第一章 1.1 1.1.2 1.1.3 四种命题间的相互关系
高中数学第一章 1.1.2_1.1.3四种命题四种命题间的相互关系讲义(含解析)新人教A版选修1_1
1．1.2 & 1.1.3 四种命题四种命题间的相互关系预习课本P4～8，思考并完成以下问题1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2．什么样的两个命题有相同的真假性？3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？[新知初探]1．原命题与逆命题2．原命题与否命题3．原命题与逆否命题4．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( )(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系( )答案：(1)√(2)√2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数答案：B3．命题“若x2>y2，则x>y”的否命题是________________________________________________________________________．答案：若x2≤y2，则x≤y4．命题p：若a＝1，则a2＝1；命题q：若a2≠1，则a≠1，则命题p与q的关系是________．答案：互为逆否命题四种命题的概念[典例]命题．(1)对顶角相等；(2)全等三角形的对应边相等．[解] (1)原命题：如果两个角是对顶角，则它们相等；逆命题：如果两个角相等，则它们是对顶角；否命题：如果两个角不是对顶角，则它们不相等；逆否命题：如果两个角不相等，则它们不是对顶角．(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．四种命题的转换方法(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．[注意] 四种命题转换时关键是把命题写成“若……则……”的形式． 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； (2)当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0.解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面； 逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2； 否命题：若x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0； 逆否命题：若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2.四种命题真假的判断[典例] (1)“正三角形都相似”的逆命题．(2)“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题． (3)“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题．[解] (1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题． (2)原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．真命题．(3)原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．因为方程x 2＋x －m ＝0无实根，所以判别式Δ＝1＋4m <0，解得m <－14，故m ≤0，为真命题． [一题多变]1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．因为方程x 2＋x －m ＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m ≥0，所以m ≥－14，故逆命题为假命题．2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m >0，则mx 2＋x －1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≤0”．因为方程mx 2＋x －1＝0无实根，则m ≠0，所以判别式Δ＝1＋4m <0，则m <－14，故m ≤0，为真命题．解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．等价命题的应用[典例] 证明：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.[证明] 法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )． ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾． 因此假设不成立，故a ＋b ≥0.“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.证明：将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2，所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．层级一 学业水平达标1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b解析：选D 条件“a ＝－b ”和结论“|a |＝|b |”互换后得到逆命题：若|a |＝|b |，则a ＝－b .故选D.2．“在△ABC 中，若C ＝90°，则A ，B 全是锐角”的否命题为( ) A ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 全不是锐角 B ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不全是锐角 C ．在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 中必有一个是钝角 D ．以上都不对解析：选 B “全是”的否定是“不全是”，故该命题的否命题为“在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不全是锐角”．3．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C “若a >－3，则a >－6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.4．若命题p 的逆命题为q ，命题q 的否命题为r ，则命题p 是命题r 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题D ．以上都不对解析：选C 由四种命题的关系，知命题p 与命题r 互为逆否命题． 5．在下列四个命题中，为真命题的是( ) A ．“x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 B ．“若b ＝3，则b 2＝9”的逆命题 C ．若ac >bc ，则a >bD ．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析：选D A 中命题的否命题为“x ≠2时，x 2－5x ＋6≠0”，是假命题；B 中命题的逆命题为“若b 2＝9，则b ＝3”，是假命题；C 中当c <0时，为假命题；D 中原命题与其逆否命题等价，都是真命题．6．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2] 8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． (1)正数a 的立方根不等于0；(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．解：(1)原命题：若a 是正数，则a 的立方根不等于0，是真命题． 逆命题：若a 的立方根不等于0，则a 是正数，是假命题． 否命题：若a 不是正数，则a 的立方根等于0，是假命题． 逆否命题：若a 的立方根等于0，则a 不是正数，是真命题．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．层级二应试能力达标1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A．0个B．1个C．2个 D．4个解析：选C 若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．无关命题解析：选A 由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.3．命题“若x，y都是奇数，则x＋y也是奇数”的逆否命题是( )A．若x＋y是奇数，则x与y不都是奇数B．若x＋y是奇数，则x与y都不是奇数C．若x＋y不是奇数，则x与y不都是奇数D．若x＋y不是奇数，则x与y都不是奇数解析：选C 由于“x，y都是奇数”的否定表达是“x，y不都是奇数”，“x＋y是奇数”的否定表达是“x＋y不是奇数”，故原命题的逆否命题为若x＋y不是奇数，则x，y不都是奇数，故选C.4．有下列四个命题：①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中，为真命题的是( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③解析：选D ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A ＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的．5．在原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”； 否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”； 逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”； 全为真命题． 答案：46．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.答案：[0,2]7．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都不小于13，则a ＋b ＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，三式相加得a ＋b ＋c ≥1，显然逆否命题为真命题．所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.8．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．解：能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．。
第一章 1.1 1.1.2 1.1.3 四种命题间的相互关系(优秀经典公开课比赛课件)
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阐释
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题 互为逆
的 结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如 否命题 果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 逆否命题.
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知识点二 四种命题的相互关系 预习教材 P6－7，思考并完成以下问题 设：命题(1)“若 p，则 q”是原命题，那么： 命题(2)“若 q，则 p”是原命题的逆命题， 命题(3)“若p，则綈 q”是原命题的否命题， 命题(4)“若綈 q，则綈 p”是原命题的逆否命题． 你能发现它们之间有什么关系吗？
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判断以上四个命题的真假．
提示：原命题(1)是真命题，它的逆命题(2)是假命题，它的否命题(3)也是假命题，而它 的逆否命题(4)是真命题．
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知识梳理 四种命题间的真假关系
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
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2．命题“若 a>b，则 2a>2b－1”的否命题是____________________． 答案：若 a≤b，则 2a≤2b－1
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探究一 四种命题及其关系 [教材 P6 练习(3)]写出命题“奇函数的图象关于原点对称”的逆命题、否命题、逆否命 题．
知识梳理 四种命题的定义如下表所示
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第一章 1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．两个互逆命题的真假性相同．(×)2．原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)3．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)4．在四种命题中，真命题的个数为0或2或4.(√)一、四种命题的真假判定例1 (1)下列命题中为真命题的是( ) ①“正三角形都相似”的逆命题； ②“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题；③“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．① 答案 B解析 ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．②“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题，故为真命题；③原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为②③，故选B.(2)已知命题“若x ＝5，则x 2－8x ＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，假命题的个数为________． 答案 2解析 命题“若x ＝5，则x 2－8x ＋15＝0”为真命题，则其逆否命题为真命题．其逆命题为假命题，则否命题也为假命题，故假命题的个数为2.反思感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．跟踪训练1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假． (1)若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；(2)若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1.解 (1)逆命题：若a ≤0或b ≤0，则ab ≤0.它为假命题．逆否命题：若a>0且b>0，则ab>0.它为真命题．所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．(2)逆否命题：若a，b中没有一个大于等于1，则a＋b＜2，为真命题．逆命题：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，取a＝5，b＝－5，则a，b中至少有一个不小于1，但a＋b＝0，所以逆命题为假命题，否命题也为假命题．二、等价命题的应用例2判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．解方法一原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，对应方程的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．方法二先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，所以不等式对应方程的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0.所以a<74<2.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．延伸探究1．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a <2”的否命题的真假．解 原命题的逆命题为“已知a ，x 为实数，若a <2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集”． 判断真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上， 对应方程的判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7， 因为a <2，所以4a －7<1，当0≤Δ<1时，抛物线与x 轴有交点， 当Δ<0时，抛物线与x 轴无交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不一定是空集， 故原命题的逆命题为假命题． 所以原命题的否命题为假命题．2．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集是R ，则a <74”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以不等式对应方程的判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0. 所以a <74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假， 所以原命题的逆否命题为真命题．反思感悟 (1)在判断(证明)某一个命题的真假性有困难时，可以判断(证明)它的逆否命题为真(假)命题，来间接地判断(证明)原命题为真(假)命题．(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，其否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．跟踪训练2证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证．1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若q正确，则p不正确D．若p正确，则q正确答案 D解析原命题的逆命题和否命题是等价命题，只需写出原命题的否命题即可．2．下列命题为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．3．给出命题：若函数y＝f (x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0答案 C解析原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题；根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.4．证明“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”时，可以转化为证明()A ．若x ＋y ≤2，则x 2＋y 2＝2B ．若x ＋y >2，则x 2＋y 2≠2C ．若x 2＋y 2≠2，则x ＋y >2D ．若x ＋y ≤2，则x 2＋y 2≤2 答案 B解析 由于原命题与其逆否命题的真假性相同， 所以可以转化为证明“若x ＋y >2，则x 2＋y 2≠2”， 故选B.5．有下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若1a >1b ，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题． 其中是假命题的是________．(填序号) 答案 ①②解析 对于①，其否命题为：若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a <b ，则1a >1b，为假命题；③为真命题，故假命题为①②.1．知识清单： (1)四种命题间的关系． (2)命题真假的判断．2．方法归纳：定义法、化归转化、反证法． 3．常见误区：逆否命题的转化应用．1．已知命题p ：若x <－3，则x 2－2x －8>0，下列说法正确的是( ) A ．命题p 的逆命题是：若x 2－2x －8≤0，则x <－3 B ．命题p 的否命题是：若x ≥－3，则x 2－2x －8>0 C ．命题p 的否命题是：若x <－3，则x 2－2x －8≤0D．命题p的逆否命题是真命题答案 D解析若x<－3，则x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)>0，∴命题p是真命题，则其逆否命题是真命题．2．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”同真同假的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除答案 D解析其同真同假命题为原命题的逆否命题，故选D.3．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．4．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为()A．0 B．1 C．2 D．4答案 B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同．5．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a的平方等于0，则a不是正数，则p 是q的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题答案 C解析根据四种命题的关系，知“正数a的平方不等于0”的逆否命题是“若a的平方等于0，则a不是正数”．6．命题“已知a，b为实数，若a>b，则a>b”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．答案 2解析互为逆否的命题同真同假，原命题是真命题，故其逆否命题也为真，逆命题为“已知a ，b 为实数，若a >b ，则a >b ”，这个命题是假命题，故否命题也为假，从而有2个是真命题．7．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是________________________．答案 若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12解析 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2<12”，故否命题为“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2<12”．8．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”的否命题为________，是________(填“真”或“假”)命题． 答案 若a ≤b ，则ac 2≤bc 2 真9．写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的否命题．并判断该命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假． 解 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题，∴其逆命题是真命题，又原命题为真命题，∴其逆否命题是真命题．10．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．11．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题． 12．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 答案 D解析 互为逆否关系的命题具有相同的真假性．13．已知命题p ：若a >b >0，则12log a <12log b ＋1，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________． 答案 2解析 ∵a >b >0，∴12log a <12log b <12log b ＋1，∴命题p 为真命题，其逆命题为“若12log a <12log b ＋1，则a >b >0”，∵当a ＝2，b ＝2时，12log a <12log b ＋1成立，而a ＝b ，∴逆命题为假命题．∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题， ∴命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.14．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}． 又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.15．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．选B.16．求证：若a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3≠0，则a＋b≠1.证明构造命题p：若a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3≠0，则a＋b≠1.其逆否命题为：若a＋b＝1，则a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3＝0，下面证明逆否命题为真命题．因为a＋b＝1，所以a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3＝(a＋b)2＋2(a＋b)－3＝12＋2－3＝0.即逆否命题成立，所以原命题为真命题．。
第一章 1.1.2~1.1.3四种条件的相互关系
若 a＋b<0，则 f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b).” 若 a＋b<0，则 a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a). ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，
即逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题.
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真命题.
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1.1.2~1.1.3
(2)原命题是真命题.
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逆命题：若 x＋y 是偶数，则 x、y 都是奇数，是假命题； 否命题：若 x、y 不都是奇数，则 x＋y 不是偶数，是假命题；
逆否命题：若 x＋y 不是偶数，则 x、y 不都是奇数，是真命题.
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1.1.2~1.1.3
例 1 把下列命题写成“如果 p，则 q”的形式，并写出它 们的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0.
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解 (1)原命题： “如果 a 是正数， a 的平方根不等于 0”. 则 逆命题：“如果 a 的平方根不等于 0，则 a 是正数”. 否命题：“如果 a 不是正数，则 a 的平方根等于 0”. 逆否命题：“如果 a 的平方根等于 0，则 a 不是正数”. (2)原命题：“如果 x＝2，则 x2＋x－6＝0”. 逆命题：“如果 x2＋x－6＝0，则 x＝2”. 否命题：“如果 x≠2，则 x2＋x－6≠0”.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.2~1.1.3
1.四种命题的概念 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别
1.1.2四种命题及其相互关系
┐p
为书写简便,常把条件 的否定和结论 为书写简便 常把条件p的否定和结论 的否定分别记作 常把条件 的否定和结论q的否定分别记作 ”“非 。 “┐p” “┐q”，读作“非Ｐ”“非q”。 ，读作“ 互否命题： 互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条 互否命题。 件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题 件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其 中一个命题叫做原命题 那么另一个叫做原命题的否命题 原命题， 原命题的否命题。 中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
3:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。 写出下列命题的逆命题 2 2 (1)原命题： 若 a = b 则 a = b 真命题 原命题： 原命题 2 2 假命题 逆命题： 答:逆命题： 若 a = b 则 a = b 逆命题 2 2 否命题： 否命题： 若 a ≠ b 则 a ≠ b 假命题 2 2 真命题 逆否命题： 逆否命题： 若 a ≠ b 则 a ≠ b 假 (2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是0； 原命题：若一个数是负数，则它的平方是 ； 原命题 假 逆命题：若一个数的平方是0，则它是负数； 逆命题：若一个数的平方是 ，则它是负数； 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是0； 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是 ；假 逆否命题：若一个数的平方不是0，则它不是负数. 逆否命题：若一个数的平方不是 ，则它不是负数 假 试判断上面命题的真假. 试判断上面命题的真假
最新人教版高中数学选修2-1第一章四种命题间的相互关系
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2.四种命题之间的相互关系
思考 2 解决四种命题的关键是什么? 提示:明确原命题的逆命题、 否命题、 逆否命题的条件和结论的位置关 系和否定关系是解决四种命题的关键.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
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1.1 DNA重组技术的基本工具
探究三
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探究一
探究二
探究四
解:(1)逆命题:若 x≥0,则 x>1; 否命题:若 x≤1,则 x<0; 逆否命题:若 x<0,则 x≤1. (2)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0. 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0. 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0. (3)逆命题:若 x,y 全为零,则 x2+y2=0. 否命题:若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零. 逆否命题:若 x,y 不全为零,则 x2+y2≠0. (4)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
探究三
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1.1 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系新知探究1.四种命题(1)原命题：若p,则q（2）逆命题：若______则________（3）否命题：若______则________ （4）逆否命题：若______则________2.四种命题的真假性(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况(2)①两个命题互为逆否命题,它们有_______的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_________.探究一写原命题的其他三种命题1．把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，及它们的否定命题.(1)全等三角形的三边对应相等；(2)当x＝2时,x2－3x＋2＝0.（3）若x≤－3,则x＜0 (4)若k>0,则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个相异实根；探究二四种命题的关系及真假判断2．下列命题：①“若xy＝1,则x,y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2,则a＞b”的逆命题.其中是真命题的是________.3．下列命题为真命题的是()A.命题“若x>1,则x2>1”的逆命题B.命题“若x＝1,则x2＋x－2＝0”的否命题C.命题“若x2>0,则x>－1”的逆否命题D.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题4.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,及它们的否定。
并判断它们的真假.(1)若q ≤94,则方程x 2＋3x ＋q ＝0有实根；(2)若ab ＝0,则a ,b 中至少有一个为0.探究三 等价命题的应用5． 判断命题“已知a ,x 为实数,若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集,则a ＜2”的真假.6． 证明：已知函数f (x )是(－∞,＋∞)上的增函数,a ,b ∈R ,若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ),则a ＋b ≥0. 反馈作业1.已知a ,b ∈R ,命题“若a ＋b ＝1,则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A.若a 2＋b 2＜12,则a ＋b ≠1B.若a ＋b ＝1,则a 2＋b 2＜12C.若a ＋b ≠1,则a 2＋b 2＜12D.若a 2＋b 2≥12,则a ＋b ＝12.与命题“若m ∈M ,则n ∉M ”等价的命题是( )A.若m ∈M ,则n ∈MB.若n ∉M ,则m ∈MC.若m ∉M ,则n ∈MD.若n ∈M ,则m ∉M3．设a ,b 是向量,命题“若a ＝－b ,则|a |＝|b |”的逆命题是( )A.若a ≠－b ,则|a |≠|b |B.若a ＝－b ,则|a |≠|b |C.若|a |≠|b |,则a ≠－bD.若|a|＝|b|,则a＝－b4.给出下列命题：①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形；②若一个四边形对角互补,则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________. 5．“若x2＝1,则x＝1”的否命题为()A.若x2≠1,则x＝1B.若x2＝1,则x≠1C.若x2≠1,则x≠1D.若x≠1,则x2≠16. 已知命题p：正数a的平方不等于0,命题q：若a的平方等于0,则a不是正数,则p是q 的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定7. 命题“若x,y都是奇数,则x＋y也是奇数”的逆否命题是()A.若x＋y是奇数,则x与y不都是奇数B.若x＋y是奇数,则x与y都不是奇数C.若x＋y不是奇数,则x与y不都是奇数D.若x＋y不是奇数,则x与y都不是奇数8. 若命题p的逆命题为q,命题q的否命题为r,则命题p是命题r的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上都不对9．命题“若|a|＝|b|,则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.0B.1C.2D.410. 命题“已知a,b为实数,若a>b,则a>b”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.411.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________.12.在命题“若数列{a n}是等比数列,则a n≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________.13 .有下列四个命题：①“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1,则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为__________(填序号).14. 已知命题p：“若ac≥0,则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假.。
1.1.2四种命题-1.1.3四种命题间的相互关系课件
假 ____
真1
假 1 假1 假 假 (4)当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性 来证明.
答案 返回
题型探究
类型一 原命题的其他三种命题
例1 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题. 解
重点难点 个个击破
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
逆否命题.
答案
知识点二 四种命题的关系
思考1
为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如
果原命题是 “ 若 p ，则 q” ，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如
何表示？ 答案
则綈p.
逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，
答案
思考2
原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的
知识点一 四种命题的概念 思考 给出以下四个命题：
新知探究 点点落实
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与 结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4) 结论的否定和条件的否定.
解析答案
1
2
3
4
5
假 命题(填“真”或“假”). 2.命题“若x2≠1，则x≠1”的否命题是____
解析 命题 “ 若 x2≠1 ，则 x≠1” 的否命题是 “ 若 x2 ＝ 1 ，则 x ＝ 1” ，是
四种命题 四种命题间的相互关系
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数 根，假命题．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n ≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的 弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直 线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
3．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系．
温馨提示 在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不 会出现奇数个．
1．下列判断中不正确的是( ) A．命题“若 A∩B＝B，则 A∪B＝A”的逆否命题 为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知 a，b，m∈R，若 am2<bm2，则 a<b”的逆 命题是真命题 D．“若 x∈N*，则(x－1)2>0”是假命题
解析：A 中，逆否命题“若 A∪B≠A，则 A∩B≠B” 是真命题，正确；B 中，否命题“不是矩形的四边形的两 条对角线不相等”是假命题，正确；C 中，逆命题“已知 a，b，m∈R，若 a<b，则 am2<bm2”是假命题．所以 C 错误，符合题意．D 中，因为 x＝1 时，(1－1)2＝0，所以 是假命题，正确．
答案：C
2．命题“若 a＞b，则 2a＞2b－1”的否命题为 ___________________________________________． 解析：否命题为“若¬ p，则¬ q”，则否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b－1”． 答案：“若 a≤b，则 2a≤2b－1”
3．下列命题： ①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题； ②“若 k>0，则 x2＋2x－k＝0 有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“若 ab≠0，则 a≠0”的否命题； 其中真命题的序号为________． 解析：①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边 三角形”，真命题；②逆否命题“若 x2＋2x－k＝0 没有实 根，则 k≤0”，因为Δ＝4＋4k<0，所以 k<－1，满足 k
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系
(2)(2018·武汉二中期末)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3” 的否命题是( ) (A)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 (B)若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3 (C)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 (D)若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
(2)互否命题:一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和 结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题,把其中的一个命题叫做原命 题,另一个命题叫做原命题的 否命题 . (3)互为逆否命题:一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否 定和条件的否定,这样的两个命题叫做互为逆否命题,把其中的一个命题 叫做原命题,另一个命题叫做原命题的 逆否命题 .
答案:原命题与逆否命题的真假性相同;逆命题与否命题的真假性相同,原
命题与逆命题、否命题的真假没关系.
梳理 四种命题的真假性 一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:
原命题
逆命题
否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关
系如下:
新知探求 素养养成
知识点一 四种命题的概念 问题1:初中已学过命题与逆命题的知识,什么叫做命题的逆命题? 答案:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一 个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题. 问题2:除命题与逆命题之外是否还有其他形式的命题? 答案:有. 梳理 (1)互逆命题:一般地,对于两个命题,一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的 结论和条件 ,这样的两个命题叫做互逆命题,把其中一个 命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的 逆命题 .
第一章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系
逆否命题：若 a≤b，则 ac≤bc. (2)原命题：已知 x、y 为正整数，若 y＝x＋1，则 y ＝3 且 x＝2. 否命题：已知 x、y 为正整数，若 y≠x＋1，则 y≠3 或 x≠2. 逆否命题：已知 x、y 为正整数，若 y≠3 或 x≠2， 则 y≠x＋1.
归纳升华 1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题 的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和 结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进 行否定即得逆否命题．
1．由原命题写其他三种命题的关注点： (1)正确地将原命题改写成“若 p，则 q”的形式． (2)正确地对原命题的条件和结论进行否定． (3)对存在大前提的命题，注意在写其他三种命题时 大前提不要改变． 2．在判断命题的真假时，要注意互为逆否命题的等 价性．
(2)原命题与否命题． (3)原命题与逆否命题．
温馨提示 不是“若 p，则 q”形式的命题，最好先改写成“若 p，则 q”的形式，然后写出其他三种命题．
2．四种命题之间的关系
3．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系． 温馨提示
所以Δ＝1＋4a＜0，解得 a＜－14＜0. 所以命题“若方程 x2＋x－a＝0 无实根，则 a＜0”是 真命题． 法二：因为 a≥0，所以 4a≥0，所以 4a＋1＞0. 所以方程 x2＋x－a＝0 的判别式Δ＝1＋4a＞0. 所以方程 x2＋x－a＝0 有实根．
所以原命题“若 a≥0，则方程 x2＋x－a＝0 有实根” 为真命题．
2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、 否命题、逆否命题时，原命题的大前提仍作为各命题中的 大前提．
1.1.2-1.1.3四种命题、四种命题间的相互关系
2．四种命题的相互关系
第一章 常用逻辑用语
做一做 1.命题:“当a>1时,函数y＝ax在R上是增函数”的逆否 命题是__若__函__数__y_＝__a_x_在__R_上__不__是__增__函__数__,_则__a_≤_1__．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
3．四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况
原命题 真
真 假 假
逆命题 真
假 真 假
否命题 __真__ _假___
_真___ _假___
逆否命题 _真___
_真___ _假___ _假___
(2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有__相__同__的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 _没__有__关__系____．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
做一做 2.判断“若x2＋y2＝0,则x＝y＝0”的真假？ 解:利用逆否命题判断． 若x,y不全为0,则x2＋y2≠0是真命题, ∴x2＋y2＝0,则x＝y＝0是真命题．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 四种命题的概念
例1 把下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的 逆命题、否命题与逆否命题: (1)当 x＝2 时,x2－3x＋2＝0; (2)内错角相等．
栏目 导引
第一章 常用逻辑用语
【解】 (1)原命题:若x＝2,则x2－3x＋2＝0. 逆命题:若x2－3x＋2＝0,则x＝2. 否命题:若x≠2,则x2－3x＋2≠0. 逆否命题:若x2－3x＋2≠0,则x≠2. (2)原命题:若两个角是内错角,则它们相等． 逆命题:若两个角相等,则它们是内错角． 否命题:若两个角不是内错角,则它们不相等． 逆否命题:若两个角不相等,则它们不是内错角． 【名师点评】 写出原命题的逆命题、否命题及逆否 命题的关键是要分清条件p和结论q,对于语言形式的命 题一定先写成“若p,则q”的形式,叙述时要注意语句的 通顺性与逻辑性,并力求简洁.
课件2：1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
【规律方法】 1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先 考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若 p， 则 q”的形式，应改写成“若 p，则 q”的形式．然后再根据 定义写出其他三种命题．
2．常见词语的否定
词语
是
都是 ＞ 至少有 n 个 至多有 n 个
否定 不是 不都是 ≤ 至多有 n－1 个 至少有 n＋1 个
知识点二、四种命题的关系 【问题导思】 1．为了书写方便常把 p 与 q 的否定分别记作“¬p”和 “¬q”，如果原命题是“若 p，则 q”，那么它的逆命题，否 命题，逆否命题该如何表示？ 【提示】 逆命题：若 q，则 p. 否命题：若¬p，则¬q. 逆否命题：若¬q，则¬p.
2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关 系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？ห้องสมุดไป่ตู้命题 的逆命题与其否命题呢？
【自主解答】 (1)逆命题：若一个四边形的对角线互相 垂直，则它是菱形，是假命题．
否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相 垂直，是假命题．
逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个 四边形不是菱形，是真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高， 是真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等， 是真命题．
3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同 的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题， 解题时不要忽视．
【变式训练】 “已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋ a2＋2≤0 的解集是空集，则 a＜2”，判断其逆否命题的真假． 【解】 ∵a，x∈R，且 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集 是空集． ∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0， 则 4a－7＜0，解得 a＜74. 因此 a＜2，原命题是真命题．
最新人教版高中数学选修2-1第一章《四种命题间的相互关系》知识导学
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课标解读1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义.2.掌握四种命题之间的关系,并会判断四种命题的真假性.3.掌握反证法证题的一般步骤,并会用反证法证明简单的数学问题.学会思考1.用通俗易懂的语言来表述逆命题、否命题、逆否命题.2.你认为哪些类型的问题常用反证法证明?答案:1.关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以如下表述:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题.(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.2.以下几种形式的命题常用反证法证明:(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等;(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现;(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明;(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.自学导引1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________和_________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做_________(o r iginal p r opo s i t ion),另一个叫做原命题的_________(in v e rs e p r opo s i t ion).2.若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为_________.3.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的_________和 _________ ,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的_________(nega t i v e p r opo s i t ion).4.若原命题为“若p则q”,则它的否命题为“________”.5.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________和_________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个叫做原命题,则另一个叫做原命题的_________(in v e rs e and nega t i v e p r opo s i t ion).6.若原命题为“若p则q”，则它的逆否命题为“_________”.7.两个命题互为逆否命题,它们是_________具有_________.8.两个命题为_________或_________,它们的真假性没有关系.9.用反证法证明命题的一般步骤是:(1)___________________________；(2)___________________________；(3)___________________________.答案:1.结论条件原命题逆命题2.若q则p3.条件的否定结论的否定否命题4.若⌝p则⌝q5.结论的否定条件的否定逆否命题6.若⌝q则⌝p7.等价的相同的真假性8.互逆命题互否命题9.(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确典例启示知识点1四种命题的概念,并判断真假【例1】在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(把符合要求的命题的序号都填上)解析:①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面；显然不正确.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点;为真命题.答案:②启示:本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念.【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若ab=0,则a=0或b=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.解:(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,为假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题.否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题.逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题:若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题.逆否命题:若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.启示:在判断命题的真假性时,应充分利用原命题与逆否命题,逆命题和否命题是等价的 这一知识.【例3】写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等;(2)零的平方等于0.解析:本题的关键是弄清命题的否定,即 p与否命题的区别,命题的否定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.答案:(1)命题的否定:正n边形(n≥3)的n个内角不全相等;否命题:不是正n边形(n≥3)的n个内角不全相等.(2)命题的否定:零的平方不等于零;否命题:不等于零的数的平方不等于零.启示:求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词语.下面把常用的一些知识点2 反证法的应用【例4】 若a 、b 、c 均为实数,且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2z +3π,c =z 2-2x +6π,求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析:利用反证法证明.证明:(反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0,而a +b +c =x 2-2y +2π+y 2-2z +3π+z 2-2x +6π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2≥0,∴a +b +c >0.这与a +b +c ≤0矛盾, 因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.启示:含有“至多、至少”类型的命题常用反证法 证明.【例5】 已知a 、b 、c 是一组勾股数,即a 2+b 2=c 2,求证:a 、b 、c 不可能都是奇数. 分析:利用反证法证明.证明:假设a 、b 、c 都是奇数.∵a 、b 、c 是一组勾股数,∴a 2+b 2=c 2.①∵a 、b 、c 都是奇数,∴a 2、b 2、c 2也都是奇数.∴a 2+b 2是偶数,这样①式的左边是偶数右边是奇数,产生矛盾. ∴a 、b 、c 不可能都是奇数.启示:命题以否定的形式出现常选用反证法证明. 随堂训练1.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的…( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题 解析：依逆命题定义易得. 答案：A2.命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) A.上述四个命题 B.原命题与逆命题 C.原命题与逆否命题 D.逆命题与否命题解析：因真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题. 答案：C3.用反证法证明命题“32+是无理数”时，假设正确的是( ) A.假设2是有理数 B.假设3是有理数 C.假设2或3是有理数 D.假设32+是有理数4.命题“若A ∪B =A ,则A ∩B =B ”的否命题是…( )A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠B,则A∪B≠AD.若A∪B≠A,则A∩B=B答案:3.D 4.A5.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是_______，逆否命题是_______.答案:若a>0,则a>1若a≤0,则a≤16.给定下列命题:①“若k>0，则方程x2+2x-k=0”有实根；②“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是_______.解析:①Δ=4+4k>0,∴是真命题.②否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,是真命题.③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题.④否命题:“若xy≠0，则x、y都不为零”,是真命题.答案:①②④。
第一章1.1.2～1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
1．四种命题结构
问题一的感悟
四种命题的相互关系
由原命题写出其他三种命 题
1．分清原命题的条件和结论，
问题三的感悟
3，证明某一个命题为真命题时
可以通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题． 特别适合正面证明较困难的命题， 即：正难则反
课堂检测：
• 完成学习单（17）的当堂检测
课堂小结：
1，四种命题及其关系 2，四种命题的真假性的关系 3，利用互为逆否命题的真假性的一致性证明命题为真
Байду номын сангаас
问题一的感悟
2．如果原命题含有大前提，在写出四种命题时，必须
注意各命题中的大前提不变．
2．四种命题的真假性
问题二的感悟
否命题 逆否命题 真 假 真 假 真 真 假 假
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况
原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假
(2)四种命题的真假性之间的关系 ①互为逆否命题，它们有 相同 的真假性． ②两个命题为互逆或互否，真假性 没有关系 ．
高中数学 1.1.2-1.1.3四种命题 四种命题间的相互关系 新人教A版选修1-1
牛刀小试 2．(2015·山东文)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x －m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 [答案] D [解析] 当原命题的条件和结论分别否定并交换时为逆否 命题．
5．(1)原命题为真，它的逆命题__不__一__定____为真． (2)原命题为真，它的否命题___不__一__定___为真． (3)原命题为真，它的逆否命题___一__定__同___假___， 同一个命题的逆命题和否命题是一对互为_逆__否____的命题，它 们同__真____同___假_____．
写出下列命题的逆命题、否命 题与逆否命题．
(1)负数的平方是正数； (2)正方形的四条边相等． [分析] 此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改 写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与 逆否命题．
[解析] (1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正 数”．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数． 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
重点：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题． 难点：分析四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间 的关系．
命题的逆命题、否命题、逆否命题
新知导学 1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题 叫做__互__逆__命__题__，其中一个命题叫做___原__命__题___，另一个叫做 原命题的__逆__命__题____．
(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条 边相等．
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[课时作业]
[A组基础巩固]
1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
2．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B全是锐角”的否命题为() A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B中必有一个钝角
D．以上均不对
3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．下列说法中错误的个数是()
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”
②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”
A．1 B．2 C．3 D．4
5．命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是()
A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数
C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
7．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有__________个．
8．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
9．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；
(2)函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，log a2<0.
10．写出命题“若a≥－1
4，则方程x
2＋x－a＝0有实根”的逆命题、否命题和逆
否命题，并判断它们的真假．
[B组能力提升]
1．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是()
A．逆命题为“单调函数不是周期函数”
B．否命题为“周期函数是单调函数”
C．逆否命题为“单调函数是周期函数”
D．以上三者都不对
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()
A．3 B．2 C．1 D．0
3．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__________________，是________命题(填“真”或“假”)．
4．设有两个命题：
①关于x的不等式mx2＋1≥0的解集是R；
②函数f(x)＝log m x是减函数(m＞0且m≠1)．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m的取值范围是________．
5．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．6.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．。