2018-2019年浙江版高考数学一轮复习(讲+练+测) 专题8.5 直线、平面垂直的判定与性质(测)及答案

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2018-2019年浙江版高考数学一轮复习(讲+练+测) 专题9.1 直线与直线的方程(讲)及答案

专题9.1 直线与直线的方程【考纲解读】【知识清单】1.直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠ 的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α= ,tan 00k == .②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝. 3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k 之间的大小变化关系：（1）当[0,)2πα∈时，0,k α>越大，斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时，0,k α<越大，斜率越大.对点练习：【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x 则直线的倾斜角为（）A. 60B. 30060或C. 30D. 33030或【答案】C2.直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线的斜截式方程. 2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为： ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y =.特别地，若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+=，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 由一般式方程可得，B 不为0时，斜率A k B =-，截距C b B=-. 对点练习：【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】直线经过点，且斜率为，则即故选A【考点深度剖析】高考对直线方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数、圆、圆锥曲线等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查直线的斜率与倾斜角，二是考查直线方程的几种形式．【重点难点突破】考点1 直线的倾斜角与斜率【1-1】经过两点A (4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为34π，则y ＝( ) A.－1 B.－3 C.0 D.2 【答案】B【1-2】【2017届河北武邑中学高三周考】过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1或4D ．1或2 【答案】A 【解析】依题意有41,12aa a -==+．【领悟技法】1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．【触类旁通】【变式一】坐标平面内有相异两点2(cos ,sin ),(0,1)A B θθ，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】34παπ≤< 【解析】22sin 1cos cos [1,1]cos cos ABk θθθθθ--===-∈-，且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α，当01AB k <≤时，则0tan 1α<≤，所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当10AB k -≤<时，则1tan 0α-≤<，所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【变式二】已知(2,4),(1,1)A B 两点，直线l 过点(0,2)C 且与线段AB 相交，直线l 的斜率k 的取值范围是 . 【答案】[1,1]-【综合点评】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用tan k α=求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．考点2 直线的方程【2-1】【2017届河北武邑中学高三周考】已知等边ABC ∆的两个顶点()()0,0,4,0A B ，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是（）A ．y =B ．)4y x =-C ．)4y x =-D ．)4y x =+ 【答案】C【解析】如图所示，直线BC 额倾斜角为3π，由点斜式得直线方程为)4y x =-.【2-2】已知点A （-3，-1），B （1，5），直线l 过线段AB 的中点，且在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的2倍.求直线l 的方程．【答案】230x y +-=【领悟技法】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3. 直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．【触类旁通】【变式一】直线l 过点(4,1)P -，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】14y x =-或30x y +-=.【变式二】将直线绕点A 10（，）按逆时针方向旋转o 60，求所得直线的方程.【答案】y =3【解析】直线的倾斜角为o 150，点A 10（，）直线上，绕点A 10（，）按逆时针方向旋转o 60，所得直线的倾斜角为o 30，其斜率为3，所以由点斜式方程得，y =3.即为所求.【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法：直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程；待定系数法是用字母表示某些量，把方程设出来，然后再根据题设把这些量求出来，从而得到直线的方程的方法. 【易错试题常警惕】易错典例：设直线l 的方程为12()()0a x y a a R ∈＋＋＋－＝． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．易错分析：易忽视截距均为0的情况而失解．正确解析：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a2＝，方程即为3x y0＋＝.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，∴21aa-+＝a2－，即a11.a0∴＋＝＝，方程即为x y20＋＋＝.综上，l的方程为3x y0x y20＋＝或＋＋＝.(2)将l的方程化为y(a1)x a2＝－＋＋－，∴()1020aa-+>⎧⎪⎨-≤⎪⎩或()1020aa-+=⎧⎪⎨-≤⎪⎩,a 1.∴≤－综上可知a的取值范围是(1]∞－，－．温馨提醒：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为0的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2017届河北武邑中学高三周考】已知方程()()()222321620mm x m m y m m R --++-+-=∈．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线l 在x 轴上的截距为-3，求实数m 的值；（4）若方程表示的直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．【答案】（1）1m ≠-；（2）12m =，43x =；（3）53m =-；（4）43m =. 【解析】试题分析：（1）当,x y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，分别令2230m m --=，2210m m +-=，解得1m =-时同时为零，故1m ≠-；（2）斜率不存在，即2210m m +-=，解得12m =；（3）依题意，有226323m m m -=---，解得53m =-；（4）依题意有2223121m m m m ---=+-，解得43m =. 试题解析：（2）由（1）易知，当12m =时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为43x =，它表示一条垂直于x 轴的直线．（3）依题意，有226323m m m -=---，所以234150m m --=，所以3m =或53m =-，由（1）知所求53m =-．（4）因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1，故由2223121m m m m ---=+-，解得43m =或1m =-（舍去）．所以直线l 的倾斜角为45°时，43m =．。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)--专题9.2-两条直线的位置关系(测)

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)专题9.2-两条直线的位置关系(测)班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1.【2018届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 【答案】D 【解析】∵，∴，故选D ．2.已知直线1:210l x y -+=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的值为 ( ) A.12 B ．12- C.2 D.2- 【答案】A3.平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（）A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++=2200521c ++=+5c =±，所以所求切线的直线方程为250x y ++=或250x y +-=，故选D ． 4.已知直线():10,0x yl a b a b+=>>在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是（）A. 22B. 4C. 6D. 2 【答案】D5.【2017届江西师范大学附属中学高三第三次模拟】已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12//l l ”的（）条件.A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分又不必要【答案】B【解析】2m =- 时，可得1212:680,:310,l x l x l l --=-+=， 12//l l 时，可得()()()()422410m m m m -+++-= ，解得2m = 或2m =- ， 2m ∴=- 是12l l 的充分不必要条件，故选B.6.【改编自浙江卷】若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = （）. A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 【答案】C 【解析】1212,2k k m ==-，因为直线互相垂直，所以121k k ⋅=-，即12()1,12m m⋅-=-∴=，选C. 7.经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】设所求直线l 的方程为x ＋3y －10＋λ(3x －y)＝0，即(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0， ∵原点到直线的距离，∴，即直线方程为x ＝1或4x ＋3y ＋5＝0，选C ．8.设0,0,(1,2),(,1),(,0)a b A B a C b >>---，若,,A B C 三点共线，则ba 11+的最小值是（） A ．223+ B ．24 C ．6 D ．92【答案】A9.点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，则a+b=（） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．0 【答案】A【解析】∵点P （a ，b ）关于l ：x+y+1=0对称的点仍在l 上，∴点P （a ，b ）在直线l 上， ∴a+b+1=0，解得a+b=﹣1．故选A ．10.【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期联考四】若直线20x ay +-=与以()3 1A ，，()1 2B ，为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．()2 1-，B ．()() 2 1 -∞-+∞，，C.11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．()1 1 2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，【答案】D【解析】直线20x ay +-=过定点()2 0C ，,所以11(,)(2,1)(,1)(,)2CB CA k k a a-∈=-⇒∈-∞-+∞，选D. 11.【2017届河北武邑中学高三周考】直线2:10l mx m y --=经过点()2,1P ，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是（）A ．10x y --=B ．230x y --=C ．30x y +-=D ．240x y +-= 【答案】C【解析】将点()2,1P 代入得2210,1m m m --==，直线方程为10x y --=，斜率为1，倾斜角为4π.故和其垂直的直线斜率为1-，故选C.12.点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（）（A ）(6,7) （B ）(7,6) （C ）(5,4)-- （D ）(4,5)-- 【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程

第八章平面解析几何[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]综合近5年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查．第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23B [设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.]3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.]4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.【导学号：51062257】1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.]5．(2017·湖州模拟)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为________．3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.](1)直线x －y cos θ＋1＝0(θ∈R )的倾斜角α的取值范围是________． (2)(2017·舟山模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.(2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－－3＝－5，k PB ＝0－23－－3 ＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过点A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________. 【导学号：51062258】(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2).2分若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.6分若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1，因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a＝1，10分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.14分法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3).2分令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k .6分所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23.10分所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.14分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2] 求过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程．[解] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，2分则所求直线的倾斜角为2α.6分 ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.10分又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.14分A ，B 两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． [解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，3分当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.5分 (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，8分所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4.11分当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.14分[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，6分则S四边形OBAC＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，12分∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小.14分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时，易忽视判定B 是否为0.当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.课时分层训练(四十三) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－ab ，所以－a b＝－1，则a ＝b .]3．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) 【导学号：51062259】A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1D [由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．]4．在等腰三角形AOB 中，OA ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)D [设点B 的坐标为(a,0)(a ＞0)，由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2， ∴点B (2,0)，易得k AB ＝－3，由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．]5．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2A [∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.] 二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________. 【导学号：51062260】－23 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.]7．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．[－2,2] [b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值，∴b 的取值范围是[－2,2]．]8．直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l 的方程为________． 4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0 [由题意知，截距不为0，设直线l 的方程为x a ＋y12－a＝1.又直线l 过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.] 三、解答题9．(2017·温州模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，求l 的方程．[解] 若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，2分直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.6分若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，12分此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0.14分10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围. 【导学号：51062261】[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，3分 ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.6分(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，8分∴⎩⎪⎨⎪⎧ － a ＋1 ＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ － a ＋1 ＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.12分综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.14分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.] 2．(2017·浙江杭州第二次质检)设集合{(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2≤10}所表示的区域为A ，过原点O 的直线l 将A 分成两部分．当这两部分面积之差最大时，直线l 的方程为________，此时直线l 落在区域A 内的线段长为________．y ＝－12x 2 5 [易知区域A 表示一个圆面，圆心为M (1,2)．若要两部分面积差最大，则直线l 与直线MO 垂直，则l ：y ＝－12x ，由圆的半径为10，圆心M 到原点O 的距离为22＋12＝5得l 落在区域A 内的线段长度为2 10 2－ 5 2＝2 5.]3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程. 【导学号：51062262】[解] (1)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；3分当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.6分(2)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.9分∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12· 1＋2k 2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，12分∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.14分。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题9.1 直线与直线的方程(练)

专题9.1 直线与直线的方程A 基础巩固训练1. 直线的倾斜角为（） A ． B ． C ． D ．【答案】C2.直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【答案】D【解析】当直线过(0,0)时，a ＝－2；当直线不过原点时，a ＝1，选D 项．3. 已知直线的倾斜角α的余弦值为12，则此直线的斜率是( )．【答案】A【解析】由题意知cos α＝12，又0°≤α<180°，∴sin α＝2，∴k ＝tan α＝sin cos αα4.【2017届河北武邑中学高三周考】如果0,0AB BC >>，那么直线0Ax By C --=不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】斜率为0A B >，截距0C B-<，故不过第二象限. 5.对于任意实数a ，直线32y ax a =-+所经过的定点是；【答案】()2,3【解析】23+-=a ax y 可化为)3(2-=-x a y ，即直线恒过点()2,3．B 能力提升训练1.已知A(1，0)，B(2，a)，C(a ，1)，若A ，B ，C 三点共线，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．D ．【答案】C2.若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】依题意，k ＋b ＝－2，∴b ＝－2－k ，∴y ＝kx ＋b ＝k(x －1)－2，∴直线y ＝k(x －1)－2必过定点(1，－2)．3.一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A.m>1，且n<1 B.mn<0C.m>0，且n<0D.m<0，且n<0【答案】B【解析】因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.4.直线xcos α＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[－6π，6π] B ．[6π，56π] C ．[0，6π]∪[56π，π) D ．[0，6π]∪[56π，π] 【答案】C5.【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末】直线l 过点()1,1A ，且l 在y 轴上的截距的取值范围为()0,2，则直线l 的斜率的取值范围为__________．【答案】()1,1-【解析】设直线l 方程为11y k x -=-（），令0x = ，可得1y k =-，∵直线l 在y 轴上的截距的取值范围是()0,2， 012,11k k ∴-∴-<<＜＜C 思维扩展训练1.已知直线l 过(a ，1)和(a+1，tan α+1)，则( )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角【答案】C【解析】根据题意，直线l 的斜率为，令θ为直线l 的倾斜角，则一定有 0°≤θ<180°，且tan θ=k ，所以若，则α是直线l 的倾斜角；若α<0°或α≥180°，则α 不是直线l 的倾斜角；由以上可知α不一定是直线l 的倾斜角，选C ．2．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B3.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝，k MB ＝，由图可知，－a>且－a<， ∴a∈.选B 4.已知直线l 的斜率与直线623=-y x 的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程. 【答案】3325y x =-5.直线l 过点(2,4)P --，若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的方程.【答案】直线l 的方程为：2x y -=或6x y +=-．【解析】若直线l 过原点，则其方程为2y x =.若直线l 过不原点，则设其方程为1x y a b+=，由已知，241ab a b --⎧+=⎪⎨⎪=⎩.当a b =-时，2,2a b ==-；当a b =时，6a b ==-.所以直线l 的方程为：2x y -=或6x y +=-．。

浙江版2018年高考数学一轮复习专题8.5直线平面垂直的判定与性质讲201711283139

第05节直线、平面垂直的判定与性质【考纲解读】【知识清单】1.直线与平面垂直的判定与性质定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．定理：⎭⎪⎬⎪⎫a αb αl ⊥al ⊥ba ∩b ＝A ⇒l ⊥α对点练习：【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，则（） A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C2. 平面与平面垂直的判定与性质定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN⇒AB ⊥α【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【答案】36π3.线面、面面垂直的综合应用1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．对点练习：【2017课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）326+．【解析】（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得AD =，2PE x =．故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=．由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，AD BC ==PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 6062222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+ 【考点深度剖析】空间中的垂直关系是高考命题的重点，客观题、大题都有可能考查，以客观题形式考查命题的真假判断，在解答题中以分层设问或条件形式呈现，以证明问题为主，主要考查线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定及性质，以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力．浙江卷对垂直关系的考查多于对平行关系的考查.【重点难点突破】考点一直线与平面垂直的判定与性质【1-1】【2018届南宁市高三摸底】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④【1-2】【2017届湖北省七市（州）高三3月联考】设直线与平面相交但不．垂直，则下列说法中正确的是A. 在平面内有且只有一条直线与直线垂直B. 过直线有且只有一个平面与平面垂直C. 与直线垂直的直线不可能．．．与平面平行D. 与直线平行的平面不．可能与平面垂直【答案】B【解析】对于答案A. 在平面内显然有无数条直线与直线垂直，因此说法是错误的；对于答案C. 与直线垂直的直线是可以与平面平行，因此说法不正确；对于答案D. 与直线平行的平面也有可能与平面垂直，因此说法也不正确，故应选答案B【1-3】【【百强校】2016届宁夏石嘴山三中高三下四模】已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题正确的是（）A ．若βα⊥，β⊂m ，则α⊥mB ．若βα∥，α∥m ，则β∥mC ．若βα∥，α⊥m ，则β⊥mD ．若α∥m ，β∥m ，则βα∥ 【答案】C 【解析】试题分析：依据空间线面角的定义可知答案C 是正确的,故应选C.【1-4】【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷一】如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点．（1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ．【答案】详见解析试题解析：证明：（1）设BD 与CM 交于点O ，连接ON ， BM ．因为2AD BC =，且//AD BC ， M 为AD 的中点，所以MD BC =，且//MD BC ，所以四边形BCDM 为平行四边形，所以O 为BD 的中点，又N 为SD 的中点，所以//SB ON ，又ON ⊂平面CMN ， SB ⊄平面CMN ，所以//SB 平面CMN ．（2）因为SA SD =，且M 为AD 的中点，所以SM AD ⊥．又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =， SM ⊂平面SAD ，所以SM ⊥平面ABCD ，所以SM BD ⊥．在平行四边形BCDM 中，因为BC CD =，所以四边形BCDM 为菱形，所以CM BD ⊥，又CM ⊂平面SCM ， SM ⊂平面SCM ， CM SM M ⋂=，所以BD ⊥平面SCM ．【领悟技法】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．【触类旁通】【变式1】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，若PA AD AB kBC ===(01)k <<，则（）A 时，平面BPC ⊥平面PCDB 时，平面APD ⊥平面PCDC ．当(0,1)k ∀∈，直线PA 与底面ABCD 都不垂直 D．(0,1)k ∃∈，使直线PD 与直线AC 垂直【答案】A【变式2】如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三点重合于点G ，这样，下列五个结论：（1）SG ⊥平面EFG ；（2）SD ⊥平面EFG ；（3）GF ⊥平面SEF ；（4）EF ⊥平面GSD ；（5）GD ⊥平面SEF. 正确的是（）A ．（1）和（3）B ．（2）和（5）C ．（1）和（4）D ．（2）和（4）【答案】C 【解析】由已知且，所以SG EFG ⊥面，（1）正确；若面，则，由（1）知，在中，这是不可能的，（2）错；若面，则,由（1）知，，在中是不可能的，（3）错；由（1）知SG EFG ⊥面，则SG EF ⊥；由已知知GD EF ⊥,且SG GD G =,所以EF GSD ⊥平面，（4）正确；若面，则，由（1）知，在中，这是不可能的，（5）错. 故选C.综合点评：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. 考点二平面与平面垂直的判定与性质【2-1】【2017届浙江省杭州市高三4月检测】设α， β是两个不同的平面， m 是一条直线，给出下列命题：①若m α⊥， m β⊂，则αβ⊥；②若//m α， αβ⊥，则m β⊥.则（） A. ①②都是假命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是真命题【2-2】已知直线l ，m 与平面α，β，γ，满足l =⋂γβ，α//l ，α⊂m ，γ⊥m ，则必有（）A ．γα⊥且β//m B.βα//且γα⊥ C.β//m 且m l ⊥ D.γα⊥且m l ⊥ 【答案】D【解析】因为α⊂m ，γ⊥m ，所以γα⊥.因为l =⋂γβ,所以γ⊂l ,又因为γ⊥m ,所以m l ⊥.【2-3】如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．．的是A ．P D DC 11⊥B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1C ．1APD ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为【答案】C【2-4】已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若过AB 1与BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的边A 1C 1于点D ． (1)确定D 的位置，并证明你的结论； (2)证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ．【答案】（1）D 为A 1C 的中点．（2）见解析. 【解析】(1)D 为A 1C 1的中点，证明如下：连A 1B 交AB 1于O ，连OD ． ∵BC 1∥平面AB 1D ，BC 1⊂平面A 1BC 1，平面AB 1D ∩平面A 1BC 1＝DO ， ∴BC 1∥DO ，∴D 为A 1C 的中点．(2)证明：∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，∴B 1D ⊥A 1C 1. 又平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1于A 1C 1， ∴B 1D ⊥平面ACC 1A 1，又B 1D ⊂平面AB 1D ， ∴平面AB 1D ⊥平面AA 1D ．【领悟技法】判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，aα⇒α⊥β)．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【触类旁通】【变式1】【2017届浙江嘉兴市高三上学期基础测试】对于空间的三条直线,,m n l 和三个平面,,αβγ，则下列命题中为假命题的是（）A ．若,m n αα⊥⊥，则//m nB ．若//,m αβα⊥，则m β⊥C ．若,,l αγβγαβ⊥⊥=，则l γ⊥D ．若//,//m n ββ，则//m n【答案】D【变式2】【【百强校】2017届江苏泰州中学高三摸底】如图，正方形ABCD 所在的平面与△CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且2AB AE =．（1）求证：//AB 平面CDE ；（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴//AB 平面CDE ．（2）∵AE ⊥平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ， ∴AE CD ⊥，又正方形ABCD 中，CD AD ⊥，且AEAD A =，AE ⊂平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，∴CD ⊥平面ADE ，又CD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADE ．综合点评：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 考点三线面、面面垂直的综合应用【3-1】如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（I ）求证：V //B 平面C MO ；（II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；（III ）求三棱锥V C -AB 的体积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3.又因为平面V AB ⊥平面C AB ，且OC ⊂平面C AB ，所以OC ⊥平面V AB . 所以平面C MO ⊥平面V AB .（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==所以2,1AB OC ==.所以等边三角形V AB 的面积VAB S ∆. 又因为OC ⊥平面V AB ，所以三棱锥C V -AB 的体积等于13VAB OC S ∆⨯⨯=. 又因为三棱锥V C -AB 的体积与三棱锥C V -AB 的体积相等，所以三棱锥V C -AB 的体积为3. 【3-2】如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点.（I ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（II ）若直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45，求三棱锥F AEC -的体积.【答案】（1）见解析；（2）（II ）设AB 的中点为D ，连接1,A D CD ，因为ABC ∆是正三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，因此CD ⊥平面11A AB B ，于是1CA D ∠直线1AC 与平面11A ABB 所成的角，由题设知145CA D ∠=，所以1A D CD =AB ==在1Rt AA D ∆中，1AA ===1122FC AA ==故三棱锥F AEC -的体积1133AEC V S FC =⨯==.【3-3】如图M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．（1）若BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP⊥MN；（2）棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．【答案】见解析（2）假设存在点P ，使面APC 1⊥面ACC 1，过P 作PF⊥AC 1，则PF⊥面ACC 1.又∵BD⊥面ACC 1，∴PF∥BD，而两平行线PF 、BD 所确定的平面即为两相交直线BD 、DD 1确定的对角面BB 1D 1D ，∴F 为AC 1与对角面BB 1D 1D 的交点，故F 为AC 1的中点，由PF∥BD，P∈DD 1知，P 也是DD 1的中点．显然，当P 为DD 1中点，F 为AC 1中点时， ∵AP＝PC 1，∴PF⊥AC 1又PF∥BD，BD⊥AC，∴PF⊥AC. 从而PF⊥面ACC 1，则面APC 1⊥面ACC 1.故存在点P ，使P 为DD 1中点时，面APC 1⊥面ACC 1.【3-4】【山东卷】如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（I ）求证：//BD 平面FGH ；（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .【答案】见解析.证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点，可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ∆中，G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED ，因为BD ⊂平面ABED ，所以//BD 平面FGH .(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又,HE GH ⊂平面EGH ，HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH ，又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH 【领悟技法】 1. 垂直关系的转化：2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．【触类旁通】【变式1】【2018届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初】如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥， AB PB =， ,E F 分别是PA ， AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.试题解析：证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC 又PC ⊂平面PAC ， EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PBC ； ⑵ 因为AB PB =，且点E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ；又PA PC ⊥， EF ∥PC ，所以PA EF ⊥，因为BE ⊂平面BEF ， EF ⊂平面BEF ， BE EF E ⋂=， PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面BEF .【变式2】【2017年福建省数学基地校】下面的一组图形为一四棱锥S ABCD - 的侧面与底面.(I)请画出四棱锥S ABCD -的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.(II)若SA ⊥面ABCD ， E 为AB 中点，求证：面SEC ⊥面SCD ；【答案】（I ）见解析（II ）见解析试题解析：（I ）存在一条侧棱SA ABCD ⊥平面，如图所示．,SAD SA AB ∆⊥在中，,,,SAD SA AD AB AD A AB AD ABCD ∆⊥⋂=⊂在中，又面， SA ABCD ∴⊥面.（II ）,,SD F SC G AF FG EG 取中点的中点连接、、，,,SA ABCD SA CD CD AD SA AD A CD SAD ⊥∴⊥⊥⋂=∴⊥面又且面， ,,CD AFRt SAD SA AD AF SD ∴⊥∆=∴⊥中，又，,//SCD FG CD //,,A FG AE FG AE EGF ∴=∴四边形为平行四边形,//,,,EG AF EG SCD EG SEC SEC SCD ∴∴⊥⊂∴⊥面又面平面平面.综合点评：平行、垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.【易错试题常警惕】易错典例：如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形，，侧面⊥SBC 底面ABCD ，已知45=∠ABC ，SB SA =.证明 :BC SA ⊥.【剖析】错误原因在于解答最后时无中生有地造了一个判定定理：如果两个平面垂直，那么一个平面中任意一条直线一定垂直于另一个平面中的任意一条直线.这个结论是错误的.【正解】作BC SO ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面⊥SBC 底面ABCD ，得⊥SO 底面ABCD ，因为SB SA =，所以BO AO =，因为45=∠ABC ，所以AOB ∆是等腰直角三角形，所以BO AO ⊥，因为⊂SO 平面SAO ，⊂AO 平面SAO ，O AO SO = ，所以⊥BC 平面SAO ，SA平面SAO，又因为⊂SA⊥.所以BC温馨提醒：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.（3）易错防范：①在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.②面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.【学科素养提升之思想方法篇】化抽象为具体——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答立体几何体积、距离等计算问题中，主要存在两类问题，一是“有图考图”，二是“无图考图”，如：【典例】【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）线段上存在一点，使得平面．试题解析：（Ⅰ）证明：由已知，得，∵，，又，∴．又底面，平面，则，∵平面，平面，且，∴平面．∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）线段上存在一点，使得平面．证明：在线段上取一点，使，连接∵，∴，且，又∵，且，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．∴．。

中职高考数学一轮复习讲练测专题8-5 双曲线 (讲)(含详解)

专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是() A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__ _.考点二双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)．例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. 【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求．【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__ __.考点三双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【变式探究】把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点四双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A ．54B ．52 C ．53或54D ．52或153【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( )A ．22B ．1C ．2D ．22. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(A) A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点p的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A．【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__－8__.[解析] 双曲线方程为x 216－y 216＝1，∴a ＝4，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，又∵P 在左支上，F 1为左焦点， ∴|PF 1|－|PF 2|＝－8. 考点二双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． [解析] (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.[解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知a b ＝23.又∵双曲线过点P (6，2)，∴4a 2－6b 2＝1，依题意可得⎩⎨⎧a b ＝234a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43b 2＝3.故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.由题意得⎩⎨⎧b a ＝439a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94b 2＝4.∴所求的双曲线方程为x 294－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求．【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．[解析] (1)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(2)已知双曲线经过两个已知点，因焦点位置不确定，需分类讨论求解，或设出一般方程求解．(1)解法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20，① ∵双曲线经过点(32，2)， ∴18a 2－4b2＝1.② 由①②得a 2＝12，b 2＝8， ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(2)设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，mn <0.∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__x 24－y 2＝1__.[解析] 设双曲线方程为y 2－14x 2＝λ，代入点(4，3)，可得3－14×16＝λ，∴λ＝－1，∴双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.故答案为x 24－y 2＝1.考点三双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[解析] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x . 【变式探究】把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．[解析]把方程9y 2－4x 2＝36化为标准形式为y 24－x 29＝1，∴a ＝2，b ＝3，c ＝13，∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，离心率e ＝c a ＝132.渐近线方程为y ＝±23x . 考点四双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( C )A ．54 B ．52C ．53或54D ．52或153[解析] 当焦点在x 轴上时b a ＝34，∴e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝54，当焦点在y 轴上时，a b ＝34，∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝53，故选C ．【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( C )A ．22 B ．1C ．2D ．2 [解析] 由题意可得b a ＝1，∴ e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.故选C ．2. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]∵双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2，∴a 2＝m >0，b 2＝3.∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋3m ＝2，∴m ＝1.∴“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的充要条件．故选C ．。

2018高考数学浙江专用一轮课件：8-4 直线、平面垂直的

)

不平行 ,则m与n不可能 D.若m,n 垂直于同一平面

答案 D
若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,
n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,
设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于
2.(2014浙江文,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面 ( A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
)
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α 答案 C 对于选项A、B、D,均能举出m∥α的反例;对于选项C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,又n⊥α, ∴m⊥α,故选C. 3.(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行 C.若α,β 不平行 ,则在α内不存在与β平行的直线
高考数学
(浙江专用)
第八章立体几何
§8.4 直线、平面垂直的判定和性质
五年高考
考点
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
垂直的判定和性质
) D.A1E⊥AC
1.(2017课标全国Ⅲ文,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则 ( C.A1E⊥BC1
答案 C ∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,且B1C∩A1B1=B1,∴ BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,∴BC1⊥A1E.故选C.

2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题8-5 直线、平

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【【百强校】2017届四川省成都市高中毕业班摸底】已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,m n αβ⊥⊥，且βα⊥，则下列结论一定正确的是（） A ．m n ⊥ B ．//m n C ．m 与n 相交 D ．m 与n 异面【答案】A【解析】因为,m n αβ⊥⊥，,m n 所在向量分别是,αβ的法向量，m α⊥，n β∴⊥，且βα⊥，所以m n ⊥，故选A.2. 已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直【答案】C3.【2016-2017学年人教B 版高一必修2第一章】已知三条不同的直线a ，b ，c ，三个不同的平面α，β，γ，有下面四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b 且a ∥b ，则α∥γ；②若直线a ，b 相交，且都在α，β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α.其中正确的命题是（）A．①② B．②③C．①④ D．③④【答案】B【解析】命题①错误，因为α与γ还可能相交；命题②正确，设a与b确定的平面为γ，由题设知α∥γ，β∥γ，所以α∥β，所以排除A、C、D，答案选B.4. m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( )A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β【答案】D5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.6.已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【答案】B7.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部【答案】A【解析】由BC 1⊥AC ，又BA ⊥AC ，则AC ⊥平面ABC 1，因此平面ABC ⊥平面ABC 1，因此C 1在底面ABC 上的射影H 在直线AB 上．8.空间中，设m 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若βα//，α//m ，则β//m B . 若βα//，α⊥m ，则β⊥m C.若βα⊥，α//m ，则β⊥m D. 若βα⊥，α⊥m ，则β//m 【答案】B【解析】若βα//，α//m ，则β//m 或m β⊂，故A 错；若βα⊥，α//m ，则m 和β的位置关系不确定，故C 错；若βα⊥，α⊥m ，则β//m 或m β⊂，故D 错，选B ．二、填空题（本大题共7小题，共36分）.9.（4分）【湘西自治州2016届高三第二次质量检测】在三棱锥1A ABC -中，1AA ⊥底面11,BC A ,2ABC B AA AC ⊥==，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】8π【解析】由三棱锥1A ABC -中，1AA ⊥底面1,ABC BC A B ⊥，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，则三棱锥外接球的直径为248S R ππ==．所以答案应填：8π．10.（4分）已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，则l ⊥α. 其中正确命题的序号是________．【答案】②③两条不相交直线，不可得出l ⊥α，④错误．11.（4分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】DM ⊥PC(或BM ⊥PC 等) 【解析】由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.12.（6分）如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．【答案】①②③【解析】由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．13.（6分）点E，F，G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②过点F，D1，G的截面是正方形；③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；④点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积是定值；⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段．【答案】③④⑤14.（6分）【浙江省温州市2017届高三8月模拟考试】棱长为2的正方形1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为 .15.（6分）【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考】如图，已知矩形ABCD ，2AD =，E 为AB 边上的点，现将ADE ∆沿DE 翻折至ADE ∆，使得点A '在平面EBCD 上的投影在CD 上，且直线AD'与平面EBCD 所成角为30°，则线段AE 的长为_________．.【解析】如下图所示，过'A 作'A H CD ⊥于H ，由题意得，'A H ⊥平面ABCD ，∴'1AH =，DH==，∴EH DAEH中，可得设AE x222+=-⇒=.2(1x x x三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. （本题满分14分）【【百强校】2016届北京市大兴区高三4月统一练习】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点.（1）求证：AM∥平面PCD；（2）求证：平面ACM⊥平面PAB；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.因为AD BC ∥且BC AD 21=，所以MN AD ∥且MN AD =，17. （本题满分15分）【【百强校】2016届山东省冠县武训高中高三5月月考】如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，//AB CD ，22AB CD AD ==，点,,M N E 分别为,,PA BC AB 的中点．（1）求证：//MN 平面PCD ；（2）求证：平面PDE ⊥平面PAC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,MF NF ，∵,,M N F 分别是,,PA BC AD 的中点， ∴//PD,NF//DC MF ， ∵,PDDC D MF NF F ==，∴平面//FMN 平面PDC ， ∵MN ⊂平面FMN ， ∴//MN 平面PCD（2）证明：连接CE ，由//,AB CD AE AD CD ==，得四边形AECD 为菱形， ∴DE AC ⊥，∵PC ⊥平面ABCD ，∴PC DE ⊥，又∵ACPC C =，∴DE ⊥平面PAC ，又∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC .18.（本题满分15分）【【百强校】2016届湖南宁远县一中高三下学期模拟】已知四边形ABCD为平行四边形,,,2BD AD BD AD AB ⊥==, 四边形ABEF 为正方形,且平面ABEF ⊥平面ABCD .（1）求证：BD ⊥平面ADF ；（2）若M 为CD 中点,证明：在线段EF 上存在点N ,使得MN 平面ADF ,并求出此时三棱锥N ADF -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，31. 【解析】ABCD ,DH ⊂平面ABCD ,平面ABEF平面,ABCD AB DH =∴⊥平面ABEF .在Rt ABD∆中,11112,,1,1123323N ADF D ANF ANF AB BD AD DH V V DH S --∆==∴=∴===⨯⨯⨯⨯=. 19. （本题满分15分）【【百强校】2016届河南省郑州一中高三考前冲刺二】如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥B A 1平面ABC ，AB⊥AC.（1）求证：1BB AC ⊥；（2）若P 是棱11C B 的中点，求平面PAB 将三棱柱111C B A ABC -分成的两部分体积之比.【答案】（1）证明见解析；（2）57111=--PQ B A AB ABC PQC V V . 【解析】所以V V V V PQ B A AB 12512711=-=-.所以57111=--PQ B A AB ABC PQC V V .20. （本题满分15分）【【百强校】2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是棱BC AB ，的中点，点F 在棱1CC 上，已知132AB AC AA BC CF ====，，.（1）求证：1//C E 平面ADF ；（2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF .【答案】(1)证明见解析；(2)1BM =.因为AB AC =，故.AD BC ⊥…………………………8分。

2018高考一轮数学浙江专版练习第8章重点强化课4 直线与圆含答案精品

重点强化课(四) 直线与圆[复习导读] 1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算．重点1 直线方程与两直线的位置关系(1)(2017·浙江台州模拟)直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( )A ．(1，－3)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(2,3)(2)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34(1)C (2)D [(1)2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，则直线过定点(3,1)． (2)由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.][规律方法] 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标．2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．[对点训练1] (2017·温州二模)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( )【导学号：51062279】A ．7B ．9C ．11D ．16B [直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，又m >0，n >0，得2m ＋1n ＝1.∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n ≥5＋22n m ·2m n ＝9. 当且仅当2n m ＝2m n 时取等号．∴2m ＋n 的最小值为9.]重点2 圆的方程(1)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0 (2)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10(1)C (2)C [(1)由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)．∴过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理得y 2＋4x －4y ＋8＝0.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝4 6.][规律方法] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．[对点训练2] (2017·嘉兴一中二模)直线l ：x 4＋y 3＝1与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 内切圆的方程为__________．(x －1)2＋(y －1)2＝1 [由题意，设△OAB 的内切圆的圆心为M (m ，m )，则半径为|m |.直线l 的方程x 4＋y 3＝1可化为3x ＋4y －12＝0，由题意可得|3m ＋4m －12|32＋42＝m ，解得m ＝1或m ＝6(不符合题意，舍去)． ∴△OAB 内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.]重点3 直线与圆的综合问题☞角度1 圆的切线如图1，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为__________. 【导学号：51062280】图1(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1 [(1)由题意知点C 的坐标为(1，2)，圆的半径r ＝ 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x ＋2＋1.令y ＝0，解得x ＝－2－1，故所求截距为－2－1.]☞角度2 直线与圆相交的弦长问题(2017·湖州质检)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．3 [由题意知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，圆的半径为2，且l 与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为 3.∴1m 2＋n2＝3⇒m 2＋n 2＝13， S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12mn ≥1m 2＋n 2＝3，即三角形面积的最小值为3.] ☞角度3 直线、圆与相关知识的交汇已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.[解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.2分因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.6分 (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.10分 OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.15分[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．2．(1)圆与直线l 相切的情形：圆心到l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l .(2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．(3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l 2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．重点强化训练(四) 直线与圆A组基础达标(建议用时：30分钟) 一、选择题1．“a＝14”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的() 【导学号：51062281】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直得(a＋1)(a－1)＋3a×(a＋1)＝0，解得a＝14或a＝－1.∴“a＝14”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的充分不必要条件．]2．(2017·浙江五校联考)已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y ＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为()A．2B．－2C．1 D．－1D[因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.]3．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A.62 B.32C.94D．2 3C[两圆外切，则|C1C2|＝r1＋r2＝2＋1＝3. ∴(a＋b)2＋(－2＋2)2＝9，则(a＋b)2＝9.由基本不等式，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94.] 4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D [因为l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0，则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k 2. 依题意，得|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.] 5．(2017·嘉兴一中模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( ) A ．－ 6B ．±6C ．－ 5D ．±5D [在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，得(y －2)2＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆C 截得的弦长为2，所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2，所以圆心C (1,2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1，即|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5.] 二、填空题6．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________. 【导学号：51062282】2x －y －7＝0 [由⎩⎨⎧ 3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k ＝2.则所求直线的方程为y＋1＝2(x－3)，即2x－y－7＝0.]7．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝__________.2[因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.]8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为__________．0或6[由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为322.由点到直线的距离得|－1－2＋a|2＝322，解得a＝0或a＝6.]三、解答题9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程.【导学号：51062283】[解]将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2，解得a＝－34.6分(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，10分解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.15分10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y ).2分因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.6分(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.8分设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，12分所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.15分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1. 又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．]2．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，2x －y －4≤0，y ≤2，点Q 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________，若直线PQ 与圆O 相切，则切线段PQ 长的最大值为________. 【导学号：51062284】 2－1 23 [可行域是以A (0,2)，B (2,0)，C (3,2)为顶点的三角形区域(含边界)，且可行域在圆外．(图略)则|PQ |的最小值是圆心到直线x ＋y －2＝0的距离减去圆的半径，即为2－1. 因为直线PQ 与圆相切于点Q ，所以|PQ |＝|OP |2－1，要使PQ 的长最大，则|OP |要取最大值．而|OA |＝|OB |<|OC |＝13，即|OP |max ＝|OC |，则|PQ |max ＝|OC |2－1＝2 3.]3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3)．(1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3,2)，半径r ＝3.2分若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC＝－112＝－2.所以直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0.4分(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交，则有|3＋2＋b |2<3，6分所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是－32－5<b <32－5.9分(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，则直线l 2与CM 垂直，于是有y 0－2x 0－3＝1，整理可得x 0－y 0－1＝0.又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上，所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎨⎧ x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1－b 2，y 0＝－1＋b 2.12分代入直线l 1的方程得1－b －1＋b 2－13＝0，于是b ＝－253∈(－32－5,32－5)，故存在满足条件的常数b .15分。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题8.5 直线、平面垂直的判定与性质(测)

第05节直线、平面垂直的判定与性质班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1．【2017届浙江省杭州市高三4月】设α， β是两个不同的平面， m 是一条直线，给出下列命题：①若m α⊥， m β⊂，则αβ⊥；②若//m α， αβ⊥，则m β⊥.则（） A. ①②都是假命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是真命题【答案】B2．【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知平面α与两条不重合的直线,a b ，则“a α⊥，且b α⊥”是“//a b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若,a b αα⊥⊥，则必有//a b ，但//a b 时，直线,a b 与平面α可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“,a b αα⊥⊥”是“//a b ”的充分不必要条件，故选A ．3．【2016届浙江省宁波市高三上学期期末】如图，在正方形ABCD 中，点E,F 分别为边BC,AD 的中点，将沿BF 所在直线进行翻折，将沿DE 所在直线进行翻折，在翻折过程中（）A. 点A 与点C 在某一位置可能重合B. 点A 与点C 的最大距离为C. 直线AB 与直线CD 可能垂直D. 直线AF 与直线CE 可能垂直【答案】D4．【2016届浙江省宁波市高三上学期期末】已知m,n 是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D.若，，则【答案】D 【解析】不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确.5．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B6.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 【答案】C【解析】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.7.【温州市高三第一次适应性测试】m 是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( )A ．若m ∥α，α∥β，则m ∥βB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β【答案】D【解析】A.若,//,//βααm 则β//m 或β⊂m ;A 错.B.若,//,//βαm m 则βα//或l =βα B 错；C.若,,//βαα⊥m 则β⊥m 或β//m 或β⊂m C 错;D.,//αm 存在直线n ，使n m //,α⊂n ,β⊥m ,β⊥∴n 又βαβ⊥∴⊂n ，故选D.8.【浙江省“六市六校”联盟高考模拟考试】空间中，设m 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若βα//，α//m ，则β//m B . 若βα//，α⊥m ，则β⊥m C.若βα⊥，α//m ，则β⊥m D. 若βα⊥，α⊥m ，则β//m 【答案】B【解析】若βα//，α//m ，则β//m 或m β⊂，故A 错；若βα⊥，α//m ，则m 和β的位置关系不确定，故C 错；若βα⊥，α⊥m ，则β//m 或m β⊂，故D 错，选B ． 9.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列四个命题中假命题．．．的是( )A.若,//,ααn m ⊥则n m ⊥B.若,,,//α⊥m n m 则α⊥nC.若,,//βαα⊥l 则β⊥lD.若αγββα⊥m ,//,//，则γ⊥m 【答案】C10.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个 ① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ； ③ 平面α⊥平面β，且l αβ=，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥. A.0 B.1 C.2 D. 3 【答案】B【解析】A 答案：如果加入条件m β⊄，则//m β； B 答案：例如墙角的三个面，则αβ⊥； C 答案：如果加入条件AB α⊂，则AB β⊥；D 答案：从向量角度看，m 与n 分别是,αβ的法向量，显然m n ⊥，即αβ⊥. 所以只有D 正确.11.【2017届浙江省温州市二模】已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（） A. 若且，则 B. 若且，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则不垂直于【答案】C12.如图，为正方体，下面结论：①平面；②；③平面；④直线与所成的角为45°．其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D 【解析】由正方体的性质得，，所以，平面，故①正确．由正方体的性质得，而是在底面内的射影，由三垂线定理知，，故②正确．由正方体的性质得，由②知，，所以，，同理可证，故垂直于平面内的两条相交直线，所以，⊥平面，故③正确．异面直线与所成的角就是直线与所成的角，故为异面直线与所成的角，在等腰直角三角形中，，故④正确．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题9.8 直线与圆锥曲线的位置关系(讲)

第八节直线与圆锥曲线的位置关系【考纲解读】【知识清单】1.直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．对点练习：【2018届衡水金卷全国高三大联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A.7112+998312+ 【答案】B254A B AB x x p =++=. 将4x =代入24y x =得4y =±，故()4,4B -.故MB ==故ABM ∆的周长为1253944MA MB AB ⎛⎫++=-+=+ ⎪⎝⎭故选B. 2.“弦”的问题 1.弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.2．处理中点弦问题常用的求解方法 (1)．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． (2)．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．对点练习：【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（）A. 5B. 6C. 163D. 203【答案】C【解析】如图：过点A 作AD l ⊥交l 于点D.AF : )y 1x =-.与抛物线24y x =联立得： 231030x x -+=.1210 3x x+=.121016233AB x x p=++=+=.故选C.【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，一直是命题的热点，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.【重点难点突破】考点1 直线和圆锥曲线的位置关系【1-1】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点，且与轴平行，在直线上分别取点（分别在点的右侧），分别作和的平分线且相交于点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【1-2】【2017届四川省成都市第三次诊断】已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）由垂直平分线的几何意义可知，，满足椭圆的定义。

(浙江专版)2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何重点强化训练4 直线与圆教师用书

重点强化训练(四) 直线与圆A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0互相垂直”的( ) 【导学号：51062281】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0互相垂直得(a ＋1)(a －1)＋3a ×(a ＋1)＝0，解得a ＝14或a ＝－1.∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0互相垂直”的充分不必要条件．]2．(2017·浙江五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.]3．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3C [两圆外切，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝2＋1＝3. ∴(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝9，则(a ＋b )2＝9. 由基本不等式，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94.]4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D [因为l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0，则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k2. 依题意，得|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.]5．(2017·嘉兴一中模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( )A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 5D [在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，得(y －2)2＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆C 截得的弦长为2，所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2，所以圆心C (1,2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1，即|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.] 二、填空题6．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________. 【导学号：51062282】2x －y －7＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k ＝2.则所求直线的方程为y ＋1＝2(x －3)，即2x －y －7＝0.]7．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝__________.2 [因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.]8．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________．0或6 [由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC 可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322.由点到直线的距离得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.【导学号：51062283】[解] 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.6分(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，10分解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.15分10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y ).2分因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.6分 (2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.8分设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，12分所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.15分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．]2．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，2x －y －4≤0，y ≤2，点Q在圆O ：x 2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________，若直线PQ 与圆O 相切，则切线段PQ 长的最大值为________. 【导学号：51062284】2－1 23 [可行域是以A (0,2)，B (2,0)，C (3,2)为顶点的三角形区域(含边界)，且可行域在圆外．(图略)则|PQ |的最小值是圆心到直线x ＋y －2＝0的距离减去圆的半径，即为2－1. 因为直线PQ 与圆相切于点Q ，所以|PQ |＝|OP |2－1，要使PQ 的长最大，则|OP |要取最大值．而|OA |＝|OB |<|OC |＝13，即|OP |max ＝|OC |，则|PQ |max ＝|OC |2－1＝2 3.]3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3)．(1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3,2)，半径r ＝3.2分若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC ＝－112＝－2. 所以直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0.4分(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交，则有|3＋2＋b |2<3，6分所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是－32－5<b <32－5.9分(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，则直线l 2与CM 垂直，于是有y 0－2x 0－3＝1，整理可得x 0－y 0－1＝0.又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上，所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b2，y 0＝－1＋b2.12分代入直线l 1的方程得1－b －1＋b2－13＝0，于是b ＝－253∈(－32－5,32－5)，故存在满足条件的常数b .15分。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题9.2 两条直线的位置关系(讲)

专题9.2 两条直线的位置关系【考纲解读】【知识清单】1.两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=. (2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=. 对点练习：1.【2018届四川省南充高级中学高三9月检测】已知直线()12:210,:20l ax a y l ax y +++=-+=.若12//l l ，则实数a 的值是（）A. 0或3-B. 2或1-C. 0D. 3- 【答案】A2.【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校高三下学期联考】已知直线()12:210,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线12l l ⊥的充要条件是()()20300a a a a a a ++=∴+=∴= 或3a =- 。

故选A 。

2.距离问题1．两点间的距离公式设两点111222(,),(,)P x y P x y，则12PP =2．点到直线的距离公式设点000(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，则点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =3．两平行线间的距离公式设两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则这两条平行线之间的距离d =对点练习：【2017届河北武邑中学高三周考】过点()1,2P ，且与原点距离最大的直线方程是（） A ．250x y +-= B ．240x y +-= C ．370x y +-= D ．350x y +-= 【答案】A3.两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12210A B A B -≠，则方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，联立方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有无数组解，则12,l l 重合．对点练习：【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求（1）过点且与平行的直线方程；（2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程. 【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：(1)先求，写出直线点斜式方程，整理得解(2)先求两条直线的交点，设出直线方程，利用点到直线的距离，求出k ，从而确定直线方程．试题解析：（1）∴∴∴（2）∴，当斜率不存在，则方程为，不合题意当斜率存在，设方程,而,∴,∴,，∴或，∴方程为或.4.对称问题1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=. 对点练习：【2017届江西省赣州市第四中学高三上第三次月考】点关于直线的对称点为，则点的坐标为____________．【答案】【考点深度剖析】高考对两条直线的位置关系的考查要求较低，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握对两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视．【重点难点突破】考点1 两条直线平行与垂直【1-1】已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=-+=．求证：12//l l . 【答案】见解析【解析】由于122112212(2)(4)10,25170A B A B AC A C -=⨯---⨯=-=⨯-⨯≠，所以12//l l . 【1-2】若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 . 【答案】2a =-【领悟技法】1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即y 的系数是否为0）. 【触类旁通】【变式一】已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=++=．求证：12l l ⊥．【答案】见解析【解析】因为112222(4)10A B A B +=⨯+-⨯=，所以12l l ⊥．【变式二】已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则θ= ．【答案】()4k k Z πθπ=±∉【解析】由已知sin 0θ=时不合题意；sin 0θ≠时，由2112sin sin sin sin 224k πθθθθπθ-=-⇒=⇒=±⇒=±，这时11sin θ≠-．故()4k k Z πθπ=±∉.【综合点评】给定两条直线的方程，可以判断两条直线是否平行、相交或垂直.若是告诉我们两条直线平行或是垂直，则可得两直线的斜率间的关系．考点2 距离问题【2-1】已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是．【答案】2【解析】由题意346m =，8m =，所以直线方程为68140x y ++=，即3470x y ++=，2d ==.【2-2】已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积．【答案】5【领悟技法】1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．2.求两条平行线间的距离有两种思路：（1）利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．（2）直接应用两平行直线之间的距离公式. 【触类旁通】【变式一】点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为（） A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 【答案】B 【解析】如下图，作出点(1,3)A 关于x 轴对称的点(1,3)A '-，则P A P B P A P BAB ''-=-≤，当且仅当点P 在A B '的延长线上时，取等号.由两点式可得直线A B '的方程为：11344y x =-.令0y =得13x =，所以点P 的坐标为(13,0)，选B.【变式二】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是__________．【综合点评】涉及距离公式问题，主要有两类，一是给定点和直线，则可求相关的距离；二是已知某距离，利用距离公式确定相关的量. 考点3 两条直线的交点【3-1】经过两条直线3x 4y 50+=﹣和3x 4y 130=﹣﹣=0的交点，且斜率为2的直线方程是（） A ．2x+y ﹣7=0 B ．2x ﹣y ﹣7=0 C ．2x+y+7=0 D ．2x ﹣y+7=0 【答案】B【解析】两条直线3x 4y 50+=﹣和3x 4y 130=﹣﹣的交点，由解得31（，﹣），所以，经过两条直线3x 4y 50+=﹣和3x 4y 130=﹣﹣的交点，且斜率为2的直线方程是y 12x 3+=（﹣），即2x y 70=﹣﹣，故选B ．【3-2】已知两条直线1l ：0x By C ++=，2l ：20x By -+= 的交点为P (1，－3)，求B 、C 的值. 【答案】2a =-【解析】将点P (1，－3)的坐标代入方程0x By C ++=、20x By -+=得1301320B C B -+=⎧⎨++=⎩，解这个方程组得14B C =-⎧⎨=-⎩.【领悟技法】涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.【触类旁通】【变式一】若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】k 0＝或k 1≥【变式二】已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上. 【答案】见解析【解析】(1) 设12l l 、的交点为(0,)b ，代入两直线的方程得：304340b C C b +=⎧⇒=-⎨-+=⎩.∴选B ．(2)因为两直线12l l 、交于一点，所以1a ≠. 解方程组得21111a x a a y a +⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩即交点为211(,)11a a a a ++---. 若2101a a +>-，则1a >.当1a >时，101a a +-<-，此时交点在第二象限内.又因为a 为任意实数时，都有12+a 1≥，故2101a a +≠-，所以，交点不可能在x 轴上.【综合点评】涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化. 考点4 对称问题【4-1】设【2017届浙江台州中学高三10月月考】ABC ∆的一个顶点是(3,1)A -，B ∠，C ∠的平分线方程分别是0x =，y x =，则直线BC 的方程是（） A.35y x =+ B.23y x =+ C.25y x =+ D.522x y =-+ 【答案】C.【4-2】直线0632=-+y x 关于点(1,1)-对称的直线方程为________. 【答案】2380x y ++=【解析】设对称直线为0:230l x y C '++=2=，解这个方程得020C =-或08C =.结合图形可看出020C =-时两直线都在点(1,1)-的同侧，故舍去.所以对称直线l '的方程中2380x y ++=．【4-3】已知直线1:10,:220.l x y l x y －－＝－－＝若直线2l 与1l 关于l 对称,则2l 的方程是 ( ).210A x y －＋＝ .210B x y －－＝ .10C x y ＋－＝ .210D x y ＋－＝【答案】B 【解析】由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩得：1x y =⎧⎨=⎩.2l 必过1l 与l 的交点(1,0)A .在1l 上取点(2,0)B -，易得点(2,0)B -关于l 对称的点为(1,1)B '--，2l 即为直线AB '，所以2l 的方程为011011y x --=----，即210x y --=，故选B . 【领悟技法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点00(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，设对称点是00(,)Q x y ''，则线段PQ 的中点在直线l 上且直线PQ l ⊥，由此可得一方程组0000000022()1x x y y A B C y y A x xB ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩，解这个方程组得：00,x y ''的值，从而求得对称点的坐标.2．若直线:0l Ax By C ++=关于点00(,)P x y 对称，由于对称直线必与直线:0l Ax By C ++=平行，故可设对称直线为0:0l Ax By C '++=.因为直线,l l '间的距离是点P 到直线:0l Ax By C ++=的距离的2=，解这个方程可得0C 的值（注意这里求出的0C 有两个），再结合图形可求得对称直线l '的方程．3．若直线:0l Ax By C ++=关于直线0000:0l A x B y C ++=对称，则在直线:0l Ax By C ++=上取两点，求出这两点关于直线0l 对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线l 关于直线0l 对称的直线的方程．【触类旁通】【变式一】在△ABC 中，已知A （2，3），角B 的外角平分线为Y 轴，角C 的平分线为l ：x+y=4,求BC 边所在的直线方程. 【答案】370x y +-=【变式二】光线从()2,0Q 发出射到直线l ：x+y=4上的E 点，经l 反射到y 轴上F 点，再经y 轴反射又回到Q 点，求直线EF 的方程. 【答案】320x y -+= 【解析】设Q 关于y 轴的对称点为1Q ，则1Q 的坐标为()-2,0. 设Q 关于l 的对称点为()2,Q m n ，则2QQ 中点为G 2(,)22m n+，G 在l 上. 2422m n+∴+=， ① 又2,12nQQ l m ⊥∴=- ② 由①②得2(4,2)Q由物理学知识可知，1Q 、2Q 在直线EF 上，1213EF Q Q k k ∴==. ∴直线EF 方程为:1(2)3y x =+，即320x y -+=.【综合点评】对称问题实际上是两直线位置关系的应用，主要是应用转化与化归思想、数形结合思想分析求解. 【易错试题常警惕】易错典例：已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．易错分析：(1)不能结合图形，分析直线的位置关系；（2）计算能力差，解方程组有误．同理，点B关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为B′36411313⎛⎫ ⎪⎝⎭-，.∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A′点在直线BC上．∴直线BC的方程为y＝11133113--(-）－x－1，整理得12x－31y－31＝0.同理，直线AC的方程为y－5＝41513361)13-－--((x＋1)，整理得24x－23y＋139＝0.直线AB的方程为y＝5110-(-）－－x－1，整理得6x＋y＋1＝0.温馨提醒：在两直线位置关系问题研究中，涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；涉及两直线的垂直、平行的判定，一般将直线化成斜截式方程再进行判定.注意点：一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即y的系数是否为0）；数形结合思想，是解析几何分析问题、解决问题的重要特征，要注意将几何问题与代数问题灵活地加以转化.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2017届河北武邑中学高三周考】过点()1,2P 的直线l 被两平行线1:4310l x y ++=与2:4360l x y ++=截得的线段长AB =l 的方程.【答案】()()1271,217y x y x -=--=--. 【解析】由24310y kx k x y =+-⎧⎨++=⎩解得3758,3434k k A k k --+⎛⎫ ⎪++⎝⎭；由24360y kx k x y =+-⎧⎨++=⎩解得312810,3434k k B k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为AB == 整理得274870k k --=，解得17k =或217k =-．。

精选浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系教师用书

第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离d ＝x 2－x 12＋y 2－y 121．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)若点P ，Q 分别是两条平行线l 1，l 2上的任意一点，则P ，Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1C [由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.]3．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． (2，－2) [直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．]4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 2 [由aa －3＝－2，得a ＝2.]5．(2017·唐山调研)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．823[由l 1∥l 2，得a (a －2)＝1×3， ∴a ＝3或a ＝－1.但a ＝3时，l 1与l 2重合，舍去，∴a ＝－1，则l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0.故l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823.](1)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直(1)A (2)B [(1)当a ＝1时，显然l 1∥l 2，若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0，所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． (2)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得bsin B·sin A a＝1.又x sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝bsin B，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，两条直线垂直．][规律方法] 1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．[变式训练1] 已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8A [∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.]l的方程为________. 【导学号：51062263】(2)过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．(1)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.](2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，则直线l 与l 2的交点B (6－x 0，－y 0)，2分由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，6－x 0－y 0＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝113，y 0＝163，8分即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，从而直线l 的斜率k ＝163－0113－3＝8，13分直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.14分[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．[变式训练2] 若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．[解]①过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即直线l 的方程为x ＝1.4分②设过点A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －，得x ＝k ＋7k ＋2且y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则l 与l 1平行)．则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.8分又A (1，－1)，且|AB |＝5，所以⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34.12分因此y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.14分(1)平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________． (2)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程是________. 【导学号：51062264】(1)y ＝2x －3 (2)10x －3y ＋8＝0 [(1)法一：在直线l 上任取一点P ′(x ，y )，其关于点(1,1)的对称点P (2－x,2－y )必在直线y ＝2x ＋1上，∴2－y ＝2(2－x )＋1，即2x －y －3＝0. 因此，直线l 的方程为y ＝2x －3.法二：由题意，l 与直线y ＝2x ＋1平行，设l 的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，∴|2－1＋c |22＋1＝|2－1＋1|22＋1，解得c ＝－3. 因此所求直线l 的方程为y ＝2x －3.法三：在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点M (2,1)，B 关于点(1,1)对称的点N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3.(2)作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.][迁移探究1] 在题(1)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点”，则结果如何？[解] 设点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为A ′(a ，b )，2分则AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 2，1＋b 2，6分所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2＝2×1＋a2＋1，b －1a －1×2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝95，12分故点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95.14分 [迁移探究2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x －y ＝0对称”，则结果如何？[解] 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于直线x －y ＝0的对称点为M (1,0)，点B 关于直线x －y ＝0的对称点为N (3,1)，8分∴根据两点式，得所求直线的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.14分[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．[变式训练3] (2017·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＋y －2＝0对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0B [由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0的交点坐标为(1,1)．在直线x －2y ＋1＝0上取点A (－1,0)，设A 点关于直线x ＋y －2＝0的对称点为B (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m ＋1－＝－1，m －12＋n 2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.故所求直线的方程为y －13－1＝x －12－1，即2x －y －1＝0.][思想与方法]1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．[易错与防范]1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．课时分层训练(四十四) 两条直线的位置关系 A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 C [因为线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.]2．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 2C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为|－1－0＋3|12＋－2＝22＝ 2.]3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α的值为( )A.45 B ．－45C ．2D ．－12A [依题设，直线l 的斜率k ＝2， ∴tan α＝2，且α∈[0，π)，则sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos α＝45.]4．(2017·合肥模拟)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1，又0<k <12，则k k －1<0，2k －1k －1>0，即x <0，y >0，从而两直线的交点在第二象限．]5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)B [直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．]二、填空题6．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为________. 【导学号：51062265】(0,3) [因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2. 又直线l 2过点(－1,1)，所以l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3. 令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．]7．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．x ＋2y －3＝0 [当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12，∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.]8．(2017·湖州模拟)已知b >0，直线x －b 2y －1＝0与直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值等于________．2 [由题意知b 2＋1－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，则ab ＝b ＋1b≥2(当且仅当b ＝1时等号成立)，∴ab 的最小值为2.] 三、解答题9．求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程. 【导学号：51062266】[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2).5分∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，8分则直线l 的方程为y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.14分10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，2分∴直线l 恒过定点(－2,3).6分(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大.9分又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.12分故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.14分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 D [∵切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0. 设切线方程为2x ＋y ＋c ＝0.依题意，得|0＋0＋c |22＋12＝5，则c ＝±5.] 2．(2016·浙江杭州七校联考)已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________. 【导学号：51062267】－1122 [依题意有k ＝－a ＝tan π4＝1，则a ＝－1.若l 1⊥l 2，则－a ×1＝－1，得a ＝1.若l 1∥l 2，则a ＝－1，直线l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离为d ＝|1－－2＝2 2.]3．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．[解] (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0.∵点A (5,0)到l 的距离为3， ∴|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，3分则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12， ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.6分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)，12分∴d max ＝PA＝－2＋－2＝10.14分。