江苏省盐城市重点中学2011届高三检测试卷—答案
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数学试题(理科)参考答案
一、填空题
1.(,0)(2,)-∞+∞ 2.2 3.3 4.{}0,1,3,4,6 5.7 6.[)0,1 7.213a -<<
8.13m ≤≤ 9.01a ≤≤ 10.3 11.
)( 12.1 13.13 14.915 二、解答题
15.(1)A={x|0<x≤1} B={y|y≥43} (2)A B=[1,4
3] A C R B=(0,43) 16.解:(1) 函数b
x ax x f ++=21)(是奇函数,则)()(x f x f -=-
()0,,0,1122=∴--=+-∴≠++-=+--+∴b b x b x a b x ax b x x a ………(3分)
又函数)(x f 的图像经过点(1,3),,0,311,3)1(==++∴=∴b b a f
∴a=2 ……(6分) (2)由(1)知()01221)(2≠+=+=x x
x x x x f ………(7分) 当0>x 时,,2212212=⋅≥+x
x x x 当且仅当,12x x = 即2
2=x 时取等号…(10分) 当0<x 时,()()2212,2212212-≤+∴=-⋅-≥-+-x
x x x x x 当且仅当,1)2(x x -=-即2
2-=x 时取等号……………(13分) 综上可知函数)(x f 的值域为(][)
+∞⋃-∞-,2222,…………(12分) 17.依题意,得.32,113,4tan
)1(==-='m m f 即π 因为.31
,)1(-==n n f 所以…………6分
(II )令.2
2,012)(2±==-='x x x f 得…………8分 当;012)(,2
212>-='-<<-x x f x 时
当;012)(,2
2222<-='<<-x x f x 时 当;012)(,32
22>-='<<x x f x 时 又.15)3(,3
2)22(,32)22(,31)1(=-==-=-f f f f
因此, 当.15)(32,]3,1[≤≤--∈x f x 时…………12分
要使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立,则.2008199315=+≥k 所以,存在最小的正整数.2008=k 使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立
18.(1)由(0)22f c ==可知,……………………………1分
又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=,,故,是方程的两实根
1-b 1+2=a ,
c
2=a
⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分
[]22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-
min 1()(1)1,1x f x f m ====当时,即……………………………5分
max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时,即……………………………6分 (2)2(1)0ax b x c +-+=由题意知,方程有两相等实根x=2, x=1
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=+a c a b 2111, 即⎩⎨⎧=-=a c a b 21 ……………………………8分 ∴f (x )=ax 2+(1-2a )x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x==-a a 214-1a 21
又a≥1,故1-⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分
∴M=f (-2)=9a-2 …………………………10分 m=a
a a f 411)212(-=- ……………………………11分
g (a )=M+m=9a-a 41-1 ……………………………14分
[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==
又在区间上为单调递增的,当时,=431 ………16分 19.由于,AM
DC AN DN =则AM =32x x -
故S AMPN =AN •AM =232x x - …………4分 (1)由S AMPN > 32 得 2
32
x x - > 32 ,
因为x >2,所以2332640x x -+>,即(3x -8)(x -8)> 0 从而8283x x <<> 或 即AN 长的取值范围是8
(2)(8)3∞ ,,+…………8分
(2)令y =232x x -,则y′=2226(2)334)(2)(2)
x x x x x x x ---=--( ………… 10分 因为当[3,4)x ∈时,y′< 0,所以函数y =2
32
x x -在[3,4)上为单调递减函数, 从而当x =3时y =2
32
x x -取得最大值,即花坛AMPN 的面积最大27平方米,
此时AN =3米,AM=9米 …………15 20.1)当0b =时,()24f x ax x =-,…………………………………………………1分
若0a =,()4f x x =-,则()f x 在(],2-∞上单调递减,符合题意;………3分 若0a ≠,要使()f x 在(],2-∞上单调递减,
必须满足0,42,2a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩ ……………………………………………………………………5分
∴01a <≤.综上所述,a 的取值范围是[]0,1 …………………………………6分
(2)若0a =,(
)f x =-,则()f x 无最大值,………………………7分 故0a ≠,∴()f x 为二次函数,
要使()f x 有最大值,必须满足20,420,a b b <⎧⎨+-≥⎩即0a <
且11b ≤≤,…8分
此时,0x ()f x 有最大值.………………………………………分
又()g x 取最小值时,0x a =,………………………………………………………分
a =∈Z
,则
2a ,…………分
∵0
a <
且11b
≤,∴)20a a <≤∈Z ,得1a =-,………………分
此时1b =-或3b =.
∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---.……………………………12分
(3)当整数对是()()1,1,1,3---时,()22f x x x =--
(2)()h x h x += ,()h x ∴是以2为周期的周期函数,………………………分
又当()2,0x ∈-时,,构造()h x 如下:当()22,2,x k k k ∈-∈Z ,则,
()()()()()222222h x h x k f x k x k x k =-=-=----,
故()()()()2
222,22,2,.h x x k x k x k k k =----∈-∈Z ... 附加题参考答案 1.证明:(放缩法)1111111 (1222222)
n n n n n n +++>++=++
解:不妨设正方体的棱长为1,以1,,DA DC DD 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz ,则各点的坐标为A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),
1A (1,0,1),1C (0,1,1),E (12,1,0), F (0 , 12,0) 2.(1)因为111(1,0,1),(,,0),22A D EF =--=-- 所以
11110022A D EF A D EF =====++=
可知向量1A D 与EF 的夹角为60︒
因此1A D 与EF 所成角的大小为60︒ (2)在正方体1111ABCD A B C D -中,因为
AB ⊥平面11B C CB ,所以AB 是平面1B EB 的法向量 因为 (1,1,0)(1,0,0)(0,1,0)AB =-=
111
(0,,0)(1,0,1)(1,,1)22A F =-=--
所以131,,2AB A F == 112A F AB =
,由11
cos ,3A F AB <>= ,
所以可得向量之间的夹角约为19.47︒
(3)因为1AC ⊥平面11B D C ,所以1AC
是平面11B D C 的法向量,因为
111(1,1,1),(1,1,0),2AC AC AC AC AC AC =-=-===
所以1cos ,3AC AC <>= ,所以可得两向量的夹角为35.26︒
根据二面角夹角相等或互补可知,二面角约为35.26︒
3.(1)由1
1,2x t =+得22t x =-
2(22)
2y x ∴=+-
20y -+=,此方程表示直线
(2)由2y t =+,得2t y =- 21(2)x y ∴=+-
即2(2)1y x -=-,此方程表示抛物线
4.(1)记事件A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,
由题意知.5
1
)(262
3==C C A P ………………………………4分
(2)ξ可取1,2,3,4. 103
)2(,21)1(151
316131613=
⋅=====C C C C P C C P ξξ, 20
1
)4(,203)3(131
3141115121613141315121613=⋅⋅⋅===
⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ;………………8分
.420420310221=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
答:ξ的数学期望为.47
………………………………10分。