(1.1.1)--1.1.1实数的表示和比较教学课件

第一章
实数集与函数
§1 实数
§2 数集˖确界原理
§3 函数概念
§4 具有某些特性的函数
一实数及其性质
一实数及其性质二绝对值不等式
实 数
有理数：
无理数：
(,,0).为整数p
p q q q
有限十进制小数或无限十进制循环小数， 无限十进制不循环小数.
(1). 任何一个实数都可以用十进制小数表示.
若 +012
R ,.;
n
x x a a a a ∈=则.
,2,1},9,,2,1,0{,N 0 =∈∈n a a n 其中 71
=2+=2.3333=2.3
33
71
=3+=3.522
(1). 任何一个实数都可以用十进制小数表示.
若 +012R ,.;
n
x x a a a a ∈=则.
,2,1},9,,2,1,0{,N 0 =∈∈n a a n 其中 012
R ,..
n
x x a a a a -∈=-则若
99)1(.1210-=-k k a a a a a x . 9
)1(.1210 -=-k k a a a a a 又可表示为 71
=3+=3.5
22
=3.4999=3.49
1=0.9999=0.9
99)1(.1210-=-k k a a a a a x . 9
)1(.1210 -=-k k a a a a a 又可表示为
1
0.142857.7
=Q,
∈∀x x 可用循环十进制小数表示.
(3). Q {|,,Z,0}m
x x m n n n
==∈≠其中表示有理数集.
=
π 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971...
e 2.7182818284 5904523536 028******* 6624977572 ...
=
x
=
.
1010010001
.0
.
1010010001.0 =x =π 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971...
=e 2.7182818284 5904523536 028******* 6624977572 ...
任何实数都可以用一个确定的无限小数表示. 若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 ,
.210 n a a a a x =,
.210 n b b b b y =.,2,1,0, ==⇔=n b a y x n n 则 用无限小数表示实数，称为正规表示.
00+N ,或使
x y a b n >⇔>∃∈.
,..11210210++>=n n n n b a b b b b a a a a 而 定义1
+,R ,x y ∀∈若 是正规的十进制小数表示, 规定
012
.n
y b b b b =012.,
n x a a a a =00+11N ,(0,1,
,),.
或使而i i n n a b n a b i n a b ++⇔>∃∈==>=e 2.7182818284 5904523536……. =x 2.7182818184 5904523536…….
e x
>
00+N ,或使
x y a b n >⇔>∃∈.
,..11210210++>=n n n n b a b b b b a a a a 而 定义1
+,R ,x y ∀∈若 是正规的十进制小数表示, 规定
.
y x y x -<-⇔>规定,R ,x y -∀∈012
.n
y b b b b =012.,
n x a a a a =00+11N ,(0,1,
,),.
或使而i i n n a b n a b i n a b ++⇔>∃∈==>
定义2 设 012
.n
x a a a a =为非负实数, 称有理数
012
.n n
x a a a a =为
的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...
=16π 3.1415926535 897932
=1π 3.1
=10π 3.1415926535
=3π 3.141 =2π 3.14
定义2 设 012
.n
x a a a a =为非负实数, 称有理数
012.n n
x a a a a =为
的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...
=16π 3.1415926535 897932 有理数 012
1
.+10
n n n
x a a a a =为
的 位过剩近似值. x n =16π 3.1415926535 897933
=1π 3.1 =10π 3.1415926535 =3π 3.141 =2π 3.14 =1π 3.2
=π 3.15 =π 3.142
=10π 3.1415926536
++1+1N .
有n n n n n x x x x x ∀∈≤≤≤≤定义2 设 012
.n
x a a a a =为非负实数, 称有理数
012.n n
x a a a a =为
的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...
=16π 3.1415926535 897932 有理数 012
1
.+10
n n n
x a a a a =为
的 位过剩近似值. x n =16π 3.1415926535 897933
012.,
n
x a a a a =-对于负实数 =1π 3.1 =10π 3.1415926535
=3π 3.141 =2π 3.14 =π 3.2 =π 3.15 =π 3.142 =π 3.1415926536 π≤≤≤≤≤π
≥≥≥
≥≥
++1+1N .
有n n n n n x x x x x ∀∈≤≤≤≤定义2 设 012
.n
x a a a a =为非负实数, 称有理数
012.n n
x a a a a =为
的 位不足近似值. x n 有理数 012
1
.+10
n n n
x a a a a =为
的 位过剩近似值. x n 012
.,
n
x a a a a =-对于负实数 的
位不足近似值为: x n 012
1
.10n n n
x a a a a =--
的
位过剩近似值为: x n .x a a a a =-
012n 012n N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n n
x y >命题的证明可参阅附录.
012n 012n N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n n
x y >命题的证明可参阅附录.
例1 ,R ,x y x y ∀∈>，证明:存在有理数r 满足 .
x r y >>
命题 设 与 为两个实数， 012.n x a a a a =012.n y b b b b =N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n n x y >命题的证明可参阅附录. 例1 ,R ,x y x y ∀∈>，证明:存在有理数r 满足 .
x r y >>, 因为x y >证明 根据命题存在非负整数n,使得 .n n x y >+,2n n x y r =令 则r 为有理数，且 .n n x x r y y ≥>>≥
谢谢！。