5初一奥数第05讲 整式的加减

5初一奥数第05讲 整式的加减 考点·方法·破译

1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.

2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.

3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.

经典·考题·赏析

【例１】（济南）如果323

1y x a +和1233--b y x 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ） A ．⎩⎨⎧==21b a B ．⎩⎨⎧==20b a C ．⎩⎨⎧==12b a D ．⎩

⎨⎧==11b a 【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关.

解：由题意得⎩

⎨⎧=-=+31232b a ，∴⎩⎨⎧==21b a 【变式题组】

01.（天津）已知a ＝2,b ＝3,则（ ）

A ．ax 3y 2与b m 3n 2是同类项

B ．3x a y 3与bx 3y 3是同类项

C ．Bx 2a ＋1y 4与ax 5y b ＋1是同类项

D ．5m 2b n 5a 与6n 2b m 5a 是同类项

02．若单项式2X 2y m 与－3

1x n y 3是同类项，则m ＝___________，n ＝___________. 03．指出下列哪些是同类项

⑴a 2b 与－ab 2 ⑵xy 2与3y 2x (3)m －n 与5（n －m ） ⑷5ab 与6a 2b

【例２】(河北石家庄）若多项式合并同类项后是三次二项式，则m 应满足的条件是___________.

【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

解：因为化简后为三次二项式，而5x 3＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－

2m －2＝0,∴m ＝－1

【变式题组】

01.计算：－（2x 2－3x －1)－2(x 2－3x ＋5)＋(x 2＋4x ＋3)

02．(台州）3

1（2x －4y ）＋2y

03．（佛山）m －n －(m ＋n )

【例３】（泰州）求整式3x 2－5x ＋2与2x 2＋x －3的差.

【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项．

解：（3x 2－5x ＋2)－（2x 2＋x －3)＝3x 2－5x ＋2－2x 2－x ＋3＝x 2－6x ＋5

【变式题组】

01．一个多项式加上－3x ＋2xy 得x 2－3xy ＋y 2,则这个多项式是___________．

02．减去2－3x 等于6x 2－3x －8的代数式是___________．

【例４】当a ＝43-，b ＝2

1时，求5（2a ＋b )2－3(3a ＋2b )2＋2(3a ＋2b )的值. 【解法指导】将（2a ＋b )2，（3a ＋2b )分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”

再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.

解：5（2a ＋b )2－3(3a ＋2b )－3(2a ＋b )2＋2(3a ＋2b )＝(5－3)(2a ＋b )2＋(2－3)(3a ＋

2b )＝2(2a ＋b )2－(3a ＋2b )∵a ＝43-，b ＝21∴原式＝4

13 【变式题组】

01．（江苏南京）先化简再求值：（2a ＋1)2－2(2a ＋1)＋3,其中a ＝2.

02．已知a 2＋bc ＝14,b 2－2bc ＝－6,求3a 2＋4b 2－5bC ．

【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.

【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除. 证明：设此四位数为1000a ＋100b ＋10c ＋d ,则

1000a ＋100b ＋10c ＋d －（a ＋b ＋c ＋d )＝999a ＋99b ＋9c ＝9(111a ＋11b ＋c )

∵111a ＋11b ＋c 为整数，∴1000a ＋100b ＋10c ＋d ＝9(111a ＋11b ＋c )＋（a ＋b ＋c ＋d ) ∵9(111a ＋11b ＋c )与（a ＋b ＋c ＋d )均能被9整除

∴1000a ＋100b ＋10c ＋d 也能被9整除

【变式题组】

01．已知a ＜b ＜c ,且x ＜y ＜z ,下列式子中值最大的可能是（ ）

A ．ax ＋by ＋cz

B ．ax ＋cy ＋bz

C ．bx ＋cy ＋az

D ．bx ＋ay ＋cz

02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.

【例６】将（x 2－x ＋1)6展开后得a 12x 12＋a 11x 11＋……＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0,求a 12＋a 10＋a 8＋……

＋a 4＋a 2＋a 0的值.

【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x 项，如何消去x 项，可采用赋特殊值法. 解：令x ＝1得a 12＋a 11＋……＋a 1＋a 0＝1

令x ＝－1得a 12－a 11＋a 10－……－a 1＋a 0＝729

两式相加得2（a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 2＋a 0）＝730

∴a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 2＋a 0＝365

【变式题组】

01.已知（2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0

(1)当x ＝0时，有何结论;

(2)当x ＝1时，有何结论;

(3)当x ＝－1时，有何结论;

(4)求a 5＋a 3＋a 1的值.

02.已知ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝(x －2)4

(1)求a ＋b ＋c ＋d ＋e .

(1) 试求a ＋c 的值.

【例７】(希望杯培训题）已知关于x 的二次多项式a (x 3－x 2＋3x )＋b (2x 2＋x )＋x 3－5,

当x ＝2时的值为－17.求当x ＝－2时，该多项式的值.

【解法指导】设法求出a 、b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a 、b 的等式.

解：原式＝ax 3－ax 2＋3ax ＋2bx 2＋bx ＋x 3－5

＝(a ＋1)x 3＋(2b －a )x 2＋(3a ＋b )x －5

∵原式中的多项式是关于x 的二次多项式

∴⎩

⎨⎧≠-=+0201a b a ∴a ＝－1

又当x ＝2时，原式的值为－17.

∴(2b ＋1)⨯22

＋[]521-3-⨯+⨯b ）（＝－17,∴b ＝－1 ∴原式＝－x 2

－4x －5

∴当x ＝－2时，原式＝－（－2）2－4⨯（－2）－5＝－1

【变式题组】

01．（北京迎春杯）当x ＝－2时，代数式ax 3－bx ＋1＝－17.则x ＝－1时，12ax －3bx 3－5