2014人教A版数学必修一《2.1《指数与指数幂的运算》学案

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高中数学第二章基本初等函数(1) 2.1.1 指数与指数幂的运算第一课时根式学案(含解析)

2．1。

1指数与指数幂的运算第一课时根式根式［提出问题]（1）若x2＝9，则x是9的平方根,且x＝±3；(2）若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4;(3）若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3;(4）若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2。

问题1：观察(1)(3），你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示:是．问题2:一个数的奇次方根有几个？提示:1个．问题3:由于22＝4，小明说,2是4的平方根;小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念（1）a的n次方根定义:如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n〉1，且n∈N＊。

（2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数错误!Rn为偶数±错误![0，＋∞）（3)根式：式子错误!叫做根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数．［化解疑难]根式记号的注意点（1）根式的概念中要求n>1，且n∈N＊。

（2）当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为错误!(a∈R);当n为大于1的偶数时，错误!(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－错误!，从而错误!n＝a.根式的性质［提出问题]问题1：错误!3，错误!3，错误!4分别等于多少？提示:2，－2，2.问题2:错误!，错误!，错误!，错误!分别等于多少?提示：－2,2,2,2.问题3：等式错误!＝a及（错误!)2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时,两式恒成立；当a〈0时，a2＝－a,（a)2无意义．［导入新知］根式的性质(1）(错误!）n＝a（n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n〉1）．(2)错误!＝错误!(3)错误!＝0。

(4）负数没有偶次方根．[化解疑难]（错误!)n与错误!的区别（1)当n为奇数，且a∈R时，有错误!＝(错误!)n＝a;(2)当n为偶数，且a≥0时，有错误!＝（错误!）n＝a。

学案7： 2.1.1　指数与指数幂的运算

2.1.1 指数及指数幂的运算学习目标1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)[自主预习·探新知]1．分数指数幂的意义思考：(1)分数指数幂a mn能否理解为m n个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式a m n ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 2．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[基础自测]1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.( ) (2)523＝53.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a 2＝a 12.( ) 2．425等于( )A ．25B.516C.415D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3B ．13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.[合作探究·攻重难]将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x5x 22；(3)⎝⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0).[跟踪训练]1．将下列根式与分数指数幂进行互化． (1)a 3·3a 2；(2)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解[跟踪训练]2．(1)计算：0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)化简：3a 92a －3)÷3a －7·3a 13(a >0)．指数幂运算中的条件求值 [探究问题]1.⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？2．已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a－2.[当堂达标·固双基]1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2 C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 62．把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．(－a ) 32B ．－(－a ) 32C ．－a 32D ．a 324．若10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 所以103m －n ＝103m 10n ＝83.]【参考答案】 [自主预习·探新知]1．na m 1n am 没有意义思考：[提示] (1)不能．a mn不可以理解为m n 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法．(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即n a m ＝a mn＝0，无研究价值． ②若a <0，a m n ＝n a m 不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.2．(2) a rs (3) a r b r 3．实数[基础自测]1． (1)× (2)× (3)× 2．B【解析】425＝542＝516，故选B. 3．B【解析】a －23＝1a 23＝13a 2.4．m 2＋1【解析】(m 12)4＋(－1)0＝m 2＋1.[合作探究·攻重难][跟踪训练]1．例2[跟踪训练][探究问题]1. 提示：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋4. 2．提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 解 (1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝1[当堂达标·固双基]1． A【解析】 [a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1，故选A. 2． D【解析】由题意可知a ≥0，故排除A 、B 、C 选项，选D. 3. 234．83 5.。

学案6：2.1.1 指数与指数幂的运算

(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
所以原式＝
例2(1) (2)a (3)①a3· ＝a3·a ＝a ＝a .
【解析】(1)a ＝＝
(2)(a2· )÷( · )＝(a2·a )÷(a ·a )＝a ÷a ＝a ＝a
(4)2 ÷4 ·3 .
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
当堂检测
[基础巩固]
一、选择题
1．B
【解析】＝(－2 ) ＝(－2×2 ) ＝(－2 ) ＝－2 .
2．D
【解析】要使原式有意义，只需，
∴a≥0且a≠2.
3．A
【解析】依题意知x<0，所以＝－＝－ .
4.D
【解析】原式＝＝a ＝a .
5．C
【解析】( )4·( )4
＝( ) ·( )
＝(a ) ·(a ) ＝a ·a ＝a4.
3．化简的结果是()
A．－ B.
C．－ D.
4. (a>0)的值是()
A．1B．a
C．a D．a
5．化简( )4·( )4的结果是()
A．a16B．a8
C．a4D．a2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6. －2＋(1－ )0－－160.75＝________.

人教A版高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算第一、二、三课时

备用
1.要使
(5x
1
)
3 4
(x
2
1) 3
有意义,则x的取
值范围是 2
2.计算:1
(a 2
1
a2
1
)(a 2
1
a2
)(a
a2
a1)
a2
3.求值: 3 2 5 12 3 2 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
第3课时
指数式的计算与化简
指数式的计算与化简,除了掌握定义、法则外，还要掌握一些变形技巧.根据题目的不同结构特征,灵活运用不同的技巧,才能做到运算合理准确快捷.
(2)在根式n am中,若根指数n与幂指数m有公约数时, 当a 0时可约分.当a 0时不可随意约分. 如8 32 4 3, 10 (2)2 5 2而15 (2)5 3 2.
课堂练习：课本 P54中练习第3题
课外作业：课本 P59习题2.1中A组第2，3，4题
4.下列各式中,正确的是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
小结
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根, 其中n 1且n N .
2.根式的简单性质: 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
(1)a a1 7; (2)a2 a2 47;
3
a2 (3) 1
3
a 2
1
(a
1 2
1
a2
)(a
1
a1
1
1
a2
1
a2
)

新人教A版必修1高中数学2.1.1指数与指数幂的运算导学案

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算导学案新人教A 版必修1学习目标：理解根式、分数指数幂、无理数指数幂、实数指数幂的定义学习重点：会应用运算性质进行根式、指数幂的运算计算学习过程：一、根式1、观察发现：422=中2叫做4的平方根，记作___； 4)2(2=-中2-叫做4的平方根，记作____823=中2叫做8的立方根，记作___；8)2(3-=-中2-叫做8-的立方根，记作___16)2(4=±中2±叫做16的4次方根，记作_________32)2(5-=-中2-叫做______________，记作_______64)2(6=±中2±叫做________________，记作________2、归纳总结：若a x n =，则x 叫做a 的_______ (其中*∈>N n n ,1)当n 是正奇数时，若0>a ，则x>0，x=________，若0<a ，则x____，x=_____当n 是正偶数时，若0>a ，则x=___________，若0<a ，则x_____________ 其中式子n a 叫做_______，这里n (*∈>N n n ,1)叫做_________，a 叫做_______注：______0=n ()=nn a ___________ n 是正奇数时，=n n a __________；n 是正偶数时，=n n a __________3、练习体验： _______)8(33=- ______)10(2=- 44)3(π-=________ _______)(66=-y x (x>y ）_____)4(2=-π _____)(2=-b a二、分数指数幂1、观察与归纳：（1）_______________224===；_______________248===_______________510===a ______________412===a()0____32>=a a ；()0_____>=b b ；()0_____45>=c c 正数的正分数指数幂)10______(>∈>=*，n N ，m、n a a m n（2）______21=- )0_______(1≠=-x x______534—= _____32—=a正数的负分数指数幂)10______(—>∈>=*，n N ，m、n a a m n（3）0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。

高中数学人教A版必修1学案：2.1指数函数知识导学案及答案

2.1 指数函数知识导学在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果x 3=a,那么x 就叫a 的立方根.如此类推,我们便得出了n 次实数方根的定义.当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,直接比较指数即可;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析,因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.关于函数的图象和性质,需注意的几个问题:(1)单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x 轴是函数图象的渐近线.当0<a<1时,x →+∞,y →0;当a>1时,x →-∞,y →0.当a>1时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快;当0<a<1时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快.(2)熟悉指数函数y=10x ,y=2x ,y=(21)x ,y=(101)x 在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.记忆口诀:(1)方根口诀正数开方要分清,根指奇偶大不同,根指为奇根一个,根指为偶双胞生.负数只有奇次根,算术方根零或正,正数若求偶次根,符号相反值相同.负数开方要慎重,根指为奇才可行,根指为偶无意义,零取方根仍为零.(2)指数函数性质口诀指数增减要看清,抓住底数不放松,反正底数大于0,不等于1已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(0,1)点.疑难导析用语言叙述这三个公式:(1)非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.(2)n 为奇数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身;n 为偶数时,实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a>0,且a ≠1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.判断一个函数是否是指数函数,关键是看它是否能写成y=a x (a>0,a ≠1)的形式.问题导思指数函数是同学们完全陌生的一类函数,也是一类非常重要的函数,对指数函数的性质的理解和掌握是学习的关键,找出函数的共同特征,把共同的特点和性质归纳和总结出来. 另外,底数a 对图象特征的影响也可这样来叙述:当a>1时,底数越大,函数图象就越靠近y 轴;当0<a<1时,底数越小,函数图象就越靠近y 轴.一定要注意底数a 对函数值变化的影响. 典题导考绿色通道根据第(1)题的思考,在这里把计算中的不同运算形式统一成分数指数幂更方便些. 第(1)题能把式中的数化成3的指数幂的形式来做吗？黑色陷阱做这类带有指数幂和根式的混合运算,容易发生解答过程中的形式混乱,从而影响解题. 典题变式1.计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(232a 21b )(-621a 31b )÷(-361a 65b ); (2)(41m 83-n )8. 答案:(1)4a;(2)32nm . 2.已知21a +21-a =3,求a 2+a -2的值. 答案:47.3.已知函数f(x)=a x +a -x (a>0且a ≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为_________.答案:12绿色通道比较而言,还是第二种方法更简便些.但对学生的思维要求较高,不仅要求迅速画出略图,而且能对m 、n 的定位进行判断.黑色陷阱如果不注意原题中的条件:1>n>m>0,而取m=2,n=3,将会出现误选B 的情形.典题变式如图2-1-5,曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x 、y=b x 、y=c x 和y=d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )图2-1-5A.a<b<1<c<dB.a<b<1<d<cC.b<a<1<c<dD.b<a<1<d<c 答案:D绿色通道1.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性.首先,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;其次,必须要明确所给指数函数的底与1的大小关系;再根据指数函数图象的性质来判断.2.对不同底数幂的大小的比较可以与中间值1进行比较.典题变式1.设y 1=40.9,y 2=80.44,y 3=(21)-1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2 B.y 2>y 1>y 3 C.y 1>y 2>y 3 D.y 1>y 3>y 2答案:D2.当x>0时,函数f(x)=(a 2-1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是( )A.1<|a|<2B.|a|<1C.|a|>1D.|a|>2 答案:D绿色通道本题实际上是一个平均增长率的问题,求解非常简单,但是该题从科学家富兰克林的介绍入手设置了一个情景.这是一个比较典型的模型,背景也可以更换为增长率问题.典题变式1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案:B2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).答案:约经过4年,剩留量是原来的一半.黑色陷阱解这类题容易出现的问题是,对于个体问题生搬硬套公式,从而导致解题失误.典题变式家用电器(如冰箱)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q 呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q 0e -0.002 5t ,其中Q 0是臭氧的初始量,t 的单位是年.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加了还是减少了？(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？答案:(1)减少;(2)用计算器完成,大约277年.。

人教A版高中数学必修一2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)

(2)2 学科网 4
－8 -2
(2)3 8
9 ±3 00
(3)2 9 02 0
－1 -1
0
0
(1)3 1 03 0
－4 无
8
2
23 8
－9 无
27 3
33 27
类比分析，可是个好方法哟！
3.若x4=a，则 x 叫做 a 的四次方根（a≥0 )
4.若x5=a，则 x 叫做 a 的五次方根
(3)利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
4 53 , 5 a7
n xm (x 0, m, n N *,且n 1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？ (5)你能推广到一般情形吗？
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的。综上我们得到正数的正分数指数幂的意义。
提出问题
分数指数幂
(1).整数指数幂的运算性质是什么？
(2).观察以下式子，并总结出规律：
①
5 a10
10
5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4)2 a4 a2
③
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
④ 10
2 a10 2 (a5 )2 a5 a 2
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第1课时
根式与分数指数幂
1. 理解n次方根与根式的概念；理解分数指数幂的概念 2. 正确运用根式运算性质化简、求值；掌握分数指数幂和根式之间的互化；分数指数幂的运算性质。 3. 分类讨论思想，观察分析、抽象概括等的能力。
(1) 整数指数幂的概念：

2013-2014高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算学案新人教A版必修1

§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）学习目标1. 掌握n 次方根的求解；2. 会用分数指数幂表示根式；3. 掌握根式与分数指数幂的运算.学习过程一、课前准备（复习教材P 48~ P 53，找出疑惑之处）复习1：什么叫做根式? 运算性质？像n a 的式子就叫做，具有性质： ()n n a = ；n n a = ；npmp a = .复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？① m na = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈> ②r s a a = ； ()r s a = ；()s ab = .复习3：填空.① n 为时，(0)||...........(0)n n x x x x ≥⎧==⎨<⎩.② 求下列各式的值：362= ； 416= ；681= ；26(2)-= ； 1532-= ；48x = ；624a b = .二、新课导学 ※典型例题例1 已知1122a a-+=3，求下列各式的值：（1）1a a -+；（2）22a a -+；（3）33221122a aa a----．补充：立方和差公式3322()()a b a b a ab b ±=±+ .小结：① 平方法；② 乘法公式；③ 根式的基本性质npn mp m a a =（a ≥0）等.注意， a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，236(8)8-≠-.变式：已知11223a a --=，求：（1）1122a a -+；（2）3322a a --.例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？变式：n 次后？小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答. ※ 动手试试练1. 化简：11112244()()x y x y -÷-.练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值. （1）1122x x -+；（2）3322x x -+.练3. 已知12(),0x f x x x π=⋅>，试求12()()f x f x ⋅的值.三、总结提升 ※ 学习小结1. 根式与分数指数幂的运算；2. 乘法公式的运用.※知识拓展1. 立方和差公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++. 2. 完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++； 33223()33a b a a b ab b -=-+-.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 329的值为（）.A. 3B. 33C. 3D. 7292. 354a a a(a >0)的值是（）.A. 1B. aC. 15a D. 1710a 3. 下列各式中成立的是（）.A ．1777()n n m m = B ．4312(3)3-=-C ．33344()x y x y +=+ D ．3393=4. 化简3225()4-= .5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷= .课后作业1. 已知32x a b --=+, 求42362x a x a ---+的值.2. 探究：()2n n n n a a a +=时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.。

高中数学必修一人教版教案：2.1 指数函数第一课时

4．（1）指数函数的定义
总结本节课解 2、抽签小组展知识储备
（2）指数函数的图象与性质
总
（3）应用：比较大小
题方法及注意示讨论的结及养成良 3
结
事项
果。
好的学习分
提
3 、提出的问习惯，加强钟
升
题。a 1) x 是 1、巡视学生 1、小考卷上检查学生 6
2. 图象过定点_________
特
征 3. 自左向右图象逐渐
3. 自左向右图象逐渐________
________
4. y 2x 与y (1) x 的图象关于______轴对称 2
例：比较下列各题中两个值的大小:
(1) 1.7 2.5 , 1.73 (2) 0.80.1 , 0.80.2 （3）已知2a 2b ,比较a, b的大小
③y x
④y 2 3x
⑤y 3x1 ⑥y 3x 1 ⑦y 3x ⑧y 3x
小结：指数函数的特征__________________________________________________________
练 2.指数函数 f(x)的图像经过点（2，9），求解析式及 f(1) , f(-2)
习。
钟
1
解决预习案中学生存在展示学生正确学生评价、挑解决学生 8
2. 的问题
答案及错误答错
自主学习分
承
案
中遇到的钟
接
困惑，加深
结
学生对知
果
识的印象
导学案
1、巡视学生的 1、学生先独在具体问
3.

人教A版数学必修一2.1指数与指数幂的运算

（2）一个非零实数的零次幂的意义是(a≠0),但00没有意义. （3）一个非零实数的负整数指数幂的意义是(a≠0,n∈N*,n≥1),但0n(n∈N*)没有意义. 7.分数指数幂: （1）正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*，且n>1).
返回
（2）正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1).
(2)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂, 化小数为分数,化底数为指数等,便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
返回
1.正整数指数幂的运算性质都是积、商、幂的形式，而不是和、差的形式.防止出现“am+an=am+n”“am-bn=am-n”等错误. ２.关于n次方根的定义和性质，可以理解为平方根和立方根的推广,根号也可以认为是由平方根号、立方根号推广而来的.理解n次方根的意义时，要把n按奇偶分类，并且在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是０（类比立方根）;正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数的偶次方根没有意义，零的偶次方根是零，即当n为正偶数时，na有意义的条件是 a≥0(类比平方根).
3.根式:形如的式子叫做根式,这里n叫做,叫做被开方数. 根指数 a 4.根式的性质:(1)=;(2)=;
（3）当n为偶数时，=；当n0 为奇数时，.
±a a
返回
5.乘方与开方:求a的n次幂的运算叫做乘方运算;求a的n次方根的运算叫做开方运算;乘方运算与开方运算互为逆运算 . 6.整数指数幂:
（1）一个实数的正整数指数幂的意义是an=a·a·…·a(n个a∈R,n∈N*，且n≥1).
(2)学习本学案内容要结合对比法,揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系.运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，要掌握解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法. 2.在进行指数幂运算时,应注意什么问题? (1)化简要求同初中要求,注意结果形式的统一,即结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既有分母,又含有负分数.

《指数与指数幂的运算》教案-人教A版高中数学必修一

指数与指数幂的运算学习目标：1.知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握有理数指数幂的运算性质并能熟练运用；2.过程与方法通过与初中学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和有理数指数幂的运算性质。

3.情感、态度、价值观（1）让学生感受由特殊到一般的数学思想方法（正整数指数幂正分数指数幂负分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂）；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算性质难点：有关分数指数幂和根式的计算教学过程：一、复习引入：提问：初中时的整数指数幂，运算性质？ 00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义，1(0)n n a a a -=≠0的正整数指数幂等于00的零指数幂、负整数指数幂没有意义当,m n Z ∈时 ;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== ；(),()n m mn n n n a a ab a b == . 二、新课讲解：探究分数指数幂的意义（1）观察以下式子,并总结出规律：a ＞0,①510a 510; ②8a =24)(a =a4=a 28; ③412a =443)(a =a3=a 412; ④210a =225)(a =a5=a 210. 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式.问：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a ==>12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m n a a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：a mn (a>0,m,n ∈N*,n>1). 提出问题: ①负整数指数幂的意义是怎样规定的?②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑤既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢? 结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=n a 1(a ≠0),n ∈N*.②规定:正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m n a 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N*,n>1).③规定:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.④若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)3162具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.⑤规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算（1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈（2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈ 二、课堂练习：我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题：（1）做课本P54练习题1 、题2；（2）做课本P51例题2、例题3小结：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.三、课堂小结：(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a m n =n a m(a>0,m,n ∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m n a 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:),0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+ 四、课后作业：1、课本P52例题4、例题5，P54练习3;2、自主学习课本P52---P53无理数指数幂.。

人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算

② 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝ _____2_－__1．
2.1.1 │ 考点类析
[解析] ①8 （x－3）8＝|x－3|，当 x≥3 时，原式＝x－3；当 x<3 时，原式＝3－x.
所以8 （x－3）8＝x3－－3x，，xx≥<33. ， ②因为 3－2 2＝2－2 2＋1＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2，所以 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝（ 2－1）2＋ 3 （1－ 2）3＋ 4 （1－ 2）4＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
2.1.1 │ 考点类析
[小结] 有理指数幂运算的基本原则和常规方法： (1)基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，
一般把根式统一化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．
(2)常规方法：①化负指数幂为正指数幂；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数．
2.1.1 │ 考点类析
考点四条件求值重点探究型 [导入] 已知 x＋1x＝a(a≥2)，如何求 x2＋x12的值？
[ 解析 ] (1)① 4 （－8）4 ＝ | － 8| ＝ 8 ；
②3 （－8）3＝－8.
6 (2)①
1－π3 6＝1－π3 ＝π3 －1；② 5
1－π3 5
＝1－π3 .
2.1.1 │ 考点类析
(3)计算下列各式的值：
①8
x－3，x≥3，
（x－3）8＝_3_－__x_，_x_<_3，
2.1.1 │ 考点类析
【变式】 (1)设 10m＝2，10n＝3，则 10－2m－10－n＝_－_1_12_____．
[解析] 由 10m＝2 得 10－2m＝（101m）2＝14，10 －n＝110n＝13，所以 10－2m－10－n＝14－13＝－112.

高中数学必修1第二章2.1.1《指数与指数幂的运算》--(第一课时)

③ 5 (3)5 3
④ 5 (3)10 3
⑤ 4 (3)4 3
2022/1/18
练一练
【2】求以下各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
Hale Waihona Puke ⑶ （ 2 3）2 ;⑷
2022/1/18
52 6.
本节课我们有哪些收获？
达标检测
(1)7 27 ;
(4) 210
(2)3 3a 33 ,a 1; (5)3 (3)9
2022/1/18
(三)根式的概念
根指数
a n 被开方数
2022/1/18
根式
探究四：n次方根的运算性质
2
(1) 6 ;
(2) 5 5 5
(3) 3 7 3
=6
= -5
= -7
a 结论： n a n
2022/1/18
求出下列根式的值
13 83 , 23 83 , 3 102 , 4 102
2022/1/18
学习目标：
1. 理解n次方根的概念； 2. 掌握n次方根的性质. 3. 体会分类讨论思想的运用.。
探究一：n次方根的概念
回忆知识,平方根，立方根是如何定义
的？有哪些规定？
①如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做 a的平
方根.
正实数的平方根有两个，
22=4 (-2)2=4
它们互为相反数
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根.
23=8 (-2) =-8 3
2022/1/18
2叫8的立方根. 一个数的立方 -2叫-8的立方根. 根只有一个
24=16
(-2)4=16

人教版数学高中必修一《指数与指数幂的运算》教案

2．1指数函数（新课辅导教案）2.1.1 指数与指数幂的运算第一课时根式一、问题提出1．据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?2．对10073.1的意义如何？怎样运算？思考1:一般地，实常数a 的平方根、立方根是什么概念？思考2:如果4x ＝a ，5x ＝a ，6x ＝a ，参照上面的说法，这里的x 分别叫什么名称？定义：一般地，如果a x n=，那么x 叫a 的n 次方根，其中1>n 且N n ∈. 二、根式的概念思考1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，6a 的立方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设a 为实常数，则关于x 的方程 3x =a ，5x =a 分别有解吗？有几个解？思考3:一般地，当n 为奇数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考4:设a 为实常数，则关于x 的方程 4x =a ，6x =a 分别有解吗？有几个解？思考5:一般地，当n 为偶数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考6:我们把式子)1,(>∈n N n a n叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么，a 的n次方根用根式怎么分类表示？当n 是奇数时，a 的n 次方根为n a .当n 是偶数时,若0>a ，则a 的n 次方根为n a ±；若0=a ，则a 的n 次方根为0；若0<a ，则a 的n 次方根不存在. 三、根式的性质思考1: 445533)2(,)2(,)2(-分别等于什么？一般地nn a )(等于什么？思考2: 44445533)2(,2,2,)2(--分别等于什么？一般地n n a 等于什么？思考3: 对任意实数a ，b ，等式nn n ab b a =⋅成立吗？四、理论迁移例1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .例2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-第二课时分数指数幂和无理数指数幂一、问题提出1.整数指数幂有哪些运算性质？2.325,25有意义吗？二、分数指数幂的意义思考1:我们规定：nm n ma a =)1,,0(>∈>n N n m a 且，那么328表示一个什么数？522143、分别表示什么根式？思考2:你认为如何规定nm a-)1,,0(>∈>n N n m a 且的含义？思考3:怎样理解零的分数指数幂的意义？思考4:532332)2(,)2(,)2(---都有意义吗？当0<a 时，)1,(*>∈n N n m a nm 、何时无意义？三、有理数指数幂的运算性质四、无理数指数幂的意义思考5:有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？五、理论迁移例1 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.例2 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a六、小结:1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂.2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.2.1.2 指数函数及其性质第一课时指数函数的概念与图象一、问题提出1.对任意实数x ，x 3的值存在吗？x)3(-的值存在吗？x 1的值存在吗？ 2. )(3R x y x∈=是函数吗？若是，这是什么类型的函数？二、指数函数的概念思考1:我们把形如xa y =的函数叫做指数函数，其中x 是自变量.为了便于研究，底数a 的取值范围应如何规定为宜？答：1,0≠>a a三、指数函数的图象思考2:一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何?四、理论迁移例1 判断下列函数是否为指数函数？(1) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .例2 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .第二课时指数函数的性质（接上）思考3:若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？例4 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.例6 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.例7 设nma 8.09.0⋅=,mnb 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.第三课时指数函数及其性质的应用（接上）例8 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.例9 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.例10 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.例11 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.例12 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.结论:设)(u f y =,)(x g u =，则（1）当)(u f 和)(x g 的单调性相同时，)]([x g f 为增函数；（2）当)(u f 和)(x g 的单调性相反时，)]([x g f 为减函数；综合应用例1 已知函数aaaxfxx+=)( (1>a为常数).(1)确定)(xf的单调性；(2)求)109()103()102()101(ffff++++ 的值.例 2 已知函数axfx+-=121)(，试推断是否存在常数a，使)(xf为奇函数? 若存在，求a的值；若不存在，说明理由.例3 已知函数8234)(1+⋅-=+xxxf，求满足0)(<xf的x的取值范围.例4 已知当1>x时，不等式12>-xxa,)1,0(≠>aa恒成立，求a的取值范围.2．1 指数函数（复习辅导教案）指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质知识框架知识点1、定义1：一般地，如果ax n=，那么x叫a的n次方根，其中1>n且Nn∈.定义2：我们把式子)1,(>∈nNnan叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.当n是奇数时，a的n次方根为n a.当n是偶数时,若0>a，则a的n次方根为n a±；若0=a，则a的n次方根为0；若0<a，则a的n次方根不存在.2、我们规定：nmn m aa=)1,,0(>∈>nNnma且.如何规定nma-)1,,0(>∈>nNnma且的含义？答: .怎样理解零的分数指数幂的意义？答: .当0<a时，)1,(*>∈nNnma nm、何时无意义？答:3、有理数指数幂的运算性质4、无理数指数幂的意义5、定义：我们把形如xay=的函数叫做指数函数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的取值范围应如何规定为宜？答：1,0≠>aa且6、指数函数的图象和性质7、设)(ufy=,)(xgu=，则（1）当)(uf和)(xg的单调性相同时，)]([xgf为增函数；（2）当)(uf和)(xg的单调性相反时，)]([xgf为减函数；指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-3 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.4 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a5 判断下列函数是否为指数函数？(2) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .6 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.7 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .8 若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？9 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.10 若指数函数xa y )12(-=是减函数，求实数a 的取值范围.11 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.12 设n m a 8.09.0⋅=,mn b 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.13 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.14 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.15 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.16 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.17 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.18 已知函数aa a x f xx +=)( (1>a 为常数).(2) 确定)(x f 的单调性；(2)求)109()103()102()101(f f f f ++++ 的值.19 已知函数a x f x+-=121)(，试推断是否存在常数a ，使)(x f 为奇函数? 若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.20 已知函数8234)(1+⋅-=+x xx f ，求满足0)(<x f 的x 的取值范围.21 已知当1>x 时，不等式12>-x x a ,)1,0(≠>a a 恒成立，求a 的取值范围.。

2.1.1.指数与指数幂的运算学案一

2．1．1 指数与指数幂的运算（一）【学习目标】1.能说出n 次方根及根式的定义、能用其定义进行化简求值；2.能将根式与初中所学二次根式类比，通过运算使同学们养成严谨思维的学习习惯.【学习重点】能用n 次方根的定义进行化简求值．【难点提示】n 次根式的准确运算与灵活运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材4850P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备1.我们在初中以及学习了乘方的意义，即n a = ；n a -= ()*n N ∈．2.在初中学习的整数指数幂的运算性质是、、 .3.计算填空：22= ；2(2)-= ；若24,x x ==则；由此我们知道，2x a =，x 叫做a 的平方根，记为：x =29x =,则x = ±3是9的平方根；若5n x =,则x 等于什么？这就是现在要学习的内容．你想知道怎样求得x 吗？二、学习探究 1.根式的概念●阅读理解请同学们阅读教材第49页后，完成以下填空：（1）如果n x a =，那么x 叫做a 的，其中1n >，且n N ∈．（2叫做，这里n 叫做，a 叫做．快乐体验1.填空：16的四次方根是；3是的三次方根；3的平方根是；2.计算下列各式，然后思考方根有哪些性质?= ；= = ；= ； 23= ；2(3)-= ；42= ； 4(2)-= ； = ； = ； = ．3.计算下列各式然后想想它们有哪些共同点?2= ；3= ； 3= ．= ； = ； = ； = ．2.根式的性质（1）n 次方根的性质●归纳归纳概括：(结合“快乐体验”，独立填写下列各空,然后与教材49页进行核对)○1当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个，负数的n 次方根是一个．这时，a 的n 次方根用符号表示．○2当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为．这时，正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成．③0的任何次方根都是00=；④负数偶次方根．（2）根式的性质根据上述观察思考所得结果完成下列填空 (结合“快乐体验”，独立填写下列各空,然后与教材50页进行核对) n = ,= ．三、典例赏析例1（教材50p 例1）解：●解后反思例1中的第4小题如果去掉条件a b >又该如何处理呢？易错点在哪里？●变式练习求下列各式和值：（1；（2 ；（3 解：例2. （1= ；（2）设33x -<<思路启迪：题目要求化简代数式，入手点在什么地方？（去掉根号）你能从被开方式的结构特征中找到所要的关系吗，请你试一试．解：●解后反思被开方式有什么结构特征，解答此题时你运用了什么知识? 在（2）小题中，若该题不给条件33x -<<，又如何化简呢？●变式练习计算：（1）2 （2）625625++-解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：n 次方根与根式的定义是什么？n 次方根与平方根有何关系？n 次方根与根式各有=a 一定成立吗？ 2.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价1．27的平方根与立方根分别是（）A ．B ．±C ．3±D ．3±±2．2(0)a a ≠的算术平方根为（）A ．aB ．a -C ．aD ．a ±3．()30a a -≠的立方根为（）．A ．a ；B ．a -；C ．a ；D ．a ±；4,n a ∈∈N R ）各式中，有意义的是（）A ．①②；B ．①③；C ．①②③④；D ．①③④．4= ；= ；=()0,0a b <<5．若35x y < ．6．解下列方程（1）3216x =-；（2）422240x x --=．◆承前启后我们学习了n。

人教A版高中数学必修一全册导学案指数与指数幂的运算(1)

§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.4850复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x 年后GDP 为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14关系为57301()2t P . 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： 2(2)4±=，那么2±就叫4的；3327=，那么3就叫27的；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 .依此类推，若n x a =,，那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根 ( n th root )，其中1n >,n *∈N .例如：328=2=.反思：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？3=3=-, 记：x =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如：81的4次方根就是，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00=.试试：4b a =，则a 的4次方根为；3b a =，则a 的3次方根为 .新知根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）.试试：计算2.反思：从特殊到一般，n结论：n a =. 当n a =；当n (0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1）；（2）；（3；（4） a b <）.变式：计算或化简下列各式.（1 （2.推广：（a ≥0）.※ 动手试试练1. -.练2. 化简三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质： ① 若1a >，则1n a >； 01n a <<. 其中n ∈N *.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 的值是（）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 625的4次方根是（）.A. 5B. －5C. ±5D. 253. 化简2是（）.A. b -B. bC. b ±D.1b4. = .5. 计算：3= ；1. 计算：（1 （2）2. 计算34a a -⨯和3(8)a +-，它们之间有什么关系？你能得到什么结论？3. 对比()n n n ab a b =与()nn n a a b b=，你能把后者归入前者吗？。

人教A版高中数学必修一指数与指数幂的运算教案课时(1)

第二课时：9月21日星期二（I ）复习回顾（II ）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n 次方根的概念来解：25101052a a ,a )a (=∴= ；也可根据n 次方根的性质来解：2552510a )a (a ==。

问题1：观察34122510a a ,a a ==，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？43124122510510a aa,a aa====⇒，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232a a=是否可行？分析：假设幂的运算性质mnnm a)a (=对于分数指数幂也适用，那么2332332a a)a (==⨯，这说明32a 也是2a 的3次方根，而32a 也是a 2的3次方根（由于这里n=3，a 2的3次方根唯一），于是3232a a =。

这说明3232a a =可行。

由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m nm 且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a n的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性。

根式与分数指数幂可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(-=-=-=-=--=-=-等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331==-=--=-=-而实际上；又如：，）（）（）（3412412888-=-=-34434124128888===-）（）（。

这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。

至于28)8(331-=-=-，这是正确的，但此时31)8(-不能理解为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62），这只表示一种上标。

河北省石家庄市复兴中学高中人教版数学必修1 2.1.1.1 指数与指数幂的运算教学案

2.1.1.1 指数与指数幂的运算班级姓名小组________第____号【学习目标】1.解释根式的概念及字母含义，会进行根式的化简2.通过探究和思考，培养学生推广的数学思想。

3.加深对n 次方根的理解，加强学生自主探究的能力。

【重点难点】重点：根式的概念及n 次方根的性质。

难点：n 次方根的性质应用。

【学情分析】在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。

【导学流程】自主学习内容一.回顾旧知：通过回忆初中的相关知识，填写下列问题。

1.一个正数有个平方根，它们互为。

2.0有个平方根，是。

3.负数平方根。

4.一个数的平方运算，在a=x 2中x 叫做，2叫做，a 叫做。

5.一个数的平方根运算，在x=a 中a 叫做，x 叫做。

二、基础知识感知1．根式(1)根式的定义:如果x n ＝a (n >1且n ∈N *)，那么x 叫作．式子叫作根式．这里n叫作，a 叫作．① 当n 为正奇数时，正数的n 次方根是，负数的n 次方根是． ② 当时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，没有偶次方根． ③0的任何次方根都是0，记作 .2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂的意义n a m 是a m 的n 次方根，即n a m ＝_____(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)正数的负分数指数幂和零的分数指数幂． ①n -a m＝______(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②0的正分数指数幂等于；③0的负分数指数幂．二、根式的性质 1. (n a )n ＝________(n ∈N *，且n ＞1)2.当n 为奇数时，n a n ＝；当n 为偶数时，n a n＝．三．探究问题【例1】根式的化简(1)化简5－32＋4（3－π）4＝________；(2)8（x －3）8＝______________．【例2】根式与分数指数幂的互化下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )小组讨论问题预设化简－x 3x的结果为( ) A ．－－x B.x C ．－x D.－x提问展示问题预设1.(1)若x 3＝－2，则x ＝ .(2)若x 4＝2，则x ＝ .2.用根式的形式表示下列各式（a>0）(1)21a = . (2)43a = . (3)53-a= . (4)32-a = . 3.用分数指数幂表示下列各式 (1)32x （x>0）= . (2)()43b a += . (3)32)(n m -(m>n)= . (4)()4m n - (m>n)= .课堂训练问题预设 (1) 6⎝⎛⎭⎪⎫1－π36＝________． (2)若b >a ，则化简(5（a －b ）)5＋(6b －a )6＝______．整理内化1.课堂小结2.本节课学习过程中的问题和疑难【课后限时练】限时50分钟第Ⅰ部分本节知识总结第Ⅱ部分基础知识达标一．判断题(每题6分，共12分)1.若(n－5)n有意义，则整数n 一定是奇数．( )2. 6（m －2）6＝m －2.( )二、选择题(每题6分，共42分)3．下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是( )A ．①③④B ．②③④C ．②③D ．③④4.已知x 7＝16，则x ＝( )A ．2 2 B.716 C ．－716 D ．±7165. m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.3m C.6m D.5－m6.()442-运算的结果是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．不确定7．下列各式正确的是( )A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a8．若3<a <4，化简（3－a ）2＋4（4－a ）4的结果是( )A ．7－2aB ．2a －7C ．1D ．－19.化简()23x +－()333x -得( )A ．6B ．2xC ．6或－2xD ．6或2x 或－2x二、选择题(每题6分，共12分)10.若x ≤－3，则（x ＋3）2－（x －3）2＝________．11．化简()24-π＋()334-π的结果为________．三．解答题（每题6分，共24分）12.求下列各式的值：(1) ()332-； (2) ()423-；(3) ()883π-； (4) ()2b a -.13．（10分）求使等式()()9a 32--a ＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围．第Ⅲ部分答疑解惑本节课学习过程中的问题和疑难。