_学年高中数学4.2圆周率同步精练北师大版选修3_1

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北师大版高中数学选修3-1圆周率练习.docx

圆周率练习1．关于圆周率的最早记录出自( )A．《周髀算经》B．《九章算术》C．莱茵德草卷D．《几何原本》2．世界上第一个把π计算到3.141 592 6＜π＜3.141 592 7的数学家是( ) A．刘徽B．阿基米德C．祖冲之D．卡瓦列利3．最早用穷竭法研究圆周率的数学家是( )A．阿基米德B．安提丰C．刘徽D．布里松4．证明π是无理数的数学家是( )A．高斯B．阿基米德C．兰伯特D．林德曼5．圆周率的计算是我国古代数学史上的伟大的成就之一，很久以前我们的祖先就发现圆的周长和直径之比是一个定数，这个定数被命名为圆周率．那么圆周率在不断地精确过程中有哪些突出的成就呢？6．查找资料，了解阿基米德与穷竭法．7. 如图所示，已知直线y=2x+3与抛物线y=x2交于A，B两点，试用阿基米德穷竭法求抛物弓形AOB的面积．参考答案1．答案：C2．答案：C3．答案：B4．答案：C5．答：①《周髀算经》，采用的圆周率是“周三径一”，即π＝3；②魏晋时期刘徽创立割圆术，为计算圆周率建立了严密理论和算法，求出π≈3.141 6，采用了极限思维，是近代微积分思想的萌芽；③祖冲之求出的圆周率，在3.141 592 6和3.141 592 7之间，并且确立两个分数形式的近似值：约率和密率，祖冲之的成果在世界上一直领先了1 000年．6．答：在古希腊，利用穷竭法作出重要贡献的是阿基米德，阿基米德(Archime d es ，公元前287—前212)出生于意大利西西里岛的叙拉古，是古希腊最杰出的数学家、力学家，他的几何著作成为古希腊数学的顶峰，他的数学著作主要有《圆的度量》《论球与圆柱》《抛物线求积法》《论螺线》等．在这些著作中，阿基米德巧妙地将穷竭法与原子论观点结合起来，通过严密的计算，获得了许多重要的结果，例如他在《抛物线求积法》一书中，使用穷竭法求出了抛物线弓形的面积，他的方法简述如下：作三角形ABC ，设其面积为S 1，其中l 1∥AC ，B 是切点，再作抛物线的切线l 2和l 3使之分别平行于AB 和BC ，切点分别是D 和E ，再作三角形ADB 和三角形BEC (如图)，设两个三角形面积之和为S 2，用A 1表示S 1，A 2表示S 1+S 2，那么用完全同样的方法可以得到A n =S 1+S 2+…+S n .很明显，只要取n 足够大，弓形面积S 与A n 的差S -A n 就可以任意小．由抛物线的性质可知S 1=4S 2，∴A n ＝S 1＋1111121141444334n n S S S S S --++⋅⋅⋅+=-⋅. 最后，阿基米德用反证法证明了S ＝143S . 特别要提到的是，阿基米德在计算以他的名字命名的曲线——阿基米德螺线第一周围成的区域的面积时，使用了类似于现代积分学中的大和、小和的概念．他的用法，用今天的符号表示就是：将2π n 等分，在每一部分上作出顶角2nπ的内接圆扇形和外接圆扇形(如下图)，它们的面积之和，分别用A n 与S n 表示，显然所求之面积S 满足不等式A n ＜S ＜S n ，经过计算A n ＝324111132a n n π⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， S n ＝324111132a n n π⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，于是，对任意的n ，有A n ＜3243a π＜S n .阿基米德经过猜测，并使用反证法进行了证明，得出螺线第一周所围成的面积S ＝3243a π. 阿基米德突破了传统的有限运算，大胆地采用了无限逼近的思想，从而将穷竭法发展到了高峰，但是由于当时没有极限概念，不承认无限，因此，穷竭法仍是有限的形式，并且局限在几何直观上，运算也很烦琐，所以自阿基米德之后，很长时间没有被人重视．尽管这种方法有很大的缺点，但是，他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽．7. 分析：可以求出弦AB 的中点C ，过C 作y 轴的平行线交抛物线与点D ，这样抛物弓形AOB 的面积是△ABD 面积的43，因此我们只要求△ABD 的面积即可．解：设A ，B 两点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有2,23,y x y x ⎧=⎨=+⎩解得12121,3,1,9.x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ∴A (－1,1)，B (3,9)，中点C (1,5)．过中点C(1,5)作y 轴的平行线交抛物线于D(1,1)，再求△ABD 的面积． |AB|=[]223(1)(91)4 5.--+-=点D 到直线AB 的距离为d ＝21134455415⨯-+==+. ∴S △ABD ＝12|AB |·d ＝1454525⨯⨯＝8. ∴抛物弓形AOB 的面积为S ＝43S △ABD ＝432833⨯=.。

高二数学(北师大版)选修3-1同步精练：第六章 2 哥尼斯堡七桥问题 Word版含答案

哥尼斯堡七桥问题练习1．欧拉出生于( )A．瑞士B．俄国C．德国D．英国2．欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成图进行讨论，影响深远，推动了两门新生数学分支的诞生，这两门数学分支是( )A．群论和图论B．运筹学和图论C．图论和拓扑学D．控制论和拓扑学3．被人们形容为“橡皮泥的几何学”的数学分支是( )A．立体几何B．解析几何C．拓扑学D．图论4．1727年，推荐欧拉到圣彼得堡科学院工作的数学家是 ( )A．约翰·贝努利B．丹尼尔·伯努利C．高斯D．莱布尼茨5．用f(x)表示函数的首创数学家是( )A．欧拉B．莱布尼茨C．牛顿D．高斯6．欧拉的三本书____________、________和________称为微积分发展史上里程碑式的著作．7．欧拉在《无穷分析引论》中给出了著名的极限________，其中e为自然对数的底．8．在下图的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数．现在已经填好两个数，那么X＝________.9．你能笔尖不离纸，一笔画出下图所示的每个图形吗？10．下图是用小华制的“四巧板”拼成的“船”．如果画在一张纸上你能否用剪刀一次连续剪下“船”中的每个图形？11．上网查找欧拉的事迹并整理．参考答案1．答案：A2．答案：C3．答案：C4．答案：B5．答案：A6．答案：《无穷分析引论》《微分学》《积分学》7．答案：1lim1xx x→∞⎛⎫+⎪⎝⎭＝e8．解析：为了说明的方便，余下的四个圆圈分别用A，B，C，D四个字母来表示(如下图)由每一条直线上三个数的关系知A＝(13＋17)÷2＝15C＝(15＋B)÷2＝(17＋D)÷2①D＝(13＋B)÷2②从①式中知，B比D大2，那么②式可写成D＝(13＋D＋2)÷2D＝15所以C＝(17＋15)÷2＝16(13＋X)÷2＝16所以X＝19.答案：199．答：图(a)有两个奇数顶点，可从任一“奇数顶点”出发，以另一“奇数顶点”为终点一笔画出．A→B→C→A→D；图(b)、图(c)都是“偶数顶点”的连通图，可从任一点出发，一笔画出．如图(b)A→G→C→B→F→H→B→A，图(c)A→B→E→B→C→I→J→F→E→D→F→J→H→I→C→A.10．答：能一次连续剪下图中的四个图形，要求剪刀必须连续剪过图中所有的线，即问题的实质是这个图能否一笔画．显然，图中只有两个“奇数点”A，D，因此，可以很快判断能办到，剪刀所走的路线可以是：A→B→C→A→D→C→G→H→I→J→G→F→E→D.11．答：欧拉 (Euler，Léonh a r d,1707—1783)，瑞士数学家.1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡．他生于牧师家庭.15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位.1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国.1733年接替丹尼尔伯努利成为圣彼得堡科学院数学教授．他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作.1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久．在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学，这些工作和他的数学研究相互推动．欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的.1766年他又回到了圣彼得堡．欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一．他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域．他又是一个多产作者．他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷分析引论》《微分学》《积分学》都成为数学中的经典著作．除了教科书外，他的全集有74卷．18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科．值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》．欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等．欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式.1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论．这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的一个里程碑．欧拉在分析学上的贡献不胜枚举．如他引入了Г函数和B函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分，等等．数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的．他还解决了著名的组合问题：哥尼斯堡七桥问题．在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．欧拉是历史上最多产的一位数学家．他生前发表的著作与论文有560 余篇，并遗留下大量手稿，甚至在他去世80 年后，圣彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作.1911 年瑞士自然科学协会开始出版欧拉全集，现已出版70 多卷，计划出齐84 卷，都是大四开本．欧拉的研究涉足众多领域．他扩展了微积分领域，为无穷级数、微分方程、微分几何学等分支和学科的产生与发展奠定了基础；开创了现代三角学和现代数论；还由解决哥尼斯堡七桥问题而引发图论分支的研究等等．除创建纯粹数学理论外，他还应用这些数学工具去解决天文学、物理学、力学等方面的实际问题，取得巨大成果．此外，欧拉扶植后学，关心教育．在欧拉48 岁时，年仅19 岁的法国青年学者拉格朗日与欧拉通信，讨论“等周问题”，欧拉也在研究这个问题．后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名．欧拉出色的工作和高尚的品德赢得后人的广泛尊敬，著名数学家拉普拉斯曾说过：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师．”。

北师大版九年级数学下册第三章《圆》3

北师大版九年级数学下册第三章《圆》3.1同步练习题（含答案）一、选择题1、已知⊙O 与点P 在同一平面内，若⊙O 的半径为5，线段OP 的长为4，则点P( ) A ．在⊙O 上 B ．在⊙O 内C ．在⊙O 外D ．在⊙O 上或在⊙O 内 2、下列说法错误的是( ) A ．圆有无数条直径B ．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C ．过圆心的线段是直径D ．能够重合的圆叫做等圆 3、下列说法正确的是( ) A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C ．在同圆中，相等的弦所对的弧相等D ．相等的弦所对的圆心角相等4、如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，AE ︵＝BD ︵.若∠AOE ＝32°，则∠COE 的度数是( ) A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°5、如图，在⊙O 中，AC ︵＝2AB ︵，则以下数量关系正确的是( ) A ．AB ＝ACB ．AC ＝2ABC ．AC ＜2ABD ．AC ＞2AB6、如图，已知AD ︵＝BC ︵，则AB 与CD 的关系为( ) A ．AB ＝CDB ．AB>CDC ．AB<CD D ．不能确定7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝35，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP.如果⊙P 是以点P 为圆心、PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A ．点B ，C 均在⊙P 外B ．点B 在⊙P 外，点C 在⊙P 内C ．点B 在⊙P 内，点C 在⊙P 外D ．点B ，C 均在⊙P 内二、填空题8、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆．若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是____；9、已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB.如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是____．10、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE.若弦BE ＝3，则弦CE ＝____．11、如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是____12、如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，则∠A 的度数是____13、如图，AB 为⊙O 的直径，△PAB 的边PA ，PB 与⊙O 的交点分别为C ，D.若AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，则∠P 的大小为____三、解答题14、如图，Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，斜边AB 上的高为CD.若以点C 为圆心，分别以r 1＝2 cm ，r 2＝2.4 cm ，r 3＝3 cm 为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系．15、如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳共2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)，手臂肩部距地面 1.5 m ．当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图．16、如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA 交⊙A 于点G.求证：GE ︵＝EF ︵.17、如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为15千米/时，受影响区域的半径为100千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P160千米处．(1)说明本次台风会影响B 市； (2)求这次台风影响B 市的时间．18、如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵.19、如图，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，求证：AD ＝BE.参考答案一、选择题1、已知⊙O 与点P 在同一平面内，若⊙O 的半径为5，线段OP 的长为4，则点P(B) A ．在⊙O 上 B ．在⊙O 内C ．在⊙O 外D ．在⊙O 上或在⊙O 内 2、下列说法错误的是(C)A ．圆有无数条直径B ．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C ．过圆心的线段是直径D ．能够重合的圆叫做等圆 3、下列说法正确的是(B)A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C ．在同圆中，相等的弦所对的弧相等D ．相等的弦所对的圆心角相等4、如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，AE ︵＝BD ︵.若∠AOE ＝32°，则∠COE 的度数是(D) A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°5、如图，在⊙O 中，AC ︵＝2AB ︵，则以下数量关系正确的是(C) A ．AB ＝ACB ．AC ＝2ABC ．AC ＜2ABD ．AC ＞2AB6、如图，已知AD ︵＝BC ︵，则AB 与CD 的关系为(A) A ．AB ＝CDB ．AB>CDC ．AB<CD D ．不能确定7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝35，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP.如果⊙P 是以点P 为圆心、PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是(C)A ．点B ，C 均在⊙P 外B ．点B 在⊙P 外，点C 在⊙P 内 C ．点B 在⊙P 内，点C 在⊙P 外D ．点B ，C 均在⊙P 内二、填空题8、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆．若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是3＜r ＜5；9、已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB.如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是点B 在⊙C 外．10、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE.若弦BE ＝3，则弦CE ＝3．11、如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是120°．12、如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，则∠A 的度数是28°．13、如图，AB 为⊙O 的直径，△PAB 的边PA ，PB 与⊙O 的交点分别为C ，D.若AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，则∠P 的大小为60°．三、解答题14、如图，Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，斜边AB 上的高为CD.若以点C 为圆心，分别以r 1＝2 cm ，r 2＝2.4 cm ，r 3＝3 cm 为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系．解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB ＝5 cm ，则CD ＝AC ·BCAB＝2.4 cm.①当r 1＝2 cm 时，2.4＞2，点D 在圆外； ②当r 2＝2.4 cm 时，点D 在圆上； ③当r 3＝3 cm 时，2.4＜3，点D 在圆内15、如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳共2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)，手臂肩部距地面 1.5 m ．当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图．解：小狗在地面上环绕的圆的半径为r ＝ 2.52－1.52＝2.0(m)，S ＝πr 2＝4π(m 2)．故小狗在平整的地面上活动的最大区域是以2.0 m 为半径的圆，其面积为4π m 2.如图：16、如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA交⊙A 于点G.求证：GE ︵＝EF ︵.证明：连接AF. ∵AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF. ∴∠GAE ＝∠EAF.∴GE ︵＝EF ︵.17、如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为15千米/时，受影响区域的半径为100千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P160千米处．(1)说明本次台风会影响B 市； (2)求这次台风影响B 市的时间．解：(1)作BH ⊥PQ 于点H ，在Rt △BHP 中，由条件知，PB ＝160千米，∠BPQ ＝75°－45°＝30°， ∴BH ＝160sin30°＝80千米＜100千米． ∴本次台风会影响B 市． (2)若台风中心移动到P 1时，台风开始影响B 市，台风中心移动到P 2时，台风影响结束，由(1)得BH ＝80千米，由条件得BP 1＝BP 2＝100千米， ∴P 1P 2＝21002－802＝120(千米)．∴台风影响B 市的时间t ＝12015＝8(小时)．答：台风影响B 市的时间为8小时．18、如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，∴OM ＝ON. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠OMC ＝∠OND ＝90°.在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND(HL)． ∴∠COM ＝∠DON.∴AC ︵＝BD ︵.19、如图，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，求证：AD ＝BE.证明：连接OC. ∵AC ︵＝CB ︵，∴∠AOC ＝∠BOC. ∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°.在△COD 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS)．∴OD ＝OE.∵AO ＝BO ，∴AD ＝BE.。

北师大数学选修同步作业：第3章变化率与导数作业含解析

课时作业(十八)1．函数y ＝x·lnx 的导数是( ) A ．x B.1x C ．lnx ＋1 D ．lnx ＋x答案 C解析 y ′＝x ′·lnx ＋x·(lnx)′＝lnx ＋x·1x ＝lnx ＋1.2．下列求导数运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x)′＝1xln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cosx)′＝－2xsinx 答案 B3．函数y ＝x cosx 的导数是( )A.1＋x cosxB.cosx －xsinx cos 2xC.cosx ＋x cos 2xD.cosx ＋xsinx cos 2x答案 D解析 y ′＝x ′cosx －x （cosx ）′cos 2x ＝cosx ＋xsinxcos 2x .4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1＋x ，则f ′(x)＝( ) A.11＋x B ．－11＋xC.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）2答案 D解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x ＋1， ∴f(x)＝1x ＋1. ∴f ′(x)＝－1（1＋x ）2.5．已知f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193B.163C.133D.103答案 D解析 f ′(x)＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，a ＝103.6．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫23π，π B.⎝⎛⎦⎤π2，56π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫56π，π D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π 答案 D解析由y ′＝3x 2－3易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.7．设函数f(x)＝g(x)＋x 2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析依题意得f ′(x)＝g ′(x)＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.8．(高考真题·天津卷)已知函数f(x)＝axlnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x)为f(x)的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析因为f ′(x)＝a(1＋lnx)，所以f ′(1)＝a ＝3.9．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A(1，3)，则b 的值为________．答案 3解析由已知点A 为切点，∴3＝k ＋1，∴k ＝2，即切线方程为y ＝2x ＋1.且当x ＝1时y ′＝3＋a ＝2.又∵3＝13＋a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.10．已知f(x)＝alnx ＋bx 2＋x ，且x ＝1与x ＝2是方程f ′(x)＝0的两个实数根，则a ＝________，b ＝________．答案－23 －1611．(2018·课标全国Ⅲ，理)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________．答案－3解析 y ′＝a·e x ＋(ax ＋1)·e x ＝e x ·(ax ＋a ＋1)，据题意e 0·(a·0＋a ＋1)＝－2，∴a ＝－3. 12．求下列函数的导数： (1)f(x)＝x 2sinx ＋2cosx ；(2)f(x)＝e x ＋1e x －1.解析 (1)f ′(x)＝2xsinx ＋x 2cosx －2sinx. (2)f ′(x)＝e x （e x －1）－（e x ＋1）e x（e x －1）2＝e 2x －e x －e 2x －e x （e x －1）2＝－2e x （e x －1）2. 13．已知函数f(x)＝x ，g(x)＝alnx ，a ∈R .若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解析 f ′(x)＝12x ，g ′(x)＝ax (x>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝alnx ，12x ＝a x.解得a ＝12e ，x ＝e 2. ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e ，所以切线的方程为y －e ＝12e (x－e 2)，即x －2ey ＋e 2＝0.14．在曲线y ＝x 3－x 上有两个点O(0，0)、A(2，6)，求弧OA 上点P 的坐标，使△AOP 的面积最大．解析由题意知，使△AOP 面积最大，则点P 在与OA 平行且与曲线相切的直线的切点处．因为k OA ＝3，所以过弧OA 上点P 且与OA 平行的直线的斜率k ′＝k OA ＝3.所以k ′＝y ′＝3x 2－1＝3.所以3x2＝4.所以x＝233或x＝－233(舍去)．所以x＝233，y＝239，即P⎝⎛⎭⎫233，239.15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，和直线l：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解析(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)∵直线l恒过定点(0，9)，先求直线l是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0，3x02＋6x0＋12)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x02＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0，9)代入，得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.∴公切线是y＝9.又由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12.∴x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.∴公切线不是y＝12x＋9.综上所述公切线是y＝9，此时存在k＝0.。

北师大版-数学-六年级上册-《圆的周长》同步精练

圆的周长一、选择填空1、车轮滚动一周，前进的距离是求车轮的（）A.半径B.直径C.周长2、2、圆的周长是直径的（）倍。

A. 3.14B. πC. 33、3、大圆的周长除以直径的商（）小圆的周长除以直径的商。

A. 大于B. 小于C.等于4、圆周率π（）3.14。

A.大于B.等于C.小于5、一个圆的周长是62.8M，它的半径是（）。

A.3.14MB.10MC.20M6、一个圆的半径扩大为原来的4倍，它的周长就扩大为原来的（）倍。

A.4B.6C.87、小圆的直径和大圆的半径都是6厘米，小圆的周长是大圆周长的（）。

A.1/2B.1/4C.1/68、两根一样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，这两个图形的周长相比，（）。

A.圆的周长长B.正方形的周长长C.一样长9、一个圆的半径扩大2倍，那么它的周长扩大（）。

A、2倍B、4倍C、6倍D、8倍10、下面各图形中，对称轴最多的是（）。

A、正方形B、圆C、等腰三角形 D.梯形11、绕半径是2米的圆形花坛一周是所走的路程是（）A.25.12米B. 12.56米C. 25.1米D.6.28米12、甲乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从A点出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走（）先到起点。

A. 甲B. 乙C. 同时D.无法确定13、甲乙两人从A地到B地，分别选择⑴、⑵两条路线，所走过的路程是（）A. ⑴条长B. ⑵条长C. ⑴⑵同样长D.由于它们半径长度不知道，无法比较 14、在长5厘米，宽3厘米的圆中，画两个最大的等圆，这两个圆的周长之和是（）厘米。

A.9.42B.18.84C. 7.85D. 15.715、把一个圆沿着直径剪成两半后，得到的半圆的周长（）。

A.是整圆周长的一半B.比圆周长多一个半径C. 比圆周长的21多两个半径 D.用c=2πr ，求出来的结果，就是半圆的周长 16、圆的周长是这个圆半径（）倍A.6B.2πC.3.14D.6.28 17、圆的半径增加2厘米，它的周长就增加了（）厘米。

高二数学(北师大版)选修3-1同步精练：第二章 3 数学符号 Word版含答案

数学符号练习1．下列符号中哪些不是欧拉发明的( )①函数符号y＝f(x) ②自然对数的底e ③积分符号∫④根号⑤求和符号∑A．①② B．①②⑤ C．③④ D．④⑤2．请用文字叙述公式S球＝4πR2.3．举例说明莱布尼茨在数学符号史上的贡献．4．试把我们常用的数学符号⊥、∧、∩、≠、≡、≤、≈、∶、√、÷、∪、∑、∈、∥、∝、×、π(圆周率)、∠、～、±、∫、≥、≌、∨、△、⊙、⌒按几何符号、代数符号、运算符号、集合符号、特殊符号进行分类．5．查找资料，了解三角函数符号的使用历史．参考答案1．答案：C2．答：先计算R的平方，然后与π的4倍相乘，所得结果即为球的表面积．3．答：莱布尼茨是数学史上最伟大的符号大师之一，他曾经说过：“要发明，就要挑选恰当的符号，用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动．”他用拉丁文Summa(求和)的第一个字母S的拉长——∫表示积分和用dy，dx表示微分，这些符号沿用至今，对微积分的发展起了很大的促进作用．莱布尼茨借助解析几何发现，“∫意味着和，d意味着差．”他用和与差的关系说明∫与d的互逆关系．这样，莱布尼茨明确地指出了积分和微分是互逆过程，这成为他具有微积分思想的标志．4．答：常用数学符号的分类如下：(1)几何符号：⊥、∥、∠、⌒、⊙、≡、≌、△(2)代数符号：∝、∧、∨、～、∫、≠、≤、≥、≈、∶(3)运算符号：×、÷、√、±(4)集合符号：∪、∩、∈(5)特殊符号：∑、π(圆周率)5．答：三角函数中有许多符号，其中sin，cos，tan，cot，sec，csc是最重要的符号，但是在这些符号使用以前，人们都是用文字来进行叙述的，这样使用起来非常麻烦．在实际应用中，人们渐渐地用符号来代替它们．正弦的符号开始记为sine，这一词是由阿拉伯人创造的，但是最早把它应用于三角函数上的是德国数学家雷基奥蒙坦，他是15世纪西欧数学界的领导人物，在他1464年著的《论一般三角形》一书中，首先使用了符号“sine”．这本书是专门讲三角学的，它脱离了天文学，成为一门独立的数学分支．余弦开始记为cosine，它是由英国人根日尔在1620年出版的《炮兵测量学》一书中首先创造并使用的．后来，人们在使用中发现这些符号比较长，而且写起来容易出错.1623年，阿贝尔特把“sine”“tangent”“secant”，简写为“sin”“tan”“sec”．到了1675年，英国人奥斯特又把“cosine”“cotangent”“cosecant”简写为“cos” “cot”“csc”，但是这些符号并没有通行开来，直到1748年，经过数学家欧拉的提倡，才得以普及．新中国成立后，我国的数学教材受到了苏联数学的影响，把“cot”改为“ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号没有改动，这六个符号一直在三角函数中广泛应用，在现行的教材中，又把“ctg”改为原来的“cot”，“tg”改为原来的“tan”，使现用的三角函数符号与国际接轨，即为sin，cos，tan，cot，sec，csc.。

北师大版高中数学选修选修3-3同步全解

第一章球面的基本性质通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。

通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。

例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。

通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。

了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。

1 直线，平面与球面的位置关系1．我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。

因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。

例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。

在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。

2．球面所围成的几何体叫做球体，简称球。

半圆的圆心叫做球心。

连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。

连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。

用一个平面去截一个球，截面是圆面。

球的截面有以下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面。

（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R ^2-d^2球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

半径是R的球的体积计算公式是：V=（4/3）πR^3(三分之四乘以π乘以R的三次方)。

半径是R的球的表面积计算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）3．球面空间中与一定点的距离为定值的动点的轨迹。

定点称为球心，定距离称为半径。

球面也可以看成是由半圆绕着它的直径旋转一周所形成的曲面。

球面所包围的立体称为球体，简称球。

高二数学北师大版选修1-1同步精练3.3计算导数 Word版含答案

.若()＝()′＋()′，则等于()．－．下列给出的四个命题中，正确的命题是()①若函数()＝，则′()＝；②若函数()＝＋的图像上的点()的邻近一点是(＋Δ＋Δ)，则＝＋Δ；③瞬时速度是动点位移函数()对时间的导数；④曲线＝在点()处没有切线．．①②．②③．①②③．②③④．下列结论正确的个数为()①若＝，则′＝；②若()＝，则′()＝－；③若＝，则′＝；④若＝，则′＝.．．．．．若曲线＝在点处的切线的斜率为－，则点的坐标是()或．已知()＝，若′(－)＝－，则的值等于()．．－．．－.物体运动的图像(时间，位移)如下图所示，则导函数的图像为( )．若()＝，则′(π)＝.．已知直线＝是曲线＝的切线，则＝.．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径以的波速增加，求在末被扰动的水面面积的增长率．．已知两条曲线()＝，()＝，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．参考答案.解析：∵()＝()′＋()′＝－，∴＝－＝－＝－.答案：.解析：①中′()＝()′＝，当＝时无意义；④中′＝()′＝，′()＝，有切线．答案：.解析：在①中，()′＝，②③④都对．答案：.答案：.解析：由()＝，可得′()＝－，∴′(－)＝(－)－＝－，∴＝.答案：.答案：.解析：∵()＝，∴′()＝ .∴′(π)＝π＝.答案：.解析：′＝( )′＝，则＝.∴＝.∴＝×＝.∴曲线＝过点，即＝ .∴＝.答案：.解：设被扰动水面面积为，时间为(≥)，∴＝π＝π()＝π，∴′＝(π)′＝π，∴当＝时，水面面积的增长率为π..解：假设存在公共点(，)．所以两条曲线在(，)处的斜率分别为＝′()＝，＝′()＝－.因为两条曲线的切线互相垂直，所以·＝－，即－·＝－.所以＝.因为∈[－]，所以假设不成立．故不存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．。

北师大版高中数学选修3-1微积分练习

北师大版高中数学选修3-1微积分练习高中数学学习材料鼎尚图文某整理制作微积分练习1．17世纪中叶，数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件，那就是________的诞生．()A．函数B．微积分C．解析几何D．极限思想2．历史上第一篇系统的微积分文献是()A．牛顿的《自然哲学的数学原理》B．牛顿的《流数法与无穷级数》C．牛顿的《流数简论》D．莱布尼茨的《一种求极大值极小值和切线的新方法》3．微分学中的符号d某，dy等，积分符号∫的创立者是()A．莱布尼茨B．阿基米德C．高斯D．牛顿4．十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第________次数学危机．()A．一B．二C．三D．四5．设球的半径为时间t的函数R(t)．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A．成正比，比例系数为cB．成正比，比例系数为2cC．成反比，比例系数为cD．成反比，比例系数为2c某1,1某0,6．函数f(某)＝的图像与某轴所围成的封闭图形的面积为()co某,0某231A.B．1C．2D.227．促使微积分产生的科学问题主要有______________，_____________，______________，_______________四类问题．8．如图，函数f(某)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝____________；lim某0f(1某)f(1)＝________.(用数字作答)某9．向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟则当水深为5m时，水面上升的速度为________m/min.10．利用定积分的几何意义计算：83m，34某d某；(2)in某d某.22211．结合史料，谈谈阿基米德对于微积分的创立起到了什么样的重要作用．12．牛顿1666年写了《流数简论》之后，始终不渝地努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是什么？哪篇是牛顿最成熟的微积分著述？为什么？13．为什么说在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：A4．答案：B5．答案：D解析：∵V(t)＝243πR(t)，3∴c＝V′(t)＝4πR(t)R′(t)．∴R′(t)＝c.24R(t)2∵S(t)＝4πR(t)，∴S′(t)＝8πR(t)R′(t)＝8πR(t)某c2c＝.4R2(t)R(t)6．答案：A解析：如图，根据定积分的几何意义可得所求的封闭图形的面积：11某1某1＋2co某d某＝＋in某02213＝inin0.222S＝207．答案：瞬时速度问题切线问题函数的最值问题面积、体积、曲线长、重心和引力的计算8．答案：2－2解析：∵f(某)＝2某4,0某2,某2,2某6,∴f(0)＝4，f(4)＝2，即f(f(0))＝2.又根据导数几何意义可知lim9．答案：某0f(1某)f(1)＝f′(1)＝－2.某8812解析：设t分钟时，水深为h米，则由体积相等，得thh，7533213所以h＝2t，h′(t)＝，33t2128当h＝5时，t＝，81258所以v＝h′(t)|t＝(m/min)．87510．解：(1)如图①，224某d某等于图中阴影部分的面积，∴2224某2d某＝1某22＝2π.2(2)如图②，∴in某d某等于图中阴影部分的面积和，其中，在某轴下方的面积为负，in某d某＝0.11．答：在十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分．但微积分的原理，却可以追溯到古希腊人阿基米德所建立的确定面积和体积的方法．远在阿基米德那个时代(公元前二百多年)，没有解析几何，甚至连发达的字母符号也没有，可是几何学在古希腊已经达到了惊人的繁荣．直到今天，在初等的几何学中我们还很难再添加多少新的东西．正是在这种历史条件下，阿基米德率先推导出了球、圆锥的体积公式，以及抛物线的弓形面积公式，他所采用的无穷小量求和的方法已经接近于积分演算．后人在介绍阿基米德这种方法的时候，又用现代的符号和术语进行了加工．下面以阿基米德推导抛物线的弓形面积公式为例，介绍他采用的无穷小量求和的方法．设有一抛物线f(某)，求其与横轴某及直线某＝p(p＞0)所围的面积，即曲边三角形OPM(如下图阴影部分)的面积S.阿基米德是这样想的：设OP＝1，将OP分成n等份．曲边三角形OPM被分割成n个带状面积元，这些面积元可近似地看成矩形，各条“带子”的宽度是1/n，第k条带子的高是某＝1kk处抛物线的纵坐标．所以第k条带子的面积是f，各条矩形带子的面nnn积和S是曲边三角形OPM的近似面积，当n→∞时就得到曲边三角形OPM的精确面积S.曲边三角形OPM的面积求出后，再求抛物线弓形面积就十分容易了．正是这种分解为无穷多个无穷小量之和的方法，在两千年后发展成为积分学．阿基米德当时也曾预言：“我认为在现在或未来的研究者中，总会有人会利用这里所提出的方法获得我还不曾得到的其他定理．”果然如此，他的方法在另一种历史条件下获得了新的发展和新的形式，牛顿、莱布尼茨建立了更加一般的方法，并且给了一个恰当的名词：积分．12．答：这三篇论文是(1)《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》；(2)《流数法与无穷级数》，简称《流数法》；(3)《曲线求积术》，简称《求积术》．《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述．因为牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小量的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”在此基础上定义了流数的概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比．确切地说，它们构成增量的最初比．”牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比．所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导．牛顿在《曲线求积术》中还第一次引进了后来被普遍采用的流数记号．。

2021-2022高二数学北师大版选修3-1演练提升：3.1 从经验几何到演绎几何 Word版含答案

第三章几何学进展史§1从阅历几何到演绎几何一、非标准1.主见“对几何学的陈述不能凭直觉上的貌似合理就予以接受,相反,必需要经过严密的规律证明”,并且第一个提出“知其然”,同时还要“知其所以然”的学者是().A.毕达哥拉斯B.柏拉图C.欧几里得D.泰勒斯答案:D2.在西方最早证明白“勾股定理”的是().A.毕达哥拉斯学派B.柏拉图学派C.古埃及人D.古巴比伦人答案:A3.古希腊人在几何学上提出的三大作图问题有().①三等分任意角②化圆为方③立方倍积④黄金分割⑤三等分圆周A.②③⑤B.①②③C.①③④D.②③④答案:B4.虽然没有认真于几何学,但是在雅典成立学院并且在学院门口写着格言“不懂几何者不得入内”的人是().A.柏拉图B.欧几里得C.毕达哥拉斯D.亚里士多德答案:A5.使欧几里得名垂不朽的著作是().A.《把握论》B.《工具论》C.《原本》D.《圆锥曲线论》答案:C6.欧几里得、和阿波罗尼奥斯是公元前3世纪的3个数学巨人.答案:阿基米德7.《原本》中包含的4种不同的概念是.答案:定义、公理、公设、命题8.搜集有关解决古希腊三大几何作图问题的资料,体会演绎几何的进展.答案:2000多年来,三大几何作图问题因其独特的魅力吸引了很多数学家投入其中,百折不挠,虽屡战屡败仍前赴后继.古希腊人的巧思,阿拉伯人的学识,西方文艺复兴时期大师们的睿智,都曾倾注于此,但最终还是没有解决.不是由于这些数学家不够聪慧,也不是由于他们不够睿智.实在是由于当时的条件还不成熟.就像再锋利的刀也削不到自己的柄一样,一个学科的问题,往往需要借助其他学科的学问才能解决.笛卡儿的解析几何创立之后,尺规作图的可能性才有了准则.这样,很多几何问题就可以转化为代数问题来争辩.由于用圆规、直尺作图的每一步都需要找一个交点,这个点或者是属于两条直线的,或者是一条直线和一个圆的.由于引进了解析几何,人们生疏到,用代数术语说,这样的步骤就意味着同时求解两个线性方程,或一个线性方程和一个二次方程,或两个二次方程.到19世纪中叶,由于新的数学工具的应用,数学家最终明白三大几何作图问题实际上是不行解的.首先取得突破的是法国数学家旺策尔(P.L.Wantzel,1814—1848),他在1837年给出了三等分任意角及立方倍积不行能用尺规作图的严格证明.1882年,德国数学家林德曼(C.L.F.Lindemann,1852—1939)证明白π的超越性,所谓超越性就是说π不行能是任何整系数代数方程的根.化圆为方的不行能性也得以证明.在伽罗瓦建立群论之后,人们发觉,除了化圆为方,把伽罗瓦理论应用到另两个问题时也格外奏效.化圆为方与另两个问题性质不同,它涉及一个超越数π.与旺策尔的证明相比,伽罗瓦的理论更具一般性,不仅完全回答了哪些方程可以用代数运算求解,而且给出了一个一般的判别法来判定几何图形是否可以用直尺和圆规来作图.9.搜集《原本》在中国传播的有关资料,体会《原本》对我国数学进展的意义和影响.答案:前六卷的翻译工作《原本》传入中国,首先应归功于明末科学家徐光启.徐光启(1562—1633),字子先,上海吴淞人.他在加强国防、进展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当大的贡献,对引进西方数学和历法更是不遗余力.他生疏意大利传教士利玛窦之后,打算一起翻译西方科学著作.利玛窦主见先译天文历法书籍,以求得天子的赏识.但徐光启坚持按规律挨次,先译《原本》.对徐光启而言,《原本》有严整的规律体系,其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同.这种区分于中国传统数学的特点,徐光启有着比较清楚的生疏.他还充分生疏到几何学的重要意义,他说“窃百年之后,必人人习之”.他们于1606年完成前6卷的翻译,1607年在北京印刷发行.徐光启翻译中的重要贡献徐光启和利玛窦《原本》中译本的一个宏大贡献在于确定了争辩图形的这一学科中文名称为“几何”,并确定了几何学中一些基本术语的译名.“几何”的原文是“geometria”,徐光启和利玛窦在翻译时,取“geo”的音为“几何”,而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思.用“几何”译“geometria”,音义兼顾,确是神来之笔.几何学中最基本的一些术语,如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名,都是这个译本定下来的.这些译名始终流传到今日,且东渡日本等国,影响深远.后7卷的翻译工作就在他们想连续把《原本》的后7卷翻译完的时候,发生了一件意想不到的事情,就是徐光启的父亲不幸去世了.徐父去世的精确日子是5月23日.当时徐光启尽管已经入教,但作为一名始终在传统文化熏陶。

高中数学第六章名题赏析1费马大定理同步精练北师大版选修3_1【含答案】

高中数学第六章名题赏析1费马大定理同步精练北师大版选修3_1【含答案】费马大定理练习1．毕达哥拉斯学派是________的一个集政治、学术、宗教三位一体的组织．( ) A．古希腊B．古埃及C．古巴比伦D．古印度2．丢番图的一本著作以解不定方程著称，这本著作是( )A．《原本》B．《算术》C．《海岛算经》D．《代数学》3．世界著名的业余数学家，且被誉为“业余数学家之王”的是( ) A．狄利克雷B．欧拉C．费马D．勒让德4．证明费马大定理在“n＝3”时成立的数学家是( )A．费马B．欧拉C．狄利克雷D．拉梅5．指出费马大定理是“一只会下金蛋的鹅”的数学家是________．6．1983年，德国数学家________证明了莫代尔猜想．7．1955年左右，日本数学家______和______提出了谷山—志村猜想.1986年美国数学家里贝特证明了弗雷命题，并指出，只要证明谷山—志村猜想，就能证明费马大定理．8．1996年3月，维尔斯因证明了费马大定理荣获______奖．9．简述维尔斯证明费马大定理的艰辛历程，并谈谈我们从中受到的启示．10．上网查找有关丢番图的资料．参考答案1．答案：A2．答案：B3．答案：C4．答案：B5．答案：希尔伯特6．答案：法尔廷斯7．答案：谷山丰志村五郎8．答案：沃尔夫9．答：1993年6月23日，在英国剑桥牛顿研究所的演讲厅里，在普林斯顿大学任教的英国数学家维尔斯宣布了一个震惊的消息，费马大定理被证明了．但是事情出现了反复，经过专家审查发现，维尔斯的证明中存在着一些漏洞，维尔斯很快承认了他的证明存在着问题．1994年9月，维尔斯经过一年多的努力，漏洞终于被补上，并通过了权威的审查．1995年5月，世界权威学术期刊《数学年刊》发表了维尔斯修正后的证明．1996年3月，维尔斯因此荣获沃尔夫奖．维尔斯证明费马大定理的艰辛历程正如我国数学家华罗庚所说的，科学的灵感，决不是坐等可以等来的．如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人，而不会给懒汉．所以我们在学习数学时，要打好数学基础，要善于独立思考，要有锲而不舍的精神．10．答：丢番图(Diophantus)是希腊代数学家．活动于250年前后，对他的生平事迹人们知道得很少．他的最重要的著作是《算术》，《算术》原有13卷，长期以来，大家都以为只有1464年J.雷格蒙塔努斯在威尼斯发现的前 6卷希腊文手抄本保存下来．但后来又在马什哈德(伊朗东北部)发现4卷阿拉伯文译本．《算术》是讲数的理论的，但大部分内容可以划入代数的范围．它的特点是完全脱离了几何的形式，与欧几里得时代的经典大异其趣．另一个特点是引入了许多缩写符号，如未知量、未知量的各次幂等都用特殊符号来表示．这在代数发展史上是一个巨大的进步．许多问题导致一、二次方程或三次方程，还有大量的不定方程．虽然丢番图已知符号的运算法则，然而解方程却排除负根．在解不定方程时运用了许多巧妙的手法，千年以后，还无出其右者．不过各个题都用特殊的方法去解，很少给出一般的法则，这是丢番图最大的缺点．关于数论的论题，直到17世纪才受到重视和推广，从而建立起近代的数论．为了纪念丢番图的功劳，对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程．而丢番图逼近、丢番图分析是指只考虑变数取整数值的某些问题或方法．。

2021-2022高二数学北师大版选修3-1演练提升：6.4 中国剩余定理 Word版含答案

§4中国剩余定理一、非标准1.欧洲最早接触一次同余方程组问题的是意大利数学家().A.斐波那契B.斐拉里C.马蒂生D.高斯答案:A2.利用“大衍求一术”给出问题“物不知数”一般解法的数学家是().A.刘徽B.杨辉C.贾宪D.秦九韶答案:D3.“大衍求一术”失传了500多年,重新消灭在世人面前是在().A.明朝B.元朝C.清朝D.民国答案:C4.“圆,一中同长也.”出自().A.《墨经》B.《老子》C.《孙子算经》D.《周易》答案:A5.秦九韶,我国南宋时期数学家,字道古,四川安岳人,他本人自称().A.“四川人”B.“岳阳人”C.“冀州人”D.“鲁郡人”答案:D6.中国古代有名的数学家刘徽的贡献不包括().A.制造了割圆术B.建立了重差术C.重视规律推理,同时又留意几何直观的作用D.开创了“中国剩余定理”答案:D7.宋代周密诗:“三岁孩儿七十稀,五留廿一事尤其.七度上元重相见,寒食清明便得知.”语句的最终一句示意数字.解析:“寒食”“清明”大约在冬至后三个半月,示意数字105.答案:1058.明代,将“物不知数”的解法在《算法统宗》中编成口诀:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝.七子团聚正半月,除百零五便得知.”的数学家是.答案:程大位9.古寺几僧?宏伟古寺在山中,不知寺内几多僧.三百六十四只碗,恰巧用完不差争.三人共餐一碗饭,四人共喝一碗汤.请问先生能算者,山中寺内几多僧.答案:624僧10.相传韩信投奔刘邦以后,与萧何结识,萧何认为韩信是个大将之才,就向刘邦鼎力推举,刘邦不知韩信到底有没有真本事,就想试一试他.一天傍晚,刘邦带韩信去军营.二人坐在点将台上,只见台下兵丁不计其数,旌旗招展,士气昂扬.刘邦调来一队将士,对韩信说:“请汝为吾清点一下!”韩信答应,站起身来,对台下将士说道:“全队将士听令,每三人结成一组,请报告余数.”将士们报告余数为1,韩信再次命令:“每五人结成一组,请报告余数.”将士们报告余数为3,韩信第三次命令:“每七人结成一组,请报告余数.”将士们报告余数为4.韩信扫视了这一队将士,估量约有三百人.于是韩信马上向刘邦报告:“这一队将士共有二百九十八人.”刘邦一听,正好对数,心中纳闷儿,怪了,这是什么点兵法呢?便惊异地问:“此是何法点兵?”韩信答道:“此乃乱点兵.”“有何妙诀?”刘邦问道.韩信笑笑说:“没啥妙诀,就是:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝.七子团聚正半月,除百零五便得知.”韩信的乱点兵法制服了刘邦,刘邦暗自佩服韩信才智过人,最终放心地拜韩信为大将.后来,韩信为刘邦平定天下、建立汉王朝立下了汗马功劳.韩信的这种奇妙算法,人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国剩余定理”.请你解释韩信是如何算得这一队将士共有二百九十八人的?答案:5和7的公倍数有35,70…其中除以3余1的最小数是70;3和7的公倍数有21,42…其中除以5余3的最小数是63;3和5的公倍数有15,30,45…其中除以7余4的是60.70+63+60=193.由于或许数字是300,且3,5,7的最小公倍数为105,所以共有193+105=298(人),即这队将士共有298人.11.上网搜寻秦九韶的资料,并整理.答案:秦九韶(1202—1261),字道古,四川安岳人.其父秦季栖,进士出身,官至上部郎中、秘书少监.秦九韶聪敏勤学.宋绍定四年(1231),秦九韶考中进士,先后担当县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职.先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地为官,1261年左右被贬至梅州(今广东梅县),不久死于任所.他在政务之余,对数学进行虔心钻研,并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料,进行分析、争辩.宋淳祐四至七年(1244—1247),他在为母亲守孝时,把长期积累的数学学问和争辩所得加以编辑,写成了有名的巨著《数书九章》,并制造了“大衍求一术”.这不仅在当时处于世界领先地位,在近代数学和现代电子计算设计中,也起到了重要作用,被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”,被称为“秦九韶程序”.现在,世界各国从学。

2021-2022高二数学北师大版选修3-1演练提升：3.2 投影画与射影几何 Word版含答案

§2投影画与射影几何一、非标准1.“做一个合格的画家首先要精通几何学”,是由《绘画》一书的作者提出的,他的重要功绩是大量地应用了欧几里得几何学的原理,抓住了透视学的关键,提出了“没影点”的思想.这位宏大人物是().A.达·芬奇B.阿尔贝蒂C.拉斐尔D.丢勒答案:B2.下图所示的作品利用了原理.()A.射影几何学B.素描C.透视学D.平面几何学答案:C3.“观赏我的作品的人,没有一个不是数学家”,这句名言的作者对透视学作出了最大贡献,他是().A.达·芬奇B.阿尔贝蒂C.拉斐尔D.丢勒答案:A4.下面的作图方法利用了原理.()A.平面几何学B.透视学C.素描D.射影几何学答案:D5.15世纪和16世纪早期,几乎全部的绘画大师都试图在其绘画中体现的原理,努力将真实世界与数学原理、数学和谐有机地结合起来.答案:透视学6.《最终的晚餐》给我们描绘出了真实的情景,它的创作者是.《圣母的婚礼》成功地运用了几何构图和透视法,它的创作者是.答案:达·芬奇拉斐尔7.射影几何学主要论述了投影与截影的哪些性质?答案:射影几何论述了同一射影下,一个物体的不同截影所形成的几何图形的共同性质,以及同一物体在不同射影下截影的几何图形的共同性质.8.阅读下面有关达·芬奇的资料,从网上搜寻并观赏他的作品,从中体会透视学的原理,简述透视学的进展与数学的联系.达·芬奇(Leonardo Da Vinci,1452—1519)作为文艺复兴时期最卓越的代表人物,他的成就和贡献是多方面的.达·芬奇诞生在佛罗伦萨四周的一个小镇——芬奇镇.他是一位天才,他一方面热心于艺术创作和理论争辩,他争辩如何用线条与立体造型去表现形体的各种问题;另一方面他也同时争辩自然科学.达·芬奇是意大利文艺复兴时期最宏大、最有名的巨匠,他不仅是一位天才的画家,并且是大数学家、科学家、力学家和工程师,是一位多才多艺、全面进展的人.他有着多方面的才能,对人类作出过多方面的贡献.他不仅会画画、雕塑、建筑房屋,还会创造武器,设计过世界上第一架飞行机,他又是一个医学家、音乐家和戏剧家,而且在物理学、地理学和植物学等其他科学的争辩上也很有成就.他道德高尚,举止文静,且体格健壮,力气过人,据说他一只手就能轻易地折断马蹄铁.他左右手都会写字、作画,他用左手写的字是反向的,人们只有在镜子里才能看懂.人们一般认为,艺术不是科学.但是依据达·芬奇的界定,艺术,尤其是绘画,不但是一种科学,甚至是“全部科学之后”.达·芬奇既能发觉事物表面迷人的美感,又不丢失物理学者与解剖学者的视角.他同时具有科学家的观看力与艺术家的表现力,是艺术史上第一位对人体和动物的比例做过系统争辩的艺术家.他争辩解剖长达40年之久,还亲自解剖了三十几具各种年龄的尸体.他不但生疏人体外部的比例,而且了解人体的内部构造,因此笔下人物的比例、结构、动态都格外精确,无懈可击.达·芬奇对几何比例与构图格外着迷.《蒙娜丽莎》除了那永恒的奇特微笑外,还制造性地解决了半身肖像的构图问题.此后,西方那些卓越的半身像无一不受这幅画的影响.他还丰富和进展了前人的金字塔形构图,《岩间圣母》中群像以圣母的头部为顶点,形成的等腰三角形,如金字塔般稳定而和谐.与其他作品一样,《最终的晚餐》以几何图形为基础设计画面,体现出数学的对称美.有人评价这幅画是科学与艺术成了婚,而哲学又在这种完善的结合上留下了亲吻.。