华东师大初中数学八年级下册《平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解(精选)
北师大版初中数学八年级下册知识讲解 (教学资料,补习资料):第29讲《平行四边形》全章复习与巩固(提高)

《平行四边形》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2.掌握三角形的中位线定理.3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.4.积累数学活动经验,发展推理能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.要点诠释:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.要点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等;平行四边形的对边相等;平行四边形的对角线互相平分;要点诠释:(1)平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等;角的性质可以证明两角相等或两角互补;对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. (2)由于平行四边形的性质内容较多,在使用时根据需要进行选择.(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释:(1)这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握,当几种方法都能判定同一个行四边形时,应选择较简单的方法.(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离:(1)定义:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.注:距离是指垂线段的长度,是正值.2.平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论:夹在两条平行线间的垂线段相等.要点五、三角形的中位线三角形的中位线1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.要点诠释:(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的,每个小三角形的面积为原三角形面积的. (3)三角形的中位线不同于三角形的中线.要点六、多边形内角和、外角和边形的内角和为(-2)·180°(≥3).要点诠释:(1)内角和定理的应用:①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和求其边数;(2)正多边形的每个内角都相等,都等于; 多边形的外角和为360°.边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.【典型例题】类型一、平行四边形的性质与判定1、(2019•海淀区二模)如图1,在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC=α,D 是BC 边上一点,以AD 为边作△ADE,使AE=AD ,∠DAE+∠BAC=180°.(1)直接写出∠ADE 的度数(用含α的式子表示);1214n n n (2)180n n-⋅°n(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:BD=CD;②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF.【思路点拨】(1)由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可求得∠BAC=180°﹣2α,又由AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°,可求得∠DAE=2α,继而求得∠ADE的度数;(2)①由四边形ABFE是平行四边形,易得∠EDC=∠ABC=α,则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,证得AD⊥BC,又由AB=AC,根据三线合一的性质,即可证得结论;②由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可得∠B=∠C=α,四边形ABFE是平行四边形,可得AE∥BF,AE=BF.即可证得:∠EAC=∠C=α,又由(1)可证得AD=CD,又由AD=AE=BF,证得结论.【答案与解析】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,∴∠BAC=180°﹣2α,∵∠DAE+∠BAC=180°,∴∠DAE=2α,∵AE=AD,∴∠ADE=90°﹣α;(2)①证明:∵四边形ABFE是平行四边形,∴AB∥EF.∴∠EDC=∠ABC=α,由(1)知,∠ADE=90°﹣α,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD;②证明:∵AB=AC,∠ABC=α,∴∠C=∠B=α.∵四边形ABFE是平行四边形,∴AE∥BF,AE=BF.∴∠EAC=∠C=α,由(1)知,∠DAE=2α,∴∠DAC=α,∴∠DAC=∠C.∴AD=CD.∵AD=AE=BF,∴BF=CD.∴BD=CF.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意(2)①中证得AD⊥BC是关键,(2)②中证得AD=CD是关键.举一反三:【变式】分别以口ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB,CD,DA为斜边作等腰直角三角形,△ABE,△CDG,△ADF.(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF,EF.请判断GF与EF的关系并证明);(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF,EF,(1)中结论还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.【答案】解:(1)GF⊥EF,GF=EF成立;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°,∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA,∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣(180°﹣∠CDA)=90°+∠CDA,∴∠FDG=∠EAF,∵在△EAF和△GDF中,,∴△EAF≌△GDF(SAS),∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA,∴∠GFE=90°,∴GF⊥EF;(2)GF⊥EF,GF=EF成立;理由:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°,∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°,∴∠BAE+∠FAD+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°,∴∠EAF+∠CDF=45°,∵∠CDF+∠FDG=45°,∴∠FDG=∠EAF,∵在△EAF和△GDF中,DF AFFDG FAEDG AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EAF ≌△GDF (SAS ),∴EF =FG ,∠EFA =∠DFG ,即∠GFD +∠GFA =∠EFA +∠GFA ,∴∠GFE =90°,∴GF ⊥EF .2、如图,点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点,点F 是边BC 上的一个动点(不与点B 重合).以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ,又AP BE (点P 、E 在直线AB 的同侧),如果BD=AB ,那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为( ) A . B . C . D .【答案与解析】解:过点P 作PH∥BC 交AB 于H ,连接CH ,PF ,∵AP BE ,∴四边形APEB 是平行四边形,∴PE∥AB,PE =AB ,∵四边形BDEF 是平行四边形,∴EF∥BD,EF =BD ,即EF∥AB,∴P,E ,F 共线,设BD =,∵BD=AB ,∴PE=AB =4, 则PF =PE -EF =3,∵PH∥BC,∴,∵PF∥AB,∴四边形BFPH 是平行四边形,∴BH=PF =3,∵=BH :AB =3:4=3:4,DF AF FDG FAE DG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1414351534a 14a a HBC BC S S =△△P a :HBC ABC S S △△a a∴=3:4.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.此题难度较大,注意准确作出辅助线,注意等高三角形面积的比等于其对应底的比.举一反三:【变式】已知△ABC 中,AB =3,AC =4,BC =5,分别以AB 、AC 、BC 为一边在BC 边同侧作正△ABD 、正△ACE 和正△BCF ,求以A 、E 、F 、D 四点为顶点围成的四边形的面积.【答案】证明:∵ AB =3,AC =4,BC =5,∴∠BAC =90°∵△ABD 、△ACE 和△BCF 为正三角形,∴AB =BD =AD ,AC =AE =CE ,BC =BF =FC ,∠1+∠FBA =∠2+∠FBA =60°∴∠1=∠2易证△BAC ≌△BDF (SAS ),∴DF =AC =AE =4,∠BDF =90°同理可证△BAC ≌△FEC∴AB =AD =EF =3∴四边形AEFD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)∵DF ∥AE ,DF ⊥BD延长EA 交BD 于H 点,AH ⊥BD ,则H 为BD 中点∴平行四边形AEFD 的面积=DF ×DH =4×= 6. 3、在平行四边形ABCD 中,点A 1,A 2,A 3,A 4和C 1,C 2,C 3,C 4分别AB 和CD 的五等分点,点B 1,B 2和D 1,D 2分别是BC 和DA 的三等分点,已知四边形A 4B 2C 4D 2的面积为1,则平行四边形ABCD 面积为( )A .2B .C .D .15:BC ABC S S △P △323553【思路点拨】可以设平行四边形ABCD 的面积是S ,根据等分点的定义利用平行四边形ABCD 的面积减去四个角上的三角形的面积,就可表示出四边形A 4B 2C 4D 2的面积,从而得到两个四边形面积的关系,即可求解.【答案】C ;【解析】解:设平行四边形ABCD 的面积是S ,设AB =5,BC =3.AB 边上的高是3,BC 边上的高是5.则S =5•3=3•5.即==. △AA 4D 2与△B 2CC 4全等,B 2C =BC =,B 2C 边上的高是•5=4. 则△AA 4D 2和△B 2CC 4的面积是2=. 同理△D 2C 4D 与△A 4BB 2的面积是. 则四边形A 4B 2C 4D 2的面积是S ----=,即=1, 解得S =. 【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算,正确利用等分点的定义,得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键.类型二、三角形的中位线4、如图,△ABC 的周长为26,点D ,E 都在边BC 上,∠ABC 的平分线垂直于AE ,垂足为Q ,∠ACB 的平分线垂直于AD ,垂足为P ,若BC =10,则PQ 的长为( )A. B. C.3 D.4 【答案】C ;【解析】解:易证△ABQ ≌△EBQ, AB =BE ,Q 为AE 中点,△ACP ≌△DCP, AC =CD ,P 为AD 中点,a b x y a x b y a x b y 15S 13b 45y y b y 215S 15S 215S 215S 15S 15S 915S 915S 533252【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定,注意培养自己的敏感性,一般出现高、角平分线重合的情况,都需要找到等腰三角形.类型三、多边形内角和与外角和5、若一个多边形的每个外角都等于60°,则它的内角和等于( )A .180°B .720°C .1080°D .540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°,根据边形的外角和为360°计算出多边形的边数,然后根据边形的内角和定理计算即可.【答案】B ;【解析】解:设多边形的边数为,∵多边形的每个外角都等于60°,∴=360°÷60°=6,∴这个多边形的内角和=(6-2)×180°=720°.【总结升华】本题考查了边形的内角和定理:边形的内角和=(-2)•180°;也考查了边形的外角和为360°.举一反三:【变式】(2019秋•小金县校级期末)一个多边形的每个内角都相等,且一个外角比一个内角大60°,求这个多边形的每个内角的度数及边数.【答案】解:设内角是x °,外角是y °, 则得到一个方程组60180y x x y -=⎧⎨+=⎩, 解得60120x y =⎧⎨=⎩.而任何多边形的外角是360°,则多边形中外角的个数是360÷120=3,故这个多边形的每个内角的度数是60°,边数是三边形.6、甲、乙两人想在正五边形ABCDE 内部找一点P ,使得四边形ABPE 为平行四边形,其作法如下:(甲) 连接BD 、CE ,两线段相交于P 点,则P 即为所求(乙) 先取CD 的中点M ,再以A 为圆心,AB 长为半径画弧,交AM 于P 点,则P 即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?( )A .两人皆正确B .两人皆错误n n n n n n n n nC .甲正确,乙错误D .甲错误,乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数,求出∠ABP、∠AEP、∠BPE 的度数,根据平行四边形的判定判断即可.【答案】C ;【解析】解:甲正确,乙错误,理由是:如图,∵正五边形的每个内角的度数是=108°, AB =BC =CD =DE =AE ,∴∠DEC=∠DCE=×(180°-108°)=36°, 同理∠CBD=∠CDB=36°,∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°,∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A,∴四边形ABPE 是平行四边形,即甲正确;∵∠BAE=108°,∴∠BAM=∠EAM=54°,∵AB=AE =AP ,∴∠ABP=∠APB=×(180°-54°)=63°,∠AEP=∠APE=63°, ∴∠BPE=360°-108°-63°-63°≠108°,即∠ABP=∠AEP,∠BAE≠∠BPE,∴四边形ABPE 不是平行四边形,即乙错误;【总结升华】本题考查了正五边形的内角和定理,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,平行四边形的判定的应用,注意:有两组对角分别相等的四边形是平行四边形.【巩固练习】一.选择题1. 如图所示,一个60°角的三角形纸片,剪去这个60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数为( )A .120°B .180°C .240°D .300°()521805-⨯︒12122.如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,下列结论正确的是( )A .B .AC =BDC .AC ⊥BD D .口ABCD 是轴对称图形3.(2019春•大石桥市校级期末)如图,在四边形ABCD 中,P 是对角线BD 的中点,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,AD=BC ,∠PEF=30°,则∠EPF 的度数是( )A .120°B .150°C .135°D .140°4.如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB =3,BC =4,点D 在BC 上,以AC 为对角线的所有口ADCE 中,DE 最小的值是( )A .2B .3C .4D .55.平行四边形的一边长是10cm ,那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是( )A.4cm 和6cmB.6cm 和8cmC.8cm 和10cmD.10cm 和12cm6.如图,在平行四边形ABCD 中,AB =4,∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ,与DC 交于点F ,且点F 为边DC 的中点,DG⊥AE,垂足为G ,若DG =1,则AE 的边长为( )A.7.(2019•凉山州)一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那4AOB ABCD S S △平行四边形么原多边形的边数为( )A .7B .7或8C .8或9D .7或8或98.如图,平行四边形ABCD 中,AB :BC =3:2,∠DAB=60°,E 在AB 上,且AE :EB =1:2,F 是BC 的中点,过D 分别作DP⊥AF 于P ,DQ⊥CE 于Q ,则DP :DQ 等于( )A .3:4 B.C.D.二.填空题9.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l 与边AB ,AD 分别相交于点M ,N ,则∠1+∠2=___________.10.已知任意直线l 把口ABCD 分成两部分,要使这两部分的面积相等,直线l 所在位置需满足的条件是________.11.如图,在直线m 上摆放着三个正三角形:△ABC、△HFG、△DCE,已知BC =CE ,F 、G 分别是BC 、CE 的中点,FM∥AC,GN∥DC.设图中三个平行四边形的面积依次是S 1,S ,S 3,若S 1+S 3=10,则S =_______.12. 如图所示,在口ABCD 中,E 、F 分别是边AD 、BC 的中点,AC 分别交BE 、DF 于点M 、N .给12出下列结论:①△ABM ≌△CDN ;②AM =AC ;③DN =2NF ;④.其中正确的结论是________.(只填序号) 13.如图,口ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别是线段AO ,BO 的中点,若AC+BD=24厘米,△OAB 的周长是18厘米,则EF =________厘米.14.(2019·武汉)如图,在口ABCD 中,E 为边CD 上一点,将△ADE 沿AE 折叠至△AD ’E处,AD ’与CE 交于点F.若∠B =52°,∠DAE=20°,则∠FED ’的大小为_____.15. 如图所示,平行四边形ABCD 中,点E 在边AD 上,以BE 为折痕,将△ABE 向上翻折,点A 正好落在CD 上的F 处,若△FDE 的周长为8,△FCB 的周长为22,则FC 的长为________.16.(2019•包河区一模)已知:如图,BD 为△ABC 的内角平分线,CE 为△ABC 的外角平分线,AD⊥BD 于D ,AE⊥CE 于E ,延长AD 交BC 的延长线于F ,连接DE ,设BC=a ,AC=b ,AB=c ,(a <b <c )给出以下结论正确的有 .①CF=c﹣a ;②AE=(a+b );③DE=(a+b ﹣c );④DF=(b+c ﹣a )1312AMB ABC S S △△三.解答题17.如图,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连结AC、CE,使AB=AC.(1)求证:△BAD≌△AEC;(2)若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.18.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3 (1)求证:BN=DN;(2)求△ABC的周长.19.(合川区校级期中)如图,Rt△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD,点M是BC的中点,连接MD、ME.(1)若AB=8,AC=4,求DE的长;(2)求证:AB﹣AC=2DM.20.(1)如图①,口ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.求证:AE=CF.(2)如图②,将口ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.求证:EI=FG.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C ;【解析】根据三角形的内角和定理得:四边形除去∠1,∠2后的两角的度数为180°-60°=120°,则根据四边形的内角和定理得:∠1+∠2=360°-120°=240°.2.【答案】A ;3.【答案】A ;【解析】解:∵在四边形ABCD 中,P 是对角线BD 的中点,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,∴FP,PE 分别是△CDB 与△DAB 的中位线,∴PF=BC ,PE=AD ,∵AD=BC,∴PF=PE,故△EPF 是等腰三角形.∵∠PEF=30°,∴∠PEF=∠PFE=30°,∴∠EPF=120°.故选A .4.【答案】B ;【解析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知,当OD⊥BC 时,DE 线段取最小值.5.【答案】D ;6.【答案】B ;7.【答案】D ;【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n ,则(n ﹣2)•180°=1080°,解得:n =8.则原多边形的边数为7或8或9.8.【答案】D ;【解析】连接DE 、DF ,过F 作FN⊥AB 于N ,过C 作CM⊥AB 于M ,根据三角形的面积和平行四边形的面积得出, 求出AF×DP=CE×DQ,设AB =3,BC =2,12DEC DFA S S S ==△△平行四边形ABCD a a则BF =,BE =2,BN =,BM =,FN =,CM, 求出AF,CE =,代入求出即可.二.填空题9.【答案】225°【解析】∵∠A=45°,∴∠B+∠C+∠D=360°-∠A=360°-45°=315°,∴∠1+∠2+∠B+∠C+∠D=(5-2)•180°,解得∠1+∠2=225°.10.【答案】经过对角线的交点;【解析】由于平行四边形是中心对称图形,对称中心为对角线的交点,因而过对角线的交点的直线就能把平行四边形分成全等的两部分,这两部分的面积也就相等了.11.【答案】4;【解析】根据正三角形的性质,△PFC、△QCG 和△NGE 是正三角形,∵F、G 分别是BC 、CE 的中点∴BF=MF =AC =BC ,CP =PF =AB =BC ∴CP=MF ,CQ =BC ,QG =GC =CQ =AB ,∴S 1=S ,S 3=2S , ∵S 1+S 3=10∴S +2S =10 ∴S=4.12.【答案】①②③;【解析】易证四边形BEDF 是平行四边形,△ABM ≌△CDN .∴ ①正确.由口BEDF 可得∠BED =∠BFD ,∴∠AEM =∠NFC .又∵AD ∥BC .∴∠EAM =∠NCF , 又AE =CF ∴ △AME ≌△CNF ,∴AM =CN .由FN ∥BM ,FC =BF ,得CN =MN ,∴CNa a 12a a 2a a a a 121212121212=MN =AM ,AM =AC .∴ ②正确. ∵ AM =AC ,∴ ,∴④不正确. FN 为△BMC 的中位线,BM =2NF ,△ABM ≌△CDN ,则BM =DN ,∴DN =2NF ,∴③正确.13.【答案】3;【解析】根据AC +BD =24厘米,可得出出OA +OB =12cm ,继而求出AB ,判断EF 是△OAB的中位线即可得出EF 的长度.14.【答案】36°;【解析】∵平行四边形ABCD ,∴∠D =∠B=52°,由折叠性质得∴∠D =∠D ’=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°, ∴∠FED′=108°-72°=36°.15.【答案】7;【解析】∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD =BC ,AB =CD . 又∵ 以BE 为折痕,将△ABE 向上翻折到△FBE 的位置,∴ AE =EF ,AB =BF .已知DE +DF +EF =8,即AD +DF =8,AD +DC -FC =8.∴ BC +AB -FC =8.① 又∵ BF +BC +FC =22,即AB +BC +FC =22.②,两式联立可得FC =7.16.【答案】①③;【解析】解:延长AE 交BC 的延长线与点M .∵CE⊥AE,CE 平分∠ACB,∴△ACM 是等腰三角形,∴AE=EM,AC═CM=b,同理,AB=BF=c ,AD=DF ,AE=EM .∴DE=FM ,∵CF=c﹣a ,∴FM=b﹣(c ﹣a )=a+b ﹣c .∴DE=(a+b ﹣c ).故①③正确.故答案是:①③.三.解答题131313AMB ABC S S △△17.【解析】(1)证明:∵AB=AC ,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE 是平行四边形∴AE∥BD,AE =BD ,∴∠ACB=∠CAE=∠B,在△DBA 和△AEC 中,∴△DBA≌△AEC(SAS );(2)解:过A 作AG⊥BC,垂足为G .设AG =x ,在Rt△AGD 中,∵∠ADC=45°,∴AG=DG =x ,在Rt△AGB 中,∵∠B=30°, ∴BG=x , 又∵BD=10.∴BG-DG =BD ,即x −x =10,解得AG =x ==5+5, ∴=BD•AG=10×(5+5)=50+50.18.【解析】(1)证明:在△ABN 和△ADN 中,∵∴△ABN ≌△ADN , ∴BN =DN .(2)解:∵△ABN ≌△ADN ,∴AD =AB =10,DN =NB ,又∵点M 是BC 中点,∴MN 是△BDC 的中位线,∴CD =2MN =6,故△ABC 的周长=AB +BC +CD +AD =10+15+6+10=41.19.【解析】解:(1)直角△ABE 中,AE=AB=4, 在直角△ACD 中,AD=AC=2,AB AC B EAC BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩3331-3ABDE S 平行四边形3312AN AN ANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩则DE=AE ﹣AD=4﹣2=2;(2)延长CD 交AB 于点F .在△ADF 和△ADC 中,,∴△ADF≌△ADC(ASA ),∴AC=AF,CD=DF ,又∵M 是BC 的中点,∴DM 是△CBF 的中位线, ∴DM=BF=(AB ﹣AF )=(AB ﹣AC ), ∴AB﹣AC=2DM .20.【解析】证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,OA =OC ,∴∠1=∠2,∵在△AOE 和△COF 中,,∴△AOE≌△COF(ASA ),∴AE=CF ;(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C,∠B=∠D,由(1)得AE =CF ,由折叠的性质可得:AE =A 1E ,∠A 1=∠A,∠B 1=∠B, ∴A 1E =CF ,∠A 1=∠A=∠C,∠B 1=∠B=∠D,1234OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩又∵∠1=∠2, ∴∠3=∠4,∵∠5=∠3,∠4=∠6, ∴∠5=∠6,∵在△A 1IE 与△CGF 中, ,∴△A 1IE≌△CGF(AAS ), ∴EI=FG .1156A C A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩。
华师大版八年级下册数学教学课件平行四边形复习课件

作业:
教材95页第10、12、13题。
青年是整个社会力量中的一部分最 积极最有生气的力量。他们最肯学习, 最少保守思想,在社会主义时代尤其是 这样。 —— 毛泽东
证明:连结OE、OF. ∵AC、BD为□ABCD的对角线, ∴OA=OC,OB=OD. ∵△ACE和△ACF均为等边三角形, ∴CE=AE=AC=AF=CF, ∴E、F两点在AC的中垂线上, ∴E、F、O三点在同一直线上,且O为EF的中点, ∴OE=OF. 又∵OB=OD,∴四边形BEDF是平行四边形.
4.已知如图直线m∥n,A、B为直线n上两点, C、D为直线m上两点,BC与AD交于点O,则 图中面积相等的三角形有( C ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5.如图所示,在四边形ABCD中,DC∥AB,以 AD,AC为边作□ACED,延长DC交EB于F,求 证:EF=FB.
证明:如图,过点B作BG∥AD,交DC的延长 线于G,连接EG. ∵DC∥AB, ∴ABGD是平行四边形, ∥ ∴BG AD. ∥ 在□ACED中,AD CE, ∥ ∴CE BG. ∴四边形BCEG为平行四边形, ∴EF=FB.
例题详解
1.在四边形ABCD中,若AB=CD,再添加一
AB∥CD ,就可以判定四边形ABCD为 个条件为
平行四边形.
2.已知E、F、G、H分别为□ABCD各边的中
平行四边形 点,则四边形EFGH为 .
C ) 3.下列结论正确的是( A.对角线相等且一组对角相等的四边形是平 行四边形 B.一边长为5cm,两条对角线长分别是4cm 和6cm的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是 平行四边形 D.对角线相等的四边形是平行四边形
华东师大版八年级下册 精品课件
华师大版八年级数学下册:第18章《平行四边形-复习》教案

2.判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线平行等;
3.先判定一个四边形是平行四边形,再利用其性质去解决某些问题.
【典例分析】
例1.如图1, ABCD中,∠A=125°,∠B= .
例2.已知:如图2,在 ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DF= cm.
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课 后 反 思
板 书 设 计
难点
发展学生进一步的推理能力和解决问题的能力.
教 学 过 程
差 异 个 性 设 计
资源
一、基础归纳
1.性质:按边、角、对角线三方面分类记忆.
平行四边形的性质
另外,由“平行四边形两组对边分别相等”的性质,可推出下面的推论:夹在两条平行线间的平行线段相等.
2.判定方法:同样按边、角、对角线三方面分类记忆.
例3.已知:如图3,在平形四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.
求证:DE=BF.
例4.已知:如图4,在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,D在BC上,延长ED到F,使ED = DF = EB,连接FC.求证:四边形AEFC是平行四边形.
例5.如图5,BD是 ABCD的对角线,点E,F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有可能情形).
课题
第18章复习
课 型
复习课
设 计 人
总 节 时
教学
最新华东师大初中数学八年级下册《平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解

平行四边形全章复习与巩固(提高)【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质:(1)对边平行且相等;(2)对角相等;邻角互补;(3)对角线互相平分;(4)中心对称图形.3.面积:高底平行四边形⨯=S4.判定:边:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角:(6)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;对角线:(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释:平行线的性质:(1)平行线间的距离都相等;(2)等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质:(1)具有平行四边形的所有性质;(2)四个角都是直角;(3)对角线互相平分且相等;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:宽=长矩形⨯S4.判定:(1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释:由矩形得直角三角形的性质:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)直角三角形中,30度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点三、菱形1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质:(1)具有平行四边形的一切性质;(2)四条边相等;(3)两条对角线互相平分且垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:2对角线对角线高==底菱形⨯⨯S 4.判定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质:(1)对边平行;(2)四个角都是直角;(3)四条边都相等;(4)对角线互相垂直平分且相等,对角线平分对角;(5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;(6)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:=S 正方形边长×边长=12×对角线×对角线 4.判定:(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)一组邻边相等的矩形是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;(6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、(2015•海淀区二模)如图1,在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC=α,D 是BC 边上一点,以AD 为边作△ADE,使AE=AD ,∠DAE+∠BAC=180°.(1)直接写出∠ADE 的度数(用含α的式子表示);(2)以AB ,AE 为边作平行四边形ABFE ,①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:BD=CD;②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF.【思路点拨】(1)由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可求得∠BAC=180°﹣2α,又由AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°,可求得∠DAE=2α,继而求得∠ADE的度数;(2)①由四边形ABFE是平行四边形,易得∠EDC=∠ABC=α,则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,证得AD⊥BC,又由AB=AC,根据三线合一的性质,即可证得结论;②由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可得∠B=∠C=α,四边形ABFE是平行四边形,可得AE∥BF,AE=BF.即可证得:∠EAC=∠C=α,又由(1)可证得AD=CD,又由AD=AE=BF,证得结论.【答案与解析】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,∴∠BAC=180°﹣2α,∵∠DAE+∠BAC=180°,∴∠DAE=2α,∵AE=AD,∴∠ADE=90°﹣α;(2)①证明:∵四边形ABFE是平行四边形,∴AB∥EF.∴∠EDC=∠ABC=α,由(1)知,∠ADE=90°﹣α,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD;②证明:∵AB=AC,∠ABC=α,∴∠C=∠B=α.∵四边形ABFE是平行四边形,∴AE∥BF,AE=BF.∴∠EAC=∠C=α,由(1)知,∠DAE=2α,∴∠DAC=α,∴∠DAC=∠C.∴AD=CD.∵AD=AE=BF,∴BF=CD.∴BD=CF.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意(2)①中证得AD⊥BC是关键,(2)②中证得AD=CD是关键.举一反三:【变式】已知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF,求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积.【答案】证明:∵ AB=3,AC=4,BC=5,∴∠BAC=90°∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形,∴AB=BD=AD,AC=AE=CE,BC=BF=FC ,∠1+∠FBA=∠2+∠FBA=60°∴∠1=∠2易证△BAC≌△BDF(SAS),∴DF=AC=AE=4,∠BDF=90°同理可证△BAC≌△FEC∴AB=AD=EF=3∴四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)∵DF∥AE,DF⊥BD延长EA交BD于H点,AH⊥BD,则H为BD中点∴平行四边形AEFD的面积=DF×DH=4×32=6.2、(2016•菏泽)如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.【思路点拨】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DE=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可.【答案与解析】解:(1)∵D、G分别是AB、AC的中点,∴DG∥BC,DG=BC,∵E、F分别是OB、OC的中点,∴EF∥BC,EF=BC,∴DG=EF,DG∥EF,∴四边形DEFG是平行四边形;(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°,∵M为EF的中点,OM=3,∴EF=2OM=6.由(1)有四边形DEFG是平行四边形,∴DG=EF=6.【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质,三角形的中位线,直角三角形的性质,解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形.类型二、矩形3、如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.【答案与解析】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=0B=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即:OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是矩形;(2)解:∵G是OC的中点,∴GO=GC,∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°,又∵DG=DG,∴△DGC≌△DG O,∴CD=OD,∵F是BO中点,OF=2cm,∴BO=4cm,∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4cm,∴DC=4cm,DB=8cm,==.∴矩形ABCD的面积=4×2【总结升华】本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.举一反三:【变式】(2015秋•抚州校级期中)在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F 在边CD 上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=9,BF=12,DF=15,求证:AF平分∠DAB.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,即DF∥BE,又∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形,又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形DEBF为矩形;(2)∵四边形DEBF为矩形,∴∠BFC=90°,∵CF=9,BF=12,∴BC==15,∴AD=BC=15,∴AD=DF=15,∴∠DAF=∠DFA,∵AB∥CD,∴∠FAB=∠DFA,∴∠FAB=∠DFA,∴AF平分∠DAB.4、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4.过点A作AE⊥AB且AB=AE,过点E分别作EF⊥AC,ED⊥BC,分别交AC和BC的延长线与点F,D.若FC=5,求四边形ABDE的周长.【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF,即可得出BC=AF,AC=EF,再利用勾股定理得出AB的长,进而得出四边形EFCD是矩形,求出四边形ABDE的周长即可.【答案与解析】解:∵∠ACB=90°,AE⊥AB,∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°.∴∠B=∠2.∵EF⊥AC,∴∠4=∠5=90°.∴∠3=∠4.在△ABC 和△EAF中,∵342BAB AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,∴△ABC≌△EAF(AAS).∴BC=AF,AC=EF.∵BC=4,∴AF=4.∵FC=5,∴AC=EF=9.在Rt△ABC中,AB=∵ED⊥BC,∴∠7=∠6=∠5=90°.∴四边形EFCD是矩形.∴CD=EF=9,ED=FC=5.∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA4+9+5=18+.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识,根据已知得出AC=EF=9是解题关键.类型三、菱形5、如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BCAC,BD 相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.【思路点拨】(1)当旋转角为90°时,∠AOF=90°,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形;(2)证明△AOF≌△COE即可;(3)当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形,又由AB⊥AC,AB=1,OA=AB,即可得∠AOB=45°,求得∠AOF=45°,则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°.【答案与解析】(1)证明:当∠AOF=90°时,AB∥EF,又AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形.(2)证明:四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,∠FAO=∠ECO,∠AOF=∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF=CE(3)四边形BEDF可以是菱形.理由:如图,连接BF,DE,由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,∴EF与BD互相平分.∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.AC==,在Rt△ABC中,2∴OA=1=AB,又AB⊥AC,∴∠AOB=45°,∴∠AOF=45°,∴AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.【总结升华】要证明四边形是菱形,先证明这个四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三:【变式】已知:如图所示,BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交AB于E,交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明:∵EF是BD的垂直平分线,∴EB=ED,∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD= ∠FBD ,∴∠FBD=∠EDB ,ED ∥BF. 同理,DF ∥BE ,∴四边形BFDE 是平行四边形.又∵EB=ED ,∴四边形BFDE 是菱形.类型四、正方形6、 正方形ABCD 的边长为3,E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°,得到△DCM.(1)求证:EF =FM ;(2)当AE =1时,求EF 的长.【答案与解析】解:(1)证明:∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM,∴DE=DM ,∠EDM=90°,∴∠EDF+∠FDM=90°,∵∠EDF=45°,∴∠FDM=∠EDF =45°,在△DEF 和△DMF 中,DE DM EDF MDFDF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DEF≌△DMF(SAS ),∴EF=MF ;(2)设EF =MF =x ,∵AE=CM =1,且BC =3,∴BM=BC +CM =3+1=4,∴BF=BM -MF =BM -EF =4-x ,∵EB=AB -AE =3-1=2,在Rt△EBF 中,由勾股定理得EB 2+BF 2=EF 2,即()22224x x +-=, 解得:52x =,则EF =52. 【总结升华】此题考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,以及勾股定理,利用了转化及方程的思想,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.举一反三:【变式】如图(1),正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ,且B 、C 、E 在一直线上,连接BG 、DE .(1)请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系?并说明理由.(2)若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后,如图(2),BG和DE是否还存在上述关系?若存在,试说明理由;若不存在,也请你给出理由.【答案】解:(1)BG=DE,BG⊥DE;理由是:延长BG交DE于点H,因为BC=DC,CG =CE,∠BCG=∠DCE所以△BCG≌△DCE,所以BG=DE,∠GBC=∠CDE.由于∠CDE+∠CED=90°,所以∠GBC+∠DEC=90°,得∠BHE=90°.所以BG⊥DE.(2)上述结论也存在.理由:设BG交DE于H,BG交DC于K,同理可证△BCG≌△DCE,得BG=ED,∠KBC=∠KDH.又因为∠KBC+∠BKC=90°,可得∠DKH+∠KDH=90°,从而得∠KHD=90°.所以BG⊥DE.7、探究:如图①,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,AE⊥CD于点E.若AE =10,求四边形ABCD的面积.应用:如图②,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于点E.若AE=19,BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为_______.【思路点拨】探究:过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F,先判定四边形AFCE为矩形,根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°,然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD,再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,从而得到四边形AFCE 是正方形,然后根据正方形的面积公式列计算即可得解;应用:过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ,连接AC ,根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF,然后利用“角角边”证明△ABE 和△ADF 全等,根据全等三角形对应边相等可得AF =AE ,再根据ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形列式计算即可得解.【答案与解析】解:探究:如图①,过点A 作AF⊥CB,交CB 的延长线于点F ,∵AE⊥CD,∠BCD=90°,∴四边形AFCE 为矩形,∴∠FAE=90°,∴∠FAB+∠BAE=90°,∵∠EAD+∠BAE=90°,∴∠FAB=∠EAD,∵在△AFB 和△AED 中, 90FAB EAD F AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△AFB≌△AED(AAS ),∴AF=AE ,∴四边形AFCE 为正方形,∴AFCE ABCD S S =正方形四边形=2210AE ==100;应用:如图,过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ,连接AC ,则∠ADF+∠ADC=180°,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADF,∵在△ABE 和△ADF 中,90ABC ADF AEB F AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ADF(AAS ),∴AF=AE =19,∴ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形 =12BC•AE+12CD•AF =12×10×19+12×6×19 =95+57=152.故答案为:152.【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,(1)作辅助线构造出全等三角形是解题的关键;(2)作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键.。
华师大版数学八年级下册第三章 平行四边形

华师大版数学八年级下册第三章 平行四边形模块一 平行四边形的性质一、定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图, 四边形ABCD 是平行四边形, 记作“▱ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”.二、性质1.平行四边形的对边相等.2. 平行四边形的对角相等.3. 平行四边形的对角线互相平分.三、重要结论1.中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点就是对称中心.(1)连接平行四边系上任意一点和平行四边孤的对称中心,并延长与另一条边相交于一点,则这两个点关于平行四边形的对称中心对称.即即OE=OF(2) 经过平行四边行对称中心的任意一条直线都把平行四边行分成面积和周长相等的两部分,即FEDC ABEF S S 四边形四边形=;FEDC ABEF C C 四边形四边形=典型例题例1.如图,在平行四边形ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则平行四边形ABCD的周长是()A.16B.14C.20D.24练习.平行四边形ABCD中,∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分,则平行四边形ABCD的周长为cm.例2.如图,在▱ABCD中,AE⊥CD于点E,∠B=65°,则∠DAE等于.例3.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18,AD的长为5,则△OBC的周长为.练习.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③DE=BF;④图中共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1例4.如图,▱ABCD中,AC.BD为对角线,BC=3,BC边上的高为2,则阴影部分的面积为()A.3B.6C.12D.24例5.(1)如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=6,BC边上的高AE=2,则DC边上的高AF的长是()A.2B.3C.4D.5(2)如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=100°,则∠DAE的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°(3)如图,在周长为20cm的▱ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD 于E,则△ABE的周长为()A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm(4)如图,平行四边形ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE折叠,使点A正好与CD上的F点重合,若△FDE的周长为16,△FCB的周长为28,则FC的长为.例6.如图,在▱ABCD中,E是CD的中点,AE的延长线与BC的延长线相交于点F.求证:BC=CF.模块二平行四边形的判定平行四边形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.AD//BC,AB//DC,四边形ABCD是平行四边形.2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.AD//BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.∠=∠,∠D=BA∠C∴四边形ABCD是平行四边形.5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.典型例题例7.如图,在四边形ABCD中,若已知AB∥CD,再添加下列条件之一,能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是()A.∠DAC=∠BCA B.∠DCB+∠ABC=180°C.∠ABD=∠BDC D.∠BAC=∠ACD练习.下列条件中,不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB∥CD,AD∥BC B.AB=CD,AD∥BCC.AB∥CD,AB=CD D.∠A=∠C,∠B=∠D例8.(1)如图,在▱ABCD中,点E、F分别在边AB和CD上,下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是()A.DE=BF B.AE=CF C.∠ADE=∠CBF D.∠AED=∠CFB(2)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带来了两块碎玻璃,其编号应该是。
八年级数学平行四边形的认识复习课华东师大版知识精讲

初二数学平行四边形的认识复习课华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容:平行四边形的认识复习课二. 重点、难点:1. 重点:⑴平行四边形、特殊平行四边形的性质以及彼此之间的关系;⑵梯形与等腰梯形的性质.2. 难点:平行四边形、特殊平行四边形,梯形与等腰梯形的性质的综合运用.三. 知识梳理:1. 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的关系图:对称性边角对角线平行四边形中心对称对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分矩形轴对称中心对称对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等菱形轴对称中心对称对边平行四边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角正方形轴对称中心对称对边平行四边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角等腰梯形轴对称两底平行两腰相等同一底边上的两个内角相等两条对角线相等注:⑴平行四边形、矩形、菱形、正方形及等腰梯形的性质从三个方面进行理解记忆,•即:边、角、对角线.对称性是它们的本质特征。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,除具有本身的特殊性质外,平行四边形具有的性质它们都具有.⑵平行四边形及等腰梯形的性质通常可以用来证明线段长度,角的度数,直线平行,垂直等.在计算时有时与勾股定理相结合.【典型例题】例1.下列说法正确的是()A. 等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形;B. 正方形的对角线互相垂直平分且相等;C. 矩形是轴对称图形且有四条对称轴;D. 菱形的对角线相等分析:等腰梯形仅仅是轴对称,矩形只有两条对称轴,即连接两组对边中点的直线,菱形对角线是垂直平分,且平分每组对角,对角线并不相等,故选B.注:等腰梯形仅是轴对称,而平行四边形仅是中心对称,矩形、菱形的对称轴只有2条,正方形有4条对称轴.例2.如图,□ABCD的周长为60cm,对角线交于O,△AOB的周长比△BOC•的周长大8cm,求AB,BC的长.分析:根据平行四边形的对边相等,对角线互相平分的性质结合方程思想是解决本题的关键.在计算线段长度及角的度数时,可通过设未知数、列方程求解.即运用代数方法解决几何问题.由题意AO+OB+AB-(OB+BC+OC)=8.由AO=OC,可得AB-BC=8,又因为□ABCD的周长为60cm,即2AB+2BC=60. •所以AB+•BC=30,则有830AB BCAB BC-=⎧⎨+=⎩问题可解决.解:∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC,AO=CO.∵□ABCD的周长是60. •∴2AB+2BC=60,即AB+BC=30,①又∵△AOB的周长比△BOC的周长大8.即(AO+OB+AB)-(BO+OC+BC)=AB-BC=8,②由①②有830AB BCAB BC-=⎧⎨+=⎩解19,11.ABBC=⎧⎨=⎩∴AB,BC的长分别是19cm和11cm.例3. 如图甲(1)所示,在矩形ABCD中,对角线AC交BD于O,有等式AO=12 AC=12BD成立,如图甲(2)所示的直角三角形,AO为斜边BD的中线,所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,这个结论应用很广泛,你能应用这个结论解决下题吗?如图乙所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD于O,AD=3cm,BC =7cm,试求此梯形的面积.分析:解梯形的关键,往往就是通过添加适当的辅助线,从而把它转化成三角形和平行四边形的有关知识.本题通过平移对角线构造直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来解题.解:如图所示,过点D作DH∥AC,交BC的延长线于H,得□ACHD,且四边形ABCD是等腰梯形,AC=BD=DH,且∠BDH=90°,∴△BDH为等腰直角三角形.∴BH=BC+CH=BC+AD.∴BH=7+3=10.作梯形的高DG,则DG为直角三角形斜边上的中线,∴DG=12BH=12×10=5.∴S梯=S△BDH=12BH×DG=12×10×5=25.∴梯形的面积为25cm2.注:梯形中常见的辅助线有以下几种:例4.如图,P 是正方形ABCD 内的一点,将ΔABP 绕点B 顺时针旋转到与ΔCBP`重合,若PB =3,求PP '的长.分析:由题意可知ΔABP 绕点B 顺时针旋转了90°.再根据旋转的性质可得BP '=BP =3,∠PBP '=90°,所以PP '=32.解:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ABC =90°∵ΔABP 绕点B 顺时针旋转到与ΔCBP '重合, ∴BP '=BP =3,∠PBP '=90°根据勾股定理可得:PP '=2233 =32注:在矩形或正方形的有关计算问题中,根据勾股定理计算线段的长度是常用的方法.例5.如图,菱形ABCD ,E 、F 分别为BC 、CD 上的点,且∠B =∠EAF =60°,若∠BAE =20°,求∠CEF 的度数.分析:含有60°角的菱形要与等边三角形联系起来,另外,在解答本题时还要注意旋转变换思想的运用.连结AC ,由菱形的特征与已知条件可得△ABC 为等边三角形,所以∠BAC =∠ACD =60°,由∠EAF =60°,可得∠BAE =∠CAF ,进而可得△ACF 是△ABE 绕点A 旋转60°得到,所以AE =AF ,得△AEF 为等边三角形,从而求出∠CEF .解:连结AC ,菱形ABCD 中,AB =BC ,∠ACB =∠ACD∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.于是有∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°,AB=AC.由已知∠EAF=60°,可得∠BAE=∠CAF.∴△ACF是△ABE绕点A逆时针旋转60°得到的.∴AE=AF.∴△AEF是等边三角形,∠AEF=60°.∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE,∴∠CEF=∠BAE=20°.说明:运用平移,旋转,对称等图形变换时,只是图形的位置发生了变化,而其大小没有改变,因此,在解答有关问题时,要善于运用这种方法来转移角或者线段,从而解决问题.在正方形中要注意下面两种旋转变化的基本图形:GE FD CBA例6.已知,正方形ABCD,以AD为边画等边三角形ADE,求∠BEC的度数.分析:本题没有图形,在以正方形的一边画等边三角形时有两种情况,解此题时容易漏解.通过画图可知两种情况分别是:(1)点E在正方形ABCD的外部,(2)点E在正方形ABCD 的内部.然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可求解.解:(1)如图(1)当点E在正方形ABCD的外部时,由ABCD是正方形,△ADE是等边三角形,得∠CDE=90°+60°=150°,DE=AD=DC,∴∠DEC=∠ECD=(180°-150°)÷2=15°同理可推得∠AEB=15°则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠DEC=60°-15°-15°=30°(2)如图(2)当点E在正方形ABCD的内部时,由ABCD是正方形,△ADE是等边三角形,得∠EAB=∠DAB-∠DAE=90°-60°=30°,AE=AD=AB,∴∠AEB=∠ABE=(180°-30°)÷2=75°同理可推得∠DEC=75°则∠BEC=360°-∠AEB-∠AED-∠DEC=360°-75°-60°-75°=150°例7.(2006年中考题)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠C=2,求:BE的长.45°,BE⊥CD于点E,AD=1,CD=2分析:这是一道与梯形有关的中考题,梯形问题常常通过分割和拼接转化为三角形、平行四边形来解决.本题要求BE的长,考虑到∠C=45°,BE⊥CD于点E,只要设法求出BC 的长即可.通过作辅助线转化梯形为三角形和平行四边形可使问题得以解决.解:如图,过点D作DF∥AB,交BC于点F.∵AD∥BC,∴四边形ABFD是平行四边形.∴BF=AD=1由DF∥AB,得∠DFC=∠ABC=90°2在RtΔDFC中,∠C=45°,CD=2根据勾股定理,得FC=2又由BE⊥CD,所以在RtΔBEC中,∠C=45°,BC=1+2=3根据勾股定理,得BE=CE=223【模拟试题】(答题时间:40分钟)一. 选择题:1. 如图,□ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC的长为()A. 6cmB. 12cmC. 4cmD. 8cm2.已知平行四边形的一条边长为14,下列各组数中能分别作为它的两条对角线的长是()A. 10与16B. 12与16C. 20与22D. 10与403. 如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE=3∠BAE,则∠EAC为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°4.能够在图形内找到一点,使该点到四边形的各边距离都相等,则该四边形一定是()A. 平行四边形、菱形;B. 矩形、正方形;C. 矩形、菱形;D. 菱形、正方形5. 有两个角相等的梯形是()A. 等腰梯形B. 直角梯形C. 一般梯形D. 等腰梯形或直角梯形二. 填空题:1.在□ABCD中,已知∠A:∠B=3:2,则∠A=______,∠B=_______.2.□ABCD的一个内角平分线把一条边分成4cm和5cm两段,则□ABCD的周长是_____.3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是()A. 20°B. 40°C. 80°D. 100°4.菱形的一条对角线与一条边长相等,则这菱形锐角的度数为_______.5.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,•且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A. 15B.14C.13D.3106. 如图,等边三角形EBC在正方形ABCD内,连接DE,则∠CDE=______.ECBA D三. 解答题:1. 如图,在□A BCD中,(1)已知∠ADC=120°,求∠DAB、∠ABC的度数;(2)已知AD=3cm,AB=5cm,对角线DB⊥AD于点D,求DB的长和△DBC的周长.A B CD2. 已知:如图,菱形ABCD中,AC、BD相交于点O ,则CA:BD=1:3,若AB=2,求菱形ABCD的面积.3.等腰梯形腰长为12cm,上底长为15cm,上底与腰的夹角为120°,求下底长与梯形的周长.4.如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作(1)AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.(1)求证:OE=OF;(2)如图(2),若点E在AC的延长线上,AM与EB的延长线交于点M,交DB的延长线于点F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.(1)(2)试题答案一. 选择题. 1. D 2. C 3. B4. D5. D二. 填空题. 1. 108°,72° 2. 26cm 或28cm 3. C 4. 60°5. B6. 75° 三. 解答题.1. ⑴∠DAB =60°,∠ABC =120°;⑵BD =4cm ,△DBC 的周长为12cm2. 解:设AO =x∵四边形ABCD 是菱形 ∴OA =OC ,OB =OD又∵AC =BD =1:3 ∴AO =x ,BO =3x根据题意得:AB 2=x 2+(3x )2 ∴x =1∴AO =1,AC =2,BD =23 ∴菱形ABCD 的面积为21×2×23=23. 3. 27cm ,66cm4. 解:⑴∵四边形ABCD 是正方形. ∴∠BOE =∠AOF =90°,OA =OB . 又∵AM ⊥EB ,∴∠MAE +∠MEA =90°=∠OBE +∠MEA . ∴∠MAE =∠OBE∴△AOF 绕O 点逆时针方向旋转90°可与△BOE 重合. ∴OE =OF⑵OE =OF 仍成立,说明如下: ∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BOE =∠AOF =90°,BO =AO∵AM ⊥EB ,∴∠OEB +∠OAM =90°=∠OFA +∠OAM ∴∠OEB =∠OFA∴△AOF 绕O 点逆时针旋转90°后可与△BOE 重合. ∴OE =OF .。
八年级数学平行四边形的定义和性质华东师大版知识精讲

初二数学平行四边形的定义和性质华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容:平行四边形的定义和性质二. 重点、难点:1. 重点:平行四边形的定义和性质2. 难点:平行四边形的性质平行四边形的定义三.知识梳理:平行四边形是我们常见的一种图形,它具有十分和谐的对称美。
它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?平行四边形的定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质:两组对边分别平行。
即:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AB∥DC。
平行四边形的性质:平行线之间的距离处处相等。
平行四边形的性质:平行四边形的对边相等。
平行四边形的性质:平行四边形的对角相等。
即:在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=DC,∠A=∠C,∠B=∠D。
平行四边形的性质:平行四边形对角线互相平分即:在平行四边形ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD。
【典型例题】例1. 如图,在平行四边形ABCD中,已知∠A=40°,求其他各个内角的度数。
分析:运用平行四边形的定义和性质进行解题:解:在平行四边形ABCD中,∠D=∠B,∠C=∠A=40°(平行四边形的对角相等)。
又∵AD∥BC,∴∠B=180°-∠A=180°-40°=140°,∴∠D=∠B=140°。
例2. 如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,周长等于24,求其余三条边的长。
分析:运用平行四边形的定义和性质进行解题:解:在平行四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC(平行四边形对边相等)。
又∵AB=8,AB+BC+CD+DA=24,∴CD=8,AD=BC=4。
例3.如图,在平行四边形ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是多少?分析:运用平行四边形的定义和性质进行解题:解:在平行四边形ABCD中,已知AB=6,AO+BO+AB=15,∴AO+BO=15-6=9。
华东师大初中数学八年级下册平行四边形及其性质知识讲解基础精选

平行四边形及其性质(基础)【学习目标】1 •理解平行四边形的概念,掌握平行四边形的性质定理 2•能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算,并体会如何利用所学的三角形的知识解决四 边形的问题. 3.了解平行四边形的不稳定性及其实际应用.4. 掌握两个推论:“夹在两条平行线间的平行线段相等”【要点梳理】【高清课堂 平行四边形知识要点】 知识点一、平行四边形的定义平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 读作“平行四边形 ABCD .要点诠释:平行四边形的基本元素:边、角、对角线 边为对边,有两对;相邻的两角为邻角,有四对;相对的角为对角,有两对;对角线有两条 知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等; 平行四边形的对边相等; 平行四边形的对角线互相平分;要点诠释:(1)平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等; 角的性质可以证明两角相等或两角互补;对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系 (2)由于平行四边形的性质内容较多,在使用时根据需要进行选择.(3 )利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的 不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离:(1)定义:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间 的距离.注:距离是指垂线段的长度,是正值.2 •平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等平行线性质定理的推论: 夹在两条平行线间的垂线段相等“夹在两条平行线间的垂线段相等”.平行四边形 ABCDE 作, “ ABCD ,.相邻的两边为邻边,有四对;相对的【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图所示,已知四边形 ABCD 是平行四边形,若AF 、BE 分别为/ DAB / CBA 的平分线.求证:D E FC【答案与解析】在 ABCD 中, CD//证明:J AB ,/ DFA=Z FAB.又••• AF 是/ DAB 的平分线,/ DAF=Z FAB, ••• / DAF=Z DFA ••• AD = DF.同理可得EC= BC.— 在 ABCD 中, AD= BC,• DF = EC.【总结升华】禾U 用平行四边形的性质可以得到对角相等, 对边平行且相等,为证明线段相等提供了条件. 举一反三:【高清课堂 平行四边形例12】【答案】证明:猜想:BE // DF 且BE = DF. •••四边形ABCD 是平行四边形【高清课堂 平行四边形例11】DF = EC.• CB=AD CB// AD •••/ BCE=Z DAF 在厶8。
八年级数学下册18平行四边形复习课教案4华东师大版_.docx

18 章教材内容 18 章复习课 4 上课时间 月日第节教具多媒体课型复习课教 知 识 与 技 能复习平行四边形性质与判定,并应用解题学目 过 程 与 方 法师生 合作,交流研究,实践探索标情感态度价值观 通过应用性质解题,了解几何图象美教学重点 平行四边形性质与判定教学难点灵活应用平行四边形性质与判定解题教学内容与过程教法学法设计5. 已知:如图,在ABCD 中,∠ ADC 的平分线与 AB 相交于点 E. 求证: BE+BC=CD.DC让学生通过自主探AB究,发现问题并学会分E析解决问题。
第 5 题图变式:如图,在 ABCD 中, AE 平分∠ BAD,BE 平分∠ ABC,且 AE,BE相交于 CD 上的一点 E ,则( 1)∠ AEB=__________;( 2)若 AE=8, BE=6,则四边形 ABCD 的面积为 ___________;( 3)若在 DE 上存在点 P ,则点 P 到 AB 的距离为 ___________.ED CAB第 5 题变式图鼓励学生自主总结归纳知识,加强理解并帮助记忆 .6. 如图①, ABCD 的面积为 2,两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,则( 1)△ AOB 面积为 _____ ____;( 2)过点 O 作直线 EF 分别交 AD 、 BC 与点 E 、 F (如图②), 则 OE 与 OF 长度的大小关系 ________;( 3)再过点 O 作直线 MN 分别交 AB 、 DC 与点 M 、N (如图③),图中阴影部分面积为 ____________.AD A ED 1OOBCB FC第 6 题图①A EDMONBF C第 6 题图③通过例题讲解和纠错,加深学生对知识的 理解,使学生灵活应用 .第 6 题图②变式:点 E 是 ABCD 内任意一点,若S=10,则△ AED 与△ BEC通 过 练 习 巩 固 知ABCD的面积之和为 _________.识,提高难度,使学生DC学会应 用并得到发展 .DCEABAB第 6 题变式图O第 7 题图7. 如图 ,在平面直角坐标系中, ABCD 的顶点 A(-2 , 0) , B(4 , 0) ,D(0, 3) ,另一顶点 C 在反比例函数 yk上,则 k=_________.x教学 反 思2。
华东师大初中数学八年级下册《平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解

平行四边形全章复习与巩固(提高)【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质:(1)对边平行且相等;(2)对角相等;邻角互补;(3)对角线互相平分;(4)中心对称图形.3.面积:高底平行四边形⨯=S4.判定:边:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角:(6)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形; 对角线:(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释:平行线的性质:(1)平行线间的距离都相等;(2)等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质:(1)具有平行四边形的所有性质;(2)四个角都是直角;(3)对角线互相平分且相等;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:宽=长矩形⨯S4.判定:(1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释:由矩形得直角三角形的性质:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)直角三角形中,30度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点三、菱形1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质:(1)具有平行四边形的一切性质;(2)四条边相等;(3)两条对角线互相平分且垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:2对角线对角线高==底菱形⨯⨯S 4.判定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质:(1)对边平行;(2)四个角都是直角;(3)四条边都相等;(4)对角线互相垂直平分且相等,对角线平分对角;(5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;(6)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:=S 正方形边长×边长=12×对角线×对角线 4.判定:(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)一组邻边相等的矩形是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;(6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、(2015•海淀区二模)如图1,在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC=α,D 是BC 边上一点,以AD 为边作△ADE,使AE=AD ,∠DAE+∠BAC=180°.(1)直接写出∠ADE 的度数(用含α的式子表示);(2)以AB ,AE 为边作平行四边形ABFE ,①如图2,若点F 恰好落在DE 上,求证:BD=CD ;②如图3,若点F 恰好落在BC 上,求证:BD=CF .【思路点拨】(1)由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可求得∠BAC=180°﹣2α,又由AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°,可求得∠DAE=2α,继而求得∠ADE的度数;(2)①由四边形ABFE是平行四边形,易得∠EDC=∠ABC=α,则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,证得AD⊥BC,又由AB=AC,根据三线合一的性质,即可证得结论;②由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可得∠B=∠C=α,四边形ABFE是平行四边形,可得AE∥BF,AE=BF.即可证得:∠EAC=∠C=α,又由(1)可证得AD=CD,又由AD=AE=BF,证得结论.【答案与解析】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,∴∠BAC=180°﹣2α,∵∠DAE+∠BAC=180°,∴∠DAE=2α,∵AE=AD,∴∠ADE=90°﹣α;(2)①证明:∵四边形ABFE是平行四边形,∴AB∥EF.∴∠EDC=∠ABC=α,由(1)知,∠ADE=90°﹣α,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD;②证明:∵AB=AC,∠ABC=α,∴∠C=∠B=α.∵四边形ABFE是平行四边形,∴AE∥BF,AE=BF.∴∠EAC=∠C=α,由(1)知,∠DAE=2α,∴∠DAC=α,∴∠DAC=∠C.∴AD=CD.∵AD=AE=BF,∴BF=CD.∴BD=CF.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意(2)①中证得AD⊥BC是关键,(2)②中证得AD=CD是关键.举一反三:【变式】已知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF,求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积.【答案】证明:∵ AB=3,AC=4,BC=5,∴∠BAC=90°∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形,∴AB=BD=AD,AC=AE=CE,BC=BF=FC ,∠1+∠FBA=∠2+∠FBA=60°∴∠1=∠2易证△BAC≌△BDF(SAS),∴DF=AC=AE=4,∠BDF=90°同理可证△BAC≌△FEC∴AB=AD=EF=3∴四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)∵DF∥AE,DF⊥BD延长EA交BD于H点,AH⊥BD,则H为BD中点∴平行四边形AEFD的面积=DF×DH=4×32=6.2、(2016•菏泽)如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.【思路点拨】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DE=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可.【答案与解析】解:(1)∵D、G分别是AB、AC的中点,∴DG∥BC,DG=BC,∵E、F分别是OB、OC的中点,∴EF∥BC,EF=BC,∴DG=EF,DG∥EF,∴四边形DEFG是平行四边形;(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°,∵M为EF的中点,OM=3,∴EF=2OM=6.由(1)有四边形DEFG是平行四边形,∴DG=EF=6.【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质,三角形的中位线,直角三角形的性质,解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形.类型二、矩形3、如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD 的面积.【答案与解析】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=0B=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即:OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是矩形;(2)解:∵G是OC的中点,∴GO=GC,∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°,又∵DG=DG,∴△DGC≌△DG O,∴CD=OD,∵F是BO中点,OF=2cm,∴BO=4cm,∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4cm,∴DC=4cm,DB=8cm,==.∴矩形ABCD的面积=4×2【总结升华】本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.举一反三:【变式】(2015秋•抚州校级期中)在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F 在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=9,BF=12,DF=15,求证:AF平分∠DAB.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,即DF∥BE,又∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形,又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形DEBF为矩形;(2)∵四边形DEBF为矩形,∴∠BFC=90°,∵CF=9,BF=12,∴BC==15,∴AD=BC=15,∴AD=DF=15,∴∠DAF=∠DFA,∵AB∥CD,∴∠FAB=∠DFA,∴∠FAB=∠DFA,∴AF平分∠DAB.4、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4.过点A作AE⊥AB且AB=AE,过点E分别作EF⊥AC,ED⊥BC,分别交AC和BC的延长线与点F,D.若FC=5,求四边形ABDE的周长.【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF,即可得出BC=AF,AC=EF,再利用勾股定理得出AB 的长,进而得出四边形EFCD是矩形,求出四边形ABDE的周长即可.【答案与解析】解:∵∠ACB=90°,AE⊥AB,∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°.∴∠B=∠2.∵EF⊥AC,∴∠4=∠5=90°.∴∠3=∠4.在△ABC和△EAF中,∵342BAB AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,∴△ABC≌△EAF(AAS).∴BC=AF,AC=EF.∵BC=4,∴AF=4.∵FC=5,∴AC=EF=9.在Rt△ABC中,AB==.∵ED⊥BC,∴∠7=∠6=∠5=90°.∴四边形EFCD是矩形.∴CD=EF=9,ED=FC=5.∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA+4+9+5=18+.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识,根据已知得出AC=EF=9是解题关键.类型三、菱形5、如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BCAC,BD 相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.【思路点拨】(1)当旋转角为90°时,∠AOF=90°,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形;(2)证明△AOF≌△COE即可;(3)当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形,又由AB⊥AC,AB=1,易求得OA=AB,即可得∠AOB=45°,求得∠AOF=45°,则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°.【答案与解析】(1)证明:当∠AOF=90°时,AB∥EF,又AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形.(2)证明:四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,∠FAO=∠ECO,∠AOF=∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF=CE(3)四边形BEDF可以是菱形.理由:如图,连接BF,DE,由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,∴EF与BD互相平分.∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.AC==,在Rt△ABC中,2∴OA=1=AB,又AB⊥AC,∴∠AOB=45°,∴∠AOF=45°,∴AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.【总结升华】要证明四边形是菱形,先证明这个四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三:【变式】已知:如图所示,BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交AB于E,交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明:∵EF是BD的垂直平分线,∴EB=ED,∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD= ∠FBD,∴∠FBD=∠EDB,ED∥BF. 同理,DF∥BE,∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB=ED,∴四边形BFDE是菱形.类型四、正方形6、正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.(1)求证:EF=FM;(2)当AE=1时,求EF的长.【答案与解析】解:(1)证明:∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM,∴DE=DM ,∠EDM=90°,∴∠EDF+∠FDM=90°,∵∠EDF=45°,∴∠FDM=∠EDF =45°,在△DEF 和△DMF 中,DE DM EDF MDFDF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DEF≌△DMF(SAS ),∴EF=MF ;(2)设EF =MF =x ,∵AE=CM =1,且BC =3,∴BM=BC +CM =3+1=4,∴BF=BM -MF =BM -EF =4-x ,∵EB=AB -AE =3-1=2,在Rt△EBF 中,由勾股定理得EB 2+BF 2=EF 2,即()22224x x +-=, 解得:52x =,则EF =52. 【总结升华】此题考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,以及勾股定理,利用了转化及方程的思想,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.举一反三:【变式】如图(1),正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ,且B 、C 、E 在一直线上,连接BG 、DE .(1)请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系?并说明理由.(2)若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后,如图(2),BG 和DE 是否还存在上述关系?若存在,试说明理由;若不存在,也请你给出理由.【答案】解:(1)BG =DE ,BG ⊥DE ;理由是:延长BG 交DE 于点H ,因为BC =DC ,CG =CE ,∠BCG =∠DCE所以△BCG ≌△DCE ,所以BG =DE ,∠GBC =∠CDE .由于∠CDE +∠CED =90°,所以∠GBC +∠DEC =90°, 得∠BHE =90°.所以BG ⊥DE.(2)上述结论也存在.理由:设BG 交DE 于H ,BG 交DC 于K ,同理可证△BCG ≌△DCE ,得BG =ED ,∠KBC =∠KDH .又因为∠KBC +∠BKC =90°,可得∠DKH +∠KDH =90°,从而得∠KHD =90°.所以BG ⊥DE.7、探究:如图①,在四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCD=90°,AB =AD ,AE⊥CD 于点E .若AE =10,求四边形ABCD 的面积.应用:如图②,在四边形ABCD 中,∠ABC+∠ADC=180°,AB =AD ,AE⊥BC 于点E .若AE =19,BC =10,CD =6,则四边形ABCD 的面积为_______.【思路点拨】探究:过点A 作AF⊥CB,交CB 的延长线于点F ,先判定四边形AFCE 为矩形,根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°,然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD,再利用“角角边”证明△AFB 和△AED 全等,根据全等三角形对应边相等可得AE =AF ,从而得到四边形AFCE 是正方形,然后根据正方形的面积公式列计算即可得解;应用:过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ,连接AC ,根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF,然后利用“角角边”证明△ABE 和△ADF 全等,根据全等三角形对应边相等可得AF =AE ,再根据ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形列式计算即可得解.【答案与解析】解:探究:如图①,过点A 作AF⊥CB,交CB 的延长线于点F ,∵AE⊥CD,∠BCD=90°,∴四边形AFCE 为矩形,∴∠FAE=90°,∴∠FAB+∠BAE=90°,∵∠EAD+∠BAE=90°,∴∠FAB=∠EAD,∵在△AFB 和△AED 中,90FAB EAD F AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△AFB≌△AED(AAS ),∴AF=AE ,∴四边形AFCE 为正方形,∴AFCE ABCD S S =正方形四边形=2210AE ==100;应用:如图,过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ,连接AC ,则∠ADF+∠ADC=180°,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADF,∵在△ABE 和△ADF 中,90ABC ADF AEB F AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ADF(AAS ),∴AF=AE =19,∴ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形 =12BC•AE+12CD•AF =12×10×19+12×6×19 =95+57=152.故答案为:152.【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,(1)作辅助线构造出全等三角形是解题的关键;(2)作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键.。
平行四边形单元整体分类总复习 专题突破八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义

第6讲 平行四边形单元整体分类总复习考点一 多边形的内角和、外角和知识点睛:1. n 边形的内角和为()()31802≥︒⨯-n n ,外角和为360°,反过来,已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数2. 对角线公式从n 边形的一个顶点可引出(n-3)条对角线,将n 边形分成(n-2)个三角形,n 边形的对角线共有()23-n n 条 类题训练1.(2022•九龙坡区校级开学)已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°,这个多边形是( )A .十边形B .十一边形C .十二边形D .十三边形【分析】设这个多边形为n 边形,根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解.【解答】解:设这个多边形为n 边形,它的外角分别为x 1,x 2,⋯,x n ,则对应的内角分别为4x 1+30°,4x 2+30°,⋯,4x n +30°,根据题意得,x 1+x 2+⋯+x n =360°,(4x 1+30°)+(4x 2+30°)+⋯+(4x n +30°)=(n ﹣2)×180°,∴4×(x 1+x 2+⋯+x n )+30°n =(n ﹣2)×180°,∴4×360°+30°n =(n ﹣2)×180°,∴1440°+30°n =180°n ﹣360°,∴150°n =1800°,∴n =12,故选:C .2.(2021秋•黄冈期末)一个多边形的每个外角都等于40°,那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )A .9条B .8条C .7条D .6条【分析】首先计算出多边形的边数,再根据n 边形从一个顶点出发可引出(n ﹣3)条对角线可得答案.【解答】解:多边形的边数:360°÷40°=9,从一个顶点出发可以引对角线的条数:9﹣3=6(条),故选:D .3.(2021秋•海阳市期末)小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角,得到的和为1350°,则这个多边形的边数是()A.7B.8C.9D.10【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°列方程即可得解.【解答】解:设多边形的边数为n,多加的内角度数为α,则(n﹣2)•180°=1350°﹣α,∵0°<α<180°,∴(1350﹣180)÷180<n﹣2<1350÷180,∴6<n−2<7,∵n为正整数,∴n=9,∴这个多边形的边数n的值是9.故选:C.4.(2021秋•丹东期末)如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条,则该多边形是()A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可.【解答】解:∵过一个多边形的一个顶点的对角线有5条,∴多边形的边数为5+3=8,故选:B.5.(2021秋•天元区期末)如图,五边形ABCDE是正五边形,若l1∥l2,则∠1﹣∠2的值是()A.36°B.72°C.108°D.144°【分析】由l1∥l2,得∠2=∠BMD.由∠1=∠BMD﹣∠MBC,得∠BMD=∠1﹣∠MBC,那么∠1﹣∠2=∠MBC.欲求∠1﹣∠2,需求∠MBC.由正五边形的性质,得∠MBC=72°,从而解决此题.【解答】解:如图,AB的延长线交l2于点M,∵五边形ABCDE是正五边形,∴正五边形ABCDE的每个外角相等.∴∠MBC==72°.∵l1∥l2,∴∠2=∠BMD,∵∠1=∠BMD+∠MBC,∴∠BMD=∠1﹣∠MBC,∴∠1﹣∠2=∠MBC=72°.故选:B.6.(2021春•浦江县期末)如图,在四边形ABCD中,∠C=110°,与∠BAD,∠ABC相邻的外角都是110°,则∠ADC的外角α的度数是()A.90°B.85°C.80°D.70°【分析】根据多边形外角和为360°,进行求解即可.【解答】解:∵在四边形ABCD中,∠C=110°,∴∠C相邻的外角度数为:180°﹣110°=70°,∴∠α=360°﹣70°﹣110°﹣110°=70°.故选:D.考点二平行四边形的性质知识点睛:1.平行四边形的性质定理∶(1)平行四边形的对边平行且相等.(2)平行四边形的对角相等,邻角互补.(3)平行四边形的对角线互相平分.2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时,一定要找准那些对解题有帮助的性质,有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.类题训练1.(2021秋•任城区校级期末)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列判断错误的是()A.AO=CO B.AD∥BC C.AD=BC D.∠DAC=∠ACD 【分析】根据平行四边形的性质解答即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,故A正确;∴AD∥BC,故B正确;∴AD=BC,故C正确;故选:D.2.(2021秋•鄞州区校级期末)如图,在▱ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E,若∠BAD=120°,则∠BCE的度数为()A.30°B.20°C.40°D.35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°,可得∠B的度数,由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°﹣∠B即可.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°,∵∠BAD=120°,∴∠B=60°,∵CE⊥AB,∴∠E=90°,∴∠BCE=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°;故选:A.3.(2022春•秀英区校级月考)如图,在▱ABCD中,AD=8,AB=5,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F,则EF=()A.2B.2.5C.3D.3.5【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC,由DF平分∠ADC,得到∠ADF=∠CDF,等量代换得到∠DFC=∠FDC,根据等腰三角形的判定得到CF=CD,同理BE=AB,根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,即可得到结论.【解答】解:在▱ABCD中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=8,∴EF=2;故选:A.4.(2021秋•绵阳期末)如图,在平行四边形OABC中,对角线相交于点E,OA边在x轴上,点O为坐标原点,已知点A(4,0),E(3,1),则点C的坐标为()A.(1,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(2,2)【分析】分别过E,C两点作EF⊥x轴,CG⊥x轴,垂足分别为F,G,由平行四边形的性质可得CG=2EF,AG=2AF,结合A,E两点坐标可求解CG,OG的长,进而求解C 点坐标.【解答】解:分别过E,C两点作EF⊥x轴,CG⊥x轴,垂足分别为F,G,∴EF∥CG,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE=CE,∴AG=2AF,CG=2EF,∵A(4,0),E(3,1),∴OA=4,OF=3,EF=1,∴AF=OA﹣OF=4﹣3=1,CG=2,∴AG=2,∴OG=OA﹣OG=4﹣2=2,∴C(2,2).故选:D.5.(2022•越秀区校级开学)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=,∠AOB=60°,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+2EF的值为()A.+1B.C.D.【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO=1,BO=2,利用三角形的面积公式计算△ABO的面积,结合平行四边形的性质可得DO=BO=2,S△ADO=S△ABO=,即可得到OE+2EF的值.【解答】解:∵∠BAO=90°,∠AOB=60°,∴∠ABO=30°,∴BO=2AO,∵AB=,∴AO=1,BO=2,∴S△ABO=AO•AB=,∵四边形ABCD为平行四边形,∴DO=BO=2,S△ADO=S△ABO=,∵OF⊥AO,EF⊥OD,∴S△ADO=S△AEO+S△EDO===,即OE+2EF=.故选:B.6.(2021秋•九江期末)在平行四边形ABCD中,对角线AC长为8cm,∠BAC=30°,AB =5cm,则它的面积为.【分析】根据S▱ABCD=2S△ABC,所以求S△ABC可得解.作BE⊥AC于E,在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC.【解答】解:如图,过B作BE⊥AC于E.在直角三角形ABE中,∠BAC=30°,AB=5cm,∴BE=AB•sin∠CAB=5×=2.5(cm),S△ABC=AC•BE÷2=10(cm2),∴S▱ABCD=2S△ABC=20cm2.故答案为:20cm2.7.(2021秋•鄞州区校级期末)平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=10,BD=6,AB=m,那么m的取值范围是.【分析】由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分,即可求得OA与OB的值,然后根据三角形三边关系,即可求得m的取值范围.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=AC=×10=5,OB=OD=BD=×6=3,∵OA﹣OB<AB<OA+OB,∴5﹣3<m<5+3,∴m的取值范围是:2<m<8.故答案为:2<m<8.8.(2021秋•桓台县期末)如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AB=2,BC=3,∠ABC=60°,则图中阴影部分的面积是.【分析】作AM⊥BC于M,如图所示:根据直角三角形的性质得到BM=AB=×2=1,根据勾股定理得到AM===,得到S平行四边形ABCD=BC•AM =3,根据平行四边形的性质得到AD∥BC,BO=DO,根据全等三角形的性质得到S=S△DOF,于是得到结论.△BOE【解答】解:作AM⊥BC于M,如图所示:则∠AMB=90°,∵∠ABC=60°,∴∠BAM=30°,∴BM=AB=×2=1,在Rt△ABM中,AB2=AM2+BM2,∴AM===,∴S平行四边形ABCD=BC•AM=3,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,BO=DO,∴∠OBE=∠ODF,在△BOE和△DOF中,,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴S△BOE=S△DOF,∴图中阴影部分的面积=▱ABCD的面积=,故答案为:.9.(2022•海曙区校级开学)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点.(1)求证:AF=CE;(2)若四边形AECF的周长为10,AF=3,AB=2,求平行四边形ABCD的周长.【分析】(1)根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC,又AE=CF,利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形,然后根据平行四边形的对边相等证得结论;(2)根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,即AE∥CF,又∵点E,F分别是边AD,BC的中点,∴AE=AD,CF=BC,∴AE=CF,∴四边形AECF为平行四边形,∴AF=CE;(2)解:∵四边形AECF的周长为10,AF=3,∴AE+CF=10﹣2×3=4,∵点E,F分别是边AD,BC的中点,∴AD+BC=2(AE+CF)=8,∵AB=2,∴平行四边形ABCD的周长=8+2×2=12.10.(2021秋•海曙区校级期末)如图,在平行四边形ABCD中,点F是AD中点,连接CF 并延长交BA的延长线于点E.(1)求证:AB=AE.(2)若BC=2AE,∠E=31°,求∠DAB的度数.【分析】(1)由题意易得AB=CD,AB∥CD,进而易证△AFE≌△DFC,则有CD=AE,然后问题可求证;(2)由(1)及题意易得AF=AE,则∠AFE=∠E=31°,然后根据三角形外角的性质可求解.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,BC=AD,∴∠E=∠DCF,∵点F是AD中点,∴AF=DF,∵∠EF A=∠CFD,∴△AFE≌△DFC(AAS),∴CD=AE,∴AB=AE;(2)解:由(1)可得AF=DF,BC=AD,∵BC=2AE,∴AE=AF,∵∠E=31°,∴∠AFE=∠E=31°,∴∠DAB=2∠E=62°.11.(2021秋•桓台县期末)已知,如图在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E,F分别在OD,BO上,且OE=OF,连接AE,CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)延长AE交CD于点G,延长CF交AB于点H.求证:AH=CG.【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形,得AD=BC,AD∥BC,BO=DO,可证∠ADE=∠CBF,DE=BF,然后通过SAS即可证得△ADE≌△CBF;(2)证出四边形AHCG是平行四边形,由平行四边形的性质可得出结论.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,BO=DO,∴∠ADE=∠CBF,∵OE=OF,∴DE=BF,在△ADE和△CBF中,,∴△ADE≌△CBF(SAS);(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠DAC=∠BCA,∵△ADE≌△CBF,∴∠DAE=∠BCF,∴∠EAO=∠FCO,∴AG∥HC,∵AH∥CG,∴四边形AHCG是平行四边形,∴AH=CG.考点三平行四边形的判定知识点睛:1.平行四边形的判定方法:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
华东师大版数学八年级下册18.1平行四边形的性质学习要点

平行四边形的性质学习要点
学习目标:
1.经历探索平行四边形的有关概念和特征的过程,在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯;
2.探索平行四边形对边相等,对角相等以及对角线互相平分的性质.
学习重点:平行四边形的概念和性质.
学习难点:探索和掌握平行四边形的性质.
平行四边形是中学数学中的一个重要图形,也是中考的重点内容之一.对平行四边形的学习,主要包括以下几点:
1、平行四边形的概念
(1)定义:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
平行四边形的定义包含两层意思:
①这个图形是四边形;
②这个四边形的两组对边分别平行.
(2)对角线:连结平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线.
2、平行四边形的性质
(1)从边看:平行四边形的对边平行且相等.
(2)从角看:平行四边形的对角相等,邻角互补.
(3)从对角线看:平行四边形的对角线互相平分.
(4)从整体看:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
例1如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC 的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等,并说明理由.
分析:由平行四边形的性质易证得△ADF ≌△CBE ,从而可得AF = CE. 解:AF = CE .
因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以AD=CB, ∠A=∠C, ∠ADC=∠ABC.
又因为∠ADF=2
1∠ADC, ∠CBE=2
1∠ABC , 所以∠ADF=∠CBE.
所以△ADF ≌△CBE (ASA ).
所以AF = CE.。
初二数学下《四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解+巩固练习

《四边形》全章复习与巩固(基础)【学习目标】1. 掌握多边形内角和与外角和公式,灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题;通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性,知道四边形没有稳定性,了解它们这些性质在生产、生活中的广泛应用.2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理,并能灵活应用.4. 理解用多边形进行镶嵌的应用,能灵活运用公式解决有关问题.体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形及有关概念1. 多边形的定义:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释:多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形.2. 正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等.要点诠释:各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.要点诠释:(1)从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形;(2)n边形共有(3)2n n条对角线.要点二、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式:n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3,n是正整数) .要点诠释:(1)一般把多边形问题转化为三角形问题来解决;(2)内角和定理的应用:①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和,求其边数.2.多边形外角和:n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.要点诠释:(1)外角和公式的应用:①已知外角度数,求正多边形边数;②已知正多边形边数,求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系:①n边形的内角和等于(n-2)·180°(n≥3,n是正整数),可见多边形内角和与边数n有关,每增加1条边,内角和增加180°.要点三、平行四边形1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质与判定性质:(1).边的性质:平行四边形两组对边平行且相等;(2).角的性质:平行四边形邻角互补,对角相等;(3).对角线性质:平行四边形的对角线互相平分;(4).平行四边形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.判定:(1).两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2).两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3).一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4).两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5).对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.平行线的性质(1)平行线间的距离都相等(2)等底等高的平行四边形面积相等要点四、特殊的平行四边形1.矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.2.矩形的性质与判定性质: 1.矩形具有平行四边形的所有性质;2.矩形的对角线相等;3.矩形的四个角都是直角;4.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.判定: 1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.3.菱形的性质与判定性质: 1.菱形的四条边都相等;2.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;3.菱形是轴对称图形,它有两条对称轴.判定: 1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.4正方形的性质与判定性质:1.正方形四个角都是直角,四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形,有4条对称轴;又是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心.判定:1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半. 要点五、镶嵌的概念和特征用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌).这里的多边形可以形状相同,也可以形状不相同.要点诠释:(1)拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°;相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件:边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面,当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时,就能铺成一个平面图形.事实上,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、多边形1、一个多边形的内角和与外角和相等,则这个多边形是()A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形【思路点拨】首先设此多边形是n边形,由多边形的外角和为360°,即可得方程180(n-2)=360,解此方程即可求得答案.【答案】A;【解析】解:设此多边形是n边形,∵多边形的外角和为360°,∴180(n-2)=360,解得:n=4.∴这个多边形是四边形.【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度不大,注意多边形的外角和为360°,n边形的内角和等于180°(n-2).举一反三:【变式】一个多边形除了一个内角外,其余各内角和为2750°,求这个多边形的内角和是多少?【答案】设这个多边形的边数为,这个内角为,则,即.∵等式左边是180°的整数倍,∴等式右边也是180°的整数倍.又∵,∴,此时.∴这个多边形的内角和是:.2.一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式,把边数代入计算即可.【答案与解析】解:∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线,∴十二个顶点可以画12×9条对角线,但每条对角线在每个顶点都数了一次,∴实际对角线的条数应该为12×9÷2=54(条)∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数,我们可以总结出规律条,牢记这个公式,以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数,要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三:【变式】一个多边形共有20条对角线,则多边形的边数是().A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C;类型二、四边形的不稳定性3. 如图所示,木工师傅在做完门框后,为防止变形(四边形具有不稳定性)常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD),这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解:应用了三角形的稳定性.【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用.实际生活中,将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性.类型二、平行四边形4、如图,在ABCD中,点E在AD上,连接BE,DF∥BE交BC于点F,AF与BE交与点M,CE与DF交于点N.求证:四边形MFNE是平行四边形.【答案与解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC,AD∥BC(平行四边形的对边相等且平行)又∵DF∥BE(已知)∴四边形BEDF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∴DE=BF(平行四边形的对边相等)∴AD-DE=BC-BF,即AE=CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法,如本题中已有一边平行,只须说明另一边也平行即可,故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三:【变式】如图,等腰△ABC中,D是BC边上的一点,DE∥AC,DF•∥AB,•通过观察分析线段DE,DF,AB三者之间有什么关系,试说明你的结论.【答案】AB=DE+DF,理由:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∠C=∠EDB∴DF=AE.∵等腰△ABC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠EDB,∴DE=BE,∴AB=AE+BE=DF+DE类型三、特殊的平行四边形5、已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.①求证:CD=AN;②若∠AMD=2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形.【思路点拨】①根据两直线平行,内错角相等求出∠DAC=∠NCA,然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=CN,然后判定四边形ADCN是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证;②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC,再根据等角对等边可得MD=MC,然后证明AC=DN,再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.【答案与解析】证明:①∵CN∥AB,∴∠DAC=∠NCA,在△AND和△CMN中,∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AMD≌△CMN(ASA),∴AD=CN,又∵AD∥CN,∴四边形ADCN是平行四边形,∴CD=AN;②∵∠AMD=2∠MCD,∠AMD=∠MCD+∠MDC,∴∠MCD=∠MDC,∴MD=MC,由①知四边形ADCN是平行四边形,∴MD=MN=MA=MC,∴AC=DN,∴四边形ADCN是矩形.【总结升华】要判定一个四边形是矩形,通常先判定它是平行四边形,再根据平行四边形构成矩形的条件,判定有一个角是直角或对角线相等.举一反三:【变式】(秋•抚州校级期中)在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F 在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=9,BF=12,DF=15,求证:AF平分∠DAB.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,即DF∥BE,又∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形,又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形DEBF为矩形;(2)∵四边形DEBF为矩形,∴∠BFC=90°,∵CF=9,BF=12,∴BC==15,∴AD=BC=15,∴AD=DF=15,∴∠DAF=∠DFA,∴∠FAB=∠DFA,∴∠FAB=∠DFA,∴AF平分∠DAB.【高清课堂 417084 四边形全章复习例2】6、如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,则∠CDF等于( )A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D;【解析】解:连结BF,由FE是AB的中垂线,知FB=FA,于是∠FBA=∠FAB==40°.∴∠CFB=40°+40°=80°,由菱形ABCD知,DC=CB,∠DCF=∠BCF,CF=CF,于是△DCF≌△BCF,因此∠CFD=∠CFB=80°,在△CDF中, ∠CDF=180°-40°-80°=60°.【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题,关键是要记住它们的判定和性质.举一反三:【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起,重合的四边形ABCD是菱形吗?如果是菱形请给出证明,如果不是菱形请说明理由.【答案】四边形ABCD是菱形;证明:由AD∥BC,AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形过A,C两点分别作AE⊥BC于E,CF⊥AB于F.∴∠CFB=∠AEB=90°.∵AE=CF(纸带的宽度相等)∠ABE=∠CBF,∴Rt△ABE≌Rt△CBF∴四边形ABCD是菱形.7、(春•上城区期末)如图,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连结CF.(1)若DG=2,求证:四边形EFGH为正方形;(2)若DG=6,求△FCG的面积.【思路点拨】(1)通过证明Rt△DHG≌△AEH,得到∠DHG=∠AEH,从而得到∠GHE=90°,然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形;(2)作FQ⊥CD于Q,连结GE,如图,利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE,再根据菱形的性质得HE=GF,HE∥GF,则∠HEG=∠FGE,所以∠AEH=∠QGF,于是可证明△AEH≌△QGF,得到AH=QF=2,然后根据三角形面积公式求解.【答案与解析】(1)证明:∵四边形EFGH为菱形,∴HG=EH,∵AH=2,DG=2,∴DG=AH,在Rt△DHG和△AEH中,,∴Rt△DHG≌△AEH,∴∠DHG=∠AEH,∵∠AEH+∠AHG=90°,∴∠DHG+∠AHG=90°,∴∠GHE=90°,∵四边形EFGH为菱形,∴四边形EFGH为正方形;(2)解:作FQ⊥CD于Q,连结GE,如图,∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,∴∠AEG=∠QGE,即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE,∵四边形EFGH为菱形,∴HE=GF,HE∥GF,∴∠HEG=∠FGE,∴∠AEH=∠QGF,在△AEH和△QGF中,∴△AEH≌△QGF,∴AH=QF=2,∵DG=6,CD=8,∴CG=2,∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2.【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质:正方形的判定没有固定的方法,只要判定既是矩形又是菱形就可以判定;正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.也考查了菱形和矩形的性质.举一反三:【变式】如图所示,E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点,连接EF、FG、GH、HE,则四边形EFGH为________形.(1)当四边形满足________条件时,四边形EFGH是菱形.(2)当四边形满足________条件时,四边形EFGH是矩形.(3)当四边形满足________条件时,四边形EFGH是正方形.在横线上填上合适的条件,并说明你所填条件的合理性.【答案】四边形EFGH为平行四边形;解:(1)AC=BD,理由:如图①,四边形ABCD的对角线AC=BD,此时四边形EFGH为平行四边形,且EH=12BD,HG=12AC,得EH=GH,故四边形EFGH为菱形.(2)AC⊥BD,理由:如图②,四边形ABCD的对角线互相垂直,此时四边形EFGH为平行四边形.易得GH⊥BD,即GH⊥EH,故四边形EFGH为矩形.(3)AC=BD且AC⊥BD,理由:如图③,四边形ABCD的对角线相等且互相垂直,综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形.本题是以平行四边形为前提,加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形,加上邻边相等为菱形,加上对角线互相垂直为矩形,综合得到正方形.类型四、镶嵌问题8.分别用形状、大小完全相同的①三角形木板;②四边形木板;③正五边形木板;④正六边形木板作平面镶嵌,其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C;【总结升华】用多边形组合成平面图形,实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.【巩固练习】一.选择题1.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架.如图所示,要使这个木架不变形,他至少要再订上几根木条?( )A.0根 B.1根 C.2根 D.3根2.若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数为()A.6 B.7 C.8 D.93.(•河北模拟)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,AC=12,F是DE上一点,连接AF,CF,DF=1.若∠AFC=90°,则BC的长度为()A.12 B.13 C.14 D.154.杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上,若在四边形EFGH种上小草,则这块草地的形状是()A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形5.下列不能够镶嵌的正多边形组合是()A.正三角形与正六边形 B.正方形与正六边形C.正三角形与正方形 D.正五边形与正十边形6. 如图所示,ABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC,交AD于点E,则△DCE的周长为( )A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm7. 矩形对角线相交成钝角120°,短边长为2.8cm,则对角线的长为()A.2.8cm B.1.4cm C.5.6cm D.11.2cm8. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点,且OE=a,则菱形ABCD的周长为()A.16a B.12a C.8a D.4a二.填空题9.如图,若ABCD与EBCF关于B,C所在直线对称,∠ABE=90°,则∠F=______.10.矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ,较短的边长为12,则对角线长为__________. 11.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,则点D的坐标为______.12. 已知多边形的内角和为540°,则该多边形的边数为;这个多边形一共有条对角线.13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A,两条直角边分别与CD交于点F,与CB的延长线交于点E,则四边形AECF的面积是 _________.14.(秋•南沙区校级期中)我们在教材中已经学习了:①等边三角形;②矩形;③平行四边形;④等腰三角形;⑤菱形.在以上五种几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是.15. 菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是_________.16. 一个多边形的内角和与一个外角的和为1500°,则这是个边形.三.解答题17.(春•澧县校级期中)已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°,求这个多边形的边数.18. 如图所示,在ABCD中,AC、BD交于点O,AE⊥BC于E,EO交AD于F,求证:四边形AECF是矩形.19. 如图所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,∠B=60°,BC=2AD,E、F分别为AB、BC的中点.求证:(1)四边形AFCD为矩形;(2)FE⊥DE.20. 已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.(1)求证:BE = DF;(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.【答案与解析】一.选择题1.【答案】B;2.【答案】C;【解析】设这个多边形的边数为n,根据题意得:180(n-2)=1080,解得:n=8.3.【答案】C;【解析】解:如图,∵∠AFC=90°,AE=CE,∴EF==6,DE=1+6=7;∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴BC=2DE=14,故选C.4.【答案】A;5.【答案】B;【解析】A、正六边形的内角是120°,正三角形内角是60°,能组成360°,所以能镶嵌成一个平面,故本选项不合题意;B、正六边形的内角是120°,正方形内角是90°,不能组成360°,所以不能镶嵌成一个平面,故本选项符合题意;C、正三角形的内角为60°,正方形的内角为90°,能组成360°,所以能镶嵌成一个平面,故本选项不合题意;D、正五边形的内角为108°,正十边形的内角为144°,能组成360°,所以能镶嵌成一个平面,故本选项不合题意.故选B.6.【答案】C;【解析】因为ABCD的周长为16 cm,AD=BC,AB=CD,所以AD+CD=12×16=8(cm).因为O为AC的中点,又因为OE⊥AC于点O,所以AE=EC,所以△DCE的周长为DC+DE+CE=DC+DE+AE=DC+AD=8(cm).7.【答案】C;8.【答案】C;【解析】OE=a,则AD=2a,菱形周长为4×2a=8a.二.填空题9.【答案】45;10.【答案】24;11.【答案】222+(,);【解析】过D作DH⊥OC于H,则CH=DH=2,所以D的坐标为222+(,).12.【答案】5 ,5;【解析】根据n边形的内角和定理得到关于n的方程∴(n﹣2)•180°=540°,解方程求得n,然后利用n边形的对角线条数为计算即可.13.【答案】16;【解析】证△ABE≌△ADF,四边形AECF的面积为正方形ABCD的面积.14.【答案】②⑤;【解析】解:①等边三角形,是轴对称图形,不是中心对称图形,故选项错误;②矩形,既是轴对称图形,又是中心对称图形,故选项正确;③平行四边形,不是轴对称图形,是中心对称图形,故选项错误;④等腰三角形,是轴对称图形,不是中心对称图形,故选项错误;⑤菱形,既是轴对称图形,又是中心对称图形,故选项正确;故答案为:②⑤.15.【答案】2cm;;【解析】由题意知△ABC为等边三角形,AE=2cm,BD=2AE= .16.【答案】十;【解析】设这个多边形的边数为n,一个外角为0°至180°之间,则依题意可得(n﹣2)×180°+一个外角=1500°,解得只有n=10时符合要求.三.解答题17.【解析】解:设多边形的边数是n,根据题意,得(n﹣2)•180=1080+360,解得:n=10.故这个多边形的边数是十.18.【解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,BO=DO.∴∠1=∠2.又∵∠FOD=∠EOB,∴△DOF≌△BOE.∴ DF=BE.∴ AD-DF=BC-BE,即AF=EC.又∵ AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形.又∵ AE⊥BC,所以∠AEC=90°,∴四边形AECF是矩形.19.【解析】证明:(1)∵ BC=2AD,点F是BC的中点,∴ BF=FC=AD.∵ AD∥BC,∴四边形AFCD为平行四边形.又∵ DC⊥BC,∴四边形AFCD为矩形.(2)∵四边形AFCD为矩形,且∠B=60°,∠BAF=30°,∴ BF=12 AB.又∵点E是AB的中点,∴ BF=BE=EF,即△BEF是等边三角形.∴∠BEF=60°.∵ AE=BE=BF=CF=AD,∠BAD=120°,∴∠AED=12(180°-120°)=30°,∴∠FED=180°-∠BEF-∠AED=90°,即FE⊥DE.20.【解析】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°.∵AE = AF,∴Rt RtABE ADF△≌△.∴BE=DF.(2)四边形AEMF是菱形.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCA =∠DCA=45°,BC=DC.∵BE=DF,∴BC-BE=DC-DF. 即CE=CF.∴OE=OF.∵OM=OA,∴四边形AEMF是平行四边形.∵AE=AF,∴平行四边形AEMF是菱形.A DB EFOCM。
华师大版八年级数学下册《第18章 平行四边形 复习》教案

A=125°,∠B=.
课后反思
板书设计
庆历四年 的春天 ,滕子 京被降 职到巴 陵郡做 太守。 到了第 二年, 政事顺 利,百 姓和乐 ,各种 荒废的 事业都 兴办起 来了。
- 3 - / 3
的中点,D 在 BC 上,延长
中. 考. 资. 源. 网
ED 到 F,使 ED = DF = EB,
连接 FC. 求证: 四边形 AEFC 是平行四边形.
A E E B D F
( 图 4) 例 5.如图 5,BD 是
A F C
( 图 5)
D
C
B
ABCD 的
对角线,点 E,F 在 BD 上,要使 四边形 AECF 是平行四边形,还 需要增加的一个条件是(填上你 认为正确的一个即可,不必考虑 所有可能情形).
嗟夫!予 尝求古 仁人之 心,或 异二者 之为, 何哉? 不以物 喜,不 以己悲 ;居庙 堂之高 则忧其 民;处 江湖之 远则忧 其君。 是进亦 忧,退 亦忧。 然则何 时而乐 耶?其 必曰: “ 先 天下之 忧而忧 ,后天 下之乐 而乐” 乎。 噫!微 斯人, 吾谁与 归?
课 第 18 章复习 题 教 知识目标:掌握平行四边形、特殊四边形、梯形等的性质. 课型 复习课 设计人 总节时
两组对边分别平行 一组对边平行且相等 两组对边分别相等
学 例 4.已知:如图 4, 在△ABC 中,AB=AC,E 是 AB 网
角:两组对角分别相等 对角线: 对角线互相平 分 3.注意的问题: 平行四边形的判定定理,有的是相应性 质定理的逆定理.学习时注意它们的联 系和区别,对照记忆. 二、基本思想方法 研究平行四边形问题的基本思想 方法是转化法,即把平行四边形的问题 转化为三角形及平移、旋转和对称图形 的问题来研究. 三、平行四边形知识的运用 1.直接运用平行四边形的性质解决某 些问题.如求角的度数、线段的长度、 证明角相等或互补、证明线段相等或倍 分关系等; 2.判定一个四边形是平行四边形, 从而判定直线平行等; 3 .先判定一个四边形是平行四边 形,再利用其性质去解决某些问题. 【典例分析】 例 1 . 如图 1 ,
华东师大版 八年级数学下册 第18章 平行四边形 单元复习习题合集(知识点归纳 总结提升+单元复习)

18章
通过应用性质解题,了解几何图象美
教法学法设计
EF
ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点
的周长为()
.如图,过正方形
的垂线,
的中点,且DE⊥AB,AB=2.求(1)∠
18章
归纳知识,加强CD和四边形
EM.
在一条直线上时,线段
在一条直线上时,)中的结论还成立吗?
识,提高难度,使学生五、巩固练习
_________________.
18章
日
灵活应用平行四边形性质与
ABCD
ABCD
的周长是CN=5cm.
归纳知识
ABCD
中两条对角线交于
18章
知识与技能
师生合作,交流研究,实践探索灵活应用平行四边形性质与判定解题
究,发现问题并学会分
_____
则
,图中阴
学会应用并得到发展,在平面直角坐标系中,
18章
是平行四边形
第10题变式图
都是等边三角形,CD=B F,求证:四边形CDEF
,等边△,,垂足为点,连接
ABC D ,以每秒的速度运动, .
第11题图
第11题变式图 第12题图。
第18章平行四边形复习课课件华东师大版八年级数学下册

学习目标
知识梳理
考点探究
当堂检测
课堂总结
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点A向D以 1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点 即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s). (3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?
为( A )
A.4cm
B.5cm
C.6cm
D.8cm
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
AC=10cm,BD=6cm
∴OA=OC= 1 AC=5cm,OB=OD= ∵∠ODA=920°,
1 2
BD=3cm,
方法总结:牢记平行四边形的对角线
∴AD= OA2 -OD2 =4cm.
互相平分性质,注意应用勾股定理.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC, ∴AF∥EC, ∵BE=DF, ∴AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形.
学习目标
知识梳理
考点探究
当堂检测
课堂总结
6.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是 对角线AC上的两点,给出下列四个条件: ①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF. 其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( B ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解:由题意知CQ=2tcm,PD=(12-t)cm, ∵AD∥BC, ∴当PD=QC时,四边形PDCQ是平行四边形. 即12-t=2t, 解得t=4s, ∴当t=4s时,四边形PDCQ是平行四边形.
华东师大初中数学八年级下册平行四边形的判定定理(提高)知识讲解[精选]
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平行四边形的判定定理(提高)【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用,会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形.2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释:(1)这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握,当几种方法都能判定同一个行四边形时,应选择较简单的方法.(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图,点A、B、C在正方形网格的格点上(小正方形的边长为单位1).(1)在图中确定格点D,并画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形.(2)若以C为原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,则你确定的点D的坐标是________________.【思路点拨】(1)分为三种情况:以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时,画出图形,根据A、B、C的坐标求出即可;(2)在(1)的基础上,把y轴向左平移了一个单位,根据平移性质求出即可.【答案与解析】(1)解:从图中可知A(-3,2),B(-4,0)C(-1,0),以AB为对角线时,得出平行四边形ACBD1,D1的坐标是(-6,2),以AC为对角线时,得出平行四边形ABCD2,D2的坐标是(0,2),以BC为对角线时,得出平行四边形ABD3C,D3的坐标是(-2,-2),(2)解:以C为原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,D的坐标是(-1,2),(1,2),(-5,2),故答案为:(-1,2)或(1,2)或(-5,2).【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用,主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算,注意:一定要进行分类讨论.举一反三【变式】(2016•呼伦贝尔)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.【答案】证明:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC,又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴AB=2AF∴AF=BC,在Rt△AFE和Rt△BCA中,,∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL),∴AC=EF;(2)∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD,∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB,∴EF∥AD,∵AC=EF,AC=AD,∴EF=AD,∴四边形ADFE是平行四边形.2、类比学习:一动点沿着数轴向右平移3个单位,再向左平移2个单位,相当于向右平移1个单位.用实数加法表示为3+(-2)=1.若坐标平面上的点作如下平移:沿x轴方向平移的数量为a(向右为正,向左为负,平移|a|个单位),沿y轴方向平移的数量为b(向上为正,向下为负,平移|b|个单位),则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量”;“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}.解决问题:(1)计算:{3,1}+{1,2};{1,2}+{3,1};(2)①动点P从坐标原点O出发,先按照“平移量”{3,1}平移到A,再按照“平移量”{1,2}平移到B;若先把动点P按照“平移量”{1,2}平移到C,再按照“平移量”{3,1}平移,最后的位置还是点B吗?在图1中画出四边形OABC.②证明四边形OABC是平行四边形.(3)如图2,一艘船从码头O出发,先航行到湖心岛码头P(2,3),再从码头P航行到码头Q(5,5),最后回到出发点O.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.【思路点拨】(1)本题主要是类比学习,所以关键是由给出的例题中找出解题规律,即前项加前项,后项加后项.(2)根据题中给出的平移量找出各对应点,描出各点,顺次连接即可.(3)根据题中的文字叙述列出式子,根据(1)中的规律计算即可.【答案与解析】【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换,解答本题关键是仔细审题,理解题目给出的信息,对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答,一定要按照题目给出的思路求解,克服思维定势.举一反三:【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位,再向左平移2个单位,相当于向右平移3个单位.用实数加法表示为5+(-2)=3.若平面直角坐标系xOy中的点作如下平移:沿x轴方向平移的数量为a(向右为正,向左为负,平移|a|个单位),沿y轴方向平移的数量为b(向上为正,向下为负,平移|b|个单位),则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量”.规定“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}.(1)计算:{3,1}+{1,2};(2)若一动点从点A(1,1)出发,先按照“平移量”{2,1}平移到点B,再按照“平移量”{-1,2}平移到点C;最后按照“平移量”{-2,-1}平移到点D,在图中画出四边形ABCD,并直接写出点D的坐标;(3)将(2)中的四边形ABCD以点A为中心,顺时针旋转90°,点B旋转到点E,连结AE、BE若动点P从点A出发,沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周.请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程.【答案】解:(1){3,1}+{1,2}={4,3};(2)B点坐标为:(1+2,1+1)=(3,2);C点坐标为:(3-1,2+2)=(2,4);D点坐标为:(2-2,4-1)=(0,3);①如图所示:②D(0,3).(3)点A至点E,向右平移1个单位,向下平移2个单位;点E至点B,向右平移1个单位,向上平移3个单位;点B至点A,向左平移2个单位,向下平移1个单位;故动点P的平移过程可表示为:{1,-2}+{1,3}+{-2,-1}.3、如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 经过点O ,分别与AB ,CD 的延长线交于点E ,F .求证:四边形AECF 是平行四边形.【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种,选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些,本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形,可证OF=OE ,OA=OC ,根据条件在图形中的位置,可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决. 【答案与解析】证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OD=OB ,OA=OC ,∵AB ∥CD ,∴∠DFO=∠BEO ,∠FDO=∠EBO ,∴在△FDO 和△EBO 中,,===DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO ≌△EBO (AAS ),∴OF=OE ,∴四边形AECF 是平行四边形.【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、(2015•河南模拟)如图,△ABC 中AB=AC ,点D 从点B 出发沿射线BA 移动,同时,点E 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动,已点知D 、E 移动的速度相同,DE 与直线BC 相交于点F .(1)如图1,当点D 在线段AB 上时,过点D 作AC 的平行线交BC 于点G ,连接CD 、GE ,判定四边形CDGE 的形状,并证明你的结论;(2)过点D作直线BC的垂线垂足为M,当点D、E在移动的过程中,线段BM、MF、CF有何数量关系?请直接写出你的结论.【思路点拨】(1)由题意得出BD=CE,由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB,由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB,得出∠B=∠DGB,证出BD=GD=CE,即可得出结论;(2)由(1)得:BD=GD=CE,由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM,由平行线得出GF=CF,即可得出结论.【答案与解析】解:(1)四边形CDGE是平行四边.理由如下:如图1所示:∵D、E移动的速度相同,∴BD=CE,∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠DGB,∴BD=GD=CE,又∵DG∥CE,∴四边形CDGE是平行四边形;(2)BM+CF=MF;理由如下:如图2所示:由(1)得:BD=GD=CE,∵DM⊥BC,∴BM=GM,∵DG∥AE,∴GF=CF,∴BM+CF=GM+GF=MF.【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质;熟练掌握等腰三角形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.举一反三【变式】如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.(1)求证:BE=DF;(2)若M、N分别为边AD、BC上的点,且DM=BN,试判断四边形MENF的形状(不必说明理由).【答案】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,∴∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF(AAS),∴BE=DF;(2)四边形MENF是平行四边形.证明:由(1)可知:BE=DF,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠MDB=∠NBD,∵DM=BN,∴△DMF≌△BNE,∴NE=MF,∠MFD=∠NEB,∴∠MFE=∠NEF,∴MF∥NE,∴四边形MENF是平行四边形.5、如图,已知在ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA 和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.(1)求证:四边形GEHF是平行四边形;(2)若点G、H分别在线段BA和DC上,其余条件不变,则(1)中的结论是否成立?(不用说明理由)【思路点拨】(1)先由平行四边形的性质,得AB=CD ,AB ∥CD ,根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF .再由SAS 可证△GBE ≌△HDF ,利用全等的性质,证明∠GEF=∠HFE ,从而得GE ∥HF ,又GE=HF ,运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证.(2)仍成立.可仿照(1)的证明方法进行证明.【答案与解析】(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD ,AB ∥CD ,∴∠GBE=∠HDF .又∵AG=CH ,∴BG=DH .又∵BE=DF ,∴△GBE ≌△HDF .∴GE=HF ,∠GEB=∠HFD ,∴∠GEF=∠HFE ,∴GE ∥HF ,∴四边形GEHF 是平行四边形.(2)解:仍成立.(证法同上)【总结升华】本题考查的知识点为:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.举一反三 【变式】如图,ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于O 点,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,BG ⊥AG 于G ,DH ⊥AC 于H .求证:四边形GEHF 是平行四边形.【答案】证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BO=DO ,AO=CO ,AB=CD ,AB ∥CD ,∴∠ABD=∠CDB ,∵AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,∴∠AEB=∠CFD=90°,在△ABE 和△CDF 中,,===AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CDF (AAS ),∴BE=DF ,∴BO-BE=DO-DF ,即:EO=FO,同理:△ABG≌△CDH,∴AG=CH,∴AO-AG=CO-CH,即:GO=OH,∴四边形GEHF是平行四边形.。
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平行四边形全章复习与巩固(提高)【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质:(1)对边平行且相等;(2)对角相等;邻角互补;(3)对角线互相平分;(4)中心对称图形.3.面积:高底平行四边形⨯=S4.判定:边:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角:(6)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形; 对角线:(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释:平行线的性质:(1)平行线间的距离都相等;(2)等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质:(1)具有平行四边形的所有性质;(2)四个角都是直角;(3)对角线互相平分且相等;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:宽=长矩形⨯S4.判定:(1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释:由矩形得直角三角形的性质:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)直角三角形中,30度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点三、菱形1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质:(1)具有平行四边形的一切性质;(2)四条边相等;(3)两条对角线互相平分且垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:2对角线对角线高==底菱形⨯⨯S 4.判定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质:(1)对边平行;(2)四个角都是直角;(3)四条边都相等;(4)对角线互相垂直平分且相等,对角线平分对角;(5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;(6)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:=S 正方形边长×边长=12×对角线×对角线 4.判定:(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)一组邻边相等的矩形是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;(6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、(2015•海淀区二模)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,D是BC边上一点,以AD为边作△ADE,使AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示);(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:BD=CD;②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF.【思路点拨】(1)由在△A BC中,AB=AC,∠ABC=α,可求得∠BAC=180°﹣2α,又由AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°,可求得∠DAE=2α,继而求得∠ADE的度数;(2)①由四边形ABFE是平行四边形,易得∠EDC=∠ABC=α,则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,证得AD⊥BC,又由AB=AC,根据三线合一的性质,即可证得结论;②由在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,可得∠B=∠C=α,四边形ABFE是平行四边形,可得AE∥BF,AE=BF.即可证得:∠EAC=∠C=α,又由(1)可证得AD=CD,又由AD=AE=BF,证得结论.【答案与解析】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,∴∠BAC=180°﹣2α,∵∠DAE+∠BAC=180°,∴∠DAE=2α,∵AE=AD,∴∠ADE=90°﹣α;(2)①证明:∵四边形ABFE是平行四边形,∴AB∥EF.∴∠EDC=∠ABC=α,由(1)知,∠ADE=90°﹣α,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD;②证明:∵AB=AC,∠ABC=α,∴∠C=∠B=α.∵四边形ABFE是平行四边形,∴AE∥BF,AE=BF.∴∠EAC=∠C=α,由(1)知,∠DAE=2α,∴∠DAC=α,∴∠DAC=∠C.∴AD=CD.∵AD=AE=BF,∴BF=CD.∴BD=CF.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意(2)①中证得AD⊥BC是关键,(2)②中证得AD=CD是关键.举一反三:【变式】已知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF,求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积.【答案】证明:∵ AB=3,AC=4,BC=5,∴∠BAC=90°∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形,∴AB=BD=AD,AC=AE=CE,BC=BF=FC ,∠1+∠FBA=∠2+∠FBA=60°∴∠1=∠2易证△BAC≌△BDF(SAS),∴DF=AC=AE=4,∠BDF=90°同理可证△BAC≌△FEC∴AB=AD=EF=3∴四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)∵DF∥AE,DF⊥BD延长EA交BD于H点,AH⊥BD,则H为BD中点∴平行四边形AEFD的面积=DF×DH=4×32=6.2、(2016•菏泽)如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.【思路点拨】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DE=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可.【答案与解析】解:(1)∵D、G分别是AB、AC的中点,∴DG∥BC,DG=BC,∵E、F分别是OB、OC的中点,∴EF∥BC,EF=BC,∴DG=EF,DG∥EF,∴四边形DEFG是平行四边形;(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°,∵M为EF的中点,OM=3,∴EF=2OM=6.由(1)有四边形DEFG是平行四边形,∴DG=EF=6.【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质,三角形的中位线,直角三角形的性质,解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形.类型二、矩形3、如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD 的面积.【答案与解析】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=0B=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即:OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是矩形;(2)解:∵G是OC的中点,∴GO=GC,∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°,又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD=OD,∵F是BO中点,OF=2cm,∴BO=4cm,∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4cm,∴DC=4cm,DB=8cm,==.∴矩形ABCD的面积=4×2【总结升华】本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.举一反三:【变式】(2015秋•抚州校级期中)在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F 在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=9,BF=12,DF=15,求证:AF平分∠DAB.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,即DF∥BE,又∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形,又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形DEBF为矩形;(2)∵四边形DEBF为矩形,∴∠BFC=90°,∵CF=9,BF=12,∴BC==15,∴AD=BC=15,∴AD=DF=15,∴∠DAF=∠DFA,∵AB∥CD,∴∠FAB=∠DFA,∴∠FAB=∠DFA,∴AF平分∠DAB.4、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4.过点A作AE⊥AB且AB=AE,过点E分别作EF⊥AC,ED⊥BC,分别交AC和BC的延长线与点F,D.若FC=5,求四边形ABDE的周长.【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF,即可得出BC=AF,AC=EF,再利用勾股定理得出AB 的长,进而得出四边形EFCD是矩形,求出四边形ABDE的周长即可.【答案与解析】解:∵∠ACB=90°,AE⊥AB,∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°.∴∠B=∠2.∵EF⊥AC,∴∠4=∠5=90°.∴∠3=∠4.在△ABC和△EAF中,∵342BAB AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,∴△ABC≌△EAF(AAS).∴BC=AF,AC=EF.∵BC=4,∴AF=4.∵FC=5,∴AC=EF=9.在Rt△ABC中,AB=.∵ED⊥BC,∴∠7=∠6=∠5=90°.∴四边形EFCD是矩形.∴CD=EF=9,ED=FC=5.∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA+4+9+5=18+.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识,根据已知得出AC=EF=9是解题关键.类型三、菱形5、如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC.对角线AC,BD 相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.【思路点拨】(1)当旋转角为90°时,∠AOF=90°,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形;(2)证明△AOF≌△COE即可;(3)当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形,又由AB⊥AC,AB=1,易求得OA=AB,即可得∠AOB=45°,求得∠AOF=45°,则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°.【答案与解析】(1)证明:当∠AOF=90°时,AB∥EF,又AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形.(2)证明:四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,∠FAO=∠ECO,∠AOF=∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF=CE(3)四边形BEDF可以是菱形.理由:如图,连接BF,DE,由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,∴EF与BD互相平分.∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.AC==,在Rt△ABC中,2∴OA=1=AB,又AB⊥AC,∴∠AOB=45°,∴∠AOF=45°,∴AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.【总结升华】要证明四边形是菱形,先证明这个四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三:【变式】已知:如图所示,BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交AB于E,交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明:∵EF是BD的垂直平分线,∴EB=ED,∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD= ∠FBD,∴∠FBD=∠EDB,ED∥BF. 同理,DF∥BE,∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB=ED,∴四边形BFDE是菱形.类型四、正方形6、正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.(1)求证:EF=FM;(2)当AE=1时,求EF的长.【答案与解析】解:(1)证明:∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM,∴D E =DM ,∠EDM=90°,∴∠EDF+∠FDM=90°,∵∠EDF=45°,∴∠FDM=∠EDF =45°,在△DEF 和△DMF 中,DE DM EDF MDFDF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DEF≌△DMF(SAS ),∴EF=MF ;(2)设EF =MF =x ,∵AE=CM =1,且BC =3,∴BM=BC +CM =3+1=4,∴BF=BM -MF =BM -EF =4-x ,∵EB=AB -AE =3-1=2,在Rt△EBF 中,由勾股定理得EB 2+BF 2=EF 2,即()22224x x +-=, 解得:52x =,则EF =52. 【总结升华】此题考查了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,以及勾股定理,利用了转化及方程的思想,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.举一反三:【变式】如图(1),正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ,且B 、C 、E 在一直线上,连接BG 、DE .(1)请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系?并说明理由.(2)若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后,如图(2),BG 和DE 是否还存在上述关系?若存在,试说明理由;若不存在,也请你给出理由.【答案】解:(1)BG =DE ,BG ⊥DE ;理由是:延长BG 交DE 于点H ,因为BC =DC ,CG =CE ,∠BCG =∠DCE所以△BCG ≌△DCE ,所以BG =DE ,∠GBC =∠CDE .由于∠CDE +∠CED =90°,所以∠GBC +∠DEC =90°, 得∠BHE =90°.所以BG ⊥DE.(2)上述结论也存在.理由:设BG 交DE 于H ,BG 交DC 于K ,同理可证△BCG ≌△DCE ,得BG =ED ,∠KBC =∠KDH .又因为∠KBC +∠BKC =90°,可得∠DKH +∠KDH =90°,从而得∠KHD =90°.所以BG ⊥DE.7、探究:如图①,在四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCD=90°,AB =AD ,AE⊥CD 于点E .若AE =10,求四边形ABCD 的面积.应用:如图②,在四边形ABCD 中,∠ABC+∠ADC=180°,AB =AD ,AE⊥BC 于点E .若AE =19,BC =10,CD =6,则四边形ABCD 的面积为_______.【思路点拨】探究:过点A 作AF⊥CB,交CB 的延长线于点F ,先判定四边形AFCE 为矩形,根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°,然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD,再利用“角角边”证明△AFB 和△AED 全等,根据全等三角形对应边相等可得AE =AF ,从而得到四边形AFCE 是正方形,然后根据正方形的面积公式列计算即可得解;应用:过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ,连接AC ,根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF,然后利用“角角边”证明△ABE 和△ADF 全等,根据全等三角形对应边相等可得AF =AE ,再根据ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形列式计算即可得解.【答案与解析】解:探究:如图①,过点A 作AF⊥CB,交CB 的延长线于点F ,∵AE⊥CD,∠BCD=90°,∴四边形AFCE 为矩形,∴∠FAE=90°,∴∠FAB+∠BAE=90°,∵∠EAD+∠BAE=90°,∴∠FAB=∠EAD,∵在△AFB 和△AED 中,90FAB EAD F AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△AFB≌△AED(AAS ),∴AF=AE ,∴四边形AFCE 为正方形,∴AFCE ABCD S S =正方形四边形=2210AE ==100;应用:如图,过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ,连接AC ,则∠ADF+∠ADC=180°,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADF,∵在△ABE 和△ADF 中,90ABC ADF AEB F AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△ADF(AAS ),∴AF=AE =19,∴ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形 =12BC•AE+12CD•AF =12×10×19+12×6×19 =95+57=152.故答案为:152.【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,(1)作辅助线构造出全等三角形是解题的关键;(2)作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键.。