导数--复合函数的导数练习题

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复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质

复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。

练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。

因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。

对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。

对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。

接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。

同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。

根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。

将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。

练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。

对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。

对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。

高中数学专题练习《简单复合函数的导数》含详细解析

5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=()A.3(2020-8x)2B.-24xC.-24(2020-8x)2D.24(2020-8x)22.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=()A.e x ln2x+e x2x B.e x ln2x-exxC.e x ln2x+exxD.2e x·1x3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.14.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=.5.函数f(x)=cos2xe x的导函数f'(x)=.6.求下列函数的导数.(1)y=x 2(2x+1)3;(2)y=e-x sin2x;(3)y=ln√2x+1-1;(4)y=cos(-2x)+32x+1.深度解析题组二复合函数求导的综合运用7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是()A.3x+y+1=0B.3x+y-1=0C.3x-y+1=0D.3x-y-1=08.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为()A.20mm/minB.400mm/minC.12mm/min D.14mm/min9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx的值为()A.10B.-10C.-20D.2010.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1B.2C.-1D.-211.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1x,则f(0)f'(0)=()A.2B.-2C.1D.e+112.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为.14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是()A.x>0时,f'(x)=1x ,x<0时,f'(x)=-1xB.x>0时,f'(x)=1x,x<0时,f'(x)无意义C.x≠0时,都有f'(x)=1xD.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15B.0C.15D.53.()已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=()A.nB.n-1C.n(n-1)2D.n(n+1)24.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x 为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=05.()定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为π27.()已知y=x1−√1−x,则y'=.8.()若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.9.()设函数f(x)=ae x ln x+be x-1x.(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.), 10.()已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f'(π4求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C y'=3(2 020-8x)2×(2 020-8x)'=3×(2 020-8x)2×(-8)=-24(2 020-8x)2.故选C.2.C f'(x)=(e x )'·ln 2x+e x ·(ln 2x)' =e xln 2x+e xx.故选C.3.B 由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=aax -1,由f'(2)=2,可得a2a -1=2,解得a=23.故选B.4.答案2√4x -34x -3解析 ∵f(x)=√4x -3=(4x-3)12, ∴f'(x)=12(4x-3)-12·(4x-3)'=2√4x -34x -3. 5.答案 -2sin2x+cos2xe x解析由f(x)=cos2x e x, 得f'(x)=-2sin2x+cos2xe x. 6.解析 (1)∵y=x 2(2x+1)3,∴y'=2x ·(2x+1)3-x 2·3(2x+1)2·2(2x+1)6=2x -2x 2(2x+1)4.(2)y'=-e -x sin 2x+2e -x cos 2x =e -x (2cos 2x-sin 2x).(3)∵y=ln √2x +1-1=12ln(2x+1)-1,∴y'=12×12x+1×(2x+1)'=12x+1.(4)y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3 =-2sin 2x+2·32x+1ln 3.易错警示分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可. 7.D ∵f'(x)=4e 4x -1,∴k=f'(0)=3.又f(0)=-1,∴切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D. 8.D 由f(t)=√10t , 得f'(t)=2√10t·(10t)'=√102√t, 所以f'(40)=√102√40=14. 9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=2x+8,∴f'(1)=10, ∴limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)Δx =-2limΔx →0f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f'(1)=-20.故选C. 10.B 设切点为P(x 0,y 0), 则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a), ∵y' x=x 0=1x 0+a=1,∴x 0+a=1,∴y 0=ln(x 0+a)=0,∴x 0=y 0-1=-1.∴a=1-x 0=2.故选B. 11.B 令ln x=t,则x=e t,代入f(ln x)=x+1x得y=e t +1e t=1+1et =1+e -t ,∴y'=-1e t ,∴f(0)f'(0)=1+1-1=-2.故选B.12.答案 2解析令y=f(x),则曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=e ax ,所以f'(x)=(e ax )'=(e ax )·(ax)'=ae ax ,所以f'(0)=ae 0=a,故a=2. 13.答案 y=2x-1解析设x>0,则-x<0,∴f(-x)=e x-2+x,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=e x-2+x,则f'(x)=e x-2+1,∴f'(2)=2,又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1. 14.解析因为f(x)=a(x-5)2+6ln x, 所以f '(x)=2a(x-5)+6x .令x=1,得f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6, 解得a=12.能力提升练1.C 根据题意得f(x)={lnx(x >0),ln(−x)(x <0).分两种情况讨论:(1)x>0时,f(x)=ln x ⇒f'(x)=(ln x)'=1x ;(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x) =[ln(-x)]'=1-x·(-1)=1x.故选C.2.B 由题设可知f(x+5)=f(x), ∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.3.D f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1,.故选D.则f'(0)=1+2+3+4+…+n=n(n+1)24.A因为函数f(x)=e x+a·e-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以e-x+a·e x=-e x-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(e x+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,因此f(x)=e x-e-x,故f'(x)=e x+e-x.由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=e x-e-x=0,解得x=0.所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.5.C由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.,由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=1x+2,设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-1x+2当x=-1时,F(-1)=-1<0,当x=0时,F(0)=ln2-1=ln√4-ln√e>0,故-1<b<0.2由φ(x)=cos x(x ∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x, 令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0, 则√2sin (x +π4)=0,又x ∈(0,π),所以x+π4=π,得x=3π4,即c=3π4.综上可知,b<a<c.故选C.6.AD 根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,T 4=2π3-π6=π2,∴T=2π,ω=2πT=1.根据五点法画图知,当x=π6时,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,k ∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin (x +π3),∴f'(x)=2cos (x +π3),∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin (x +π3)+2cos (x +π3)=2√2sin (x +π3+π4) =2√2sin (x +7π12), 令x+7π12=π2+kπ,k ∈Z,解得x=-π12+kπ,k ∈Z,∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ,k ∈Z,A 正确;当x+7π12=π2+2kπ,k ∈Z 时,函数g(x)取得最大值2√2,B 错误;g'(x)=2√2cos (x +7π12),∵g'(x)≤2√2<3,∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;方程g(x)=2,即2√2sin(x+7π12)=2,∴sin(x+7π12)=√22,∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为π2,D正确.故选AD.7.答案-2√1−x解析y=1−√1−x=√1−x)(1-√1−x)·(1+√1−x)=x(1+√1−x)1−(1−x)=1+√1−x.设y=1+√u,u=1-x,则y'x=y'u·u'x=(1+√u)'·(1-x)'=2√u ·(-1)=-2√1−x.8.答案1-ln2解析设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),则f'(x)=1x ,g'(x)=1x+1.设f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2),则k=1x1=1x2+1,则x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k=y1-y2x1-x2=2,故x1=1k =12,y1=ln12+2=2-ln2.故b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2.9.解析(1)由f(x)=ae x ln x+be x-1x,得f'(x)=(ae x ln x)'+(be x-1x)'=ae x ln x+ae xx +bex-1x-be x-1x2.(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程,得y=2,将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,所以b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,所以a=1.10.解析由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,则a=f'(π4)=3-2sinπ2+2cosπ2=1.由y=x3得y'=3x2.当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),此时切线的斜率k'=3x02,∴切线方程为y-x03=3x02(x-x0).∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,得1-x 03=3x 02(1-x 0),∴2x 03-3x 02+1=0,∴2x 03-2x 02-x 02+1=0,∴(x 0-1)2(2x 0+1)=0,解得x 0=-12(x 0=1舍去), ∴切点坐标为(-12,-18), 又切线的斜率为3×(-12)2=34,∴切线方程为y+18=34(x +12), 即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.。

1.2.3导数的计算1-复合函数的导数

2.导数运算法则
1 . f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
2.

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
特殊地： c f ( x) c f ( x)
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 3. ( g ( x ) 0) 2 g ( x) g ( x)
(2) y e
u
0.05 x 1
解 (2) 函数y e 0.05 x 1可以看作函数y e 和u 0.05 x 1的复合函数。根据复合函数求导法则有
y x ' yu ' u x ' ( e ) ' ( 0.05 x 1) '
u
e 0.05 0.05e
y ln u, u x 2 ② y ln( x 2)
2
2
y sin u, u 3v 1, v e
x
③ y=sin(3e 1)
x
象①②③这样的函数就是复合函数.
2.复合函数的定义
对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个

1 2
1 x2 解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.
y ( x ) 1 x 2 x ( 1 x 2 ) ( 1 x 2 )2 1 2x 2 1 x x 2 2 1 x 1 x2 (1 x 2 ) x 2 1 . 3 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2

函数求导练习题(含解析)

一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。

求导的练习题

求导的练习题数学中的求导，是指通过对函数进行变换，求出其导数的过程。

求导是微积分的基础概念，具有广泛的应用。

下面将为您提供一些求导的练习题，帮助您加深对求导的理解和掌握。

1. 求下列函数的导数：1) f(x) = x^2 + 3x - 2解：将 f(x) = x^2 + 3x - 2 写成幂函数形式，得 f(x) = x^2 + 3x^1 - 2x^0对于幂函数 f(x) = ax^n，其中 a 是常数，n 是整数：f'(x) = n * a * x^(n-1)由此可得：f'(x) = 2 * 1 * x^(2-1) + 3 * 1 * x^(1-1) - 2 * 0 * x^(0-1)= 2x + 3所以函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 的导数为 f'(x) = 2x + 3。

2) g(x) = 5sin(x)解：根据三角函数的导数公式，sin(x) 的导数为 cos(x)。

所以 g'(x) = 5 * cos(x)3) h(x) = (1/2)x^(-1/2)解：将 h(x) 写成分数幂函数形式，得 h(x) = 1/2 * x^(-1/2)对于分数幂函数 f(x) = a * x^(m/n)，其中 a 是常数，m 和 n 是整数：f'(x) = (m/n) * a * x^((m/n)-1)由此可得：h'(x) = -1/2 * (1/2) * x^((-1/2)-1)= -1/4 * x^(-3/2)所以函数 h(x) = (1/2)x^(-1/2) 的导数为 h'(x) = -1/4 * x^(-3/2)。

2. 求下列复合函数的导数：1) f(x) = sin(2x)解：根据复合函数求导法则，如果 y = f(g(x))，则 y' = f'(g(x)) * g'(x)。

注意到 f(x) = sin(x) 的导数为 f'(x) = cos(x)，而 g(x) = 2x，则 g'(x) = 2。

高中数学《简单复合函数的导数》知识点讲解及重点练习

5.2.3简单复合函数的导数学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√)2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×)3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√)一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1(1－3x)4；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2，则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)()12=12,y x --设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝()1212u 'x '⎛⎫- ⎪⎝⎭-()32212u -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭＝－()32=12x .--(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′ ＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2. (3) 设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝(sin u )′⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x ，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4 ＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝x ln(1＋x )．解 (1)方法一 ∵y ＝1－cos 23x2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－cos 23x 2′＝13sin 23x . 方法二 y ′＝2sin x 3cos x 3·13＝23sin x 3cos x3 ＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′ ＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′ ＝ln(1＋x )＋x 1＋x.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴0=|x x y'＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.(2)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．解由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． (2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝k ＋ln xe x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为．答案 1解析由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝ .该切线与坐标轴围成的面积为．答案 2 14解析令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2. 因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.由题意可知，切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0得y ＝1；令y ＝0得x ＝－12.∴S ＝12×12×1＝14.1．(多选)函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D. t ＝x 2－1, y ＝t n答案 AD2．函数y ＝(2 020－8x )3的导数y ′等于( ) A ．3(2 020－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 020－8x )2 D ．24(2 020－8x )2 答案 C解析 y ′＝3(2 020－8x )2×(2 020－8x )′＝3(2 020－8x )2×(－8)＝－24(2 020－8x )2. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x 答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝ . 答案 32解析 ∵f ′(x )＝33x －1，∴f ′(1)＝33－1＝32.5．曲线 y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为．答案 x ＋y －1＝0解析 ∵y ′＝－12－x ＝1x －2，∴y ′| x ＝1＝11－2＝－1，即切线的斜率是k ＝－1，又切点坐标为(1,0)．∴y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.1．知识清单： (1)复合函数的概念． (2)复合函数的求导法则． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 BCD解析 A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数，其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成． 2．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5答案 B解析 ∵y ＝x ln(2x ＋5)， ∴y ′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.3．函数y ＝x 3e cos x 的导数为( ) A ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x B ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x C ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e sin x D ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x sin x 答案 B解析 y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x . 4．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案 C解析 ∵y ＝x e x －1，∴y ′＝e x －1＋x e x －1， ∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，故选C.5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 B解析设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是．答案 y ′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x 解析 ∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝ . 答案 33解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ，令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32 f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32，解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.8．点P 是f (x )＝(x ＋1)2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是，此时点P 的坐标为．答案728⎝⎛⎭⎫－12，14 解析与直线y ＝x －1平行的f (x )＝(x ＋1)2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最短．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2(x 0＋1)＝1，∴x 0＝－12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫－12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪－12－14－1(－1)2＋12＝728.9．求下列函数的导数： (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解 (1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln 10.(3)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2 x ·cos 2 x ＝1－12sin 2 2x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . ∴y ′＝－sin 4x .10．曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解 ∵y ＝e sin x ， ∴y ′＝e sin x cos x ， ∴y ′|x ＝0＝1.∴曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线方程为 y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 又直线l 与x －y ＋1＝0平行，故直线l 可设为x －y ＋m ＝0.由|m －1|1＋(－1)2＝2得m ＝－1或3.∴直线l 的方程为x －y －1＝0或x －y ＋3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( ) A.13 B.12 C.23D ．1 答案 A解析依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2. 所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13. 12．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )A.π4B.π2C.3π4D. 7π8答案 CD解析因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2.因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.13．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝ .答案 π6解析 ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0，∴tan φ＝33，又0<φ<π，∴φ＝π6. 14．已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是．答案 y ＝－2x －1解析设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，所以f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，所以切线方程为y ＝－2x －1.15．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB ．－11＋x C.1(1＋x )2D ．－1(1＋x )2答案 D解析由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1，从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 16．(1)已知f (x )＝e πx sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12；(2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使过该点的切线平行于x 轴，并求切线方程．解 (1)∵f (x )＝e πx sin πx ，∴f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx＝πe πx (sin πx ＋cos πx )．∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2e sin +cos 22πππ⎛⎫π ⎪⎝⎭ 2e .π=π(2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知0=|0.x x y'=又y ′＝－2x (1＋x 2)2， ∴0=|x x y'＝－2x 0(1＋x 20)2＝0. 解得x 0＝0，此时y 0＝1.即该点的坐标为P (0,1)，切线方程为y －1＝0.。

高中数学第一章导数及其应用1.2.2复合函数的导数及导数公式的应用习题课件新人教a选修2_2

∵y′＝2x－2 1，∴y′|x＝x0＝2x02－1＝2，解之得x0＝1， ∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为
d＝|2－40＋＋13|＝ 5，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.
答案：A
二、填空题：每小题5分，共15分． 7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
课时2 复合函数的导数及导数公式的应用
作业 ①理解复合函数的概念．②掌握复合函数求导的
目标方法与步骤，会求一些简单的复合函数的导数．
作业设计
限时：40分钟满分：90分
一、选择题：每小题5分，共30分．
1．函数y＝2sin3x的导数是( )
A．2cos3x
)
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
D．ex＋e－x
解析：y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．
答案：A
6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离
是( )
A. 5
B．2 5
C．3 5
D．0
解析：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－ y＋3＝0平行．
B．－2cos3x
C．6sin3x
D．6cos3x
解析：y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.
答案：D
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( ) A．ln(2x＋5)－2x＋x 5 B．ln(2x＋5)＋2x2＋x 5 C．2xln(2x＋5)

复合函数求导练习题

复合函数求导练习题1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。

?x?xf?f取极限求导数f’?lim?x?0?x求平均变化率2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。

函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。

．常用的导数公式及求导法则：公式①C?0，③’??sinx‘②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex⑤’?axlna ⑦?‘11’⑧? xlnax11’’cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]，[fg]’?f’g?g’ff’f’g?g’f [ ]?2gg例：32y?xx?4y???sinxxy?3cosx?4sinx y??2x?3?y?ln?x?2?2复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则f??u?y?x=yuxy?x=f若y= f ，u=?，v=?? y= f [?)]，则?? y?x=f复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

例1函数y?1的导数.4解：y?1?4． ?4，u?1?3x，则设y?u?4y’x?y’u?u’x?’u?’x??4u?5??12u?5?12?5?12．例2求y?x的导数． 1?x15解：y???x??， ?1?x??451?x?y’5?1?x??x?1?x1?x51?x????4‘?45?1?x?x21?x5?1?x??45?11?5??x5．56例求下列函数的导数y??2x解：y?3?2x令u=-2x，则有y=u，u=-2x??u??yux由复合函数求导法则y?x 有y′=??u?x=12?2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：yˊ=123?2x1?2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：yˊ=12?2x1?2x例4求下列函数的导数 y=?2xcos x y=ln解：y=由于y=而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积，又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是yˊ=ˊcos x -?2xsin xcosx-?2xsin x=?cosx?2x2?2x-?2xsin xy=ln )是u= x+?x2与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1x??x2? [1+ˊ]=1x??x2??1?????? ?2?x2?2x=1x??x2?x??x2?x2=1?x2例设y?ln 求 y?. 解利用复合函数求导法求导，得y??[ln]??1x?x?12??1x?x2?1[1??]?1x?x?12[1?12x?12?]?1x?x?12[1?xx?12]?1x?12.1．求下函数的导数. y?cos y= y=5y=y=y=2xy?3?112y= y=siny=cos363x?1c3； ?y?sinx2；?y?o1．求下列函数的导数y =sinx3+sin33x； y??4?x)； ?y?lnsin．sin2xlogax?1技能演练基础强化1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是 A．y＝un，u ＝cosxn B．y＝t，t＝cosnx C．y＝tn，t＝cosx D．y＝cost，t＝xn 答案 C2．y＝ex2－1的导数是 A．y′＝e22x2－1B．y′＝2xeD．y′＝ex2－1x2－1C．y′＝e解析y′＝e答案 B3．下列函数在x＝0处没有切线的是 A．y＝3x2＋cosx1C．y＝＋2xxx2－1xx2－1′＝e2·2x.B．y＝xsinx 1D．y＝cosx11解析因为y＝2x在x＝0处没定义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．xx答案 C4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是 A．2x－y＋3＝0C．2x－y＋1＝0解析设切点为，则斜率k＝2x0＝2，∴x0＝1，∴切点为．故切线方程为y－1＝2，即2x－y－1＝0. 答案 D5．y＝loga的导数是x?2x－1?lna1?2x－1?lna4xB.2x－12x2－1lnaB．2x－y－3＝0 D．2x－y－1＝0 14x解析y′＝x2－1)′＝?2x－1?lna?2x－1?lna答案 A 6．已知函数f＝ax－1，且f′＝2，则a的值为 A．a ＝1C．a＝11解析f′＝·′22＝＝12ax2ax－1axax－1B．a＝D．a>0由f′＝2，得a＝2，∴a＝2. a－1答案 B7．曲线y＝sin2x在点M处的切线方程是________．解析y′＝′＝cos2x·′＝2cos2x，∴k＝y′|x＝π＝2.又过点，所以切线方程为y＝2．答案 y＝2f′?x?8．f＝e2x－2x，则＝________.e－1解析f′＝′－′＝2e2x－2＝2．f′?x?2?e2x－1?∴2． e－1e－1答案能力提升9．已知函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．解∵函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P， ?2×23＋2a＝0，?∴?得a＝－8,4b＋c＝0，?b×2＋c＝0，?∴f＝2x3－8x，f′＝6x2－8. 又当x＝2时，f′＝16，g′＝4b，∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16. ∴a＝－8，b ＝4，c＝－16.110．已知函数f＝lnx，g＝2＋a，直线l与函数f、g 的图像都相切，2且l与函数f图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．1解∵f＝lnx，∴f′＝，∴f′＝1，x即直线l的斜率为1，切点为．∴直线l的方程为y＝x－1.y＝x－1，??1又l与g的图像也相切，等价于方程组?1x2－x＋1＋a ??y＝22＋a2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝1－4×12＝0，∴a12品味高考11．曲线y＝e－2x＋1在点处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为′e－2x＝－2e－2x，∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2，即y＝－2x＋2.如图，由y＝－2x＋2，?得交点坐标为，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为，∴所求面积为S ＝12×1×2133.答案 A12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点处的切线方程是x－y ＋1＝0，则)A．a＝1，b＝1C．a＝1，b＝－1解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a. ∵在点处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′＝a＝1.B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1又0－b＋1＝0，∴b＝1. 答案 A函数求导1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f；?yf?f?。

(完整版)导数的四则运算及复合函数求导运算练习题

一、选择题(共7小题,每小题5.0分,共35分) 1.函数y ＝3sin(2x －π6)的导数为( )A ．y ′＝6cos(2x －π6)B ．y ′＝3cos(2x －π6)C ．y ′＝－3cos(2x －π6)D ．y ′＝－6cos(2x －π6)2.函数f (x )＝e 2x x 的导函数是( )A ．f ′(x )＝2e 2xB ．f ′(x )＝2e 2x x C ．f ′(x )＝(2x−1)e 2xx 2D ．f ′(x )＝(x−1)e 2xx 23.下列求导运算正确的是( )A ． (x ＋1x )′＝1＋1x 2B ． (log 2x )′＝1xln2C ． [(2x ＋3)2]′＝2(2x ＋3)D ． (e 2x )′＝e 2x4.已知函数f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( )A ． 4x ＋3B ． 4x －1C ． 4x －5D ． 4x －35.函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( )A ． 2x sin(1＋x 2)B ．－sin(1＋x 2)C ．－2x sin(1＋x 2)D ． 2cos(1＋x 2)6.已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A ． (0,1]B ． (1，＋∞)C． (0,1)D． [1，＋∞)7.已知曲线f(x)＝x ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A． 1B． ln 2C． 2D． e二、填空题(共9小题,每小题5.0分,共45分)8.已知函数f(x)＝2sin 3x＋9x，则lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x________.9.函数f(x)＝x sin(2x＋5)的导数为________．10.函数y＝cos(2x2＋x)的导数是________________．11.函数y＝ln√1+x21−x2的导数为________．12.y＝x e cos x的导函数为________．13.f′(x)是f(x)＝cos x·e sin x的导函数，则f′(x)＝________.14.已知函数f(x)＝e2x·cos x，则f(x)的导数f′(x)＝________.15.已知函数f(x)＝(x＋2)e x，则f′(0)＝________.16.已知f(x)＝ln(ax2－1)，且f′(1)＝4，则a＝________.三、解答题(共0小题,每小题12.0分,共0分)答案解析1.【答案】A【解析】令y＝3sin t，t＝2x－π6，则y′＝(3sin t)′·(2x－π6)′＝3cos(2x－π6)·2＝6cos(2x－π6)．2.【答案】C【解析】对于函数f(x)＝e2xx，对其求导可得f′(x)＝(e2x)′×x−e2x×x′x2＝2x?e2x−e2xx2＝(2x−1)e2xx2.3.【答案】B【解析】因为(x＋1x )′＝x′＋(1x)′＝1－1x2，所以选项A不正确；(log2x)′＝1xln2，所以选项B正确；[(2x＋3)2]′＝2(2x＋3)·(2x＋3)′＝4(2x＋3)，所以选项C不正确；(e2x)′＝e2x·(2x)′＝2e2x，所以选项D不正确．4.【答案】A【解析】令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝2(t＋1)2－(t＋1)＝2t2＋3t＋1，所以f(x)＝2x2＋3x＋1，所以f′(x)＝4x＋3.5.【答案】C【解析】y′＝－sin(1＋x2)·(1＋x2)′＝－2x sin(1＋x2)．6.【答案】D【解析】对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，f′(x)＝ax＋x≥2在(0，＋∞)上恒成立，则a≥(2x－x2)max＝1.7.【答案】D【解析】∵f′(x)＝ln x＋1，由曲线在某点的切线斜率为2，令y′＝ln x＋1＝2，解得x ＝e.8.【答案】6cos 3＋9【解析】f ′(x )＝(2sin 3x ＋9x )′＝6cos 3x ＋9.lim △x→0f (1+△x )−f(1)△x＝f ′(1)＝6cos 3＋9. 9.【答案】sin(2x ＋5)＋2x cos(2x ＋5)【解析】f ′(x )＝x ′sin(2x ＋5)＋x (sin(2x ＋5))′ ＝sin(2x ＋5)＋2x cos(2x ＋5)．10.【答案】－(4x ＋1)sin(2x 2＋x )【解析】y ′＝－(4x ＋1)sin(2x 2＋x )．11.【答案】2x 1−x【解析】y ′＝√1−x 2(√1+x21−x2)′ ＝√1+x 21−x 2·2√1+x 21−x 2(1+x 21−x 2)′＝√1+x 21−x 2·2√1+x 21−x 2·4x(1−x 2)2＝1−x 22(1+x 2)·4x (1−x 2)2＝2x1−x 4.12.【答案】－x sin x ·e cos x ＋e cos x【解析】y ′＝(x e cos x )′＝x ′e cos x ＋x (e cos x )′ ＝e cos x ＋x (－sin x e cos x )＝－x sin x ·e cos x ＋e cos x . 13.【答案】(cos 2x －sin x )e sin x【解析】∵f (x )＝cos x ·e sin x ，∵f ′(x )＝(cos x )′e sin x ＋cos x (e sin x )′＝－sin x e sin x ＋cos x e sin x cos x ＝(cos 2x －sin x )e sin x . 14.【答案】e 2x (2cos x －sin x )【解析】由积的求导可得，f ′(x )＝(e 2x ·cos x )′ ＝e 2x ·2·cos x ＋e 2x (cos x )′＝2e 2x cos x －e 2x sin x＝e 2x (2cos x －sin x )．15.【答案】3【解析】∵f ′(x )＝[(x ＋2)·e x ]′＝e x ＋(x ＋2)e x ， ∵f ′(0)＝1＋2＝3.16.【答案】2【解析】∵f ′(x )＝1ax 2−1(ax 2－1)′＝2ax ax 2−1， ∵f ′(1)＝2a a−1＝4， ∵a ＝2.。

导数的四则运算法则简单复合函数的导数

导数的四则运算法则简单复合函数的导数一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．函数y＝1＋ln2x 的导数是()A．ln xx1＋ln2xB．121＋ln2xC．－ln xx1＋ln2x D．ln x2x1＋ln2x【解析】选A.令u＝1＋v2，v＝ln x，则y＝u12，所以y′x＝y′u·u′v·v′x＝12u12－·2v·1x＝1 211＋ln2x·2ln x·1x＝ln xx1＋ln2x.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2e x f′(1)＋3ln x，则f′(1)＝()A．－3B．2e C．21－2e D．31－2e【解析】选D.因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2e x f′(1)＋3x，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝31－2e.3．函数y＝x ln (2x＋5)的导数为()A．ln (2x＋5)－x2x＋5B．ln (2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln (2x＋5) D．x 2x＋5【解析】选B.y′＝[x ln (2x＋5)]′＝x′ln (2x＋5)＋x[ln (2x ＋5)]′＝ln (2x ＋5)＋x·12x ＋5 ·(2x ＋5)′＝ln (2x ＋5)＋2x2x ＋5.4．已知函数f(x)＝14 x 2＋cos x ，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数，所以其导函数f′(x)＝12 x －sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B ，D 两项，又因为在原点右侧靠近原点的区间上，sin x ＞12 x ，所以f′(x)＜0，所以原点右侧靠近原点的图象应该落在第四象限，故选A.【补偿训练】若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是( )【解析】选A.由函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，得b ＜0.又f′(x)＝2x ＋b 在R 上是增函数且在y 轴上的截距小于0，所以选A. 5．若f(x)＝x 2－2x －4ln x ，则f′(x)>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0)【解析】选C.因为f′(x)＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x>0，所以f′(x)>0，即x －2>0，解得x>2.【补偿训练】函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．cos 2x －sin 2xC ．sin 2x ＋cos 2xD ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 【解析】选A.因为y′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝cos 2x·(2x)′＋ sin 2x·(2x)′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝2 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x＝2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 . 6．(多选题)下列各函数的导数正确的是( ) A ．(x )′＝12 x －12B ．(a x )′＝a x ln xC ．(sin 2x)′＝cos 2xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋1 ′＝1（x ＋1）2【解析】选AD.(x )′＝(x 12 )′＝12 x －12，A 正确； (a x )′＝a x ln a ，B 错误；(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x ，C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋1 ′＝x′·（x ＋1）－x·（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－x（x ＋1）2 ＝1（x ＋1）2，D 正确．二、填空题(每小题5分，共10分)7．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝⎝⎛⎭⎫ax ＋1 e x 在点⎝⎛⎭⎫0，1 处的切线的斜率为－2，则a＝________．【解析】由y ＝(ax ＋1)e x ，所以y′＝ae x ＋(ax ＋1)e x ＝(ax ＋1＋a)e x ，故曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线的斜率为k ＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－38．已知f(x)＝13 x 3＋3xf′(0)，则f′()0 ＝________，f′(1)＝________．【解析】由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x 2＋3f′(0)，令x ＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 答案：0 1三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的导数． (1)f(x)＝2x ＋ln x ；(2)f(x)＝ax sin x －32 (a ∈R )； (3)f(x)＝(e x －1)(2x －1)k .【解析】(1)f′(x)＝－2x 2 ＋1x ＝x －2x 2 . (2)f′(x)＝a sin x ＋ax cos x.(3)f′(x)＝(e x －1)′(2x －1)k ＋(e x －1)⎣⎡⎦⎤（2x －1）k ′＝e x (2x －1)k ＋(e x －1)·2k(2x －1)k －1＝(2x －1)k －1⎣⎡⎦⎤e x （2x －1＋2k ）－2k .10．已知f′(x)是一次函数，x 2f′(x)－(2x －1)·f(x)＝1.求f(x)的解析式．【解析】由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b. 把f(x)，f′(x)代入方程x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1 得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 恒成立，则需要a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】选D.y′＝－4e x （e x ＋1）2 ＝－4e x e 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y′＝－4t t 2＋2t ＋1 ＝－4t ＋1t ＋2 ，因为t ＋1t ≥2(t ＝1时取等号)，所以y′∈[－1，0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π . 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x ，则f′(e)＝( ) A ．e B ．－1 C ．－e －1 D ．－e 【解析】选C.因为f′(x)＝2f′(e)＋1x ，所以f′(e)＝2f′(e)＋1e ，所以f′(e)＝－1e ＝－e －1.3．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M 02－t30 ，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克【解析】选D.M′(t)＝－130 ln 2×M 02t30－，由M′(30)＝－130 ln 2×M 023030－＝－10ln 2，解得M 0＝600，所以M(t)＝600×2t30－，所以t ＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×23030－＝600×14 ＝150(太贝克).4．已知函数f(x)＝12 x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4，5]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，133D ．(－∞，4)【解析】选B.f′(x)＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，当1≤x 0≤3时，f′(x 0)∈[4，5]，又k ＝f′(x 0)＝m ，所以m ∈[4，5]. 二、填空题(每小题5分，共20分)5．设f(x)＝x(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)，则f′(0)＝________．【解析】令g(x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)，则f(x)＝xg(x)，求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0) ＝1×2×3×…×n. 答案：1×2×3×…×n6．已知f(x)＝x 2＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 x ，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝________.【解析】因为f(x)＝x 2＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 x ，所以f′(x)＝2x ＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ，即f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝23 . 答案：237．曲线y ＝xe x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．【解析】y′＝e x ＋xe x ＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1. 答案：y ＝3x ＋18．若曲线f(x)＝x·sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．【解析】因为f′(x)＝sin x ＋x cos x ，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝sin π2 ＋π2 cos π2 ＝1. 又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2 ，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2 ＝－1，解得a ＝2. 答案：2三、解答题(每小题10分，共30分)9．若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154 x －9都相切，求实数a的值．【解析】因为y ＝x 3，所以y′＝3x 2，设过(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30 )，则在(x 0，x 30 )处的切线方程为y －x 30 ＝3x 20 (x －x 0).将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32 . ①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，则ax 2＋154 x －9＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫154 2 －4a×(－9)＝0得a ＝－2564 . ②当x 0＝32 时，切线方程为y ＝274 x －274 ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋154x －9，y ＝274x －274，得ax 2－3x －94 ＝0，Δ＝(－3)2－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94 ＝0，得a ＝－1.综上，a ＝－2564 或a ＝－1. 10．已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1)求曲线C 在点A(3， 2 )处的切线方程．(2)过原点O 作直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解析】(1)y ＞0时，y ＝2x －4 ，所以y′＝12x－4，所以x＝3时，y′＝22，所以曲线C在点A(3， 2 )处的切线方程为y－ 2 ＝22(x－3)，即x－ 2 y －1＝0.(2)设l：y＝kx，M(x，y)，则将y＝kx代入y2＝2x－4，可得k2x2－2x＋4＝0，所以Δ＝4－16k2＞0，所以1k2>4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2，所以y1＋y2＝2k，所以x＝1k2，y＝1 k，所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2＝x(x＞4).11．(1)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，求函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程．(2)已知函数f(x)＝x ln x＋mx2.若f()1＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．【解析】(1)因为函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f()2＝3，f′()2＝2，因为g(x)＝x2＋f(x)，所以g′()x＝2x＋f′(x)，所以g′()2＝4＋f′()2＝6，g()2＝4＋3＝7，所以切线方程为y－7＝6⎝⎛⎭⎫x－2，即6x－y－5＝0.(2)因为f()1＝m＝1，所以m＝1，所以f(x)＝x ln x＋x2，圆学子梦想铸金字品牌所以f′(x)＝ln x＋2x＋1.所以f(1)＝1，切点为(1，1).f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.- 11 -。

导数的运算法则及复合函数的导数公式

(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的则运算法则求导数．
函数y=ln(3x+2)的导数呢？基本初等函数的导数公式
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 求y=2x2+3x+1的导数 P18页练习第2题（5）、（6）题
(3) f(x)= ax + xa + logax 求y= 的导数基本初等函数的导数公式
(1) y = x3·ex
ln x (3) y = x
(2) y = x2·2x
ex x (4) y = 2
思考：如何求y=tanx导数呢？
(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的则运算法则求导数．
(3) y=sin( x+ ) (其中、均为常数）
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值，如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？
基本初等函数的导数公式
公式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
(2) y= 3cosx - 4sinx (3) f(x)= ax + xa + logax (4) y= ex + ln x
思考: 如何求下列函数的导数?
(1 )y(x1 )x (2)
(2)yx x
ex
(3) y x2
导数的运算法则:(积、商的导数)

导数复合函数的导数练习题

导数复合函数的导数练习题
复合函数的导数是微积分中的基本概念之一，它在求解实际问题中具有广泛的应用。

本文将提供一些关于复合函数导数的练习题，帮助读者深入理解和掌握这一概念。

1.已知函数f(f)=f^2，求函数f(f)=f(f^3)的导数。

解：首先。

然后。

所以。

2. 已知函数f(f)=sin(f)，求函数f(f)=f(2f+1)的导数。

解：首先，计算函数f(2f+1)的导数：f'(2f+1)=cos(2f+1).
然后。

所以，函数f(f)的导数是2cos(2f+1).
3.已知函数f(f)=f^3+2f，求函数f(f)=f(f^2+1)的导数。

解：首先，计算函数f(f^2+1)的导数：
f'(f^2+1)=(f^2+1)'⋅(3f^2+2f)'=2f⋅(3f^2+2f).
然后，使用链式法则计算函数f(f)的导数：
f'(f)=f'(f^2+1)⋅(f^2+1)'=2f⋅(3f^2+2f)⋅2f=4f^2(3f^2+2 f).
所以，函数f(f)的导数是4f^2(3f^2+2f).
4.已知函数f(f)=ffff(f)，求函数f(f)=f(3−f)的导数。

解：首先。

然后。

所以。

以上是几个关于复合函数导数的练习题，希望能够帮助读者理解和掌握复合函数导数的计算方法。

当然，在实践中不同的问题可能会结合其他微积分概念和定理来求解，但掌握了基本的思路和方法，读者将能够更好地解决复合函数导数相关问题。

导数的基本公式14个例题

导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。

1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。

- 例如：y = 5，求y^′。

- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。

2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。

- 例如：y=x^3，求y^′。

- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。

- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。

- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。

3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。

- 例如：y=sin x，求y^′。

- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。

4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。

- 例如：y = cos x，求y^′。

- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。

5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。

- 例如：y = 2^x，求y^′。

- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。

6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。

- 例如：y=log_2x，求y^′。

- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。

- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。

- 例如：y=ln x，求y^′。

- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。

7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。

- 例如：y = tan x，求y^′。

- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。

复合函数求导练习题

{复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）1．设，则f′（2）=（）A．B．C．D．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．3．下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2'C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=4．设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣15．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1 C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1~7．下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣39．函数的导数是（）A． B．C．D．;10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．下列求导运算正确的是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x13．若，则函数f（x）可以是（）~A．B．C．D．lnx14．设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）15．设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣216．函数的导数为（）A．B．；C．D．17．函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）18．函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（）'A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x22．函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．23．函数的导数为（））A．B．C．D．24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2 D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x26．函数y=的导数是（）"A．B．C．D．二．填空题（共4小题）27．设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为．28．函数y=cos（2x2+x）的导数是．29．函数y=ln的导数为．30．若函数，则的值为．`参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2015春•拉萨校级期中）设，则f′（2）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，则f（u）=lnu，、∵f′（u）=，u′（x）=•=，由复合函数的导数公式得：f′（x）=•=，∴f′（2）=．故选B．2．（2014•怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．【【解答】解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．3．（2014春•永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）[A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=【解答】解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确对于选项B，成立，故B正确对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确对于选项D，成立，故D正确故选C》4．（2014春•晋江市校级期中）设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．则=2cos（2×）=﹣1．故选D．5．（2014秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）%A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），故选：C6．（2014春•福建月考）下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1 C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1【解答】解：根据导数的运算公式可得：、A，（x+）′=1﹣，故A错误．B，（2x）′=lnx2x，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．故选：D7．（2013春•海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x·C．D．【解答】解：因为（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；，所以C正确；，所以D不正确．故选D．8．（2013春•江西期中）已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）/A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3【解答】解：∵f′（x）=2e2x+1﹣3，∴f′（0）=2e﹣3．故选C．9．（2013春•黔西南州校级月考）函数的导数是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数，《∴y′=3cos（3x+）×3=，故选B．10．（2013春•东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x【解答】解：由f（x）=sin2x，则f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）•（2x）′=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．故选D．$11．（2013秋•惠农区校级月考）y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：∵y=e sinx cosx（sinx），∴y′=（e sinx）′cosx（sinx）+e sinx（cosx）′（sinx）+e sinx（cosx）（sinx）′=e sinx cos2x（sinx）+e sinx（﹣sin2x）+e sinx（cos2x）∴y′（0）=0+0+1=1故选B~12．（2012秋•珠海期末）下列求导运算正确的是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x【解答】解：因为，所以选项A不正确；，所以选项B正确；（（2x+3）2）′=2（2x+3）•（2x+3）′=4（2x+3），所以选项C不正确；（e2x）′=e2x•（2x）′=2e2x，所以选项D不正确．/故选B．13．（2012秋•朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx【解答】解：；；；．(所以满足的f（x）为．故选A．14．（2012秋•庐阳区校级月考）设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）【解答】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）==2（cos2x﹣sin2x），f2（x）==22（﹣sin2x﹣cos2x），f3（x）==23（﹣cos2x+sin2x），f4（x）==24（sin2x+cos2x），…￥通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，．∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x﹣sin2x）．故选：B．15．（2011•潜江校级模拟）设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x！∴故选D．16．（2011秋•平遥县校级期末）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴【∴=故选D17．（2011春•南湖区校级月考）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）【解答】解：y′=﹣sin（1+x2）•（1+x2）′=﹣2xsin（1+x2）故选C：18．（2011春•瑞安市校级月考）函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）【解答】解：∵函数y=sin（﹣x）可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y u′=（sinu）′=cosu，∴函数y=sin（﹣x）的导数为y′=y u′u x′=﹣cos（﹣x）=﹣sin[﹣（﹣x）]=﹣sin（+x）故答案选D19．（2011春•龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f （x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）、【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．20．（2010•永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）-【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．21．（2010•祁阳县校级模拟）函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【解答】解：~将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D{22．（2010春•朝阳区期末）函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．【解答】解：对于函数，对其求导可得：f′（x）===；故选C．23．（2009春•房山区期中）函数的导数为（）-A．B．C．D．【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，则y′=（3sint）′•（2x﹣）′=3cos（2x﹣）•2=，故选A．24．（2009春•瑞安市校级期中）y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）【解答】解：由于y=sin（3﹣4x），@则y′=cos（3﹣4x）×（3﹣4x）′=﹣4cos（3﹣4x）故选D25．（2006春•珠海期末）下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2 D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x【解答】解：函数的导数为，，∴A错误函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误<函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误故选C26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．【解答】解：由复合函数的求导法则可得，•[ln（x2+1）]′ln2=（1+x2）′ln2=•ln2故选A二．填空题（共4小题）27．（2013春•巨野县校级期中）设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为y′=f′（）．【解答】解：设y=f（u），u=，则y′=f'（u），u′=，∴y′=f′（）故答案为：y′=f′（）．28．（2013春•吴兴区校级月考）函数y=cos（2x2+x）的导数是﹣（4x+1）sin（2x2+x）．【解答】解：y′=﹣（4x+1）sin（2x2+x），故答案为﹣（4x+1）sin（2x2+x）．29．（2012•洞口县校级模拟）函数y=ln的导数为．【解答】解：y′=（）′=•（）′=•.=•=故答案为：30．（2009春•雁塔区校级期中）若函数，则的值为．【解答】解：由故=故答案为：．。

复合导数求导练习题

复合导数求导练习题在微积分中，复合函数是一种由多个简单函数通过组合而成的函数。

求解复合函数的导数是微积分中的重要内容之一。

本文将给出一些复合导数求导的练习题，帮助读者巩固这一概念。

练习题一：设函数y = y^3−2y+1，函数y = y^2+2y−1，求解y对y的复合函数y = y∘y的导数。

解答：首先，我们需要计算出y = y∘y = y(y)，对应的y的表达式。

将函数y代入y的表达式中，我们有：y = y(y) = (y)^2+2(y)−1 = (y^3−2y+1)^2+2(y^3−2y+1)−1接下来，我们将求解导数y′= yy/yy对于复合函数的求导，我们需要使用链式法则。

根据链式法则，我们有：y′= yy/yy=yy/y(y^3−2y+1) ×y(y^3−2y+1)/yy首先，我们计算导数yy/y(y^3−2y+1)：yy/y(y^3−2y+1) = 2(y^3−2y+1) × (3y^2−2)然后，我们计算导数y(y^3−2y+1)/yy：y(y^3−2y+1)/yy = 3y^2−2将两个导数相乘，得到：y′= 2(y^3−2y+1) × (3y^2−2)至此，我们求解出了复合函数y = y∘y的导数。

练习题二：设函数y = sin(y^2)，函数y = yyy(y^3−2y)，求解y对y的复合函数y = y∘y的导数。

解答：首先，我们需要计算出y = y∘y = y(y)，对应的y的表达式。

将函数y代入y的表达式中，我们有：y = y(y) = yyy((sin(y^2))^3−2(sin(y^2)))接下来，我们将求解导数y′= yy/yy同样使用链式法则，我们有：y′= yy/yy=yy/y(y^3−2y) ×y(y^3−2y)/yy ×yy/yy首先，我们计算导数yy/y(y^3−2y)：yy/y(y^3−2y) = cos((sin(y^2))^3−2(sin(y^2)))然后，我们计算导数y(y^3−2y)/yy：y(y^3−2y)/yy = 3(y^2−2)最后，我们计算导数yy/yy：yy/yy = cos(y^2) × 2y将三个导数相乘，得到：y′= cos((sin(y^2))^3−2(sin(y^2))) × 3(y^2−2) × cos(y^2) × 2y至此，我们求解出了复合函数y = y∘y的导数。

求导数的链式法则练习

求导数的链式法则练习在微积分中，求导数是非常重要的一个概念。

对于复杂的函数，我们可以利用链式法则来求取其导数。

本文将通过一些练习题来展示链式法则的运用。

1. 练习题1设函数y = f(u)和u = g(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(x))的导数。

解答：根据链式法则，复合函数y = f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx根据已知条件，y = f(u)的导数为dy/du，u = g(x)的导数为du/dx。

因此，要求y = f(g(x))的导数，只需要将这两部分连乘即可。

2. 练习题2设函数y = f(u)和u = g(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(x))的二阶导数。

解答：复合函数y = f(g(x))的二阶导数可以表示为：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx利用链式法则，我们可以将dy/dx展开成dy/du * du/dx。

然后对这个表达式再次求导即可得到二阶导数。

d(dy/dx)/dx = d(dy/du * du/dx)/dx= d(dy/du)/dx * du/dx + dy/du * d(du/dx)/dx在这个式子中，我们需要使用到一阶导数的信息。

因此，要求复合函数y = f(g(x))的二阶导数，需要先求取一阶导数，然后再通过链式法则求导。

3. 练习题3设函数y = f(u)和u = g(v)和v = h(x)都是可导函数，求复合函数y = f(g(h(x)))的导数。

解答：根据链式法则，复合函数y = f(g(h(x)))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx根据已知条件，y = f(u)的导数为dy/du，u = g(v)的导数为du/dv，v = h(x)的导数为dv/dx。

因此，要求y = f(g(h(x)))的导数，只需要将这三部分连乘即可。

通过以上的练习题，我们可以看到链式法则在求导数中的重要性。

复合函数的导数问题(学生版)20210120

复合函数的导数问题【考情分析】复合函数的导数在近10年的江苏高考中曾两次出现，一是2008江苏高考23题，考查内容是以复合函数的导数为工具证明排列组合中的恒等式；二是2015年江苏高考20题，通过构造复合函数并研究其单调性，确定方程解的个数．在各省的数学联赛中更是将复合函数的导数问题提到相当重要的位置，甚至作为压轴题出现．对复合函数导数的考查主要呈现出两种形式，一是用导数研究函数性质（单调性、极值、最值、零点、不等式），二是将复合函数的的导数作为工具，解决导数与其它知识的融合问题．第一讲复合函数导数的基本应用在用导数研究函数性质时，单调性是解决一切问题之“根”．通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的基本方法，对于含参问题，要能从函数的图象、值域及导函数的零点等视角感知分类讨论的原因以及讨论的标准，并能进行严格的推理论证；【知识要点】1．复合函数的求导法则函数()y f ax b =+是由函数()y f u =与u ax b =+复合而成，则xu x y y u '''=⋅，即x u y y a ''=⋅．注：一般地，函数[()]y f g x =是由函数()y f u =与()u g x =复合而成，则()()xy f u g x '''=⋅．求导过程中的注意点：（1）分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量联系因变量与自变量；（2）每步明确对哪个变量求导，特别注意中间变量的关系；（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求各函数导数的积，并换中间变量为自变量的函数．【典型例题】【例1】已知函数2()ln(1)f x ax x =+-（0,(0,1]a x >∈）．（1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式()212ln 1n n λ++≥对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．【例2】已知函数2()ln(1)21f x x ax x =+++-+（其中0a >）．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若[0,2]x ∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【例3】已知a 为常数，函数()1()=ln 1x f x ax x --+．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若83a =-，求()f x 的极值．【例4】已知函数()21()e ()2x f x a x a =-+∈R ．（1）若()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若在区间(0,)+∞上，函数()f x 的图象恒在曲线2e x y a =下方，求a 的取值范围．【本课小结】通过本节的学习，掌握了利用导数判断函数单调性的基本方法，对于含参问题，可以从图象、值域及导函数的零点等视角快速感知分类讨论的原因以及讨论的标准，并进行严格的推理论证．第二讲复合函数导数的综合应用在解决一些较复杂的复合函数导数问题时，通过合理转化，能使问题得到最优化的求解，能进一步培养我们分类讨论、数形结合及化归转化的数学思想，优化我们的思维品质．【例1】已知函数1()ln(1)1x f x ax x -=+++，x ≥0，0a >．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若()ln 2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【例2】已知函数21()21ln(1)(1)2f x mx x x m =-+++≥．（1）若曲线()C y f x =：在点(0,1)P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值；（2）求证：函数()f x 存在单调递减区间[,]a b ，并求出单调递减区间的长度t b a =-的取值范围．【例3】已知()2ln()(0)f x ax b x a =++≠．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =，求a b ，的值；（2）若2()f x x x +≤恒成立，求ab 的最大值．【例4】已知函数ln(1)()x f x x+=．（1）当0x >时，求证：2()2f x x >+；（2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kx f x x +<+成立，求实数k 的值．【本课小结】在解决一些较复杂的复合函数导数问题时，常见的优化手段有：（1）换元法；（2）结合复合函数单调性及图象变换；（3）将超越函数拆分为初等函数；（4）构造法的优化．如：出现对数时，将对数的系数化为1，再构造函数；指数问题对数化处理．（5）挖掘函数与导函数上的特殊点（定点、零点、区间端点等）；（6）合理运用导函数的图象、值域、零点优化分类讨论的标准，以及代入特殊值先缩小参数范围，减少分类讨论的次数等方式方法，对解题进行优化；（7）二次求导．第三讲复合函数导数与其它知识的融合问题在高考、竞赛、自主招生考试中，经常将导数与方程、不等式、数列、排列组合、二项式定理等其它知识相结合，并以导数为工具解决其它知识中的问题，凸显了导数的工具特性．这一类问题的难点是如何将相关知识与导数有机结合，怎样合理构造才能让导数发挥其功能．【例1】（1）设实数0t >，求证：()21ln(1)2t t ++>；【例2】已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+．（1）若x ≥0时，()f x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：222223411ln(21)441142143141n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．【例3】（2015·江苏卷20题）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列．（1）证明：31242222a a a a ，，，依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234a a a a ，，，依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234n n k n k n ka a a a +++，，，依次构成等比数列？并说明理由．【例4】（2008.江苏卷23题）请先阅读：在等式2cos22cos 1()x x x =-∈R 的两边对x 求导，得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-．由求导法则，得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=-，化简后得等式sin22cos sin x x x =．（1）利用上述想法（或其他方法），结合等式0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=++++ （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑．（2）对于正整数3n ≥，求证：（ⅰ）1(1)C 0n kknk k =-=∑；（ⅱ）21(1)C 0n kk nk k =-=∑；（ⅲ）11121C 11nn k nk k n +=-=++∑．【拓展阅读】（作者：阙东进·海安）下面重点谈谈问题（2）中要求证的三个组合恒等式．实际上，这三个组合恒等式是组合数学中经常出现的恒等式，有关组合恒等式的证明方法也十分丰富．本文主要提炼出（ⅰ），（ⅱ）以及（ⅲ）的一般形式，并给出该类型组合恒等式的微积分证明方法．先谈谈（ⅰ），（ⅱ）两个组合恒等式的微分法证明．等式左边均可归结为()()()11,nk i jkn k k i C i j +-=-+∈∑N 的一般形式．在证明这类组合恒等式时，通常是以二项式定理为载体，在等式两边对x 进行若干次求导，再给x 赋适当的值即可，具体步骤如下：在()01nnkknk x C x =+=∑两边同乘以i x 得()+01+nnik k in k x x C x ==∑，两边对x 求导得()()()11+11+1nnn i ik k i n k ixx nx x k i C x ---=++=+∑．① 记()()111()11nn i i f x ix x nx x --=+++，将①式两边同乘以x 再对x 求导得10[()][()]nk k in k xf x k i C x +=''=+∑，即()21110()()nk k i n k f x xf x k i C x+-='+=+∑．② 记211()()()f x f x xf x '=+，将②式两边同乘以x 再对x 求导得()313220()()()nk k i n k f x f x xf x k i C x+-='=+=+∑，③ ……()1110()()()njk k i j j j n k f x f x xf x k i C x+---='=+=+∑．（*）通过j 次求导后，再令1x =-，得()()11(1)jnk i kn j k k i C f +-=-+=-∑．特别地，当0,1i j ==时，得()110nk knk kC -=-=∑，即证得（ⅰ）()010nkkn k kC =-=∑；当0,2i j ==时，得()1210nk knk k C -=-=∑，即证得（ⅱ）()2110nkkn k k C =-=∑．由此可见，（*）式给出了这类组合恒等式的一般求证方法．再谈谈（ⅲ）这个组合恒等式的积分法证明．等式左边可归结为()()()()()01,,0,12nk k s nk C t s t k k k s +=∈∈+∞+++∑N 在闭区间上的定积分的一般形式．在证明这类组合恒等式时，通常还是以二项式定理为载体，在两边同时对x 在不同闭区间上进行若干次求定积分，即得结论，具体步骤是：由()01nnkknk x C x =+=∑，得()01d d n tt nk k nk x x Cx x =+=∑⎰⎰，即有()110111111n nk k n k t C t n n k ++=+-=+++∑．记()1110111()111n nk k n k t f t C t n n k ++=+=-=+++∑，则()()221001()()d 12n t k k n k f t f t t C t k k +===++∑⎰，……()()()1001()()d 12nt k k s s s n k f t f t t C t k k k s +-===+++∑⎰．（**）通过s 次积分后，再取1t =，得()()()01(1)12n k s n k f C k k k s ==+++∑．特别地，当1s =时，得101(1)1n k n k C f k ==+∑，即证得（ⅲ）1012111n n k n k C k n +=-=++∑．由此可见，（**）式给出了这类组合恒等式的一般求证方法．通过以上对（2）中的三个问题分两类情况分别用微分法和积分法进行的一般式探究，充分展示了微积分思想在证明一些组合恒等式中的强大作用．至此，相信你对这道题所蕴涵的数学思想方法一定有了深入的领悟吧！最后谈谈本题的一些其它解法，因为题目中明确提出“或其他方法”解题，故该题解法不唯一．譬如（2）（ⅲ）还可以避开定积分，直接用组合数的性质求证，具体方法如下：11100011112111111n n nn k k k n n n k k k n C C C k n k n n +++===+-===+++++∑∑∑．。