2012届高考数学冲刺复习课件之导数及其应用
2012高考数学热点考点精析：导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(新课标地区)
考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得最大值，由,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1n m f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值. 【精讲精析】选B.函数()()1nm f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(nm m +上大于0，在)1,(nm m +上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2 由063)(2=-='x xx f 解得0=x 或2=x ，列表如下：x()0,-∞0 ()2,02 ()+∞,2)(x f ' +-+)(x f 增 极大值 减 极小值 增∴当2=x 时，y 取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可． 【精讲精析】选A ，)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-xe 0>，∴2ln >x ．由)(x f '0<得，2ln <x ．∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e ，∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
(新课标)高考数学一轮复习-第二章 函数、导数及其应用 第4讲 指数与指数函数课件
指数函数的性质及应用
(1)(2015·山东)设 a＝0. 60. 6，b＝0. 61. 5，c＝1. 50.
m
an
＝___n _a____(a＞0，m，n∈N＋，n＞1).
②正数的负分数指数幂的意义是
1
m
a－ n
m
＝___a_n____＝ n
1 (a＞0，m，n∈N＋，n＞1). am
③0 的正分数指数幂是___0_____,0 的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋__s ________(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)sa＝rs__________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)ra＝rb_r _________(a＞0，b＞0，r∈Q). (3)无理指数幂 一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个___确__定_的 实数，有理指数幂的运算法则____同__样__适__用于无理指数幂.
(1)(2015·安庆模拟)已知函数 f(x)＝ (x－a)·(x－b)(其中 a＞b)，若 f(x)的图象 如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是 导学号 25400269 ( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值 范围是________. 导学号 25400270
值域
_(_0_，__＋__∞_)__
性 单调性 在R上_____递__减___
在R上____递__增____
高中数学 复习课(三)导数及其应用(含解析)1数学教案
复习课(三) 导数及其应用 导数的概念及几何意义的应用近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般题目难度较小．[考点精要](1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解． [典例] (2017·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．[解析] 由题意可知f ′(x )＝a －1x， 所以f ′(1)＝a －1，因为f (1)＝a ，所以切点坐标为(1，a )，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，即y ＝(a －1)x ＋1.令x ＝0，得y ＝1，即直线l 在y 轴上的截距为1.[答案] 1[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y ＝x 3在(1,1)处的切线l 与y ＝x 3的图象还有一个交点(－2，－8)．[题组训练]1．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.2．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393 解析：选D y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393，故选D. 导数与函数的单调性形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题．[考点精要]函数的单调性与导函数值的关系若函数f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )在(a ，b )任意子区间内部不恒等于0.f ′(x )＞0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递增；f ′(x )＜0⇒函数f (x )在(a ，b )上单调递减．反之，函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇒f ′(x )≥0；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇒f ′(x )≤0.即f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是f (x )为增(减)函数的充分不必要条件．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．[典例] (2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.讨论f(x)的单调性．[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a＜0，则当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a时，f′(x)＞0；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫－12a，＋∞时，f′(x)＜0，故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－12a，＋∞上单调递减．[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[注意] 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．[题组训练]1．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，且x ＞0，由f ′(x )＞0，即4x 2－1＞0，解得x ＞12.故选C.2．已知函数f (x )＝－12x 2＋2x －a e x . (1)若a ＝1，求f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝－12x 2＋2x －e x ， 则f (1)＝－12×12＋2×1－e ＝32－e ， f ′(x )＝－x ＋2－e x ，f ′(1)＝－1＋2－e ＝1－e ，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫32－e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x ＋12. (2)∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，∵f (x )＝－12x 2＋2x －a e x ， ∴f ′(x )＝－x ＋2－a e x ，于是有不等式－x ＋2－a e x ≥0在R 上恒成立，即a ≤2－x e x 在R 上恒成立， 令g (x )＝2－x e x ，则g ′(x )＝x －3ex ， 令g ′(x )＝0，解得x ＝3，列表如下：x(－∞，3) 3 (3，＋∞) g ′(x )－ 0 ＋ g (x )－1e 3 故函数g (x )在x ＝3处取得极小值，亦即最小值，即g (x )min ＝－1e 3，所以a ≤－1e3， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e 3. 导数与函数的极值、最值的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大．[考点精要]1．导数与函数单调性、极值的关系(1)f ′(x )>0在(a ，b )上成立，是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件．(2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．2．利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f ′(x 0)＝0时，x 0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e xcos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. [类题通法]1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )．(2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法(1)求f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值．[题组训练]1．函数f (x )＝1＋3x －x 3( )A ．有极小值，无极大值B ．无极小值，有极大值C ．无极小值，无极大值D ．有极小值，有极大值解析：选D f ′(x )＝－3x 2＋3，由f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＞0，∴f (x )的单调增区间为(－1,1)；同理，f (x )的单调减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴当x ＝－1时，函数有极小值－1，当x ＝1时，函数有极大值3，故选D.2．已知函数f (x )＝1＋ln x x(x ≥1)， (1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由；(2)若f (x )≥k x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝－ln x x2，∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0. 故函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵x ≥1，∴f (x )≥kx ＋1⇔x ＋11＋ln x x ≥k ，令g (x )＝x ＋11＋ln x x ， ∴g ′(x )＝[x ＋11＋ln x ]′x －x ＋11＋ln x x 2＝x －ln x x 2. 再令h (x )＝x －ln x ，则h ′(x )＝1－1x.∵x≥1，则h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴[h(x)]min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.故实数k的取值范围为(－∞，2].生活中的优化问题既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．[考点精要]解答思路[典例] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 因为r ＞0，又由h ＞0可得r ＜53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[类题通法]利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y ＝f (x )，根据实际问题确定y ＝f (x )的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的所有实数根．(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．[题组训练]1．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x 千册(0＜x ＜150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40， y ′＝－4 500x 2＋20＝20x ＋15x －15x 2，∴当0＜x ＜15时，y ′＜0，当15＜x ＜150时，y ′＞0. 故当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)． 即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．答案：10 15 0002．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解：设轮船速度为x (x ＞0)千米/时的燃料费用为Q 元，则Q＝kx 3，由6＝k ×103，可得k ＝3500.∴Q ＝3500x 3. ∴总费用y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x . ∵y ′＝6x 500－96x 2. 令y ′＝0，得x ＝20.∴当x ∈(0,20)时，y ′＜0，此时函数单调递减，当x ∈(20，＋∞)时，y ′＞0，此时函数单调递增．∴当x ＝20时，y 取得最小值，∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．1．下面求导运算正确的是( )A ．(2x )′＝2xlog 2eB ．(x 3sin x )′＝3x 2cos xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫x cos x ′＝－1sin x D ．(x ＋log 3x )′＝1＋1x ln 3解析：选D (2x )′＝2x ln 2，(x 3sin x )′＝3x 2sin x ＋x 3·cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x cos x ′＝cos x ＋x sin x cos 2x ，(x ＋log 3x )′＝1＋1x ln 3，所以选D.2．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c ＜14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14解析：选A 由题意得f ′(x )＝x 2－x ＋c ，若函数f (x )有极值，则Δ＝1－4c ＞0，解得c ＜14. 3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．已知f (x )＝3x 2＋ln x ，则li m Δx →0 f 1＋2Δx －f 1－Δx Δx＝( ) A ．7B.73 C ．21 D ．－21解析：选C ∵f ′(x )＝6x ＋1x， ∴li m Δx →0 f 1＋2Δx －f 1－Δx Δx＝3li m 3Δx →0 f 1＋2Δx －f 1－Δx 3Δx＝3f ′(1)＝21. 5．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )A ．eB ．1C ．－1D ．－e解析：选C 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝1x －1＝1－x x，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增；当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减．当x ＝1时，函数取得最大值－1，故选C.6．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6]解析：选C f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．7．曲线y ＝cos x x 在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0处的切线方程为________． 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′⎪⎪⎪ x ＝π2＝－2π. ∴所求切线的方程为y －0＝－2π⎝⎛⎭⎪⎫x －π2， 即y ＝－2πx ＋1. 答案：y ＝－2πx ＋1 8．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________． 解析：f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.因为f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， 所以函数f (x )在区间[－3,3]上的最小值是－16.答案：－169．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1＜2＜x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1，x 2满足x 1＜2＜x 2，所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2＜0，解得2＜a ＜6.答案：(2,6)10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2＋4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x －3.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极小值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x ＋4.∵曲线在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x －3.∴f (0)＝－3，f ′(0)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＋b ＋4＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝e x(x －3)－x 2＋4x ， f ′(x )＝e x (x －2)－2x ＋4＝(x －2)(e x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2或x ＝2.∴当x ∈(－∞，ln 2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(ln 2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－∞，ln 2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减．∴当x ＝2时，函数f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝4－e 2.11．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x.若每吨商品售价为ln x x万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式；(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x ，x ∈80，100]. (2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－x －50x ＋20x ，∴L (x )在[20,50)上单调递增，在[50,80)上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250；当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x单调递增， ∴L (x )max ＝1 000ln 100－2 000.∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2＞1 750－1 000＞0，∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元．12．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的导函数为h (x )，f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为3x －y ＋4＝0，且h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，又直线y ＝x 是函数g (x )＝kx e x 的图象的一条切线．(1)求函数f (x )的解析式及k 的值；(2)若f (x )≤g (x )－m ＋1对于任意x ∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范围．解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，可知h (x )＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (x )在(－2，f (－2))处的切线方程为3x －y ＋4＝0可知，f (－2)＝－8a ＋4b －2c ＝－2，①f ′(－2)＝12a －4b ＋c ＝3，②又由h ′(x )＝6ax ＋2b 可知，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4a ＋2b ＝0，③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝1，c ＝1， 所以f (x )的解析式为f (x )＝12x 3＋x 2＋x . 由题意，g (x )＝kx e x与y ＝x 相切可知函数在原点或(－ln k ，－ln k )处切线斜率为1.因为g ′(x )＝k (e x ＋x e x )，所以g ′(0)＝k ＝1或g ′(－ln k )＝1，得k ＝1.综上可得k 的值为1.(2)若f (x )≤g (x )－m ＋1对任意x ∈[0，＋∞)恒成立， 即12x 3＋x 2＋x ≤x e x －m ＋1恒成立， 则m －1≤x e x －12x 3－x 2－x 恒成立．设q (x )＝x e x－12x 3－x 2－x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1， 令p (x )＝e x－12x 2－x －1， p ′(x )＝e x －x －1，再令φ(x )＝e x －x －1，φ′(x )＝e x－1＝0，解得x ＝0. 所以当x ∈[0，＋∞)时，φ′(x )≥0，所以φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，所以φ(x )≥φ(0)＝0，即p ′(x )≥0，所以p (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以p (x )≥p (0)＝0， 所以当x ∈[0，＋∞)时，q (x )≥0恒成立，且q (0)＝0， 因此，m －1≤0即可，则m ≤1.故m 的取值范围为(－∞，1]．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1B ．∀x ∈R,2x －3>1C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1 解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．函数y ＝－1x的图象在点(1，－1)处的切线的方程是( ) A ．x －y －2＝0B ．2x －2y ＋3＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y ＝0解析：选A ∵y ′＝1x2，∴y ′| x ＝1＝1，∴y ＝－1x在点(1，－1)处的切线的斜率为1，∴切线的方程为y －(－1)＝x －1， 即x －y －2＝0，故选A.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ， ∴1a＝－8，∴a ＝－18.4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5．已知甲：a ，b ，c 成等差数列；乙：a b ＋cb＝2.则甲是乙的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a b ＋cb＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋cb＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以甲是乙的必要不充分条件，故选A.6．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝cm＝m ＋nm＝2，②联立方程①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.7．下列命题的否定是真命题的是( )A ．存在向量m ，使得在△ABC 中，m ∥AB ―→且m ∥AC ―→B ．对所有正实数x ，都有x ＋1x≥2C ．对所有第四象限的角α，都有sin α<0D ．有的幂函数的图象不经过点(1,1)解析：选D A 中，当m ＝0时，满足m ∥AB ―→且m ∥AC ―→，所以A 是真命题，其否定是假命题； B 中，由于x >0，所以x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，所以B 是真命题，其否定是假命题；C 中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C 是真命题，其否定是假命题；D 中，对于幂函数f (x )＝x α，均有f (1)＝1， 所以幂函数的图象均经过点(1,1)，所以D 是假命题，其否定是真命题．故选D. 8.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1， ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94.当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1解析：选B 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大．此时∠F 1PF 2＝2π3，得a ＝m ＝2 3，b ＝n＝3，故m ＋n ＝15.10．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.23解析：选A由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|F 1A |－|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，解得|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，又由已知可得ca＝2，所以c ＝2a ，即|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|F 2A |2＋|F 1F 2|2－|F 1A |22|F 2A |·|F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝14.故选A.11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增， 所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4. 故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定 解析：选A 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f xex′ex2＝f ′x －f xex，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1e x 1＜f x 2e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：314．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]15．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线x 2＝4y的准线所围成的三角形的面积为2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ，抛物线的准线方程是y ＝－1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ，－1，(0,0)， 该三角形的面积等于2×12×a b ×1＝ab＝2，因此该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52. 答案：5216．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 000三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0.若(綈p )∧q 为真，求m 的取值范围．解：p 真时，m >2.q 真时，4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，解得1≤m ≤3.∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2.∴所求m 的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m,4)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点M 的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲线的渐近线方程．解：(1)由抛物线的定义可得4＋p2＝5，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)把M (m,4)代入x 2＝4y 可得m ＝±4， 所以M 点的坐标为(±4,4)，∵抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，∴a ＝1，∴双曲线的方程为y 2－x 2b2＝1(b ＞0)，代入M (±4,4)得b 2＝1615，b ＝415，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±1415x ，即为y ＝±154x .19．(本小题满分12分)已知a ＜2，函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )·e x .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )的极大值是6e －2，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x， 则f ′(x )＝(x 2＋3x ＋2)e x. 由f ′(x )≥0得x 2＋3x ＋2≥0，即x ≥－1或x ≤－2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)． (2)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋a )e x＝[x 2＋(a ＋2)x ＋2a ]e x.由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝－a ， 因为a ＜2，所以－a ＞－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：即(4－2a ＋a )e －2＝6e －2，所以a ＝－2.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA ―→·OB―→＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋24－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)．因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.21．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为a 2＞1－a 2,2c ＝1，a 2＝1－a 2＋c 2，则a 2＝58，所以椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，Q (0，m )， 则F 2P ―→＝(x －c ，y )，QF 2―→＝(c ，－m )，F 1P ―→＝(x ＋c ，y )，F 1Q ―→＝(c ，m )．由F 2P ―→∥QF 2―→，F 1P ―→⊥F 1Q ―→， 得⎩⎪⎨⎪⎧m c －x ＝yc ，c x ＋c ＋my ＝0，所以(x －c )(x ＋c )＝y 2，即x 2－y 2＝c 2.由椭圆E 的方程可知，c 2＝a 2－(1－a 2)＝2a 2－1， 所以x 2－y 2＝2a 2－1, 即y 2＝x 2－2a 2＋1. 将上式代入椭圆E 的方程，得x 2a 2＋x 2－2a 2＋11－a2＝1， 解得x 2＝a 4.因为点P 是第一象限内的点，所以x ＝a 2，y ＝1－a 2. 故点P 在定直线x ＋y ＝1上．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点． (2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x＋4x －3，∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤e x－12x 2－1x.令g (x )＝e x－12x 2－1x，则g ′(x )＝e xx －1－12x 2＋1x2. 令φ(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x－1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－18－112＝2e －94， ∴a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e －94.。
高考数学一轮总复习教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+
sin 2x,则f(x)的最小值是
.
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
高考总复习一轮数学精品课件 第4章 导数及其应用 第1节 导数的概念及其意义
即在点(x0,f(x0))处
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,
f'(x0)
即k0=__________.
微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的
4
√2 √2
B,直线的斜率为 m=- 3 <- 4 ,故 B 错误;
√2
C,直线的斜率为 m=- 4 ,故 C 正确;
√2
x= 2 时,等号成立,
√2
≥2√2,因此- ≤m<0.
4
对于 D,直线的斜率为 m=√2>0,故 D 错误,故选 AC.
考点三
导数几何意义的应用(多考向探究预测)
考向1 求曲线的切线方程
所以切线方程为
1
y-2=2(x-1),整理可得
4x-2y-3=0.
1
k=2,切点为(1, ),
2
考向2 求参数的值或范围
例4(1)(2024·广东惠州模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则实数
a=( C )
A.-1
B.1
C.2
D.3
1
1
解析 设切点的坐标为(x0,y0),由于 y'= ,所以切线的斜率为
1 3 2
h(t)= t +t ,当t=t0时,液体上升高度的瞬时变化率为3
3
cm/s,则当t=t0+1时,液
体上升高度的瞬时变化率为( C )
A.5 cm/s
B.6 cm/s
高考数学复习第三章导数及其应用3-3导数与函数的极值最值文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课
4．函数 y＝xlnx 有极________(填大或小)值为________． [解析] y′＝lnx＋1，当 x>1e时，y′>0,0<x<1e时，y′<0，∴ x＝1e时 y 有极小值为 y＝1eln1e＝－1e. [答案] 小 －1e
16/82
5．若函数 f(x)＝xx2＋＋1a在 x＝1 处取得极值，则 a 等于________． [解析] 由题意可得 f′(x)＝2xx＋x1＋－1x2 2＋a ＝x2＋x＋2x1－2 a， 因为函数 f(x)在 x＝1 处取得极值， 所以 f′(1)＝3－4 a＝0，即 a＝3. 经检验，a＝3 时，x＝1 是 f(x)的极小值点． [答案] 3
极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
D．1
36/82
[解析] 因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1 ＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根，所以 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令 f′(x)>0，解得 x<－2 或 x>1，令 f′(x)<0，解得－2<x<1，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞) 上单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值＝f(1) ＝－1，选择 A.
32/82
当 a＝－1 时，f(x)＝－x(1＋e－x)，所以 f′(x)＝－1＋1－ex x<0， 所以函数在 R 上单调递减，所以函数 f(x)没有极值点，不符合题 意，所以 a≠－1，排除 B，故选 D.
高考数学：专题一 第五讲 导数及其应用课件
解得 1<a<6，故 a 的取值范围是(1,6).
题型与方法
方法提炼 利用导数研究函数单调性的一般步骤：
第五讲
(1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)；
本 讲 栏 目 开 关
(3)①若求单调区间(或证明单调性)， 只需在函数 f(x)的定义域 内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ② 若 已 知 f(x) 的 单 调 性 ， 则 转 化 为 不 等 式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题求解.
答案
D
考点与考题
第五讲
1 3.(2012· 课标全国)已知函数 f(x)＝ ， y＝f(x)的图 则 lnx＋1－x 象大致为
本 讲 栏 目 开 关
(
)
考点与考题
第五讲
解析
1 当 x＝1 时，y＝ <0，排除 A； ln 2－1
当 x＝0 时，y 不存在，排除 D；
本 讲 栏 目 开 关
当 x 从负方向无限趋近 0 时，y 趋向于－∞，排除 C，
∴当 f′(x)≥0 时，
即 ex(1＋x)≥0，即 x≥－1，
∴x≥－1 时函数 y＝f(x)为增函数.
同理可求，x<－1 时函数 f(x)为减函数. ∴x＝－1 时，函数 f(x)取得极小值.
考点与考题
第五讲
5.(2011· 课标全国)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零 点所在的区间为 1 A.(－ ，0) 4 1 1 C.( ， ) 4 2 ( C ) 1 B.(0， ) 4 1 3 D.( ， ) 2 4
高三数学课件：第三章 导数及其应用 3-1
[温馨提示] 熟记如下结论：①1x′＝－x12；②奇函数的导 数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期
函
数
；
③
(ln|x|)′
＝
1 x
；
④
1
fx
′
＝
－
f′x [fx]2
(f(x)≠0)
；
⑤
[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
[解析] y′＝ex，曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1＝e0 ＝1，设 P(m，n)，y＝1x(x>0)的导数为 y′＝－x12(x>0)，曲线 y＝1x (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12(m>0)，因为两切线垂直，所 以 k1k2＝－1，所以 m＝1，n＝1，则点 P 的坐标为(1,1)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝___f_′__(x_)_±_g_′__(_x)__； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′__(x_)_g_(_x)_＋__f_(x_)_g_′__(_x)___；
f ′xgx－fxg′x (3)gfxx′＝________[g__x__]2_______(g(x)≠0)．
[答案] B
4．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值等于( )
19 A. 3
B．136
C．133
D．130
[解析] 因为 f′(x)＝3ax2＋6x，所以 f′(－1)＝3a－6＝4， 解得 a＝130.故选 D.
[答案] D
5．已知函数 f(x)＝1xcosx，则 f(π)＋f′π2＝(
故切线斜率 k＝lnx2＋1x2＋＋12－－xln2x2＋1＝2. 由x11＝2，得切点 P1 的坐标为12，2－ln2， ∴切线方程为 y－2＋ln2＝2x－12.令 x＝0，得 y＝1－ln2，即 b＝1－ln2.
【学海导航】2012高考数学 4.3 导数的应用复习课件(二)理
5.点P是曲线y x2 ln x上任意一点，则P到直线 y x 2的最小距离为
x0 y0 2
.
解析：设P( x0，y0 )，到直线y x 2的距离为 1 2 d x0 ln x0 x0 2 . 2 2 1 2 设t x ln x x 2，t 2 x 1， x 1 令t 0，得x 1或x (舍)． 2 所以当x0 1时，d 2为最小值．
x 1 2.设曲线y 在点 3, 2 处的切线与直线ax y x 1 1 0垂直，则a的值为 A． 2 1 C ．2 1 B. 2 D．-2
2 解析：因为y ， 2 x 1 2 1 所以k y |x 3 ， 2 2 3 1 又此切线与直线ax y 1 0垂直， 1 所以k (a) 1 a 2.故选D. k
分析： OA OB 1 通过A、B、C三点共线可知， (1 )，从而可得f x 的表达式． 2x ，我们不妨构造新函数g x 2 要证明f x x2 2x f x ，再证明g x 0恒成立，此时，只 x2 需证明g x 的最小值大于零即可．
3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行 驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t的函数，其图象可能是
解析：要注意y s t 在某一点的导数就是曲线在 该点处的斜率，即为在该点处的速度，故选A.
4.曲线y x3在点(a，a 3 )(a 0)处的切线与x轴，直 1 线x a所围成的三角形面积为 , 则a . 6
1．函数在某个区间上恒为增函数(或减函数)的 问题，关键是利用导数将问题转化为导函数在 此区间上恒为正(或负)的问题，也就是导函数 的最小(或大)值大于(或小于)0的问题．具体处 理时，一定要注意端点值的讨论． 2．利用导数证明不等式问题时，一般根据要 证明的不等式构造函数，转化为函数的最值问 题，具体的证明步骤为：①将所给的不等式移 项、整理、变形为与求证不等式等价的形式；
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
2012届高考数学备考复习：导数及其应用
2012届高考数学备考复习：导数及其应用专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第五讲导数及其应用【最新考纲透析】1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条和充分条；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
【核心要点突破】要点考向1：利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
考向链接：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条下，求得切线方程为。
注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
例1：（2010 •海南高考•理科T3）曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（）（D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程【规范解答】选A因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A要点考向2：利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。
2012年高考数学 二轮专题复习 专题1第5讲 导数及其应用课件
k 的取值范围是－12，0.
题型三 利用导数研究函数的极值或最值
例 3 已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx－2 的图象过点(－1，－6)，
且函数 g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于 y 轴对称．
(1)求 m、n 的值及函数 y＝f(x)的单调区间；
(2)若 a>0，求函数 y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．
(2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x)；②求 f′(x)＝0 的根； ③判定根两侧导数的符号；④下结论． (3)求函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求 f′(x)； ②求 f′(x)＝0 的根(注意取舍)； ③求出各极值及区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最 小值)．
考题分析 本题主要考查了函数的性质，以及导数在研究函数 问题中的应用，突出了函数的工具性作用，同时考查了学生对 分类讨论思想的理解和应用．
易错提醒 (1)易忽视二次函数的最小值与对称轴的关系． (2)易忽视函数的单调性与导函数的关系． (3)不能正确地从问题中提炼条件是致误的关键． (4)易忽视分类讨论．
解 (1)所求切线的斜率为 y′|x＝2＝22＝4，故所求的曲线的切
线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
(2) 设 曲 线
y
＝
1 3
x3
＋
4 3
与
过
点
P(2,4) 的 切 线 相 切 于 点
Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为 k＝y′| x＝x0＝x20，切线方程为 y－13x30＋43 ＝x02(x－x0)， 因为点 P(2,4)在切线上，
变式训练 1 已知曲线 C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.
高考数学复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件
5．函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过的定点是________． (2,2) [当 x＝2 时，函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的值为 2，所以图像 恒过定点(2,2)．]
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对数运算
(对应学生用书第 23 页)
(1)设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m 等于(
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(2)(2017·衡水调研)已知函数 f(x)＝l3oxg，2xx，≤x0＞，0， 且关于 x 的方程 f(x)＋x－a ＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是________.
【导学号：79140050】
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(1)C (2)(1，＋∞) [(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得 a＝2，∴g(x)＝|log2(x ＋1)|＝l－oglo2gx2＋x1＋，1x，≥－0，1＜x＜0， ∴当 x≥0 时，函数 g(x)单调递增，且 g(0) ＝0；当－1＜x＜0 时，函数 g(x)单调递减．故选 C.
底数．故 0＜c＜d＜1＜a＜b.
图 2-6-1
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[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝log2(x＋1)是对数函数．( ) (2)log2x2＝2log2x.( )
(3)当 x＞1 时，logax＞0.( )
(4)函数 y＝ln11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(
A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1
图 2-6-2
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D [由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a＜1， ∵图像与 x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像，∴0＜c＜1.]
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三基能力强力
4．(教材习题改编)已知f(x)＝13 －8x＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝ ________.
5 2 答案： 2
三基能力强力
5．(2009年高考江苏卷改编)已知 点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，过 点P的切线垂直于直线x＋2y＋3＝0， 则点P的坐标为________． 答案：(－2,15)，(2，－9)
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几 何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0， f(x0))处的切线的斜率，即k＝ f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝ f′(x0)(x－x0)．因此求函数对应曲线在 某一点处的切线的斜率，只要求函数 在该点处的导数即可．
课堂互动讲练
例3 (解题示范)(本题满分12分) 已知函数f(x)＝x3＋x－16， (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6) 处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切 线，且经过原点，求直线l的方程 及切点坐标；
课堂互动讲练
【规律总结】 函数的导数与导 数值的区别与联系：导数是原来函数 的导函数，而导数值是导函数在某一 点的函数值，导数值是常数．
课堂互动讲练
考点二 导数的运算
1．运用可导函数求导法则和导 数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a， b)内的导数的基本步骤： (1)分析函数y＝f(x)的结构和特 征； (2)选择恰当的求导法则和导数公 式求导； (3)整理得结果．
19 A. 3 16 C. 3 10 B. 3 13 D. 3
答案：B
三基能力强力
2．已知直线y＝kx＋1与曲线y ＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为 ( ) A．3 B．－3 C．5 D．－5 答案：A
三基能力强力
3．函数y＝xcosx－sinx的导数 为( ) A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx 答案：B
课堂互动讲练
考点一
利用导数的定义求函数的导数
根据导数的定义求函数y＝f(x)在 点x0处导数的方法：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－ f(x0)； Δy (2) 求 平 均 变 化 率 ＝ Δx f(x0＋Δx)－f(x0) ； Δx
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Δy (3)得导数 f′(x0)＝ Δ lim x→0 Δx.简记作： 一差、二比、三极限．
课堂互动讲练
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1， ∴直线l的方程为： y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16. 又∵直线l过点(0,0)， ∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16， 整理得x03＝－8， 6分 ∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
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观察所给的 【思路点拨】函数形式 利用导数公式和运 算法则求导
化简 变形
【解】 (1)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1) ＝6x4＋3x3－8x2－4x， ∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.
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法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋ (3x3－4x)(2x＋1)′ ＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝ 2xsinx＋x2cosx. (3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xexln3＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
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考纲解读
3．导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系， 能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间(对多项式函数一般不超过三 次)． (2)了解函数在某点取得极值的必要 条件和充
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考纲解读
分条件；会用导数求函数的极大值、极小 值(对多项式函数一般不超过三次)；会求 闭区间上函数的最大值、最小值(对多项 式函数一般不超过三次)． 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定 积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．
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(lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′ (4)y′＝ (x2＋1)2 1 2 (x ＋1)－2xlnx x ＝ (x2＋1)2 x2＋1－2x2lnx ＝ . 2 2 x(x ＋1)
课堂互动讲练
(5)y′＝[ln(3x－2)＋e
2x－ 1
]′
＝[ln(3x－2)]′＋(e2x 1)′
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2．对较复杂的函数求导时，应 先化简再求导，特别是对数函数真数 是根式或分式时，可用对数的性质把 真数转化为有理式或整式求解更为方 便．
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例2 求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝3xex－2x＋e； lnx (4)y＝ 2 . x ＋1 (5)y＝ln(3x－2)＋e2x－1.
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x (3)∵ 切线与直线 y＝－ ＋ 3 垂直， 4 ∴ 斜率 k＝4，∴ 设切点为 (x0， y0)， 10 分 2 则 f′(x0)＝ 3x0 ＋1＝ 4， x0＝ 1 或 ∴ x0 ＝ ±1 ， ∴ y0＝－ 14
x0＝－ 1 . y0＝－18
课堂互动讲练
即切点坐标为(1，－14)或(－1， －18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝ 4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 12分 【误区警示】 解题过程中，很 容易把所给的点当作曲线上的点，错 误原因是没有把点代入方程进行检 验．
课堂互动讲练
例1 利用导数的定义求函数 y＝
1 的导数． x
【思路点拨】 Δy → 求Δ lim . x→ 0 Δx Δy 求 Δy → 求 Δx
课堂互动讲练
【解】 x－ x＋ Δx x2＋ x·Δx － Δx ， ＝ 2 x ＋ x·Δx ( x＋ x＋ Δx) －1 Δy ， ∴ ＝ 2 Δx x ＋ x·Δx( x＋ x＋ Δx) Δy 1 1 3 ＝－ ＝－ x－ ， ∴Δ lim x→ 0 Δx 2 2 2x x 1 3 即 y′＝－ x－ . 2 2 ∵Δy ＝ 1 1 － ＝ x x＋ Δx
基础知识梳理
曲线在点P处的切线和曲线过点P 的切线有何不同？ 【思考·提示】 前者P为切点； 后者点P可以是切点也可以不是．一 般曲线的切线与曲线可以有一个或一 个以上的公共点．
基础知识梳理
3．几种常见函数的导数 (1)C′＝ 0 (C为常数)； (2)(xn)′＝ nxn－(1n∈Q*)； (3)(sinx)′＝ cosx ； x (4)(cosx)′＝ －sin； x x e (5)(e )′＝ ； xlna (a>0且a≠1) a x (6)(a )′＝ ； 1 (7)(lnx)′＝ x ； 1 (8)(loga x)′ ＝ xlna (a>0 且
a≠1)．
基础知识梳理
4．导数运算法则 (1)[f(x)±g (x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x )]′＝ f′(x)g (x)＋f(x)g′(x) ； f′(x)g (x)－f(x)g′(x) (g(x)≠0) 2 f(x) [g(x)] (3)[ ]′＝ ． g(x)
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命题探究
2．微积分是新课标新增内容，故 高考对微积分的考查会注重基础，重在 考查基本概念和方法，所以一般以选择 题和填空题的形式出现，考查内容以定 积分的计算和面积的计算为主．
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命题探究
3．预计2011年高考试题在本部分应是 一个小题和一个大题，小题主要考查导数的 概念、几何意义、导数的运算，大题主要以 函数为背景，以导数为工具，考查运用导数 研究函数的单调性、极值或最值问题，在函 数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命 题.
基础知识梳理
5．复合函数的导数 设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝ φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有 导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在 点x处也有导数，且y′x＝ 或写作 y′u·u′x f′x(φ(x))＝ f′． (u)·φ′(x)
三基能力强力
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则a的值等于( )
第三章
导数及其应用
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考纲解读
1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的x，y 1 2 3 ＝x ，y＝x ，y＝ ，y＝ x的导数． x
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考纲解读
(2)能利用下面给出的基本初等函数 的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数． (3)掌握常见基本初等函数的导数公 式和常用的导数运算公式．
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命题探究
1.高考对导数的考查形式多样，难易均 有，可以在选择题和填空题中出现，主要以 导数的运算、导数的几何意义、导数的应用 为主(研究单调性、极值和最值等)；也更容 易在解答题中出现，有时候作为压轴题，主 要考查导数的综合应用，往往与函数、方 程、不等式、数列、解析几何等联系在一 起，分值为12～16分．
课堂互动讲练
∴k＝3(－2)2＋1＝13， ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐 标为(－2，－26). 8分 法二：设直线l的方程为y＝kx， 切点为(x0，y0)， y0－ 0 x03＋ x0－16 则 k＝ ＝ .又 x0 x0－ 0 ∵ k＝ f′(x0)＝3x02＋1，
课堂互动讲练
x03＋ x0－16 ∴ ＝ 3x02＋ 1 ，解得 x0 x0 ＝－2， 3 ∴ y0＝ (－2) ＋ (－ 2)－16＝－26， 2 k＝ 3(－2) ＋ 1＝13. ∴ 直线 l 的方程为 y＝ 13x，切点坐 标为(－ 2，－26)．