2011—2012学年数学人教A版必修1同步教学案：1.2.2 函数的表示法第1课时函数的表示法

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高中数学人教A版必修1教案-1.2_函数及其表示_教学设计_教案_3

教学准备1. 教学目标1﹑知识与技能：（1）掌握函数的概念，学会用函数的定义描述各类函数；（2）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；（3）掌握区间的概念，学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域。

2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）掌握求一些简单函数的定义域和值域的方法。

3、情态与价值：通过“恩格尔系数”了解我国的经济发展状况，增加民族自豪感，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性。

2. 教学重点/难点理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.3. 教学用具课件4. 标签教学过程1、课堂导入复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；初中函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y是x的函数。

学过的函数：2、课堂讲授⑴阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：思考：（课本P15）给出三个实例：A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是 .B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。

C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个 ,按照某种对应关系 ,在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作：⑵函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：2.对函数概念的理解：①集合A、B必须是非空的数集。

人教A版高中数学必修一第一章1.2.2函数的表示法说课稿

课题：《函数的表示法》说课稿说课人：高一年级数学组尊敬的各位评委老师，大家好！我是高一年级数学组，今天说课的题目是《1.2.2函数的表示法》。

下面我将从以下几个方面来进行阐述：一、教材本节内容是人教版课程标准实验教材（A 版）必修一第一章《集合与函数的概念》第二节《函数及其表示》的第二个内容。

本内容共分两个课时:第一课时主要学习函数的三种表示方法：解析法、图象法和列表法的概念及特点，以及根据不同的需要选择适当的表示法，第二课时学习分段函数和映射的概念及其运用。

本课时主要学习第一个课时。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．为了帮助学生理解函数概念的本质，教材从函数的三要素、函数的表示法等角度对函数概念进行细化，之后将其推广到了映射，并在后续对基本初等函数的学习中，逐步加深理解．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。

所以它不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的内容，也是加深理解函数概念的过程．在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段．初中教材介绍了函数的三种表示法，高中阶段对函数表示法的学习则需要在此基础上让学生了解三种表示法各自的特点，并会根据实际情境的需要选择恰当的方法表示函数．同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是渗透数形结合方法的重要过程．二、学情我所教的是普通班高一理科学生。

学生在初中阶段已经了解了函数的三种表示方法，在实际生活中积累了一定的关于函数关系的实例，会用解析式或图象表示一次函数、二次函数等简单的基本初等函数．但对函数的三种表示法的特点及应用缺少全面的认识．三、教学目标基于以上对教学内容的分析及课标要求，结合学生的认知结构与心理特征，确定本节课的教学目标与教学重难点：三维目标1、知识与技能掌握函数的三种表示方法，明确每种方法的特点，认识离散型函数，提升对函数概念的理解。

高中数学人教A版必修一1.2.2 函数的表示法第2课时教案 (1)

1．2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；(2)纠正认为“y＝f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识；(3)了解映射的概念及表示方法．2．过程与方法(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；(3)通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观(1)培养辨证地看待事物的观念和数形结合的思想；(2)使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式；(3)激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．●重点难点重点：分段函数的概念．难点：分段函数的表示及映射的概念(1)重点的突破：首先以两个例题为依据，通过学生的研习，组内讨论等活动，让学生先从感性上认识分段函数，再结合生活中的其他实例充分理解分段函数是一个函数，而不是几个函数．最后通过习题，利用师生合作探究的方式，让学生掌握分段函数问题的解法，在此过程中培养学生分析问题和归纳总结的能力，强化训练学生数形结合、分类讨论的思想意识，突出重点的同时化解分段函数的表示这一难点；(2)难点的解决：在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识，体会出映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．分段函数【问题导思】在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如：国内邮寄信函(本埠)，每封信函的重量和对应邮资如下表：(1)邮资M是信函重量m的函数吗？若是，其解析式是什么？【提示】据函数定义知M 是m 的函数，其解析式为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.80，m ∈ 0，20]1.60，m ∈ 20，40]2.40，m ∈ 40，60]3.20，m ∈ 60，80]4.00，m ∈ 80，100](2)在(1)中有几个函数？为什么？【提示】一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已．如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．【问题导思】在某次数学测试中，高一 1 班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A ，他们的成绩构成集合B .1．A 中的每一个元素，在B 中有且只有一个元素与之对应吗？【提示】是的．2．从集合A 到集合B 的对应是函数吗？为什么？【提示】不是．因为集合A 不是数集．映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.映射已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12x ，－1<x <2x22，x ≥2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)若f (a )＝2，求a 的值．【思路探究】 (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32→求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32(2)就(a )的取值范围分三种情形分别求解．【自主解答】 (1)∵－1<32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×32＝3.又3>2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去；当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1；当a ≥2时，由f (a )＝2，得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)．综上所述，a 的值为1或2.1．求分段函数函数值的方法分段函数求值(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．已知n ∈N *，且f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2， n ≥10f n ＋5 ， n <10 ，则f (4)＝________.【解析】由分段函数定义，f (4)＝f (4＋5)＝f (9)＝f (9＋5)＝f (14)＝14－2＝12【答案】 12画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出该函数的值域．【思路探究】y ＝|x ＋1|＋|x －3|――→绝对值定义零点分段法去绝对值 ――→分段分段函数―→作图分段函数的图象【自主解答】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝{ －2x ＋2，x ≤－1 4，－1<x ≤3 2x －2，x >3∴函数图象如图由图象易知函数的值域为[4，＋∞)1．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象．2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是()【解析】由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？映射的判断(1)A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝{ 1，x ≥0 0，x <0； (3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积．【思路探究】紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断．【自主解答】 (1)集合A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在集合B 中没有相对应的元素，所以不是映射．(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0，所以是映射．(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f 是从集合A 到集合B 的映射．判断一个对应是否是映射，关键有两点：(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素对应； (2)B 中的对应元素是否是唯一的．注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．已知点(x ，y )在映射f 作用下对应的元素是(2x ，x ＋y )，则(1,3)在f 作用下对应的元素是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52 B ．(2,4) C ．(3,5)D ．(4,6)【解析】由题意知，x →2x ，y →x ＋y ，故(1,3)在f 作用下对应的元素是(2,4)．【答案】 B与分段函数有关的实际问题的解法(12分)如图1－2－4在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，图1－2－4沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB 的面积为y.试求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．【思路点拨】当点P在线段BC上时△APB的面积随点P的变化而变化，当点P在线段CD上时，△APB的面积是一个定值，当点P在线段AD上时，△APB 的面积随点P的变化而变化，可见应分三段考虑面积计算．【规范解答】(1)①当点P在线段BC上运动时，S△APB＝12×4x＝2x(0≤x≤4).2分②当点P在线段CD上运动时，S△APB＝12×4×4＝8(4＜x≤8).4分③当点P在线段AD上运动时，S△APB＝12×4×(12－x)＝24－2x(8＜x≤12).6分∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4 8， 4＜x ≤824－2x ， 8＜x ≤12 .8分(2)画出y ＝f (x )的图象，如图所示：12分1．本题因点P 所在的位置不同，得到的面积表达式不同，因而应分段计算，得出分段函数表达式．2．解决这类问题的关键点是根据自变量的取值情况决定其对应的运算法则，即保持自变量的取值范围与对应法则的一致性，一般需要分类讨论求解．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A ：看集合A 中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B 中的元素不作任何要求.1．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )【解析】在映射中允许“多对一”，但不允许“一对多”．【答案】 C2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )【解析】 ∵x ∈[－2,2]，故函数y ＝－|x |在x ＝±2处均有意义，排除C 、D 两选项．又当x ＝1时，y ＝－1<0，从而排除A 选项，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0－2x ＋1，x <0，则f (1)＋f (－1)＝________.【解析】∵f (1)＝2×1＋1＝3,f (－1)＝－2×(－1)＋1＝3，∴f (1)＋f (－1)＝3＋3＝6.【答案】 64．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．【解】 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝{ 1 0≤x ≤2 1－x －2<x <0 . (2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．一、选择题1．设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2【解析】当x ∈[1,2]时，y ＝4－x 2∈[0,3]，故选项D 中的“f ”不能构成A 到B 的映射．【答案】 D2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )【解析】 f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥11－x ，x <1.由f (x )的解析式易知应选B.【答案】 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18【解析】 ∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 【答案】 A4．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝03－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，∴A 中的元素为(1,2)．【答案】 C图1－2－55．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图1－2－5，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13 B.13C ．－23D.23【解析】由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， 0＜x ＜1 x ＋1，－1＜x ＜0 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0 π x ＝00 x <0 ，则f (f (－2))＝________.【解析】 ∵f (－2)＝0，∴f (f (－2))＝f (0)＝π. 【答案】 π7．(2014·镇江高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.【解析】由题意知f (0)＝2，又f (2)＝22＋2a ∴22＋2a ＝4a ∴a ＝2 【答案】 28．函数y ＝f (x )的图象如图1－2－6所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．图1－2－6【解析】由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]．其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]．【答案】 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.(1)求a 的值； (2)求f (f (2))的值； (3)若f (m )＝3，求m 的值．【解】 (1)由函数定义，得当x ＝1时，应有1＋a ＝12－2×1，即a ＝－2.(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.因为2>1，所以f (2)＝22－2×2＝0，因为0<1，所以f (f (2))＝f (0)＝0－2＝－2. (3)当m ≤1时，f (m )＝m －2，此时m －2＝3得m ＝5，与m ≤1矛盾，舍去；当m ≥1时，f (m )＝m 2－2m ，此时m 2－2m ＝3得m ＝－1或m ＝3. 又因为m ≥1，所以m ＝3. 综上可知满足题意的m 的值为3.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋bx ＋c ， x ≤0 ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，求f (x )的解析式．【解】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋4x ＋2， x ≤0 .11．为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算．电费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式； (2)小明家第一季度缴纳电费情况如下：【解】 (1)由题可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ，0≤x ≤10057＋12 x －100 ＝12x ＋7，x >100.(2)一月用电12x ＋7＝76，即x ＝138；二月用电12x ＋7＝63，即x ＝112；三月用电0.57x ＝45.6，即x ＝80； ∴138＋112＋80＝330(度) ∴第一季度共用电330度。

高中数学 1.2.2 函数的表示方法(第一课时)教案新人教A版必修1

1.2.2 函数的表示方法（第一课时）教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握函数的三种表示方法；教学重点：函数的表示方法教学难点：函数三种表示方法的选择教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题1.回忆函数的两种定义；2.函数的三要素分别是什么？3．设函数22(2)()2(2)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = 。

（II ）讲授新课函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。

（III ）例题分析：例1（书P 22）.某种笔记本的单价是5元，买x （{1,2,3,4,5}x ∈个笔记本需要y 元,试用函数的三种表示法表示函数()y f x =。

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可以将函数()y f x =表示为5y x =，{1,2,3,4,5}x ∈。

用列表法可以将函数()y f x =表示为笔记本数x 1 2 3 4 5钱数y 5 10 15 20 25图象法略。

说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。

例2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班级平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。

人教A版数学必修一教案：§1.2.2函数的表示法

§1．2．2函数的表示法一．教学目标1．知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。

二．教学重点和难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三．学法及教学用具1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．四．教学思路（一）创设情景，揭示课题．我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．（二）研探新知1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种） 2．明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ② 象法：是否连线；④列④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：②本例能否用解析法？为什么？例3．画出函数||y x 的图象解：（略）例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：（略）注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ②象例3、例4中的函数，称为分段函数．③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（四）巩固深化，反馈矫正．（1）课本P 23 练习第1，2，3题（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g ，付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，每封xg （0＜x ≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）（五）归纳小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。

高中数学人教A版必修1学案1-2-2函数的表示法1

函数的表示法课前预习·预习案【学习目标】1．了解函数的三种表示法，会根据题目条件不同的表示法表示函数. 2．会求简单函数的解析式及画简单函数的图象.3．理解分段函数的意义，并能简单应用.4．了解映射的概念及表示法.5．理解映射与函数的区别与联系.【学习重点】1．函数的三种表示方法2．分段函数的概念【学习难点】1．根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？2．分段函数的表示及其图象【自主学习】1．函数的三种表示法2．映射3．分段函数在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，函数有着不同的.【预习评价】1．已知函数由下表给出，则1 2 3 42 3 4 1 2．已知反比例函数满足，的解析式为.3．下列对应是从集合A到集合B映射的是①；②；③；④.A. ①②B.①③C.③④D.②④4．已知则.5．已知在映射的作用下与对应，则在映射的作用下与对应.知识拓展·探究案【合作探究】1．函数的表示法——列表法与图象法在一次国际比赛中某三名铅球运动员决赛的成绩如表(单位：m).第1次第2次第3次第4次第5次运动员甲运动员乙运动员丙平均成绩请根据上表探究下面的问题：(1).上表反映了4个函数关系，这些函数的自变量是什么？定义域是什么？(2).上述函数能用解析式表示吗？(3).若想分析三名运动员的成绩变化情况，采用哪种方法恰当？(4).在同一坐标系内画出上述函数的图象并完成下面的填空：①从图形中分析甲运动员的成绩.②从图形中分析乙运动员的成绩.2．根据下面的提示，完成下面的问题：(1)一次函数的解析式可设为；反比例函数可设为；二次函数的一般式可设为.(2)设出解析式后，如何求解析式？3．若函数满足对任意有，此式子中的换为是否仍然成立？4．分段函数若某分段函数的解析式为，据其探究下列问题：(1)此分段函数由几部分组成，它表示几个函数？(2)根据有关的提示填空，明确分段函数具有的性质.①由分段函数的概念知，此函数的定义域为 .②若给定，则当时，；当时，.5．映射的判断(1)观察上面的四组对应，思考下面的问题：①四组对应中，集合A中元素在集合B中是否都有元素与之对应？②对应(1)与其余三组对应有何不同？③四组对应中哪些能构成从集合到集合的映射？(2)从这几组对应中，你能发现映射有什么特点？【教师点拨】1．求函数解析式的三个关注点(1)换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围.(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.(3)函数式中若含有自变量的对称形式，如：与或可通过构造对称方程求解.2．对解析法的说明利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，并不是所有的函数都可以用解析式表示，同时利用解析法表示函数要注明函数的定义域.3．对列表法与图像法的说明(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性.(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.4．映射的四个特征(1)确定性：集合、集合与对应关系是确定的一个整体.(2)非空性：集合、集合都必须是非空集合.(3)方向性：从集合到集合的映射与从集合到集合的映射是不同的映射.(4)多样性：映射的对应方式可以是多对一，也可以是一对一.5．处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.【交流展示】1．已知,则A. B. C. D.2．已知,求.3．作出函数的图象,并说明该函数的图象与的图象之间的关系.4．某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元,经试销调查发现,销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可近似看作一次函数,其图象如图所示,求此函数的解析式.5．设则的值为6．若函数则 .7．已知集合，集合，按照下列对应法则能构成集合到集合的映射的是A. B.C. D.8．下列各个对应中，构成映射的是A. B. C. D.【学习小结】1．判断一个对应是否为映射的两点主要依据(1)任意性：集合中每一个元素，在集合中是否都有元素与之对应.(2)唯一性：集合中任一元素在集合中是否都有唯一的元素与之对应.2．分段函数图象的特点及画法(1)特点：分段函数的图象可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几条线段.(2)画法：画分段函数的图象要分段画，当函数式中含有绝对值符号时，首先要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后再画图象.3．分段函数求函数值的步骤及注意点(1)步骤：①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.(2)注意点：当出现的形式时，应从内到外依次求值.4．列表法表示函数的使用范围及生活中的实例(1)适用范围：列表法主要适用于自变量个数较少，且为有限个，并且自变量的取值为孤立的实数，同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.(2)生活中的实例：生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.5．图象平移变换的一般原则(1)左右平移：的图象的图象.(2)上下平移：的图象的图象.6．作函数图象的三个步骤7．求函数解析式的常见类型及解法(1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：，顶点式：，两根式：的选择.(2)已知型：解答已知求型问题可采用配凑法，也可采用换元法.(3)函数方程问题，需建立关于的方程组，若函数方程中同时出现，则一般用代之；若同时出现，一般用代替，构造另一个方程.提醒：求函数解析式时要严格考虑函数的定义域.【当堂检测】1．设函数若，则实数2．在给定映射即的条件下，与中元素对应的中元素是A. B.或C. D.或3．函数的图象为A. B.C. D.4．判断下面的对应是否为集合到集合的映射(1).对应关系.(2)，对应关系 .5．已知，若到的映射满足，求满足的所有映射.答案课前预习·预习案【自主学习】1．数学表达式图象表格2．非空非空对应关系f任意一个唯一确定f:A→B3．对应关系【预习评价】1．C2．3．C4．25．(7，12)知识拓展·探究案【合作探究】1．(1)自变量为投掷的次数；定义域为{1，2，3，4，5}.(2)不能，因为自变量依次取值时，函数值的变化趋势不确定.(3)采用图象法较好，因为图象比较直观形象.(4)在同一坐标系内画出函数的图象如下，①高于平均成绩②低于平均成绩，但成绩每次都有提升2．(1)y＝kx＋b，k≠0，k≠0y＝ax2＋bx＋c，a≠0(2)①可将已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；②解方程或方程组，求出待定系数的值；③将所求待定系数的值代回到原式，即得函数的解析式.3．因为对任意的x≠0有，而，所以将上式中的x换为仍然成立. 4．(1)此分段函数由两部分组成，它表示一个函数.(2)①Ｄ1∪D2②f(x0)g(x0)5．(1)①对于四组对应，集合A中的任何一个元素，按照某种对应关系，在集合B中都有元素和它对应.②对应(1)中A中的元素在B中的对应元素不唯一，而对应(2)(3)(4)中A中的任何一个元素，通过对应关系，在B中都有唯一的元素和它对应.③根据映射的概念，(2)(3)(4)组的对应可以构成从集合A到集合B的映射.(2)(1)映射可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多.(2)集合B中可以有多余的元素，但集合A中不能有多余的元素.【交流展示】1．A2．设,则,t.所以f(x)＝x2－x＋1(x≠1).3．,作图过程：将的图象沿x轴向右平移1个单位,得到函数的图象,再将函数的图象向上平移2个单位,即可得到函数的图象,如图.4．由图象知,当x＝600时,y＝400；当x＝700时,y＝300,代入y＝kx＋b(k≠0)中,得解得所以y＝－x＋1000(500≤x≤800).5．B6．27．B8．D【当堂检测】1．B2．B3．C4．(1)集合A中元素6在对应关系f作用下为3，而3∉B，故对应关系f不是集合A到集合B 的映射.(2)在对应关系f作用下，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f是集合A到集合B的映射.5．将式子f(a)－f(b)＝f(c)改为f(a)＝f(b)＋f(c)，由0＋0＝0，－1＋0＝－1，0＋(－1)＝－1，1＋0＝1，0＋1＝1，－1＋1＝0，1＋(－1)＝0知，满足条件的映射有：。

人教A版高中数学必修一 1.2.2函数的表示方法教案

1.2.2函数的表示方法一、教学目标：知识与技能1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．3．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．过程与方法通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．情感、态度与价值观教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.二．重点难点重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．三、教学方法问题引导自主探究合作交流四、教学过程（1）情景导入语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．（2）探究新知；问题1.初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系。

人教A版高中数学必修一学案：1.2.2函数的表示法

1．2．2函数的表示法导学案函数的表示法（第一课时）【学习目标】1.明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.3. 了解映射的概念，并会初步应用；一、问题“导”，“研”：（阅读教材第19-22页，完成新知学习） 1．函数的表示法常用的有__________、__________、__________。

解析法：用表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值。

2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着，这样的函数通常叫做。

关键：“分段函数，分段处理”思考：分段函数是一个函数，还是几个函数？3．映射：一般地，设A 、B 是两个的，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个．记作“:f A B →” 关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .4．函数与映射的关系：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“ ”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.简言之：函数一定是映射，而映射不一定是函数. 二、“生展”，“师升”：例1．某种笔记本的单价是5元，买{}(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示()y f x =，并指出该函数的值域。

例2．（1）已知()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01001x x x x x f π，则()[]___________1=f f 。

高中数学人教A版必修1学案：1.2.2函数的表示法课堂导学案(含答案)

1.2.2 函数的表示法课堂导学三点剖析一、函数的三种表示方法【例1】作出下列函数的图象：（1）y=2-x,x ∈Z;（2）y=2x 2-3x-2(x>0);（3）y=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.0,,1,12x x x x思路分析：作函数图象主要有两种思路：①利用列表描点法，②转化为基础函数，利用基本函数图象作复杂函数图象. 解：（1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=2-x 上.如图1所示.图1（2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出y=2x 2-3x-2的图象，然后截出需要的图象，如图2所示.图2(3)这个图象是由两部分组成的，当x ≥1时，为双曲线y=x1的一部分，当x<1时，为抛物线y=x 2的一部分，如图3所示.图3温馨提示1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、线段、射线等，这要由定义域对应关系确定.2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合的有力工具.【例2】由函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式. 思路分析：由于f(x)是一次函数，因此可设f(x)=ax+b(a ≠0)，然后利用条件列方程(组)，再求系数.解：f(x)是一次函数，设f(x)=ax+b(a ≠0).由于3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,因此3［a(x+1)+b ］-2［a(x-1)+b ］=ax+5a+b=2x+17,则得⎩⎨⎧=+=,175,2b a a即⎩⎨⎧==.7,2b a 故函数解析式为f(x)=2x+7.温馨提示求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式，即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数. 二、根据已知关系,写出函数的解析式【例3】在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从B 点开始，沿折线BCDA 向A 点运动(如右图)，设P 点移动的距离为x ，△ABP 的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.思路分析：由于P 点在折线BCDA 上位置不同时，△ABP 各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此这里要对P 点位置进行分类讨论，由此y=f(x)很可能是分段函数. 解：如上图，当点P 在线段BC 上时，即0<x ≤4,y=21×4×x=2x; 当P 点在线段CD 上时，即4<x ≤8,y=21×4×4=8; 当P 点在线段DA 上时，即8<x<12,y=21×4×(12-x)=24-2x.∴y=f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<≤<,128,224,84,8,40,2x x x x x 且f(x)的定义域是(0,12). 温馨提示分段函数作为一类重要的函数，其对应关系不能用统一的对应法则来表示，处理分段函数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系. 【例4】 (1)已知f(x +1)=x+2x ,求f(x); (2)已知f(x)满足af(x)+f(x1)=ax(x ∈R 且x ≠0,a 为常数,且a ≠±1),求f(x).解：(1)解法一：令t=x +1,则x=(t-1)2,t ≥1代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-2t+1+2t-2=t 2-1.∴f(x)=x 2-1(x ≥1). 温馨提示此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“x +1”换作另一个字母“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，代入原式中便可求出关于“t ”的函数关系，此即为所求函数解析式.解法二：x+2x =(x )2+2x +1-1=(x +1)2-1,∴f(x +1)=(x +1)2-1(x +1≥1),即f(x)=x 2-1(x ≥1).温馨提示此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的表达式，即变为关于x +1的表达式. (2)∵af(x)+f(x 1)=ax,将原式中的x 与x 1互换得af(x 1)+f(x)=xa , 于是得关于f(x)的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.)()1(,)1()(x a x f xaf ax x f x af解得f(x)=xa ax a )1()1(22--(a ≠±1).温馨提示本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式，在已知条件下，x 满足已知的式子，那么x1在定义域内也满足这个式子，这样得到两个关于f(x)与f(x1)的方程，因而才能解出f(x). 三、映射的概念【例5】下面的对应哪些是从集合M 到集合N 的映射？哪些是函数？ (1)设M=R ，N=R ，对应关系f:y=x1,x ∈M; (2)设M={平面上的点}，N={(x,y)|x,y ∈R}，对应关系f:M 中的元素对应它在平面上的坐标； (3)设M={高一年级全体同学}，N={0,1}，对应关系f:M 中的男生对应1，女生对应0;(4)设M=R ，N=R ，对应关系f(x)=2x 2+1,x ∈M;(5)设M={1,4，9}，N={-1,1，-2,2，3，-3}，对应关系：M 中的元素开平方. 思路分析：判断一个对应是否构成映射，关键是看M 中的任一元素在N 中按照给定的对应关系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有M 、N 都是非空数集，且从M到N 构成映射时，才能确定构成从M 到N 的函数；不是映射的，更不可能构成函数. 解：(1)M 中的0在N 中没有元素与之对应，从M 到N 的对应构不成映射.(2)(3)都符合映射定义，能构成从M 到N 的映射，但由于M 不是非空数集，因此构不成函数.(4)从M 到N 的对应既能构成映射，又能构成函数.(5)M 中的元素在N 中有两个元素与之对应，所以构不成映射. 温馨提示1.映射概念中的两个集合A 、B ，它们可以是数集、点集或其他集合，而函数不同，A 、B 必须是非空数集.2.A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的，同学们判断时应注意“方向性”否则会导致错误. 各个击破类题演练1作出下列函数的图象. (1)y=x,|x|≤1;(2)y=1-x,x∈Z 且|x|≤2;(3)y=12--x x x ;解：(1)此函数图象是直线y=x 的一部分.(2)此函数的定义域为{-2，-1，0，1，2}，所以其图象是由五个点组成，这些点都在直线y=1-x 上.(这样的点叫做整点)（3）先求定义域，在定义域上化简函数式y=12--x xx =x,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).如下图所示.变式提升1设［x ］是不超过x 的最大整数，作下列函数的图象. (1)f(x)=［x ］;(2)h(x)=x-［x ］,x∈［-2,2］.解：(1)f(x)=［x ］=n(n≤x<n+1,n∈Z),即 f(x)=n(n≤x<n+1,n∈Z).∴f(x )=［x ］的图象是无数条线段，不包括线段的右端点.注意在x 轴上的线段的端点是（0，0）、（1，0）.见下图（A ）.(2)h(x)=x-［x ］ x∈［-2,2］化为h(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=<≤-<≤<≤-+-<≤-+.2,0,21,1,10,,01,1,12,2x x x x x x x x x h(x)的图象是四条线段和点（2，0），注意均不含线段上面的端点，见下图（B ）.图（A ）图（B ）类题演练2已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).解析：①设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,而f(x+1)-f(x)=［a(x+1)2+b(x+1)+c ］-(ax 2+bx+c)=2ax+a+b. 由已知f(x+1)-f(x)=2x 得2ax+a+b=2x.所以⎩⎨⎧=+=,0,22b a a 解得a=1,b=-1.故f(x)=x 2-x+1. 变式提升2求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，变为分段函数，再画出分段函数的图象，然后解之.解:⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--.0,2,10,25,1,2x x x x x x 作出函数图象如右上图,由图象可知x=0时,y max =2. 类题演练3国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.（1）试根据上述规定建立某人所得稿费x(元)与纳税额y(元)之间的函数关系式；（2）某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？答案：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>⨯≤<⨯-≤≤.400%,11,4000800%,14)800(,800,0x x x x x x （2）3 800 变式提升3某商场因拆迁将库存的原价100元/套的时装50套作减价处理，规定：不超过5件按八五折(即原价的85%)；6件到20件(包含20件)按六五折；20件以上打五折. （1）你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗？（2）你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗？答案：（1）y=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤.5021,50,206,65,51,85x x x （2）y=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤.5021,50,206,65,51,85x x x x x x 类题演练4 如果f(x 1)=21xx -,则f(x)=____________. 解法一:∵f(x 1)=21x x -=2221x x x x -=1)1(12-x x ,∴f(x)=12-x x . 解法二：设t=x 1,则x=t1,代入f(x 1)=21x x -, 得f(t)=2)1(11t t -=12-t t ,故f(x)=12-x x.变式提升4已知f(x x 1+)=221x x ++x 1,求f(x).解法一：∵f(x x 1+)=221xx ++x 1=(x x 1+)2-22x x +x 1=(x x 1+)2-x 1=(x x 1+)2-xx 1++1, ∴f(x)=x 2-x+1.解法二：设x x+1=u, 则x=11-u ,u≠1.则f(u)=f(x x 1+)=221xx ++x 1=1+21x +x 1=1+(u-1)2+(u-1). ∴f(x)=x 2-x+1(x≠1).温馨提示解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x ”而言，“f ”是怎样的对应规律. 类题演练5（1）下列对应是从A 到B 的函数的是（）①A={x|x ≥0,x ∈R},B=R,f:x →y 2=x ②A=N,B={-1,1},f:x →(-1)x③A={三角形}，B={圆}，f:三角形→三角形的外接圆 ④A=R,B=R,f:x →y=x 3A.②④B.②C.④D.①②④ 答案：A（2）f:A →B 是集合A 到集合B 的映射，A=B={(x,y)|x ∈R ，y ∈R},f:(x,y)→(kx,y+b)，若B 中的元素（6，2），在此映射下的原象是（3，1），则k=_____________,b=______________.解析：由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=.1,221,63b k b k答案：2 1变式提升5已知集合A={a|a<5,a ∈N}到集合B 的对应法则是“乘3加2”，集合B 到集合C 的对应法则是“求算术平方根”.（1）试写出集合A 到集合C 的对应法则f; （2）求集合C ；（3）集合A 到集合C 的对应是映射吗？解析：（1）设x ∈A,y ∈B,z ∈C,依题意y=3x+2,z=y ,∴z=23+x ,∴从集合A 到集合C 的对应法则是f:x →z=23+x . （2）∵A={a|a<5,a ∈N}={0,1,2,3,4}, ∴C={2,5,22,11,14}.(3)因为对于集合A 内任一元素x 在集合C 中都有唯一的一个元素z 与之对应，所以A 到C 的对应法则f 是A 到C 的映射.。

高中数学人教A版必修1第一章1.2.2函数的表示方法(第2课时)学案

(2)换元法：如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式，要注意所换元的定义域的变化。
三、固学案：不练不讲（技能应用与拓展）
1．下列对应是从集合S到T的映射的是()
A．S＝N，T＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n∈S
例题下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
B．S＝{0,1,4,9}，T＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方
C．S＝{0,1,2,5}，T＝{1，， }，对应法则是取倒数
D．S＝{x|x∈R}，T＝{y|y∈R}，对应法则是x→y＝
2已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式。
四、思学案：不思不复（课堂小结与复习）
⑵对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点与之对应；
讨论：这些对应有何特点？
映射概念：设A，B是___________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称为从集合A到集合B的一个映射
二、导学案：不议不讲（思维探究与创新）
类型一映射的概念
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的Βιβλιοθήκη 生．类型二解析式的常用求法

高中数学人教A版必修1《1.2.2函数的表示法》教学案5

必修一1.2.2 函数的表示法一、说教材函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．解析法优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．解析法缺点：不直观形象图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化的趋势，在生产和生活中有许多应用缺点：不精确列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．银行的利率表等．缺点：只能表示自变量个数较少的情况在研究函数时，函数有三种表示方法，但并不是每个函数都可以用三种方法表示，根据问题的特点，恰当的选取表示方法。

分段函数是一类重要的函数．所谓分段函数，就是在同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．这类似于，同一个国家的不同地区可以实行不同的社会制度．二、说目标1、知识目标：(1)理解函数的三种表示方法；(2)掌握简单的分段函数，并能简单应用．2、能力目标：(1) 进一步提高对函数本质的理解；(2) 初步培养学生运用函数知识解决实际问题的能力．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．三、说重难点1．函数三种表示方法的优缺点，恰当选取表示方法。

2．分段函数的理解突破方法：通过探究1、说明函数有三种表示方法，而例1 ，无法用列表法表示，引出问题，加上思考2，说明，函数有三种表示方法，但并不是每个函数都可以用三种方法表示，应根据问题的特点，恰当的选取表示方法。

如何选取呢，就要研究其优缺点，一气呵成，使学生易于接受分段函数，通过实例实践，加上画含绝对值号的函数的图象，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合．这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔．四、说教学基本流程五、教学过程设计一、自主学习我们在初中就已经知道函数的三种表示法：解析法，图象法，列表法．探索1：北方馒头的单价是0.5元，卖 x 个馒头得钱y 元，刚5岁的儿童暑期帮父母卖馒头，只要你说出购买个数，他就能准确说出钱数，其秘笈如右图，儿童的秘笈是用法表示的函数，试用其它两种表示方法表示该函数。

高一数学人教A版必修1教案1.2.2函数的表示法第2课时 Word版含解析

第课时分段函数导入新课思路.当>时();当≤时(),请写出函数()的解析式.这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.思路.化简函数的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题.推进新课新知探究提出问题①函数()与()()在解析式上有什么区别?②请举出几个分段函数的例子.活动：学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例.讨论结果：①函数()是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.②例如等.应用示例思路.画出函数的图象.活动：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有所以,函数的图象如图所示.图解法二：画函数的图象,将其位于轴下方的部分对称到轴上方,与函数的图象位于轴上方的部分合起来得函数的图象如图所示.变式训练.已知函数()求{［()］}的值;()画出函数的图象.分析:本题主要考查分段函数及其图象()是分段函数,要求{［()］},需要确定［()］的取值范围,为此又需确定()的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.解：()∵>,∴().∵<,∴［()］().∵<<,∴{［()］}()×,即{［()］}.()图象如图所示:图.课本练习..画函数()≤>的图象.步骤:①画整个二次函数的图象,再取其在区间(∞］上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数的图象,再取其在区间(∞)上的图象,其他部分删去不要;③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图所示.图函数()的图象位于轴上方的部分和()的图象相同,函数()的图象位于轴下方的部分对称到上方就是函数()的图象的一部分.利用函数()的图象和函数()的图象的这种关系,由函数()的图象画出函数()的图象..某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:()乘坐汽车千米以内(含千米),票价元;()千米以上,每增加千米,票价增加元(不足千米按千米计算),如果某条线路的总里程为千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有。

人教A版必修1 数学：1.2.2 函数的表示法学案1

函数的表示法【学习目标】1．掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法。

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数。

【学习重难点】1．学习重点：函数三种表示方法的优缺点，恰当选取表示方法。

2．学习难点：分段函数的理解【学习过程】(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系。

【达标检测】一、选择题1．一个面积为100 c M²的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x(x>0)B ．y ＝100x(x>0)C ．y ＝50x (x>0)D ．y ＝100x(x>0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示。

某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示。

(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水。

则正确论断的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．33．如果f(1x)＝x1－x，则当x≠0时，f(x)等于( )A．1xB．1x－1C．11－xD．1x－14．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于( ) A．2x＋1 B．2x－1C．2x－3 D．2x＋75．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝1－x2x2，则f(12)的值为( )A．1 B．15 C．4 D．306．在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。