2015届高考数学必考题型过关练：专题七+解析几何 学生版
2015年高考数学理科试题解析汇编【解析几何题】
b2 4 3 截得的线段长为 c， | FM | 。 4 3
c a 2 b2 3 解： （I）∵ e a a 3
∴ a2
(2 c )2 4 2 1 2 a 3b
由（I）可知， a 2 3c 2 ， b2 2c 2 代入上式化简整理得 c 2 2c 3 0 解得：c=1 或-3（舍去）
2
tan OQM
2
OM OQ tan ONQ OQ ON
∵椭圆的离心率是
2 2
即 OQ OM ON 设点 Q 的坐标为（0，yQ） ，则有
c a 2 b2 2 ∴e a a 2
∴ a 2b 2
2 2
yQ
2
m m m2 1 n 1 n 1 n2
m ) 3
∵直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 ∴k＞0，且 k≠3 比较（I）可得： n
m (3 k ) 3
则 xM
m(k 2 3k ) 3(9 k 2 )
9 x k
【难度系数】★★★
由（I）的结论知， 直线 OM 的方程为 y
2105 年全国高考数学理科试题分类解析汇编——解析几何题
∵点 A（m，n）在椭圆 C 上
x2 ∴椭圆 C 的方程为 y2 1 2
由点 P、A 坐标可得，直线 PA 的方程为：
m2 m2 2 ∴ n 1 ，即 1 n2 2 2
∴ yQ 2 2 ，得 yQ 2 故，存在满足题述条件的点 Q，点 Q 的坐标为 （0， 2 ）或（0， 2 ）
（m≠0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示） ； （Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N．问：y 轴上是否存在点 Q，使得 OQMONQ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。 解： （I）∵点 P（0，1）在椭圆 C 上 ∴b 1
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：平面解析几何 直线与圆锥曲线的综合应用(1)(含答案)
第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用(1)1. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，则椭圆的方程是________________．答案：x 24＋y 2＝1解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2b 2a ＝1，2b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.2. 从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF|＝5，则△MPF 的面积为________．答案：10解析：由题意，设P ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则|PF|＝|PM|＝y 204＋1＝5，所以y 0＝±4，则S △MPF ＝12|PM||y 0|＝10.3. 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N(均在第一象限内)，若FM →＝4MN →，则双曲线的离心率为________．答案：53解析：由题意知F(c ，0)，则易得M 、N 的纵坐标分别为b 2a 、bc a ，由FM →＝4MN →得b2a＝4·⎝⎛⎭⎫bc a －b 2a ，即bc ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53. 4. 直线l 过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点，并且与y 轴垂直．若l 被抛物线截得的线段长为4，则a ＝________．答案：14解析：l 被抛物线截得的线段长，即为通径长1a ，故 1a ＝4，即a ＝14.5. 过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有________条．答案：2解析：设该抛物线焦点为F ，则AB ＝AF ＋FB ＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．6. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e ＝________．答案：33解析：在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2|PF 2|，根据椭圆的定义得|PF 2|＝23a ，|PF 1|＝43a.又|PF 1|2－|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即169a 2－49a 2＝4c 2，则e ＝c a ＝33.7. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为________．答案：(3，2)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去y ，得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3，2)．8. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点且垂直于x 轴的弦长为a 2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 的离心率e ＝________．答案：52解析：由题意，得2·b 2a ＝a 2，即a ＝2b ，则在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝5b2b＝52. 9. 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围是多少．解：设存在点C(x 0，y 0)，y 0＝x 20，A(－a ，a)，B(a ，a)(a>0)，k AC ·k BC ＝y 0－a x 0＋a ·y 0－a x 0－a ＝（y 0－a ）2x 20－a＝y 0－a ＝－1，a ＝1＋y 0≥1.10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1) 求椭圆的方程； (2) 已知点C(m ，0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 点，使得AC ＝BC ？并说明理由．解：(1) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a ＋c ＝2＋1，∴ ⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，∴ b ＝1，∴ 椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2) 由(1)得F(1，0)，∴ 0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k(x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴ y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1.∵ AC ＝BC ，∴ CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴ k 2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m)k 2＝m. ∴ 当0≤m ≤12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l. 11. 如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一点P ⎝⎛⎫1，32，过点P 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于A 、B(不同于P)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－34.(1) 求证：直线AB 过定点； (2) 求△PAB 面积的最大值．(1) 证明：(证法1)设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －1)＋32，联立⎩⎨⎧y ＝k 1（x －1）＋32，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 21)x 2＋(12k 1－8k 21)x ＋4k 21－12k 1－3＝0，解得x ＝1或x ＝4k 21－12k 1－33＋4k 21，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21－12k 1－33＋4k 21，－12k 21－12k 1＋92（3＋4k 21）.同理点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 22－12k 2－33＋4k 22，－12k 22－12k 2＋92（3＋4k 22）.因为k 1k 2＝－34，即k 2＝－34k 1，所以4k 22－12k 2－33＋4k 22＝4⎝⎛⎭⎫－34k 12－12⎝⎛⎭⎫－34k 1－33＋4⎝⎛⎭⎫－34k 12＝－4k 21＋12k 1＋33＋4k 21，同理可得－12k 22－12k 2＋92（3＋4k 22）＝12k 21＋12k 1－92（3＋4k 21）.所以A 、B 关于原点O 对称，即直线AB 过定点O.(证法2)设A(x 0，y 0)，则由x 204＋y 203＝1得y 20＝3－34x 20.设点A 关于原点O 的对称点为A ′(－x 0，－y 0)，直线PA′的斜率为k 3，则k 1k 3＝32－y 01－x 0·32＋y 01＋x 0＝94－y 201－x 20＝94－⎝⎛⎭⎫3－34x 201－x 20＝34x 20－341－x 20＝－34.又k 1k 2＝－34，所以k 2＝k 3，从而P 、B 、A′三点共线．因为B 、A′都在椭圆C 上，所以B 与A′重合．所以A 、B 关于原点O 对称，即直线AB 过定点O.(2) 解：由(1)可设A(x 0，y 0)，B(－x 0，－y 0)，x 0≠±1，则直线AB 的方程为y 0x －x 0y＝0，所以AB ＝2x 20＋y 20，点P 到直线AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪y 0－32x 0x 20＋y 20，所以S △PAB ＝12·AB ·d ＝12·2x 20＋y 20·⎪⎪⎪⎪y 0－32x 0x 20＋y 20＝⎪⎪⎪⎪y 0－32x 0. (解法1)令t ＝y 0－32x 0，则y 0＝32x 0＋t ，代入x 204＋y 203＝1得x 20＋tx 0＋t 23－1＝0.令Δ＝t 2－4⎝⎛⎭⎫t 23－1≥0，解得|t|≤23，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝32时，|t|有最大值23，即△PAB 面积的最大值为2 3.(解法2)⎪⎪⎪⎪y 0－32x 02＝94x 20－3x 0y 0＋y 20.因为－3x 0y 0＝32(－x 0)(2y 0)≤32·（－x 0）2＋（2y 0）22＝3x 20＋12y 204，所以⎪⎪⎪⎪y 0－32x 02≤94x 20＋3x 20＋12y 204＋y 20＝3x 20＋4y 20＝12，从而⎪⎪⎪⎪y 0－32x 0≤23，当且仅当－x 0＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－32或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝32时，△PAB 面积的最大值为2 3.。
专题07 立体几何小题常考全归类(精讲精练)(原卷版)
专题07 立体几何小题常考全归类【命题规律】高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上．【核心考点目录】核心考点一：球与截面面积问题核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 核心考点四：立体几何中的交线问题核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题 核心考点六：空间角问题 核心考点七：轨迹问题核心考点八：以立体几何为载体的情境题 核心考点九：翻折问题【真题回归】1．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ） A ．34π B ．πC ．2πD ．3π2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤3．（多选题）（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =4．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C ．直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒5．（多选题）（2021·全国·高考真题）在正三棱柱111ABC A B C 中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 6．（2020·海南·高考真题）已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 5BCC 1B 1的交线长为________．【方法技巧与总结】1、几类空间几何体表面积的求法（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和． （2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补． 2、几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为13V Sh =，在求解锥体体积时，不能漏掉3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆 锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．4、球的截面问题 球的截面的性质： ①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为=+222R r d ．注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模θαβ=cos cos cos （θ为平面的斜线与平面内任意一条直线l 所成的角，α为该斜线与该平面所成的角，β为该斜线在平面上的射影与直线l 所成的角）．7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等； （2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等； （3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【核心考点】核心考点一：球与截面面积问题 【规律方法】 球的截面问题 球的截面的性质： ①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为=+222R r d ． 【典型例题】例1．（2022·全国·高三阶段练习）已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABCD , 22，PA AB BC === ，点E 在棱PB 上，且2EB PE =， 过E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是____________. 例2．（2022·湖北省红安县第一中学高三阶段练习）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球1O 的半径为10,,P Q 为球1O 表面上两动点，16,PQ M =为线段PQ 的中点.半径为2的球2O 在球1O 的内壁滚动，点,,A B C 在球2O 表面上，点2O 在截面ABC 上的投影H 恰为AC 的中点，若21O H =，则三棱锥M ABC -体积的最大值是___________. 例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，11113C E CD =，点F 是CD 的中点，则过1B ，E ，F 三点的平面α截该正方体所得截面的面积为_________．例4．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN 2； ③存在点P ，使得1190B PD ∠=； ④1PDD △45． 其中所有正确结论的序号是__________．核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 【规律方法】几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥， 有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为13V Sh =，在求解锥体体积时，不能漏掉【典型例题】例5．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（ ）A ．存在最大值，最大值为83B ．存在最小值，最小值为23C ．为定值43D ．不确定，与E ，F 的位置有关例6．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1CD 上有两个动点E ，F ，且12EF =，点P ，Q 分别为111A B BB ，的中点，G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B G ∥平面1CD PQ ，以下命题错误的是（ ）A ．1AB EF ⊥B ．多面体1AEFB 的体积为定值C ．侧面11CDD C 上存在点G ，使得1B G CD ⊥ D ．直线1B G 与直线BC 所成的角可能为6π例7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，给出下面几个命题：①四边形1BFD E 一定是平行四边形； ②四边形1BFD E 有可能是正方形；③平面1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ；④设1D F 与DC 的延长线交于M ，1D E 与DA 的延长线交于N ，则M ､N ､B 三点共线； ⑤四棱锥11B BFD E -的体积为定值． 以上命题中真命题的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 【规律方法】几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值【典型例题】例8．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方形EFGH 的中心为正方形ABCD 的中心，22AB =P EFGH -（A ，B ，C ，D 四点重合于点P ），则此四棱锥的体积的最大值为（ ）A 1286B 1285C ．43D 15例9．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，22BC =13AA =，P 为矩形1111D C B A 内一动点，设二面角P AD C --为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=，则三棱锥11P A BC -体积的最小值是（ ） A 2 B ．321C 2D 32例10．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥Q EFGH -中，底面是边长为22方形，4QE QF QG QH ====，M 为QG 的中点．过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为1V ，2V ，则12V V 的最小值为（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．15例11．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（ ）A ．存在最大值，最大值为83B ．存在最小值，最小值为23C ．为定值43D ．不确定，与E ，F 的位置有关核心考点四：立体几何中的交线问题 【规律方法】 几何法 【典型例题】例12．（2022·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体ABCD 中，P 为棱AD （不含端点）上的动点，过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，则m ，n 所成角的正弦值的最大值为__________．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.例14．（2022·福建福州·三模）已知正方体1111ABCD A B C D -31A 为球心，半径为2的球面与底面ABCD 的交线的长度为___________.例15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））如图，在四面体ABCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，2DA DB DC ===D 为球心，1为半径作球，则该球的球面与四面体ABCD 各面交线的长度和为___．核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题 【规律方法】几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值【典型例题】例16．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥S ABC -2，外接球表面积为3π，2SA <点M ，N 分别是线段AB ，AC 的中点，点P ，Q 分别是线段SN 和平面SCM 上的动点，则AP PQ +的最小值为（ ） A 262-B 62+C 32D 2例17．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则1A F EF +的最小值为（ ）A 29B ．6C 41D ．7例18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13+D ．3核心考点六：空间角问题 【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．3⎡⎢⎣⎦B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C --的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤D ．11A BC A DC θ∠+∠≥例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，3BC =D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①3tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．①B ．①②C ．②③D ．①③例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B --的平面角为α，二面角P FC B --的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．αB ．βC ．γD ．不能确定核心考点七：轨迹问题 【规律方法】解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．【典型例题】例24．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则下列命题：①点M 可以是棱AD 的中点； ②点M 的轨迹是菱形； ③点M 轨迹的长度为25 ④点M 5. 其中正确的命题个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例25．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，点E ，F 分别为棱CD ，1DD 的中点，点P 为四边形11CDD C 内（包括边界）的一动点，且满足1B P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长为（ ） A 2B ．2C 2D ．1例26．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且2PA =，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法错误的是（ ）A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AC 所成的角为π3C ．过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P ABCD -所得的截面为五边形D ．当点T 在平面ABCD 内运动，且满足AGT △的面积为12时，动点T 的轨迹是圆例27．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，正方体1AC ，P 为平面11B BD 内一动点，设二面角11A BD P --的大小为α，直线1A P 与平面11BD A 所成角的大小为β.若cos sin βα=，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线例28．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 边的中点，点P 在底面A B C D ''''和侧面CDD C ''上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是（ ）A ．两段圆弧B ．两段椭圆弧C ．两段双曲线弧D ．两段抛物线弧核心考点八：以立体几何为载体的情境题 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读？一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例29．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（理））设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在P 处的离散曲率为()()1223111 1.2,3,32k i Q PQ Q PQ Q PQ Q i k π-∠+∠+⋯+∠=⋯≥其中，为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，23Q PQ ，……，1k Q PQ 遍及多面体M 的所有以P 为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a ，b ，c ，d ，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a d c >>>D ．c d b a >>>例30．（2022·广东·广州市从化区第三中学高三阶段练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在每个顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π.给出下列三个结论：①正方体在每个顶点的曲率均为2π； ②任意四棱锥的总曲率均为4π；③若某类多面体的顶点数V ，棱数E ，面数F 满足2V E F -+=，则该类多面体的总曲率是常数.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③例31．（2022·辽宁·沈阳二十中三模）我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即2311122323V R R R R R πππ=⋅-⋅=球.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．32πB ．24πC ．18πD ．16π例32．（2022·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即[]2326,2326δ''∈-︒︒．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427'''︒，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（ ）A ．北纬5527'''︒B ．南纬5527'''︒C ．北纬5533'''︒D ．南纬5533'''︒核心考点九：翻折问题 【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质． 【典型例题】例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 3例34．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）如图，已知矩形ABCD 的对角线交于点,,1E AB x BC ==，将ABD △沿BD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得ABCE ，则x 的取值范围是（ ）A ．03x <≤B ．02x <≤C ．01x <≤D ．06x ≤<例35．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点（不含端点），将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点（不含端点），则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的是（ ）A ．B ､E ､C ､F 四点一定共面 B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAEC ．侧面BEC 与侧面BAD 的交线与直线AD 相交 D ．三棱锥B ADC -的体积为定值例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直角梯形ABCD 满足：AD ∥BC ，CD ⊥DA ，且△ABC 为正三角形．将△ADC 沿着直线AC 翻折至△AD 'C 如图，且AD BD CD '''＜＜，二面角D AB C '﹣﹣、D BC A '﹣﹣、D AC B '﹣﹣的平面角大小分别为α，β，γ，直线D A '，D B '，D C '与平面ABC 所成角分别是θ1，θ2，θ3，则（ ）A ．123θθθαγβ＞＞，＞＞B ．123θθθαβγ＜＜，＞＞C ．123θθθαβγ＞＞，＜＜D ．123θθθαβγ＜＜，＜＜【新题速递】1．（2022·安徽·高三阶段练习）如图，在棱长为a 的正四面体ABCD 中，点111,,B C D 分别在棱,,AB AC AD 上，且平面111B C D 平面1,BCD A 为BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD=，关于函数()V f x =，下列说法正确的是（ ）A ．12220,,,133x x ⎛⎫⎛⎫∀∈∃∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()21f x f x =B ．函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 D ．()00,1x ∃∈，使得()016A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）2．（2022·重庆市长寿中学校高三阶段练习）如图所示，在直角梯形BCEF 中，90,CBF BCE A ∠∠==､D 分别是BF ､CE 上的点，//AD BC ，且22AB DE BC AF ===（如图1）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE BF CE ､､（如图2）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）①AC //平面BEF ； ②B C E F ､､､四点不可能共面；③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直. A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022·四川·成都市第二十中学校一模（理））如图， 在棱长为 2 的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H P 、、、、均为所在棱的中点， 则下列结论正确的有（ ）①棱 AB 上一定存在点Q ， 使得1QC D Q ⊥ ②三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π③过点 E F G ，，作正方体的截面， 则截面面积为33④设点 M 在平面11BB C C 内， 且1//A M 平面AGH ， 则1A M 与AB 所成角的余弦值的最大22A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个4．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为11B C 的中点，点P 在正方体各棱及表面上运动且满足AP CN ⊥，则点P 轨迹所围成图形的面积为（ ）A ．25B ．42C ．23D ．45．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是（ ）A ．425425⎡-+⎢⎣⎦B ．222,222⎡⎤⎣⎦C ．322322⎡-+⎢⎣⎦D ．322,322⎡⎤⎣⎦6．（2022·湖南·模拟预测）正三棱柱111ABC A B C 的底面边长是4，侧棱长是6，M ，N 分别为1BB ，1CC 的中点，若点P 是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP ∥平面1AB N ，则动点P 的轨迹面积为（ ） A ．53B ．5C 39D 267．（2022·山西·高三阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的顶点都在表面积为12π的球面上，过球心O 的平面截正方体所得的截面为一菱形，记该菱形截面为S ，点P 是正方体表面上一点，则以截面S 为底面，以点P 为顶点的四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．83B ．73C ．2D ．538．（2022·浙江·高三阶段练习）在OAB △中，OA AB =，120OAB ∠=︒．若空间点P 满足1=2PABOABSS ，则直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是（ ）A ．13B ．12C 3D ．19．（多选题）（2022·云南曲靖·高三阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为侧面11BCC B 内一点，则（ ）A ．当1113C P C B =时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为2B ．当11(01)C P C B λλ=<<时，四面体1D ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线11A B 的距离时，点P 的轨迹为拋物线的一部分 D ．当1112C P C B =时，四面体BCDP 的外接球的表面积为3π10．（多选题）（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，2AD DE ==，G 为线段AE 上的动点，则（ ）A ．AE CF ⊥B ．多面体ABCDEF 的体积为83C ．若G 为线段AE 的中点，则GB //平面CEFD ．点M ，N 分别为线段AF ，AC 上的动点，点T 在平面BCF 内，则MT NT +43 11．（多选题）（2022·广东·东涌中学高三期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，1BB 的中点，点P 在11A C 上，//AP 平面EFG ，则以下说法正确的是（ ）A ．点P 为11A C 的中点B ．三棱锥P EFG -的体积为148C ．直线1BB 与平面EFG 3D ．过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是3312．（多选题）（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，其高3AD =，E 为线段BD 的中点，将ABC 沿AD 折成大小为32ππθθ⎛⎫< ⎪⎝⎭的二面角，连接BC ，形成四面体A BCD -，动点P 在ACD 内（含边界），且//PE 平面ABC ，则在θ变化的过程中（ ）A ．AD BC ⊥B ．E 点到平面ADC 的距离的最大值为322C ．点P 在ADC △2D ．当BP AC ⊥时，BP 与平面ADC 所成角的正切值的取值范围为)22,⎡+∞⎣13．（多选题）（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱12O O ，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以1A C ，为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（ ）A ．在正方体1111ABCD ABCD -内作与圆柱12O O 3B ．无论点1O 在线段1AC 上如何移动，都有11BO B C ⊥C ．圆柱12O O 的母线与正方体1111ABCD A B C D -所有的棱所成的角都相等D ．圆柱12O O 外接球体积的最小值为π6 14．（多选题）（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知正四面体ABCD 的棱长为2球的球心为O ．点E 满足(01)AE AB λλ=<<，(01)CF CD μμ=<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则（ ）A ．四边形EMGH 的周长为是变化的B ．四棱锥A EMGH -的体积的最大值为6481 C ．当14λ=时，平面α截球O 47 D ．当12λμ==时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90︒后与原四面体的公共部分体积为43 15．（2022·安徽·石室中学高三阶段练习）已知三棱锥V ABC -的高为3D E F ,,,分别为VC VA VB ,,的中点，若平面ABD ，平面BCE ，平面ACF 相交于O 点，则O 到平面ABC 的距离h 为___________.16．（2022·北京八十中高三期末）如图，在正方体ABCD —1111D C B A 中，E 为棱11B C 的中点.动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列四个结论：。
2015年高考数学必做解答题——解析几何
ＢＩ Ｚ Ｕ０ Ｊ Ｉ ＥＤＡＴ１
秽， ＾
考数学 撇解篡题
解析几何
Ｏ 湖南长沙市长郡中学 赵攀峰
利用函数思想破解解析几何 问题
ｌ ０ Ｈ翁ＮＳ ＳＩ Ｘｌ ｎＮＧ ｐｏ Ｊ ｌ Ｅ Ｊ Ｉ 《 Ｘｌ ｊ ｌ Ｈ《 山《 虿 ｌ
（ ★★ ★★ ★ ） 必做 １ 在 平 面直
Ｙ ２ ） ．
关 系成 立．因此 ， 点Ｃ即是 点曰。 ， 这说
明 ． Ｃ 关 于 轴 对称．
② 由① 得Ｂ ． ｃ 关于 轴 对称 ． 同
理， Ａ， Ｄ关 于 轴 对 称 ．所 以 四 边 形
ｇ－ － ＿ ￣ ，联立
， ｙ ， 消 破解思路 对于第 （ １ ） 问， 先将
数 ｍ的 目标 函数 ．此 时 可 用 换 元 法 结
因 此 ， （ ｓ …） ＝ 去 （ ５ ） × ｍ ２ ≤ ２ ４ ５ ‘
（ 一 ５ － ｍ ％ ｍ Ｚ ） ＝ ． 又 一 ２ ≤ ｍ ≤ ２ ， 即 ｍ ２ ∈
极速 突击
备考 时要 重点掌握
“ 设 而不 求 ， 整体代换” 的技 巧 。 以此
Ｉ ４ 。
（ １ ＋ ４ ｋ ） ２ ８ ｍｋ ２ ｘ ＋ ４ （ ｋ Ｚ ｍ２ － １ ） ＝ ０， 解 此
方程 ， 可得 Ｉ 慨产 ８ ｍｋ ２ ， － ・
—
①若ｋ ＝ １ ， 求 ＡＯ Ａ Ｂ 面积 的最大
值：
４ （ ｋ Ｚ ｍ ￣ ｌ ）
●
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ｉ ｛ ｙ 车 ＝ ｘ — ， ＜ ＋ ， 工 ＝ １ ． 将ｙ 消去 ，化 简可 得
４ ｌ
） ， ； ＝ 丢 （ ； ） 一 ２ ｍ （ ） ＋ ２ ｍ ＋ ２ ＝
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：平面解析几何 直线与圆锥曲线的综合应用(2)(含答案)
第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2)1. 以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为____________． 答案：x 2－y 23＝1 解析：椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)，则双曲线中a ＝1，c ＝2，b ＝c 2－a 2＝3，所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1. 2. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____________．答案：x 24－y 212＝1 解析：由题意知，双曲线的一个焦点为(4，0)，即a 2＋b 2＝16.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以有b a ＝3，即b ＝3a ，可解得a 2＝4，b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 3. 顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是____________． 答案：y 2＝－6x解析：由题可得，双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝32，则所求抛物线是顶点在原点、开口向左的抛物线且p 2＝32，即p ＝3，所以所求抛物线方程为y 2＝－6x. 4. 双曲线x 2－y 23＝1的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝________． 答案：2解析：渐近线的方程为3x ±y ＝0，圆心(0，4)到渐近线的距离等于r ，则r ＝|4|3＋1＝2.5. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是____________．答案：x 24＋y 23＝1 解析：圆C ：(x －1)2＋y 2＝16，∴2a ＝4，即a ＝2.∵e ＝c a ＝12.∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 6. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________．答案：[2，22]解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]．7. 直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________． 答案： 2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2， ∴ x ＝±63，∴ A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63，∴ AB ＝433.设点C(2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·|sin(θ－φ)|≤32，∴ S △ABC ＝12AB ·d ≤12×433×32＝ 2.8. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________个．答案：2 解析：由题意得4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部． 9. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1) 求椭圆的方程；(2) 直线y ＝33x ＋1与椭圆交于P 、N 两点，求|PN|. 解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，右焦点F 为(c ，0)，则|c ＋22|2＝3，解得c ＝ 2.又b ＝1，∴a ＝ 3.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2) 设直线与椭圆的交点为P(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝33x ＋1，x 23＋y 2＝1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2＝0.∴直线与椭圆的交点为P(0，1)、N(－3，0)，∴|PN|＝（3）2＋12＝2. 10. 已知圆C 的圆心为C(m ，0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A(3，1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点． (1) 求圆C 的标准方程；(2) 若点P 的坐标为(4，4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D 、B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1) 由已知可设圆C 的方程为(x －m)2＋y 2＝5(m ＜3)，将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m)2＋1＝5，即(3－m)2＝4，解得m ＝1，或m ＝5.∴ m ＜3，∴ m ＝1.∴ 圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5.。
2015高考数学第二轮复习专题讲解 解析几何 (含试题及答案)
2
）
D．与 P 点位置有关 解： A 记 △P F 1 F 2 的内切圆圆心为 C ，边 P F 1 、 P F 2 、 、 D ，易见点 C 、 D 的横坐标相等，如图，
c
F1 F2
上的切点分别为
M
、
N
可得 |P M | = |P N | ，|F 1 M | = |F 1 D| ，|F 2 N | = |F 2 D| ． 由 |P F 1 | − |P F 2 | = 2a ，即
|P M | + |M F 1 | − (|P N | + |N F 2 |) = 2a,
得 |M F 1 | − |N F 2 | = 2a ，即 记点 C 的横坐标为 x 0 ，则 练习 1. 已知椭圆 C
x : 9
2
|F 1 D| − |F 2 D| = 2a D (x 0 , 0)
． ，得
圆锥曲线定义挖掘 描述 锥曲线问题可以从曲线的几何性质和代数计算两个角度考虑，圆锥曲线的几何性质中首先需 圆 要关注的是圆锥曲线的定义． 对椭圆来说，是椭圆上任意一点到两个焦点的距离和为定值；对 双曲线来说，是双曲线上任意一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为定值；对抛物线 来说是，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离． 本小节主要关注如何利用这些定义去解决圆锥曲线的一些选择填空题． 一般来说，涉及到与焦 点相关的问题或与准线（抛物线）相关问题，优先考虑定义，避免直接代数计算． 而一般圆锥 曲线的解答题或是小题与焦点、准线无关时，才会考虑去做代数计算． 已知
易知线段 M F 的中点在抛物线内，且线段 M F 的垂直平分线斜率存在且不为零，故其与抛 物线有两个交点，从而满足条件的圆共有 2 个． 设双曲线
【课堂新坐标】2015届高考数学(文、理)新一轮专题复习：专题七 平面解析几何
专题七 平面解析几何1.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.452.已知双曲线C 1：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y3.直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．14.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 25.已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－86.椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8.过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫5a 5，22a 在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．10.(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120²(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．11.如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．12.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．13.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.14.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．专题七 平面解析几何1.C 由题意可知∠PF 2x ＝60°，|PF 2|＝（3a2－c ）cos60°＝3a －2c ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，得3a －2c ＝2c ，∴e ＝34，故选C.2.D ⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2a ·p 2a 2＋b 2＝2，可得p ＝8，故选D.3.B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a 1，2a 2，则易得a 1＝2a 2，又∵焦距相等， ∴e 2∶e 1＝2.5.C P A 方程为：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8， 同理QA 为：y ＝－2x －2， 解得x ＝1，∴y ＝－4.6.B 如图|AF 1|＝a －c ， |F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， ∴4c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝55.7.43根据题意，x 2＋y 2－8x ＋15＝0，将此化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，得到该圆的圆心为M (4，0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1＝2即可，所以有d ：|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值为43.8.(2，2) 设P (x 0，y 0)如图 |PO |＝2.∴⎩⎨⎧x 20＋y 20＝4x 0＋y 0－22＝0. 则x 20＋(x 0－22)2＝4， ∴x 20－22x 0＋2＝0.∴(x 0－2)2＝0，∴x 0＝2，y 0＝ 2.9.解：(Ⅰ)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(Ⅱ)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2²a 2b2＋4.由(Ⅰ)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.10.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(Ⅱ)法一：因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，所以bc＝3，直线AB 的方程可为：y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3²⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a ， 由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)．其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2， 又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .13.解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0.设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，±2.(2)由(1)知，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b 22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →²OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2 ＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP →²OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .14.解：(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12²|B 1B 2|²|OA |＝|OB 2|²|OA |＝c2²b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1(－2，0)、B 2(2，0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*) 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1²y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →²B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16（m 2＋1）m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →²B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109， |y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|²|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.。
广东2015年高考数学理试题分类汇编：解析几何
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编解析几何一、选择题1、（2015届广州市）直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定2、（2015届江门市）双曲线C ：1422=-y x 的两条渐近线夹角（锐角）为θ，则=θtanA ．158B ．815C ．43D ．343、（2015届揭阳市）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为4、（2015届茂名市）以点（3，－1）为圆心且与直线34x y +＝9相切的圆的方程是（ ）A 、22(3)(1)x y -++＝1B 、22(3)(1)x y ++-＝1C 、22(3)(1)x y ++-＝2D 、22(3)(1)x y -++＝25、（2015届梅州市）动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是A 、2y ＝8xB 、2y ＝－8xC 、2y ＝4xD 、2y ＝－4x6、（2015届汕头市）若双曲线的标准方程为22184x y -=，则它的渐近线方程为（ ）A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±= 7、（2015届湛江市）抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是（ ）A 8、（2015届中山市）设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( )A.28y x =B. 28y x =-C. 24y x =-D. 24y x =选择题参考答案1、B2、D3、D4、A5、B6、A7、B8、A 二、填空题1、（2015届江门市）已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，P 是C 上一点， 若P 在第一象限，8||=PF ，则点P 的坐标为2、（2015届茂名市）已知A ，B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>学科网长轴的两个顶点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，且120k k ≠，若12||||k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为＿＿＿＿3、（2015届梅州市）以F 1（－1,0）、F 2（1,0）为焦点，且经过点M （1，－32）的椭圆的标准方程为＿＿＿4、（2015届深圳市）已知圆C ：05822=-+++ay x y x 经过抛物线E ：y x 42=的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长为5、（2015届佛山市）已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为________填空题参考答案1、)34 , 6( 23、13422=+y x 4、 5、112-或 三、解答题1、（2015届广州市）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线. (1)求椭圆1C 的方程；(2)求点Q 的轨迹方程；(3)求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.2、（2015届江门市）平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为36，焦点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点．⑴求∑的方程；⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．3、（2015届揭阳市）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(01)A ，，点B 在直线1:1l y =-上，点M 满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，点M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）设直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1l y =-相交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.4、（2015届茂名市）已知F （0,1），直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且（1）求动点P 的轨迹C 的方程。
2015年高考数学《新高考创新题型》之7：立体几何（含精析）
2015年高考数学《新高考创新题型》之7：立体几何（含精析）之7.立体几何（含精析）一、选择题。
1．如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．2．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A.B.C.D.3．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是（）A.2B.C.D.，这两个球相外切，且球与正方体共顶点A的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切,则两球在正方体的面上的正投影是（）（创作：学科网“天骄工作室”）5．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）6．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②7．如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（创作：学科网“天骄工作室”）A．B．C．D．8．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为A．B．C．D．的矩形，按图中实线切割后，将它们作为一个正四棱锥的底面（由阴影部分拼接而成）和侧面，则的取值范围是()A．(0,2) B．(0,1)C．(1,2) D．10．一个不透明圆锥体的正视图和侧视图（左视图）为两全等的正三角形.若将它倒立放在桌面上，则该圆锥体在桌面上从垂直位置倒放到水平位置的过程中（含起始位置和最终位置）,其在水平桌面上正投影不可能是()设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当APC为钝角时，λ的取值范围是________．12.如右图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).[来源:学§科§网]①当时,S为四边形;②当时,S不为等腰梯形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为六边形;⑤当时,S的面积为.的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为________．平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为________．抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是．三、解答题。
2015年高考真题解答题专项训练：解析几何(理科)
2015年高考真题解答题专项训练：解析几何（理科）1．（2015•广东•理）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y 2﹣6x+5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数 k ，使得直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 2．（2015•重庆•理）（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如图，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222PF PF =+=，求椭圆的标准方程 （2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e3．（2015•浙江•理）已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．4．（2015•新课标一卷•理）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线y kx a=+（a＞0）交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.5．（2015•天津•理）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为(,0)F c -,离心率为，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，|FM|=3.（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.6．（2015•四川•理）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；7．（2015•陕西•理）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率； （Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．8．【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 错误！未找到引用源。
2015高考数学解析几何完美版
解析几何总结一、直线1、 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角。
2、 范围 0θπ≤<3、 直线的斜率：当倾斜角不是90时，倾斜角的正切值。
tan ()2k παα=≠4、 直线的斜率公式：设111(,)P x y ,222(,)P x y 12()x x ≠ 2121y y k x x -=-5、 直线的倾斜角和斜率关系：（如右图） 02πα≤<；0k >；单调增；2παπ<<，0k <；单调增6、 直线的方程（1）点斜式：11()y y k x x -=- ⑵、斜截式：y kx b =+ （3）两点式：112121y y x x y y x x --=-- ⑷、截距式：1x y a b += ⑸、一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠⑹、参数式： 11cos sin x x t y y t θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）参数t 几何意义：定点到动点的向量7、 直线的位置关系的判定（相交、平行、重合）1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+ 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=平行：12k k =且12b b ≠111222A B C A B C =≠相交：12k k ≠1122A B A B ≠重合：12k k =且12b b =111222A B C A B C == 垂直：121k k ⋅=- 12120A A B B +=8、 到角及夹角(新课改后此部分已删掉)到角：直线1l 依逆时方向旋转到与2l 重合时所有转的角。
2121tan 1k k k k α-=+夹角：不大于直角的从1l 到2l 的角叫1l 与2l 所成的角，简称夹角。
2121tan 1k k k k α-=+9、 点到直线的距离（应用极为广泛）P （00,x y ）到1:0l Ax By C ++=的距离d =平行线间距离：11:0l Ax By C ++= 22:0l Ax By C ++=d =10、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。
志鸿优化设计2015高考数学二轮总复习专项能力训练专题17直线与圆锥曲线
1
2
(1 + 2 )2 -41 2 ).
当涉及过焦点的弦长问题时,可考虑用圆锥曲线的定义.
第六部分
专题17
直线与圆锥曲线
15
-15-
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破点四
【例 1】 如图,点 P(0,-1)是椭圆
2
C1: 2
+
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
(2)因为直线 l1⊥l2,且都过点 P(0,-1),
所以设直线 l1:y=kx-1⇒kx-y-1=0,
1
直线 l2:y=- x-1⇒x+ky+k=0.
1
所以圆心(0,0)到直线 l1 的距离为 d=
1+
2
.
所以直线 l1 被圆 x2+y2=4 所截得的弦
2
AB=2 4- 2 =
2 3+4
1+
6
+
2
3
=1
得(m2+2)y2+2 3my-3=0.
专题17
第六部分
直线与圆锥曲线
-13-
能力目标解读
1 2 3
热点考题诠释
又 y1,y2 是方程的根,
因此
1 + 2 = 1 2 =
2 3m
2 +2
-3
2 +2
,①
.②
由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得
1 + 2 = m(1 + 2 ) + 2 3 =
直线与圆锥曲线
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：平面解析几何 椭 圆(1)(含答案)
第九章 平面解析几何第6课时 椭 圆(1)1. 已知椭圆的长轴长是8、离心率是34、则此椭圆的标准方程是________。
答案：x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 解析：∵ a ＝4、e ＝34、∴ c ＝3.∴ b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. ∴ 椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1. 2. 2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的________条件。
答案：必要不充分解析：若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆、则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ， ∴ 2＜m ＜6且m ≠4、故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件。
3. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点、P 为椭圆C 上一点、且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9、则b ＝________。
答案：3解析：依题意、有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2、即a 2－c 2＝9、故b ＝3. 4. 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2、点P 在椭圆上。
若|PF 1|＝4、则|PF 2|＝________、∠F 1PF 2＝________。
答案：2 120°解析：∵a 2＝9、b 2＝2、∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7、∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6、∴|PF 2|＝2.又由余弦定理、得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－（27）22×2×4＝－12、∴∠F 1PF 2＝120°.5. 已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1、长轴在y 轴上。
2015届高考数学-江苏专用--【解析几何中的瓶颈题】
第2讲解析几何中的“瓶颈题”数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,主要分六块:三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、解析几何(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇).其中三角函数和立体几何属于基础问题,若能够拿下应用问题和解析几何题,就攻下全部中低档题目,便锁定了128分,应该认为这已打了一个大胜仗,基本上已经进入了“第一方阵”(本科行列).解析几何重点考查的内容是:直线与方程,圆的方程,圆锥曲线的定义,标准方程及其应用,离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质及其内在的联系和综合.解答题重点考查的内容是:圆锥曲线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系.常考的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.分类解密——专题突破求曲线方程中的“瓶颈题”例1 已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程;(2) 求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.练习1(2014·苏中三市、宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中,设曲线C1:||xa+||yb=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为2曲线C1上的点到原点O的最短距离为223.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1) 求椭圆C2的标准方程.(2) 设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上的点(与O不重合).①若MO=2OA,当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程;②若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值.练习2 设双曲线C 1的渐近线方程为y=±3x,焦点在x 轴上且实轴长为1.若曲线C 2上的点到双曲线C 1的两个焦点的距离之和等于22,并且曲线C 3:x 2=2py(p>0,且是常数)的焦点F 在曲线C 2上.(1) 求满足条件的曲线C 2和曲线C 3的方程;(2) 过点F 的直线l 交曲线C 3于点A,B(A 在y 轴左侧),若AF =13FB ,求直线l 的倾斜角.圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”例1 如图,在直角坐标系xOy 中,点P 11,2⎛⎫⎪⎝⎭到抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线的距离为54.点M(t,1)是C 上的定点,A,B 是C 上的两动点,且线段AB 被直线OM 平分.(1) 求p,t 的值;(2) 求△ABP 面积的最大值.(例1)练习 (2014·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,一条准线方程为为椭圆C 上一点,直线PF 1交椭圆C 于另一点Q.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 若点P 的坐标为(0,b),求过P,Q,F 2三点的圆的方程;(3) 若1F P =λ1QF ,且λ∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求OP ·OQ 的最大值.圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题”例1 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(2,0),B(-2,0),直线PA与PB的斜率之积为-1 2.(1) 求动点P的轨迹E的方程;(2) 过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合),求证:直线MQ过定点.练习(2014·江西卷)如图,已知双曲线C:22xa-y2=1(a>0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1) 求双曲线C的方程;(2) 过C上一点P(x0,y)(y≠0)的直线l:2x xa-yy=1与直线AF相交于点M,与直线x=32相交于点N,证明:点P在C上移动时,MFNF恒为定值,并求此定值.(练习)探究性问题中“瓶颈题”例1 已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为53,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2.(1) 求椭圆C的方程.(2) 设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点,试问:x轴上是否存在定点P,使PM平分∠APB? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.练习(2014·山东卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有FA=FD.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1) 求抛物线C的方程.(2) 若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.①证明:直线AE过定点,并求出定点坐标.②△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.解析几何中的证明问题例1 (南方凤凰台百校大联考)如图,已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C'过点M(2,1),离心率为32.抛物线C的顶点在原点且过点M.(1) 当直线l0经过椭圆C'的左焦点且平行于OM时,求直线l的方程;(2) 斜率为-14的直线l不过点M,与抛物线C交于A,B两个不同的点,求证:直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.(例1) 【评价反馈】1. (2013·湖北卷)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=mn,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1) 当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值.(2) 当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.(第1题)2. (2014·泰州期末)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=a2,F1(-1,0),F2(1,0)分别是椭圆的左、右焦点,过点F1且倾斜角为απ0,2α∈⎛⎫⎛⎤⎪⎥⎝⎦⎝⎭的动直线l交椭圆C于A,B两点,交圆O于P,Q两点(如图所示,点A在x轴上方).当α=π4时,弦PQ的长为14.(1) 求圆O与椭圆C的方程;(2) 若点M是椭圆C上一点,求当AF2,BF2,AB成等差数列时,△MPQ面积的最大值.(第2题)3. (2014·珠海期末)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为e=32,直线y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切.(1) 求椭圆C的方程;(2) 如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上异于顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP的延长线于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,求证:2m-k为定值.(第3题)4. 已知圆C1:x2+y2-x-a=0与圆C2:x2+y2-2x-2=0交于P,Q两点,M(2,t)是直线PQ上的一个动点.(1) 求圆C1的标准方程.(2) 求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆C3的方程.(3) 过圆C2的圆心作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,请判断线段ON的长是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是,请说明理由.5. 已知椭圆C1:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为e=33,直线l:y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.(1) 求椭圆C1的方程;(2) 已知抛物线C2:y2=2px(p>0)与椭圆C1有公共焦点,设C2与x轴交于点Q,在C2上有不同的两点R,S(R,S与点Q不重合),满足QR·RS=0,求|QS|的取值范围.6. 如图,椭圆C:22xa+y2=1(a>1)的右焦点为F(c,0)(c>1),点P在圆O:x2+y2=1上任意一点(点P在第一象限内),过点P作圆O的切线交椭圆C于Q,R两点.(1) 求证:PQ+FQ=a;(2) 若椭圆的离心率为32,求线段QR长度的最大值.(第6题)第2讲解析几何中的“瓶颈题”分类解密——专题突破考点1 求曲线方程中的“瓶颈题”【例1】【分析】(1) (条件)L上的点到两个已知圆的圆心距相等⇒(目标)圆C的圆心轨迹L的方程⇒(方法)根据平面几何知识作出推断,L为两圆圆心的垂直平分线;(2) (条件)点M的轨迹满足的几何条件⇒(目标)点M的轨迹Q的方程⇒(方法)归结为圆锥曲线定义,确定圆锥曲线方程的系数写出轨迹方程.【解答】(1) 两圆半径都为1,两圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得CC1=CC2,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的垂直平分线的斜率等于零,故线段C1C2的垂直平分线方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2) 因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,所以轨迹Q的方程是x2=4y.【点评】本题命题立意是通过对已知条件的分析、逻辑推理判断曲线的类型后求出其轨迹方程,考查逻辑推理能力在求轨迹方程中的运用,其特点是解轨迹方程不以计算为主,而以推理为主.【练习1】【解答】(1)由题意得23ab⎧=⎪⎨=又a>b>0,解得a2=8,b2=1.因此椭圆的标准方程为28x+y2=1.(2) ①设点M(x,y),A(m,n),则由题设知|OM|=2|OA|,OA·OM=0,即22224(),0,x y m nmx ny⎧+=+⎨+=⎩解得22221,41.4m yn x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点A(m,n)在椭圆C2上,所以28m+n2=1,即228y⎛⎫⎪⎝⎭+22x⎛⎫⎪⎝⎭=1,即24x+232y=1.所以点M的轨迹方程为24x+232y=1.②方法一:设M(x,y),则A(λy,-λx)(λ∈R,λ≠0).因为点A在椭圆C2上,所以λ2(y2+8x2)=8,即y2+8x2=28λ.(ⅰ)又x2+8y2=8.(ⅱ)(ⅰ)+(ⅱ),得x2+y2=28119λ⎛⎫+⎪⎝⎭.所以S△AMB =OM·OA=|λ|(x2+y2)=81||9||λλ⎛⎫+⎪⎝⎭≥169,当且仅当λ=±1,即k AB =±1时,(S △AMB )min =169.方法二:假设AB 所在的直线斜率存在且不为零,设AB 所在直线的方程为y=kx(k ≠0).解方程组221,8,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2A x =2818k +,2A y =22818k k +,所以OA 2=2A x +2A y =2818k ++22818k k +=228(1)18k k ++,AB 2=4OA 2=2232(1)18k k ++.又由221,81-,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2M x =2288k k +,2M y =288k +,所以OM 2=228(1)8k k ++.由于2AMB S =14AB 2·OM 2=14·2232(1)18k k ++·228(1)8k k ++=222264(1)(18)(8)k k k +++≥2222264(1)1882k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=222264(1)81(1)4k k ++=25681,当且仅当1+8k 2=k 2+8时等号成立,即k=±1时等号成立,此时△AMB 面积的最小值是S △AMB =169. 当k=0时,S △AMB =12×4169; 当k 不存在时,S △AMB =12×2169. 综上所述,△AMB 面积的最小值为169.方法三:因为21OA +21OM =2218(1)18k k +++2218(1)8k k ++=2221888(1)k k k ++++=98,又21OA +21OM ≥2·OA OM ,于是OA ·OM ≥169,当且仅当1+8k 2=k 2+8时等号成立,即k=±1时等号成立.(后同方法一)【练习2】 【解答】(1) 设双曲线C 1的方程为221x a -221y b =1,则有1113,21,b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解得111,23,2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则c 1=2211a b +=1,于是双曲线C 1的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0),曲线C 2是以F 1,F 2为焦点的椭圆,设其方程为222x a +222y b =1(a 2>b 2>0),联立方程组22222222,-1,a a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以曲线C 2的方程是22x +y 2=1.依题意,曲线C 3:x 2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),于是2p=1,所以p=2,所以曲线C 3的方程是x 2=4y.(2) 由条件可设直线l 的方程为y=kx+1,由24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得x 2-4kx-4=0,Δ=16(k 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4.由AF =13FB,得-3x 1=x 2,代入x 1+x 2=4k,得x 1=-2k,x 2=6k,代入x 1x 2=-4,得k 2=13,由于点A 在y 轴左侧,所以x 1=-2k<0,即k>0,所以k=33,故直线l 的倾斜角为π6.考点2 圆锥曲线中的最值与范围问题中“瓶颈题”【例1】 【分析】(1) (条件)点M 在抛物线上、点P 到抛物线准线的距离⇒(目标)求p,t ⇒(方法)根据已知列方程组,解方程组即得;(2) (条件)直线OM 的方程、点P 坐标、抛物线方程⇒(目标)△ABP 面积的最大值⇒(方法)利用AB 的中点的坐标为参数建立△ABP 面积的函数关系式,通过函数的最值求解.【解答】(1) 由题意知21,51,24pt p =⎧⎪⎨+=⎪⎩得1,21.p t ⎛= =⎝(例1)(2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),线段AB 的中点为Q(m,m), 由题意知,设直线AB 的斜率为k(k ≠0).由211222,,y x y x ⎧=⎨=⎩得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=x 1-x 2.故k ·2m=1.所以直线AB 的方程为y-m=12m (x-m),即x-2my+2m 2-m=0.由22-22-0,,x my m m y x ⎧+=⎨=⎩消去x,整理得y 2-2my+2m 2-m=0,所以Δ=4m-4m 2>0, y 1+y 2=2m,y 1·y 2=2m 2-m.从而211k +|y 1-y 2|214m +24-4m m 设点P 到直线AB 的距离为d,则2214m +设△ABP 的面积为S,则S=12AB ·d=|1-2(m-m 2)|2-m m由Δ=4m-4m 2>0,得0<m<1.令≤12,则S=u(1-2u 2). 设S(u)=u(1-2u 2),0<u ≤12,则S'(u)=1-6u 2.由S'(u)=0,得u=∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以S(u)max=S ⎝⎭=.故△ABP面积的最大值为. 【点评】解析几何中最值问题的基本思路是建立求解目标关于某个变量的函数,通过求解函数最值解决问题.求解参数范围的思路与此类似,即建立求解目标关于某个变量的函数,通过函数值域求解其范围.【练习】 【解答】(1) 由题意得222,2,c ac =⎧⎪⎨=⎪⎩解得c=1,a 2=2,所以b 2=a 2-c 2=1. 所以椭圆的方程为22x +y 2=1.(2) 因为P(0,1),F 1(-1,0),所以PF 1的方程为x-y+1=0.由22-10,1,2x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得0,1x y =⎧⎨=⎩或4-,31-,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点Q 的坐标为41-,-33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 方法一:因为1PF k ·2PF k =-1,所以△PQF 2为直角三角形.因为QF 2的中点为11-,-66⎛⎫ ⎪⎝⎭,QF 2=,所以过点P,Q,F 2的圆的方程为216x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+216y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2518. 方法二:设过P,Q,F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则10,10,1741--0,933E F D F D E F ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪+=⎩解得1,31,34-.3D E F ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以圆的方程为x 2+y 2+13x+13y-43=0.(3) 方法一:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则1F P =(x 1+1,y 1),1QF =(-1-x 2,-y 2).因为1F P =λ1QF ,所以12121(-1-),-,x x y y λλ+=⎧⎨=⎩即1212-1--,-,x x y y λλλ=⎧⎨=⎩所以222222222(-1--)1,21,2x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得x 2=1-32λλ.所以OP ·OQ =x 1x 2+y 1y 2=x 2(-1-λ-λx 2)-λ22y=-222x λ-(1+λ)x 2-λ=-21-322λλλ⎛⎫ ⎪⎝⎭-(1+λ)·1-32λλ-λ =74-518λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为λ∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以λ+1λ≥当且仅当λ=1λ,即λ=1时取等号. 所以OP ·OQ ≤12,即OP ·OQ 的最大值为12.方法二:当PQ的斜率不存在时,在22x+y2=1中,令x=-1得,y=±.所以OP·OQ=(-1)×(-1)+2×2⎛⎫⎪⎪⎝⎭=12,此时λ=1∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当PQ的斜率存在时,设为k,则PQ的方程是y=k(x+1).由22(1),1,2y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.由韦达定理得x1+x2=22-412kk+,x1x2=222-212kk+.设P(x1,y1),Q(x2,y2).则OP·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)·222-212kk++k2·22-412kk++k2=22-2 12 kk +=12-252(12)k+<12.故OP·OQ的最大值为12,此时λ=1∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点3 圆锥曲线中的定点与定值问题中“瓶颈题”【例1】【分析】(1) (条件)PA与PB的斜率之积为-12⇒(目标)求点P的轨迹方程⇒(方法)直接设点代入;(2) (条件)椭圆方程、直线系过点(1,0)等⇒(目标)直线MQ恒过定点⇒(方法)以参数表达直线系方程、代入椭圆方程,设出M,N的坐标,得出点Q坐标,设出直线系MQ的方程,证明直线过定点.【解答】(1)1 2,化简得22x+y2=1(y≠0),即为双曲线C的方程.(2) 方法一:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1,代入22x+y2=1(y≠0),整理得(m2+2)y2+2my-1=0,所以y1+y2=2-22mm+,y1y2=2-12m+,MQ的方程为y-y1=1212-y yx x+(x-x1),令y=0,得x=x1+12112(-)y x xy y+=my1+1+12112(-)my y yy y+=12122my yy y++1=2,所以直线MQ过定点(2,0).方法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:y=k(x-1),代入22x+y2=1(y≠0),整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=22412kk+,x1x2=222-212kk+,MQ的方程为y-y1=1212-y yx x+(x-x1),令y=0,得x=x1+12112(-)y x xy y+=x1+12112(-1)(-)(-2)k x x xk x x+=1212122-()-2x x x xx x++=2.所以直线MQ过定点(2,0).【点评】解析几何中证明直线过定点,一般是先选择一个参数建立直线系方程,然后再根据直线系方程过定点时,方程的成立与参数没有关系,得到一个关于x,y的方程组,以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.定值问题与此思路基本相同.【练习】【解答】(1) 设F(c,0),因为b=1,所以直线OB的方程为y=-1a x,直线BF的方程为y=1a(x-c),解得B,-22c ca⎛⎫⎪⎝⎭.又直线OA的方程为y=1a x,则A,cca⎛⎫⎪⎝⎭,kAB=3a.又因为AB ⊥OB,所以3a ·1-a ⎛⎫⎪⎝⎭=-1,解得a 2=3,故双曲线C 的方程为23x -y 2=1.(2) 由(1)知,则直线l 的方程为03x x-y 0y=1(y 0≠0),即y=00-33x x y .因为直线AF 的方程为x=2,所以直线l 与AF 的交点M 002-32,3x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 直线l 与直线x=32的交点为N 003-332,23x y ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭, 则22MF NF =2022004(2-3)9[(-2)]x y x +. 因为点P 是C 上一点,则23x -20y =1,代入上式得22MF NF =2022004(2-3)9[(-2)]x y x +=2022004(2-3)9-1(-2)3x x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=43,所以定值为MF NF=.考点4 探究性问题中“瓶颈题”【例4】 【分析】(1) (条件)椭圆离心率、MB 1⊥MB 2⇒(目标)得出椭圆方程⇒(方法)列方程求解椭圆方程需要的a,b;(2) (条件)椭圆方程⇒(目标)直线与椭圆交于两点A,B,判断x 轴上是否存在定点P,使PM 平分∠APB ⇒(方法)判断点P 是否存在,先假设其存在,把几何条件转化为代数条件后得关于点P 坐标的方程,这个方程对任意变动的直线恒成立时,若点P 的坐标有解则存在,否则不存在.【解答】(1) 由题意得222-a b a =1-22b a=23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,即b a =23.依题意,得△MB 1B 2是等腰直角三角形, 从而b=2,故a=3.所以椭圆C 的方程是29x +24y =1.(2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为x=my+2.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立, 消去x,得(4m 2+9)y 2+16my-20=0.所以y 1+y 2=2-1649m m +,y 1y 2=2-2049m +.若PM 平分∠APB,则直线PA,PB 的倾斜角互补,所以k PA +k PB =0.设P(n,0),则有11-y x n +22-y x n =0. 将x 1=my 1+2,x 2=my 2+2代入上式,整理得1212122(2-)()(2-)(2-)my y n y y my n my n ++++=0,所以2my 1y 2+(2-n)(y 1+y 2)=0.将y 1+y 2=2-1649m m +,y 1y 2=2-2049m +代入上式,整理得(-2n+9)·m=0.由于上式对任意实数m 都成立,所以n=92. 综上,存在定点P 9,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,使PM 平分∠APB.【点评】本题立意是通过圆锥曲线问题考查对数学问题的抽象概括能力、化归转化的思想意识.题目按照解析几何解答题的基本模式进行命制,解题中需要把已知的几何条件逐步转化为代数条件,充分体现了等价转化思想的应用.【练习】 【解答】(1) 由题意知F ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设D(t,0)(t>0),则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭, 因为FA=FD,由抛物线的定义知3+2p =-2pt ,解得t=3+p 或t=-3(舍去).由322p ⎫+⎪⎝⎭解得p=2.所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2) ①由(1)知F(1,0),设A(x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D(x D ,0)(x D >0), 因为FA=FD,则|x D -1|=x 0+1, 由x D >0,得x D =x 0+2,所以D(x 0+2,0),故直线AB 的斜率为k AB =-02y ,因为直线l 1和直线AB 平行,设直线l 1的方程为y=-02y x+b,代入抛物线方程得y 2+8y y-8b y =0,由题意知Δ=2064y +032b y =0,得b=-02y .设E(x E ,y E ),则y E =-04y ,x E =204y .当20y ≠4时,k AE =00--E E y y x x =-0022044-4y y y y +=0204-4y y ,可得直线AE 的方程为y-y 0=204-4y y (x-x 0),由20y =4x 0,整理可得y=204-4y y (x-1),直线AE 恒过点F(1,0).当20y =4时,直线AE 的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE 过定点F(1,0). ②由①知,直线AE 过焦点F(1,0),所以AE=AF+FE=(x 0+1)+011x⎛⎫+ ⎪⎝⎭=x 0+01x +2,设直线AE 的方程为x=my+1,因为点A(x 0,y 0)在直线AE 上,故m=00-1x y .设B(x 1,y 1),直线AB 的方程为y-y 0=-02y (x-x 0),由于y 0≠0,所以x=-2y y+2+x 0,代入抛物线方程得y 2+8y y-8-4x 0=0,所以y 0+y 1=-08y ,可求得y 1=-y 0-08y ,x 1=04x +x 0+4,所以点B 到直线AE 的距离为=4⎫.则△ABE 的面积S=12×4⎫(x 0+01x +2)≥16, 当且仅当x 0=01x ,即x 0=1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.考点5 解析几何中的证明问题【例5】 【分析】本题主要考查直线的方程及椭圆和抛物线的标准方程,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力.【解答】(1) 根据e=ca =32,可设椭圆方程为224x b +22y b =1,将M(2,1)代入可得b 2=2, 所以椭圆C 的方程为28x +22y =1,因此左焦点为(-6,0),斜率0l k=k OM =12, 所以直线l 0的方程为y=12(x+6),即y=12x+62.(2) 抛物线C 的方程为y 2=12x.设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线MA,MB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1=11-1-2y x ,k 2=22-1-2y x ,k AB =2121--y y x x =2112()y y +=-14,所以y 1+y 2=-2.k 1+k 2=11-1-2y x +22-1-2y x =112(1)y ++212(1)y +=121222(1)(1)y y y y ++++=0.所以直线MA,MB 与x 轴总围成等腰三角形.【点评】定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值;解决圆锥曲线中的最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围.如何突破解析几何中的“瓶颈题”,需要综合运用“设而不求”、“合理引参”、“整体代换”、“回归定义”和“借助平几”等策略,才能简化运算,起到事半功倍的效果.【评价反馈】1. (1) 由S 1=λS 2可知m+n=λ(m-n),所以λ=1-1mnmn+=1-1λλ+,解得λ=2+1(舍去小于1的根).(2) 设椭圆C1:22xa+22ym=1(a>m),C2:22xa+22yn=1(a>n),直线l:ky=x,联立方程组2222,1,ky xx ya m=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,得22222a m ka m+y2=1,所以yA=222ama m k+.同理,yB =222ana n k+.又因为△BDM和△ABN的高相等,所以12SS=BDAB=--B DA By yy y=-B AA By yy y+.若存在非零实数k使得S1=λS2,则有(λ-1)yA=(λ+1)yB,即222222(-1)a n kλλλ+=2222(1)a n kλ++,解得k2=22223(-2-1)(1)4anλλλλ+,所以当λ>1+2时,k2>0,存在这样的直线l;当1<λ≤1+2时,k2≤0,不存在这样的直线l.2. (1) 取PQ的中点D,连接OD,OP.(第2题)由α=π4,c=1,知OD=22.因为,所以OP 2=24PQ +OD 2=4, 所以a 2=4,b 2=3.所以椭圆C 的方程为24x +23y =1,圆O 的方程为x 2+y 2=4. (2) 设AF 2=s,BF 2=t.由椭圆定义得AF 1+AF 2=2a=4,BF 1+BF 2=2a=4.因为AF 2,BF 2,AB 的长成等差数列,所以2t=s+4-s+4-t,所以t=83.设B(x 0,y 0),由2200220064(-1),91,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得B4-,-33⎛ ⎝⎭. 所以直线PQ 的斜率所以PQ 的方程为所以PQ=72.易求得椭圆上一点到直线PQ的距离的最大值是,所以△MPQ的面积的最大值是.3. (1) 由题意知,直线x 2+y 2=b 2相切,得b=1,由e=,得22c a =222-a b a =34,所以a=2. 所以椭圆C 的方程为24x +y 2=1.(2) 因为B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线BP 的方程为y=k(x-2)102k k ⎛⎫≠≠± ⎪⎝⎭且 ①,将①代入24x +y 2=1,解得P 2228-24,-4141k k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 又直线AD 的方程为y=12x+1 ②,①与②联立解得M424,2-12-1k k k k +⎛⎫⎪⎝⎭, 由D(0,1),P 2228-24,-4141k k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭,N(x,0)三点共线,可得N 42,02-1k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以MN 的斜率为m=214k +,则2m-k=212k +-k=12(定值).4. (1) 因为圆C 1与圆C 2的公共弦PQ 的方程是x=a-2,而M(2,t)是x=a-2上的点,所以a=4,故圆C 1的标准方程为21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+y 2=174.(2) 以OM 为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0,即(x-1)2+2-2t y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24t +1,其圆心为1,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径因为以OM 为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离2t,所以|3-2-5|5t =2t,解得t=4,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.(3) 方法一:设直线OM 与直线FN 交于点k,由平面几何知识知ON 2=OK ·OM,直线OM:y=2tx,直线FN:y=-2t (x-1),由,22-(-1),t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x K =244t +,所以ON 2214t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·244t +·2=2,所以线段ON方法二:设N(x 0,y 0),则000000(-1,),(2,),(-2,-),(,),FN x y OM t MN x y t ON x y ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 因为FN ⊥OM ,所以2(x 0-1)+ty 0=0, 所以2x 0+ty 0=2.又因为MN ⊥ON ,所以x 0(x 0-2)+y 0(y 0-t)=0,所以20x +20y =2x 0+ty 0=2,所以,|ON|=.5. (1) 由直线l:y=x+2与圆x 2+y 2=b 2相切,=b,即由e=,得22b a =1-e 2=23,所以. 所以椭圆C 1的方程是23x +22y =1.(2) 由题意得2p=1,即p=2,故C 2的方程为y 2=4x.易知Q(0,0),设R 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,S 222,4y y ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以QR =211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,RS =222121-,-4y y y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由QR ·RS =0,得222121(-)16y y y +y 1(y 2-y 1)=0,因为y 1≠y 2,所以y 2=-1116y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以22y =21y +21256y +32≥当且仅当21y =21256y ,即y 1=±4时等号成立.又|QS因为22y≥64,所以当22y=64,即y2=±8时,|QS|min=8故|QS|的取值范围是∞).6. (1) 设Q(x1,y1)(x1>0),得FQ=a-ex1,由PQ是圆x2+y2=1的切线,注意到212xa+21y1,所以PQ+FQ=a.(2) 由题意得e==,所以a=2.方法一:设直线QR的方程为y=kx+m,因为点P在第一象限,所以k<0,m>0.由直线QR与圆O相切,=1,所以m2=k2+1.由22,1,4y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-2814kmk+.由(1)知,QR=e(x1+x2)=28-14kmk⎫⎪+⎝⎭·2||14k mk+·22||3k mm k+,因为m2+3k2≥所以|QR|≤当且仅当k时,QR取最大值2,此时直线QR的方程为),过焦点F.方法二:设P(x0,y),Q(x1,y1),R(x2,y2),则直线QR的方程为x0x+yy=1.由00221,44,x x y yx y+=⎧⎨+=⎩消去y得(2y+42x)x2-8xx+4-42y=0,则x1+x2=220084xy x+,因为2x+2y=1,所以x1+x2=2813xx+,由(1)知,QR=e(x1+x2)=2·2813xx+213xx+=4·113xx+,因为01x+3x≥所以QR≤当且仅当x=时,QR取最大值2,此时P⎝⎭,直线QR过焦点F.方法三:由(1)同理可求PR+FR=2,则QR+QF+FR=4,QR≤RF+FR,2QR≤QR+QF+FR=4,所以QR≤2,当且仅当直线QR过焦点F时等号成立,从而QRmax=2.。
2015-2017全国高考理科解析几何高考题汇编
A .B "C.D .2015-2017高考解析几何汇编017（一）10•已知F 为抛物线C: y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l i , 12，直线l i 与C交于A 、B 两点，直线12与C 交于D 、E 两点，则|AB|+| DE 的最小值为 A. 16B . 14C. 12D . 102 22017( — )20.( 12 分)已知椭圆 C: X 2爲=1 (a>b>0),四点P 1 (1,1)，P 2 (0,1)，P 3 ( -1，a b豊），P 4 （1，豊）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线I 不经过P 2点且与C 相交于A,B 两点 若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-， 证明：I 过定点•的弦长为2,则C 的离心率为A . 2B . 322017（二）20. （12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C: — y 21上，过M 作x 轴的垂线，2uuu _uun垂足为N ,点P 满足NP ,2NM . （1） 求点P 的轨迹方程；uuu uuu（2） 设点Q 在直线x 3上，且OP PQ 1 .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线I 过C 的 左焦点F.2 22017（三）10.已知椭圆C:令 占1，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A , A 2,且以线段A 1A 2a b为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则C 的离心率为2 x 2017(二)9.若双曲线 C :-y a 2y21 ( a 0， b 0b的一条渐近线被圆 x 2 $ y 24所截得D.2门 32017（三）20.（ 12分）已知抛物线 C: y 2=2x ,过点（2,0）的直线I 交C 与A,B 两点，圆M 是 以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4, -2），求直线I 与圆M 的方程.2爲1（a 0,b 0）的左焦点为F ，离心率为-2 .若经过F 和bP （0, 4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为AP 与椭圆相交于点B （ B 异于点A ），直线BQ 与轴相交于点D 若△ APD 的面积为丄6 ,求直线AP 的方程.22016（二）（ 11）已知F 1, F 2是双曲线E 的左，右焦点，点 M 在E 上, M F 1与工轴皿硏孕5I /i垂直，sin 1 ,则E 的离心率为（A ） （ B ）（ C ） ‘八 （D ） 2 2016（二）（ 20）（本小题满分12分）—+^-=1已知椭圆E: “为 的焦点在星轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k>0）的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上, MA 丄NA.2 2017（天津）（5）已知双曲线二 2(A) -42y41 ( B )(C )(D )2y- 142017（天津）（19）（本小题满分2 14分）设椭圆笃 2y a b 21(a0）的左焦点为F ,右顶点为A ，1 离心率为1.已知A 是抛物线 2（I ）求椭圆的方程和抛物线的方y 22px (p0）的焦点, F 到抛物线的准线的距离为（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线(I )当 t=4,\AM \=\AN \ 时，求△ AMN 的面积;（H ）当上伽职时，求k 的取值范围2016(北京)19.(本小题14分)已知椭圆C:笃爲1 ( a b 0)的离心率为二,A(a,0),a b2B(0, b), 0(0,0) , OAB 的面积为 1.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：AN | |BM |为定值.2016(一)(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知| AB|=, |DE|=2 j5，则C 的焦点到准线的距离为 (A)2(B)4(C)6(D)82016(一)20.(本小题满分12分) 设圆x 2 y 2 2x 150的圆心为A ,直线I 过点B ( 1,0)且与x 轴不重合，I 交圆A 于C, D两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(I) 证明EA |EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II) 设点E 的轨迹为曲线G,直线I 交G 于M,N 两点，过B 且与I 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF 丄x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于 点E.若直线BM 经过OE 的中点，贝U C 的离心率为2016(三)(20)(本小题满分12分)已知抛物线C: y 2 2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线hl 分别交C 于A , B 两点，交C 的 准线于P, Q 两点.(I )若F 在线段AB 上, R 是PQ 的中点，证明AR// FQ;2016(三)(11)已知O 为坐标原点,1(a b 0)的左焦点，A , B 分别为(A )(C ) (D )2F 是椭圆C:务a2(II )若厶PQF 的面积是厶ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.2015 (二) (11)已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上, ?ABM 为等腰三角形， 且顶角为120°,则E 的离心率为 (A ) V 5 (B ) 2 (C ) V 3 (D ) V2 2015 (二) 20.(本小题满分12分)已知椭圆C ： 9x 2 y 2 m 2(m 0)，直线I 不过原点O 且不平行于坐标轴，I 与C 有两个交 点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
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第31练 直线和圆的位置关系题型一 直线和圆的位置关系的判断问题例1 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 题型二 弦长问题例2 若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________． 题型三 直线和圆的综合性问题例3 如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当||MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)B Q →·B P →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．总结提高 (1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法：一是将直线和圆的方程联立，利用判别式的符号求解根的个数，即为直线和圆的交点个数；二是将圆心到直线的距离d 和半径r 相比较，当d >r 时相离，d ＝r 时相切，d <r 时相交．(2)求圆的弦长的方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，联立直线与圆的方程消去y 后得到方程两根为x 1，x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法较为简单．1．直线(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0(m ∈R )与圆x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0或2 D ．1或22．(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－83．(2014·北京)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．44．(2014·福建)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．16．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(x －b )2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.8．已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________________．9．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 10．(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．11．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B . (1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在求k 的值；如果不存在，请说明理由．第32练 与直线和圆有关的最值问题题型一 有关定直线、定圆的最值问题例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45 B.25 C.255 D.105题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当|OA |＋|OB |最小时，O 为坐标原点，求l 的方程．题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3) (2)与其他知识相结合的范围问题例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22) D ．[3，22)总结提高 (1)主要类型：①圆外一点与圆上任一点间距离的最值． ②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值． ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题． ⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．⑥已知圆上的动点Q (x ，y )，求与点Q 的坐标有关的式子的最值，如求ax ＋by ，ax ＋bycx ＋dy 等的最值，转化为直线与圆的位置关系． (2)解题思路：①数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解．②函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解． (3)注意事项：①准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；②涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形．1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 22．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45 D.1353．(2014·成都模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 34．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝06．(2014·雅安模拟)已知Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ≥0，y ≤4－x 2，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈⎣⎡⎦⎤π－22π，1，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎣⎡⎦⎤0，33C.⎣⎡⎦⎤33，1 D ．[0,1] 7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8．直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的切线P A ，PB (A ，B 为切点)，若四边形P ACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________．9．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________． 10．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是________________________________________________________________________． 11．已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点． (1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； (2)求y －2x －1的最大值和最小值．12．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．第33练 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值．题型二 直线与椭圆相交问题例2 已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，求弦|MN |的长．题型三 点差法解题，设而不求思想例3 已知椭圆x 22＋y 2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．题型四 轨迹问题例4 △ABC 的一边的顶点是B (0,6)和C (0，－6)，另两边斜率的乘积是－49，求顶点A 的轨迹方程．总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值．(2)直线和椭圆相交问题：①常用分析一元二次方程解的情况，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”．(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解．(4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等，根据条件选择恰当的方法．1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1 4．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 5．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 26．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.627．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左，右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.9．(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．10．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．11．(2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .12．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．第34练 双曲线的渐近线和离心率题型一 双曲线的渐近线问题例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x题型二 双曲线的离心率问题例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a ，c 的关系，a ，c 关系的建立方法直接反映了试题的难易程度，最后在求得e 之后注意e >1的条件，常用到数形结合．(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1，当e 逐渐增大时，ba 的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．2或233 B.6或233C ．2或 3 D.3或 62．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．33．(2014·绵阳模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2＋1)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞)5．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．26．(2014·山东)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝07．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．10．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．11．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．12．(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．第35练 与抛物线相关的热点问题题型一 抛物线的定义及其应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一动点，(1)求点P 到A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，抛物线的焦点为F ，求|PB |＋|PF |的最小值．题型二抛物线的标准方程及性质例2(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.题型三直线和抛物线的位置关系例3已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为() A．4 B．－2 C．4或－4 D．12或－22．(2014·泸州模拟)若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有() A．0个B．1个C．2个D．4个3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A．2±3 B．2＋ 3 C.3±1 D.3－14．(2014·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.945．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．56．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B. 2 C.322D ．2 2 7．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.8．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．9．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°.则△OAF 的面积为________．10．(2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.11．(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．12．(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．第36练 直线与圆锥曲线问题题型一 直线和椭圆的位置关系例1 如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C1相交于点D ，E .(1)求C 1，C 2的方程； (2)求证：MA ⊥MB ；(3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝λ，求λ的取值范围．题型二 直线和双曲线的位置关系例2 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程；(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由．总结提高 直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决．1．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋k 2＋1与(1)中所求点N 的轨迹E 交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且23≤OF →·OH →≤34，求k 2的取值范围．2．(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．3．(2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x －y ＋6＝0相切．(1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线交双曲线E5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．6．(2014·辽宁)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．第37练 圆锥曲线中的探索性问题题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．题型二 定直线问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点．(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存题型三 定圆问题例3 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12，圆C k ：x 2＋y 2＋2kx －4y －21＝0(k ∈R )的圆心为点A k . (1)求椭圆G 的方程； (2)求△A k F 1F 2的面积；(3)问是否存在圆C k 包围椭圆G ？请说明理由．总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )． (3)定直线问题一般都为特殊直线x ＝x 0或y ＝y 0型．1．(2014·成都模拟)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？2．已知双曲线方程为x 2－y 22＝1，问：是否存在过点M (1,1)的直线l ，使得直线与双曲线交于P 、Q 两点，且M 是线段PQ 的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．3．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，请说明理由．4．(2014·重庆)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22. (1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．5．(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．6．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．。