二叉树期权定价法22222

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期权定价二叉树模型

上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元，期权确定的执行价格为。设把期权 S X 65 元的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期权的价格.
计算期权在不同状态的价值
13.79 10.3 7.57 4.69
22.846
18.03 10.867 7.14 0.5215
3.08
0.22
0.33
0 0.0
0
期权价格树
四、二项式定价公式推导
对于第3阶段各状态的期权价值有
18.03 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}

二叉树期权定价模型

（一）单期二叉树定价模型

（1）一定数量的股票多头头寸

（2）该股票的看涨期权的空头头寸

股票的数量要使头寸足以抵御资产价格在到期日的波动风险，

即该组合能实现完全套期保值，产生无风险利率。

C0＝1＋r－d Cu u－1－r Cd

u—d 1+r u—d 1+r

最初，投资于0.5股股票，需要投资25元；收取6.62元的期权费，尚需借入18.38元。半年后，股价如果股价涨到66.66元，

0.5股股票收入33.33元，借款本息18.75（18.35*1.02）

看期权的持有人会执行期权，期权出售人补足价差14.58（66.66-50），

投资人的净损益＝0

股价如果跌到37.5元，

0.5股股票收入18.75元，支付借款本息18.75元，投资人的净损益为0

因此该看涨期权的公平价值就是6.62元。

（二）两期二叉树模型

把6个月的时间分为两期，每期3个月。现在股价50元，看涨期权的执行价格52.08元。每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。

股价：

计算Cu的价值：有两种办法：

1.复制组合定价

H＝（23.02－0）÷（75.10－50）＝0.91713

借款＝（50×0.91713）÷1.01＝45.40元

3个月后股票上行的价格是61.28元

Cu＝投资成本＝购买股票支出－借款＝61.28×0.91713－45.40＝10.8元

2.风险中性定价

期望报酬率＝1%＝上行概率×22.56%＋下行概率×（－18.4%）

[22.56%＝（74.10－61.28）/61.28 18.4%＝（50－61.28）/61.28

期权二叉树定价模型

期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。

在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。

在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。

在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。

期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。

然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。首先，该模型

假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。

总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计

二叉树期权定价模型

2012-1-4 陕西科技大学理学院 13
两步二叉树模型
24.2 22 20 18 16.2 • 每步长为3个月
2012-1-4 陕西科技大学理学院 14
19.8
欧式看涨期权的估值
D
22 20 1.2823
A
B
24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0
2.0257 18 0.0
C
E
• 在节点 B的价值 = e–0.12´0.25(0.6523´3.2 + 0.3477´0) = 2.0257 • 在节点 A的价值 = e–0.12´0.25(0.6523´2.0257 + 0.3477´0) = 1.2823
2012-1-4
陕西科技大学理学院
26
1.二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型
把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ∆t 并假设在每一个时间间隔内证券 ∆t 价格只有两种运动的可能：价格只有两种运动的可能：
，
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su 2、下降到原先的 d 倍，即 Sd 。如图5.1所示。 5.1所示其中 u > 1 d < 1.如图5.1所示。价格上升的概率假设为 1− p 。
e rT − d e 0.12 × 0.25 − 0 . 9 p= = = 0 . 6523 1. 1 − 0 . 9 u −d

期权定价的二叉树模型

背景介绍
某证券交易所上市的债券期权需要为期权定价，以反映债券的波动率和风险。
模型应用
根据二叉树模型，预测债券价格的上涨和下跌幅度，并计算期权的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，为投资者提供了有效的风险管理工具。
案例三：某投资者黄金期权定价
背景介绍
某投资者计划买入黄金期权，以实现资产保值和增值。
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市场行为和风险。
05
二叉树模型的实际案例分析
标准二叉树模型
假设金融衍生品的价格在每个时间段内上涨或下跌相同的百分比。
跳跃扩散二叉树模型
假设金融衍生品的价格在每个时间段内可能发生跳跃，以反映市场波动性。
随机波动率二叉树模型
假设金融衍生品价格的波动率是随机的，以反映市场波动性的变化。
02
期权定价理论
期权的基本概念
01
02
03
期权定义
期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权利。

期权定价的二叉树模型

Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。

8.1 一步二叉树模型

我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步

（one-step）二叉树。这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到

相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有

二叉树期权定价模型概述

二叉树期权定价模型是一种基于二叉树结构的金融衍生品定价模型。它是由美国学者Cox、Ross和Rubinstein在1979年提

出的，也被称为CRR模型。

二叉树期权定价模型的核心思想是将时间分割成若干个小时间段，然后在每个时间段内构建一个二叉树，即"向上"和"向下"

的可能价格路径。通过从期权到期时的终点开始，逆向计算每个节点的价值，最终计算出期权的定价。

模型中的二叉树由两个重要的参数组成：上涨幅度(u)和下跌

幅度(d)。这两个参数反映了标的资产价格在不同时间段内上

涨或下跌的可能性。根据这两个参数的取值，可以构建出一棵二叉树，每个节点表示标的资产在相应时间段内的价格。

在每个节点上，可以计算出无风险利率下的期权价格。对于看涨期权而言，其在节点上的价格由其未来收益和风险中性概率相乘得到。而看跌期权的价格则是在节点上的看涨期权价格减去标的资产价格与期权的行权价格差值。

通过从终点开始逆向计算每个节点的期权价格，最终可以得到期权在初始节点上的定价。需要注意的是，为了确保模型的有效性和稳定性，构建二叉树需要满足一些条件，如无套利机会、欧式期权等。

二叉树期权定价模型很好地解决了离散时间下的期权定价问题，并且计算简单、直观。然而，在实际应用中，它可能存在一些

局限，如对标的资产价格的预测不准确、二叉树节点数较多导致计算过于复杂等。因此，二叉树期权定价模型通常用于简单的期权合约和教学研究中。在复杂的市场环境下，一般会采用更精细的定价模型，如Black-Scholes模型。二叉树期权定价模型的应用广泛，特别适用于离散时间下的期权定价问题。它可以用于定价欧式期权、美式期权、亚式期权等各种类型的期权合约。同时，由于其简单直观的计算方式，二叉树模型也常被用作其他复杂期权定价模型的验证工具。

期权定价的二叉树模型介绍

时间长度
二叉树模型的时间长度通常指期权的到期时间，即期权从购买到到期日的时间跨度。
波动率
波动率是二叉树模型的重要参数之一，它反映了资产价格变动的幅度。通常采用历史波动率或隐含波动率进行估计。
初始价格
二叉树模型的初始价格通常指期权的执行价格，即期权在到期日可选择的买入或卖出价格。
无风险利率
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等因素对期权价格的影响。
权获得收益。
04
计算期权价值
计算期权的预期收益
预期收益
在二叉树模型中，预期收益是每个节点的收益与概率的乘积之和。对于看涨期权，预期收益是每个节点的股票价格与执行价格的差值与概率的乘积之和；对于看跌期权，预期收益是每个节点的执行价格与股票价格的差值与概率的乘积之和。
风ห้องสมุดไป่ตู้中性概率
为了计算预期收益，我们需要使用风险中性概率。风险中性概率是一种将未来现金流折现到当前价值的概率，它考虑了风险和无风

期权二叉树定价模型

8.3.3 看跌期权的例子考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执行价格为$52，当前价格为$50。假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者按比率下降20％。无风险利率为5％。构造如图8-5所示的两步二叉树图。风险中性概率P的值为：
8.3 两步二叉树图8.3.1 两步二叉树图的构造假设一种股票开始的价格为$20，并在图8-3所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中，股票价格可以上升10％或者下降10％。假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无风险利率是年率12％。考虑一个执行价格为$21的期权。在图8-3中，很容易得到，在节点D，期权价格为$3.2；在节点E和F，期权价格为零。在节点B的期权价格计算如下：
用r表示无风险利率，该组合的现值应为：而构造该组合的成本是：因此
将式（9.1）代入上式，得到其中（9.3）风险中性概率运用单步二叉树图方法，式（9.2）和（9.3）就可为衍生证券估值。
第八讲
期权二叉树定价
8.1 单步二叉树图8.1.1 二叉树图的构造问题假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该期权进行估值？
思路根据期权的特性，显然可以用图8-1所示的二叉树图来描述股票和期权的价格运动。如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。是否可有多种构造方法?

期权定价的二叉树模型

Sd 18 fd 0
1 0.6523 0 1 0.3477 f e12%0.25
解得
f 0.633
股票看涨期权价格变动路径
这与在真实世界里利用无套利理论得出的定价结论是一致的。
第7章期权定价的二叉树模型
2020/11/29
26/39
注意，我们在风险中性定价过程中使用的标的股票价格上升的概率不是真实的概率，而是假想的概率（称为风险中性概率），这个假想是建立在股票的期望收益率等于无风险利率的基础上的。事实上，股票价格是按期实际收益率上升的，如果股票的实际收益率为16%，则其价格上升的概率为以下表达式中的q：
22q 181 q 20e16%0.25
解得 q 0.7041
第7章期权定价的二叉树模型
2020/11/29
27/39
与此对应，在真实世界里，该股票期权在到期日的预期价值为：
1 q 0 1 q 0.7041
由此可以得到期权的预期收益率
rc
ln
0.7041 0.633
百度文库
4
42.58%
股票期权的预期收益率明显高于股票的预期
第7章期权定价的二叉树模型
2020/11/29
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5.00-C0元
3个月
rf 12%
4.50元
5.00 c0 4.50e12%132 c0 0.633

期权定价的二叉树模型

期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。

首先，我们需要确定二叉树模型的参数。主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。

接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。

在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。而对于其他节点，其价值等于期权

在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。

可转债期权定价模型 (二叉树模型)

可转债期权定价模型（二叉树模型）

业务说明

1、可转换公司债券定价的理论基础

可转换公司债券可以近似的看作是普通债券与股票期权的组合体。

首先，可转换公司债券的持有者可以按照债券上约定的转股价格，在转股期间内行使转股权利，这实际相当于以转股价格为期权执行价格的美式买权，一旦市场价格高于期权执行价格，债券持有者就可以行使美式买权从而获利。

其次，由于发行人在可转换公司债券的赎回条款中规定如果股票价格连续若干个交易日高于某一赎回启动价格（该赎回启动价要高于转股价格），发行人有权按一定金额予以赎回。所以，赎回条款相当于债券持有人在购买可转换公司债券时就无条件出售给发行人的一张美式买权。当然，发行人期权存在的前提是债券持有人的期权还未执行，如果债券持有人实施转股，发行人的赎回权对该投资者也归于无效。

第三，还有可转换债券中的回售条款规定，如果股票价格连续若干个交易日收盘价低于某一回售启动价格（该回售启动价要低于转股价格），债券持有人有权按一定金额回售给发行人。所以，回售条款相当于债券持有人同时拥有发行人出售的一张美式卖权。

综上所述，可转换公司债券相当于这样一种投资组合：投资者持有一张与可转债相同利率的普通债券，一张数量为转换比例、期权行使价为初始转股价格的美式买权，一张美式卖权，同时向发行人无条件出售了一张美式买权。所以，可转换公司债券的价值可以用以下公式近似表示：

可转换公司债券价值≈纯粹债券价值+期权价值

2、二叉树法理论（Binomial Theroy）

根据衍生证券定价的二叉树法理论（Binomial Theroy），我们把衍生证券的有效期分为很多很小的时间间隔∆t，假设在每一个时间段内股票价格从开始的S运动到两个新值Su和Sd中的一个。一般情况下u>1，d<1，因此S到Su是价格“上升”运动，S到Sd是价格“下降”运动。价格上升的概率假设是P，下降的概率则为1—P。当时间为0时，股票价格为S；

_二叉树期权定价模型

（二）二叉树期权定价模型

1.单期二叉树定价模型

期权价格=×+×

U:上行乘数=1+上升百分比

d:下行乘数=1-下降百分比

【理解】

风险中性原理的应用

其中：

上行概率=（1+r-d）/（u-d）

下行概率=（u-1-r）/（u-d）

期权价格=上行概率×C u/（1+r）+下行概率×C d/（1+r）

【教材例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。

【答案】

U=1+33.33%=1.3333

d=1-25%=0.75

=6.62（元）

【例题•计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。无风险利率为每年4%。

要求：利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。

【答案】期权价格=（1+r-d）/（u-d）×C u/（1+r）=（1+4%-0.7）/（1.4-0.7）×7/（1+4%）=3.27（元）

2.两期二叉树模型

（1）基本原理：由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。

【教材例7-11】继续采用[例7-10]中的数据，把6个月的时间分为两期，每期3个月。变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。

期权定价-二叉树模型

期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。

在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。

期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。

在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。

通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。

需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情

况，而忽略了其他可能的情况。其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。

总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。

金融工程二叉树定价课件

若d>erT，则在期初借钱买入股票，到期股价即使下跌到dS0，也要卖出股票，偿还银行借款，到期获益为正。
16
重做例1
S0=20 V0=?
S0u = 22 Vu = 1
S0d = 18 Vd = 0
在Q的意义下，股价预期收益率是r，
即，EQ (ST) = puS0 +(1-p)dS0 = erTS0
如果E(Un+1|(U0,U1,…,Un)) Un，那么称Un 是下鞅，反之是上鞅。
33
鞅测度
在风险中性概率Q下，Sn和Vn的贴现过程 Sn/(1+rT)n和Vn /(1+rT)n是鞅过程。
风险中性测度Q称为鞅测度。在无套利的市场中，总是存在与实际概率
等价的鞅测度Q。风险资产价格基本定理：若原生资产价格
选取D1和D2，使得在[0,T]内，有 V= D1S + D2 B
VT=1=22 D1 + D2 BT VT=0=18 D1 + D2 BT
D1 = 0.25， D2 BT = -4.5，其中BT =1+rT
于是，V0= D1S0 + D2 B0
V0= 0.25*S0 – 4.5*(1+rT)-1 = 0.635
ST= $18
3
例1：看涨期权的定价
有效期为3个月，Call Option的敲定价格K= $21