(n 1) n n 1
∵ MA MB 0 ∴ ( x1 2, y1 2) ( x2 2, y2 2) 0
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即 ( x1 2,)( x2 2) ( y1 2)( y2 2) 0 即 x1 x2 2( x1 x2 ) 4 y1 y2 2( y1 y2 ) 4 0 ○ 1 ∵
（I）求 an 的通项公式； （II）设 bn
1 , 求数列bn 的前n项和Sn . nan
【考点】考查等差数列通项公式、前 n 和项公式和裂项求和的方法；考查方程思想。转化思 想及逻辑思维及逻辑思维能力。 【解析】(Ⅰ)设等差数列 an 的公差为 d ，则 an a1 (n 1)d 因为
2 2
即 1 1 [ 2 4] 0 ∴ 3 ，故选 B.
2 2 2 4．不等式 x 2 2的解集是
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（A） -1,1 （B） -2, 2 （C） -1,0 0,1 （D） -2,0 0, 2 【答案】D 【考点】考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法 【解析】 | x2 2 | 2 2 x2 2 2 0 x2 4 0 | x | 2
全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编7 立体几何 文
2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）如图3所示,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰梯形,等腰直角三角形和长方形,则该几何体体积为（ ）A ．53 BC ．73D ．103【答案】A 该几何体的直观图如图所示,由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱.四棱锥的体积为111133V =⨯=,直三棱柱的体积为2111212V =⨯⨯⨯=,∴该几何体的体积为12523V V +=.2 ．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是（ ）正视图俯视图侧视图图3A ．π12B ．π24C ．π32D ．π48 【答案】D 【解析】由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD 是边长为4的正方形,高为4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为4=,即球的半径为,所以该球的表面积是2448ππ=.选D ．3 ．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形,俯视图是一个圆,尺寸如图,那么这个几何体的外接球的体积为（ ）A B C D【答案】D 4 ．（2013届海南省高考压轴卷文科数学）如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图. 其中真命题的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】答案:A考点:简单空间图形的三视图.分析:由三棱柱的三视图中,两个矩形,一个三角形可判断①的对错,由四棱柱的三视图中,三个均矩形,可判断②的对错,由圆柱的三视图中,两个矩形,一个圆可以判断③的真假.本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键.解答:解:存在正三棱柱,其三视图中有两个为矩形,一个为正三角形满足条件,故①为真命题;存在正四棱柱,其三视图均为矩形,满足条件,故②为真命题;对于任意的圆柱,其三视图中有两个为矩形,一个是以底面半径为半径的圆,也满足条件,故③为真命题; 5 ．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）在空间中,a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题正确的是 （ ） A ．若a ∥α,b ∥a ,则b ∥αB ．若a ∥α,b ∥α,a ⊂β,b ⊂β,则β∥αC ．若α∥β,b ∥α,则b ∥βD ．若α∥β,aα,则a ∥β【答案】D 6 ．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）在空间,下列命题正确的是 （ ）A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案. 7 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成60 角,则正三棱锥外接球面积为 （ ）A ．4πB ．C ．16πD ．【答案】C 8 ．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）(2013青岛市一模)已知m 、n 、l 是三条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出以下命题:①若,//m n αα⊂,则//m n ; ②若l m l n m ⊥=⋂⊥⊂⊂,,,,βαβαβα,则n m ⊥;③若//n m ,m α⊂,则//n α;④若//αγ,//βγ,则//αβ.其中正确命题的序号是( ) （ ） A ．②④ B ．②③ C ．③④ D ．①③ 【答案】 （ ） A ．【解析】①中直线还可能异面;③中需指明直线n 不在平面内. 9 ．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（ ）326【答案】A 【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为1111133⨯⨯⨯=,选 （ ）A ． 10．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．9B ．10C ．11D ．232【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形高是3的直四棱柱的基础上截去一个底面积为12112⨯⨯=高为3的三棱锥形成的,所以43111.V =⨯-=11．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 （ ）A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．25a π 【答案】解析:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱,则其外接球的半径为R ==,球的表面积为222774123a R a ππ=⋅=,应选 B ．命题意图:本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力. 12．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）333【答案】C【解析】几何体是正方体截去一个三棱台, 311172(22323V =-⋅++⨯=13．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））如图,已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球,则平面ACD 1截球O 的截面面积为（ ）A ．6πB ．3πC D 【答案】A 14．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该儿何体的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．240【答案】B15．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））设αβγ、、为平面,a b 、为直线,给出下列条件:①,,//,//a b a b αββα⊂⊂ ②//,//αγβγ③,αγβγ⊥⊥ ④,,//b a b ααβ⊥⊥基中能//αβ能的条件是 （ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C16．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l ; ②若α⊥β,则m∥l ; ③若m⊥l ,则α∥β; ④若m∥l ,则α⊥β 其中正确命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①④对,②③错17．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知m ,n 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（ ）A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α,则α//nD ．若α⊥n n m ,//,则α⊥m【答案】D 【解析】根据线面垂直的性质可知,选项D 正确. 18．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）(2013日照市一模)右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（ ）A．20+B．24+C ．8D ．16【答案】 （ ）A ．【解析】由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的矩形宽为,由面积得长为4,则1+2=24+2S S S =⨯⨯⨯⨯侧底（）2 =2820+.19．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）已知三棱锥底面是边长为1的正三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为 （ ）AB．12CD【答案】D二、填空题20．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））已知直二面角βα--l ,点C l AC A ,,⊥∈α为垂足,点D l BD B ,,⊥∈β为垂足,点AC=BD=1,CD=2,异面直线AB与CD 所成的角等于________(用反余弦表示) 【答案】36arccos21．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）如图为某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是_______________.【答案】2π+ 词【解析】:由三视图知,该几何体由两个共底面的半圆锥构成(如图所示),两个半圆锥侧面积的和为2π,四边形ABCD 由两个等边三角形构成,其面积为24=,故该几何体的表面积为2π+.22．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为_____.【答案】解析:设ABCD 所在的截面圆的圆心为M,则=,22=,1623O ABCD V -=⨯⨯=. 23．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_____________【答案】54【解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱.棱柱的高为4,,底面梯形的上底为4,下底为5,腰CD ==所以梯形的面积为(45)32722S +⨯==,所以该几何体的体积为274542⨯=.24．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）如图,若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同,且均为面积等于2的等腰直角三角形,则该几何体的体积为______.【答案】π25．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）某几何体的三视图如图所示,根据图中的数据,可得该几何体的体积是______.【答案】323【解析】本题考查三视图还原成立体图和棱锥的体积公式.由题知立体图如图所示4,4,3,1,,AE BD BE CE AE BC BD ABC ====⊥⊥面,所以14482ABC S ∆=⨯⨯=, 132433ABC V S ∆=⨯⨯=. 26．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为_____.【答案】 π54三、解答题27．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）如图,在三棱锥A BCD-中,90ABC BCD CDA ︒∠=∠=∠=,6AC BC CD ===,设顶点A 在底面BCD 上的射影为E . (Ⅰ)求证:CE BD ⊥;(Ⅱ)设点G 在棱AC 上,且2CG GA =,试求二面角C EG D --的余弦值.【答案】证明:(I)方法一:由AE ⊥平面BCD 得AE ⊥CD , 又AD ⊥CD ,则CD ⊥平面AED , 故CD DE ⊥,同理可得CB BE ⊥,则BCDE 为矩形,又BC CD =, 则BCDE 为正方形,故CE BD ⊥方法二:由已知可得AB BD AD ===,设O 为BD 的中点,则,AO BD CO BD ⊥⊥,则BD ⊥平面AOC ,故平面BCD ⊥平面AOC ,则顶点A 在底面BCD 上的射影E 必在OC ,故CE BD ⊥.(II)方法一:由(I)的证明过程知OD ⊥平面AEC ,过O 作OF EG ⊥,垂足为F ,则易证得DF EG ⊥,故OFD ∠即为二面角C EG D --的平面角,由已知可得6AE =,则2AE AG AC =⋅,故EG AC ⊥,则2CGOF ==,又OD =则DF =故cos OFD ∠=,即二面角C EG D --方法二: 由(I)的证明过程知BCDE 为正方形,如图建立坐标系,则(0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)E D A B C ,AGEDCB可得(2,2,4)G ,则)4,2,2(),0,6,0(==→→EG ED ,易知平面CEG的一个法向量为)0,6,6(-=→BD ,设平面DEG 的一个法向量为)1,,(y x n =→,则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00EG n ED n 得)1,0,2(-=→n ,则510cos =⋅=〉⋅〈→→→→→→nBD n BD n BD ,即二面角C EG D --28．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）如图,1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线,BC是底面圆O 的直径,D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点,1DE CBB ⊥平面.(1) 证明://DE ABC 平面; (2)求四棱锥11C ABB A -与圆柱1OO 的体积比;(3)若1BB BC =,求直线1CA 与平面1BB C所成角的正弦值.【答案】(1)如图,连接.E OA O O E 、、分别为1CB BC 、的中点,EO ∴是1BB C ∆的中位线,1//EO BB ∴且112EO BB =.又111//,DA BB AA BB =,故11,2DA BB EO DA ==∴//EO 且DA EO =, ∴四边形AOED 是平行四边形,即//DE OA ,又,,//DE ABC OA ABC DE ABC ⊄⊂∴平面平面平面. (2)如图,连接CA .由题知1DE CBB ⊥平面,且由(1)知//DE OA ,1,AO CBB AO BC ∴⊥∴⊥平面,AC AB ∴==.BC 是底面圆O 的直径,CA AB ∴⊥.又1AA 是圆柱的母线,1AA ABC ∴⊥平面,11,AA CA AA AB A ∴⊥= 又,11CA AA B B ∴⊥平面, 即CA 为四棱锥11C ABB A -的高. 设圆柱高为h ,底面半径为r ,则))112212=,33C ABB A V r h V h hr π-=⋅=圆柱, 1122223:3C ABB A hrV V r h ππ-∴==圆柱. (3)如图,作过C 的母线1CC ,连接11B C ,则11B C 是上底面圆1O 的直径,连接11A O ,则11//AO AO ,又111111,AO CBB C AO CBB C ⊥∴⊥平面平面,连接1CO ,则11ACO ∠为直线1CA 与平面1BB C 所成的角.111,AC AO r ==== ,∴在11Rt AO C ∆中,11111sin A O A CO A C ∠==∴直线1CA 与平面1BB C 29．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）在如图所示的几何体中,AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD =DE =2AB ,F 为CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF ∥平面BCE ;(Ⅱ)求证:平面BCE ⊥平面CDE.【答案】证明:(1)如图,取CE 的中点G ,连接FG ,BG . ∵F 为CD 的中点,∴GF ∥DE ,且GF =12DE .∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,∴AB ∥DE .∴GF ∥AB . 又AB =12DE ,∴GF =AB .∴四边形GFAB 为平行四边形,则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE ,∴AF ∥平面BCE.(2)∵△ACD 为等边三角形,F 为CD 的中点,∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,∴DE ⊥AF .又CD ∩DE =D ,∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ,∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ,∴平面BCE ⊥平面CDE . 30．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）如图(1),在等腰梯形CDEF 中,CB.DA 是梯形的高,2AE BF ==,AB =现将梯形沿CB.DA 折起,使EF//AB 且2EF AB =,得一简单组合体ABCDEF 如图(2)所示,已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点. (Ⅰ)求证://MN 平面BCF ;(Ⅱ)求证:AP ⊥平面DAE .DCBAEFMNPFEABCD【答案】解:(Ⅰ)证明:连结AC ,∵四边形ABCD 是矩形,N 为BD 中点,MNPFEABCD∴N 为AC 中点,在ACF ∆中,M 为AF 中点 ∴//MN CF∵CF ⊂平面BCF ,MN ⊄平面BCF //MN ∴平面BCF(Ⅱ)证明:依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I ∴AD ⊥平面ABFE ∵AP ⊂平面ABFE ∴AP AD ⊥∵P 为EF中点,∴FP AB ==结合//AB EF ,知四边形ABFP 是平行四边形 ∴//AP BF ,2AP BF ==而2,AE PE ==∴222AP AE PE += ∴90EAP ∠= ,即AP AE ⊥ 又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE31．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）如图,在四棱锥ABCD -PGFE 中,底面ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB //DC ,∠ABC =45o,DC =1,AB =2,PA =1. (Ⅰ)求PD 与BC 所成角的大小; (Ⅱ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅲ)求二面角A -PC -D 的大小.【答案】(Ⅰ)取的AB 中点H ,连接DH ,易证BH//CD ,且BD =CD所以四边形BHDC 为平行四边形,所以BC//DH 所以∠PDH 为PD 与BC 所成角因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC =45o, 所以DA ⊥AB 又因为AB =2DC =2,所以AD =1, 因为Rt△PAD 、Rt△DAH 、Rt△PAH 都为等腰直角三角形,所以PD =DH =PH故∠PDH =60o(Ⅰ)连接CH ,则四边形ADCH 为矩形, ∴AH =DC 又AB =2,∴BH =1 在Rt△BHC 中,∠ABC =45o, ∴CH =BH =1,CB∴AD =CH =1,AC∴AC 2+BC 2=AB 2∴BC ⊥AC 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ∵PA ∩AC =A ∴BC ⊥平面PAC(Ⅲ)如图,分别以AD 、AB 、AP 为x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系,则由题设可知: A (0,0,0),P (0,0,1),C (1,1,0),D (1,0,0), ∴AP =(0,0,1),PC=(1,1,-1)设m =(a ,b ,c )为平面PAC 的一个法向量, 则00AP PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ,即00c a b c =⎧⎨+-=⎩ 设1a =,则1b =-,∴m =(1,-1,0)同理设n =(x ,y ,z ) 为平面PCD 的一个法向量,求得n =(1,1,1)∴1cos ,2=== m n m n m n 所以二面角A -PC -D 为60o32．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,点E 在线段AD 上,且CE ∥AB . (1) 求证:CE ⊥平面PAD ;(11)若PA =AB =1,AD =3,CD,∠CDA =45°,求四棱锥P-ABCD 的体积.【答案】(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD,所以PA⊥CE,因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA ⋂AD=A,所以CE ⊥平面PAD(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD 中,DE=CD cos 451⋅= ,CE=CD sin 451⋅= .又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE 为矩形,所以ABCD ABCE BCD S S S ∆=+=12AB AE CE DE ⋅+⋅=15121122⨯+⨯⨯=,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD 的体积等于115513326ABCD S PA ⋅=⨯⨯=33．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）如图所示,已知圆O 的直径AB 长度为4,点D为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD BD =. (Ⅰ)求证:CD ⊥平面PAB ;(Ⅱ)求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值.【答案】解答:(Ⅰ)连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点,又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, BC =知,60CAB ∠= , ∴ACO ∆为等边三角形,从而CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥,由PD AO D = 得,CD ⊥平面PAB(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.) (Ⅱ)法1:过D 作⊥DH 平面PBC 交平面于点H ,连接PH ,则DPH ∠即为所求的线面角由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,∴111113333232P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=又PB ==,PC ==,BC ==,∴PBC ∆为等腰三角形,则12PBC S ∆=⨯=. 由P BDC D PBC V V --=得,553=DH ∴55sin ==∠PD DH DPH法2:由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,过点D 作DE CB ⊥,垂足为E ,连接PE ,再过点D 作DF PE ⊥,垂足为F∵PD ⊥平面ABC ,又CB ⊂平面ABC , ∴PD CB ⊥,又PD DE D = , ∴CB ⊥平面PDE ,又DF ⊂平面PDE , ∴CB DF ⊥,又CB PE E = ,∴DF ⊥平面PBC ,故DPF ∠为所求的线面角在Rt DEB ∆中,3sin 302DE DB =⋅=,PE ==55sin sin ==∠=∠PE DE DPE DPF 34．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）已知直角梯形ABCD中,//AD BC ,122AD AB BC ===,90ABC ∠=︒,PAB ∆是等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD . (Ⅰ)求证:BD DC ⊥;(Ⅱ)求三棱锥P BCD -的体积.【答案】【解析】(Ⅰ)∵2AD =,2AB =,45AD AB ADB DBC ⊥⇒∠=∠=︒ 过D 作DM BC ⊥,垂足为M ,则2DM AB MC === ∴45DCM ∠=︒,∴90BDC ∠=o ,∴BD DC ⊥.(Ⅱ)21132P BCD V -===. 35．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）如图,已知在四棱锥PABCD 中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA ⊥平面ABCD,E,F 分别是线段AB,BC 的中点.(1)证明:PF ⊥FD ;(2)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得EG ∥平面PFD ;(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°,求二面角A PD F 的余弦值.【答案】(1)证明:∵PA ⊥平面ABCD ,∠BAD =90°,AB =1,AD =2,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),F (1,1,0),D (0,2,0).不妨令P (0,0,t ),∵PF =(1,1,-t ),DF=(1,-1,0), ∴PF DF ⋅=1×1+1×(-1)+(-t )×0=0,即PF ⊥FD(2)解:设平面PFD 的法向量为n =(x ,y ,z ),由0,0,n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z =1,解得:x =y =t2. ∴n =⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t2，1. 设G 点坐标为(0,0,m ),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0,则EG =⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m ,要使EG ∥平面PFD ,只需EG ·n =0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t2+0×t 2+1×m =m -t 4=0,得m =14t ,从而满足AG =14AP 的点G 即为所求(3)解:∵AB ⊥平面PAD ,∴AB 是平面PAD 的法向量,易得AB=(1,0,0),又∵PA ⊥平面ABCD ,∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角,得∠PBA =45°,PA =1,平面PFD 的法向量为n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.∴cos<AB ,n >=AB n AB n⋅=1214＋14＋1=66. 故所求二面角A PD F 的余弦值为6636．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）在直角梯形ABCD 中90ABC DAB ∠=∠= ,30CAB ∠= ,BC=1,AD=CD,把△DAC 沿对角线AC 折起后如图所示(点D 记为点P),点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上,连接PB.若F 是AC 的中点,连接PF,EF. (1) 求证:平面PEF⊥AC. (2) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小.AC【答案】解:1.AC90,30,1ABC DAB CAB BC ∠=∠=∠== 2,60.2tan 30BC AB AC DAC AD CD AC ∴===∠=∴===,.PA PC PF AC =∴⊥E P ABC PE ABC PE AC ∴⊥∴⊥ 点为点在平面上的正投影，平面.,,PF PE P PF PEF PE PEF AC PEF =⊂⊂∴⊥ 平面平面平面【D 】2． PE ABC PE BC ⊥∴⊥ 平面,,,BC AB PE AB E PE PAB BC PAB ⊥=⊂∴⊥ 平面平面CPB PC PAB ∴∠为直线与平面所成的角.1t sin =.2BC PC ∴∠ 在R CBP 中，BC=1,PC=DC=2,CPB=00,30.<∠∴∠=CPB<9CPB ∴直线PC 与平面PAB 所成的角为 30 37．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点, E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =.(1)求证:GE //侧面11AA B B ;(2)求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值;(3)在直线．．AG 上是否存在点T,使得AG T B ⊥1?若存在,指出点T 的位置;若不存在,说明理由.【答案】【解析】解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点F,11B EC ∆ ∽△FEB,BE=21EC 1,∴BF=21B 1C 1=21BC, 从而点F 为BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心,∴A、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==, 又GE ⊄侧面AA 1B 1B,∴GE//侧面AA 1B 1B.(2)在侧面AA 1B 1B 内,过B 1作B 1H⊥AB,垂足为H,∵侧面AA 1B 1B⊥底面ABC, ∴B 1H⊥底面ABC.又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,AA 1=2,∴∠B 1BH=60°,BH=1,B 1H=.3在底面ABC 内,过H 作HT⊥AF,垂足为T,连B 1T,由三垂线定理有B 1T⊥AF, 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF,∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH 2330sin =︒.在Rt△B 1HT中,332tan 11==∠HT H B TH B ,从而平面B 1GE 与底面ABC (3)(2)问中的T 点即为所求,T 在AG 的延长线上,距离A 点233处. 38．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F分别为DD 1、DB 的中点.(I)求证:EF//平面ABC 1D 1; (II)求证:1EF B C ⊥..【答案】(Ⅰ)连结1BD ,在B DD 1∆中,E 、F 分别为1D D ,DB 的中点,则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面(Ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥B BC AB D ABC C B D ABC AB BC C B ABC B 111111111 面面⇒111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥39．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））已知矩形ABCD中,1AB AD ==,将ABD ∆沿BD 折起,使点A 在平面BCD 内的射影落在DC上.(Ⅰ)求证:平面ADC ⊥平面BCD ; (Ⅱ)求点C 到平面ABD 的距离;(Ⅲ)若E 为BD 中点,求二面角B AC E --的大小.【答案】证明:(Ⅰ)∵点A 在平面BCD 上的投影落在DC 上,即平面ACD 经过平面BCD 的垂线,∴平面ACD ⊥平面BCD (Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,0)(0,C B D∵A 的投影在DC 上,令00(0,,)A y z 由 0||1DA AB DA ⋅==即2200022000010y z y z ++=+++= (0,A ∴,由(0,AB AD == ,求得平面ABD 的一个法向量为(1)n =-,而AC = ,∴C 到平面BCD 的距离为||||AC n d n ⋅==(Ⅲ)由(1,(1,0,0)BA CB =-=,求得平面BAC 的一个法向量1(0,1,1)n =FC DBAE1A 1B 1C 1D1(,0,2AC AE == ,求得平面AEC 的一个法向量2n =由图可见B AC E --为锐二面角,设此平面角为θ,则1212||cos ||||n n n n θ⋅==⋅45θ∴=︒40．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共2小题,第(Ⅰ)小题6分,第(Ⅱ)小题8分.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 111,2AD A A AB ===,点E 在棱AB 上.(Ⅰ)求异面直线1D E 与1A D 所成的角;(Ⅱ)若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到平面1D EC 的距离.【答案】解法一:(1)连结1AD .由11AA D D 是正方形知11AD A D ⊥. ∵AB ⊥平面11AA D D ,∴1AD 是1D E 在平面11AA D D 内的射影. 根据三垂线定理得11AD D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.(Ⅱ)作DF CE ⊥,垂足为F ,连结1D F ,则1CE D F ⊥.所以1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角,145DFD ∠=︒.于是111,DF DD D F ===,易得Rt Rt BCE CDF ∆≅∆,所以2CE CD ==,又1BC =,所以BE =. 设点B 到平面1D EC 的距离为h ,则由于1,B CED D BCE V V --=即1111113232CE D F h BE BC DD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅, 因此有11CE D F h BE BC DD ⋅⋅=⋅⋅,即=,∴h =.解法二:分别以1,,DD DC DA 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系.(Ⅰ)由1(1,0,1)A ,得1(1,0,1)DA =,设(1,,0)E a ,又1(0,0,1)D ,则1(1,,1)D E a =-.∵111010DA D E ⋅=+-= ∴11DA D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.(Ⅱ)(0,0,1)=m 为面DEC 的法向量,设(,,)x y z =n 为面1CED 的法向量,则(,,)x y z =n|||cos ,|cos 45||||⋅<>===︒=m n m n m n ,∴222z x y =+. ①由(0,2,0)C ,得1(0,2,1)D C =- ,则1D C ⊥ n ,即10D C ⋅=n ,∴20y z -=②由①、②,可取2)=n ,又(1,0,0)CB =,所以点B 到平面1D EC 的距离||CB d ⋅===n |n |. 41．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）如图,在三棱柱ABC —111A B C 中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒,12AC BC CC ===. (1)求证:11AB BC ⊥;(2)求二面角1C —1AB —1A 的大小.【答案】方法一(1)BC AC ⊥,1CC AC ⊥且C CC BC =1 ,∴⊥AC 平面11CBB C , 又⊂1BC 平面11CBB C , ∴1BC AC ⊥,11BC C B ⊥且C C B AC =1∴⊥1BC 平面C AB 1,又⊂1AB 平面C AB 1∴ 11BC AB ⊥(2)取11B A 的中点为H ,在平面11ABB A 内过H 作1AB HQ ⊥于Q ,连接Q C 1 则⊥H C 1平面11ABB A ,所以11AB H C ⊥ , 而且H HQ H C = 1所以⊥1AB 平面HQ C 1,所以⊥1AB Q C 1 所以QH C 1∠是二面角111A AB C --的平面角 , 又21=H C在AB A 1∆内,解得36=HQ , 所以 3tan 11==∠HQHC QH C 所以二面角111A AB C --的平面角为060方法2: 建立空间直角坐标系(以C 为原点,CA 为x 轴正半轴,CB 为y 轴正半轴,1CC 为z 轴正半轴)则)2,0,2(),2,0,0(),2,2,0(),0,2,0(),0,0,2(111A C B B A (1)),2,2,2(1-=AB)2,2,0(1-=BC022)2(20211=⨯+-⨯+⨯-=⋅∴BC AB11BC AB ⊥∴(2)取11B A 的中点为H ,则)2,1,1(H .平面11A AB 的法向量)0,1,1(1=C 设平面11AB C 的法向量),,(z y x n =)0,2,0(),2,0,2(111=-=B C C⎩⎨⎧==-∴02022y z x z x y ==∴,0,令1=z∴得平面11AB C 的一个法向量)1,0,1(=n2122|011011|cos =⨯⨯+⨯+⨯=∴θ 又所求二面角111A AB C --的平面角为锐角, 所以二面角111A AB C --的平面角为06042．（2013届海南省高考压轴卷文科数学）如图,在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,D 1D⊥平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A 1B 1,∠BAD=60°. (Ⅰ)证明:AA 1⊥BD;(Ⅱ)证明:CC 1∥平面A 1BD.【答案】分析:(Ⅰ) 由D 1D⊥平面ABCD,可证 D 1D⊥BD.△ABD 中,由余弦定理得 BD 2,勾股定理可得 AD⊥BD,由线面垂直的判定定理可证 BD⊥面ADD 1A 1,再由线面垂直的性质定理可证 BD⊥AA 1.(Ⅱ)连接AC 和A 1C 1,设AC∩BD=E,先证明四边形ECC 1A 1为平行四边形,可得CC 1∥A 1E,再由线面平行的判定定理可证CC 1∥平面A 1BD.解答:证明:(Ⅰ)∵D 1D⊥平面A BCD,∴D 1D⊥BD. 又AB=2AD,AD=A 1B 1,∠BAD=60°,△ABD 中,由余弦定理得 BD 2=AD 2+AB 2﹣2AB•ADcos60°=3AD 2,∴AD 2+BD 2=AB 2, ∴AD⊥BD,又 AD∩DD 1=D,∴BD⊥面ADD 1A 1.由 AA 1⊂面ADD 1A 1,∴BD⊥AA 1.(Ⅱ)证明:连接AC 和A 1C 1,设 AC∩BD=E,由于底面ABCD 是平行四边形,故E 为平行四边形ABCD 的中心,由棱台的定义及AB=2AD=2A 1B 1,可得 EC∥A 1C 1,且 EC=A 1C 1,故ECC 1A 1为平行四边形,∴CC 1∥A 1E,而A 1E ⊂平面A 1BD,∴CC 1∥平面A 1BD 43．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））如图,已知四棱锥E- ABCD 的底面为菱形,且∠ABC =600,AB =EC =2,AE =BE =2.(I)求证:平面EAB ⊥平面ABCD ;(II)求二面角A- EC- D 的余弦值.【答案】解法1:(1)证明:取AB 的中点O,连接EO ,CO∵2==EB AE ,AB =2 ∴△ABC 为等腰三角形∴AB EO ⊥,EO =1 又∵AB =BC ,∠ABC =600∴△ABC 为等边三角形 ∴3=CO ,又EC =2∴222CO EO EC += 即CO EO ⊥,⊥EO 平面ABCD ,且⊂EO 平面EAB∴ 平面EAB⊥平面ABCD,(2)过A 作AH⊥CE 于H 点,过H 作HM//CD,OHM又Rt△EDO 解得DE=22, 所以222DE EC DC =+即EC DC ⊥,所以MH⊥CE,因此∠AHM 为二面角A EC D --的平面角,通过计算知27=AH ,21=MH ,1=AM ,所以7722127214147cos =⨯⨯-+=∠AHM 所以二面角D EC A --的余弦值为772 解法2.(1)设A C∩BD=O,如图,以O 为原点, OC,OB 为x,y 轴建立空间直角坐标系O-xyz 设E(m,n,t ),则A(-1,0,0),C(1,0,0), B(0,3,0), D(0,-3,0),∴),,1(t n m AE +=, ),3,(t n m BE -=,),,1(t n m CE -=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-==+-+==+++=4)1(23(2)1(222222222222t n m CE t n m BE t n m AE 解得:1,23,21==-=t n m所以)1,23,21(-E ,因为AB 的中点)0,33,21(-M ,所以)1,0,0(=ME 即ME⊥平面ABCD,又⊂ME 平面EAB,所以平面EAB⊥平面ABCD, (2))1,23,23(-=CE ,)0,0,2(=AC ,)0,3,1(=DC ,分别设平面AEC,平面ECD 的法向量为),,(),,,(z y x m z y x n '''==则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+⋅+⋅-=⋅0202323x n AC z y x n CE 令y= -2,得)3,2,0(-=n OMxyz⎪⎩⎪⎨⎧='+'=⋅='+'⋅+'⋅-=⋅0302323y x n DC z y x n CE令1-='y ,)32,1,3(-=m 7724762||||,cos =⨯+=⋅⋅>=<m n m n m n所以二面角D EC A --的余弦值为772 解法3:(1)(同解法1);(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OB 所在直线y 轴,OE 所在直线为z 轴, 建立空间直角坐标系如图所示,则)0,1,0(-A ,)0,0,3(C ,)0,2,3(-D ,)1,0,0(E)0,1,3(=AC ,)1,0,3(-=EC .)0,2,0(=DC设平面DEC 的法向量),,(z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅0203y n DC z x n CE ,令1=z ,得)1,0,33(=n 设平面EAC 的法向量),,(z y x m '''=⎪⎩⎪⎨⎧='+'=⋅='-'=⋅0303y x n AC z x n CE ,令1='z ,得)1,1,33(-=m 7723237131||||,cos =⨯+=⋅⋅>=<m n m n m n∴二面角D EC A --的余弦值为772 44．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）( )如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E F 、分别为1DD 、DB 的中点.(1)求证:1EF B C ⊥;(2)求三棱锥1B EFC V -的体积.FE D 1C 1B 1A 1DCB A【答案】【解析】(1)证明:FE D 1C 1B 1A 1DCB A1111111B C ABB C BC AB BC ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⎬⊂⎪⎪=⎭、面111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭面面1111//B C BD EF B C EF BD ⊥⎫⇒⊥⎬⎭(2)11CF BDD B ⊥ 面1CF EFB ∴⊥面,且CF BF ==1112EF BD B F =====13B E === 22211EF B F B E ∴+=即190EFB ︒∠=9分111111111133232B EFC C B EF B EF V V S CF EF B F CF --∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=45．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）如图所示,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面边长和侧棱长都是2,D 是侧棱CC 1上任意一点,E 是A 1B 1的中点. (I)求证:A 1B 1//平面ABD; (II)求证:AB⊥CE;(III)求三棱锥C-ABE 的体积.【答案】解(Ⅰ)证明:由正三木棱住的性质知11B A ∥AB,因为ABD B A ABD AB 平面，平面⊄⊂11, 所以11B A ∥平面ABD.(Ⅱ)设AB 中点为G,连结GE,GC.GC AB G ABC ⊥∴∆为中心，为正三角形，且又EG∥1AA ,GE AB AB AA ⊥∴⊥,1 又GEC AB G GE CG 平面所以⊥=⋂, 而CE AB GEC CE ⊥⊂，所以平面(Ⅲ)由题意可知:ABCABC E ABE c S EG V V ∆--⨯⨯==3146．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）将棱长为a 正方体截去一半(如图7所示)得到如图8所示的几何体,点E ,F 分别是BC ,DC 的中点. (1)证明:1AF ED ⊥;(2)求三棱锥1E AFD -的体积.【答案】(1)证:连接DE ,交AF 于点O ∵1D D ⊥平面ABCD ,AF ⊂平面ABCD ∴1D D AF ⊥∵点E ,F 分别是BC ,1D C 的中点,∴DF CE =又∵AD DC =,90ADF DCE ∠=∠=∴ADF ∆≌DCE ∆,∴AFD DEC ∠=∠ 又∵90CDE DEC ∠+∠=∴90CDE AFD ∠+∠=∴()18090DOF CDE AFD ∠=-∠+∠=,即AF DE ⊥又∵1D D DE D=∴AF ⊥平面1D DE又∵1ED ⊂平面1D DE∴1AF ED ⊥(2)解:∵1D D ⊥平面ABCD ,∴1D D是三棱锥1D AEF-的高,且1D D a=D 1D C BA 1AE F OA 1B 1C 1D 1 ABCD 图7D 1DCBA 1AE F图8∵点E ,F 分别是BC ,1D C 的中点,∴2a DF CF CE BE ====∴AEF ADF FCE ABE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形2111222a AD DF CF CE AB BE=-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅2222234848a a a a a =---=∴11E AFD D AEFV V --=113AEF S D D ∆=⋅⋅2313388a a a =⋅⋅=。
2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析
2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA＝( )A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－14.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.2246.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.210.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－611.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A＝( )1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅A,即可选出正确选项【分析】由题意,直接根据补集的定义求出∁U【解答】解：因为U＝{1,2,3,4,5,},集合A＝{1,2}A＝{3,4,5}所以∁U故选：B.【点评】本题考查补集的运算,理解补集的定义是解题的关键2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.【分析】由α为第二象限角,得到cosα小于0,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值.【解答】解：∵α为第二象限角,且sinα＝,∴cosα＝－＝－.故选：A.【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解：∵,.∴＝(2λ＋3,3),.∵,∴＝0,∴－(2λ＋3)－3＝0,解得λ＝－3.故选：B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)【分析】直接利用绝对值不等式的解法,去掉绝对值后,解二次不等式即可.【解答】解：不等式|x2－2|＜2的解集等价于,不等式－2＜x2－2＜2的解集,即0＜x2＜4, 解得x∈(－2,0)∪(0,2).故选：D.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力.5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r＋1项,令x的指数为6求出x6的系数.【解答】解：(x＋2)8展开式的通项为Tr＋1＝C x 8－r2 r令8－r＝6得r＝2,∴展开式中x6的系数是2 2C82＝112.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)【分析】把y看作常数,求出x：x＝,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解：设y＝log2(1＋),把y看作常数,求出x：1＋＝2y,x＝,其中y＞0,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数：y＝,故选：A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)【分析】由已知可知,数列{an }是以－为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3an＋1＋an＝0∴∴数列{an}是以－为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得,S10＝＝3(1－3－10)故选：C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.【分析】设椭圆的方程为,根据题意可得＝1.再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|＝3算出A、B的坐标,代入椭圆方程得,两式联解即可算出a2＝4,b2＝3,从而得到椭圆C的方程.【解答】解：设椭圆的方程为,可得c＝＝1,所以a2－b2＝1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴,且|AB|＝3∴可得A(1,),B(1,－),代入椭圆方程得,…②联解①②,可得a2＝4,b2＝3∴椭圆C的方程为故选：C.【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长,求椭圆的方程.着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识,属于基础题.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值,求出函数的周期,然后求解ω.【解答】解：由函数的图象可知,(x0,y)与,纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,所以函数的周期T＝2()＝,所以T＝＝,所以ω＝＝4.故选：B.【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法,考查学生的视图用图能力.10.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－6【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a的值.【解答】解：∵y＝x4＋ax2＋1,∴y′＝4x3＋2ax,∵曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,∴－4－2a＝8∴a＝－6故选：D.【点评】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.11.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.【分析】设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解：设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示：则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),＝(1,1,0),＝(1,0,－2),＝(1,0,0),设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取＝(2,－2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||＝,故选：A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2【分析】斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2),代入抛物线方程,利用＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝0,即可求出k的值.【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点(2,0),由题意可知：斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2), 代入抛物线方程,得到k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0,△＞0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1＋x2＝4＋,x1x2＝4.∴y1＋y2＝,y1y2＝－16,又＝0,∴＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝＝0∴k＝2.故选：D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝－1 . 【分析】利用函数的周期,求出f(－1)＝f(1),代入函数的解析式求解即可.【解答】解：因设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.故答案为：－1.【点评】本题考查函数的周期的应用,函数值的求法,值域函数的定义域是解题的关键,考查计算能力.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有60 种.(用数字作答)【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法,2名二等奖,种方法,利用分步计数原理即可得答案.【解答】解：依题意,可分三步,第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法,第二步,再决出2名二等奖,有种方法,第三步,剩余三人为三等奖,根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法.故答案为：60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,掌握分步计数原理是解决问题的关键,属于中档题.15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为0 .【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝－x ＋y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,目标函数z取得最小值,从而得到本题答案.【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(0,),C(0,4)设z＝F(x,y)═－x＋y,将直线l：z＝－x＋y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值＝F(1,1)＝－1＋1＝0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组,求目标函数z＝－x＋y的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于16π.【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.【解答】解：如图所示,设球O的半径为r,AB是公共弦,∠OCK是面面角根据题意得OC＝,CK＝在△OCK中,OC2＝OK2＋CK2,即∴r2＝4∴球O的表面积等于4πr2＝16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(I)由a7＝4,a19＝2a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求an(II)由＝＝,利用裂项求和即可求解【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d∵a7＝4,a19＝2a9,∴解得,a1＝1,d＝∴＝(II)∵＝＝∴sn＝＝＝【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(II)由(I)得到A＋C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A－C),变形后将cos(A ＋C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A－C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A－C的值,与A＋C的值联立即可求出C的度数.【解答】解：(I)∵(a＋b＋c)(a－b＋c)＝(a＋c)2－b2＝ac,∴a2＋c2－b2＝－ac,∴cosB＝＝－,又B为三角形的内角,则B＝120°；(II)由(I)得：A＋C＝60°,∵sinAsinC＝,cos(A＋C)＝,∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝,∴A－C＝30°或A－C＝－30°,则C＝15°或C＝45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.【分析】(I)取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE,证明PB⊥OE,OE∥CD,即可证明PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,即可求得点A到平面PCD的距离.【解答】(I)证明：取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD∴OA＝OB＝OD,即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD,∴PB⊥OE∵O是BD的中点,E是BC的中点,∴OE∥CD∴PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,则OF∥PB由(I)知PB⊥CD,∴OF⊥CD,∵,＝∴△POD为等腰三角形,∴OF⊥PD∵PD∩CD＝D,∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD,CD⊂平面PCD,AE⊈平面PCD,∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF＝∴点A到平面PCD的距离为1.【点评】本题考查线线垂直,考查点到面的距离的计算,考查学生转化的能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【分析】(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”,可得A＝A1•A2.利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”.可得B＝,利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出.【解答】解：(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”.则A＝A1•A2.P(A)＝P(A1•A2)＝.(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”. 则B＝,则P(B)＝P()＝＋＝＋＝.【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.【分析】(I)把a＝代入可得函数f(x)的解析式,求导数令其为0可得x＝－,或x＝－,判断函数在区间(－∞,－),(－,－),(－,＋∞)的正负可得单调性；(II)由f(2)≥0,可得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,由不等式的证明方法可得f′(x)＞0,可得单调性,进而可得当x∈[2,＋∞)时,有f(x)≥f(2)≥0成立,进而可得a的范围.【解答】解：(I)当a＝时,f(x)＝x3＋3x2＋3x＋1,f′(x)＝3x2＋6x＋3,令f′(x)＝0,可得x＝－,或x＝－,当x∈(－∞,－)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,当x∈(－,－)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减,当x∈(－,＋∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；(II)由f(2)≥0,可解得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3()＝3(x－)(x－2)＞0,所以函数f(x)在(2,＋∞)单调递增,于是当x∈[2,＋∞)时,f(x)≥f(2)≥0,综上可得,a的取值范围是[,＋∞)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,涉及函数的最值问题,属中档题.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.【分析】(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1＋x2＝,,再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.【解答】解：(I)由题设知＝3,即＝9,故b2＝8a2所以C的方程为8x2－y2＝8a2将y＝2代入上式,并求得x＝±,由题设知,2＝,解得a 2＝1所以a ＝1,b ＝2(II)由(I)知,F 1(－3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2－y 2＝8 ① 由题意,可设l 的方程为y ＝k(x －3),|k|＜2代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≤－1,x 2≥1,x 1＋x 2＝,,于是 |AF 1|＝＝－(3x 1＋1), |BF 1|＝＝3x 2＋1, |AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1,即故＝,解得,从而＝－ 由于|AF 2|＝＝1－3x 1,|BF 2|＝＝3x 2－1,故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4,|AF 2||BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16 因而|AF 2||BF 2|＝|AB|2,所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.。
2013高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 【答案】B【解析】由补集定义易得{}3,4,5U C A =,故选B. 【考点定位】补集的概念 2、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 【答案】A【解析】因为α是第二象限角，∴12cos 13α===-，故选A. 【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 【答案】B【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-，故选B. 【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2【答案】D【解析】22|2|2222x x -<⇒-<-<2040||2x x ⇒<<⇒<<2002x x ⇒-<<<<或，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 【答案】C【解析】26262+18=2112T C x x ⋅=，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式 6、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由()2111log 11221yy y f x x x x ⎛⎫==+⇒+=⇒= ⎪-⎝⎭， ∵0x >∴0y >∴()11(0)21xfx x -=>-，故选A. 【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化. 7、已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于 （A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 【答案】C【解析】∵130,n n a a ++=∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列.∵24,3a =-∴14a = ∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=第 3 页 共 10 页【答案】C【解析】如图，21213||||,||222AF AB F F ===,由椭圆定义得， 13||22AF a =-○1在Rt △12AF F 中， 2222212123||||||()22AF AF F F =+=+○2由○1○2得，2a =∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，故选C. 【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题中图象可知0042T x x π+-=,∴2T π= ∴22ππω=∴4ω=，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 【答案】D【解析】由题意知311|(42)|428x x y x ax a =-=-'=+=--=，则6a =-.故选D 【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥1111ABCD A BC D -中，12,AA AB =则CD 与平面1BDC 所成的角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3（D ）13【答案】A【解析】如图，在正四棱锥1111ABCD A BC D -中，连结AC 、BD 记交点为O ,连结1OC ,过C 作CH ⊥1OC 于点H,∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD ⊥平面11ACC A ∵CH ⊂平面11ACC A∴CH ⊥BD,∴CH ⊥平面1C BD ∴∠CDH 为CD 与平面1BDC 所成的角.1OC=. 由等面积法得，1OC ·CH=OC ·1CC ，∴222CH ⋅= ∴23CH =∴223sin 13CH CDH CD ∠===，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若0MA MB =，则k =(A)12 （B）2（C（D ）2 【答案】D【解析】设直线AB 方程为(2y k x =-），代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k++=，124x x =（*） ∵0MA MB ⋅=∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-⋅+-= 即1212(2,)(2)(2)(2)0x x y y +++--=即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=○1 ∵1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩∴1212(4)y y k x x +=+-○22212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++○3 由（*）及○1○2○3得2k =，故选D 【考点定位】直线与抛物线相交问题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1f -= .第 5 页 共 10 页【答案】1-【解析】∵()f x 是以2为周期的函数，且[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1(12)(1)121f f f -=-+==-=- 【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答） 【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果,故共12365360C C C =有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .【答案】0【解析】z x y =-+y x z ⇒=+，z 表示直线y x z =+在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，min 0z =【考点定位】线性规划求最值16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【答案】16π【解析】如图，设MN 为公共弦，长度为R,E 为MN 的中点， 连结OE,则OE ⊥MN,KE ⊥MN.∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.∴∠OEK=60°. 又∵△OMN 为正三角形.∴OE=2R . ∵OK=32且OK ⊥EK ∴3sin 602OE ⋅︒=∴3222R ⋅=∴R=2.∴2416S R ππ==【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a ==⎧⎨⎩，所以11164182(8)a d a d a d +=+=+⎧⎨⎩解得11a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （Ⅱ）2)1122(1n n a n n b n n n ==-++=所以2222222)()()122311(n n n S n n -+-++-=+=+ 【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求;B （Ⅱ）若1sin sin ,4A C =求C. 【解析】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此B=120°. （Ⅱ）由(Ⅰ)知A+C=120°，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+coscos sin sin 2sin sin AC A C A C =-+=cos()2sin sin A C A C ++=122+=第 7 页 共 10 页故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此C=15°或C=45°.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,因此;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD.又12OD BD ==OP == 故△POD 为为等腰三角形，因此OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率； （II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14= （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性； （II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=--所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.第 9 页 共 10 页综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =. 所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b =（Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1 由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=-故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-由于21||13AF x ===-22||31BF x ===-故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--= 因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编.doc
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：集合一、选择题1 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞ 2 ．（2013年高考重庆卷（文））已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则)(B A C U ⋃（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}3 ．（2013年高考浙江卷（文））设集合S={x |x >-2},T={x |-4≤x ≤1},则S∩T=（ ） A ．[-4,+∞) B ．(-2, +∞) C ．[-4,1] D ．(-2,1]4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= （ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[-2,2]D ．[-2,1]5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ）A ．∅B ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,1,2,3}-6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且{}4)(=⋃B A C U ,{1,2}B =,则=⋂B C A U （ ）A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则 （ ） A ．{}0 B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,28 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x |-3<x <1},N={-3,-2,-1,0,1},则M ∩N= （ ）A ．{-2,-1,0,1}B ．{-3,-2,-1,0}C ．{-2,-1,0}D ．{-3,-2,-1 }9 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = （ ）A ．{0}B ．{-1,,0}C ．{0,1}D ．{-1,,0,1} 10．（2013年高考江西卷（文））若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a= （ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或411．（2013年高考湖北卷（文））已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3,4}B =,则=⋂A C B U （ ）A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5} 12．（2013年高考广东卷（文））设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-13．（2013年高考福建卷（文））若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ,则B A 的子集个数为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．1614．（2013年高考大纲卷（文））设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð （ ） A ．{}1,2 B ．{}3,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅ 15．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则AB = （ ） A ．{}0 B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 16．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（ ） A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1 二、填空题 17．（2013年高考湖南（文））对于E={a 1,a 2,.a 100}的子集X={a 1,a 2,,a n },定义X 的“特征数列”为x 1,x 2,x 100,其中x 1=x 10=x n =1.其余项均为0,例如子集{a 2,a 3}的“特征数列”为0,1,0,0,,0(1) 子集{a 1,a 3,a 5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______;(2) 若E 的子集P 的“特征数列”P 1,P 2,,P 100 满足P 1+P i+1=1, 1≤i≤99;E 的子集Q 的“特征数列” q 1,q 2,q 100 满足q 1=1,q 1+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q 的元素个数为_________.18．（2013年高考湖南（文））已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则()C A B ⋃⋂=_____19．（2013年高考福建卷（文））设T S ,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足;(i)}|)({S x x f T ∈=;(ii)对任意S x x ∈21,,当21x x <时,恒有)()(21x f x f <.那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:①*,N B N A ==; ②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ;③R B x x A =<<=},10|{.其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)2013年高考真题文科数学分类汇编:常用逻辑用语1、（2013年高考（安徽卷））“(21)0x x -=”是“0x =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件2、（2013年高考（福建卷））设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、（2013年高考（湖北卷））在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为=A C UA ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4、（2013年高考（湖南卷））“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、（2013年高考（山东卷））给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6、（2013年高考（上海卷））钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件7、（2013年高考（四川卷））设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
2013年高考数学各地名校文科立体几何试题解析汇编
2013年高考数学各地名校文科立体几何试题解析汇编各地解析分类汇编:立体几何1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的( )A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】若直线相交，则能推出，若直线不相交，则不能推出，所以“，”是“”的必要不充分条件，选C.2 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其全面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.3 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】四面体中，则四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心在上，可以证明为中点，，,所以，球半径，所以外接球的表面积为，选A.4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试】设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是（）A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】D【解析】因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D5 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.6 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．16 B．4 C．8 D．2【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R 为1，则三棱锥的外接球表面积，选B.7 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文】设是直线，a，β是两个不同的平面A. 若∥a，∥β，则a∥βB. 若∥a，⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，⊥a，则⊥βD. 若a⊥β, ∥a，则⊥β【答案】B【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。
2013备考各地试题解析分类汇编(一)文科数学：3导数1
各地解析分类汇编:导数（1）1 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】方程3269100x x x -+-=的实根个数是 A.3 B.2 C.1D.0【答案】C【解析】设32()6910f x x x x =-+-，2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--，由此可知函数的极大值为(1)60f =-<，极小值为(3)100f =-<，所以方程3269100x x x -+-=的实根个数为1个.选C.2 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】曲线x x y +=331在点⎪⎭⎫ ⎝⎛341，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.92 B.91 C.31 D.32【答案】B【解析】2''()+1y f x x ==，在点⎪⎭⎫⎝⎛341，的切线斜率为'(1)2k f ==。
所以切线方程为42(1)3y x -=-，即223y x =-，与坐标轴的交点坐标为21(0,),(,0)33-，所以三角形的面积为11212339⨯⨯-=，选B.3 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在），（∞+-1上是减函数，则b 的取值范围是A.[]∞+-，1B.），（∞+-1C.]1-∞-，（D.），（1-∞- 【答案】C【解析】函数的导数'()2b f x x x =-++，要是函数在），（∞+-1上是减函数，则'()02b f x x x =-+≤+，在），（∞+-1恒成立，即2b x x ≤+，因为1x >-，所以210x +>>，即(2)b x x ≤+成立。
设(2)y x x =+，则222(1)1y x x x =+=+-，因为1x >-，所以1y >-，所以要使(2)b x x ≤+成立，则有1b ≤-，选C.4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】若函数(1)4a xy ex -=+（x ∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是 （ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-【答案】B【解析】解：因为函数y=e （a-1）x+4x ，所以y ′=（a-1）e（a-1）x+4（a ＜1），所以函数的零点为x 0=14lna 1a 1--+，因为函数y=e （a-1）x +4x （x ∈R ）有大于零的极值点，故14lna 1a 1--+＝0，得到a<-3,选B5 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】已知32(),f x ax bx c =++其导函数()f x '的图象如右图，则函数()f x 的极小值是A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c【答案】D【解析】由导函数()f x '的图象知当0x <时，()0f x '<，当02x <<时，()0f x '>，所以函数()f x 的极小值为(0)f c =，选D.6 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知1()c o s ,f x x x=则()()2f f ππ'+=A ．2π-B ．3πC ．1π-D ．3π-【答案】D【解析】因为1()cos ,f x x x=所以211'()cos sin f x x x xx=--，所以1()f ππ=-，2'()2f ππ=-，所以3()()2f f πππ'+=-，选D.7 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 若a>0,b>0,且函数224)(23---=bx axx x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值（）A.2B.3C.6D.9 【答案】D【解析】函数的导数为2'()1222f x x a x b =--，函数在1x =处有极值，则有'(1)1222f a b =--=，即6a b +=，所以6a b =+≥，即9a b ≤，当且仅当3a b ==时取等号，选D.8 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，2)(/>x f ,则()24f x x >+的解集为( )A.(-1，1)B.(-1，+∞)C.(-∞，-l)D.(-∞,+∞) 【答案】B【解析】设()()(24)F x f x x =-+,则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有'()'()20F x f x=->，即函数()F x 在R 上单调递增，则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞，选B.9 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f .【答案】-4【解析】函数的导数为'()22'(1)f x x f =+，所以'(1)22'(1)f f =+，解得'(1)2f =-，所以2()4f x x x =-，所以'()24f x x =-，所以'(0)4f =-。
2013年高考文科数学全国大纲卷卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，文1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则U A ＝()．A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3,4,5}D ．∅ 答案：B解析：由题意得U A ＝{3,4,5}．故选B ．2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )． A ．1213- B ．513- C ．513 D ．1213答案：A解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝1213==-.故选A ．3．(2013大纲全国，文3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 答案：B解析：∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0. ∴|m |2－|n |2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0.∴λ＝－3.故选B ．4．(2013大纲全国，文4)不等式|x 2－2|＜2的解集是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2) 答案：D解析：|x 2－2|＜2⇒－2＜x 2－2＜2⇒0＜x 2＜4⇒0＜|x |＜2⇒－2＜x ＜0或0＜x ＜2.故选D ． 5．(2013大纲全国，文5)(x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( )．A ．28B ．56C ．112D ．224 答案：C解析：T 2＋1＝28C x 8－2·22＝112x 6.故选C ．6．(2013大纲全国，文6)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x －1(x ＞0) 答案：A解析：由y ＝f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⇒1＋1x ＝2y⇒x ＝121y -. ∵x ＞0，∴y ＞0. ∴f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A ． 7．(2013大纲全国，文7)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，243a =-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0⇒a n ＋1＝13-a n ， ∴{a n }是以13-为公比的等比数列． 又∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C ． 8．(2013大纲全国，文8)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )．A ．22x ＋y 2＝1 B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 答案：C解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2， 由椭圆定义得 |AF 1|＝2a －32.① 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝232⎛⎫⎪⎝⎭＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=，应选C ． 9．(2013大纲全国，文9)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．A ．5B ．4C ．3D ．2答案：B解析：∵由题中图象可知x0＋π4－x0＝2T.∴π2T=.∴2ππ2ω=.∴ω＝4.故选B．10．(2013大纲全国，文10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()．A．9 B．6 C．－9 D．－6答案：D解析：由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D．11．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()．A．23B．3C．3D．13答案：A解析：如图，设AA1＝2AB＝2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CH⊥OC1于点H，连结DH.∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵CH⊂平面ACC1A1，∴CH⊥BD．∴CH⊥平面C1BD．∴∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．OC1=由等面积法得OC1·CH＝OC·CC1，22CH=.∴CH＝23.∴sin∠CDH＝22313CHCD==.故选A．12．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()．A．12B．2CD．2答案：D解析：设AB ：y ＝k (x －2)，代入y 2＝8x 得： k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则∴x 1＋x 2＝2248k k +，x 1x 2＝4.(*)∵MA ·MB ＝0， ∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0， 即(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.∴x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.① ∵11222,2,y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)，②y 1·y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]．③由(*)及①②③得k ＝2.故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，文13)设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝______.答案：－1解析：∵f (x )是以2为周期的函数，且x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1.14．(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．(用数字作答)答案：60解析：分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果．故共有123653C C C 60=(种)可能的结果．15．(2013大纲全国，文15)若x ，y 满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z ＝－x ＋y 的最小值为______．答案：0解析：z ＝－x ＋y ⇒y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小．画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A(1,1)时，zmin ＝0.16．(2013大纲全国，文16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于______．答案：16π解析：如图，设MN 为公共弦，长度为R ，E 为MN 中点，连结OE ，EK ，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN . ∴∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角． ∴∠OEK ＝60°.又△OMN 为正三角形，∴OE. ∵OK ＝32，且OK ⊥KE ， ∴OE ·sin 60°＝32.∴3222R ⋅=.∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1)求{a n }的通项公式；(2)设1n nb na =，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d . 因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=(+)⎩解得a 1＝1，12d =.所以{a n }的通项公式为12n n a +=.(2)因为22211n b n n n n ==-(+)+， 所以2222222122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若sin A sin C ，求C ． 解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝11+224⨯＝2，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.19．(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是边长为2的等边三角形．(1)证明：PB ⊥CD ；(2)求点A 到平面PCD 的距离．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 连结OA ，OB ，OD ，OE .由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD ．因此PB ⊥CD ．(2)解：取PD 的中点F ，连结OF ，则OF ∥PB ． 由(1)知，PB ⊥CD ，故OF ⊥CD ．又OD ＝12BD OP = 故△POD 为等腰三角形，因此OF ⊥PD ． 又PD ∩CD ＝D ，所以OF ⊥平面PCD ．因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ． 因此O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而OF ＝12PB ＝1， 所以A 到平面PCD 的距离为1.20．(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)记B 1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”， B 2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”． 则B ＝1B ·B 3＋B 1·B 2·3B ＋B 1·2B . P (B )＝P (1B ·B 3＋B 1·B 2·3B ＋B 1·2B ) ＝P (1B ·B 3)＋P (B 1·B 2·3B )＋P (B 1·2B ) ＝P (1B )P (B 3)＋P (B 1)P (B 2)P (3B )＋P (B 1)P (2B )＝111484++ ＝58. 21．(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1)当a =f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)当a =f (x )＝x 3－2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－＋3.令f ′(x )＝0，得11x =，21x =.当x ∈(－∞1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞1)是增函数；当x ∈11)时，f ′(x )＜0，f (x )在11)是减函数；当x ∈1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在1，＋∞)是增函数． (2)由f (2)≥0得54a ≥-. 当54a ≥-，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥25312x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．(2013大纲全国，文22)(本小题满分12分)已知双曲线C ：22221x y b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C (1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．(1)解：由题设知3c a =，即2229a b a+=，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，并求得x =由题设知，=a 2＝1.所以a ＝1，b =(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k ，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1， 即x 1＋x 2＝23-.故226283kk=--，解得24 5k=，从而x1·x2＝19 9 -.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|＝＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．。
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各地解析分类汇编:立体几何1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】设,a b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l a⊥，l b⊥”是“lα⊥”的( )A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】若直线,a b相交，则能推出lα⊥，若直线,a b不相交，则不能推出lα⊥，所以“l a⊥，l b⊥”是“lα⊥”的必要不充分条件，选C.2 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其全面积是（）A．8B．12C．4(1+D．【答案】B【解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为224⨯=，侧面积为142282⨯⨯⨯=，所以表面积为4812+=，选B.3 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】四面体B C DA-中，,5,4======BDADACBCCDAB则四面体外接球的表面积为（）A．π33 B．π43 C．π36D．π18【答案】A【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，DE==，2,DF EF===,所以2EFGF==，球半径2DG ===，所以外接球的表面积为23344334DG πππ=⨯=，选A. 4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 （ ）A. 若n m n m //,//,//则ααB. 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥ 【答案】D【解析】因为选项A 中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B 中，只有Mm,n 相交时成立，选项C 中，只有m 垂直于交线时成立，故选D5 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是 A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.6 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R 为1，则三棱锥的外接球表面积244S R ππ==，选B.7 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】设l 是直线，a ，β是两个不同的平面 A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥β B. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥β C. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥β D. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β 【答案】B【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B 正确。
8 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π 【答案】C【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为30π，选C.9 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．20+B ．20+C ．20+D ．32【答案】B【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台，=4=16S S 下上，，=4S 侧，所以表面积为 B.10 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】如图， 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点E ，则点E 为△A 1BC 1的A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【解析】如图，1EB F DBE ∆∆,所以:2:1BE EF =,且F 为11A C 的中点，选D.11 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】对于直线m ，n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：（1）若//,,m m n n αα⊥⊥则 （2）若,,//m m n n αα⊥⊥则 （3）若,,//αβγβαγ⊥⊥则 （4）若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】（1）错误。
（2）当n α⊂时，则不成立。
（3）不正确。
当,//,m m n α⊥有n α⊥，又,n β⊂所以有αβ⊥，所以只有（4）正确。
选A.12 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为A ．1 B．3CD．3【答案】B正视图 1 11 侧视图俯视图【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为PAC △，是边长为2的正三角形，PD ABC ⊥平面，且PD ABC △为等腰直角三角形，AB BC =所以体积为1132V =B ．13 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A. 24B. 12C. 8D. 4【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为32,2，所以三角形的底面积为1332222⨯⨯=，所以三棱柱的体积为3462⨯=，所以该几何体的体积为2612⨯=，选B. 14 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是【答案】D【解析】因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D 的正视图和和侧视图不同。
15 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题： ①若；②若. 那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题 【答案】D【解析】若//αβ，则//l m 或,l m 异面，所以①错误。
同理②也错误，所以选D.16 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】．正三棱锥A BCD -内接于球O ，，侧棱长为2，则球O 的表面积为 ． 【答案】163π【解析】如图，设三棱锥A BCD -的外接球球心为O ，半径为r ，BC =CD =AB =AC =AD =2，AM BCD ⊥平面，M 为正BCD △的中心，则DM =1，OA =OD =r ，所以22)1r r -+=，解得r ，所以2164ππ3S r ==． 17 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】在正三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，且侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为____________. 【答案】36π【解析】因为侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，所以把正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线长，设外接球的半径为R ，则263R R ==，，所以外接球的表面积为244936R πππ=⨯=.18 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】某四面体的三视图如上图所示，该四面体四个面的面积中最大的是【答案】10【解析】由三视图还原几何体如下图，8,6,，10显然面积的最大值为10．该四面体四个面的面积中最大的是∆PAC ，面积为10。
19 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B1D 1上有两个动点E 、F，且EF=1，则四面体A —EFB 的体积V 等于 。
【答案】12【解析】连结BD 交AC 与O ,则OA 为四面体A —EFB 的高且2OA =,111122EFB S ∆=⨯⨯=,所以1132212A EFB V -=⨯⨯=。
20 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm ，深2 cm 的空穴，则该球的半径是______cm ，表面积是______cm ². 【答案】10，400π【解析】设球的半径为r ，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，，解得r =10.所以表面积为244100400r πππ=⨯=。
21 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为31122a a a a ⨯⨯⨯=。
22 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】（本小题满分13分） 如图，正三棱柱中，D 是BC 的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：； （Ⅲ）求三棱锥的体积.【答案】 （Ⅰ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴BD 是B 1D 在平面ABC 上的射影 在正△ABC 中，∵D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BD ，根据三垂线定理得，AD ⊥B 1D（Ⅱ）解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE. ∵AA 1=AB ∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C. ………………………… 7分 ∵DE平面AB 1D ，A 1C平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D. ……………………9分（Ⅲ） ……13分23 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。
（1） 求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若PA =AB =1，AD =3，CD ，∠CDA =45°，求四棱锥P-ABCD 的体积. 【答案】(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD,所以PA ⊥CE,因为AB ⊥AD,CE ∥AB,所以CE ⊥AD,又PA ⋂AD=A,所以CE ⊥平面PAD …………5分 (2)解:由(1)可知CE ⊥AD,在直角三角形ECD 中,DE=CD cos 451⋅=,CE=CD sin 451⋅=. 又因为AB=CE=1,AB ∥CE,所以四边形ABCE 为矩形,所以ABCD ABCE BCD S S S ∆=+=12AB AE CE DE ⋅+⋅=15121122⨯+⨯⨯=,又PA ⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD 的体积等于115513326ABCD S PA ⋅=⨯⨯=………….12分24 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】（本小题满分14分） 如图，正三棱柱111ABC ABC -中，12,3,AB AA D ==为1C B 的中点，P 为AB 边上的动点.（Ⅰ）当点P 为AB 的中点时，证明DP//平面11ACC A ； （Ⅱ）若3AP PB =，求三棱锥B CDP -的体积.【答案】25 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离.A 1B 1CBPAC 1D ·【答案】解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C …………2分（1）1111,(1,0,1),(1,,1)0,.DA D E x DA D E =-=⊥因为所以………………6分 （2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而1(1,1,1),(1,2,0)D E AC =-=-，1(1,0,1)AD =-，设平面1ACD 的法向量为(,,)n a b c =，则10,0,n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩也即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a ba c=⎧⎨=⎩，从而(2,1,2)n =，所以点E 到平面1ACD 的距离为1||2121.33||D E n h n ⋅+-===………………………………………………12分 26 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出理由．【答案】解：（1）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ． 因为EA EB =，所以AB EO ⊥． 因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．所以⊥AB 平面EOD ． 所以 ED AB ⊥． ………………4分 （2）解法1：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥ 所以BC ⊥平面ABE则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角设BC=a ，则AB=2a则直角三角形CBE 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为………………8分 解法2：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥， 所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -． 所以 )1,1,1(-=EC ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ， 所以||3,|3||||EC OD EC OD EC OD ⋅〈〉==即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33． ………8分（3证明如下：由33设平面FBD 的法向量为0,0.BD FB ⋅=⋅=所以取1=a ，得)2,1,1(=v ． 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足时，有EC // 平面FBD ． ………………12分 27 届高三9月入学诊断检测 文】(本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(1)求证：BE DE =；(2)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .【答案】(I)设BD 中点为O ，连接OC，OE ，则由BC CD =知，CO BD ⊥，…………2分又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE . …………４分 所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线， 所以BE DE =.…………６分(II)取AB 中点N ，连接,MN DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，…………８分∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥，所以ND ∥BC ，…………1０分所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC . …………12分28 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分12分） 如图所示，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ， QA ＝AB ＝12PD.(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．【答案】(1)证明：由条件知PDAQ 为直角梯形． 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD. 所以PQ ⊥平面DCQ. (2)解：设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1:1.29 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD=2AD=8，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）求四棱锥P—ABCD的体积.【答案】30 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥A BPC中，AP⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．ABMC DP（1）求证：BC ⊥平面APC ；（2）若3BC =，10AB =，求点B 到平面DCM 的距离．【答案】（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ．又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD //AP ，∴AP ⊥PB ．又已知AP ⊥PC ，∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，ACAP A =，∴BC ⊥平面APC ， …………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：记点B 到平面MDC 的距离为h ，则有M BCD B MDC V V --=. ∵AB =10，∴MB =PB =5，又BC =3，BC PC ⊥，4PC ∴=， ∴11324BDC PBC S S PC BC ==⋅=△△．又MD，13M BCD BDC V MD S -∴=⋅=△．在PBC △中，1522CD PB ==，又MD DC ⊥，12MDC S MD DC ∴=⋅=△1112335B MDC MDC V h S h h -∴=⋅=⋅=∴=△，即点B 到平面MDC 的距离为125． ……………………………………………（12分）31 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分） 如图，在多面体ABC —A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC=AB=1，A 1C=A 1B ，B 1C 1//BC ，图41112B C BC =.（I ）求证：面1A AC ABC ⊥面； （II ）求证：AB 1//面A 1C 1C. 【答案】32 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图，PAD ∆为等边三角形，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ，2=AB ，E 、F 、G 分别为PA 、BC 、PD 中点，22=AD 。