2.1.2椭圆的简单几何性质练习题及答案

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人教a版数学【选修1-1】作业：2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)

2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝______，长轴长＝______焦点焦距对称性对称轴是________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。

2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)

8．直线 x＋2y－2＝0 经过椭圆a2＋b2＝1 的离心率等于______．
x2 y2
(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆
9．椭圆 E：16＋ 4 ＝1 内有一点 P(2,1)，则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为____________．
三、解答题 x2 y2
10．如图，已知 P 是椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右 a2
一、选择题
1．椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
4
4
A．5,3，5 3
B．10,6，5 3
C．5,3，5
D．10,6，5
2．焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为( )
x2 y2
x2 y2
A．36＋16＝1 x2 y2
B．16＋36＝1 y2 x2
C． 6 ＋ 4 ＝1
D． 6 ＋ 4 ＝1
x2 y2
1
3．若焦点在 x 轴上的椭圆 2 ＋ m ＝1 的离心率为2，则 m 等于( )
3
8
2
A． 3
B．2
C．3
D．3
x2 y2
4．如图所示，A、B、C 分别为椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线 x＝－ c (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交点，若 PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率 e.
11．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为（A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列（B ）r 1, r 2, r 3成等比数列（C ）123111,,r r r 成等差数列（D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是（A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案

椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是（）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。

2--椭圆的几何性质(答案)

2.1.2 椭圆的简单几何性质参考答案1．B【解析】依题意得，2225,16a b ==，又∵在任意椭圆中有222a b c =+，从而22225169c a b =-=-=，解得3c =．则该椭圆的焦距为26c =，故选B ．考点：求椭圆的焦距． 2．A【解析】由题意可知226,a b c +===解方程组得224,1a b ==，所以椭圆的标准方程为2214x y +=. 考点：椭圆方程及性质. 3．C【解析】曲线221259x y +=表示的椭圆焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为16．曲线()2219259x y k k k+=<--表示的椭圆焦点在x轴上，长轴长为16．故选C ．考点：椭圆的几何性质. 4．D【解析】由题意可知40,100,410,k k k k ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得710k <<.考点：椭圆的标准方程及几何性质. 5．C【解析】当焦点在x 轴时222414,,4,,3;44k a b k c k k -==∴=-∴=∴=当焦点在y 轴时，2224116,4,4,,.43k a k b c k k k -==∴=-∴=∴=故选C. 考点：椭圆的方程及性质.6．B【解析】由条件知1,2c c e a ===，所以1a b ==，椭圆方程为2212x y +=，联立直线方程与椭圆方程可得()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3AB =. 考点：直线与椭圆相交的弦长问题. 7．D【解析】设点P 在x 轴上方，则坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为△12F PF 为等腰直角三角形，所以212PF F F =，即22b c a =，等式两边同除以a ，化简得212e e -=，解得1e =，故选D ．考点：椭圆的简单性质，离心率问题． 8．B【解析】当动点P 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．∵椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴△102F P F 中，10290F P F ??，∴Rt △02OP F 中，0245OP F ∠>︒，所以b c <，∴222a c c -<，∴222a c <，∴e >，∵01e <<，∴12e <<. 考点：椭圆的简单性质. 9．12【解析】因为223412x y +=，所以22143x y +=，所以2,1a b c ===，所以椭圆的离心率12e =. 考点：椭圆的性质.10．12【解析】由题意，得223c b e a ===，则3,2a b c ===．由椭圆的定义，知△2ABF 的周长()22112212AB AF BF AF BF AF BF AF AF =++=+++=++()12412.BF BF a +==考点：椭圆的定义及几何性质． 11．3【解析】设椭圆的标准方程为22221x ya b+=，由题意知，24a=，2a=，∵π4CBA∠=，BC=C的坐标为()1,1-，∵点C在椭圆上，∴21114b+=，∴243b=，∴22248433c a b=-=-=，3c=3.考点：椭圆的标准方程，与几何性质．12．详见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为22221x ya b+=或()222210y xa ba b+=>>．由已知3a b=且椭圆过点()3,1-，∴()()22221313bb-+=或()()22221313bb-+=，∴2218,2ab⎧=⎪⎨=⎪⎩或2282,82,9ab⎧=⎪⎨=⎪⎩故所求椭圆的方程为221182x y+=或22182829x y+=.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，由题意知3a=，3ca=，∴c=∴22296 3.b a c=-=-=∴椭圆的标准方程为22193x y+=.当椭圆的焦点在y轴上时，由题意知3,3cba==，∴a227a=.∴椭圆的标准方程为221927x y+=.综上，所求椭圆的标准方程为22193x y +=或221927x y +=. 考点:椭圆的标准方程.13．（1）2212x y +=（2）m ≤m ≤< 【解析】（1）由题意知22,2c e c a ===解得1,a c =又222a b c -=，222,1a b ∴==．故椭圆的方程为2212x y +=．（2）联立得220,1,2x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2234220.x mx m ++-=则()221612220m m m ∆=-->⇒<<设()()1122,,,M x y N x y ，则124,3m x x +=-则122.3m y y += ∴MN 中点坐标为2,33m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为MN 的中点不在圆221x y +=内，所以222133m m m ⎛⎫⎛⎫-+≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或5m ≤-综上，可知m <≤m ≤< 考点：椭圆的方程与性质，直线和圆锥曲线的位置关系．14．（1）2211612x y +=（2）96,147⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】(1）由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△12PF F 的面积取最大值，此时12121,2PF F S F F OP bc =⋅=所以bc =因为1,2e =所以b =4a =, 所以椭圆方程为2211612x y +=.（2）由（1）得椭圆方程为2211612x y +=，则1F 的坐标为()2,0-，因为0AC BD ⋅= ，所以AC BD ⊥ .①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得6814AC BD +=+=.②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠时，则其方程为()2y k x =+，设()()1122,,,A x y C x y ，则点A 、C 的坐标是方程组()222,11612y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩的两组解，所以()2222341616480.k x k x k +++-=所以2122212216,341648,34k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以()212224134k AC x k +=-=+ .直线BD 的方程为()12y x k=-+. 同理可得()2224143k BD k +=+ ,()()()()()22222222241241168134433443k k k AC BD k k k k ++++=+=++++ ，令()210t k k =+≠，则21681,112t AC BD t t>+=-+ ，因为1t >，所以101t <<，22111124t t t -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以21104t t -<≤，所以AC BD +∈ 96,147⎡⎫⎪⎢⎣⎭.考点：椭圆方程与性质，直线与椭圆相交的位置关系.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质应用案

第1课时椭圆的简单几何性质[A 基础达标]1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定解析：选C.由题可知，a ＝5且c ＝3，所以b ＝4，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1，解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝3a 2，即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6. 又e ＝c a ＝32，故c ＝33，所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.所以椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为3.解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ，所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝ba，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55. [B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.答案：6313．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2.① 因为BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2， k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12②由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c2b ，即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b.因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，可得(1＋b )(b －c )＝0，因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12，所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1，即x 2＋2y 2＝1.。

高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(2)测试(含

椭圆的简单的几何性质（2）（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( ) A ．±34 B ．±32C ．±22D ．±34答案：A2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2，0)，B (0，1)，所以b ＝1，c ＝2，所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a＝25＝255.答案：D3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B ．4．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76答案：B5．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.答案：D6．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A ．22B ．233C ．922D ．2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n，代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n．由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A ．二、填空题7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3．答案： 38．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________________．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x24＋y23＝1可得F(－1,0)．设P(x ，y)，－2≤x≤2，则OP ·FP ＝x2＋x ＋y2＝x2＋x ＋31－x24＝14x2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6．答案：610．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF→|＝________．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)．所以由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1，所以|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解：设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1. 所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.12．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－48)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4. 因为，λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt （3＋4k 2）λ，6t （3＋4k 2）λ. 又因为点C 在椭圆上，所以，4k 2t 2（3＋4k 2）2λ2＋3t2（3＋4k 2）2λ2＝1⇒λ2＝t 23＋4k 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1. 因为t 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1＞1，所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．。

高二上学期数学练习题(7)(椭圆的简单几何性质)有详细答案

高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）班级姓名学号一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( ) A.32 B.34 C.22 D.233. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12C ．2D ．4 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.136. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )． A.15 B.25 C.55 D.2557. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．88. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－139. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （） 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 12.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．13.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．14.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________15.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．17.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝_______18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 则该椭圆的离心率为________．三．解答题19.求椭圆x 24＋y 2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．20.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程．21.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．22.已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．23.已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．24.如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）参考答案班级姓名学号（5-12页）一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案 D 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 14＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32.答案 A 3. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案 A4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12 C ．2 D ．4 解析将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m >1，∴0<m <1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 答案 A 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.13解析：记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，故选B.答案 B6. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B A.15 B.25 C.55 D.255解析：由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2，∴a ＝22＋12＝5，∴e ＝c a ＝25＝255.答案 D7. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．8 解析如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接 AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ， ∴AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8.答案 D8. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－13解析设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案 D 9. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （）解析设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．∴由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0，∴x 0＝43，y 0＝13n ，将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12³(43)2＋(13n )2＝1.解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A.答案 A 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( D )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4. 所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝112.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．解析：①当k ＋8>9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；②当k ＋8<9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案4或－5413.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案 x 236＋y 29＝114.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝42.但焦点位置不确定．答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝115.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案 (1，3)∪(3，＋∞) 16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－12x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35，答案 35。

高中数学专题2.2.2 椭圆的简单的几何性质(1)测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年

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椭圆的简单的几何性质(1）（时间：25分，满分55分) 班级姓名得分一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的长轴，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长与椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长相等，则( ）A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9,b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋错误!＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为（ )A.错误!B.错误!C.错误! D 。

错误!答案：A3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是（－错误!,0），(错误!,0），离心率是错误!,则椭圆C 的方程为（）A 。

错误!＋y 2＝1B ．x 2＋错误!＝1 C.错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1 解析:因为错误!＝错误!,且c ＝错误!，所以a ＝错误!，b ＝错误!＝1。

所以椭圆C 的方程为1322=+y x 。

答案：A4．已知椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥x轴,直线AB与y轴交于点P,其中错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为（) A.错误!B。

课时作业1：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)

2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)一、基础过关1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上答案 C解析由椭圆的对称性知点(－3,2)必在椭圆上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝16或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9答案 D3．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23答案 A解析将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32. 4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.52 B.33 C.12 D.13答案 B解析记|F 1F 2|＝2c ，则由题意，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33. 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________．答案 14解析由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0，a >0，b >0)具有________． ①相同的顶点 ②相同的离心率③相同的焦点 ④相同的长轴和短轴答案 ②解析不妨设a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率 e 2＝ ka 2－kb 2ka 2＝ a 2－b 2a 2. 而椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 1＝ a 2－b 2a 2，故②正确． 7．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6. (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 二、能力提升8．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. 答案 14或4 解析方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m <1时，依题意有1－1m 1＝32，解得m ＝4；当1m>1时，依题意有1m －11m ＝32，解得m ＝14. 综上，m ＝14或4. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．答案 2－1解析因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，即(2＋1)c ＝a ，于是e ＝c a ＝12＋1＝2－1. 11．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m，半焦距长c ＝32m. ∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32. 12. 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a 3，所以2c ＝32×4a 3，即c a ＝33，即椭圆的离心率是33. 三、探究与拓展 13．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1).。

2.1.2椭圆的简单几何性质一

y
O
x
讲授新课
4．离心率椭圆的焦距与长轴长的比
e
c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2
越小，因此椭圆越扁；
y
O
x
讲授新课
4．离心率椭圆的焦距与长轴长的比
e
c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
解：若焦点在y轴上，同理求得椭圆方程为：y2 4x2 1.
65 65 所以椭圆的标准方程为：
x2 y2 1或 y2 x2 1.
20 5
65 65
4
1
得：a 2 5 b 5
讲授新课
练习求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：若焦点在x轴上，设椭圆方程为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)，
依题意有：a 2b
16 a2
1 b2
1
得：a 2 5 b 5
故椭圆方程为: x2 y2 1. 20 5
讲授新课
讲授新课
3．顶点
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、
B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，
得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和
x轴的两个交点．
y
B2
x2 a2
y2 b2
1 (a＞b＞0).
A1
A2
F1 பைடு நூலகம் F2 x
B1
讲授新课
3．顶点

北师大高中数学选择性必修第一册第二章1.2 椭圆的简单几何性质课时作业14椭圆的简单几何性质(含答案

北师大高中数学选择性必修第一册第二章1.2 椭圆的简单几何性质课时作业14椭圆的简单几何性质（含答案）北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业14椭圆的简单几何性质(原卷版)角一、选择题1. 椭圆＝1的离心率为(C)A. B.C. D.2. 椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率分别是(A)A.10，8，B.5，4，C.10，8，D.5，4，3. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝1有相同的长轴，椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长与＝1的短轴长相等，则(D)A.a2＝15，b2＝16B.a2＝9，b2＝25C.a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D.a2＝25，b2＝94. 椭圆＝1的焦点坐标是(C)A.(±2，0)B.(±4，0)C.(0，±2)D.(0，±4)5. 椭圆＝1(a＞b＞0)和＝k(k＞0)具有(C)A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点6. 已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1的焦距为4，则C的离心率为(C)A. B.C. D.7. 在椭圆＝1中，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，△MF1A2面积的最大值为(A)A.16B.32C.16D.328. (多选题)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(BCD)A. B.C. D.二、填空题9. 椭圆＋y2＝1的离心率是，焦距是2 .10. 已知椭圆的半短轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为(2，4].11. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＝1(a＞b＞0)的焦距为2C.以点O为圆心，a为半径作圆M. 若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为(2，4].三、解答题12. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)；(2)椭圆过点(3，0)，离心率e＝.13. 如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点M，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率.14. 若焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a＞0)的离心率为，则a的值为(C)A.9B.6C.3D.2C.15. 设F1，F2为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，点P在C上，e 为C的离心率. 若△PF1F2是等腰直角三角形，则e＝或－1；若△PF1F2是等腰钝角三角形，则e的取值范围是(2，4].16. 已知F1，F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2(O为坐标原点)的面积为2，求椭圆的方程.北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业14椭圆的简单几何性质(解析版)一、选择题1. 椭圆＝1的离心率为(C)A. B.C. D.解析：在椭圆＝1中，a＝4，b＝3，c＝，因此，该椭圆的离心率为e ＝. 故选C.2. 椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率分别是(A)A.10，8，B.5，4，C.10，8，D.5，4，解析：把椭圆方程化为标准方程＝1，得到a＝5，b＝4，则c＝3，所以长轴和短轴的长分别为10，8，椭圆的离心率e＝. 故选A.3. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝1有相同的长轴，椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长与＝1的短轴长相等，则(D)A.a2＝15，b2＝16B.a2＝9，b2＝25C.a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D.a2＝25，b2＝9解析：因为椭圆＝1(a＞b＞0)与椭圆＝1有相同的长轴，所以a2＝25. 又因为椭圆＝1(a＞b＞0)的短轴长与＝1的短轴长相等，所以b2＝9. 故选D.4. 椭圆＝1的焦点坐标是(C)A.(±2，0)B.(±4，0)C.(0，±2)D.(0，±4)解析：由条件可知a2＝10，b2＝6，△c2＝a2－b2＝4，并且焦点在y轴，所以焦点坐标是(0，±2). 故选C.5. 椭圆＝1(a＞b＞0)和＝k(k＞0)具有(C)A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点解析：椭圆＝1的离心率e1＝＝k可化为＝1(k＞0)，其离心率e2＝. △e1＝e2. 故选C.6. 已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1的焦距为4，则C的离心率为(C)A. B.C. D.解析：由题得a2－4＝4，△a2＝8，△|a|＝2. 所以椭圆的离心率为e ＝. 故选C.7. 在椭圆＝1中，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，△MF1A2面积的最大值为(A)A.16B.32C.16D.32解析：由题意可知点M为短轴端点时，△MF1A2的面积取最大值，因为椭圆方程为＝1，所以a＝5，b＝4，c＝3，即有S＝(a＋c)×b＝×8×4＝16. 故选A.8. (多选题)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(BCD)A. B.C. D.解析：由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又由|PF1|＝2|PF2|，解得|PF1|＝a，|PF2|＝a，又由|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，可得a≤2c，所以e＝，即椭圆的离心率e的取值范围是. 故选BCD.二、填空题9. 椭圆＋y2＝1的离心率是，焦距是2.解析：由椭圆方程＋y2＝1得a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆＋y2＝1的离心率是，椭圆的焦距为2.10. 已知椭圆的半短轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为(2，4].解析：△e＝，b＝1，0＜e≤，△.则1＜a≤2，△2＜2a≤4. 即长轴长的取值范围是(2，4].11. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＝1(a＞b＞0)的焦距为2C.以点O为圆心，a为半径作圆M. 若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为.解析：设切点为Q，B，如图所示. 切线QP，PB互相垂直，又半径OQ垂直于QP，所以△OPQ为等腰直角三角形，可得，所以e＝.三、解答题12. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)；(2)椭圆过点(3，0)，离心率e＝.解：(1)设椭圆的标准方程为＝1或＝1(a＞b＞0). 由已知a＝3b且椭圆过点(3，－1)，△＝1或＝1，△或故所求椭圆的方程为＝1或＝1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，由题意知a＝3，，△c＝.△b2＝a2－c2＝9－6＝3.△椭圆的标准方程为＝1. 当椭圆的焦点在y轴上时，由题意知b＝3，，△，△a2＝27.△椭圆的标准方程为＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.13. 如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点M，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率.解：解法一：设焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)，依题意设M点坐标为. 在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2aB.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以，所以e2＝＝1－，所以e＝.解法二：设M，代入椭圆方程，得＝1，所以，所以，即e＝.14. 若焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a＞0)的离心率为，则a的值为(C)A.9B.6C.3D.2解析：焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a＞0)，可得c＝，由离心率为，可得，解得a＝3. 故选C.15. 设F1，F2为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，点P在C上，e 为C的离心率. 若△PF1F2是等腰直角三角形，则e＝或－1；若△PF1F2是等腰钝角三角形，则e的取值范围是.解析：当PF1△F1F2或PF2△F1F2时，两条直角边长为2c，斜边长为2c，由椭圆定义，可得2c＋2c＝2a，所以e＝－1；当PF1△PF2时，斜边长为2c，直角边长为c，由椭圆定义，可得c＝2a，所以e＝. 故e＝或－1.当△PF1F2为钝角时，PF1＝F1F2＝2c，由椭圆定义，可得PF2＝2a－2c，再根据形成三角形的条件以及余弦定理，可得2a－2c＜2c＋2c，(2a－2c)2＞4c2＋4c2，解得－1；当△PF2F1为钝角时，同上可得－1；当△F1PF2为钝角时，PF1＝PF2＝a，F1F2＝2c，所以a2＋a2＜4c2，解得＜e＜1. 故－1或＜e＜1.16. 已知F1，F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2(O为坐标原点)的面积为2，求椭圆的方程.解：如图，△＝0，△AF2△F1F2，△椭圆的离心率e＝，△b2＝a2，设A(x，y)(x＞0，y＞0)，由AF2△F1F2知x＝c，△A(c，y)代入椭圆方程得＝1，△y＝. △△AOF2的面积为2，△c·＝2，而，△b2＝8，a2＝2b2＝16，故椭圆的标准方程为＝1.。

2021年高二人教版数学选修1-1练习：2.1.2椭圆的简单几何性质 Word版含答案

►根底梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比拟.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0 ,所以0<e<1．(2)e越小,椭圆越圆；e越大,椭圆越扁．(3)当e＝0时,即c＝0 ,a＝b时,两焦点重合,椭圆方程变成x2＋y2＝a2 ,成为一个圆．(4)当e＝1时,即a＝c ,b＝0时,椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度,与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m,假设直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．(1)Δ＞0 ,直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0 ,直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0 ,直线与椭圆无公共点．,►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为(D )A ．(－1 ,0) ,(1 ,0)B ．(－6 ,0) ,(6 ,0)C ．(0 ,－6) ,(0 ,6)D ．(－6 ,0)(6 ,0)2．离心率为32,焦点在x 轴上 ,且过点(2 ,0)的椭圆标准方程为(A )A.x24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 3．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22．解析：∵x 216＋y 28＝1中 ,a 2＝16 ,b 2＝8 ,∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长 ,短轴长 ,离心率依次是(B )A ．5 ,3 ,45B ．10 ,6 ,45C ．5 ,3 ,35D ．10 ,6 ,352．椭圆的焦点在x 轴上 ,离心率为12,且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径 ,那么椭圆的标准方程是(A )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2 ,又因为e ＝c a ＝12,c ＝1 ,所以a 2＝4 ,b 2＝3 ,应选A.3．在一椭圆中以焦点F 1 ,F 2为直径两端点的圆 ,恰好过短轴的两顶点 ,那么此椭圆的离心率e 等于________．解析：由题可知b ＝c ,∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2 ,a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.答案：224．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0 ,4) ,离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3 ,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0 ,4)代入C 的方程得16b2＝1 ,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35 ,得a 2－b 2a 2＝925 ,即1－16a 2＝925 ,∴a ＝5 ,∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3 ,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程 ,得x 225＋(x －3 )225＝1 ,即x 2－3x －8＝0 ,解得x 1＝3－412 ,x 2＝3＋412 ,∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32 ,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65 ,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －65. 5．如下图F 1 ,F 2分别为椭圆的左、右焦点 ,椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标 ,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率．解析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ,b ,c .那么焦点为F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,M 点的坐标为(c ,23b ) ,那么△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2 ,即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ,整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2 ,所以3b ＝2a ,所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59 ,∴e ＝53.1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为(D )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距 2．(2021·广东四校联考)椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0) ,那么此椭圆的离心率为(B ) A.13 B.33C.22 D.123．假设椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13,那么m 的值为(B )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．椭圆的中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上 ,且长轴长为12 ,离心率为13,那么椭圆的方程是(D )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有(A )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴解析：将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.那么c 2＝(a 2－b 2)k ,∴e 2＝ (a 2－b 2 )k a 2k ＝c 2a 2.6．点P 是以F 1 ,F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点 ,且PF 1→·PF 2→＝0 ,tan ∠PF 1F 2＝12,那么该椭圆的离心率等于(D ) A.13 B.12 C.23 D.537．椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4 ,其中一个焦点的坐标为( 3 ,0) ,那么椭圆的离心率为________．答案：328．椭圆的短轴长等于2 ,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5 ,那么此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点 ,假设∠F 1PF 2＝60° ,那么椭圆的离心率为________．解析：假设点P 在第二象限 ,那么由题意可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c b 2a ,又∠F 1PF 2＝60° ,所以2cb 2a ＝tan60°＝3 ,化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0 ,即3e 2＋2e －3＝0 ,e ∈(0 ,1) ,解得e ＝33,故填33. 答案：3310．椭圆的对称轴为坐标轴 ,离心率e ＝23,短轴长为8 5 ,求椭圆的方程．解析：∵2b ＝85 ,∴b ＝4 5.又c a ＝23,由a 2－c 2＝b 2 , 得a 2＝144 ,b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12,且椭圆经过点N (2 ,－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1 ,2)为中点的弦所在直线的方程．解析：(1)由椭圆经过点N (2 ,－3) , 得22a 2＋ (－3 )2b 2＝1 又e ＝c a ＝12,解得a 2＝16 ,b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)是以M 为中点的弦的两个端点 ,那么x 2116＋y 2112＝1 ,x 2216＋y 2212＝1.相减得 (x 2－x 1 ) (x 2＋x 1 )16＋ (y 2－y 1 ) (y 2＋y 1 )12＝0.整理得k AB ＝－12· (x 1＋x 2 )16· (y 1＋y 2 )＝38,那么所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1) ,即3x －8y ＋19＝0 12．(2021·惠州调研)椭圆的一个顶点为A (0 ,－1) ,焦点在x 轴上 ,假设右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ,当|AM |＝|AN |时 ,求m 的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1 ,那么右焦点F 的坐标为(a 2－1 ,0) ,由题意得|a 2－1＋22|2＝3 ,解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ,y p )、M (x M ,y M )、N (x N ,y N ) ,其中P 为弦MN 的中点 , 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0 , 即m 2＜3k 2＋1 ① ,x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1 ,∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1,从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk,又|AM |＝|AN | ,∴AP ⊥MN ,因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k,即2m ＝3k 2＋1 ② ,把②式代入①式得m 2＜2m ,解得0＜m ＜2 ,由②式得k 2＝2m －13＞0 ,解得m ＞12,综上所述 ,求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验（高|考）1．(2021·全国大纲卷)假设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1 ,F 2离心率为33,过F 2的直线l 交C 与A ,B 两点 ,假设△AF 1B 的周长为4 3 ,那么椭圆C 的方程为(A) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵△AF 1B 的周长为43 ,∴4a ＝43 ,∴a ＝3 ,∵e ＝c a ＝33 ,∴c ＝1 ,b ＝2 ,∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(2021·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1 ,F 2 ,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点 ,F 1B 与y 轴相交于点D ,假设AD ⊥F 1B ,那么椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意 ,F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第|一象限 ,由AB ⊥x 轴 ,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a ,A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －b 2a .由于AB //y 轴 ,|F 1O |＝|OF 2| ,∴点D 为线段BF 1的中点 ,那么D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 b 22a ,由于AD ⊥F 1B ,知F 1B →·DA →＝0 ,那么⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0 ,即2ac ＝3b 2 ,∴2ac ＝3(a 2－c 2) ,又e ＝ca ,且e ∈(0 ,1) ,∴3e 2＋2e －3＝0 ,解得e ＝33(e ＝－3舍去)．答案：333．(2021·安徽卷)设F 1 ,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点 ,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点 ,|AF 1|＝3|BF 1|.(1)假设|AB |＝4 ,△ABF 2的周长为16 ,求|AF 2|；(2)假设cos ∠AF 2B ＝35,求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF 1|＝3|F 1B | ,|AB |＝4 , 得|AF 1|＝3 ,|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16 ,|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8 , 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ,那么k ＞0且|AF 1|＝3k ,|AB |＝4k , 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k , 在△ABF 2中 ,由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ,即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k ) ,化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0 ,而a ＋k ＞0 ,故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1| ,|BF 2|＝5k ,因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2 ,可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形 ,∴c ＝22a ,e ＝22.4．(2021·新课标全国卷Ⅱ)设F 1 ,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左 ,右焦点 ,M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直 ,直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)假设直线MN 的斜率为34,求C 的离心率；(2)假设直线MN 在y 轴上的截距为2 ,且|MN |＝5|F 1N | ,求a ,b .解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a由k MN ＝34 ,得b 22ac ＝34,那么2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ,解得c a ＝12 ,ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意 ,原点O 为F 1F 2的中点 ,MF 2//y 轴 ,所以直线MF 1与y 轴的交点D (0 ,2)是线段MF 1的中点 ,故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1 ,y 1) ,由题意知y 1＜0 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧2 (－c －x 1 )＝c －2y 1＝2 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c y 1＝－1.代入C 的方程 ,得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 (a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7 ,b 2＝4a ＝28 ,即b ＝27. ∴a ＝7 ,b ＝27.。

(完整word)2.1.2椭圆的简单几何性质练习题及答案

(完整word)2.1.2椭圆的简单几何性质练习题及答案1一、课前练习：1.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是 ( ）A 。

(0,-42)、（0,42） B 。

（-1,0)、（1,0） C 。

(22,0)、(-22,0) D 。

（0,22）、(0，－22) 2.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是 ( ） A 。

559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.5514 3。

离心率为23，且过点(2，0)的椭圆的标准方程是 ( )A 。

1422=+y xB 。

1422=+y x 或1422=+y xC 。

1422=+y x D.1422=+y x 或116422=+y x二、典例:例1。

求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．变式练习1：求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程:(1）25x 2+4y 2—100=0，（2）x 2+4y 2—1=0．例2．（1）求椭圆2244x y +=和2244x y +=的准线方程；（2）已知椭圆22925900x y +=上的点P 到它的右准线的距离为8.5，则P 到左焦点的距离为；（3）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，准线方程为18y =±，椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14，则椭圆的方程是．三、巩固练习: 1.已知F 1、F 2为椭圆（a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是（ ) A 。

13422=+y x B 。

1342=+y x C 。

1342=+y x D.1342=+y x 2。

椭圆12222=+a y b x (a >b 〉0）的准线方程是（）A.222b a a y +±= B 。

2.1.2--椭圆的简单几何性质(2)

[解题过程] (1)将椭圆方程变形为x92＋y42＝1，
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6,2c＝2 5，
焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率
3、如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1， F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
[规范作答] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．如题图所示，则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线 PF1 的方程为 x＝－c，代入方程ax22＋by22＝1，得 y＝±ba2，
故所求椭圆的标准方程为3x62 ＋2y02 ＝1.
(2)∵2a＝2×2b，∴a＝2b，当焦点在 x 轴上时，设方程为4xb22＋by22＝1， ∵点(－2，－4)在椭圆上，∴44b2＋1b62＝1，∴b2＝17. ∴椭圆的标准方程为6x82 ＋1y72 ＝1，当焦点在 y 轴上时，设方程为：bx22＋4yb22＝1，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3
e＝ac＝21m＝

3 2.
m
学生课堂练习
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． (1)25x2＋y2＝25； (2)4x2＋9y2＝1.
解析： (1)将椭圆方程变形为 x2＋2y52 ＝1，
则 PF2 ___7 _____
2
3、已知 F1, F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆

[最新]高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质练习北师大版选修1-1试题及答案解析

高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质练习北师大版选修1-1一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为( ) A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，35[答案] B[解析] 椭圆25x 2＋9y 2＝225化为标准方程为y 225＋x 29＝1，∴a 2＝25，b 2＝9，∴长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝45，故选B.2．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率为( ) A.15 B ．34C.33D ．12[答案] D[解析] 由题意得a ＝2c ，∴离心率e ＝c a ＝12.3．椭圆2x 2＋3y 2＝6的焦距是( ) A ．2 B ．2(3－2) C ．2 5 D ．2(3＋2)[答案] A[解析] 椭圆方程可化为x 23＋y 22＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴c ＝1. ∴焦距2c ＝2.4．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是( )A ．3B ．3或253C.15D ．5或5153[答案] B[解析] 若5>m ，e ＝5－m 5＝105，m ＝3. 若m >5，e ＝m －5m ＝105，m ＝253. 5．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D ．x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 由2a ＝18得a ＝9，又a －c ＝2c ，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72. 故椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.6．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．x ，y 有相同的取值范围[答案] B[解析] ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25， ∴25－k －9＋k ＝16，故两椭圆有相等的焦距．二、填空题7．(2015·四川)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1，则椭圆E 的方程为________．[答案]x 24＋y 22＝1 [解析] 由已知，点C 、D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又P 点的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.8．若椭圆两焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程为________．[答案]x 225＋y 29＝1 [解析] ∵焦点为(－4,0)，∴c ＝4，且焦点在x 轴上又最大面积为bc ＝12，∴b ＝3，∴a 2＝16＋9＝25，∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1.三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)短轴长为6，两个焦点间的距离为8；(2)两个顶点分别是(－7,0)，(7,0)，椭圆过点A (1,1)； (3)两焦点间的距离为8，两个顶点分别是(－6,0)，(6,0)．[答案] (1)x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1 (2)x 249＋48y 249＝1 (3)x 236＋y 220＝1或x 236＋y252＝1[解析] (1)由题意得b ＝3，c ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝9＋16＝25∵焦点位置不定，所以存在两种情况． ∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1. (2)当焦点在x 轴上时，∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)，∴a ＝7.∴方程可设为x 249＋y 2b2＝1，又过点(1,1)，代入可得b 2＝4948，∴椭圆方程为x 249＋48y249＝1.当焦点在y 轴上时，∵两个顶点为(－7,0)，(7,0)， ∴b ＝7.∴椭圆方程可设为y 2a 2＋x 249＝1，又过点(1,1)，代入可得a 2＝4948，这与a 2>b 2矛盾，∴不符合题意．综上可知，椭圆方程为x 249＋48y249＝1.(3)∵2c ＝8，∴c ＝4，当焦点在x 轴上时，因为椭圆顶点为(6,0)，∴a ＝6，∴b 2＝36－16＝20，∴椭圆方程为x 236＋y 220＝1.当焦点在y 轴上时，因为顶点为(6,0)，∴b ＝6. ∴a 2＝36＋16＝52，∴椭圆方程为x 236＋y 252＝1.∴椭圆方程为x 236＋y 220＝1或x 236＋y 252＝1.10．当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．[答案] (1)±5 (2)－5<m <5 (3)m <－5或m >5 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，9x 2＋16y 2＝144.消去y 得，9x 2＋16(x ＋m )2＝144，化简整理得，25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0，Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝－576m 2＋14400.(1)当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆有且仅有一个公共点． (2)当Δ>0时，得－5<m <5，直线l 与椭圆有两个公共点． (3)当Δ<0时，得m <－5或m >5，直线l 与椭圆无公共点.一、选择题1．椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 24＝1[答案] A[解析] 由题意得c ＝25，a ＋b ＝10， ∴b 2＝(10－a )2＝a 2－c 2＝a 2－20，解得a 2＝36，b 2＝16，故椭圆方程为x 236＋y 216＝1.2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3[答案] B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b2a.∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B.3．(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1 [答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.4．(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( )A.34 B ．37 C.38 D ．318[答案] C[解析] 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ，∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38. 二、填空题5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．[答案] (0，22) [解析] 依题意得，c <b ，即c 2<b 2， ∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22. 6．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7，七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝____________.[答案] 35[解析] 根据对称性|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F | ＝12×7×2a ＝12×7×10＝35. 三、解答题7．经过点P (0,2)作直线l 交椭圆C ：x 22＋y 2＝1于A 、B 两点，若△AOB 的面积为23，求直线l 的方程．[解析] 如图所示，直线l 的斜率显然存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程并整理得：(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0. ①由韦达定理有x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1， ②过O 作OH ⊥AB ，则|OH |＝21＋k2.又∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]，∴S △AOB ＝12|AB |·|OH |＝x 1＋x 22－4x 1x 2.∵S △AOB ＝23，∴x 1＋x 22－4x 1x 2＝23，即9[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4.将②式代入得9[(－8k 2k 2＋1)2－4×62k 2＋1]＝4，即4k 4－32k 2＋55＝0，∴k 2＝112或k 2＝52. 又①式的判别式Δ>0，得2k 2－3>0，k 2>32.∴k ＝±222，k ＝±102均满足．故直线l 的方程为y ＝±222x ＋2或y ＝±102x ＋2. 8．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[答案] －2<k <－32或32<k <2[解析] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线ly ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 24＋y 2＝1消去y ，整理得(k 2＋14)x 2＋4kx ＋3＝0.∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1x 2＝3k 2＋14. 由Δ＝(4k )2－4(k 2＋14)×3＝4k 2－3>0，得k >32或k <－32. ①又0°<∠AOB <90°⇔cos ∠AOB >0⇔OA →·OB →>0. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14.∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14>0.即k 2<4.∴－2<k <2. `②故由①②得－2<k <－32或32<k <2.。

【精选练习】椭圆与椭圆简单的几何性质(附参考答案)

高二（上）数学精选练习椭圆与椭圆简单的几何性质一、选择题（每题5分，多选全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 22＝1 3.已知椭圆x 211－m ＋y 2m －3＝1的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( )A ．5B ．6C ．9D ．104.已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( ) A.x 218＋y 29＝1 B.x 227＋y 218＝1C. x 236＋y 227＝1D.x 245＋y 236＝1 5.已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( )A. x 24＋y 29＝1B.x 29＋y 24＝1C. x 27＋y 22＝1D.x 22＋y 27＝16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，则a b ＝( )A.98B.322C.43D.3247.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为( )A.12B.22C.23D.638．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( ) A ．a －c ＝m ＋R B ．a ＋c ＝n ＋R C ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )9.(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1 C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为43二、填空题（每小题5分）10．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为11．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝__________.12.已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．13.（一题两空）设点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则5x 2＋y 2－6x 的最大值为________，最小值为________．（附加：✱已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．）班级：座号：姓名：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案二、填空题答案10. 11.12. 13. （附加：）三．解答题（每小题10分）14.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B . (1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．（附加：✱）15．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P )23,1(. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．2020-2021学年诏安一中高二（上）数学周练（八)参考答案10. x 215＋y 210＝1. 11. 27 12. )1215()1215(-，或， 13. 11，-1（附加：6＋2 6－2) 三、解答题答案14.【解析】 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，得⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)＝1，2y ＝－b ，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.15.【解析】解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4，所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋)23)(23(21m x m x ++ ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72，所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。

(2021年整理)椭圆的简单性质练习题及答案

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椭圆的简单性质练习题及答案

椭圆一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 1．以下命题是真命题的是〔〕A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为ac (a >c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．假设椭圆的两焦点为〔－2，0〕和〔2，0〕，且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是〔〕A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x 3．假设方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为〔〕A ．〔0，+∞〕B ．〔0，2〕C ．〔1，+∞〕D ．〔0，1〕4．设定点F 1〔0，－3〕、F 2〔0，3〕，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是〔〕 A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有〔〕A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴 6．假设椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为〔〕A ．41B ．22 C ．42 D ．21 7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，假设P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是〔〕A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是〔〕A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P 〔1，－1〕，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是〔〕A ．25 B ．27 C ．3D ．410．过点M 〔－2，0〕的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1〔01≠k 〕，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为〔〕A ．2B ．－2C ．21D ．－21 二、填空题〔此题共4小题，每题6分，共24分〕11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________ .13.已知程是y =±9,离心率为2分之根号3，椭圆标准方程______.14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．三、解答题〔本大题共6题，共76分〕 15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．(12分) 16.圆方程为:16x 2+12y 2=192。

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