习题课——充分条件与必要条件的综合应用
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 充分条件与必要条件的综合应用
实数的取值范围是________________.
[解析]因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件,
− ≤ ,
所以 ⊆ .所以ቊ
解得− ≤ ≤ ，
+ ≥ ,
即实数的取值范围是{| − ≤ ≤ }.
7.已知不等式3 + ≥ 0成立的充要条件为 ≥ 2,求的值.
当 = 时,方程 − + = 有实根 = ,而当方程 − + = 有实根时不
一定是 = ,所以 = 是方程 − + = 有实根的一个充分不必要条件.
6.已知 = {| − 4 < < + 4}, = {|1 < < 3},“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件,则
第一章
习题课 充分条件与必要条件的综合应用
A级 必备知识基础练
1.下列四个条件中,使 > 成立的充分不必要条件是() B
A. > − 1B. > + 1C.2 > 2 D. > 2
2.已知集合 = {| Байду номын сангаас 2 < < + 2}, = {| ≤ −2，或 ≥ 4},则 ∩ = ⌀的充要
= 1（答案不唯一）
个充分不必要条件可以是_____________________.
[解析]因为方程 − + = 有实根,所以 ≥ ,即(−) − ≥ ,解得 ≤ .
反之,当 ≤ 时, ≥ ,则方程 − + = 有实根,
所以 ≤ 是方程 − + = 有实根的充要条件.
解3 + ≥ 0化为 ≥
高中数学必修一第一章 2.1 第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用 (2)
第一章预备知识§2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.设集合A={1,a 2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A ∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件“a=2”时,显然“A ∩B={4}”;但当“A ∩B={4}”时,a 可以为-2,故不能推出“a=2”.2.若p :x-1≤1,q :x ≤a ,且p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(-∞,-2),p :x-1≤1,解得x ≤2.设A={x|x ≤2},B={x|x ≤a },因为p 是q 的充分不必要条件,所以A 是B 的真子集.则a>2.故选A .3.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x ≤-2,或x ≥4},则“A ∩B=⌀”的充要条件是( )A.0≤a ≤2B.-2<a<2C.0<a ≤2D.0<a<2A ∩B=⌀,得{a -2≥-2,a +2≤4,故0≤a ≤2.4.已知p :-1<x<3,q :-1<x<m+1,若q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 .,命题p :-1<x<3,q :-1<x<m+1,因为q 是p 的必要不充分条件,则m+1>3,解得m>2,即实数m 的取值范围是(2,+∞).+∞)5.在△ABC 中,判断“∠B=∠C ”是否是“AC=AB ”的充要条件.“在三角形中,等角对等边”,所以∠B=∠C ⇒AC=AB ;又因为“在三角形中,等边对等角”,所以AC=AB ⇒∠B=∠C.从而∠B=∠C ⇔AC=AB ,因此△ABC 中,“∠B=∠C ”是“AC=AB ”的充要条件.6.求证:“关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.充分性)因为ac<0,所以一元二次方程ax 2+bx+c=0的判别式Δ=b 2-4ac>0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x 1,x 2,则x 1x 2=c a<0,所以方程的两根异号.即方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根.(必要性)一元二次方程有一正根和一负根,设为x 1,x 2,则由根与系数的关系得x 1x 2=c a <0,即ac<0.综上可知,“一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.7.设p :x>a ,q :x>3.(1)若p 是q 的必要不充分条件,求a 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围;(3)若a 是方程x 2-6x+9=0的根,判断p 是q 的什么条件.A={x|x>a },B={x|x>3}.(1)若p 是q 的必要不充分条件,则有B ⫋A ,所以a 的取值范围为{a|a<3}.(2)若p 是q 的充分不必要条件,则有A ⫋B ,所以a 的取值范围为{a|a>3}.(3)因为方程x 2-6x+9=0的根为3,则有A=B ,所以p 是q 的充要条件. 关键能力提升练8.已知p :|x|<a (a>0),q :-1<x+1<4,若p 是q 的充分条件,则a 的取值范围是 ,若p 是q 的必要条件,则a 的取值范围是 .:-a<x<a ,q :-2<x<3,若p 是q 的充分条件,则(-a ,a )⊆(-2,3),所以{-a ≥-2,a ≤3,故a ≤2. 若p 是q 的必要条件,则(-2,3)⊆(-a ,a ),所以{-a ≤-2,a ≥3,则a ≥3.-∞,2] [3,+∞)9.设集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|ax=1},若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,试求满足条件的实数a 组成的集合.A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,∴B⫋A.当B=⌀时,得a=0;当B≠⌀时,由题意得B={1}或B={2}.当B={1}时,得a=1;当B={2}时,得a=12.综上所述,实数a组成的集合是0,1,12.10.(2020江苏高邮中学高一月考)已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.充分性(条件→结论)因为a-b=0,所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.(2)必要性(结论→条件)因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,而a2-ab+b2=a-b22+3b24,又ab≠0,所以a≠0且b≠0,从而a-b22≥0,且3b24>0,所以a2-ab+b2=a-b22+3b24>0,所以a-b=0成立.综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.11.已知p:0<x+m<3m(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.p解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有{-m≥0,2m≤4,m>0,解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有{-m≤0,2m≥4,m>0,解得m≥2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).学科素养拔高练12.证明:如图,“梯形ABCD为等腰梯形”的充要条件是“AC=BD”.(必要性)在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠DCB.又∵BC=CB,∴△BAC≌△CDB(SAS),∴AC=BD.②(充分性)如图,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.∵AD∥BE,DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形,∴DE=AC.∵AC=BD,∴BD=DE.∴∠E=∠1.又∵AC∥DE,∴∠2=∠E,∴∠1=∠2,在△ABC和△DCB中,{AC=D B,∠2=∠1, BC=CB,∴△ABC≌△DCB,∴AB=DC.∴梯形ABCD为等腰梯形.综上可得,“梯形ABCD为等腰梯形”的充要条件是“AC=BD”.。
习题课——充分条件与必要条件的综合应用
习题课——充分条件与必要条件的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知a,b∈R,则“a<0,b>0且a+b<0”是“a<-b<b<-a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析∵a+b<0,∴a<-b,b<-a,∵a<0,b>0,∴a<-b<0<b<-a,因此充分性成立;∵a<-b<b<-a,∴-b<b,a<-a,∴b>0,a<0,∵a<-b,b<-a,∴a+b<0,因此必要性成立,综上“a<0,b>0且a+b<0”是“a<-b<b<-a”的充分必要条件,故选C.答案C2.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=⌀的充要条件是()A.0≤a≤2B.-2<a<2C.0<a≤2D.0<a<2--⇔0≤a≤2.解析A∩B=⌀⇔答案A3.“3x2-8x-3<0”的一个必要不充分条件是()A.-<x<3B.-<x<4C.-<x<D.-1<x<2解析3x2-8x-3<0⇔(3x+1)(x-3)<0⇔-<x<3⇒-<x<4.故选B.答案B4.已知条件p:a=-1,条件q:直线x-ay+1=0与直线x+a2y-1=0平行,则p是q的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为直线x-ay+1=0与直线x+a2y-1=0平行,所以a2+a=0,解得a=0或a=-1;即q:a=0或a=-1;所以由p能推出q;q不能推出p;即p是q的充分不必要条件.故选C.答案C5.“log2a<log2b”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若log2a<log2b,则0<a<b,所以>0,即“log2a<log2b”不能推出“”,反之也不成立,因此“log2a<log2b”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.答案D6.命题p:|x|<a(a>0),命题q:x2-x-6<0,若p是q的充分条件,则a的取值范围是,若p是q的必要条件,则a的取值范围是.解析p:-a<x<a,q:-2<x<3,若p是q的充分条件,则(-a,a)⊆(-2,3),--故a≤2.所以若p是q的必要条件,则(-2,3)⊆(-a,a),--则a≥3.所以答案(-∞,2][3,+∞)7.下列四个命题中为真命题的是.(填序号)①“a>b”是“2a>2b”的充要条件;②“a=b”是“lg a=lg b”的充分不必要条件;③“函数f(x)=ax2+bx(x∈R)为奇函数”的充要条件是“a=0”;④“定义在R上的函数y=f(x)是偶函数”的必要条件是“-=1”.解析①真命题,∵y=2x在R上是增函数,∴a>b⇔2a>2b;②假命题,当a=b<0时,lg a,lg b无意义;③真命题,f(x)是奇函数⇔f(-x)+f(x)=0⇔ax2-bx+ax2+bx=0⇔ax2=0⇔a=0;④假命题,如f(x)=x2-1是偶函数,但f(1)=0,-无意义.答案①③8.已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:x2-6x+9-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.解p:-1≤x≤4,q:3-m≤x≤3+m(m>0)或3+m≤x≤3-m(m<0),解得m≤-4或m≥4.依题意,--或--故实数m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).9.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?解由题意可知,(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充要条件.(2)因为r⇒q,q⇒s⇒r,所以r是q的充要条件.(3)因为q⇒s⇒r⇒p,所以p是q的必要条件.10.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是m≥2.证明(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,所以方程x2+mx+1=0有实根,设两根为x1,x2, 由根与系数的关系知,x1·x2=1>0,所以x1,x2同号.又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负数.即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实根,设其为x1,x2,且x1·x2=1,所以--即或-所以m≥2,即x2+mx+1=0有两个负实根的必要条件是m≥2.综上可知,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充分必要条件.能力提升1.直线l1∥直线l2的一个充分条件是()A.l1∥平面α,l2∥平面αB.l1⊥l3,l2⊥l3C.l1平行于l2所在的平面D.l1⊥平面α,l2⊥平面α解析由线面垂直的性质定理知答案选D.答案D2.“a=b”是“直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切,则圆心(a,b)到直线x-y+=0的距离d==1,即|a-b+|=,解得a-b=0或a-b=-2,即“a=b”是“直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切”的充分不必要条件,故选A.答案A3.已知向量a=(x,y),b=(cos α,sin α),其中x,y,α∈R.若|a|=4|b|,则使a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是()A.λ>3或λ<-3B.λ>1或λ<-1C.-3<λ<3D.-1<λ<1解析由已知得|b|=1,所以|a|==4.所以a·b=x cos α+y sin α=sin(α+φ)=4sin(α+φ)≤4.因为a·b<λ2成立,所以λ2>4,解得λ>2或λ<-2.这是a·b<λ2成立的充要条件,因此,λ>1或λ<-1是a·b<λ2成立的一个必要不充分条件,故选B.答案B4.在下列电路图中,分别指出闭合开关A是灯泡B亮的什么条件:(1)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(2)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(3)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(4)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件.解析(1)开关A闭合,灯泡B亮;反之,灯泡B亮,开关A闭合,于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;(2)仅当开关A,C都闭合时,灯泡B才亮;反之,灯泡B亮,开关A必须闭合,故开关A闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件;(3)开关A不起作用,故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件;(4)开关A闭合,灯泡B亮;但灯泡B亮,只须开关A或C闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件.答案(1)充要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要(4)充分不必要5.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为,若p是q的必要条件,则m的最小值为.解析由|x|≤m(m>0)得:-m≤x≤m,p是q的充分条件⇒ --⇒0<m≤1,∴m的最大值为1.p是q的必要条件⇒ --⇒m≥4,∴m的最小值为4.答案1 46.已知条件P={x|x2-3x+2≤0},条件S={x|1-m≤x≤1+m}.(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由;(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由.解(1)P={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}.要使x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,即-此方程组无解,则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.(2)要使x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,当S=⌀时,1-m>1+m,解得m<0;当S≠⌀时,1-m≤1+m,解得m≥0;要使S⊆P,则有-解得m≤0,综上可得,当实数m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.7.已知p:-<0(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.解由-<0(m>0),解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有-或-解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有-或-解得m≥2或m>2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).。
充分条件与必要条件(经典练习及答案详解)
充分条件与必要条件1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．所以“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B．2．(2020年佛山高一期末)“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x ＝1或x＝3，不是必要条件．故选A．3．(2021年荆州期末)x2＜9的必要不充分条件是()A．－3≤x≤3 B．－3＜x＜0C．0＜x≤3 D．1＜x＜3【答案】A【解析】x2＜9即－3＜x＜3.因为－3＜x＜3能推出－3≤x≤3，而－3≤x≤3不能推出－3＜x＜3，所以x2＜9的必要不充分条件是－3≤x≤3.4．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件【答案】BD【解析】因为A中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac ＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；因为B中“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；因为C中“a＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；因为D中{a|a＜5}{a|a＜3}，故“a＜5”是“a ＜3”的必要条件，故D为真命题．故选BD．5．(多选)已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是()A．r是q的充要条件B．p是q的充分条件而不是必要条件C．r是q的必要条件而不是充分条件D．r是s的充分条件而不是必要条件．【答案】AB【解析】由已知有p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，由此得r⇒q且q⇒r，A正确，C不正确，p⇒q，B正确，r⇒s且s⇒r，D不正确．故选AB．6．“m＝9”是“m＞8”的________条件，“m＞8”是“m＝9”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要条件必要不充分条件【解析】当m＝9时，满足m＞8，即充分性成立，当m＝10时，满足m＞8，但m＝9不成立，即必要性不成立，即“m＝9”是“m＞8”的充分不必要条件，“m＞8”是“m＝9”的必要不充分条件．7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．【答案】{a|a<1}【解析】p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，即p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.8．下列说法正确的是________(填序号)．①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．【答案】①【解析】①中，当x＞1时，有x>0，所以①正确；②中，当a＞b时，a3＞b3一定成立，但a3＞b3也一定能推出a＞b，即“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，所以②不正确；③中，当a＞b时，有A＞B，所以“a＞b”是“A＞B”的充分条件，所以③不正确．9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x2>0，q：x>0.(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2.(3)p：a能被6整除；q：a能被3整除．(4)p：两个角不都是直角；q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q 是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．B级——能力提升练10．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0，即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0，(a －b )a 2可以为0，所以“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．11．已知a ，b 为实数，则“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“a ＋b >4”⇒“a ，b 中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A ．12．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0≤a ≤12 【解析】因为q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1＞1，解得0≤a ≤12. 13．(2020年大庆高一期中)已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：2＜x ＜3.若q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为________．【答案】{a |－1≤a ≤6} 【解析】因为p ：－4＜x －a ＜4，即a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x＜3.若q 是p 的充分条件，则{x |2＜x ＜3}⊆{x |a －4＜x ＜a ＋4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，即－1≤a ≤6.所以实数a 的取值范围为{a |－1≤a ≤6}．14．若集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }，试写出：(1)A ∪B ＝R 的一个充要条件；(2)A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件；(3)A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件．解：(1)集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }．(1)若A ∪B ＝R ，则b ≥－2，故A ∪B ＝R 的一个充要条件是b ≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.C级——探究创新练15．已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α，β，证明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4＋b且|b|＜4的充要条件．证明：(1)充分性：由韦达定理，得|b|＝|α·β|＝|α|·|β|＜2×2＝4.设y＝x2＋ax＋b，则y＝x2＋ax＋b的图象是开口向上的抛物线．又|α|＜2，|β|＜2，所以当x＝2时，y＞0且当x＝－2时，y＞0，即有－(4＋b)＜2a＜4＋b.因为|b|＜4，所以4＋b＞0，即2|a|＜4＋b.(2)必要性：令y＝x2＋ax＋b，由2|a|＜4＋b，得当x＝2时，y＞0且当x＝－2时，y＞0，因为|b|＜4，所以方程y＝0的两根α，β同在{x|－2＜x＜2}内或无实根．因为α，β是方程y＝0的实根，所以α，β同在{x|－2＜x＜2}内，即|α|＜2且|β|＜2.。
充分条件与必要条件习题课 课件(共24张PPT)
（3）“a=0”的一个充分条件是______ 的充分条件；
5.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是（ A ） A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
二、例题 例1.求证：∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形的 充要条件 证明：（1）充分性 ∵∠A=∠B=60o ∴∠C=60o ∴△ABC为等边三角形 （2）必要性 ∵△ABC为等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60o 故∠A=∠B=60o 综上所述，∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形 的充要条件
充分条件、必要条件和充要条件的联系和区别： (1)若 p q ，但 p q ， 则 p 是 q 的充分不必要条件； (2)若 p q ，但 p q ，
p
则 p 是 q 的必要不充分条件；
(3)若 p q ，但 p q ，
则 p 是 q 的充要条件； (4)若 p q ，但 p q ， 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件；
（1）先找p的必要条件 即再由 p 成立
q，则q为p的必要条件 p ，则q为p的充分条件
（2）再证明q为p的充分条件
即再由 q 成立
（3）由(1)(2)就可下结论：p的充要条件为q
三、练习 1.已知命题“若p，则q”，则下列说法正确的有 __________ （ 3）（4） （1）若原命题为真命题，则 p是q的充要条件； （2）若原命题的逆命题为假命题，则q不是p的必要条件； （3）若原命题的否命题为真命题，则q是p的充分条件； （4）若原命题的逆否命题为真命题，则q是p的必要条件；
o 思考：若求证的是“∠ A= ∠ B=60 的一个充要条件是 要证明充要条件，必须分别证明充分性和必要性！ △ABC为等边三角形”呢？
1.2充分条件与必要条件课件(习题课)
充分条件、必要条件、充要条件的应用
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取 值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要 条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个 集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等 式(组)进行求解． 例3 已 知 p ： － 2≤x≤10 ， q ： x2 － 2x ＋ 1 － m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数 m的取值范围． 【思路点拨】 先求不等式的解集，然后根据充 分条件的意义建立不等式组求解即可．
(2)由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是 矩形”； 而由“四边形是矩形”可以推出“四边形 的对角线相等”，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (3)当 x＝ 1 或 x＝ 2 时，x－ 1＝ x－ 1显然成立；而 解方程 x－1＝ x－ 1，可得 x＝1 或 x＝2，所以 p 是 q 的充要条件．
课堂检测
1．(2011年高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－ A 2)＝0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：.a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，但(a－1)(a－2)＝0⇒a＝1或2， 故选A. 2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sinθ＝0”成立，反之 不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．
若p，则q ，其中“p”是 2．命题的结构：__________
结论 ． 条件，“q”是_____
知新益能 1．充分条件和必要条件 “若 p ，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可 p⇒q ，并且说 p 是 q 的 _____ 充分 条 以得出 q ，记作 ______ 必要 条件． 件，q是p的_____ 2．充要条件 p⇒q ，又有_____ q⇒p ，就记作p⇔q， (1)如果既有_____ 充要条件． p是q的充分必要条件，简称_____ p⇔q ，那么p与q互为充要 (2)概括地说：如果______ 条件．
充分条件与必要条件练习题及答案
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根,q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ］A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1,x2的值分别为1,－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明:判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是［] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2,b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q:x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p,p是q的充分非必要条件;对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件；⇒⇒⇔对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的［］A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的必要条件,∴C D②⇔C B C B∵是成立的充要条件，∴③由①③得A C④由②④得A D．∴D是A成立的必要条件．选B．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x ＜5,命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的[ ]A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定．解 解不等式|x －2｜＜3得－1＜x ＜5．∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件,选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A,条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ⊆⊇当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A（B ∪C ），条件A B 是［ ]A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C ）．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A（B ∪C ），但AB 不成立, 综上所述:“A B ”“A（B ∪C ）”，而“A (B ∪C ）”“AB ”．即“AB ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明:画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：(1)p:ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0;(2)p:xy ≥0，q ：｜x|＋｜y ｜＝|x ＋y|;（3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1｜＞2，q ：x ＜－1． 其中p 是q 的充要条件的有[ ］A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组分析 使用方程理论和不等式性质． 解 （1）p 是q 的必要条件(2）p 是q 充要条件 （3）p 是q 的充分条件（4）p 是q 的必要条件．选A ．说明：ab ＝0指其中至少有一个为零，而a 2＋b 2＝0指两个都为零．例＞＞是＞＞的条件．7x 3x 3x x x 12112⎧⎨⎩+⎧⎨⎩x 269分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．解＞且＞＋＞且＞，但当取＝，＝时，＞＞成立，而＞＞不成立＝与＞矛盾，所以填“充分不必要”．x 3x 3x x 6x x 9x 10x 2(x 2x 3)1212121222⇒+⎧⎨⎩⎧⎨⎩x x x x x x 1212126933 说明：＞＞－＞－＞x 3x 3 x 30x 301212⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩ ⇔⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩(x 3)(x 3)0(x 3)(x 3)0x x 6x x 3(x x )901212121212－＋－＞－－＞＋＞－＋＋＞这一等价变形方法有时会用得上．例8 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜be ≤f ”，则“c ≤d"是“e ≤f ”的________条件．分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题）， ∴c ≤d a ＜b （逆否命题)． 而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件． 答 填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．例9 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是［ ]A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0时,x ＝－．故排除、、选．12A B D C 解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12当a ≠0时1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．⇔---⇔-⇔24422aa2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．⇔-+-⇔⇔⇔2442aa综上所述a ≤1．即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．例10 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s,r ，p 分别是q 的什么条件？分析 画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；（s r q,qs ）r 是q 的充要条件；（r q ，q s r) p 是q 的必要条件；（q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系． 例11 关于x 的不等式|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0AB A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()a a +-⊆121222分析 化简A 和B,结合数轴，构造不等式（组），求出a ．解 A ＝｛x ｜2a ≤x ≤a 2＋1｝，B ＝{x ｜（x －2)［x －(3a ＋1）］≤0｝当≤＋即≥时，23a 1a 13B ＝｛x|2≤x ≤3a ＋1}．A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路,表达准确，推理无误．例＞，＞是＜的必要条件还是充分条件，还是充12 x y xy 011x y要条件？分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．解．当＜时，可得－＜即＜ 1001111x y x y y xxy-则－＞＜或－＜＞，即＜＜或＞＞，y x 0xy 0y x 0xy 0 x y xy 0x 0⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩y xy故＜不能推得＞且＞有可能得到＜＜，即＞且＞并非＜的必要条件．11011x y x y xy x yx y xy 0()x y xy 0⎧⎨⎩2x y xy 0x y x 0y 0x y x 0y 0x y xy 0．当＞且＞则分成两种情况讨论：＞＞＞或＞＜＜不论哪一种情况均可化为＜．∴＞且＞是＜的充分条件．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪1111x yx y说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件?分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么．然后再验证是还是还是．p q p q q p p q ⇒⇒⇔解据韦达定理得：＝α＋β，＝αβ，判定的条件是：＞＞结论是：α＞β＞还要注意条件中，，需要满足大前提Δ＝－≥ a b p q (p a b a 4b 0)2a b 2111⎧⎨⎩⎧⎨⎩(1)1a2b1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么［］A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1:由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。
充分条件与必要条件习题
(1)p：(x－1)(x＋ 2)≤0， q： -2≤x≤ 1；
练习：已知 M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是 “a∈N”的________条件．
3．集合法 集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间 的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件 难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：
1．定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若 p，则 q”与“若 q，则 p”的判断，根据两个命题是否正确， 来确定 p 与 q 之间的充要关系．其基本步骤是：
优化方案P13 （2）
（2） 已知 x， y 为两个正整数， p： x≠2 或 y≠3， q： x＋y≠5， 则 p 是 q 的________条件．
二、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1)பைடு நூலகம்
B A 2) A B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q充分不必要条件
3)
p是q必要不充分条件
4)
A
B
A =B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q不充分不必要条件
p是q的充要条件
【规律小结】
充分条件、必要条件、充要条件的判定：
变式 3：若﹁p 是 q 的必要不充分条件” ，求 m 的范围。
变式 4：是否存在 m 的范围，使 p 是 q 的充要条件” ， 。
【规律小结】
(1) 解决此类问题一般是把充分条件、必要条
件或充要条件转化为集合之间的关系 ， 然后根据集合之间的 关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 ¬ p是¬ q的充分 不必要 ( 必要不充分、充要 ) 条件 ， 则 p 是 q 的必要不充分 ( 充分 不必要、充要)条件．
充分条件与必要条件习题课
类型 6 充要条件的应用 【例 6】 已知 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 q 是 p 的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m} {x|－2≤x≤10}，
[解] (1)1 的平方根是±1，所以 p q，所以 q 不是 p 的必要条件． (2)因为 4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以 m＝±12，所以 p q，所以 q 不是 p 的必要条件． (3)因为无理数是无限不循环小数， 所以 p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件． (4)若 a 与 b 互为相反数，则 a 与 b 的绝对值相等，所以 p⇒q，所 以 q 是 p 的必要条件．
故有11－ ＋mm≥ <1－0 2， 或11－ ＋mm>≤－102，， 解得 m≤3. 又 m>0， 所以实数 m 的取值范围为{m|0<m≤3}．
[解] p：3a<x<a，a<0，即集合 A＝{x|3a<x<a，a<0}． q：－2≤x≤3，即集合 B＝{x|－2≤x≤3}． 因为 p⇒q，所以 A⊆B，
3a≥－2，
所以a≤3， a<0，
⇒－23≤a<0，
所以 a 的取值范围是－23≤a<0.
类型 4 充分、必要、充要条件的判断 【例 4】 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(“充分不必要 条 件 ”“ 必 要 不 充 分 条 件 ”“ 充 要 条 件 ”“ 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件”)． (1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：a＞b；q：ac＞bc.
专题1.4 充分条件与必要条件(5类必考点)(人教A版2019必修第一册)(解析版)
专题1.4充分条件与必要条件【考点1：充分条件、必要条件的判断及应用】【知识点：充分条件；必要条件】若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．1．（2021秋•宣城期末）若x＞3是x＞t的充分条件，则实数t的取值范围是（）A．t≥3B．t＞3C．t≤3D．t＜3【分析】利用充要条件的定义即可求解．【解答】解：若x＞3是x＞t的充分条件，则{x|x＞3}⊆{x|x＞t}，可得t≤3，故选：C．2．（2022•奉贤区模拟）设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是．【分析】可根据p是q的充分条件判断命题p能推出命题q，故可计算出m的范围．【解答】解：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件．所以A⊆B．所以m≥4．故答案为：m≥4．3．（2021秋•威宁县期末）已知条件p：2k﹣1≤x≤2，q：﹣5≤x≤3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是．【分析】记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，问题转化为满足条件A⊆B，通过讨论A的情况，确定k的取值范围即可．【解答】解：记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B，当A＝∅时，2k﹣1＞2，即 ＞ ，符合题意，当A≠∅时，由A⊆B可得2k﹣1≥﹣5，2k﹣1≤2即 k≥﹣2，综上所述，实数的k的取值范围是k≥﹣2.4．（2021秋•南阳期末）春秋时期孔子及其弟子所著的《论语•颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动．”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做．“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听．从数学角度来说，“合礼”是“听”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先写出如果不合礼，那么就不听的充要条件，再利用充要条件的定义判断即可．【解答】解：∵如果不合礼，那么就不听⇔如果听，那么就合礼，∴合礼是听的必要条件，故选：B．5．（2021秋•赣州月考）已知α：x＜2m﹣1或x＞﹣m，β：x＜2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是．【分析】将充分必要条件的判断问题转化为集合问题解决．【解答】解：因为α是β的必要条件，所以β⇒α，即由x＜2或x≥4⇒x＜2m﹣1或x＞﹣m；①m＞ 时，2m﹣1＞﹣m，此时α：x∈R，有β⇒α成立；②m 时，α：x∈R且x ，β不能推出α；③m＜ 时，有，即m ，此时无解；综上：m＞ ．【考点2：充要条件的判断及应用】【知识点：充要条件】若p⇔q，则p是q的充要条件．1．（2022春•秦都区校级月考）设n∈N*，一元二次方程x2﹣4x+n＝0有实数根的充要条件是n＝1或2或3或4．．【分析】由一元二次方程有实数根⇔△≥0得n≤4；又n∈N+，则分别讨论n为1，2，3，4时的情况即可．【解答】解析：由题意得Δ＝16﹣4n≥0，解得：n≤4，又因为n∈N+，取n＝1，2，3，4，故答案为：1或2或3或4．2．（2021秋•西城区校级期中）设全集为S，集合A，B⊆S，有下列四个命题：①A∪B＝B；②∁S B⊆∁S A；③（∁S B）∩A＝∅；④（∁S A）∩B＝∅．其中是命题A⊆B的充要条件的命题序号是①②③．【分析】根据集合的补集，交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件．【解答】解：由A∪B＝B，可得A⊆B，由A⊆B可得A∪B＝B，故①A∪B＝B是命题A⊆B的充要条件，故①满足条件，由∁S B⊆∁S A，可得A⊆B，由A⊆B可得∁S B⊆∁S A，故∁S B⊆∁S A是命题A⊆B的充要条件，故②满足条件，由（∁S B）∩A＝∅，可得A⊆B，由A⊆B可得∁S B∩A＝∅，故∁S B∩A＝∅是命题A⊆B的充要条件，故③满足条件，由（∁S A）∩B＝∅，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故（∁S A）∩B＝∅不是命题A⊆B的充要条件，故④不满足条件．故答案为：①②③．【考点3：充分不必要条件的判断及应用】【知识点：充分不必要条件】若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件．1．（2022•平鲁区校级月考）已知p：1﹣x＜0，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．【分析】根据p是q的充分不必要条件即可得出a的取值范围．【解答】解：∵p：1﹣x＜0，即x＞1，q：x＞a，p是q的充分不必要条件，∴a＜1．2．（2022春•高安市校级期中）已知p：﹣1＜x＜3，q：﹣1＜x＜m+2，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．【分析】根据充分条件和必要条件与集合关系进行转化求解即可．【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，则m+2＞3，即m＞1，故答案为：m＞13．（2021秋•河西区期末）“|x|≠|y|”是“x≠y”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由“|x|≠|y|”，一定有x≠y，由“x≠y”推不出“|x|≠|y|”，例如x＝1，y＝﹣1，即可判断出结论．【解答】解：由“|x|≠|y|”，一定有x≠y，由“x≠y”推不出“|x|≠|y|”，例如x＝1，y＝﹣1．因此“|x|≠|y|”是“x≠y”的充分不必要条件．故选：A．【考点4：必要不充分条件的判断及应用】【知识点：必要不充分条件】若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件．1．（2022•信阳期末）已知p：x＜m，q：﹣1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则m 的值可能为4（填一个满足条件的值即可）．【分析】先将p是q的必要不充分条件转化，得到m的取值范围，即可得到答案．【解答】解：p是q的必要不充分条件，所以m＞3，故答案不唯一，只需填大于3的数即可．故答案为：4．2．（2021秋•沙依巴克区校级期中）给出下列条件p与q：①p：x＝1或x＝2；q：x2﹣3x+2＝0；②p：x2﹣1＝0，q：x﹣1＝0；③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．其中p是q的必要不充分条件的序号为②．【分析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．【解答】解：①p：x＝1或x＝2；q：x2﹣3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，故p＝q，所以p为q的充要条件；②p：x2﹣1＝0，解得x＝±1，q：x﹣1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故p是q的充分不必要条件．故答案为：②．【考点5：充分、必要、充要条件与集合的关系】【知识点：充分、必要、充要条件与集合的关系】p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B【方法技巧】充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．1.（2022•呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分他不要条件【分析】分别化简集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＞2}，即可判断出．【解答】解：由集合A＝{x|x≥0}，集合B：x﹣2＞0，解得x＞2，即B＝{x|x＞2}．因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B．2.（2022春•南阳月考）“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】A∩B＝∅，有可能A，B都不是∅，A＝∅或B＝∅⇒A∩B＝∅，必要性成立，从而“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的必要不充分条件．【解答】解：A∩B＝∅，有可能A，B都不是∅，即A＝∅或B＝∅不一定成立，充分性不成立；A＝∅或B＝∅⇒A∩B＝∅，必要性成立，故“A∩B＝∅”是“A＝∅或B＝∅”的必要不充分条件．故选：B．3．（2021秋•松山区校级期末）已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．【分析】由p是q的必要不充分条件，得到{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，即可求解．【解答】解：∵p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，∴{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，∴a≤2，故答案为：a≤2]．4．（2021秋•威宁县期末）已知条件p：2k﹣1≤x≤2，q：﹣5≤x≤3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是．【分析】记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，问题转化为满足条件A⊆B，通过讨论A的情况，确定k的取值范围即可．【解答】解：记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B，当A＝∅时，2k﹣1＞2，即 ＞ ，符合题意，当A≠∅时，由A⊆B可得2k﹣1≥﹣5，2k﹣1≤2即 k≥﹣2，综上所述，实数的k的取值范围是k≥﹣2.。
充分条件与必要条件课后作业 高一上学期数学+人教A版(2019)必修第一册
1.4 充分条件与必要条件一、选择题。
1.已知实数a,b,c ,则a >b 的充分不必要条件是( ) A.ab >1 B.a 2>b 2 C.ac 2>bc 2 D.ac >bc2.已知集合A,B 是非空集合,命题p:A ∪B =B ,命题q:A B,那么q 是p 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设x,y ∈R,则“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．“a b >”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．11a b <B ．33a b >C ．3223a ab a b b +>+D ．22ac bc >5．已知命题p ：12x -<，q ：14x -<<，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不充分也不必要条件7.若“x >a ”是“x >b ”的充分不必要条件，则( )A.a <b B ．a >b C ．a ≤b D ．a ≥b8.“122x -<<”的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．1x >-B ．01x <<C ．1122x -<< D ．2x < 9.一元二次方程220x x m ++=有实数解的一个必要不充分条件为（ ）A ．1m <B ．1mC ．m 1≥D ．2m <10.设集合A ＝{x|x ＞2}，B ＝{x|x ＞3}，那么“x ∈A 或x ∈B ”是“x ∈A ∩B ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知a ，b 为实数，则“a ＋b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.不等式“x>y ”成立,是不等式“|x|>|y|”成立的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件13.设a ,b ∈R,则“a>b ”是“|a|≥b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 14．(多选题)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（ ）A ．对角线相等的菱形B ．邻边相等的矩形C ．对角线相等的平行四边形D ．有一个角是直角的菱形15.(多选题)已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，下列结论正确的有( )A.Δ＝b 2－4ac ≥0是这个方程有实数根的充要条件B.Δ＝b 2－4ac ＝0是这个方程有实数根的充分条件C.Δ＝b 2－4ac ＞0是这个方程有实数根的必要条件D.Δ＝b 2－4ac ＜0是这个方程没有实数根的充要条件16.(多选题)对任意的实数,,a b c ，在下列命题中的假命题是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要不充分条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分不必要条件17.(多选题)下列说法正确的是________(填序号)①“x ＞0”是“x ＞1”的必要条件；②“a 3＞b 3”是“a ＞b ”的必要不充分条件；③在△ABC 中，“a ＞b ”不是“A ＞B ”的充分条件．A.x >0 B ．x >2 C ．x <0 D ．x <2二、填空题。
充分条件与必要条件习题课课件人教新课标
立，当a>1，A＝[1，a]，需1<a<2，
综上可知1≤a<2时，p是q的充分不必要条件．
(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B A，
故A＝[1，a]，且a>2，
数
所以a>2时，p是q的必要不充分条件．
学
选 修
(3)因为p是q的充要条件，所以A＝B，故a＝2.
人 教 版A
返回导航
1-1·
1-1·
数 学 选 修 人 教 版A
返回导航
1-1·
第一章 常用逻辑用语
〔跟踪练习4〕 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是 假命题，求实数m的取值范围．
[解析] 因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，则
数 学
∴p是q的充分不必要条件．故选A．
选
修
人 教 版A
返回导航
第一章 常用逻辑用语
『规律方法』 如果条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等 式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性， 将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行．
数 学 选 修 人 教 版A
人 教
版A
(A)
返回导航
第一章 常用逻辑用语
命题方向3 ⇨利用充要性求参数范围
典例 3 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2 －x－6≤0或x2＋2x－8>0，且p是q的充分条件，求a的取值范围．
[思路分析] 先分别求出命题p、q中x的取值范围，再探求符合条件的a的取 值范围．
充分条件与必要条件（基础+复习+习题+练习）
充分条件与必要条件（基础+复习+习题+练习）课题：充分条件和必要条件考纲要求：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系教材复习()1 如果p q ?，则p 是q 的，q 是p 的； ()2 如果,p q q p ??，则p 是q 的；()3 如果，则p 是q 的的充分而不必要条件；()4 如果，则p 是q 的必要而不充分条件；()5 如果，则p 是q 的既不充分也不必要条件；基本知识方法1.判断充要关系的关键是分清条件和结论；2.判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ，则q ”及“若q ，则p ”的真假；3.判断充要条件关系的四种方法：①定义法：若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p q ?，则p 是q 的充要条件。
②利用原命题和逆否命题的等价性来确定。
p q ?等价于q p③利用集合的包含关系：对于集合问题，记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B 若A B ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若A B ü，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；若A B =，则A 是B 的充要条件；若A B à且B A à，则p 是q 的既不充分也不必要条件④利用“?”传递性4.“否命题”与“命题的否定”的区别：否命题是对原命题“若p 则q ”的条件p 和结论都否定，即“若p ?则q ?”；而原命题的否定是：“若p 则q ?”，即只是否定原命题的结论。
5.探索充要条件：在探索一个结论成立的充要条件时，一般先探索必要条件，再确定充分条件；也可以一些基本的等价关系来探索。
典例分析：问题1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）()1在ABC △中，p ：A B >，q ：sin sin A B >()2对于实数,x y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠()3在ABC △中，p ：sin sin A B >，q ：tan tan A B >()4已知x 、y R ∈，p ：22(1)(2)0x y -+-=，q ：(1)(2)0x y --= 问题2．（07浙江）“1>”的x>”是“2x x.A充分而不必要条件.B必要而不充分条件.C充分必要条件.D既不充分也不必要条件问题3．（04重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么p是q成立的.A充分不必要条件.B必要不充分条件.C充分必要条件.D既不充分也不必要条件问题4．()1（全国高考）若A是B的必要不充分条件，则A?是B?的()2已知条件p：2+≠-，条件q：x、y不都是1-，则p是qx y.A必要不充分条件.B充分不必要条件.C充要条件.D既不充分也不必要条件()3（04湖北）若条件p：1是q?的x+≤4，条件q：256<-，则px x.A必要不充分条件.B充分不必要条件.C充要条件.D既不充分也不必要条件走向高考：1.（07福建文）“2x <”是“260x x --<”的.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件2.（08安徽）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3. （08海南）平面向量a ，b 共线的充要条件是.A a ，b 方向相同 .B a ，b 两向量中至少有一个为零向量.C R λ?∈，b a λ=.D 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=4. （福建）“1a =”是“直线0x y += 和直线0x ay -=互相垂直”的.A 必要不充分条件.B 充分不必要条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件5. （07江西文）设p ：32()21f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.（07湖北文）已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ?是s ?的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是.A ①④⑤ .B ①②④ .C ②③⑤ .D ②④⑤7. （07山东）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点．②p ：()1()f x f x -=；q ：()y f x =是偶函数．③p ：cos cos αβ=；q ：tan tan αβ=．④p ：AB A =；q ：U UC B C A ?．.A ①② .B ②③ .C ③④ .D ①④课后练习作业：1. 一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是.A 0a > .B 1a > .C 1a < .D 1a <-2.已知两个简单命题p 和q ，“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3. 已知p :113x --≤2,q :2221x x m -+-≤0()0m >，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.。
充分条件、必要条件
1.2充分条件、必要条件习题课学案 重点：掌握充分条件、必要条件、充要条件的定义；
难点：掌握条件关系的判定和应用.
一、知识回顾：
1、如果已知q p ⇒，则称q p 是的 条件，p q 是的 条件； 如果已知p q ⇒，则称q p 是的 条件，p q 是的 条件； 如果已知q p ⇒，又有p q ⇒，就记作 ，我们就说q p 是的 ，简称 。
2、若把p 研究的范围看成集合A ，把q 研究的集合看成B 。
则可得下表：
二、例题剖析： 例1、已知：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=0>1:x x x A p ，{}50:<<=x x B q ，则q p 是的什么条件？
例2、若1>2x 是a x <的必要不充分条件，求a 的最大值.
变式训练：例2中把条件“a x <”改为“a x >”，其它不变，求a 的最小值.。
例3、已知：2311:≤--x p ，)0>(012:22m m x x q ≤-+-，若q p 是的充分不必要条件，求m 的范围.
变式训练：已知32:≤≤x P ，32:+≤≤-a x a q ，q p 是的充分不必要条件，求a 的范围.
例4、已知y x 、都是非零实数且y x >，求证y
x 11 成立的充要条件是0>xy .
三、课堂检测：101多媒体
四、小结：
课下练习：配套活页95P 课时作业五. 作业：1、同步学案12P 第12题,
2、课本B 组第2题.。
2023-2024学年新教材苏教版必修第一册 充分条件与必要条件的综合应用 课件(10张)
BD
A. < 0B. < −1C. < 1D.−3 < < −2
[解析]设一元二次方程 + + = 有一个正根 和一个负根 ,则
= − ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ,
൞ = < ,
解得 < ,
≠
则符合题意的的取值范围应为{| < }的真子集,故正确,错误.
（1）求实数的取值范围，使它成为 ∩ = {|5 < ≤ 8}的充要条件；
解由 ∩ = {|5 < ≤ 8},得−3 ≤ ≤ 5,因此 ∩ = {|5 < ≤ 8}的充要条件
是−3 ≤ ≤ 5,即的取值范围为{| − 3 ≤ ≤ 5}.
（2）求实数的一个值，使它成为 ∩ = {|5 < ≤ 8}的一个充分不必要条件.
（2） ∪ = 的一个必要不充分条件；
由（1）知 ∪ = 的充要条件是 ≥ −3,
所以 ∪ = 的一个必要不充分条件可以是 ≥ −4.（答案不唯一）
（3） ∪ = 的一个充分不必要条件.
由（1）知 ∪ = 的充要条件是 ≥ −3,
所以 ∪ = 的一个充分不必要条件可以是 ≥ −1.（答案不唯一）
故选.
变式训练1若集合 = {| > −3}, = { ∣ ≤ , ∈ },试写出：
解集合 = {| > −3}, = { ∣ ≤ , ∈ },
（1） ∪ = 的一个充要条件；
若 ∪ = ,则 ≥ −3,
故 ∪ = 的一个充要条件是 ≥ −3.
1
重难探究·能力素养全提升
课程