二叉树期权定价法22222
期权定价二叉树模型精讲共41页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
期权定价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叉树模型精讲
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
第五讲期权定价理论I二叉树模型
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型是指基于二叉树构建的期权定价模型，该模型结合了终值定理（Binomial Option Pricing Model；BOPM）和二叉树的理论。
该模型的精确性比一般的期权定价模型（即欧式期权定价模型）要高，为投资者提供了更多的信息和选择。
二叉树期权定价模型以股票价格移动变量来构建定价模型，而欧式期权定价模型只考虑股票价格固定。
该模型使用二叉树，其中每个分支都对应一定的定价模型，以确定期权价格。
该方法有三个基本步骤：1）构建二叉树；2）确定期权执行价值；3）通过使用backward卷积，利用当前价格和当前的期权价值，来决定每个分支的期权价格。
二叉树期权定价模型具有不同的算法变种，它们能够捕获市场（股价）的单向和双向变化，以及波动性。
它比欧式期权模型更精确，也更灵活，可以捕获一系列特殊事件，比如空头期权，复合期权，多元期权，多档次期权。
此外，二叉树期权定价模型还能够用来估算期权的损失或收益，并对复杂的期权进行定价。
总的来说，二叉树期权定价模型是一种简单的，有效的，能够捕获市场变化的定价模型，为投资者提供了更多的信息和选择。
该模型比较早出现于二十世纪九十年代，自此后逐渐普及，并得到广泛应用。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
二叉树期权定价模型概述
二叉树期权定价模型概述二叉树期权定价模型是一种基于二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是由美国学者Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的，也被称为CRR模型。
二叉树期权定价模型的核心思想是将时间分割成若干个小时间段，然后在每个时间段内构建一个二叉树，即"向上"和"向下"的可能价格路径。
通过从期权到期时的终点开始，逆向计算每个节点的价值，最终计算出期权的定价。
模型中的二叉树由两个重要的参数组成：上涨幅度(u)和下跌幅度(d)。
这两个参数反映了标的资产价格在不同时间段内上涨或下跌的可能性。
根据这两个参数的取值，可以构建出一棵二叉树，每个节点表示标的资产在相应时间段内的价格。
在每个节点上，可以计算出无风险利率下的期权价格。
对于看涨期权而言，其在节点上的价格由其未来收益和风险中性概率相乘得到。
而看跌期权的价格则是在节点上的看涨期权价格减去标的资产价格与期权的行权价格差值。
通过从终点开始逆向计算每个节点的期权价格，最终可以得到期权在初始节点上的定价。
需要注意的是，为了确保模型的有效性和稳定性，构建二叉树需要满足一些条件，如无套利机会、欧式期权等。
二叉树期权定价模型很好地解决了离散时间下的期权定价问题，并且计算简单、直观。
然而，在实际应用中，它可能存在一些局限，如对标的资产价格的预测不准确、二叉树节点数较多导致计算过于复杂等。
因此，二叉树期权定价模型通常用于简单的期权合约和教学研究中。
在复杂的市场环境下，一般会采用更精细的定价模型，如Black-Scholes模型。
二叉树期权定价模型的应用广泛，特别适用于离散时间下的期权定价问题。
它可以用于定价欧式期权、美式期权、亚式期权等各种类型的期权合约。
同时，由于其简单直观的计算方式，二叉树模型也常被用作其他复杂期权定价模型的验证工具。
在二叉树期权定价模型中，最关键的是确定二叉树的参数，即上涨幅度(u)和下跌幅度(d)。
二叉树定价原理
二叉树定价原理二叉树定价原理通常是指在金融数学中，使用二叉树模型来对具有不确定性收益的金融衍生品进行定价的方法。
这种方法由经济学家Fischer Black和Myron Scholes在1973年提出，后来由Robert C. Merton 进一步发展，因此也被称为B-S模型或Merton模型。
在二叉树模型中，未来的资产价格被表示为一系列的二元选择，即资产价格要么上升，要么下降。
每一时期的结束都是一个决策点，在这里投资者必须决定是否购买、持有或出售资产。
每一时期结束时，资产价格要么翻倍，要么减半，这取决于模型的参数设置。
这种结构形成了一个二叉树，每一层的节点代表在下一时期结束时的可能资产价格。
二叉树定价模型的核心思想是通过反向递归的方式来计算每个时期结束时资产的期望收益，并且结合无风险利率和资产的当前价格来计算期权的价格。
具体步骤如下：1. **构建二叉树**：根据资产的波动率和其他参数（如无风险利率、到期时间等）构建二叉树。
2. **计算内在价值**：从二叉树的最后一个节点开始向前计算每个期权的内在价值。
对于看涨期权，内在价值为max(S_T - K, 0)，其中S_T 是到期时的资产价格，K是执行价格。
对于看跌期权，内在价值为max(K - S_T, 0)。
3. **计算期权价格**：对于欧式期权，使用布莱克-斯科尔斯定价公式来计算期权价格。
该公式考虑了期权的内在价值和时间价值，公式如下：\[ C(S, t) = S_0N(d_1) - Ke^{-r(T-t)}N(d_2) \]\[ P(S, t) = Ke^{-r(T-t)}N(-d_2) - S_0N(-d_1) \]其中，\( C(S, t) \) 是看涨期权的价格，\( P(S, t) \) 是看跌期权的价格，\( S_0 \) 是当前资产价格，\( K \) 是执行价格，\( r \) 是无风险利率，\( T \) 是期权到期时间，\( t \) 是当前时间，\( N(\cdot) \) 是累积标准正态分布函数，\( d_1 \) 和\( d_2 \) 是由以下公式计算得到的：\[ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \] \[ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t} \]其中，\( \sigma \) 是资产价格的波动率。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
二叉树期权定价方法的原理
二叉树期权定价方法的原理二叉树期权定价方法是一种常用的金融工具定价方法，它基于二叉树模型，通过离散化时间和价格，将连续时间和连续价格的金融问题转化为离散时间和离散价格的问题，从而简化了计算过程。
该方法的原理主要包括二叉树模型的构建、风险中性概率的计算和期权价格的计算。
首先，二叉树模型的构建是二叉树期权定价方法的基础。
二叉树模型是一种树状结构，每个节点表示某个时间点的价格，根节点表示初始价格，叶子节点表示到期价格。
在构建二叉树模型时，需要确定二叉树的层数和每个节点的价格。
一般情况下，层数越多，模型越精确，但计算复杂度也会增加。
节点的价格可以通过离散化连续价格的方法得到，例如使用二项式模型或几何布朗运动模型。
其次，风险中性概率的计算是二叉树期权定价方法的关键。
风险中性概率是指在无套利条件下，市场上不存在风险，投资者对未来价格的预期与实际发生的概率相等。
在二叉树模型中，每个节点的风险中性概率可以通过反推法计算得到。
具体而言，从期权到期日开始，逐层向上计算每个节点的风险中性概率。
对于每个节点，假设其上涨和下跌的概率分别为p和1-p，根据无套利条件，可以得到期权价格的期望值等于节点价格的折现值。
通过解方程组，可以得到p的值。
最后，期权价格的计算是二叉树期权定价方法的核心。
在二叉树模型中，期权价格可以通过逐层向下计算得到。
从根节点开始，逐层向下计算每个节点的期权价格。
对于每个节点，可以通过期权价格的期望值等于节点价格的折现值来计算期权价格。
具体而言，假设节点上涨和下跌后的价格分别为Cu和Cd，期权价格的期望值为E，节点价格为C，折现因子为r，可以得到以下公式：E = (p * Cu + (1-p) * Cd) / (1 + r)通过逐层向下计算，可以得到所有节点的期权价格。
最后，根据期权类型和期权的执行价格，可以确定期权的实际价格。
总结起来，二叉树期权定价方法的原理是通过构建二叉树模型，计算风险中性概率和期权价格，将连续时间和连续价格的金融问题转化为离散时间和离散价格的问题。
期权定价二叉树模型
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
期权定价的二叉树模型介绍PPT课件( 24页)
但不能虚伪;可以平凡，但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。
•
17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。
•
18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。
在计算Pu和Pd时，应使用各自持有价值或执行价值中较大的一个。
Pu=4.96
对应执行价格为： Pu=0
Pd=23.4
Pd=24
P=12.94
21
6.5 股价指数期权、外币期权
【例6-8】 有一项美式的英镑看跌期权，期限为6个月，即期 汇率为$1.51/₤，期权的执行价格为$1.50/ ₤，英镑兑美元 的波动性或易变性为12%。美国的无风险利率为10%，英 国的无风险利率为11%。建立一个以2个月为1期的外币二 叉树期权模型。
17
6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q )n jmsa ju d n x j ( k ,0 )]
j o j! (n j)!
n
p e rT[
n ! qj(1 q )n jmka sx ju dn (j,0 )]
无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!
•
5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。
•
6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
金融数学第五讲期权定价 二叉树方法ppt课件
推广到一般情形
一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T
Su
S
ƒu
ƒ
Sd
ƒd
推广到一般情形
(continued)
考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头
当 D满足下面的条件时，组合为无Su风D –险ƒ：u
SuD
–
ƒu
=
Sd
DS–dDƒd–
or ƒd
D ƒu fd Su Sd
S*(iDt)S(iDt)
当 iDt 时
S * (iD t) S (iD t) D e r( iD t) 当 iDt 时（表示红利）
在 iDt 时刻：
当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*ujdijD er(iDt) 当 iDt 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*u jdi j
无风险组合为: 持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头
三个月后组合的价值为 22´0.25 – 1 = 4.50 组合在时刻0的价值为 4.5e – 0.12´0.25 = 4.3670
期权的估值
资产组合为 持有 0.25份股票
成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670 股票的价值是 5.000 (= 0.25×20 ) 从而，期权的价格为 0.633 (= 5.000 – 4.367 )
72 D0
48
E
4
32 F 20
美式期权该如何估值？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
期权定价二叉树模型
其中，0<d<1<u
S0u3 S0u2d S0ud2 S0d3
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则
• 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为：
•
S0d fd
பைடு நூலகம்
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
S0u2
fuu
S0u
fu
S0
S0ud
f0
fud
S0d
fd
S0d2
fdd
• 基本思路:利用前述单步二叉树模型,先求 出f11和f12 ,再求出f0即可。
S0u2
fuu
S0u S0ud
fu
fud
• 推理如下：
fu e -rT2 p fuu (1 p ) fud f d e -rT2 p fud (1 p ) f dd , 代 入 得 ： f 0 e -rT1 p fu (1 p ) f d
d 可解出方程 p= a d
ud u e t d e t 其 中 ， a e rt
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价
• 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来
的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
其方差为：S2e2rt(e2t 1)。而在S二叉树模型下
的方差为：pS2u2 (1p)S2d2 S2pu(1p)d。故：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二叉树期权定价法
摘要上世纪七十年代以来金融衍生品得到了蓬勃的发展，在这之中，期权的地位尤为受到重视，居于核心地位，很多的新创的衍生品，都包含了期权的成分。
所以一直以来，期权的定价问题受到了大量经济学家的探索。
实物期权的定价模式的种类较多，理论界和实务界尚未形成通用的定价模型，主要估值方式有两种：一是B l a c k-S c h o l e s期权定价模型；二是二叉树期权定价模型。
1973年，布莱克和斯科尔斯(B l a c k a n d C s c h o l e s)提出了
B l a c k-S c h o l e s期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。
随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。
1976年，约翰·考克斯(J o h n
C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。
1979年，约翰·考克斯(J o h n C a r r i n g t o n C o x)、斯蒂芬·罗斯(S t e p h e n A.R o s s)、马克·鲁宾斯坦（M a r k R u b i n s t e i n）在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为C o x-R o s s-R u b i n s t e i n二项式期权定价模型。
关键词
B l a c k-S c h o l e s期权定价模型虽然有许多优点,但是它的推导过程却是难以为人们所接受；二叉树期权定价模型假设股价波动只有
向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。
模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。
一、单期二叉树模型
该定价模型假设资本市场是完全竞争和无摩擦的（不存在交易费用和税收），不存在无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。
假设把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，那么证券在下一期的价格只会有两种可能：
1：从开始的S上升到原先的u倍，即到达S u，且上升的概率为q;2：下降到原先的d倍，即S d,下降的概率为1-q,。
其中u>1,d<1
q S u(f u)
S(f)
1-q S d(f d)
其中股票当前价格为S,期权当前价格为f。
我们可以构造一个由股的股票多头和一份该股票期权的空头∆来组成无风险证券组合，期损益状态如下：
当股票价格上升时，股票价格为S u ,期权价值为f u ，组合的价值为S u -f u ;当股票价格下降时，股票价格为S d ,期权价值为f d ，组合∆的价值为S d -f d .要求两种情况下组合的价值相等，则有
∆S u -f u =S d -f d ∆∆
解得∆=f u -f d S u -S d
由于该组合的收益率一定是无风险收益率，故期期末收益的现值
为（S u -f u ）,构造该组合的成本为S -f ,所以有
∆e -r T ∆（S u -f u ）S -f ∆=∆
e -r T 从而求得该期权的价格为
f =[p f u +(1-p )f d ],其中p =e -r t e r T -d u -d。