人教A版高中数学选修2-1课件1.2.1充分条件与必要条件 (2)

2020/10/19
[解] x2＋x－6＝0 得 x＝2 或 x＝－3 ∴p＝{2，－3}． ∵q 是 p 的充分不必要条件， ∴q p. 又 q：x＝－m1 (m≠0)． 当－m1 ＝2 时，m＝－12；当－m1 ＝－3 时，m＝13. 所以 m＝－21或 m＝13.
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充分条件与必要条件的实际应用 例 3 在下面电路图(下图)中，闭合开关 A 是灯泡 B 亮 的什么条件？
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充分条件与必要条件的判断 例 1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． (1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根； (2)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
[分析] 判断 p 是 q 的什么条件，主要判断 p⇒q 及 q⇒ p 两命题的正确性，若 p⇒q 真，则 p 是 q 成立的充分条件； 若 q⇒p 真，则 p 是 q 成立的必要条件．
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析：若 a＝b，则 ac＝bc；若 ac＝bc，则 a 不一定等 于 b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
答案：B
2020/10/19
2020/10/19
1.已知 b 不是 a 的必要条件，┐b 是┐c 的必要条件．则下 列为真命题的是( )
A．若 a，则 b B．若 b，则 c C．若 a，则 c D．若┐c，则┐a
解析：依题意 a b，┐c⇒┐b，∴a b⇒c.
答案：B
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2．对于任意的实数 a，b，c，在下列命题中，真命题是 ()
2020/10/19
[解] 由题意知 B＝{x|0<x<3}．当 m≤0 时，A＝Ø，符合题 意；当 m>0 时，A＝{x|3－2 m<x<3＋2 m}，因为3－2 m＝0，即 m＝3 时，3＋2 m＝3，A＝B，所以要使 A B，
3－2 m>0， 应有3＋2 m<3，
m>0，
得 0<m<3.
综上，实数 m 的取值范围是 m<3.
如图(2)，闭合开关 A 而不闭合开关 C，灯泡 B 不亮．反 之，若要灯泡 B 亮，开关 A 必须闭合，说明闭合开关 A 是 灯泡 B 亮的必要不充分条件；
2020/10/19
如图(3)，闭合开关 A 但不闭合开关 C，灯泡 B 不亮．反 之，灯泡 B 亮也不必闭合开关 A，只要闭合开关 C 即可，说 明闭合开关 A 是灯泡 B 亮的既不充分也不必要条件．
(3)四边形的对角线相等 D 四边形是矩形；四边形是矩 形⇒四边形的对角线相等，故 p 是 q 的充分不必要条件．
2020/10/19
[点拨] 关于充分条件、必要条件的判断问题，当不易 判断 p⇒q 真假时，也可从集合角度入手判断真假，所以结 合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
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2020/10/19
[点拨] “充分”即“有它即可”；“必要”即“无它 不可”．有时候用某些日常生活中的现象来说明命题之间的 关系，似乎更易于理解与接受．
2020/10/19
练 3 《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的： 曹操投南郡，除华容道外，还有一条便于通行的大路，前者 路险，但近 50 余里；后者路平，却远 50 余里，曹操令人上 山观察敌情虚实，回报说：“小路山边有数处起烟，大路并 无动静．”曹操说：“诸葛亮多谋，故使人于山僻烧烟，使 我军不敢从这条山路上走，他却伏兵于大路等着，吾已料定， 偏不中他计．”结果致使曹操败走华容道，请用数学知识解 释这种现象．
3．设 x∈R，则 x>2 的一个必要不充分条件是( ) A．x>1 B．x<1 C．x>3 D．x<3 解析：x>2⇒x>1，但 x>1 x>2. 答案：A
2020/10/19
4．若┐A 是 B 的充分不必要条件， 则 A 是┐B 的_必__要__不__充___分______条件．
解析：由题知┐A⇒B，则┐B⇒A，反之不成立．
2020/10/19
[点拨] 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时， 主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系， 将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关 于参数的不等式(组)进行求解．
2020/10/19
练 2 已知条件 p：x2＋x－6＝0，条件 q：mx＋1＝0， 且 q 是 p 的充分不必要条件，求 m 的值．
2020/10/19
4．关于 x 的一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个 正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1
解析：因为方程 ax2＋2x＋1＝0 有一个正根和一个负根， 所以 x1x2＝a1<0，即 a<0，所以设 A＝{a|a<0}，当 B A 时，B 是 A 的充分不必要条件，故选 C.
答案：C
2020/10/19
5．设 m，n 是平面 α 内的两条不同直线，l1，l2 是平面 β 内的两条相交直线，则 α∥β 的一个充分而不必要条件是 ()
A. m∥β 且 l1∥α B. m∥l1 且 n∥l2 C. m∥β 且 n∥β D. m∥β 且 n∥l2
2020/10/19
解析：因 m⊂α，l1⊂β，若 α∥β，则有 m∥β 且 l1∥α， 故 α∥β 的一个必要条件是 m∥β 且 l1∥α，排除 A.因 m，n ⊂α，l1，l2⊂β 且 l1 与 l2 相交，若 m∥l1 且 n∥l2，因 l1 与 l2 相交，故 m 与 n 也相交，∴α∥β；若 α∥β，则直线 m 与直 线 l1 可能为异面直线，故 α∥β 的一个充分而不必要条件是 m∥l1 且 n∥l2，应选 B.
2020/10/19
当命题“若 p，则 q”为假命题时，记 p q.在这种情况 下，p 是 q 的不充分条件，q 是 p 的不必要条件．
例如：“若 a＝b，则 a2＝b2”是真命题，可写成 a＝b ⇒a2＝b2.a＝b 叫做 a2＝b2 的一个充分条件，a2＝b2 是 a＝b 的一个必要条件．而“若 a2＝b2，则 a＝b”是假命题，可写 成 a2＝b2 a＝b，a2＝b2 是 a＝b 的一个不充分条件，a＝b 是 a2＝b2 的一个不必要条件.
答案：B
2020/10/19
6．一元二次方程(a－1)必要条件是( )
A．a<1 B．a<0 C．a>1 D．a>0 解析：一元二次方程(a－1)x2＋x＋2＝0(a≠1)有两个异 号实根⇔a－1≠0 ⇔a<1，结合选项，所求的一个充分不必
2020/10/19
[解] (1) 当|a|≥2 时，如 a＝3，则方程 x2＋3x＋6＝0 无实根，而方程 x2＋ax＋a＋3＝0 有实根则必有 a≤－2 或 a≥6 可推出，|a|≥2，故 p 是 q 的必要不充分条件．
(2)a＋b＝0D a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故 p 是 q 的必要不充分条件．
2020/10/19
5．下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1)在△ABC 中，p：∠A≠60°，q：sinA≠ 23； (2)p：m>0，q：关于 x 的方程 x2＋2x－m＝0 有实根．
2020/10/19
解：(1)因为在△ABC 中，∠A≠60° sinA≠ 23，如当∠ A＝120°时，sinA＝ 23；在△ABC 中，sinA≠ 23⇒∠A≠60°， 所以 p 是 q 的必要不充分条件．
2020/10/19
[解] “诸葛亮多谋”是“虚则实之，实则虚之”的充 分条件，“虚则实之，实则虚之”是“小路山边有数处起烟， 而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件，因为诸葛 亮多谋是事实，所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实 之，实则虚之”，曹操不以调查事实为依据，而诸葛亮抓住 了曹操的这一心理，所以致使曹操败走华容道．
2．“若 p，则 q”为真命题是指：当 p 成立时，_q_一__定__成__立__. 即 p⇒q，q 必须成立，我们称 q 是 p 的必要条件．
2020/10/19
思考探究 若 p 是 q 的充分条件，则 p 唯一吗？ 提示：不唯一．如 x>3 是 x>0 的充分条件，x>5，x>2 都是 x>0 的充分条件．
练 1 给出下列命题： (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等． (3)p：m<－2；q：方程 x2－x－m＝0 无实根． 试分别指出 p 是 q 的什么条件．
2020/10/19
[解] (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0； 而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0. ∴p 是 q 的充分不必要条件． (2)∵两个三角形相似 两个三角形全等； 但两个三角形全等⇒两个三角形相似． ∴p 是 q 的必要不充分条件． (3)∵m<－2⇒方程 x2－x－m＝0 无实根； 方程 x2－x－m＝0 无实根 m<－2. ∴p 是 q 的充分不必要条件.
2020/10/19
利用充分条件与必要条件求参数的取值范围 例 2 已知 p：关于 x 的不等式|2x－3|<m，q：x(x－3)<0， 若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是什么？
[分析] 可借助集合间的关系进行判断．设|2x－3|<m， x(x－3)<0 的解集分别为 A，B，由于 p 是 q 的充分不必要条 件，所以 A B.
A. a＋b<0