643正弦级数和余弦级数

合集下载

高一数学正弦和余弦知识点

高一数学正弦和余弦知识点数学中有两个非常重要的三角函数，分别是正弦函数和余弦函数。

它们在解决几何问题和物理问题中扮演着重要的角色。

在高一数学课程中，正弦和余弦函数的知识点是我们必须要掌握的内容之一。

一、正弦函数的定义和性质正弦函数是一个周期性的函数，它的定义域是整个实数集R，值域是[-1, 1]。

我们可以用一个周期为2π的图像来表示正弦函数。

正弦函数的函数图像在原点（0, 0）处有一个最小值，且在x轴上的每个整数倍的π点都有一个最大值。

而且，正弦函数的图像是关于原点对称的。

正弦函数的性质有很多，其中比较重要的是：1. 正弦函数是一个奇函数，即-f(x) = f(-x)。

2. 正弦函数的图像是周期性的，即f(x + 2π) = f(x)，其中π是一个常数。

3. 在[0, 2π]范围内，正弦函数是一个增函数。

二、余弦函数的定义和性质余弦函数也是一个周期性函数，它的定义域是整个实数集R，值域是[-1, 1]。

与正弦函数相似，余弦函数的函数图像也是关于原点对称的，并且也有一个周期为2π的图像。

与正弦函数类似，余弦函数也有一些重要的性质：1. 余弦函数是一个偶函数，即f(x) = f(-x)。

2. 余弦函数的图像是周期性的，即f(x + 2π) = f(x)。

3. 在[0, 2π]范围内，余弦函数是一个减函数。

三、正弦和余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是密切相关的。

它们之间有着重要的三角关系：1. 辅助角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。

2. 正弦函数和余弦函数的和差公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)。

§6.4.3正弦级数和余弦级数

lt πx 令 t = ，则 x = ， − l ≤ x ≤ l 变为 − π ≤ t ≤ π ， l π
lt f ( x )= f ( )= F ( t ) ， π
为周期，则 F (t ) 以 2π 为周期，在 [ − π , π ] 上 F ( t ) 的傅里叶系数为
1 π 1 l a0 = ∫ F ( t )dt = ∫ f ( x )dx ， l −l π −π
∞ 1 1 (−1)n+1 f ( x) = 2(sin x − sin 2x + sin 3x −L = 2∑ ) sin nx. 2 3 n n=1
(−∞ < x < +∞ ; x ≠ ±π,±3π,L )
在点x = ( 2k + 1) π( k = 0, ±1, ±2,L)处不连续 ,
f (π −0) + f (−π +0) π + ( − π ) = 0, = 级数收敛于 2 2 y 和函数 π 图象
2 π+ 2 π ⋅ 2k −1 , n = 2k −1, ( k =1, 2, L) = 1 − , n = 2k . k
2 1 π π ∴ x + 1= [( π + 2)sin x − sin 2 x + ( π + 2)sin 3 x − sin 4 x +L] 2 3 4 π
4 1 1 π ∴ x + 1= +1− [(cos x + cos3 x + cos5 x +L] （ 0≤ x ≤ π ）。 2 2 2 π 3 5
y
y
−π
o
π
x
−π

643正弦级数和余弦级数50079

l
an
1
F (t)cosntdt1
l
l f ( x)cosnx dx ，
l
l
bn
1
F (t)sinntdt1
l
l f ( x)sinnx dx 。
l
l
F
(t
)~
a0 2
(an
n1
cos
nt
bn
s
innt
)
，
从而
f
( x)~ a0 2
(ancos
n1
nx l
nx bnsin l
a0
1
20(2
x)dx5
，
1
1
1
an 20(2 x)cosnxdx40cosnxdx20 xcosnxdx
2
1
xd(sinnx)
2 [xsinnx
1
1
sinnxdx]
n 0
n
00
2 n2
2
cos
nx
1
0
2 n22
[(
1)n
1]
(2k
4 1)2
0
2 , n2k , n2k.
1,
∴
f
( x)2
nxdx
2 [
x
cos n
nx
sin n
nx
2
]0
2 cos n
n
2 (1)n1, n
(n 1,2,)
f
(
x)
2(sin
x
1 sin 2
2x
1 3
sin
3x
)
2
n1
(1)n1 n
sin
nx.

正弦级数和余弦级数

正弦级数和余弦级数在数学中是两种非常重要的级数，它们是函数在区间 $[-\pi, \pi]$ 上的 Fourier 级数，常用于分析和表示周期性现象。

本文将详细介绍的定义、性质以及应用。

一、正弦级数正弦级数可以表示为：$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \sin(nx),$$其中 $a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$ 都是常数，而 $x$ 是角度（或弧度），并且满足 $-\pi \leq x \leq \pi$。

在正弦级数中，每一项都是正弦函数的倍数，这些正弦函数的频率从 $1$ 开始，逐渐增加。

根据 Fourier 级数的理论，只要一个函数$f(x)$ 是周期性的，那么它就可以被表示为正弦级数的形式。

正弦级数有许多性质和应用，下面我们分别来介绍一下。

1. 正弦级数的系数在正弦级数中，系数 $a_n$ 可以用以下公式计算：$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(n x) \operatorname{d} x.$$这个公式叫做正弦级数的系数公式。

它的物理意义是将周期为 $2\pi$ 的周期信号 $f(x)$ 按照频率 $n$ 分解为若干个正弦信号的叠加，系数 $a_n$ 就是 $f(x)$ 中包含频率为 $n$ 的正弦信号的强度大小。

此外，由于正弦函数是奇函数，所以正弦级数系数满足 $a_{-n} = -a_n$。

2. 正弦级数的收敛性我们知道，对于周期为$2\pi$ 的周期函数$f(x)$，它可以用Fourier 级数展开，即可以表示为正弦级数的形式。

那么问题来了，这个正弦级数是否一定收敛呢？答案是肯定的，事实上，对于任何一个周期为 $2\pi$ 的周期函数 $f(x)$，它对应的正弦级数都是收敛的。

而且，这个级数的和函数 $S(x)$ 也是周期为 $2\pi$ 的函数。

正弦级数与余弦级数 19页PPT文档

fx 2 sx i n 1 2s2 ix n 1 3s3 ix n 1 n n 1sn in x
x ; x , 3 , .
5
例2 将周期函数 ut E sint
2
展开成傅立叶级数, 其中E 是正的常数.
y
解
O
x
所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此
ut 的傅立叶级数处处收敛于 ut.
因为 ut 是周期为2π的偶函数，按公式有
b n 0 ,n 1 ,2 ,3 , .
an
20utcons tdt20
Esint constdt 2
E0 sin n1 2tsin n1 2tdt
f0f0 0.
2
2
在连续点x x2 k1 处收敛于 f x.

y

和函数的图像:
5

3
O
3
5
7 x

4
若不计 x 2 k 1 k 0 , 1 , 2 , 3 , ,则f x是周期为 2
2
bn
1

fxsindxx20
fxsinnxdxn1,2,3, .
⑵ 当 f x 是偶函数时，
an
1

fxconsd xx20
fxcons xdx
n0,1,2,3, .
bn
1

fxsindxx0,n1 ,2,3, .
f x的傅立叶级数何时收敛？收敛于什么？
1
第八节正弦级数和余弦级数
一、奇函数和偶函数的傅立叶级数

04-正弦级数与余弦级数PPT

正弦级数和余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数cos )(1==⎰-l l n dx lxn x f l a π),3,2,1,0( =n 奇函数系数傅里叶的则为周期的奇函数是以若 )( , 2 )( x f l x f ∙⎰⎰==-l l l n dxlx n x f l dx l x n x f l b 0sin )(2sin )(1ππ),3,2,1( =n 偶函数级数为：的则为周期的奇函数是以若Fourier )( , 2 )( )1(x f l x f , sin 1x l n b n n ∑∞=π).,2,1( sin )(2 , 0 ==⎰n dx lxn x f l b l n π其中正弦级数sin )(1==⎰-l l n dx lxn x f l b π),3,2,1( =n 奇函数系数傅里叶的则为周期的偶函数是以若 )( , 2 )( x f l x f ∙⎰⎰==-l l l n dxlx n x f l dx l x n x f l a 0cos )(2cos )(1ππ),3,2,1,0( =n 偶函数级数为：傅里叶的则为周期的偶函数是以若 )( , 2 )( )2(x f l x f , cos 210x ln a a n n ∑∞=+π).,2,1,0( cos )(2 , 0 ==⎰n dx lx n x f l a l n π其中余弦级数，则0=n b t)(t u 0ππ2π-π-2E⎰=ππ00)(2dt t u a ⎰=ππ0sin 2tdt E .4πE=.,2,1 =n 例1展开成傅里叶级数，将函数t E t u sin )(=.为正常数其中E 板书解为周期看作以将 2 )(πt u .,上连续其在的偶函数R⎰=ππ0cos )(2ntdt t u a n ⎰=ππ0cos sin 2ntdtt E ⎰--+=ππ0])1sin()1[sin(dt t n t n Eππ01)1cos(1)1cos(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++-=n t n n t n E )1(≠n ⎪⎩⎪⎨⎧+==--=12 ,02 ,]1)2[(42k n k n k E 当当π),2,1( =k 板书⎰=ππ01cos )(2tdt t u a ⎰=ππ0cos sin 2tdt t E ,0=)6cos 3514cos 1512cos 3121(4)( ----=t t t E t u π故)(+∞<<-∞x ].142cos 21[212∑∞=--=n n nx Eπ板书二、定义在上的函数的正弦级数与余弦级数偶延拓余],0[l xyll-xylxyll-奇式延拓:⎪⎩⎪⎨⎧<<---=≤<=0)(000)()(x l x f x l x x f x F xyll-的傅里叶正弦级数)(x f ∑∞=1sin n n nxb .)0(l x <<偶式延拓:⎩⎨⎧<<--≤≤=0)(0)()(x l x f l x x f x F 的傅里叶余弦级数)(x f x y 0l l -∑∞=+10cos 2n n nx a a . )0(l x ≤≤解(1)求正弦级数.⎰=ππ0sin )(2nxdx x f b n ⎰+=ππ0sin )1(2nxdx x )cos cos 1(2π-ππ-π=n n n . 2 22⎪⎩⎪⎨⎧-+⋅=偶数，奇数，n nn n ππ例2、分别展开成将函数 )0(1)( π≤≤+=x x x f .正弦级数和余弦级数板书]3sin )2(312sin 2sin )2[(21 -++-+=+x x x x ππππ故)0(π<<x 得：令 2 π=x .4121)1(71513111π=+--++-+-- n n 板书(2)求余弦级数.⎰+=ππ00)1(2dx x a .2+=π⎰+π=π0cos )1(2nxdx x a n )1(cos 22-ππ=n n . 4 ,02⎪⎩⎪⎨⎧-=奇数，偶数n n n π]5cos 513cos 31(cos 4121 22 +++-+=+x x x x ππ故).0(π≤≤x 板书得：令 0 =x .8)12(1513112222π=+-++++ n 板书三、小结1. 奇函数和偶函数的傅里叶系数;2. 周期函数的正弦级数与余弦级数;3. 非周期函数的正弦级数与余弦级数..],[)()(,,,],[)(定义的函数上成为才能使应如何选择上定义的函数是在设ππ-+=B At f t F B A b a x f 思考题,,)(b B A a B A =+π=+π-应使.2,2a b B a b A +=π-=即思考题解答。

643正弦级数和余弦级数55426

定理 2 设周期为 2 l 的函数 f ( x ) 在 [ l , l ] 上满足狄氏条件，
则
a0 2
(an
n1
cosnx l
bn
sin
nx l
)
f (x),
x为f (x)的连续点,
f
(x0) 2
f
( x 0) ,
x为f (x)的第一类间断点,
f
(l
0) 2
f
(l
∴ x 1 1 4 [x ( 1 c c 3 x o o 1 c 5 s s x o ] （ 0 s x ）。 2 3 2 5 2
y
y
o x
o
x
F(x)的图象.
S(x)的图象.
6 . 4 . 4 以 2 l 为周期的函数的傅里叶级数
设周期为 2 l 的函数 f ( x ) 在 [ l , l ] 上满足狄氏条件，
23
4
（ 0 x ）
当 x 0 和 x 时，级数收敛于 0 ，它不代表原来函数
f ( x ) 的值。
yLeabharlann yyo x o x
o
x
f (x)的图象. F(x)的图象.
S(x)的图象.
求余弦级数，应对 f ( x ) 作偶式延拓，此时
n 1 [cn o 2 xs ]0 2n 1 [1(1)n] 0n2, ,nn21,,34,,56,,,.
故当 x ( 2 , 0 ) ( 0 , 2 ) 时，
f ( x ) 1 2 ( s x 1 i s3 n i x n 1 s5 i x n ) ； 2 3252

正弦和余弦的相互关系课件

正弦和余弦的相互关系
欢迎来到本节课的ppt课件，我们将介绍正弦和余弦函数的相互关系。了解它们的定义、特点、图像、周期性和对称性、相位关系以及应用。
正弦函数的定义和特点
定义
正弦函数是以角度为自变量、正弦值为因变量的函数。
特点
正弦函数的值在-1和1之间波动，它是一个周期性函数。
余弦函数的定义和特点
2
对称性
正弦函数是奇对称函数，余弦函数是偶对称函数。
正弦函数与余弦函数的相位关系
1
相位关系
正弦函数与余弦函数的相位差是90°或π/2。
2
波形图
正弦函数和余弦函数的波形图相互垂直。
ห้องสมุดไป่ตู้
3
周期
正弦函数和余弦函数的周期是相同的。
正弦函数和余弦函数的数学性质
1 加法公式
正弦函数和余弦函数有一系列的加法公式，用于计算角度和求解方程。
定义
余弦函数是以角度为自变量、余弦值为因变量的函数。
特点
余弦函数的值在-1和1之间波动，它也是一个周期性函数。
正弦函数与余弦函数的图像
正弦函数
正弦函数的图像呈现上下波动的形式。
余弦函数
余弦函数的图像呈现左右波动的形式。
正弦函数和余弦函数的周期性和对称性
1
周期性
正弦函数和余弦函数都是周期性函数，周期分别为360°或2π。
正弦函数和余弦函数在建筑设计中用于描述特定曲线和造型。
2 倍角公式
正弦函数和余弦函数还有倍角公式，用于求解复杂的角度关系。
3 积分
正弦函数和余弦函数的定积分是不定积分的特殊形式，具有特定的性质。
正弦函数和余弦函数的应用
物理学
正弦函数和余弦函数在物理学中广泛应用于描述振动和波动现象。

正弦级数和余弦级数

定理说明：
若 f (x) 为奇函数，则
f ( x) ～ bnsinnx ，是正弦级数。
n1
若 f (x) 为偶函数，则
f
(
x
)
～
a 2
an
n1
cosnx
，是余弦级数。
例 5．将周期函数 u(t ) E sint （ E 是正常数）展开成傅里叶级数。
解所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个
2E
[1
2
n1
cos 2nt
4n2
]. 1
( t )
例 6．将 2 为周期的函数 f ( x) x, x [ , ) 展开成
傅里叶级数。
解所给函数满足狄利克雷充分条件.
f ( x)在x( x (2k 1) )处连续。
x (2k 1)时 f ( x)是以2为周期的奇函数,
an 0, (n 0,1,2, )
cos(n 1)t n1
0
(n 1)
4E [(2k)2
1]
,
0,
当n 2k (k 1,2, )
当n 2k 1
a1
2
0u(t )cos tdt
2
0E
sin
t
cos tdt
0,
u(t) 4E (1 1 cos 2t 1 cos 4t 1 cos 6t )
23
15
35
在点x (2k 1)(k 0,1,2, )处不连续,
级数收敛于f ( 0) f ( 0) () 0,
2
y
2
和
函
数
图
象 3 2
0 2 3 x
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)

正弦级数与余弦级数

练习题答案
( 1) n1 2 n 2 sin ] sin nx . 一、 f ( x ) [ n n 2 n 1 ( x ( 2n 1) , n 0, 1, 2, )

4 2 2 n 2 二、 f ( x ) [( 1) ( 3 ) 3 ] sin nx n n n (0 x ) ；
二、将函数 f ( x ) 2 x 2 ( 0 x ) 分别展开成正弦级数和余弦级数 .
x 三、将以2 为周期的函数 f ( x ) 在( , ) 内展开成 2 1 n1 傅里叶级数,并求级数 ( 1) 的和 . 2n 1 n 0
cos nx x 2 x 2 . 四、证明:当0 x 时, 2 n 4 2 6 n 1
1 1 1 1 y 2(sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x sin 5 x ) 2 3 4 5 观察两函 y x 数图形
例 2 将周期函数u( t ) E sin t 展开成傅氏级数, 其中 E 是正常数.
解所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.
(0 x )
x 1
4 1 1 1 1 (cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x 2 cos 7 x ) 2 3 5 7
y x 1
三、小结
1、基本内容:
奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓; 2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 定理

正弦级数与余弦级数的性质

正弦级数与余弦级数的性质正弦级数与余弦级数是高等数学中常见的函数级数。

它们的形式非常相似，但是在性质上却有些不同。

首先，我们回顾一下正弦级数和余弦级数的定义。

正弦级数可以表示为：$$\sin x =\sum^{\infty}_{n = 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$而余弦级数可以表示为：$$\cos x =\sum^{\infty}_{n = 0}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$这两个级数看起来很相似，但是却有些微妙的差别。

首先，正弦级数是奇函数，而余弦级数是偶函数。

这可以从它们的定义中清楚地看出来。

其次，它们在不同的$x$值上收敛的速度也有所不同。

正弦级数在$x=\pm\pi$处收敛，而余弦级数在$x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$处收敛。

这些点被称为级数的“收敛点”。

接下来，我们讨论一些正弦级数和余弦级数的性质。

首先是它们的周期性。

显然，正弦函数的周期是$2\pi$，而余弦函数的周期是$2\pi$。

这也导致了正弦级数和余弦级数的周期都是$2\pi$。

这可以简单地从它们的定义中得到证明，因为级数中只包含类似于$x^{2n+1}$和$x^{2n}$这样的项，周期为$2\pi$。

其次是它们的可导性质。

由于正弦函数和余弦函数都是光滑函数，因此它们的级数也是光滑函数。

换句话说，它们是可以无限次可导的。

这可以从级数的定义中逐项求导得到证明。

正弦级数在可导性质上与余弦级数是相同的。

第三个性质是它们的收敛性。

虽然正弦级数在$x=\pm\pi$处收敛，余弦级数在$x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$处收敛，但是它们在整个实数轴上都是一致收敛的。

这意味着，当$x$取任何实数值时，级数都会收敛到一个唯一的值。

这可以从级数的定义中得到证明。

最后一个性质是它们的解析性质。

由于正弦级数和余弦级数都是无限次可导的光滑函数，因此它们是解析函数。

正弦函数的级数展开解析与推导

正弦函数的级数展开解析与推导正弦函数是数学中常见的一种特殊函数，它在物理、工程、计算机科学等领域广泛应用。

本文将对正弦函数的级数展开进行解析与推导，以深入探讨其数学性质及应用。

一、正弦函数的定义与性质正弦函数可以用以下级数展开表示：\[\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]其中，x为自变量，n为求和的项数。

正弦函数的周期为2π，即满足sin(x+2π)=sin(x)的性质。

同时，正弦函数的取值范围为[-1, 1]，即满足-1≤sin(x)≤1。

二、正弦函数级数展开的推导通过泰勒级数展开，可以推导得到正弦函数的级数展开。

根据泰勒级数的定义，任意函数f(x)在点a处的泰勒级数展开为：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\dots=\]\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，f'''(a)表示函数f(x)在点a处的三阶导数，依此类推，f^{(n)}(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。

对于正弦函数，我们有f(x)=sin(x)，a=0（即在点0处进行泰勒级数展开），代入泰勒级数展开的定义中，可以得到：\[sin(x)=sin(0)+cos(0)x+\frac{-sin(0)}{2!}x^2+\frac{-cos(0)}{3!}x^3+\dots=\]\[\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]根据正弦函数的周期性质，函数sin(x)的级数展开在周期2π内成立。

三角函数的级数展开与近似计算

三角函数的级数展开与近似计算级数展开是数学中的一项重要概念，它用来将一个函数表示成无限次相加的形式。

在三角函数中，级数展开是一种常见的方法，可以帮助我们更好地理解和计算三角函数的各种性质和近似值。

一、正弦函数的级数展开与近似计算正弦函数是三角函数中最为基础且常用的一种函数，其级数展开形式为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这个级数展开是无限个项相加后得到的，但是我们通常只取前面有限个项来进行近似计算。

例如，我们取前面六个项进行计算：sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5!当x的值比较小的时候，例如π/6，即30度，我们可以通过上式进行近似计算，得到sin(π/6) ≈ 1/2。

这意味着正弦函数在这个近似值附近可以用一个较简单的表达式来代替，方便我们在实际计算中的应用。

二、余弦函数的级数展开与近似计算余弦函数是三角函数中另一个常见的函数，其级数展开形式为：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...同样地，我们通常只取前面有限个项来进行近似计算。

例如，我们取前面六个项进行计算：cos(x) ≈ 1 - x^2/2! + x^4/4!当x的值比较小的时候，例如π/3，即60度，我们可以通过上式进行近似计算，得到cos(π/3) ≈ 1/2。

这意味着余弦函数在这个近似值附近可以用一个较简单的表达式来代替。

三、正切函数的级数展开与近似计算正切函数是三角函数中常用的另一个函数，其级数展开形式为：tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...同样地，我们通常只取前面有限个项来进行近似计算。

例如，我们取前面四个项进行计算：t an(x) ≈ x + x^3/3 + 2x^5/15当x的值比较小的时候，例如π/4，即45度，我们可以通过上式进行近似计算，得到tan(π/4) ≈ 1。

三角函数的级数展开与收敛性

三角函数的级数展开与收敛性三角函数的级数展开与收散性三角函数是数学中常见的一类函数，它们在物理、工程、计算机图形学等领域中具有广泛的应用。

对于一个周期为2π的三角函数，它们可以用级数的形式进行展开，即将函数表示为无穷级数之和的形式。

本文将探讨三角函数的级数展开以及其收敛性。

1. 正弦函数的级数展开正弦函数在数学中常用sin(x)表示，它可以展开为以下的级数形式：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...在这个级数中，每一项都包含了不同次数的x的幂，并且每一项都有一个系数，系数是通过不同的阶乘求得的。

通过级数展开，我们可以通过有限项的求和近似计算sin(x)的值。

然而，需要注意的是，这个级数的收敛性是有限的，即只有在一定范围内的x值才能保证级数收敛。

2. 余弦函数的级数展开余弦函数在数学中常用cos(x)表示，它的级数展开形式如下：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...与正弦函数类似，余弦函数的级数展开也包含了不同次数的x的幂以及相应的系数。

同样地，余弦函数的级数展开也只在一定范围内的x 值才能保证收敛。

3. 切比雪夫级数展开除了正弦函数和余弦函数的级数展开外，还存在其他类型的三角函数级数展开。

其中最为知名的是切比雪夫级数展开，它可以表示为以下形式：f(x) = a0/2 + Σ(a_n*cos(n*x) + b_n*sin(n*x))在这个级数中，an和bn是相应的系数，通过函数f(x)的性质来计算得到。

切比雪夫级数展开在信号处理和数值逼近等领域中具有重要的应用。

4. 级数的收敛性在前面的讨论中，我们提到了三角函数的级数展开只在一定范围内的x值才能保证收敛。

那么，如何判断一个级数是否收敛呢？对于三角函数的级数展开而言，我们可以利用级数的收敛性定理来判断其收敛性。

其中，常见的有比值判别法、根值判别法、积分判别法等。

三角函数的级数展开与收敛性

三角函数的级数展开与收敛性在数学中，三角函数是研究角度和周期性现象的重要工具。

在很多实际问题中，利用三角函数的级数展开可以提供简洁的数学模型，并且通过分析其收敛性可以得到有用的结论。

本文将介绍三角函数的级数展开以及相应的收敛性。

一、正弦函数的级数展开与收敛性正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，它可以通过无穷级数来表示。

正弦函数的级数展开称为正弦级数，其形式为：sin(x) = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...其中，n!表示n的阶乘，x为自变量。

正弦级数是一个交错级数，交错级数的收敛性可以通过判断其通项趋于零且绝对值递减来确定。

在正弦级数中，当自变量x为有界值时，其通项趋于零且绝对值递减，所以正弦级数在有限区间内绝对收敛。

另外，正弦函数具有周期性，所以正弦级数在整个实数范围内也收敛。

二、余弦函数的级数展开与收敛性余弦函数是另一个常见的三角函数，它也可以通过无穷级数来表示。

余弦函数的级数展开称为余弦级数，其形式为：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...同样地，余弦级数也是一个交错级数。

与正弦级数类似，余弦级数在有界区间内绝对收敛，在整个实数范围内也收敛。

通过分析其通项趋于零且绝对值递减可以得出结论。

三、其他除了正弦函数和余弦函数，其他常见的三角函数如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等也可以通过级数展开表示。

这些函数的级数展开形式各不相同，但原则上可以利用类似的收敛性分析方法来确定其收敛性。

需要注意的是，有些三角函数的级数展开并不在整个实数范围内收敛，而只在特定的区间内部分收敛。

这时，需要根据具体问题来确定收敛的范围，以保证结果的准确性和可靠性。

四、应用举例三角函数的级数展开在数学和物理等领域有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，可以利用正弦级数展开来生成复杂的图形和动画效果；在信号处理中，可以利用三角函数的级数展开来对信号进行分析和重构；在电路分析和控制系统设计中，也可以利用三角函数的级数展开来建立数学模型和分析系统的稳定性等。

正弦级数与余弦级数

正弦级数与余弦级数(答卷)姓名: 学号: 专业班级:题号得分总分 1. 将函数展开成余弦级数，下列正确的是. (5分)，，，，【参考答案】【试题解答】将C作偶延拓展开成余弦级数，则，而.又作偶延拓后在连续，所以.，. 2. 设，又设是是以为周期正弦级数展开式的和函数，则． (5分)【参考答案】【对应考点】C正弦级数与余弦级数，收敛定理，狄利克雷充分条件【试题解答】由于是正弦级数展开式，所以. 3. 将函数展开成余弦级数，其展开式为. (5分)【参考答案】【对应考点】A一般周期函数的傅里叶级数【试题解答】作偶延拓，则而又，. 4. 将函数展开为余弦级数，下列正确的是. (5分)，，，，【参考答案】【对应考点】傅里叶级数A【试题解答】对函数作偶延拓，则.. 所以，， 5. 将函数展开成正弦级数，其展开式为. (5分)【参考答案】【对应考点】A一般周期函数的傅里叶级数【试题解答】作奇延拓，则而在处，右边级数收敛于 . 6. 设，又设是是以为周期正弦级数展开式的和函数，则． (5分)【参考答案】【对应考点】C正弦级数与余弦级数，收敛定理，狄利克雷充分条件【试题解答】由于是正弦级数展开式，所以. 7. 将函数展开成正弦级数，其系数. (5分)【参考答案】【对应考点】A一般周期函数的傅里叶级数【试题解答】将作奇延拓，则可得其展开式为 8. 把函数 . (5分)在内展开成以为周期的正弦级数，其展开式为【参考答案】【对应考点】傅里叶级数A【试题解答】在内对做延拓，延拓后所得函数的系数由在内连续，单调，故在内 9. 将函数，展开成正弦级数，下列正确的是. (5分)，，，【参考答案】【对应考点】傅里叶级数D【试题解答】将作奇延拓展开成正弦级数，则，而.作奇延拓后在连续，在处间断，所以， . 10. 在 . (5分)内把函数展开成以为周期的余弦级数，其展开式为【参考答案】【对应考点】傅里叶级数A【试题解答】对在内作偶延拓，其傅立叶系数，由在内单调，连续故在内. 11. 设数，其和函数记为，则当，又设在时，内已展成以为周期的余弦级． (5分)【参考答案】【对应考点】A一般周期函数的傅里叶级数【试题解答】由题意知，进行的偶延拓，所以，则当时，．12. 将函数展开成正弦级数，其系数. (5分)【参考答案】【对应考点】A一般周期函数的傅里叶级数【试题解答】将作奇延拓，则可得其展开式为 13. 利用在内以为周期的正弦级数，求得. (5分)【参考答案】【对应考点】A一般周期函数的傅里叶级数【试题解答】在内对作奇延拓，其系数在内满足级数收敛于的条件，故特别地所以. 14. 在 . (5分)内把展开成以为周期的正弦级数，其展开式为【参考答案】【对应考点】A一般周期函数的傅里叶级数【试题解答】在内对作延拓，其系数在内满足级数收敛的条件，故 . 15. 把函数 . (5分)，展开成以为周期的余弦级数，其展开式为【参考答案】【对应考点】A一般周期函数的傅里叶级数【试题解答】对在内作偶延拓，其傅里叶系数，，，因此有，，，，由故在在内内单调、连续，. 16. 在 . (5分)内把函数展开成以为周期的余弦级数，其展开式为【参考答案】【对应考点】傅里叶级数A【试题解答】对在内作偶延拓，得到其傅立叶系数所以故在内. 17. 下列三角函数系不是正交函数系的是. (5分)【参考答案】【对应考点】傅里叶级数A【试题解答】对任意自然数，，当当，时，；，是上的正交函数系.所以函数对任意非负整数，.当当，时，；，是上的正交函数系.所以函数系令当，则时，，当时，，因此是上的正交系.对任意自然数，，故所给函数在内不是正交系.。

正弦（sine）函数及余弦（cosine）函数可由无限级数或向量

二. 三角正弦(sine)函数及余弦(cosine)函数可由无限级数或向量),(y x OP =转动所得的OPD ∆定义，正切(tangent )，余切(cotangent )，正割(secant ), 余割(cosecant )定义如下:xy=θtan , (3) yx=θcot , (4) yr=θsec , (5) xr=θcsc . (6) 三角函数的符号由(1)--(6)决定而非仅是直角三角形的两边相比,除非θ小于090图 2--2（1）正弦定理：图 2--3r a A 21sin =. 同理r b B 21sin =， rc C 21sin =，即rc C b B a A 21sin sin sin ===. （正弦定理）证毕. 上面，当090=∠C 时，1sin =C 从而caA =sin ，一如A sin 的定义. 若不理半径r ，我们可以这样证明正弦定理：从顶点A 做高=h AD ，那么，,sin C b h = B c hsin =，从而B cC b sin sin =，或BbC c sin sin =. 同理C cA a sin sin =. 证毕. （2）余弦定理在上面证明里的ABC ∆中，由高⊥知可以利用三角函数的定义：令图 2--4=c z ⨯b z -c x ⨯b y（DC y BD x AD z ===,,） =bc 1)(2xy z - （7）= bc 1))((2x a x z --= bc 1)(22xa x z -+= bc1)(2xa c -，（毕氏定理）即xa c A bc -=2cos . （8）同理，在（7）中，换x 为y a -，得ya b A bc -=2cos . （9）（8）+（9）：222cos 2a b c A bc -+=. 同理222cos 2b a c B ca -+=，222cos 2c b a C ab -+=. （余弦定理）（10）证毕.当∠090=C 时，0cos =C ，从而（10）化简为： 222a b c +=. （毕氏定理）余弦定理的证明用了毕氏定理，故不可用来证明毕氏定理，但可以用来证明毕氏定理的逆定理：如果222b a c +=,则由（10）得0co s 2=C ab ，从而=∠C 090. 证毕. 余弦定理的证明引出推正弦及余弦角和)sin(βα+及)cos(βα+的公式的必要性.图2-5作CE AB ⊥及x CG ⊥轴，其中,E G 分别在AB 及x 轴上.不妨设1=OA （单位）.令EAC ∠='α，则在AFC ∆与OFB ∆中，EFC OFB ∠=∠（对角）及B ACF ∠==∠090，故'αα=. （余角）另一方面，AB OAAB==+)sin(βα （11）及EB AE AB +=. （12）因cos =ACAEααcos '= 及AC OAAC==βsin ，所以βαsin cos =AE . （13）由CG EB =, （矩形对边） αsin =OCCG及OC OAOC==βcos 得βαcos sin =EB （14）由（11）-（14）得βαβαcos sin )sin(=++αβcos sin . 证毕.由ββsin )sin(-=-及ββcos )cos(=-，得βαβαcos sin )sin(=-αβcos sin -. 学问：?)cos(=+βα学答：视 cos sin,为一家人，局限在家里想问题：))90sin(()cos(0βαβα--=+ （由定义知)90sin(cos 0A A -=） =)90sin(0α-)sin ()90cos(cos 0βαβ-⨯-+⨯ =βαβαsin sin cos cos -. 故得“家”公式：=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -. 答毕.学问：能不能先求)cos(βα+的公式，再求 )sin(βα+的公式？学答：)cos(βα+的公式可仿求)sin(βα+的公式的方法求，也可利用ABC ∆三高CF BE AD ,,交于一点O ：以d 表示AG ，以h 表示高AD ，则)cos(βα+===αcos h AF b AF dd αβcos cos ，即h )cos(βα+=βαcos cos d . （15）另一方面，βαββαsin tan sin )cos(OD AE DB AE c AE ===+ αβαcos sin sin OD AE = = βαsin sin ODd，即)cos(βα+OD =βαsin sin d . （16）由（15）-（16）得)cos(βα+d -=βαcos (cos d βαsin sin ），从而得“家”公式)cos(βα+=βαcos cos -βαsin sin . 答毕.由ββsin )sin(-=-及ββcos )cos(=-，得 )cos(βα-=βαcos cos βαsin sin -.习题：证明 =h d βαβαcos cos )cos(+ 及))()((c s b s a s s ABC ---=∆，其中s 是周界长： c b a s ++=.学问：?)tan(=±βα学答：=+)tan(βα )cos()sin(βαβα++ （向“皇家”cos sin,拉关系）=βαβααββαsin sin cos cos cos sin cos sin -+= βαβαtan tan 1tan tan -+，（以βαcos cos 除分子及分母）即=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan -+，从而由 ββtan )tan(-=-得)tan(βα-=βαβαtan tan 1tan tan +-.答毕.图 2--6且βα,分别为，与x 轴所夹的角，则几何上a 垂直于b 相当于090±=-βα. 由)tan(βα-的公式，得 0tan tan 1=+βα，即121a a +012=b b ，（设011≠b a ）即02211=+b a b a ，即0=⋅b a .同理，当022≠b a 时，几何上“a 垂直于b ”相当于0=⋅b a .漏证的小情况，11b a =0及022=b a ，留给读者享用. 证毕.学问：教平面几何时，老师说“不能三等分一任意角”，为什么？学答：由)cos(βα+的公式得αααααsin sin cos cos )2cos(-=，即ααα22sin cos )2cos(-=1cos 2)cos 1(cos 222-=--=ααα. 由)cos(βα+及)sin(βα+的公式得 )2cos()3cos(ααα+=)2sin(sin )2cos(cos αααα-=)sin cos cos (sin sin )1cos 2(cos 2ααααααα+--= ααααcos sin 2)1cos 2(cos 22--= ααααcos )cos 1(2)1cos 2(cos 22---= ααcos 3cos 43-=. 取αθ3=，得三次方程3cos33cos 4cos 3θθθ-=.因圆及直线只能解一次、二次、四次、…及k 2次方程，故欧几里得几何不能三等分任意角θ. 答毕.三角函数的应用拾穗.例：在OPB ∆中，090=∠POB ，在OB 上取点,A PAO ∠=α，PBO ∠=β，APB ∠=θ，已知βα,及AB ，求PO .图 2--7其中 βαθ-=. 故αsin PA PO = （用（17）） )sin(sin sin βααβ-=AB. （用（18））应用上，OP 可以是山高，星高……，B A ,往往可以选，越隔得远越好，使量AB ,,βα的工作可以较准确地完成. 解毕.[评：做本题的方法不只一个，读者有没有想起在《游子情》里，老师改错卷子，渊明及同学们排队索分的景象？]例：证明b a ba ⋅=θcos ，其中0,≠b a ，θ是b a ,的夹角，且21),(a a a =，即向量a 的长度.图 2--8另一方面，,⊥=- 即,0)(=⋅- 即,0=⋅-⋅ 即,0=⋅-⋅t 即2bb a OQOQ t ⋅=⋅=.故由（19）得ba ba ⋅=θcos . 证毕.由1cos ≤θ及上例得b a b a ≤⋅，（许瓦尔兹[Schwarz]不等式）且≤易为不等式当且仅当b a ,之一是剩下向量的数量倍.公式不宜背，考试却难免，完全失忆更非好事，所以，除了藉诸观念来重认及联想，用些雕虫小技来帮助‘记忆’也不无补益.例如六角（bexagon ）轮能帮助我们记一些‘除’及‘平方’的公式：正六边形顶点外邻顺时针记s i n ,c o s ,c o t ,c s c ,t an ,s ec,中间圆中记1，而圆与六顶点相连成轮；这样，得逆时针方向除的公式： αααsec tan sin =, ,csc sec tan ααα=… 顺时针方向除的公式： αααcot cos sin =, ,csc cot cos ααα=…对角方向除的公式： ,csc 1sin αα=,sin 1csc αα= ,cot 1tan αα=…图 2--9 例：证明αα22csc 1cot =+证：左边 = αα22sin cos 1+ （向“皇家”cos sin,靠拢）= αααα2222sin cos sin sin + =α2sin 1= =α2csc 右边. 证毕.OA OC OB ==. （半径）因0090,30=∠=∠ACB B ，（已知）故060=∠A . （三角形内角和为)1800 因OA OC =，故060=∠OCA （等腰定理）及060=∠AOC . （三角形内角和为)1800 设1=AC （单位），则2=+=OB OA AB ，从而2130sin 0==AB AC . 另证：作,300=∠BCO 使O 在AB 上，则060=∠COA （三角形外角等于不相邻的两内角和）及060=∠ACO . (三角形内角和为)1800 由等腰定理知,OC OB = CA OA OC ==，从而AB AC 21=. 故=030sin 21=AB AC . 答毕.22b a c +=，（毕氏定理） 2145sin 0==c a . 答毕.故. 21'''135sin 220=+===xx x OCCA OC C A学问：?315sin 0=学答：考虑点),('),,(),0,0(),,0(x x C x x C O x A -====，。