合同变换在初等几何中的应用
初等数学研究 几何部分 第三章 初等几何变换
链接
设G 是一个非空集合，在G存在一种运算·，有
⑴ 封闭性；——广群（代数系统） 半群 ⑵ 结合律； ⑶ 单位元；
单胚
⑷ 逆元（非单位元的元素都有逆元）。
则称 G关于·是一个群。
例如① 正ABC变为自身的变换集合记为G．
第一类：旋转对称．令
A
f0
A
B
f1
B
B C
C
A
⑤ 关于同一旋转中心的两次旋转的乘积是一个旋转；
⑥ 旋转变换的逆变换是旋转变换；
⑦ 同一个旋转中心的所有旋转变换构成一个群，称为
旋转群．旋转群是合同变换群的子群。
例2 设 P 为正ABC内一点，PC 3，PA 4，PB 5 ，
求 ABC的边长． 解 如图3-2-4所示，令 BCP R(C,60o) ACP， 则BCP ≌ ACP， ∴ PC PC ，3 PA PB ，5 B
链接
⑴
⑵ 图3-2-1
第一类合同变换 （真正合同） （定向相同）
（运动群）
第二类合同变换 （镜像合同） （定向相反） （不构成群）
二、合同变换的特例——平移、旋转、反射
1．平移
⑴ 定义
定义6 平面到其自身的变换，如果对于每一个点P 以
及对应点
P，都有
uuur PP
a（其中a
为给定的已知向量），
那么这个变换叫做平面上的平移变换，简称平移，记
⑵ 表述：令 P R(O, ) P或令图形 F R(O, )图形 F，则
图形 F 图形F．
特别地，当 时为点反射。
⑶ 性质
① 旋转变换下，两点间距离保持不变；
② 角度是旋转变化下的不变量；
③ 旋转把任意图形变换成与它真正合同的图形；
专题：初等几何变换综述
（三）轴对称变换 例：在河流 l 边建水泵站，分别向A、 B两村送水，怎样使所用水管最短? 试想：如果A、B两点处在 l 异侧，
A
B
l
P Q
A’ห้องสมุดไป่ตู้
比如A’，那就简单了。连结A‘B与 l 交于P点， 则P点就是所求位置。受此启发可得如下作法： 作A关于 l 的对称点A’，连接A’B与 l 交于P， 则P点就是建水泵站位置。为了证明结论，在 l 上任取一点Q，通过比较容易得证。 这是古老的饮马问题，在光学上有一定的应用。
本专题内容涉及初等几何方面的方法（变换）、技巧，新 概念、新定理，证明题、作图题、轨迹题，以便拓展几何知识、 开阔视野、与初等数学的教学联系、涉足研究等。
初等几何变换概述
把一个图形按照某种法则或规律变 成另一个图形的过程，可称作几何变换。 在几何变换中，图形的某些数量关系和几何 性质未发生变化，则称其为几何变换下的不变 量和不变性。 一、合同变换 定义 把图形F的点一一对应到图形F’，称为从F到F’的变 换。若该变换还具有保距性，则称为 从F到F’的合同变换。
例 在锐角三角形的所有内接三角形中， 垂足三角形的周长最短。(法格勒洛问题p165) 这里只介绍证法2（施瓦尔兹证法，1843-1921） 先给出一个引理：已知⊿ABC的垂足三角形是 ⊿PQR，求证∠A=∠1=∠2.（见p166，证法不同） A 证明：∵AQ⊥BC,CP⊥AB, P ∴A,P,Q,C四点共圆。 R 由圆内接四边形内角互补可知, 1 2 Q ∠1=∠A，同理∠2=∠A . B C
当A、B处于l同侧时, （1）AB⊥l, 有两解；
(教材上未讨论此情形，其作法不同上述)
A
O B l r O r l
（2）AB不垂直于l 一般情形下有两解. （3）AB∥l, 有一解。
利用合同变换证明几何中的等量关系
Ｇ
分 析 ： 题条 件 比 较 分 散 ． 本 题 的 关 键 是 将 分 散 的 条 件 本 解 集 中在 一个 三 角 形 中 ． 用 平 移 结 论 的方 法 ． 可 把 结 论 中的 若 则 两 个 角 平 移 到 同一 个 三 角 形 中 ， 可 这 样 添 辅 助 线 （ 图 １ ： 故 如 ） 连结Ａ Ｃ，取 Ａ Ｃ的 中 点 Ｍ，边 结 ＭＥ、 ．由 ＭＥ、 分 别 是 ＭＦ ＭＦ
他 们 对数 学 知识 的理 解 。
四 、 语 结
三 、念 的 感 性 认 识 ． 助 学 生 形 成 正 一 增 帮 确 的数 学表 象 。 数 学 概 念 具 有 精 练 、 象 、 密 等 特 征 ， 师 要 引 导 学 生 抽 严 教
某 个 角 移 到 一个 新 的 位 置 上 ，使 图 形 中分 散 的条 件 与 结 论 有 机 地 联 系 起 来 ． 们 几 何 中 常 见 辅 助 线 ， 倍 长 中线 、 角 形 我 如 三 的 中 位 线 、 形 中平 移 腰 、 移 对 角 线 等 ． 质 上 都 是 平 移 思 梯 平 本 想 ． 移 一 般 可 分 为 三种 情 况 ： 平 （） 移条件 ， １平 即把 图形 中的 某 个 条 件平 移 ： （ ） 移 结论 ， ２平 即把 结 论 中的 线 段 或 者 角 平移 ； （） ３ 平移 条 件 和 结 论 ， 即把 图形 中 的条 件 和 结论 同 时平 移 ． 现 用 下 面 例 子 对 平 移 的三 种 情 况 分 别作 说 明 ． 例 １四边形Ａ Ｃ ： Ｂ Ｄ中 ， Ｄ Ｂ Ｅ Ｆ 别 是 Ｄ Ａ 的 中点 ， Ａ ＝ Ｃ， 、 分 Ｃ、 Ｂ 直 线Ｅ 分 别 与Ｂ Ａ Ｆ Ｃ、 Ｄ的 延 长 线 交 于 点 Ｇ、 Ｈ．求 证 ： Ａ Ｆ Ｈ ＝
合同变换在初等几何中的应用
合同变换在初等几何中的应用合同变换在初等几何中的应用合同变换是初等几何中非常重要的概念之一，它对于理解和解决各种几何问题具有十分重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨合同变换在初等几何中的应用，从简单到复杂，由浅入深地学习这一概念的重要性和实际运用。
1. 合同变换的基本概念在初等几何中，合同变换是指通过平移、旋转、镜像和均次扩大或缩小等手段，使图形保持大小不变，形状不变的变换。
这种变换保持了图形的相似性和全等性，是解决各种几何问题的重要工具。
在实际解决问题时，我们经常会用到合同变换来推导性质、证明定理、解决难题。
2. 合同变换的应用实例在实际的几何问题中，合同变换有着广泛的应用。
当我们需要证明两个图形全等时，可以通过一系列的合同变换将一个图形变换为另一个图形，从而证明它们具有相同的大小和形状。
又在计算图形的面积或周长时，可以通过合同变换将一个复杂的图形变换成一个简单的几何形状，从而更容易计算。
在解决棋盘问题、图形旋转问题等方面，合同变换也有着广泛的应用。
3. 合同变换的深度理解合同变换不仅仅是一种几何变换的手段，更重要的是它背后的数学原理和思想。
在进行合同变换时，我们需要深入理解图形的性质，通过变换来揭示图形之间隐藏的关系。
只有通过深度理解合同变换的原理和方法，我们才能更好地应用它解决问题，进一步拓展思维和认知。
4. 个人观点和启发对于合同变换在初等几何中的应用，我个人认为需要结合具体问题进行思考和理解。
只有在实际的问题中运用合同变换，我们才能更好地理解它的作用和意义。
深入理解合同变换还可以启发我们对于几何图形的理解和认识，促进我们思维的发展和创新能力的培养。
在总结回顾本文所论述的内容时，我们不难发现合同变换在初等几何中的应用是极为重要的。
它不仅帮助我们解决各种几何问题，还有助于拓展我们的思维和认知。
通过对合同变换的深度理解和实际应用，我们可以更好地掌握几何知识，提高解决问题的能力，培养创新精神。
初中数学竞赛专题-第十八章几何变换的性质及应用
第十八章 几何变换的性质及应用【基础知识】平面几何中的几何变换主要有合同（包括平移、旋轴、轴对称）、相似（包括位似）、仿射和反演变换． 在平面到自身的一一变换下,如果任意线段的长和它的象的长总相等,那么这种变换叫做合同变换．合同变换具有下述基本性质：性质1在合同变换下,直线变为直线,线段变为线段,射线变为射线；两直线的平行性、垂直性,所成的角度都不变；共线点变为共线点,且保持顺序关系不变；直线上A 、B 、C 三点的简比ACBC不变． 性质2在合同变换下,三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．在平面到自身的一一变换下,若任意一对对应点A ,A '连结的有向线段等于定向量a ,则这种变换叫做平移,记为()T a ．a 叫平移向量,a 的方向叫做平移方向,其长度叫平移距离．在平面到自身的一一变换下,若每对对应点A ,A '所连结的线段,都被定直线l 所垂直平分,则这种变换叫做关于直线l 的轴对称或轴反射,记为()S l ．直线l 叫做对称轴或反射轴,点A '叫做点A 关于轴l 的对称点．在平面到自身的一一变换下,若任意一对对应点A ,A '与平面上一定点O 的距离总相等,且AOA '∠等于定角θ,这种变换叫做关于点O 的旋转,记为(),R O θ．点O 叫做旋转中心,θ叫做旋转角． 特别地,旋转角180θ=︒的旋转变换称为中心对称变换或点反射,记为()(),180C O R O =︒．性质3在平移变换下,直线（线段）变成与它平行（或重合）的直线（线段）；在轴对称变换下,P 为对称轴l 上任一点,则一对对应点所成的角APA '∠被l 所平分；在旋转变换下,对应直线的交角总等于旋转角；在中心对称变换下,对应点连线段过对称中心且被它平分,对应线段相等且反向平行或共线,不过对称中心的直线与其对应的直线平行．在平面到自身的一一变换下,若线段A B ''是AB 的象,且A B AB k ''=∶（k 为正的常数）,则这种变换叫做相似变换,记为()H k ．常数R 叫做相似系数或相似比．特别地,若1k =,则为合同变换；1k =-,则为中心对称变换．性质4在相似变换下,直线变为直线,线段变为线段,射线变为射线；点与直线的结合关系不变,点在直线上的顺序关系不变；直线上三点的简比不变,两直线的夹焦不变,两相似多边形面积比不变且等于相似比的平方．在平面到自身的一一变换下,若对于任一对对应点A ,A '与平面上一定点O ,都有OA OA k '=∶（k 为非零常数）,则这种变换叫做位似变换,记为H （O ,k ）．点O 叫做位似中心,k 叫做位似比．特别地,当0k >时,A ,A '在点O 同侧,这种变换叫顺（或正或外）位似；0k <时,A ,A '在点O 两侧,这种变换叫逆（或反或内）位似．性质5在位似变换下,对应线段之比相等,对应角相等且转向相同；不过位似中心的对应直线平行． 在平面到自身的一一变换下,若对于任一对对应点A ,A '与平面上一定点O ,都有OA OA k '=∶（k 为正的常数）,且AOA θ'∠=（θ为有向的定角）,则这种变换叫做位似旋转变换,记为(),,S O k θ．点O 叫做位似中心,k 叫做位似比,θ叫做旋转角,且()()()()(),,,,,,S O k H O k R O R O H O k θθθ=⋅=⋅；()(),0,,S O k H O k =；()(),,,S O k H O k π=-；()(),,1,S O R O θθ=．性质6在位似旋转变换下,把两个相似形中的一个变到另一个；具有共同中心的两个位似旋转变换之积仍是一位似旋转,即有()()()11221212,,,,,,S O k S O k S O k k θθθθ⋅=+⋅．在平面到自身的一一变换下,若满足任意共线三点的对应点仍共线,且其三点的简比保持不变,则称此变换为仿射变换．显然,若建立平面坐标系,仿射坐标系与直角坐标系的差别就在于两轴间的夹角及轴上单位长度不相同．若两轴夹角仍为90︒,则称为伸缩变换：()()12,,x y k x k y →,其中10k >,20k >．性质7在仿射变换下,点变成点,直线变成直线；保持点和直线的结合关系；保持直线的平行关系；保持两平行（共线）线段的长度比；任一封闭凸曲线所围成的图形的面积S 和它对应图形所围成的面积S '之比为常数．性质8在仿射变换下,任一三角形变成正三角形；梯形变为等腰梯形；任一平行四边形变成正方形；任一椭圆变为圆,相应地椭圆中心变成圆心,椭圆直径变成圆的直径,椭圆的切线变成圆的切线．设O 是平面上一定点,对于一个变换,若任一对对应点A ,A '（异于O ）,都有OA OA k ⋅=（k 为非零常数）,则称此变换为反演变换,记为I O k （，）．O 点称为反演中心,k 为反演幂． 显然,0k <时,A ,A '在点O 两侧,可经以O 为中心对称变换变成0k >的情形．故只考虑0k >的情形,且令2k r =．此时,反演变换的几何意义为,满足“以O 为圆心,r 为半径的圆中直角三角形的射影定理形式：22r OP OA OA '==⋅”的图形,并称这个圆叫反演变换的基圆．性质9在反演变换下,基圆上的点仍变为自己；基圆内的点（除中心外）变为基圆外的点．反之亦然． 性质10在反演变换下,过反演中心的直线是不变直线（除中心）；过反演中心的圆变为不过反演中心的直线；过反演中心的相切两圆（或一圆一直线）变为不过反演中心的两平行直线；过反演中心的两相交圆变为不过反演中心的相交直线．反之亦然．性质11在反演变换下,不过反演中心的圆变为不过反演中心的圆；以反演中心为圆心的圆变为同心圆；不过反演中心相切（交）的圆变为不过反演中心的相切（交）的圆；不共线的任意两对对应点必共圆；圆和圆、圆和直线、直线和直线的交角保持不变． 【典型例题与基本方法】例1如图18-1,设A ',B ',C '分别是ABC △的边BC ,CA ,AB 的中点,1O ,2O ,3O ,1I ,2I ,3I 分别是AB C ''△,A BC ''△,A B C ''△的外心和内心．求证：123123O O O I I I △≌△．证明由三角形中位线性质,知C B B A AC ''''==,故()T AC AB C C A B '''''−−−→△△．于是()12T AC O O '−−−→,()12T AC I I −−−→,所以1212O O AC I I '==． 同理,1313O O I I =,2323O O I I =． 故123123O O O I I I △≌△．例2设DPQ △是锐角ABC △的垂足三角形（即D ,P ,Q 分别为三条高线的垂足）． 求证：DPQ △是ABC △中周长最短的内接三角形．证明由题设,如图18-2,AD ,BP ,CQ 分别是DPQ △的内角平分线．图18-2D "D 'R"R'F EDABCRQP ST令DEF △是ABC △中以D 为一顶点的任一内接三角形,且()S ABD D '−−−→,()S ACD D ''−−−→,则D ',D ''落在直线PQ 上,且D Q DQ '=,D P D P ''=,线段D D '''之长等于DPQ △之周长．连D E ',D F '',刚折线D EFD '''之长等于DEF △之周长,显然D D D E EF FD ''''''++≤．不难计算2sin D D AD BAC '''=⋅∠．若RST △是ABC △的任一内接三角形,则用类似方法可以证得RST △的周长大于或等于2sin AR BAC ⋅∠．由于AR AD ≥,从而RST △的周长DPQ ≥△的周长,即垂足三角形DPQ △的周长最短．例3在ABC △内有一点P ,满足120APB BPC CPA ∠∠=∠=︒=．求证：P 是到三顶点距离之和最小的点（即费马点）．图18-3Q Q 'P'ABCEP证明由120CPA BPC ∠=∠=︒,故对APC △施行旋转变换(),60R C -︒,则(),60R C APC EP C -︒'−−−−→△△．由于60P PC PP C ''∠=∠=︒,则B ,P ,P ',E 共线,且 BE BP PP P E BP CP AP ''=++=++．对于ABC △内任一点Q ,令(),60R C AQC EQ C -︒'−−−−→△△,则QQ QC '=,Q E QA '=,于是QA QB QC Q E QQ QB BF BP CP AP ''++=++=++≥,故P 点是到三顶点距离之和最小的点．例4如图18-4,在ABC △中,AB AC >,A ∠的一个外角的平分线交ABC △的外接圆于点E ,过E 作EF AB ⊥,垂足为F ．求证：2AF AB AC =-．（1989年全国高中联赛题） 图18-4F EDA BCT证明1902AEF BAE BAC ∠=︒∠=∠-．作A 关于F 的对称点D ,则AED CAB ∠=∠,且EA ED =．又EB EC =（因EBC EAT EAB ∠=∠=∠）,则EB EC =,且CEB CAB AED ∠∠=∠=,所以可将AEC △绕E 点旋转AED ∠到DEB △处,从而AC DB =．故2AB AC AD AF -==．例5如图18-5,ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形,现固定ABC △,而将ADE △绕A 点在平面上旋转,试证：不论ADE △旋转到什么位置,线段EC 上必有点M 使BMD △为等腰直角三角形．（1987年全国高中联赛题）图18-5A'E 1C 1EDABCM证法1先证BMD △为等腰直角三角形,再证M 为EC 上．作A 关于BD 的对称点A ',则ADB AD B '∠∠=．由902ADE BDM ∠=︒-∠, 有|45|9045|EDM A DM A DB ADB ''∠∠=︒-∠︒-︒-∠==|． 而DA DA DE '==,则A '是E 关于DM 的对称点．同理,A '也是C 关于BM 的对称点．从而EM D A M D '∠=∠,CMB A MB '∠∠=,而90BMD ∠=︒,故180CME ∠=︒,即M 在BC 上．证法2先取EC 中点M ,再证BMD △为等腰直角三角形．作AC 关于AB 的对称线段1AC ,连1BC ,1EC ,将1AC E △绕A 点顺时针方向旋转90︒到1ACE △的位置如图18-5,则11C E CE ⊥,11AC E ACE △≌△,且1190C AC EAE ∠=∠︒=,从而由1AE AE =有1ADE ADE ∠=∠,即知E ,D ,1E 三点共线且D 为1EE 中点．再由112BM C E ∥,112DM CE ∥及1C E 1CE ,即证．例6如图18-6,在锐角ABC △的BC 边上有两点E ,F ,满足BAE CAF ∠∠=,作FM AB ⊥于M ,作FN AC ⊥于N ,延长AE 交ABC △的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与ABC △的面积相等．图18-6LFE DABC M NK（2000年全国高中联赛题）证明作DK AB ⊥于K ,作DL AC ⊥于L ,则只需证明 FBM FCN FDM FDN S S S S +=+△△△△．利用FDM FKM S S =△△,FDN FLN S S =△△,只需证明FBM PCN FKM FLN S S S S +=+△△△△,即FM BM FN CN FM MK FN NL ⋅+⋅=⋅+⋅．因此,只需证明()()FM BM MK FN NL CN -=-,即FM BK FN CL ⋅=⋅．设BAE CAF α∠=∠=,利用BKD CLD △∽△,有 ()sin sin BK DK FNCL DL A FM αα===-． 故结论成立．例7如图18-7,1O 与2O 外切于点A ,半径分别为1r 和2r ,PB ,PC 分别为1O ,2O 的切线,B ,C 为切点,且12PB PC r r =∶∶,又PA 交2O 于E 点．求证：PAB PEC △∽△．图18-7证法1（相似证法）连线1BO ,1PO ,2PO ,2EO ,2CO ．注意到1O ,A ,2O 三点共线,由12PB PC r r =∶∶有12Rt Rt PBO PCO △∽△,从而1212PO PO O A O A =∶∶．由角平分线性质定理的逆定理,知12BPO O PA ∠=∠． 又22O AP O EA ∠=∠,有12O AP O EP ∠=∠,从而12O AP O EP △∽△,则12PA PE r r =∶∶,即PA PE PB PC =∶∶．而BPA CPE ∠=∠,故PAB PEC △∽△．证法2（位似证法）考虑以A 为位似中心的变换,把1O 变到2O ,PAB △变到P AC ''△,则P C ''切2O 于C '．由12PB P C r r PB PC ''==∶∶∶,知P C PC ''=．延长P C ''与PC 的延长线相交于点Q ,如图18-7,由QC QC '=,知PQP '△为等腰三角形．连2QO 并延长交AE 于F ,则QF AE ⊥,故QF 平分AE ,则AP PE '=．由此知PEC P AC PAB '△≌△∽△．例8如图18-8,设H 为ABC △的垂心,L ,M ,N 分别是BC ,CA ,AB 边的中点．D ,E ,F 分别是三条高的垂足,P ,Q ,R 分别是HA ,HB ,HC 的中心,试证：L ,M ,N ,D ,E ,F ,P ,Q ,R 九点共圆（九点圆定理）．图18-8BC证明由于P ,Q ,R 分别是HA ,HB ,HC 的中点,故以H 为位似中心,位似比为2的位似变换把PQR 变成ABC ．因此,要证L ,M ,N ,D ,E ,F 在PQR 上,只要证明这些点在上述位似变换下的象点均在ABC 上即可．作()C D H D '−−−→,()C L H L '−−−→,则D ',L '在ABC 上．同理E ,M ,F ,N 的象点也在ABC 上．再由上述位似变换之逆即证得结论成立．例9如图18-9,2AB CD ∥,1AC BD ∥,A 在12D D 上．求证：122ABC ABCD ACD S S S =⋅△△△．图18-945°45°MD 2'D 1'C 'B'A'D 2ABCD 1证明因为梯形是仿射不变形,所以题设中的两个梯形可由两个特殊梯形经仿射变换后得到,设梯形2C B A D ''''和梯形1C B D A ''''皆为直角梯形,且221C D D A MB '''''===．梯形2A D C B ''''−−−→仿射梯形2AD CB ,梯形1A C B D ''''−−−→仿射梯形1ACBD ,则112A B C S A B MC ''''''=⋅=△,11122A B D S A B A D '''''''=⋅=△,212A C D S '''=△． 从而122A B C A B D A C D S S S '''''''''=⋅△△△．故122ABC ABD ACD S S S ⋅△△△=． 例10在凸四边形ABCD 的边AB 和BC 上取点E 和F ,使线段DE 和DF 把AC 三等分,已知ADE △和CDF △的面积等于四边形面积的14．求证：ABCD 是平行四边形． （第16届全俄竞赛题）证明题中条件与结论均满足仿射变换不变性特性．将ABC △变换成图18-10所示直角三角形,设3AB BC ==,则()3,0A ,()0,3C ,()2,1P ,()1,2Q ．图18-10DO ABCEFP Qxy设(),D a b 为所求,则直线DE 的方程为()1122b y x a --=--．令0y =得221E ax b -=+-．于是11232221ADE D a S AE y b b -⎛⎫=⋅=--⋅ ⎪-⎝⎭△ 1321a b b b +-=⋅⋅-． 同理,得1321CDF a b S a a +-=⋅⋅-△．()11333222ABD BCD ABCD S S S b a a b =+=⋅⋅+⋅⋅=+△△四边形．由已知易得()131313212142a b a b b a a b b a +-+-⋅⋅=⋅⋅=⋅+--．解得3a b ==．即33D （，）,故ABCD 为平行四边形．例11如图18-11,H 是ABC △的垂心,P 是ABC △内任一点,由H 分别向PA ,PB ,PC 引垂线HL ,HM ,HN 与BC ,CA ,v 的延长线相交于X ,Y ,Z ,其中L ,M ,N 为垂足．求证：X ,Y ,Z 三点共线．图18-11PXYZ L DH AC EF MN证明由于H 是一特殊点,将其作为反演中心,则只须证X ,Y ,Z 的象点（或反点）与H 共圆．设ABC △的高线分别交BC ,CA ,AB 的垂足为D ,E ,F ,则HA HD HB HE HC HF ⋅=⋅=⋅．又A ,D ,L ,X 共圆,有HL HX HA HD ⋅=⋅．同理,H M H Y H B H E ⋅=⋅,HN HZ HC HF ⋅=⋅．以H 为反演中心,则L 与X ,N 与Z ,M 与Y 均为反点．又L ,P ,N ,H 共圆,L ,P ,M ,H 共圆,有L ,N ,M ,H 共圆,故X ,Z ,Y 三点共直线．例12如图18-12,四边形ABCD 内接于圆O ,对角线AC 与BD 相交于P ．设三角形ABP ,BCP ,CDP 和DAP 的外接圆心分别是1O ,2O ,3O ,4O ．求证：OP ,13O O ,24O O 三直线共点．图18-12（1990年全国高中联赛题）证明由于本题涉及的圆很多,于是可考虑反演变换．取P 为反演中心,P 关于圆O 的幂为反演基圆半径,则圆O 反演为本身,()1,2,3,4i O i =反演为四边形ABCD 各边所在直线,过点P 的直线也反演为本身．由直线2PO 与2O 正交,可知它们的反形也正交,即2PO AD ⊥．又易知4O O AD ⊥,所以24PO O O ∥． 同理,42PO O O ∥．所以24PO OO 为平行四边形,PO ,24O O 互相平分． 同理,PO ,13O O 也互相平分,命题得证．【解题思维策略分析】1．注意同一类变换的多次运用例13如图18-13,凸四边形ABCD 的边是位于形外的、两两相似的等腰APB △、BQC △,CRD △、DSA △的底边．已知PQRS 是矩形,且PQ QR ≠．证明：ABCD 是菱形．图18-13FSPQRD OABCE（第15届全俄第三阶段赛题）证明设这些相似的等腰三角形的顶角为θ（90≠︒）．考虑一系列的旋转变换：点A 绕点P 转θ角到点B ,点B 绕点Q 转θ角到点C ,合成为点A 绕点E 转2θ角到点C ．同理点C 绕点F 转2θ角到点A ,其中12EPQ PQE FRS RSF θ∠=∠=∠=∠=．从而EA EC =,FA FC =,2180AEC AFC θ∠=∠=≠︒．于是AEC AFC △≌△,AECF 是菱形．又由于PQ SR =,则PEQ SFR △≌△．因此,E ,F 在矩形PQRS 的中位线上,从而AC 被该中位线垂直平分于矩形中心O 点．同理BD 也被矩形PQRS 的另一中位线垂直平分于矩形中心O 点．故ABCD 是菱形．若90θ=︒,则E ,F 都与矩形PQRS 的中心O 重合,且90POQ ROS ∠=∠=︒,从而知PQRS 是正方形,矛盾．所以90θ≠︒．例14设ABCDEF 是凸六边形,AB BC CD ==,DE EF FA ==,60BCD EFA ∠=∠=︒,G ,H 是六边形内两点,使120AGB DHE ∠=∠=︒．求证：AG GB GH DH HE CF ++++≥．（IMO -36试题）证明如图18-14,分别以AB ,DE 为边向六边形外作正ABM △和DEN △,将AGB △绕A 逆时针方向旋转60︒到AG M '△,则AGG '△为正三角形．故AG GG '=,GB G M '=．图18-14FCH 'ENH DG 'MABG同样,将EHD △绕E 点顺时针方向旋转60︒到EH N '△,则EHH '△为正三角形,于是EH HH '=,HD H N '=．连MN ,则多边形AMBCDEF 关于轴BE 对称,MN CF =．另一方面,由“两点间线段最短”有 AG GB GH DH HE MG G G GH HH H N MN CF '''''++++=+++=+≥． 2．注意几类变换的配合运用例15平面上有两个直角三角形,其斜边上的中线互相平行,证明：一个三角形的一条直角边与另一个三角形的某条直角边之间的（小于直角的）夹角小于两条斜边之间的夹角．（第19届全俄竞赛题）证明平行移动两个给定的Rt ABC △和Rt A B C '''△中的一个,使两三角形的直角顶点C 与C '重合,并以点C 为中心,作位似变换,使得两三角形的中线重合,如图18-15．那么以E 为圆心,CE 为半径的圆将外接这两个三角形,并且它们斜边之间的夹角是圆心角,而它是相应的圆周角的两倍,这圆周角是直角边之间（小于直角）的夹角（图中2AEA ACA ''∠=∠）,注意到上述的平移及位似变换均不改变直线间的夹角,于是结论获证．图18-15A BC =C 'EB'A'例16如图18-16,ABC LMN △∽△,且AC BC =,LN MN =,顶点按逆时针顺序排列,并在同一平面内,而且AL BM =．证明：CN 平行于AB 和LM 中点的连线．图18-16N LM（第19届全俄第3阶段竞赛题）证明平移线段AB 到QM ,因AL BM =,BM AQ =,则AL AQ =,即ALQ △为等腰三角形．若F 为LQ 的中点,则AF LQ ⊥．设E 为LM 的中点,D 为AB 的中点,则FE 是QLM △的中位线,1122FE QM AB AD ===及FE QM AD ∥∥,因此AFED 是平行四边形,即AF DE ∥,AF DE =．又AF LQ ⊥,故DE LQ ⊥．平移ABC △,使A 点重合于F 点,D 点重合于E 点,则C 点移到G 点,ADC FEG △≌△,AF CG DE ∥∥及CG DE =．由ADC LEN △∽△,得FEG LEN △∽△且FE CELE NE=．又因90GEF NEL ∠=∠=︒,故GEN LEF ∠=∠,进而FEL ∠可由GEN ∠绕E 点逆时针旋转90︒并经位似变换而得到．由此得GN LF ⊥,即GN LQ ⊥．又GC LQ ⊥,即G ,C ,N 都在垂直于LQ 的一条直线上,因此,CN AF ∥,亦即CN DE ∥,原命题得证． 【模拟实战】习题A1．给定以O 为圆心,AB 为直径的半圆周,在其上取点K 和M ,在直径上取点C ,使得KCA MCB ∠=∠．证明：K ,C ,O ,M 四点共圆． （第18届全俄竞赛题）2．在ABC △中,AB AC =．任意延长CA 到P ,再延长AB 到Q ,使AP BQ =．求证：ABC △的外心O 与A ,P ,Q 四点共圆．（1994年全国初中联赛题） 3．在半径为1的圆周上给定弦AB ,不与圆相交的直线l 与弦AB 成45︒．用圆规和直尺在直线l 上作出点C ,使得线段DE 与AB 垂直（C ,E 分别是CA ,CB 与圆的交点）．（第16届全俄竞赛题） 4．ABC △中,2AB AC ==,BC 边—上有100个不同的点1P ,2P ,…,100P ,记2(1,2,,10)i i i i m AP BP PC i =+⋅=,求12100m m m +++的值．（1990年全国初中联赛题）5．从以AD 为直径的半圆周上的点B ,C 分别作BE ,CF 垂直于AD 于E ,F ．线段AC 与BD 相交于P ,线段BF 与CE 相交于Q ．求证：直线PQ AD ⊥．（第17届全俄第3阶段竞赛题）6．设两个等圆相交,由其对称中心引出两条射线,它们交圆周于不在同一直线上的四点． 证明：这四点共圆． （第19届全俄竞赛题） 7．在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上分别取异于顶点的点K ,L ,M ,N ．已知KL MN ∥,KM NL ⊥于O ．证明：KM 和LN 的交点在矩形的对角线BD 上． （第25届全苏竞赛题）8．ABC △的中线AE ,BF 和CD 相交于M ．已知E ,C ,F 和M 共圆,且CD n =．求线段AB 的长度．（第18届全俄竟赛题）9．等边ABC △和KMN △（顶点按逆时针顺序）在同一平面内,且AK NB =．证明：线段CM 和AN 互相垂直,且CMAN=（第19届全俄竞赛题） 10．运用位似旋转变换证明例5． 11．四边形ABCD 中,以一对对边的比AB CD ∶内分另一对对边AD ,BC 于E ,F ,延长BA ,CD 与EF 的延长线分别相交于G ,Q ．试证：BGF FQC ∠=∠． 12．四边形ABCD 的对边AD ,BC 延长交于E ,AB ,CD 延长交于F ．O 为其对角线交点,过O 作AB 的平行线OQ 交EF 于Q ．求证：OG GQ =．习题B1．已知平面上三个半径相等的圆1O ,2O ,3O 两两相交于A ,B ,C ,D ,E ,F ,如图18-17．证明：弧AB ,CD ,EF 的和等于180︒．图18-172．如图18-18,111A B C △,在ABC △内,且111ABC A B C △∽△．作1B D AC ⊥于D ,1C E AB ⊥于E ,1A F BC ⊥于F ．求证：1112ABC A F BC B D AC C E AB S ⋅+⋅+⋅=△．图18-18D A BCE C 1B 1A 13．设D 是锐角ABC △内部的一点,使得90ADB ACB ∠∠+︒=,并有AC BD AD BC ⋅=⋅．（1）计算比值AB CDAC BD⋅⋅；（2）求证：ACD △的外接圆和BCD △的外接圆在C 点的切线互相垂直．（IMO34-2试题）4．BK 是锐角ABC △的高,以BK 为直径作圆分别交AB ,BC 于E ,F ．过E ,F 分别引所作圆的切线．证明：两切线的交点在过顶点B 的ABC △的中线所在的直线上．（第21届俄罗斯竞赛题）5．在梯形ABCD 中,腰AB CD =．将ABC △绕点C 转过一个角度,而得到A B C ''△．证明：线段A D ',BC 和B C '的中点共线． （第23届全苏竞赛题） 6．111A B C △是不等边锐角ABC △的垂足三角形,2A ,2B ,2C 是111A B C △的内切圆分别切11B C ,11C A ,11A B 的切点．证明：222A B C △与ABC △的欧拉线重合．（第7届巴尔干地区竞赛题）7．在钝角ABC △（C ∠为钝角）的BC 边上选取点D （异于B ,C 点）．过线段BC （异于D ）的内点M 引直线AM ,交ABC △的外接圆S 于点N ．经过点M ,D 和N 作圆,交圆S 于N 及另一点P ,问点M 在何位置时,线段MP 的长度最短？ （第22届全苏竞赛题）8．ABCD 是一个四边形,且BC AD ∥,M 是CD 的中点,P 是MA 的中点,Q 是MB 的中点,直线DP ,CQ 交于点N ．求证：点N 不在ABM △外部的充要条件是上下底边长之比在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上． （IMO -35预选题）9．在ABC △中,12AB =,16AC =,M 是BC 的中点,E ,F 分别在AB ,AC 上,EF 交AM 于G ,且2AE AF =．求比值EFGF． （IMO -29预选题） 10．三个全等的圆有一个公共点Q ,并且都在一个已知三角形内,每一个圆与三角形的两条边相切,求证：三角形的内心I ,外心O 与已知点Q 共线． （IMO -22试题） 11．123A A A △是一个非等腰三角形,它的边长分别为1a ,2a ,3a ,其中i a 是i A 的对边（123i =，，）,i M 是边i a 的中点,123A A A △的内切圆I 切边i a 于i T 点,i S 是i T 关于i A ∠的平分线的对称点．求证：11M S ,22M S ,33M S 三直线共点．（IMO -23试题）12．设A 是两个不相等的,分别以1O 与2O 为圆心而共面的圆1C 与2C 的两个不同交点之一,一条外公切线切1C 于1P ,切2C 于2P ；另一条公切线切1C 于1Q ,切2C 于2Q ．设1M 是11PQ 的中点,2M 是22P Q 的中点．证明：1212O AO M AM ∠∠=．（IMO -24试题）13．已知两相切圆1C ,2C ,点P 在根轴上,即与两圆连必线垂直的公切线上．试用圆规和直尺作所有的圆C ,使得C 与1C ,2C 相切,且过P 点．（1991年亚太地区竞赛题）14．给定两个圆,其中一个圆在另一个内部,且两圆相切于点N ．外圆的弦BA 和BC 分别与内圆相切于点K 和M ．外圆的弦BA 和BC 分别与内圆相切于点K 和M ．设不包含点N 的弧AB 和BC 的中点分别是Q 和P ．BQK △和BPM △的外接圆的第二个交点为1B ．证明：1BPB Q 为平行四边形．（第26届俄罗斯竞赛题）15．四边形ABCD 外切于圆ω,边AB 和CD 所在的直线相交于点O ．圆1ω与边BC 相切于点K ,且与边AB 和CD 所在的直线都相切；圆2ω与边AD 相切于点L ,且亦与边AB 和CD 作在的直线都相切,现知点O ,K ,L 共线,证明：边BC 和AD 的中点以及圆ω的圆心三点共线．（第26届俄罗斯竞赛题）第十八章 几何变换的性质及应用习题A1．若C 与O 重合,则结论显然成立．今设C 与O 不重合,将半圆以直径为轴,对称变换成整圆,设K ',M '为K ,M 关于AB 的对称点,则K ',C ,M 共线,K ,C ,M '也共线．1(2M KCM KM ∠=+)K M KOM ''=∠．故K ,C ,O ,M 共圆．2．等腰ABC △的外心O 在顶角平分线上,而顶角平分线又是ABC △的对称轴,以AO 为轴作AOQ △的对称AOR △,则,OQA ORA AQ AR ∠=∠=．由AB AC =,有CR AR AC AQ AB BQ AP =-=-==．连OC ,OP ,设OM 是等腰OAC △的对称轴,则OM 垂直平分AC （M 为垂足）．于是MR MC CR MA AP MP =+=+=,从而OMR △与OMP △关于OM 为轴对称,所以OPA ORA ∠=∠．又已证ORA OQA ∠=∠,所以OPA OQA ∠=∠,故O ,A ,P ,Q 四点共圆．3．设直线AB 与l 的交点为P ,过P 作直线m AB ⊥,分别作出A ,B 关于l 的对称点1A ,1B ,则1A ,1B 在m 上．连1AB 交l 于C ,则C 点为所求．设CB ,CA 与圆的交点为E ,D ．由对称性,知11A B C ABC ∠=∠．又CDE ABC ∠=∠,所以,11A B C CDE ∠=∠,DC m ∥,从而DE AB ⊥．4．将i ABP △绕A 点逆时针旋转i ACP '△处,使AB 重合于AC ．因180i i APC APC '∠+∠=︒,故A ,i P ,C ,i P '共圆．设AC ,i i PP '交于D 点．由i APD △∽i ACP △∽i PCD '△,知2i AP AD AC =⋅,i i PCPC '⋅= DC AC ⋅,于是22()4i i i i m AP BP PC AD DC AC AC =+⋅=+⋅==,故12100400m m m +++=．5．易知90ABD ACD ∠=∠=︒．分别过P ,Q 引KL ,MN 垂直于BE 交BE 于K ,N ,交CF 于L ,M ．显然,它们也垂直于,CF MN KL =．由BKP △∽AEB △,KP BP BE AB =；ABP △∽DCP △,BP CPAB DC=；PCL △∽CDF △,CP PL DC CF =．于是KP PL BE CF =,即KP BEPL CF=．又BQE △∽FQC △,有BE MQ CF QN =（相似三角形对应高的比等于相似比）,于是KP MQ PL QN =,故11KP MQ PL QN +=+,即KL MNPL QN =,故PL QN =．因此PQ AD ⊥． 注：此题中,若P 为直线AB 与DC 的交点,可类似证明,得到PQ AD ⊥．6．设这两个等圆的对称中心为O ．从O 引出的两条射线分别交圆周于1A ,2A 及1B ,2B ,如图所示．又3A ,3B 及4B 分别是2B ,1A 及2A 关于O 点的对称点,由对称性知2313B B A A =,从而321312A A A B B B ∠=∠,即122211A A B B B A ∠=∠,所以1A ,1B ,2A ,2B 四点共圆．对于右图情形,有1323A A B B =,从而321213A A A B B B ∠=∠．而122321180A A B A A A ∠=︒-∠,因此,312B B B ∠122180A A B +∠=︒,故1A ,1B ,2B ,2A 四点共圆．7．由MN KL ∥,有MNO OLK ∠=∠,NMO LKO ∠=∠,从而ONM △∽OLK △,即有MO NOOK OL=．又OMD OKB ∠=∠,OND OLB ∠=∠,因此OMDN 和OKBL 关于O 点为中心位似,所以点D ,O ,B 在一直线上．结论证毕．注：题中条件KM NL ⊥可省略；当ABCD 为平行四边形时结论亦成立．8．以C 为位似中心,2为位似比作位似变换,则E B →,F A →．四边形ECFM 的外接圆变为ABC △的外接圆,并且点M 变为点G 在ABC △的外接圆上．由CM ∶2MD =∶1,CM MG =,知MD DG ==3n ．由相交弦定理及BD DA =,有BD DA CD DG ⋅=⋅,即23n BD n =⋅,即BD =亦即AB =． 9．由AK NB =知ANBK 是平行四边形．因此,等边三角形的边AB ,NK 互相平分于点P ,从而CP PA ⊥,CD 及PM NP ⊥,PM =．今以P 点为中心,先作按顺时针方向旋转90︒的变换,再作位似比为的位似变换,于是A 点变为C点,N 点变为M 点,从而线段AN 变为线段CM ．因此AN CM ⊥且CM ．10．设ADE △在旋转过程中的任一位置如图195-．考虑这样两个位似旋转变换：(,45,S E ︒和(,45,S C ︒．在前一个变换下,点D 变到A ,EC 的中点M 变到M '．在第二个变换下,点A 变到点B ,点M '变到M ．因此M 是两个变换的复合的不变点．由于(,45,(,45,S E S C ︒⋅︒= (,90,1)S M ︒．在这个复合变换下点D 变到B ,所以90DMB ∠=︒．又DM BM =,由此即证得命题成立．11．由于要证明的两角在两个三角形中,且题设中有线段的比内分不在一条直线上两线段,条件较分散,须作辅助线将条件集中．不妨连BD ,则(,)(,),CDCDH B H D AB CDAB CDC F A E ++−−−−−→−−−−−−→．假设(,)ABH B AB CDD P +−−−−−→,则,BP AB DP CD BD AB CD DB AB CD==++．（*）故(,)CDH D AB CDB P +−−−−−−→． 因为在位似变换下,直线变成与它平行的直线,则,PF CD PE AB ∥∥,从而PEF BGF ∠=∠,PFE ∠=FQC ∠．又,BF BP PF DE DP PE BC BD CD DA DB AB ====,由此两式相除,得AB PF BP CD PE DP ⋅=．又BP AE ABPD ED CD==,则1PFPE=,从而PEF PFE ∠=∠．故BGF FQC ∠=∠． 12．设直线QGO 交AD 于R ,交EB 于P ,作位似变换：(,),,,,ER H E EAA B F R P Q −−−−→；(,),,COH C CAA B F O −−−−→,,P G ；(,),,,,DB H D DAA B F R O G −−−−→,则RQ RP AF AB =,RO RG AB AF =,OP OGAB AF=． 由GO RQ RG RQ RG RP RO OP OGAF AF AF AF AB AB AB AF -==-=-==,故OG GQ =． 习题B 1．连1AO ,2AO ,1BO ,2CO ,2DO ,3EO ,3FO ,易知21AO DO 为平行四边形,即21O D AO ∥．同理,有31O E BO ∥,32O F CO ∥．于是,分别将2O ,3O 平移使之与1O 重合．设21()O O CD C D ''−−−−→平移,31()O O EF E F ''−−−−→平移,则1,,A O D '共线,1,,B O E '共线,1,,C O F ''共线,由此即知12AO B CO D ∠+∠3111180EO F AO B C O D E O F ''''+∠=∠+∠+∠=︒．即证．2．将111A B C △绕1A 点旋转α角到1A B C ''△的位置,使1AC AB '∥,则111sin C E C E AC α''=+⋅,1B D = 11sin B D A B α''-,于是11111111(sin )(A F BC B D AC C E AB A F BC B D A B AC C E AC α''''⋅+⋅+⋅=⋅+-⋅++⋅ 111111sin ()sin AB A F BC B D AC C E AB AC AB A B AC αα'''')⋅=⋅+⋅+⋅+⋅-⋅⋅．由ABC △∽111A B C △,有1111AB ACA B A C =,即11110AC AB A B AC ⋅-⋅=．又因为1B D A D ''''=,1E C A E ''''=,从而11A F BC B D AC ⋅+⋅+ 11112ABC C E AB A F BC A D AC A E AB S ''''⋅=⋅+⋅+⋅=△（其中C E AB ''⊥于E ',1A E AB ''⊥于E '',1A D AC''⊥于D '',B D AC ''⊥于D '）．3．（1）由ADB ACB CAD CBD ∠=∠+∠+∠,知90CAD CBD ∠+∠=︒．将D 、B 旋转90︒到E ,则由ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠及已知90ADB ACB ∠=∠+︒知CBE ∠= 90CBD CAD ︒-∠=∠．又BC BC AC BE BD AD ==（因AC BD AD BC ⋅=⋅）,知BCE △∽ACD △,从而ACBC=CD CE ,ACD BCE ∠=∠,则ACB DCE ∠=∠,于是又有ABC △∽DEC △,即有AB ACDE CD =,而2BE BD =,则2AB CD AC BD ⋅=⋅,故2AB CDAC BD⋅=⋅．（2）ACD △的外接圆在C 点的切线与CD 夹角等于CAD ∠（弦切角与圆周角）,BCD △的外接圆在C 点的切线与CD 夹角等于CBD ∠,且两切线在CD 不同侧,故它们的夹角等于90CAD CBD ∠+∠=︒,即两切线互相垂直．4．若证踢类似结论：对于以B力位似中心,与以BK 为直径的圆位似的圆也有类似的性质,则原命题的结论即可成立．设ABC △的三条高AM ,BK ,CL 相交于点H ,则以BH 为直径的O 与以BK 为直径的圆位似,且O 过点M ,L ．由OM OM =,有90OMB OBM ACB ∠=∠=︒-∠．设N 为AC 的中点,连MN ,则90AMN MAN ACB ∠=∠=︒-∠,从而AMN OMB ∠=∠．于是OMN ∠= 90OMA AMN OMA OMB AMB ∠+∠=∠+∠=∠=︒,所以MN 是O 的切线． 同理可证LN 也是O 的切线．由位似图形性质的对称性,以BK 为直径的圆也有同样的性质．5．将BCB '△沿DC 平移至EFG △,那么以D 为中心,位似比为2,将BC ,B C '和A D '的中点变到E ,G 到A '．由图形的对称性可知,EC CA ECB CAD BCA =∠=∠=∠,所以BC EA ⊥,从而EA EF ⊥．1(1802)2AEG FEG ∠=︒-∠（因EA EF ⊥）12EFG =∠（因EF BC B C GF '===）1122BCB ACA ''=∠=∠（因BCB B CA ACA B CA ''''∠+∠=∠+∠）AEA '=∠（因E ,A ,A '在以C 为圆心的同一圆上）． 所以E ,G ,A '共线,因而在上述位似变换下,它们的原象：BC 的中点,B C '的中点,DA '的中点也共线． 6．设H 为ABC △的垂心,由11190BA H BC H CB H ∠=∠=∠=︒,知1A ,B ,1C ,H 和1A ,C ,1B ,H 分别四点共圆,因此,111111BAC BHC B HC B AC ∠=∠=∠=∠,从而1111119090C A H BAC B AC ∠=︒-∠=-∠= 11B A H ∠,即1A H 平分111B AC ∠．同理,11,B H C H 也平分111111,A B C AC B ∠∠,故H 是111A B C △的内心（此可由垂心性质直接得H 为其内心）．从而H 也是222A B C △的外心．由1212,A B AC 分别是111A B C △内切圆的切线,22,B H C H 分别是内切圆的半径,所以1212A B AC =,2B H 2C H =,从而122A H B C ⊥,但1A H BC ⊥,从而22B C BC ∥．同理,22A B AB ∥,22A C AC ∥．由于ABC △与222A B C △的边对应平行,因此它们是位似形．于是这两个三角形的欧拉线（对应的线）或者平行或者重合．由于ABC △的垂心即222A B C △的外心,而这一点分别在这两个三角形的欧拉线上,所以这两个三角形的欧拉线重合．7．过点A 引AK CB ∥,交圆S 于点K ,延长KD ,交圆S 于点0P ．现证明：对每一个符合条件的点M ,点P 和0P 重合．（i ）当点0N P ≠时,设点N 在00()P B CP 内,由A ,K ,N ,0P 共圆,知0ANP ∠与0AKP ∠相等（相补）,由CB AK ∥,有00MDP AKP ∠=∠,则0MNP ∠与0MDP ∠相筹（相补）,因此,M ,D ,N ,0P 共圆,0P P =．（ii ）当点0N P =时,以点0P 为位似中心,将点K 变为点D ,直线0AP 变换为自身．由CB AK ∥,所以线段AK 变换为线段MD ,即点A 变换为点M ,于是圆S 就变换为三角形NMD 的外接圆,因为0P 为位似中心,所以这两圆只有一个公共点,0P P =．所以,所要求的点M 的位置应是点0P 在BC 的射影．因为A ∠是锐角,所以该射影在线段BC 内．又因为KDC KBC ACB ∠>∠=∠,所以KDC ∠为钝角,故点0P 在BC 上的射影不会与点D 重合．8．题中条件及结论均满足伸缩变换的不变特性．设AB 中点为R ,将AMR △变换为以R 为直角顶点的等腰直角三角形,建立仿射坐标系,(0,0)M ．可设(2,2)A ,(2,0)R ,(2,2)B -,(,2)C a --,(,2)D a ,则(1,1),(1,1)P Q -．由直线DP ：211(1)1y x a --=--和CQ ：2(1)1(1)1y x a ---+=---的方程联立,解得2(2,)N a a --,点N 在ABM △之外的充要条件是：。
合同变换与初等几何的应用
合同变换在初等几何中的应用引言合同变换作为一种解决初等几何问题工具，在中学几何中应用的并不广泛，所以使得部分学生对空间思维转换有不理解、没接触、不清楚。
但这一部分同学中不乏有对空间转换有天赋、有爱好的，所以变换作为一种解决数学问题行之有效、做之有难、悟之深刻的工具之一。
本文就是来探讨合同变换下直线反射、平移、旋转等一系列问题中的方法，方法中的思路。
目录一初等几何变换 1. 概念 2. 分类 二合同变换基本形式 1.平移变换定义 例题 总结 2.旋转变换定义 例题 总结 3.反射变换定义 例题 总结 三结束语 四参考文献一、初等几何变换1.概念诠释：在几何中，不仅要研究各个变换的性质，还要研究变换之间的联系，是否可逆要首先考虑的，这个变换能否施行或者连续施行，于是一一映射就自然而然的成为了变换的限制。
几何变换定义[1]：对平面π上每一点P ，通过某一确定的法则ƒ，在平面几上皆有一点Q 与之对应，且这种对应是一一对应，则称ƒ是平面π上的一个变换。
2.分类初等几何变换通常包括合同变换和相似变换两大类，相似变换与本文没有多大联系，所以就暂不介绍，下面主要介绍一下合同变换。
相似变换（保性变换）初等几何变换 平移（保向）合同变换（保距变换）旋转（保向）反射（变向）二、合同变换的基本形式1.平移变换定义[1]：如果平面上任一点P 变换到P ’，使得 (1)射线PP ’有给定的方向; (2)线段PP ’有给定的长度。
那么这个从平面到它自身的变换叫做平移变换。
射线PP ’的方向叫做平移方向，通常用T 表示平移变换。
例题1小时候玩具不多，不像现在要什么玩具都能用钱买到，那时我记忆最深刻的就是我爷爷给我做的风车了，在手里攥着，风一吹转呀转呀不亦乐乎。
现在我们手里有一“小风车”如下图，其中 AA`=BB`=CC`=1ο60```=∠=∠=∠COA BOC AOB求证:43```<++∆∆∆COA S BOC S AOB S 证明：如图做平移RQA COA`AA`T∆−−−→−∆）（，则OQ=1，RQ 平行于CC`, 延长QR ，BB ’交于点P ，连接B ’R ΘPQ 平行于CC`οο60COA`OQP 60BOC`OPQ =∠=∠=∠=∠∴， 的正三角形是边长为1POQ ∆∴ ∴OB`+PB`=BB`=1 ∴OB=PB` 同理PR=OC`B OC`B `PR ∆≅∆∴43`````=<++=++∴∆∆∆∆∆∆∆POQ S RQA S PR B S AOB S COA S BOC S AOB S总结：先从题目来看，已知三条线段长相等为1，三个角六十度，然后让你去求三个三角形的面积和小于43，首先看这个43有没有觉得很熟悉，对它就是边长为1的正三角形的面积，由此可看那就是想办法把这三个三角形放到一个大三角形里面去，而且正好有60度角，也有长度为1的线段，就想办法找一个正三角形，于是平移就自然会用到了。
合同变换(保距变换)在初中数学压轴题的应用(原版)
合同变换（保距变换）在初中数学压轴题的应用（原版）——整理于2017.6.17合同变换（保距变换）包括平移、旋转、反射（对称）三类。
因其具有良好性质，常放在选填压轴的位置。
现列举下列例子供大家参考。
一、平移：【回顾】解析几何里的平移“口诀”：。
平移的基本性质：。
1、（2009，武汉）【拓展提升】2、如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，联结AD、AE。
给出下列条件：○1AD=AE，BD=CE；○2∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC；○3BD=CE，∠BAD=∠CAE；○4∠BAE=∠CAE+∠ACE，∠CAD=∠BAD+∠ABD,BD=CE。
仅单独取任意一个序号所给的条件可以得出“AB=AC”这一结论的概率是。
【提示与思考】3、如图，在平行四边形ABCD内部有一点P，联结AP、BP、CP、DP。
那么是否存在以AP、BP、CP、DP为边所构成的凸四边形的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若有，请构造出来并证明；若无，请说明理由。
可以通过平移变换来解决问题，但不要滥用平移，如下题：4、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，CD ∥AB ，222322BD CD AB BC AD BC CD =∙+∙++.证明：四边形ABCD 为矩形。
二、旋转：【回顾】旋转的基本性质： 。
5、如图，△ABC 为一已知的等腰三角形，AB=AC ，D 为BC 上一动点，点E 为△ABC 外一点，满足∠EDB=∠CAD ，AB 平分∠EBD ，交DE 于点M 。
（1）、证明：代数式BDBE BM 111+为定值； （2）、联结AE 并延长交DB 的延长线于点P ，延长EB 、AD 交于点Q 。
记△AED 的外心为O （图中未画出），若OB=1，OP=2，OQ=3，求PQ 的长。
【拓展提升】6、如图，点O为钝角△ABC的外心，∠ACB＞90°。
将△ABC绕点O顺时针旋转一任意．．角度θ得到△A’B’C’。
线性代数合同变换例子
线性代数合同变换例子《聊聊线性代数合同变换例子那些事儿》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠线性代数里的合同变换例子。
一提到线性代数，可能有些人的脑袋就开始嗡嗡响了，心想：“这是啥玩意儿啊，咋这么抽象呢！”但别怕，咱今天就用接地气、带点幽默的方式来讲讲合同变换例子，让你恍然大悟。
比如说哈，咱就想象有一堆数字在那排队站好，它们就像是一群乖巧的小朋友。
然后呢，通过合同变换，就像是老师在给小朋友们重新排座位，让他们的排列方式发生了变化，但他们本质还是那群小朋友哦。
比如说有个矩阵A，长得方方正正的。
然后我们通过一些巧妙的变换手段，比如给它这儿加一点，那儿减一点，或者来个乾坤大挪移，把它的行和列换来换去，最终得到了一个新的矩阵B。
嘿，这就是一个合同变换的过程啦！就好像你原本有一堆积木，堆成了一个特定的形状，然后你突发奇想，把这些积木重新摆弄了一下，变成了另一个造型。
虽然看起来不一样了，但还是那些积木嘛。
再来个例子哈，假如有个矩阵就像是一个迷宫，里面的数字就是迷宫的道路。
通过合同变换，就像是我们在这个迷宫里找到了新的通道，让我们能更清楚地看到这个迷宫的结构。
哈哈，是不是有点意思了？其实合同变换在很多实际问题中都很有用哦。
就好比你要规划一次旅行，要根据各种因素来安排行程，这就像对一个矩阵进行合同变换，让旅行变得更合理、更有趣。
当然啦，一开始接触这些可能会有点头疼，感觉“哎呀，这咋这么难搞啊”。
但别着急，就像学骑自行车一样，一开始摇摇晃晃，慢慢熟练了就好啦。
多做些例子，多和这些矩阵“打交道”，你就会发现它们也没那么可怕啦。
所以啊，线性代数的合同变换例子虽然听起来有点高大上，但只要咱用平常心去对待，用有趣的方式去理解，它也能变得很好玩哦！大家一起加油，把这些合同变换例子都拿下，让线性代数成为我们的好朋友！哈哈，就说到这儿啦，大家快去试试吧！。
矩阵合同的几何意义
矩阵合同的几何意义摘要：1.矩阵合同与几何意义概述2.矩阵合同与线性变换3.矩阵合同与旋转矩阵4.矩阵合同在实际应用中的例子5.总结与展望正文：**1.矩阵合同与几何意义概述**矩阵合同是线性代数中一个重要的概念，它反映了矩阵之间的一种关系。
矩阵的几何意义是指矩阵在空间变换中的作用，例如矩阵可以表示一个线性变换，它把一个向量空间映射到另一个向量空间。
合同矩阵在几何上的意义是什么呢？它如何与我们熟悉的线性变换、旋转矩阵等概念联系起来呢？**2.矩阵合同与线性变换**矩阵合同与线性变换密切相关。
线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量的加法和数乘运算不变。
矩阵合同就是线性变换在不同基下的描述。
换句话说，两个矩阵合同意味着它们在不同的基下表示的是同一个线性变换。
**3.矩阵合同与旋转矩阵**旋转矩阵是一种特殊的矩阵，它在线性变换中起着重要作用。
旋转矩阵的定义是：一个二维旋转矩阵可以表示为```| cosθ -sinθ || sinθ cosθ |```其中，θ是旋转的角度。
矩阵合同与旋转矩阵的关系在于，两个合同矩阵在某种程度上可以看作是旋转矩阵。
当两个矩阵的行列式相等时，它们是旋转矩阵的同构矩阵，表示相同的旋转。
而当两个矩阵的行列式不相等时，它们是旋转矩阵的相似矩阵，表示不同的旋转。
**4.矩阵合同在实际应用中的例子**矩阵合同在许多实际应用中发挥着重要作用。
例如，在计算机图形学中，矩阵合同可以用于描述图形旋转、缩放等变换；在信号处理中，矩阵合同可以用于表示信号的频域变换；在量子力学中，矩阵合同与哈密顿量有关，用于描述系统的能级结构等。
**5.总结与展望**总之，矩阵合同的几何意义在于它反映了矩阵之间在特定基下的线性变换关系。
通过研究矩阵合同，我们可以更好地理解线性变换、旋转矩阵等概念，并将它们应用于实际问题中。
线性代数合同变换例子
线性代数合同变换例子《线性代数合同变换例子：数学世界里的奇妙变形》嘿，大家好呀！今天咱来聊聊线性代数里的合同变换例子，这可真是个有趣的玩意儿呢！想象一下，线性代数就像是一个巨大的魔法盒子，而合同变换就是这个盒子里的神奇咒语。
通俗来讲，合同变换就像是给一个向量或者矩阵做了一次“整容手术”，但可不是随便乱整哦，是有一定规则和目的的。
比如说有个矩阵，就像一个方方正正的积木堆。
通过合同变换呢，我们可以把它变得“更好看”，或者更符合我们的需求。
比如我们可能想让它更“苗条”一点，或者更“健壮”一点。
我记得有一次上线性代数课，老师就在黑板上给我们演示了一个合同变换的例子。
就看着那个矩阵在老师的笔下，一会儿变成这样，一会儿变成那样，感觉就像在看一场魔法表演。
同学们都瞪大了眼睛，惊讶于这种奇妙的变化。
有个同学就打趣说：“哎呀，这矩阵还能七十二变啊！”大家都笑了起来。
可不是嘛，合同变换就是这样神奇，能让一个看似普通的矩阵焕发出全新的魅力。
再比如说，有个向量就像是个迷路的小绵羊，通过合同变换，我们可以给它指引一个新的方向，让它找到回家的路。
这就像是在数学的迷宫中为它点亮一盏明灯。
其实，生活中也有点类似合同变换的事情呢。
有时候我们需要改变自己的状态或者态度，就像是给自己来了一次“合同变换”。
比如我们觉得自己太懒散了，就可以通过一些努力让自己变得更勤奋；或者觉得自己太胆小了，就尝试勇敢一些。
总之，线性代数的合同变换例子真的很有趣，让我们感受到了数学的神奇和魅力。
它就像是一把钥匙，打开了我们通向更广阔数学世界的大门。
每次看到那些复杂的矩阵或者向量在合同变换下展现出奇妙的变化，我都忍不住感叹：数学，你可真会玩！哈哈，希望大家也能在这个奇妙的世界里找到属于自己的乐趣哟！。
合同法变换拿破仑三角形证明过程
合同法变换拿破仑三角形证明过程（原创版）目录I.引言II.合同法变换的概念III.拿破仑三角形的定义和性质IV.证明过程1.证明方法一：利用相似三角形2.证明方法二：利用外拿破仑三角形V.结论VI.参考信息正文I.引言合同法变换是数学领域中的一个重要概念，它在几何、代数、分析等各个领域都有着广泛的应用。
拿破仑三角形是合同法变换中的一个典型例子，本文将介绍拿破仑三角形的定义和性质，并给出两种不同的证明方法。
II.合同法变换的概念合同法变换是指在数学中，将一个图形通过某种方式变换成另一个图形，使得这两个图形的某些性质相同。
合同法变换通常包括平移、旋转、翻转等操作。
III.拿破仑三角形的定义和性质拿破仑三角形是指一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。
拿破仑三角形具有以下几个性质：1.三个等边三角形的中心构成一个等边三角形；2.三个等边三角形的边长都相等；3.拿破仑三角形的三个顶点分别位于三个等边三角形的重心、垂心和外心。
IV.证明过程1.证明方法一：利用相似三角形我们可以通过相似三角形的性质来证明拿破仑三角形。
假设三角形ABC 对应边外的正三角形的中心分别为 D、E、F，我们需要证明三角形 ADB、AEF 和 ACF 都是相似的。
根据已知条件，我们可以得到以下比例关系：AB:AD = BC:DE = AC:AE由于三角形 ABC 是等边三角形，所以有：AB = BC = AC因此，我们可以得到：AD:DB = DE:EC = DF:AF = AB:AC所以，三角形 ADB、AEF 和 ACF 都是相似的，证毕。
2.证明方法二：利用外拿破仑三角形我们还可以通过外拿破仑三角形来证明拿破仑三角形。
假设三角形ABC 对应边外的正三角形的中心分别为 D、E、F，我们需要证明三角形 ADB、AEF 和 ACF 都是外拿破仑三角形。
我们可以在多边形 AFBDCE 中作一点 G，使 AG = AF，GE = GD。
6-2合同变换(一)
B
例3 已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上,且 BE=CF, 求证: EF<BC. A
E B D F G C
小结：
荷苞牡丹
别名: 耳环花，荷包花，荷苞牡丹，活血草，人血七， 上天梯，土当归，一口血，鱼兜牡丹，鱼儿牡丹
2.2旋转变换 1、概念 定义4（旋转变换） 约定： R(O, + 2k ) = R(O, ), k ∈ Z . 2、确定条件 两对对应点 3、性质 (1)是第一类合同变换,具有第一类合同变换的 所有性质； (2)具有同一旋转中心的所有旋转变换构成可交 换群；
3、分类 第一类合同变换(绕行方向相同) 合同变换 第二类合同变换(绕行方向相反)
真正合同 合同图形 镜像合同 4、性质 (1)合同变换是一一变换 (2)平面上所有合同变换构成变换群 (3)合同变换的不变量:距离(及夹角、面积等)
(4)合同变换的不变性质:
同素性、结合性、顺序性、平行性、正交性
二、平移、旋转、反射的概念与性质
注意：平面上所有反射变换的集合不构成变换群. (主要原因：运算不封闭)
4、应用举例 例1 CDEF是一矩形弹子球台, A、B是球台上的两个球. 捷报：2014年4月6 试求出把 A球击出后, 依次撞击球台桌的四边CD、DE、 日,斯诺克中国公开 赛收杆 ,丁俊晖时隔 EF、FC 后,击中 B球的路线. A
P B HB HD HC HP HA HQ 1 HD HC HP HA HQ HB
D
C
CP CD AQ AM 而 = , 代入上式,得 AM = AN. = , PA AN QB BD
20. 考虑△DEF是△ABC中以D为顶点的任意内接三角形.
初等几何课件(合同变换)
初等几何变换
2、合同变换的性质
1）合同变换是一一变换 2）合同变换的逆变换也是合同变换 3）两个合同变换的乘积也是合同变换 4）合同变换把共线点变成共线点 5）合同变换把直线变成直线，把射线变成射线，把线段变成 线段，把角变成角 6）两条相交直线的交角，经合同变换，等于两对应直线的交角
2合同变换的性质1合同变换是一一变换2合同变换的逆变换也是合同变换3两个合同变换的乘积也是合同变换4合同变换把共线点变成共线点5合同变换把直线变成直线把射线变成射线把线段变成线段把角变成角6两条相交直线的交角经合同变换等于两对应直线的交角说明
初等几何变换
课题：
§1 合同变换
主讲：吴现荣
初等几何变换
2） 镜照合同 ABCA 与 A1B1C1A1 环绕方 向相反（第二类合同变换）
P 2 54 作业：
合同变换的概念和性质 一、
1、合同变换的概念
设有两个点集合构成的两个图形 F 和 F / ，它们的点之间建立这样的一一对应关系： 使 F 中任意两点的连线段总等于 F 中两个对应点的连线段，则 F 和 F 称为相等或合 同。即在一个几何变换（以下简称变换） f 下，若任意两点之间的距离等于变化后两点 之间的距离，则 f 是一个合同变换。
初等几何变换
说明：根据如上的定义和性质得：
两点间的距离 变量 合同变换的两个基本不 两直线的交角 点的共线性 合同变换的基本不性 直线的共点性 . 平行性 点与直线的结合性
初等几何变换
3、图形的相等的两种情况
1） 全（相）等（真正合同） ABCA 与 A1B1C1A1 环绕方 向相同（第一类合同变换）
合同变换的定义及性质
合同变换的定义及性质一、图形的一一变换如果按照某种法则，使图形F上的点与图形F＇上的点建立了一一对应关系，我们就把这种法则叫做图形F到图形F＇的一一变换．如果P是F上的点，P＇是F＇上P的对应点，我们就称P＇是P的像点，F＇是F的像，F是F＇的原像，记作F＇=f(F)．因为两个图形的一一变换是可逆的，所以称F＇到F的变换为f的逆(变换)，记作F=f-1(F＇)．如果一个平面图形经过f1与f2两次一一变换，所得到的像与经过一一变换fa所得到的像完全相同，我们就说f3是f1与f2的积，记作f3=f2·f1．经过一一变换，没有变动位置的点和直线，称为这个变换的二重点(不变点)和二重线(不变线)．二、合同变换由两个图形的一一变换的定义可知，如果对应点间的对应法则不同，那么图形的一一变换也就不同．我们看下面几个例．例1等．那么当点M在△ABC上变动一周时，M＇便形成了△A＇B＇C＇．显然△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系，因此可以说△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．下面我们给具有上述特点的变换下一个一般的定义．定义两个具有一一变换关系的图形，如果每对对应点所确定的线段都同向平行且相等，则称这种变换为平移交换，简称平移．例2 在平面上取一点O，以O为端点，通过位于该平面上的△ABC的顶点引三条射线OA、OB、OC，让这三条射线以O为中心，向同一方向(例如逆时针方向)转动同一个角度θ，于是上述三条射线分别转动到了射线OA＇、OB＇、OC＇的位置，如果OA＇=OA，OB＇=OB，OC＇=OC，那么显然△ABC就转动到了△A＇B＇C＇的位置(图3－2)．不难看出，这时△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系，因此，△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．定义两个具有一一变换关系的图形，如果每对对应点到某一定点的距离相等，从该点向每对对应点所引射线所成的角都相等且同向，则称这种变换为旋转变换，定点称为旋转中心，旋转之有向角称为旋转角．旋转角为180°时的旋转变换称为中心对称(或点对称)，如图3－3．例3 如果由△ABC的三个顶点分别向直线l作垂线，设垂足分别为O1、O2、O3．分别延长AO1、BO2、CO3至A＇、B＇、C＇，使O1A＇=O1A、O2B＇=O2B、O3C＇=O3C．连结A＇B＇、B＇C＇、C＇A＇．这时，若以直线l为界把△ABC所在的半平面翻折过来，那么△ABC 必与△A＇B＇C＇重合(图3－4)．容易证明△ABC与△A＇B＇C＇的点与点之间建立了一一对应关系．事实上，若P点是△ABC上之任一点，则必有△A＇B＇C＇上一个P＇点与之对应，反之亦然．如果在△ABC上取两个不同的点P1、P2，那么根据上述作图法，必在△A＇B＇C＇上得到两个不同的点P＇1、P＇2与之对应(否则若P抇1=P抇2，则将引出过直线外一点可作两条直线与已知直线垂直的矛盾)．因此，△ABC到△A＇B＇C＇的变换是一一变换．这种变换叫做轴对称变换．下面给出一般定义．定义两个图形具有一一变换的关系，如果以每对对应点为端点的线段都和同一条直线垂直且被平分，则称这种变换为轴对称(或直线反射)，每对对应点互称对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴．上面所说的平移、旋转、轴对称等变换的共同特征是像与原像是合同图形，所以这些变换统称为合同变换．下面我们给合同变换一个明确的定义．定义如果两个图形F和F＇间具有一一变换的关系，并且F上每两点所确定的线段与F＇上与之对应的两点所确定的线段总相等，则称F到F＇的变换为合同变换．关于合同变换，具有以下一些性质：1°在合同变换下，对应线段相等．2°在合同变换下，直线上的点的顺序不变．3°在合同变换下，两个图形合同．证明设F＇是F经过合同变换后的像，假定A、B、C是F上任意不共线三点，它们在F＇上的像点分别是A＇、B＇、C＇．我们必然重合．此时可能有(1)B与B＇重合在这种情况下，C与C＇可能在直线A＇B＇的同侧，也可能在异侧，如果在异侧，我们使C以A＇B＇为轴作轴对称变换，则C与C＇必在直线A＇B＇同侧(图3－5)．这时，由于A＇C=A＇C＇、B＇C＇=B＇C，C与C＇必然重合．否则，△A＇CC＇和△B＇CC＇都是等腰三角形，作∠CA＇C＇的平分线交CC＇于O，由轴对称定义，易知A＇O为C与C＇的对称轴，所以A＇O垂直平分CC＇，B＇O也垂直平分CC＇，这样，线段CC＇的垂直平分线就有两条了，这就引出矛盾．因此，C与C＇只能重合，所以△ABC≌△A＇B＇C＇．由于A、B、C三点的任意性，所以图形F与F＇的对应点能够完全重合，所以F 与F＇合同．(2)B与B＇不重合B＇重合，再重复(1)之证明，则F与F＇合同．4°在合同变换下，对应角相等．5°图形F总与自己合同；图形F1若与F2合同，则F2也与F1合同；若图形F1合同于F2，F2合同于F3，则F1合同于F3．定义如果两个平面合同图形F和F＇的任何一对对应角都同向，那么就称F和F＇为第一种合同(本质合同)，由F到F＇的变换称为第一种合同变换．如果F和F＇的任何一对对应角都反向，那么就称F和F＇为第二种合同(镜照合同)，F到F＇的变换称为第二种合同变换．在图3－6中，△ABC与△A＇B＇C＇是第一种合同图形，△ABC与△A″B″C″是第二种合同图形．6°以两条平行直线为轴的两次轴对称的积是一个平移．证明设直线l1∥l2，P是任意原像点，由P作l1、l2的垂线垂足分别为P1和P2(图3－7)．设P＇为P关于l1的对称点，P″为P＇关于l2的对称点．不论P点在平面上的什么位置，应用有向线段的加法总有：所以关于两条平行线l1和l2的两次轴对称之积等于一个平移．平移的方向是直线l1、l2的法线方向，平移的距离为l1和l2之间距离的两倍．应当指出，性质6°的逆命题也成立．7°以相交两直线为轴的两次轴对称的积是一个旋转．其逆命题也成立．推论以相交成直角的两条直线为轴的两次轴对称的积是一个中心对称．上面我们简单地介绍了合同变换的概念及其性质．如果我们注意到对同一个图形作上述各种合同变换(平移、对称、旋转等)时的方向，便可得到下面简要的表(表3－1)．平面上如果有任意位置的两个合同图形，我们利用表按下列程序(图3－8)可以把这两个图形完全重合．按上述程序，根据合同图形的性质可知，平面上任何两个不同位置的合同图形，最多通过三次轴对称，便可使其中一个图形和另一个图形重合．。
初等几何变换(一)教材
AM AT AP AD
∵AP⊥PO,AB⊥BT,∴ห้องสมุดไป่ตู้O∥BT.
AP AB
M
AO AT
AM AM AP AT AB AB k AO AP AO AD AT AD
即在以A为中心,△ABC与△ADE的位似 D
T
E
变换下,k为位似比,而O是△ADE的内心, 故M是△ABC的内心.
作业： P3.T12.T2
1
2
K
1 2
例3.已知ABC中, AB AC, P是ABC内一点, 且有APB APC,求证: PBA PCA.
Q
例5.图形F1、F2、F3两两彼此位似，O1、O2、O3依次 是它们的位似中心，求证 : O1、O2、O3三点共线.
对于A1 A2 A3
A1O1 A2O2 A3O3 O1 A2 O2 A3 O3 A1 A1C1 A2C2 A3C3 1
M (A′)
例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点， 且AE : EB DF : FC AD : BC，EF与AD、BC延长线分别 交于M、N点，求证：AME BNE.
G
1 2
H
1 2
例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点， 且AE : EB DF : FC AD : BC，EF与AD、BC延长线分别 交于M、N点，求证：AME BNE.
(7 4)2 9
原结论成立.
C′
P′ N
合同变换:平面到自身的变换,若保持距离 不变,则称它为合同变换. 也可以说,合同变换不外是由平移、旋转 和反射复合而成.
定理:任一合同变换可分解为不多于 三个的反射之积. P565
所有的合同变换组成“群”.
6几何变换思想解析
而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法
之一,在几何的育人方面发挥着非常重要的作用。
图形变换来源于生活中物体的平移、旋转和轴对 称的这些运动现象,因而了解图形的变换,有利于 我们认识生活中丰富多彩的生活空间和形成初步 空间观念。利用图形变换把静止的几何问题通过 运动变化,找到更加简捷的解决问题的方法。
旋转变换有以下一些性质： ①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。 ②在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的两点为A′
和B′,则有直线AB和直线A′B′所成的角等于θ。
③在旋转变换下,任意两点A和B变换后的对应点为A′和 B′,则有AB=A′B′。 在解决几何问题时旋转的作用是使原有的图形的性质得 以保持,但通过改变其位置,组合成新的图形,便于计算和证
通过直观感受判断,也就是说直观感受原图形在没有任
何转动的情况下,通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够
与另一个图形重合,借住方格纸可以帮助我们理解其中
的道理。如在方格纸上原图形中点A(2,3),经过平移后
它的对应点为A(8,10)。那么原图形可以通过先向右平
移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移
平移变换有以下一些性质:
①图形变为与之全等的图形，因而面积和周
长不变。
②在平移变换之下两点之间的方向保持不变。
如任意两点A与B，变换后的对应点为A‘与 B＇，
则有AB//A＇B＇。
③在平移变换之下两点之间的距离保持不变。 如任意两点A和B，变换后的对应点A＇和B＇，则 有AB=A＇B＇。
在解初等几何问题时，常利用平移交 换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑 的位置关系或变换成更简单的基本图形。
在推导平行四边形、三角形和梯形的面积公式时,包括在计算组
矩阵合同的几何意义
矩阵合同的几何意义概述矩阵合同是线性代数中一个重要的概念。
它描述了一个矩阵与另一个矩阵在一定条件下具有相似性质的关系。
在几何学中，矩阵合同的概念有着重要的几何意义，它能够帮助我们理解和描述矩阵在几何空间中的变换和特性。
基本定义矩阵合同是指两个矩阵具有相同的秩和迹。
具体定义如下：设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP = B，那么矩阵A和B就是合同矩阵。
其中，P T表示P的转置，P{-1}表示P的逆矩阵，T和{-1}表示运算符的上标。
几何意义矩阵合同在几何学中有着重要的几何意义。
下面将从几个几何角度来解释矩阵合同的意义。
相似变换矩阵合同可以看做是一种相似变换。
相似变换是指在几何空间中对点进行线性变换的过程，它保持了点之间的相对位置和比例关系。
假设矩阵A对应着一个线性变换T，矩阵合同的定义告诉我们，存在一个可逆矩阵P，它可以将线性变换T转化为另一个线性变换T’，其中T’与T具有相同的性质。
换句话说，矩阵B对应的线性变换T’与矩阵A对应的线性变换T在几何空间中具有相似的效果。
保持图形形状矩阵合同可以理解为一个坐标系统的变换。
假设有一个几何图形，它的顶点坐标由矩阵A进行变换得到，那么存在一个可逆矩阵P，使得该几何图形的顶点坐标经过矩阵P的变换后得到了相应的几何图形，也就是矩阵P将该几何图形的形状保持不变。
具体而言，矩阵合同可以保持图形的长度、角度和比例关系不变，只是通过坐标系的变换将图形放置在了不同的位置。
保持特征向量和特征值对于一个矩阵A，它存在特征向量和特征值。
矩阵合同的定义告诉我们，合同矩阵B具有相同的特征值和特征向量。
特征向量是指在变换中方向不变的向量，特征值是对应于特征向量的缩放因子。
矩阵合同给出了一个特殊的线性变换P，它可以保持矩阵A的特征向量和特征值不变。
换句话说，矩阵B对应的线性变换T’和矩阵A对应的线性变换T具有相同的特征向量和特征值。
总结矩阵合同是矩阵在几何学中的重要概念之一。
初等合同变换法
初等合同变换法初等合同变换法是线性代数中重要的一个部分。
它是指对一个矩阵进行加、减、乘一个常数、交换它的两行或两列、以及用一行或一列的常数乘以另一行或一列等运算，得到的新矩阵与原矩阵互为合同矩阵。
对于一个实数域上的对称矩阵，通过初等变换后所得到的新矩阵仍然是对称矩阵。
初等合同变换法的应用很广泛，在数学、物理、机械等许多领域中都有着广泛的应用。
一、初等行变换（1）交换两行：将矩阵中的第 $i$ 行和第 $j$ 行进行交换，得到新矩阵。
这个操作用符号 $R_i\leftrightarrow R_j$ 表示。
例如：$$\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\left(\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)$$对于矩阵 $A$ 的初等列变换即是 $A$ 转置的初等行变换。
这一点是显然的。
矩阵中的任何一个初等变换都可以表示为以下的一组基本变换：$$\begin{aligned} (1)&\quad R_i\leftrightarrow R_j\\ (2)&\quadkR_i\qquad(k\neq0)\\ (3)&\quad R_i+kR_j\\ \end{aligned}$$将上述变换叠加起来，就可以得到任何一个矩阵的初等变换。
合同变换矩阵
合同变换矩阵合同变换矩阵是在线性代数中使用的一种数学工具，用于将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。
它在计算机图形学、机器人学和计算物理等领域具有重要的应用。
本文将介绍合同变换矩阵的定义、性质和常见应用。
合同变换矩阵是一个4x4的矩阵，用于描述从一个坐标系到另一个坐标系的变换。
它的一般形式如下：\[M = \begin{bmatrix}R & T \\0 & 1\end{bmatrix}\]其中，R是一个3x3的旋转矩阵，T是一个3维向量，表示平移向量。
通过合同变换矩阵，可以对一个向量进行平移、旋转和缩放等变换操作。
合同变换矩阵的性质有很多，下面列举几个常见的性质：1. 合同变换矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
即，如果M是一个合同变换矩阵，那么M的逆矩阵为M的转置矩阵。
2. 合同变换矩阵的第一列是坐标系的x轴方向，第二列是y轴方向，第三列是z轴方向，第四列是平移向量。
换句话说，合同变换矩阵的前三列是旋转的部分，第四列是平移的部分。
3. 合同变换矩阵的乘法满足结合律。
即，对于合同变换矩阵A、B和C，(AB)C = A(BC)，其中，AB表示A和B的矩阵乘法。
合同变换矩阵在计算机图形学中有广泛的应用。
例如，当我们需要将一个三维模型渲染到屏幕上时，需要对模型进行平移和旋转操作，这就可以通过合同变换矩阵来实现。
另外，合同变换矩阵也可以用于动画和物理模拟中，用于描述物体的运动和变形。
除了计算机图形学，合同变换矩阵还有其他的应用。
在机器人学中，合同变换矩阵用于描述机器人的位置和朝向，从而帮助机器人进行定位和导航。
在计算物理中，合同变换矩阵可以用于描述粒子的运动和变形，从而对物理现象进行模拟和计算。
总而言之，合同变换矩阵是在线性代数中使用的一种重要工具，用于描述从一个坐标系到另一个坐标系的变换。
它具有一些重要的性质，可以在计算机图形学、机器人学和计算物理等领域中得到广泛的应用。
通过合同变换矩阵，我们可以实现对向量的平移、旋转和缩放等操作，从而实现各种复杂的图形和动画效果。