第一章1.2.2空间中的平行关系1教师版
1.2.2空间中的平行关系-----面面平行
3.求证:夹在两个平行平 面间的平行线段相等.
B
已知: ∥ , AA∥BB, A , A , B , B . B′ 求证: AA BB A′ 证明: 连结AB, AB. 因为AA∥BB, 所以经过AA，BB能确定一个平面，记为平面 .
3、与同一直线成等角的两平面平行
α β
α
θ θ β
α θ β
4、垂直于同一平面的两平面平行 5、若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β
6、若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β
α m
n β
α γ
β
例1： 已知:三棱锥P-ABC中D,E,F 分别是棱PA,PB,PC的中点
求证:平面DEF//平面ABC 证明：在△PAB中，
A
AB AB AB∥AB AA∥BB ∥ AABB是平行四边形 AA BB.
课堂小结
• 一个概念
1.两个平面平行的定义;
• 两个定理
1．面面平行的判定定理☆ 2．面面平行的性质定理☆
A
a b
判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另
判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行； × （3）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面． ×
直线的条数不是关键
直线相交才是关键
判断下列命题是否正确？ 1、平行于同一直线的两平面平行 2、垂直于同一直线的两平面平行
已知: 求证:
证明: 因为∥ ,
空间里的平行关系数学教案设计
空间里的平行关系数学教案设计第一章：引言1.1 教学目标让学生了解平行关系的概念。
培养学生观察和识别空间中平行关系的能力。
1.2 教学内容平行关系的定义。
平行关系的性质。
1.3 教学方法观察和分析实际生活中的平行关系实例。
小组讨论和分享观察结果。
1.4 教学资源图片或实物展示平行关系的实例。
1.5 教学步骤1. 引入平行关系的概念，让学生思考在日常生活和学习中是否遇到过平行关系。
2. 展示一些实际生活中的平行关系实例，如教室里的书桌、街道上的交通标志等。
3. 引导学生观察和分析这些实例，发现平行关系的特征。
4. 学生分组讨论，分享观察结果，总结平行关系的性质。
5. 教师进行总结和强调平行关系的重要性。
第二章：平行线的性质2.1 教学目标让学生掌握平行线的性质。
培养学生运用平行线的性质解决问题的能力。
2.2 教学内容平行线的定义。
平行线的性质。
2.3 教学方法观察和分析实际生活中的平行线实例。
小组讨论和分享观察结果。
2.4 教学资源图片或实物展示平行线的实例。
2.5 教学步骤1. 回顾上一章的内容，引导学生思考平行关系的特征。
2. 引入平行线的概念，展示一些实际生活中的平行线实例，如黑板上的两条直线、书桌上的两条直线等。
3. 引导学生观察和分析这些实例，发现平行线的特征。
4. 学生分组讨论，分享观察结果，总结平行线的性质。
5. 教师进行总结和强调平行线的重要性。
第三章：平行公理3.1 教学目标让学生理解平行公理的概念。
培养学生运用平行公理解决问题的能力。
3.2 教学内容平行公理的定义。
平行公理的证明。
3.3 教学方法观察和分析实际生活中的平行关系实例。
小组讨论和分享观察结果。
3.4 教学资源图片或实物展示平行关系的实例。
3.5 教学步骤1. 引导学生回顾上一章的内容，了解平行线的性质。
2. 引入平行公理的概念，解释平行公理的含义。
3. 展示一些实际生活中的平行关系实例，引导学生运用平行公理进行分析。
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
第一章1.2.2空间中的平行关系1教案教师版
1.2.2空间中的平行关系(一)【学习要求】1．掌握空间中两条直线的位置关系．2．理解并掌握基本性质4及等角公理．【学法指导】通过平行直线、基本性质4及等角定理的学习，进一步加深对空间两直线位置关系的理解及运用；通过在平面上画出直线的位置关系，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．3．空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？探究点一平行直线问题1在初中平行直线是怎样定义的？答：我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．问题2初中学过的平行公理的内容是什么？答：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．问题3空间中两条直线有几种位置关系？分别是哪几种？答：空间两条直线的位置关系有且只有三种：问题4在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.答：教室里的地面和墙面相交的两条平行线与墙面和天花板相交的直线不在同一平面内，且三条直线两两平行．小结：基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．基本性质4通常又叫做空间平行线的传递性．问题5基本性质4有什么作用？如何用符号语言表示基本性质4?答：基本性质4作用：判断空间两条直线平行的依据．符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c，若a∥c，b∥c，则a∥b.例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB, BC 的中点，求证：EF∥A1C1.证明：如图，连接AC，在△ABC中，E, F分别是AB, BC 的中点，所以EF∥AC.又因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，BB1∥CC1且BB1＝CC1，所以AA1∥CC1且AA1＝CC1.即四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1，从而EF∥A1C1.小结：本题主要考查两条直线平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由基本性质4证明．跟踪训练1已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1、CC1的中点．求证：BF∥ED1.证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1、GE.∵F为CC1的中点，∴BG=C1F. ∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1.又∵EG∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴EG∥D1C1. ∴四边形EGC1D1为平行四边形．∴ED1∥GC1.∴BF∥ED1.探究点二等角定理问题1观察图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答：从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＝∠A′B′C′.小结：本题主要考查两条直线的平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由平行线公理证明．问题2试一试，如何证明等角定理呢？已知：如图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′.证明：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD，AE和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′，AE＝A′E′.因为AD綊A′D′，所以AA′D′D是平行四边形．可得AA′綊DD′.同理可得AA′綊EE′. 于是DD′綊EE′，因此DD′E′E 是平行四边形．可得DE ＝D′E′. 于是△ADE ≌△A′D′E′，因此∠BAC ＝B′A′C′.问题3 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？答：这两个角相等．如图，过∠2的一边作∠1的一边的平行线，则∠1与∠3的对应边分别平行且方向相同，所以∠1＝∠3，而∠2与∠3是内错角，所以∠2＝∠3，因此∠1＝∠2.问题4 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，如果一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？答：这两个角互补．因为延长一个角的一边，则这个角的补角与另一个角的两条对应边分别平行，且方向相反，所以一个角的补角与另一个角相等，所以这两个角互补．问题5 想一想，由等角定理能推出什么结论？答：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等．例2 如图，已知E ，E 1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点．求证：∠C 1E 1B 1 ＝ ∠CEB. 证明：由于E ，E1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点，所以EE 1∥DD 1，且EE 1＝DD 1，又因DD 1∥CC 1且DD 1＝CC 1， 所以EE 1∥CC 1且EE 1＝CC 1，所以四边形EE 1C 1C 是平行四边形． 所以E 1C 1∥EC.同理可得E 1B 1∥EB ， 所以由等角定理知∠C 1E 1B 1＝∠CEB.小结：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：①利用等角定理及其推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．请同学们利用第三种途径给予证明．跟踪训练2 已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明：(1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点，∴MN 是三角形的中位线， ∴MN//AC ，MN ＝12AC. 由正方体的性质得：AC//A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN//A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN≠A 1C 1， ∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN//A 1C 1， 又∵ND//A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.探究点三 空间四边形的有关概念问题1 阅读教材40页，你能说出什么是空间四边形？什么是空间四边形的顶点？什么是空间四边形的边？空间四边形的对角线？答：顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形；四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线问题2 你能画出一个空间四边形，并指出空间四边形的对角线吗？答：如图，是一个空间四边形， AC 、BD 是它的对角线.问题3 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，你能画出吗？答： 如下图中的两种空间四边形ABCD 和ABOC.例3 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接BD ， 因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ， 且FG ＝12BD. 因为EH ∥FG ， 且EH ＝ FG ,所以四边形EFGH 为平行四边形.跟踪训练3 在例3中，如果再加上条件AC ＝BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？解：四边形EFGH 是菱形．证明如下：由例3可知四边形EFGH 为平行四边形，连接AC ，由题意知HG 为△ADC 的中位线，所以HG ＝12AC ， 又因为EH 是△ABD 的中位线，EH ＝12BD ，由AC ＝BD 知，HG ＝EH.所以四边形EFGH 是菱形. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列结论正确的是 ( )A ．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B ．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C ．空间四边形的两条对角线可以相交D ．空间四边形的两条对角线不相交解析： 空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.2．下面三个命题， 其中正确的个数是 ( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A ．1个B ．2个C ．3个 D. 一个也不正确解析： 空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.课堂小结：1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．。
空间里的平行关系数学教案
空间里的平行关系数学教案第一章：平行关系的引入教学目标：1. 理解平行关系的概念。
2. 能够识别和描述平面内的平行线。
教学内容：1. 引入平行关系的概念，通过实际例子说明平行线的特点。
2. 引导学生观察和描述平行线之间的距离和角度关系。
教学活动：1. 利用直尺和铅笔，让学生在纸上画出两条直线，并尝试调整它们的位置，使它们成为平行线。
2. 让学生观察并描述平行线之间的距离和角度关系，引导学生发现平行线的特性。
教学评估：1. 通过观察学生的画作，评估学生对平行线概念的理解程度。
2. 通过学生的描述，评估学生对平行线之间距离和角度关系的理解程度。
第二章：平行线的性质教学目标：1. 掌握平行线的性质。
2. 能够应用平行线的性质解决问题。
教学内容：1. 学习平行线的性质，包括同位角相等、内错角相等和同旁内角互补。
2. 应用平行线的性质解决实际问题。
教学活动：1. 通过示例和练习，让学生了解平行线的性质，并能够应用到实际问题中。
2. 让学生进行小组讨论，分享彼此的应用实例，并互相纠正错误。
教学评估：1. 通过学生的练习题，评估学生对平行线性质的理解和应用能力。
2. 通过小组讨论，评估学生之间的合作和沟通能力。
第三章：平行线的判定教学目标：1. 掌握平行线的判定方法。
2. 能够应用平行线的判定方法解决问题。
教学内容：1. 学习平行线的判定方法，包括同位角相等、内错角相等和同旁内角互补。
2. 应用平行线的判定方法解决实际问题。
教学活动：1. 通过示例和练习，让学生了解平行线的判定方法，并能够应用到实际问题中。
2. 让学生进行小组讨论，分享彼此的应用实例，并互相纠正错误。
教学评估：1. 通过学生的练习题，评估学生对平行线判定方法的理解和应用能力。
2. 通过小组讨论，评估学生之间的合作和沟通能力。
第四章：平行线的应用教学目标：1. 掌握平行线的应用方法。
2. 能够应用平行线的性质和判定方法解决实际问题。
教学内容：1. 学习平行线的应用方法，包括计算平行线之间的距离和角度。
1.2.2 空间中的平行关系
张喜林制1.2.2 空间中的平行关系教材知识检索考点知识清单1．平行直线(1)在空间中两条不重合的直线有三种位置关系：、、 .(2)在同一平面内不相交的两条直线叫做．(3)过直线外一点一条直线与已知直线平行．(4)公理4． .(5)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别，并且____相同，那么这两个角____．2．直线与平面平行(1)直线与平面的位置关系有：如果一条直线和一个平面有两个公共点，则这条直线，记作____；如果一条直线和一个平面有且只有一个公共点，则这条直线，记作____；如果一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线____，记作．(2)直线与平面平行：a．判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线____，那么这条直线和这个平面____． b．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面____，那么这条直线就和两平面的, ．3．平面与平面平行(1)平面与平面的位置关系有：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做____，记作；如果两个平面有公共点，那么这两个平面有____．(2)平面与平面平行：a．判定定理：如果一个平面内有两条____直线平行于另一个____，那么这两个平面b．性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线．要点核心解读1．空间中的平行直线(1)空间中两条不重合的直线有三种位置关系：相交直线：同一个平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一个平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．(2)平行线公理：平行于同一条直线的两条直线平行，平行线公理也叫空间平行线的传递性．(3)空间中两直线平行的证明方法．证明空间中的两条直线平行，方法很多，到本节为止，我们只能用两种方法证明空间中两条直线平行． ①定义法用定义证明两条直线平行，需要证明两个方面：a ．两直线在同一平面内；b ．两直线没有公共点． ②公理法用公理证明两条直线平行，只需做一件事，那就是找媒介．两条直线a 与b 可能受空间几何体的阻隔，很难看出它们是平行的，可是c//a ，c∥b 可能很容易被看出来，这样通过公理便得知a//b. (4)等角定理及其推论．定理：如果一个角的两边和另一个角的两边对应平行并且方向相同，那么这两个角相等，推论：如果两条相交直线和另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等， 说明：事实上，如果一个角的两边和另一个角的两边对应平行，且方向都相反，这两个角也相等；方向一同一反时，这两个角互补． 2．直线与平面平行(1)直线和平面的位置关系．空间中的一条直线和一个平面的位置关系，以它们的公共点的个数的不同来分类，⎪⎩⎪⎨⎧------有无数个公共点直线在平面内有且只有一个公共点直线和平面相交无公共点直线和平面平行直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． (2)直线和平面平行的判定定理．如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行， ①此定理常常表述为“若线线平行，则线面平行”，符号表示为：.//,,//αααa b a b a ⇒⊂⊂/②用该定理判断线面平行，必须满足三个条件：第一，直线口在已知平面外；第二，直线6在已知平面内；第三，两直线平行，这三个条件是缺一不可的．③该定理的作用：证明线面平行．应用时，只需在平面内找到一条直线与平面外的直线平行即可． (3)直线和平面平行的性质定理，如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行， ①此定理常常表述为“若线面平行，则线线平行”．符号表示为：.//,,//b a b a a ⇒=⊂βαβα②定理中有三个条件：直线a 和平面α平行，平面α、β相交，直线a 在平面β内， ③作用：证明线线平行．应用时，需要经过直线找平面或作平面，即以平面为媒介证明两线平行，初学者常常这样做：已知直线a 与平面α平行，在α内作一条直线a 与α平行．这种做法是不可取的，这是一个成立而需要证明的命题，是不可直接应用的，正确的做法是：经过已知直线作一个平面和已知平面相交，这时交线和已知直线平行．(4)直线和平面平行的判定定理和性质定理的关系，直线和平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用，要防止判定定理和性质定理的错用，它们有如下关系：线线平行判定定理，线面平行性质定理，线线平行3．平面与平面平行(1)两个平面的位置关系．①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线．(2)两个平面平行的判定定理．如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．①此定理用符号表示为：,,,A b a b a =⊂⊂αα且,//βa ⋅⇒βαβ////b②利用判定定理证明两个平面平行，必须具备两个条件：有两条直线平行于另一个平面；这两条直线必须相交，这两个条件缺一不可．③此定理常常表述为“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面．(3)两个平面平行的性质定理．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．①此定理用符号表示为：.//,,//b a b a ⇒==βγαγβα②此定理常常表述为“面面平行，则线线平行”，必须注意这里的“线线平行”是指同一平面与已知两平行平面的交线，③关于两个平面平行的性质还有如下结论：两个平面平行，其中—个平面内的直线必平行于另—个平面 (4)空间平行关系的转化，典例分类剖析考点1 公理4的应用命题规律证明图形中的两条直线平行或借助平行线的证明判定图形是平行四边形或梯形。
第一章1.2.2空间中的平行关系3教案教师版
1.2.2空间中的平行关系(三)【学习要求】1．掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系．2．学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系．3．掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题．【学法指导】通过观察空间中平面与平面平行所用到的实物及模型，归纳抽象出两平面平行的判定定理，进一步得到面面平行的性质定理，培养空间问题平面化的思想及数学中化归与转化的思想方法.填一填：知识要点、记下疑难点1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3．判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．4．面面平行的性质定理：(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面．(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]通过前面的学习，对直线与平面的平行的判定有了一个明确的认识，那么空间中两个平面的平行如何判定呢？若两平面平行又有怎样的性质哪？本节我们就来研究这些问题．探究点一平面与平面之间的位置关系问题1拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？答：从实验中可以看出，两个平面之间的位置关系只有平行或相交．问题2两个平面平行是如何定义的？答：平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.问题3如何画两个平行平面？答：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线．小结：两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．问题4平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达？答：平面与平面平行的符号语言是α∥β；图形语言是：问题5已知α，β，直线a，b，且α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？答：平行或异面探究点二平面与平面平行的判定问题1生活中有没有平面与平面平行的例子呢？答：教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的．问题2三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？答：通过试验得出不一定平行．问题3因为两条相交直线确定唯一一个平面，这启示我们尝试用两条相交直线来讨论平面的平行问题．当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？答：当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行时，这个三角板或课本所在平面与桌面平行．小结：面面平行的判定定理：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.这个定理可简单记为线面平行，则面面平行．问题4如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？答：符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝A，a∥α，b∥α⇒α∥β. 图形表示：问题5如何证明面面平行的判定定理？已知：a，b⊂α，a∩b＝A，a，b∥β.求证：α∥β.证明：假设α∩β＝c.∵a∥β，a⊂α，∴a∥c.同理b∥c.于是在平面内过点A有两条直线与c平行，这与平行公理矛盾，假设不成立．∴α∥β.问题6如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？答：平行．因相交直线中的一条平行于另一个平面内的一条直线，由直线与平面平行的判定定理知，这条直线平行于另一个平面，同理相交直线中的另一条直线也平行于另一个平面，即一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所以由平面与平面平行的判定定理知，这两个平面平行．小结：判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．例1 如图，已知三棱锥P —ABC 中，D ，E ，F 分别是PA ，PB ，PC 的中点，求证：平面DEF ∥平面ABC. 证明： 在△PAB 中，因为D ，E 分别是PA ，PB 的中点，所以DE ∥AB ，又知DE ⊄平面ABC ，因此DE ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ，又因为DE∩EF ＝E ，所以平面DEF ∥平面ABC.小结：证明面面平行常用面面平行的判定定理及其推论，面面平行的定义也可以判定面面平行，但不常用．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD —A′B′C′D′中，求证：平面C′DB ∥平面AB′D′.证明： ∵AB ∥DC ∥D′C′，∴ABC′D′是平行四边形，∴BC′∥AD′.又∵BC′⊄平面AB′D′，AD′⊂平面AB′D′，∴BC′∥平面AB′D′.同理：C′D ∥平面AB′D′，∵BC′∩C′D ＝C′，∴平面C′DB ∥平面AB′D′.探究点三 平面与平面平行的性质问题1 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？答： 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行．问题2 如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？答：借助长方体模型，如右图，B′D′所在的平面A′C′与平面AC 平行，所以B′D′与平面AC 没有公共点．因此，直线B′D′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线．问题3 在长方体ABCD —A′B′C′D′中，平面AC 内哪些直线与直线B′D′平行呢？如何找到它们呢？答： 平面AC 内的直线只要与直线B′D′共面就平行．在平面AC 中，与BD 平行的直线也平行直线B′D′. 问题4 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？答： 两条交线平行．小结： 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．问题5 你能写出面面平行的性质定理的已知与求证，并给出证明吗？答：已知 如下图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b.求证 a ∥b.证明： ∵α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ⊂α，b ⊂β.因α∥β，∴a ，b 没有公共点．又因为a ，b 同在平面γ内，所以a ∥b.问题6 如何用符号语言表示面面平行的性质定理？这个定理的作用是什么？答： ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ； 定理的作用是由面面平行证明线线平行．例2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.求证：AB BC ＝DE EF. 证明：连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG .平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF.因为α∥β，β∥γ.所以BG ∥AD ，GE ∥CF.于是，得AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝DE EF. 所以AB BC ＝DE EF. 小结：由本例题可以得出一个重要结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．跟踪训练2 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．已知：如图所示，α∥β，AB ∥CD ，且A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β.求证：AB ＝CD.证明：因为AB ∥CD ，所以过AB ，CD 可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC 和BD.因为α∥β，所以BD ∥AC. 因此，四边形ABDC 是平行四边形． 所以AB ＝CD.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列说法正确的是(C)A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行解析：由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C.2．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是(B) A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：因l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β. 又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.3．已知A、B是平面α外的两点，则过A、B与α平行的平面有__0或1____个．解析：当直线AB与平面α相交时，不存在过A、B与平面α平行的平面；当直线AB∥α时，有且只有一个平面过A、B与平面α平行．课堂小结：1．证明平面与平面平行的一般思路为：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行．在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决．2．两个平面平行具有如下的一些性质：(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行；(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；(3)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交；(4)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．3．证明面面平行，常用平行公理、三角形中位线定理、构造平行四边形等来证明．。
原创1：1.2.2 空间中的平行关系（一）（讲授式）
练一练 空间中点、线、面的位置关系
1．空间两直线平行是指它们（ B ）
A．无交点
B．共面且无交点
C．和同一条直线垂直 D．以上都不对
2．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角
（C）
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．既不相等也不互补
3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位
B'
D
E
在空间中，如果一个角的两边和
C'
A
C
B
∠BAC=∠B’A’C’
∠EAC+∠B’A’C’ =180°
新课讲授
空间四边形
空间四边形：顺次连接不共面 的四点A，B，C，D所构成的图形，
叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的定点；
所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的
思考：这两个结论在立体几何中还成立吗？
新课讲授
请大家对照
右边的正方体，
思考上面的两
个问题.
公理4 空间平行线的传递性来自（1）过点A '与直线AB平行的直
线只有A' D' . (结论1成立)
D'
A'
（2）已知在正方体中有
平行于同一条直线的两直线互相平行
思考：初中学过的结论“在同一平面内垂直于
同一直线的两条直线平行”在空间中还成立吗？
B'
D
A' D' ∥AD，AD∥BC，
则A' D' ∥ BC. (结论2成立)
C'
A
C
B
空间平行线
的传递性
1.2.2空间中的平行关系1
如果一个角的两边与另一个角的两边分 别对应平行，那么这两个角的关系又如 何呢？ 推论1 若一个角的两边与另一个角 的两边分别对应平行，且方向都相 反，则这两个角相等。
推论2 若一个角的两边与另一个角 的两边分别对应平行，且一组对应 边方向相同，另一组对应边方向相 反，则这两个角互补。
空间四边形：顺次连结不共面的四 点A、B、C、D所构成的图形。 各个点叫做空间四边形的顶点； 连接相邻顶点间的线段叫做空间四 边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间 A 四边形的对角线。
A
A1
E
C
证明：
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截 取线段AD=A1D1和AE=A1E1. 因为AD // A1D1,所以AA1D1D 是平行四边形， 所以AA1 // DD1 同理可得AA1 // EE1 B1 D 所以DD1E1E是平行四边形。 A1 C1 在△ADE和△A1D1E1中， E1 B AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1， D 于是△ADE≌△A1D1E1， A 所以∠BAC=∠B1A1C1 E C
线线平行
初中平面几何中的平行公理
和平行线的传递性的内容是什么？
2.三棱柱、四棱柱的侧棱有什么关系？ 图片中的直线间的位置关系是什么？ 观察教室，哪些直线是平行？
三棱柱
四棱柱
3.把一张长方形的纸对折几次，打开， 观察折痕，这些折痕之间有什么关系？
基本性质4：平行于同一条直线的两条 直线互相平行 注：此性质通常称为平行线的传递性
直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于
计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范
围的约束。
补充：
• 1、空间四边形ABCD中，PR分别 是AB、CD的中点，且PR=
第一章1.2.2空间中的平行关系2教案教师版
1.2.2空间中的平行关系(二)【学习要求】1．掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系．2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系．3．掌握空间中平面与平面的位置关系．【学法指导】通过观察图形，借助已有知识，在发现中学习，增强学习的积极性，进而掌握直线与平面平行的判定定理，初步了解空间中平面互相转化的数学思想．填一填：知识要点、记下疑难点1．直线a和平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，这个公共点叫做直线与平面的交点；直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行 .2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在直线与平面的位置关系中，平行关系在实际生活中应用最为广泛，如何判别线面平行？线面平行后又有什么性质哪？本节我们就来研究这个问题．探究点一空间中直线与平面之间的位置关系问题1一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？答：有三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．问题2如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？答：线段A′B在平面A′ABB′内，与平面D′DCC′平行，与其余四个面相交．小结：直线与平面的位置关系有且只有三种：即：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．其中直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外，记作a⊄α.例1下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0 B．1 C．2 D．3解析：如右图借助长方体模型来看上述问题是否正确．问题①不正确，相交时也符合；问题②不正确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；问题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；问题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．所以选B. 答案 B 小结：根据直线与平面公共点的个数的多少，可以判断直线与平面的位置关系，有一个公共点是相交，两个以上是直线在平面内，没有公共点是直线与平面平行．跟踪训练1已知直线a在平面α外，则()A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝A D．直线a与平面α至多有一个公共点解析：因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D.探究点二直线与平面平行的判定问题1将课本的一边紧贴桌面，转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何呢？答：因为没有公共点，所以课本的上边缘与桌面是平行的．问题2我们知道门扇是平行的，当门扇绕着一边转动时，此时门扇转动的一边与门框所在的平面有怎样的关系？为什么？答：平行．因为当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点．问题3如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？答：两条直线共面，直线a与平面α不相交．小结：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．可以简单说成：线线平行⇒线面平行．问题4 如何用符号语言表达直线与平面平行的判定定理？答： ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂平面αb ⊄平面αa ∥b ⇒b ∥平面α. 问题5 如何证明直线与平面平行的判定定理？已知 l ⊄α，m ⊂α，l ∥m ，求证 l ∥α.证明：如果一条直线l 和平面α相交，则l 和α一定有公共点，可设l∩α＝P.再设l 与m 确定的平面为β，则依据平面基本性质3，点P 一定在平面α与平面β的交线m 上．于是l 和m 相交，这和l ∥m 矛盾，所以可以断定l 与α不可能有公共点．即l ∥α.探究点三 直线与平面平行的性质问题1 如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？这条直线与这个平面内的多少条直线平行？答：如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行，但在这个平面内却有无数条直线与这条直线平行．问题2 如果一条直线a 与平面α平行，在什么条件下直线a 与平面α内的直线平行呢？为什么？答：由于a 与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a 的某一平面，若与平面α相交，则直线a 就平行于这条交线．下面我们来证明这一结论．如图，已知a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b.求证：a ∥b. 证明： 因为α∩β＝b ，所以b ⊂α.因为a ∥α，所以a 与b 无公共点． 又因为a ⊂β，b ⊂β，所以a ∥b.小结：线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．简记为：线面平行则线线平行．问题3 线面平行性质定理如何用符号语言表示？线面平行性质定理有何用途？答： 符号表示： ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl ⊂βα∩β＝m ⇒l ∥m 可证明两直线平行．例2 已知空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD.证明: 连接BD ，在△ABD 中，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，又因为BD ⊂平面BCD ， EF ⊄平面BCD ， 所以EF ∥平面BCD.小结: 证明线面平行的方法：(1)定义法：直线与平面没有公共点；(2)判定定理：(线线平行⇒线面平行)；用判定定理证明线面平行时，在寻找平行直线时，可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成．跟踪训练2 如图，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b. 那么，a 与c ，b 与c 有什么关系？为什么？解: a 与c ，b 与c 的关系为：a ∥b ∥c. 因为γ∩α＝a ，β∩γ＝b ，α∩β＝c ，且a ∥b ，由b ⊂β，a ⊄β，得a ∥β； 又a ⊂α，a ⊄β，β∩α＝c ，得a ∥c ，所以a ∥b ∥c.例3 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内． 已知: l ∥α，点P ∈α，P ∈m ，m ∥l. 求证: m ⊂α.证明：设l 与P 确定的平面β，且α∩β＝m′，则l ∥m′，又知l ∥m ，m∩m′＝P ，由平行公理可知，m 与m′重合．所以m ⊂α.小结:平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．跟踪训练3 如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面A′C′.(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与平面AC 是什么位置关系？解: (1)如图，在平面A′C′，过点P 作直线EF ，使EF ∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E ，F.连接BE ，CF.则EF 、BE 、CF 就是应画的线．(2)因为棱BC 平行于平面A′C′， 平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC ∥B′C′.由(1)知，EF ∥BC ，因此， ⎭⎪⎬⎪⎫EF∥BC EF⊄平面AC BC⊂平面AC ⇒EF ∥平面AC.BE 、CF 显然都与平面AC 相交.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是(D)A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则(C)A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是(B)A．相交B．平行C．异面D．相交或异面解析：由直线与平面平行的性质定理知l∥m.课堂小结：1．直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α.使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．2．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：。
空间中的平行
直线都平行于另一个平面
⑷两个平面平行的性质
1 两个平面没有公共点
两 个 平 面 平 行
2 其中一个平面内的直线平行于另 一个平面 3 两个平行平面同时和第三个平面相 交，它们的交线平行 4 夹在两个平行平面间的平行线段相 等
小结： 三种平行关系的转化 线 平行 线
线面平行性质 线面平行判定
线 面面平行判定
思考1
平面α内有一条直线和平面β平行，则 α//β。错！
思考2
平面 内有两条直线与平面平行， 则 // 错！
//
错！
思考3 平面 内有无数条直线与平面 平行，则
抽象概括：
⑶平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a
b
P
应用巩固：
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予 以证明. A E D B F C
解：EF∥平面BCD。 证明：如图，连接BD。在△ABD中， E， F分别为AB，AD的中点，
∴EF ∥BD,
EF 平面BCD
BD 平面BCD
直线AB、CD各有什么特点呢？ 有什么关系呢？
C
数学
D
从中你能得出什么结论？
A
B
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一条 直线，如果CD ∥ AB ，则CD ∥桌面
直线和平面平行 的判定定理:
如果不在一个平面内的一条直线 和平面内的一条直线平行，那么这条 直线和这个平面平行。
a b α 线线平行
a b a // a // b
1.2.2空间中的平行关系(1)2012-12-17王荣福
郭鑫、李国栋、卢洪燕、朱春丽、林磊
高雨靖、王君祥、左晨曦、张宏民 陈亚萍、潘少华（一人未交） 李廷坤、戴均贞（一人未交） 亓怀菊 张红、赵相坤、李栋、初春雨、于文涛
得分 3 4 4 5 4 0 0 1 4
学案反馈
存在的问题：
1.不能想象空间中两条直线的位置关系； 2.对基本性质4的应用不熟练； 3. 对空间几何四边形的概念理解不透彻。
高效展示
展示问题
问题导学1、2、3 问题导学4、5 例1和拓展 例2 例2拓展
展示位置 展示小组
前黑板 前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 6组 2组 7组 3组 8组
目标： （1）展示人规范快速， 总结规律（用彩 笔）； （2）其他同学讨论完 毕总结完善，A 层注意拓展，不 浪费一分钟； （3）小组长要检查落 实，力争全部达 标
合作探究
重点讨论内容： 1.空间中两条直线的位置关系； 2.利用基本性质4证明有关 问题的方法; 3.对于空间四边形的理解； 4.自己的疑难问题. 目标：
（1）小组长首先安排讨论任务，人人参与，热烈讨论，积极表达自己的观点， 提升快速思维和准确表达的能力。 （2）小组长调控节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA力争拓展 提升，BB、CC解决好全部展示问题。 （3）讨论时，手不离笔、随时记录，未解决的问题，组长记录好，准备展示 质疑。
所以 EF ∥ AC
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1 所以 AA1∥CC1 且 AA1∥CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 所以AC∥A1C1 从而 EF∥A1C1.
例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点. 求证：∠C1E1B1 = ∠CEB. 分析：设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB.
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1.2.2 空间中的平行关系(一)
一、基础过关
1． 经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．0个或1个
D ．1个或2个
2． 若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是
( )
A ．O
B ∥O 1B 1且方向相同
B ．OB ∥O 1B 1
C ．OB 与O 1B 1不平行
D ．OB 与O 1B 1不一定平行
3． 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 ( )
A ．一定平行
B ．一定相交
C ．一定异面
D ．相交或异面
4． 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别为AA 1、CC 1的中点，则四边形D 1PBQ 是( )
A ．正方形
B ．菱形
C ．矩形
D ．空间四边形
5． 空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
6． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________；
(2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________；
(3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________；
(4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．
7． 已知直线AB 、CD 是异面直线，求证：直线AC 、BD 是异面直线．
8． 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12
FA ，G 、H 分别
为FA 、FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？
二、能力提升
9． 如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，
则下列结论正确的是 ( )
A ．MN≥12(AC ＋BD)
B ．MN≤12
(AC ＋BD)
C ．MN ＝12(AC ＋BD)
D ．MN<12
(AC ＋BD) 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三
条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线 ( )
A ．不存在
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有无数条
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB ∥CM ；
②EF 与MN 是异面直线；
③MN ∥CD. 以上结论中正确结论的序号为________．
12．如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是△PAB 、△PBC 的重心．
求证：DE ∥AC ，DE ＝13
AC. 三、探究与拓展
13．如图所示，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 上的点，且满足AE AB ＝AF AC ＝AG AD
. 求证：△EFG ∽△BCD.
答案
1．C 2.D 3.D 4．B
5．60°或120°
6．(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
7．证明 假设AC 和BD 不是异面直线，则AC 和BD 在同一平面内，设这个平面为α. ∵AC ⊂α，BD ⊂α，
∴A 、B 、C 、D 四点都在α内，
∴AB ⊂α，CD ⊂α.
这与已知中AB 和CD 是异面直线矛盾，故假设不成立．
∴直线AC 和BD 是异面直线．
8．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，
可得GH 綊12AD.又BC 綊12AD ，
∴GH 綊BC ，
∴四边形BCHG 为平行四边形．
(2)解 由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，
∴四边形BEFG 为平行四边形，
∴EF ∥BG .
由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，
∴EF 与CH 共面．
又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．
9．D
10．D
11.①②
12．证明 连接PD 并延长交AB 于M ，
连接PE 并延长交BC 于N ，则M 为AB 的中点，N 为BC 的中点，
∴MN ∥AC ，
又PD DM ＝PE EN ＝21，
∴DE ∥MN ，
∴DE ∥AC.
又DE MN ＝PD PM ＝23，
∴DE ＝23MN ，又∵MN ＝12AC ，
∴DE ＝13AC.
13．证明 在△ABC 中，∵AE AB ＝AF AC ，
∴EF ∥BC 且EF BC ＝AE AB .
同理，EG ∥BD 且EG BD ＝AE AB .
又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同，
∴∠FEG ＝∠CBD.∵EF BC ＝EG BD ，
∴△EFG ∽△BCD.。