22.2.1 相似三角形的判定(一)课后练习
(完整word版)相似三角形的性质及判定(1)含答案非常的全面
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例相似三角形的性质及判定如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AHk S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形及其判定练习及参考答案-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
相似三角形及其判定练习及参考答案-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载相似三角形及其判定练习一、选择题：1.下列判断正确的是（）A. 两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似2.下列各对三角形中一定不相似的是（）A. △ABC中，△A=54°，△B=78°△A′B′C′中，△C′=48°，△B′=78°B.△ABC中，△C=90°，AC=4cm，BC=3cm△A′B′C′中，△C′=90°，A′C′=12cm，B′C′=15cmC.△ABC中，△B=90°，AB=5，AC=13△A′B′C′中，△B′=90°，A′B′=2.5a，B′C′=6aD.△ABC中，△C=90°，△A=45°，AB=5△A′B′C′中，△A′=45°，A′B′=53.如图，AB△CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AC长为（）A.10B.12.5C.15D.17.54.在△ABC中，MN△BC，MC、NB交于O，则图中共有（）对相似三角形。
A.1B.2C.3D.4二、填空题1.如图16，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，△AED=△C，则ED=。
2.在梯形ABCD中，AB△CD，AC平分△DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：BC=。
3.如图18在Rt△ABC中△ACB=90°，CD△AB，AC=6，AD=3.6，则BC=，BD=。
4.已知：图19中AC△BD，DE△AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，则AC=。
三、解答题1.已知：如图20□ABCD中E为AD的中点，AF：AB=1：6，EF与AC交于M。
求：AM：AC。
2.已知：如图21在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何形状的比较和计算中起着重要的作用。
通过相似三角形的练习题，我们可以加深对这一概念的理解，并提高解决几何问题的能力。
下面，我将给大家提供一些相似三角形的练习题，并附上详细的解答。
1. 题目：已知两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE = BC/EF = AC/DF。
证明三角形ABC与三角形DEF相似。
解答：根据已知条件，我们可以得到三个比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
根据相似三角形的定义，我们知道如果三个角分别相等，并且对应的边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
首先，由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以三个角分别相等。
其次，根据比例关系AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以得到AB/DE = BC/EF，即AB/BC = DE/EF。
同理，AB/AC = DE/DF。
综上所述，根据相似三角形的定义，我们可以得出结论：三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 题目：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，求EF的长度。
解答：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。
即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
已知AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，代入比例关系得：6/9 = 8/EF = 10/DF。
解方程可得EF = 8/6 × 9 = 12cm。
所以，EF的长度为12cm。
通过以上两个练习题，我们可以看到相似三角形的概念在解决几何问题时起到了重要的作用。
相似三角形的性质和定理可以帮助我们推导出一些几何关系，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，相似三角形的概念也经常被用于测量高度、距离等问题。
例如，通过测量一棵树的阴影和一个人的阴影的长度，可以利用相似三角形的原理计算出树的高度。
22.2.1相似三角形的判定定理1
两角分别相等的两个 角 对应相等 ,那么这两个三角形 相似 (可简单说成:__________________ 三角形相似 . ____________)
3
课前预习
课堂合作
当堂检测
4.如图,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边的中点,若 BC=6,则 DE 等于 ( C )
A.5 C.3
1 2
= ,
1 3
∴ DE∥BC. ∴ △ADE∽△ABC.
7
课前预习 1 2
课堂合作 课堂合作
当堂检测
当一个三角形在另一个三角形的内部并且有一个公共角时,通常要看公共 角的对边是否平行.
8
课前预习 1 2
课堂合作 课堂合作
当堂检测
针对性训练 见当堂检测· 基础达标栏目第 1 题
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课前预习 1 2
答案:C
在相似三角形的判定方法中,特别应注意的是“对应”两字,而在等腰三角形 中,应是顶角和顶角对应,底角和底角对应.
11
课前预习 1 2
课堂合作 课堂合作
当堂检测
针对性训练 见当堂检测· 基础达标栏目第 4 题
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课前预习 1 2
课堂合作 3 4 5
当堂检测
1.
如图,在△ABC 中,如果 DE∥BC,DF∥AC,则相似的三角形有( A.0 对 C.2 对 B.1 对 D.3 对
22.2.2 相似三角形的判断定理(1)
二、合作探究
例.如图27·2-11，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长
思考：我们知道，判定两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
三、巩固训练
学习目标：
1、掌握并会推导相似三角形的判定定理1.
2、会用相似三角形的判定定理1进行一些简单的判断、证明和计算.
教学重点：灵活运用相似三角形的判定定理1证明和解决有关问题．
教学难点：相似三角形的判定定理1的推导和应用.
一、自主学习：
【观察思考】
观察：两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。
图3－4－50
教学反思：
操作：作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算 ﹑ ﹑ ，你有什么发现？（学生独立操作并判断）
思考：如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
【证明归纳】
证明：如图在∆ABC与∆A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1，求证△ABC∽△A1B1C1.
1.如图3－4－45所示，①②中各有两个三角形，角的度数已在图上标注，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是()
图3－4－45
A．都相似B．都不相似D⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有对
3.如图3－4－50，已知△ABC中，点D在AC上，且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD·AC.
中学九年级数学上册备课活页（教师用）
相似三角形判定练习题及答案
相似三角形判定练习题及答案相似三角形一．解答题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．求证：△CDF∽△BGF；当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE 于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出中的两个结论是否仍然成立；在的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B 点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．写出图中所有相等的线段，并加以证明；图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．求四边形AQMP的周长；写出图中的两对相似三角形；M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．相似三角形的判定练习题1．△ABC和△ABC中，AB=9cm，BC=8cm，CA=5cm，A′B′=4.5cm，B′C′=2.5cm，C?′A′=4cm，则下列说法错误的是．A．△ABC与△A′B′C′相似 B．AB与A′B是对应边 C．两个三角形的相似比是2：1D．BC与B′C′是对应边2．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是． A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等 B．△ABC与△A1B1C1不一定相似 C．△ABC 与△A1B1C1的相似比为1：D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1．△ABC与△A′B′C′满足下列条件，△ABC与△A′B′C′不一定相似的是． A．∠A=∠A′=45°38′，∠C=26°22′，∠C′=108°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=12，B′C′=8，A′C′=1 C．BC=a，AC=b，AB=c，A′B′B`C`?A`C`? D．AB=AC，A′B′=A′C′，∠A=∠A′=40°4．如图，小正方形的边长均为1，则右图中的三角形?与△ABC相似的是．5．△ABCA1B1C1的两边长分别为11B1C1的第三边长为 _______时，△ABC与△A1B1C1相似．6．如图，在正方形网格上，每个小正方形的边长为a，那么△ABC与△A1B1C1?是否相似？7．如图，在网格中画出与已知三角形相似的三角形，并使相似比为8、如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有相似的三角形，并说明你的理由。
2022年北师大版数学《相似三角形的判定 课后练习一及详解》配套精品练习(附答案)
学科：数学专题：相似三角形的判定重难点易错点解析题一：题面：如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正．．确．的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=金题精讲题一：题面：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为．题二：题面：如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF 的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=B C；③PB=PF；④AD2=4AB•DC．其中正确的是（）满分冲刺题一：题面：如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边BC上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．题二：=（）题面：如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S:SEDC ABC∆∆A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4题三：题面：如图，已知E是边长为4cm的正方形ABCD内一点，且DE=3cm，∠AED=90°，DF⊥DE于D，在射线DF上是否存在这样的M，使得以C、D、M为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出满足条件的DM长；若不存在，请说明理由．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：C．详解：选项A或B由∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC，加上∠A是公共角，根据两组对应角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；选项D由AD ABAB AC=，加上∠A是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但AB CBBD CD=，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB与△ABC相似．故选C．金题精讲题一：答案：2详解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；∴∠ACD=∠B=90°-∠A；又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD∽△CBD；∴CD2=AD•BD=8，即CD=22．题二：答案：①②④．详解：连接AE，∵BA，BE是圆的切线．∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE∵AD是圆的直径．∴DE⊥AE∴DE∥OF故①正确；∵CD=CE，AB=BE∴AB+CD=BC故②正确；∵OD=OF∴∠ODF=∠OFD=∠BFP若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．故③不正确；连接OC．可以证明△OAB∽△CDO∴OA AB CD OD=即OA•OD=AB•CD∴AD2=4AB•DC故④正确．故正确的是：①②④．满分冲刺题一：答案：当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．详解：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP∴△AEF∽△ABC又∵AD⊥BC，∴AH⊥EF；∴AH：AD=EF：BC；∵BC=10，高AD=8，∴AH：8=x：10，∴AH=4 5 x∴EQ=HD=AD-AH=8-45 x，∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8-45x)= -45x2+8x= -45(x-5)2+20，∵-45＜0，∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．题二： 答案：D ．详解：∵△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE =12AB ． ∴△EDC ∽△ABC ．∴()2EDC ABC S :S ED :AB =1:4∆∆=．故选D ． 题三：答案：当DM =3cm 或163cm 时，△CDM 与△ADE 相似． 详解：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， ∵∠AED =90°，所以使得△CDM 中有一个直角即可， ①∠DMC =90°，DM =DE =3cm ， ②∠DCM ′=90°，DM DA DCDE '=，163DM '=cm ，故存在M 点，当DM =3cm 或163cm 时，△CDM 与△ADE 相似．第七章 平行线的证明周周测3一、单选题1、如图,△ABC 中，∠ACB=90°, ∠A=30°，AC 的中垂线交AC 于E.交AB 于D ，则图中60°的角共有 ( )A 、6个B 、5个C 、4个D 、3个2、下列说法中正确的是( )A、原命题是真命题,则它的逆命题不一定是真命题B、原命题是真命题,则它的逆命题不是命题C、每个定理都有逆定理D、只有真命题才有逆命题3、下列命题是假命题的是( )A、如果a∥b，b∥c，那么a∥cB、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°C、两条直线被第三条直线所截，内错角相等D、矩形的对角线相等且互相平分4、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，若，则A、130°B、125°C、115°D、50°5、如图，AB∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B的度数为（）A、60°B、65°C、70°D、75°6、下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（）A、∠A=2∠B=3∠CB、∠A+∠B=2∠CC、∠A=∠B=30°D、∠A=∠B=∠C7、下列四个命题，其中真命题有（）（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•sin20°．A、1个B、2个C、3个D、4个8、下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合，②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个9、下列命题中，真命题是（）A、周长相等的锐角三角形都全等B、周长相等的直角三角形都全等C、周长相等的钝角三角形都全等D、周长相等的等腰直角三角形都全等10、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）A、80B、50C、30D、20二、填空题11、命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是________，结论________．12、如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于________．13、已知命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形是旋转对称图形．”，写出它的逆命题是 ________，该逆命题是 ________命题（填“真”或“假”）．14、如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为________．15、写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：________．16、已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为________．17、一个三角形的三个外角之比为5：4：3，则这个三角形内角中最大的角是________度．18、如图，在ABCD中，CH⊥AD于点H，CH与BD的交点为E.如果，，那么________三、解答题（共5题；共29分）19、如图，已知∠ABC=52°，∠ACB=60°，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点O，且平行于BC，求∠BOC的度数．20、如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．21、已知△ABC中，∠A=105°，∠B比∠C大15°，求：∠B，∠C的度数．22、如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．23、已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。
22.2.1 相似三角形的判定1-平行线法
5
C
1. 如图，在△ABC中，DE // BC, S△ADE 3, S△BCE 18, 求S△BDE
12．【2016·怀化】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC 边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H 分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm. (1)求证：△AEH∽△ABC； (2)求这个正方形的边长与面积．
A
DB
例3：如图已知，EF∥BC,求证: BD DC
EG GF
A E GF
F GE A
B
DC
BD
C
4. 如图，已知 AC∥EF∥BD，求证： EA1FE BE1EF 11.1 AAACCD BBDCD EF
1. 如图，AB、CD分别垂直于直线BC，AC和BD相 交于E，过点E作EF⊥BC于F．若AB=80，CD=20， 那么EF等于（ ） A. 40 B. 25 C. 20 D. 16
（来自《典中点》）
例1：如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,
BC=70cm, 求DE的长.
解: DE ∥ BC △ADE∽△ABC
DE AE BC AC
即： 50 DE 50+30 70
DE 50 70 43.75 (cm) 50+30
30 C
E
50 ?
70
40 30 ∴正方形EFGH的边长为
7 120
cm，面积为 14400
cm2.
7
49
解：(2)如图，设AD与EH交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形．
∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，∴ EH AE . BC AB
《22.2相似三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪科版12九年级上册
《相似三角形的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对相似三角形概念的理解，掌握相似三角形的判定方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过本作业的完成，学生应能初步建立数学建模的思想，培养分析问题和解决问题的能力。
二、作业内容（一）知识点复习1. 回顾相似三角形的定义，明确相似三角形的特征。
2. 掌握相似三角形的判定定理，如AA相似、SSS相似等。
（二）作业题目设计1. 基础题：设计一系列选择题和填空题，考察学生对相似三角形概念及判定定理的掌握情况。
- 例题：给出两个三角形，根据其边长或角度关系，判断是否相似，并说明理由。
2. 应用题：设计实际情境下的应用问题，要求学生运用所学知识解决实际问题。
- 例题：在建筑测量中，如何通过相似三角形的原理确定建筑物的高度？3. 拓展题：设计一些具有挑战性的题目，鼓励学生进行深度思考和创新。
- 例题：给出多个条件，让学生自行设计并证明两个三角形相似的多种方法。
（三）作业实践环节1. 小组合作：学生分组进行讨论，每组选择一个题目进行深入研究，并记录讨论过程和结果。
2. 动手操作：利用几何工具，让学生亲手制作相似三角形，加深对概念的理解。
3. 数学日记：鼓励学生记录今天学习的收获和感悟，以及对作业题目的解题思路和过程。
三、作业要求1. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案偏离。
2. 规范答题：按照数学作业的规范格式进行答题，字迹工整，步骤清晰。
3. 独立思考：在完成作业过程中，应独立思考，尽量自己解决问题，不轻易求助他人。
4. 小组合作：在小组合作环节中，应积极参与讨论，尊重他人意见，共同完成任务。
四、作业评价1. 教师评价：教师根据学生完成作业的情况，给予客观、公正的评价，并指出存在的问题及改进方向。
2. 小组互评：小组内成员互相评价，促进相互学习和交流。
3. 自评反思：学生应对自己的作业进行反思，找出不足并制定改进措施。
22.2 第2课时 相似三角形的判定定理1
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
B
C B' C'
【例1】如图：∠C=∠B，请指出图中的相似三角形. A
D 解：∵∠B=∠C， ∠DFB=∠EFC，
∴△DFB∽△EFC.
B
E
F C
∵∠B=∠C，∠A=∠A， ∴△ABE∽△ACD.
两角分别相等的两个 三角形相似
在相似三角形中，一般来说，对顶角、公共角是隐藏的对应角.
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定定理1
导入新课
目前为止，我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？
定义法：对应边成比例，且对应角相等的两个三角形是
相似三角形．
C
A
B
A1
C1
∠A=∠A1， ∠B=∠B1，∠C=∠C1
AB BC AC
A1B1 B1C1 A1C1 B1
△ABC∽△A1B1C1
目前为止，我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？
平行线法：
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线) 相交，截得的三角形与原三角形相似．
D B
A
E
B CD
A
E
D
A
C
EB
C
DE∥BC
△ADE∽△ABC
我们知道三角形全等是三角形相似的特例，能否类比全等三角形的判定方法，
猜想出相似三角形的判定方法呢？
全等三角形
相似三角形
C
C'
图形
A
B A'
B'
C AB
C'
A'
B'
22.2相似三角形的判定(1)
22.2相似三角形的判定（1）
市西园中学张林林
一、听课笔记：
1、探究：如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点
E ，△ADE与△ABC相似吗？
2、探究：如图，在△ABC 中，点D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线交AC与点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
3、相似三角形判定定理1：
这个定理包含了以下三个基本几何图形：
几何语言：
二、例题讲解：
例1：如图，在平行四边形ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,则BF:BE=?
三、课堂速效达标：（相信你通过自己的努力，一定能够独立完成。
）
1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3,BD=6,DE=2,则BC=______.
第1题图第2题图
2、如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=10,BD=5,DE=6,则BC的值为（）
A、6
B、9
C、12
D、15
3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长
线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相
似三角形（）
A1对B2对C3对D4对
4、如图，点D在△ABC的边AB上，DE∥BC，DE交AC于点E，DF∥AC，DF交BC于点F，下列比例式不成立的是（）
A、AD
DB＝
AE
EC；B、
AD
DB＝
DE
BF；
C、AE
EC＝
DE
BC；D、
DF
AC＝
BF
BC.
四、探究与思考：
1、（牡丹江中考）矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点P是直线BD上一点，且DP=DA，直线AP与直线BC交于点E，则CE=______
五、课堂总结反思：。
[推荐学习]华师大版九年级数学下册课后练习：相似三角形的判定+课后练习二及详解
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学科：数学专题：相似三角形的判定重难点易错点解析题一：题面：如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）．A．4对 B．5对 C．6对 D．7对金题精讲题一：题面：如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．题二：题面：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，连AC、BD相交于F，连EF．（1）求证：AB2=4AD•BC；（2）求证：EF∥BC．满分冲刺题一：题面：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =10，F 是AD 上一点，CF ⊥EF 于点F 交AB 于点E ， 12DC CF ．求AE 的长．题二：题面：如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 上一点，AE ⊥AF ，点E 在CB 的延长线上，EF 交AB 于点G ．求证：DF •FC =BG •EC ．题三：题面：如图，已知边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC上的一点，问题：添加一个条件，使得△ABP与以E、C、P为顶点的三角形相似，共有几种添加方法？课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：B．详解：根据平行四边形的性质，平行的性质和相似三角形的判定可得：△AGE∽△ABC，△BGE∽△BAF，△AEF∽△CEB，△ACB∽△CAD，△AGE∽△CDA，5对．故选B．金题精讲题一：答案：3.2．详解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．∴AD AC AC AB=．又∵AB=5，AC=4，∴445AD=，解得AD=3.2．题二：答案：AB2=4AD•BC；EF∥BC．详解：证明：（1）作DH⊥BC于H，如图，∵梯形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB，AD=BH，∴CH=CB-AD，∵以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，∴DA、CB都是⊙O的切线，∴DE=DA，CE=CB，∴DC=DA+CB，在Rt△DHC中，DH2=DC2-CH2，∴AB2=(AD+BC)2-(BC-AD)2，∴AB2=4AD•BC；（2）∵AD∥BC，∴△FDA∽△FBC，∴ADDF BCFB =， 而DE =AD ，EC =BC ， ∴DEDF EC FB =，∴EF ∥BC ．满分冲刺题一：答案：52-． 详解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠D =90°，DC =AB =4，∵CF ⊥EF ，∴∠EFC =90°．∴∠AFE +∠DFC =90°，∵∠AEF +∠AFE =90°，∴∠AEF =∠DFC ，∴△AEF ∽△DFC ． ∴AE AF DF DC =， ∵12DCCF =，DC =4，∴∠DFC =30°，∴4tan30tan30DCFD ===︒︒∴10AF =-∴52AF FDAE CD -==．题二：答案：DF•FC=BG•EC．详解：∵∠EAB+∠BAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴tan∠BAE=tan∠DAF，∵AB=AD，∴DF=BE，又∵AB∥CD，∴BE BG EC FC=，∴BE•FC=BG•EC，∴DF•FC=BG•EC．题三：答案：只有一种方法在BC上的一点使得BP=43．详解：如图设BP=x，若△ABP∽△ECP，得AB EC BP CP=，即212x x=-，解得x=43．若△PBA∽△ECP，得BP ECBA CP=，即122xx=-，化简得x2-2x+2=0，此方程无解，故不存在综上，只有一种方法在BC上的一点使得BP=43．（或延长AB至M，使BM=BA，连接EM，交BC与点P，则P就是符合条件的点）。