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2020届河南省新乡市高三第二次模拟考试数学试题(解析版)

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2020年河南省新乡市高考(理科)数学二模试卷 解析版

2020年河南省新乡市高考(理科)数学二模试卷 解析版

2020年高考（理科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1} 2．若复数z满足z（2+i）＝5i，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 3．已知向量a→=(2，2√3)，b→=(√3，1)，则向量a→，b→的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π64．已知a=log35，b=3−0.2，c=31.2，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 5．已知角α的终边上有一点P(−√2，2)，则sin(2α+3π2)=（）A．−13B．−79C．13D．796．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法错误的是（）A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差7．函数f(x)=(1−21−e x)cos x的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是（ ） A ．54πB ．36πC ．27πD ．18π9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b +c =8，b(sinB −√3sinC)+csinC =a sin A ，则△ABC 的面积的最大值是（ ） A ．4B ．4√3C ．8D ．8√310．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（−π12，3)，与之相邻的一个对称中心为(π6，0)，将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度得到函数g（x ）的图象，则（ ） A ．g （x ）为偶函数B ．g （x ）的一个单调递增区间为[−5π12，π12] C ．g （x ）为奇函数D ．函数g （x ）在[0，π2]上有两个零点 11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的虚轴的一个顶点为N （0，1），左顶点为M ，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1→⋅PF 2→取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝2S 1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√2C ．2√3D ．2√512．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为线段A 1B 1，AB 的中点，O 为四棱锥E ﹣C 1D 1DC 的外接球的球心，点M ，N 分别是直线DD 1，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成角为θ，则当θ最小时，tan θ＝（ ）A ．2√2111B ．4√23C ．11√205205D ．11√2142二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点（1，2）在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的焦点坐标为．14．若实数x，y满足约束条件{x−y+2≥02x+y−2≥03x−y≤3，则z＝x﹣3y的最小值为．15．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“|a﹣b|≤3“的概率为16．已知函数f(x)=(12)x−√x+m，g(x)=x4−2x3−x2+2x+3，若∀x1∈R，∃x2∈（0，1），f（x2）＜g（x1），则m的取值范围为三、解答题（共5小题，满分60分）17．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0（n∈N+，且n≥2）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列．（2）求数列{a n}的通项公式．18．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边，若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2．（1）证明：AB⊥PA；（2）若E为棱BC的中点，求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．19．已知函数f（x）＝ax﹣e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的零点个数．20．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．（1）设日销售40个零件的概率为p，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z，写出z 关于p 的函数关系式，并求z 的极大值点p 0．（2）试销结束后统计得到该4S 店这30内的日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 40 60 80 100 频数912其中，有两个数据未给出．试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元/件；小箱每箱有40件，批发价为600元/件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率．该4S 店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店，假设日销售量为80件的概率为p 02，其中P 0为（1）中z 的极大值点．（i ）设该4S 店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量X ；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量Y ，求EX 和EY ；（ii ）以日利润的数学期望作为决策依据，该4S 店每天应该按什么方案批发零件？ 21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0）的离心率为√22，且四个顶点构成的四边形的面积是8√2．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点P （﹣2，0），且不垂直于y 轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 与椭圆C 交于E ，F 两点（O 是坐标原点），求四边形AEBF 的面积的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosα，y =2+3sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=2√2．（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P （﹣2，2），求−1|PM|+1|PN|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣5|．（1）当a＝3时，求不等式f（x）≤10的解集；（2）若f（x）≥1．求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：D．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．若复数z满足z（2+i）＝5i，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（2+i）＝5i，得z=5i2+i=5i(2−i)(2+i)(2−i)=1+2i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．已知向量a→=(2，2√3)，b→=(√3，1)，则向量a→，b→的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出向量a→，b→的夹角．解：设向量a→，b→的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵向量a→=(2，2√3)，b→=(√3，1)，故cosθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=2√3+2√34⋅2=√32，∴θ=π6，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4．已知a=log35，b=3−0.2，c=31.2，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵1＝log33＜log35＜log39＝2；0＜3﹣0.2＜1，31.2＞3，∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．已知角α的终边上有一点P(−√2，2)，则sin(2α+3π2)=（）A．−13B．−79C．13D．79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要去式子的值．解：角α的终边上有一点P(−√2，2)，∴tanα=2−2=−√2，则sin(2α+3π2)=−cos2α=sin2α−cos2αsin2α+cos2α=tan2α−1tan2α+1=2−12+1=13，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．6．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法错误的是（）A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【分析】分别求出甲、乙两厂轮胎宽度的平均数，众数，中位数，极差，由此能求出结果．解：由题意得：甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差为3，乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差为5，故A，C，D正确，B错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、众数、中位数、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．函数f(x)=(1−21−e x)cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可．解：f（x）=1−e x−21−e x cosx=ex+1e x−1cosx，则f（﹣x）=e−x+1e−x−1cos（﹣x）=1+ex1−e x cosx＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x＞0且x→0，f（x）＞0，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及利用极限思想是解决本题的关键．难度不大．8．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是（）A．54πB．36πC．27πD．18π【分析】设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，由圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，列出方程组，求出r＝h＝3，由此能求出该圆柱的体积．解：设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，由题意得{2πrℎ2πr2+2πrℎ=122(2r+h)=18，解得r＝h＝3，则该圆柱的体积是V＝πr2h＝27π．故选：C．【点评】本题考查圆柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b+c=8，b(sinB−√3sinC)+ csinC=a sin A，则△ABC的面积的最大值是（）A．4B．4√3C．8D．8√3【分析】由b（sin B−√3sin C）+c sin C＝a sin A，利用正弦定理可得：b（b−√3c）+c•c ＝a•a，再利用余弦定理可得A．由b+c＝8，利用基本不等式的性质可得bc的最大值．即可得出△ABC的面积的最大值．解：∵b（sin B−√3sin C）+c sin C＝a sin A，∴b（b−√3c）+c•c＝a•a，∴b2+c2﹣a2=√3bc，∴cos A=b 2+c2−a22bc=√32，A∈（0，π），解得A=π6．由b+c＝8，∴bc≤(b+c2)2=16，当且仅当b＝c＝4时取等号．∴△ABC的面积的最大值=12bc sin A=12×16×12=4．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（−π12，3)，与之相邻的一个对称中心为(π6，0)，将f（x）的图象向右平移π6个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）为偶函数B．g（x）的一个单调递增区间为[−5π12，π12]C．g（x）为奇函数D．函数g（x）在[0，π2]上有两个零点【分析】先根据余弦函数的图象和性质求出f （x ）解析式，再根据图象的变换规律求得g （x ）的解析式，最后根据余弦函数性质得出结论． 解：由题可得：T4=π6−（−π12）=π4；∴T ＝π⇒ω＝2；∴f （x ）＝3cos （2x +φ）；因为f （−π12）＝3cos[（2×（−π12）+φ]＝3⇒−π6+φ＝K π； ∵0＜φ＜π；∴φ=π6，∴f （x ）＝3cos （2x +π6）；∴g （x ）＝3cos[2（x −π6）+π6]＝3cos （2x −π6）；是非奇非偶函数；令﹣π+2k π≤2x −π6≤2k π⇒−5π12+k π≤x ≤k π+π12，k ∈z ；当k ＝0时，g （x ）的一个单调递增区间为：[−5π12，π12]； 2x −π6=k π+π2⇒x =kπ2+π3，k ∈z ，∴函数g （x ）在[0，π2]上只有一个零点．故选：B ．【点评】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的虚轴的一个顶点为N （0，1），左顶点为M ，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1→⋅PF 2→取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝2S 1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√2C ．2√3D ．2√5【分析】根据条件得到M （﹣a ，0），b ＝1，直线MN 方程为y =1ax +1，设P （m ，m+a m），则PF 1→⋅PF 2→=(a 2+1)m 2+2am−a 4a2，分别求出其最大、最小值列出方程c ＝2×a 2ca 2+1，解出a ，b 即可．解：根据条件，M （﹣a ，0），b ＝1，则直线MN 方程为y =1a x +1，因为点P 在线段MN 上，可设P （m ，m+a m）其中m ∈（﹣a ，0]，设双曲线焦距为2c ，则c 2＝a 2+1，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），则PF 1→⋅PF 2→=（﹣c ﹣m ，−m+a m ）（c ﹣m ，−m+am）＝m 2﹣c 2+m 2+2am+a 22=(a 2+1)m 2+2am−a 4a 2，因为m ∈（﹣a ，0]，所以当m =−a a 2+1时，PF 1→⋅PF 2→取最小值，此时S 1=12×2c [1a (−aa +1)+1]=a 2ca 2+1， 当−a a 2+1＞−a2时，即a ＞1时，无最大值， 故0＜a ≤1，此时在m ＝0处取得最大值，此时S 2＝c ，因为S 2＝2S 1，所以c ＝2×a 2c2，解得a ＝1，故a ＝1，b ＝1，c =√2， 则离心率e =ca =√2， 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查离心率求法，双曲线焦点三角形面积的最值，属于中档偏难题．12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为线段A 1B 1，AB 的中点，O 为四棱锥E ﹣C 1D 1DC 的外接球的球心，点M ，N 分别是直线DD 1，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成角为θ，则当θ最小时，tan θ＝（ ）A ．2√2111B ．4√23C ．11√205205D ．11√2142【分析】设P ，Q 分别是棱CD 和C 1D 1的中点，则四棱锥E ﹣C 1D 1DC 的外接球即三棱柱DFC ﹣D 1EC 1的外接球，其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连结的中点，θ的最小值是直线OC 与平面DD 1EF 所成角，问题转化为求直线OC 与平面DD 1EF 所成角的正切值．解：如图，设P ，Q 分别是棱CD 和C 1D 1的中点，则四棱锥E ﹣C 1D 1DC 的外接球即三棱柱DFC ﹣D 1EC 1的外接球， ∵三棱柱DFC ﹣D 1EC 1是直三棱柱，∴其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连结的中点， 由题意，MN 是平面DD 1EF 内的一条动直线，记直线OC 与MN 所成角为θ，则θ的最小值是直线OC 与平面DD 1EF 所成角， 即问题转化为求直线OC 与平面DD 1EF 所成角的正切值，不妨设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则EQ ＝2，ED 1=√5，∵△EC 1D 1为等腰三角形，∴△EC 1D 1外接圆直径为2GE =ED 1sin∠EC 1D 1=√52√5=52，则GE =54，GQ ＝2−54=34=PH ，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），D 1（0，0，2），C （0，2，0），F （2，1，0），O （34，1，1），DD 1→=（0，0，2），DF →=（2，1，0），OC →=（−34，1，−1）， 设平面DD 1EF 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DD 1→=2z =0n →⋅DF →=2x +y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣2，0）， 则sin θ=|n →⋅OC →||n →|⋅|OC →|=11√5×√41，tan θ=11√2142．故选：D ．【点评】本题考查㫒面直线所成最小角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点（1，2）在抛物线y 2＝2px 上，则该抛物线的焦点坐标为 （1，0） ． 【分析】由题意直接将点的坐标代入抛物线的方程求出p 的值，进而可得焦点的坐标． 解：由点（1，2）在抛物线y 2＝2px 上，所以22＝2×1，可得p ＝2， 所以抛物线的方程为：y 2＝4x ，所以焦点坐标为：（1，0）． 故答案为：（1，0）．【点评】本题考查抛物线的性质，属于基础题．14．若实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥02x +y −2≥03x −y ≤3，则z ＝x ﹣3y 的最小值为 ﹣11 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：由z ＝x ﹣3y 得y =13x −z3，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y =13x −z3，由图象可知当直线y =13x −z 3经过点A 时，直线y =13x −z3截距最大，此时z 最小，由{x −y +2=03x −y =3，解得A （52，92）． 将A （52，92）代入目标函数z ＝x ﹣3y ，得z ＝﹣11．∴目标函数z ＝x ﹣3y 的最小值是﹣11． 故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“|a ﹣b |≤3“的概率为815【分析】由题意知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，从中任取两个有效数字，共有n =C 62=15种情况，利用列举法求出事件“|a ﹣b |≤3“包含的基本事件有8种，由此能求出事件“|a ﹣b |≤3“的概率． 解：由题意知第三到第八位有效数字为： 4，1，5，9，2，6，从中任取两个有效数字，共有n =C 62=15种情况，从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ， 则事件“|a ﹣b |≤3“包含的基本事件有8种，分别为：（4，1），（4，5），（4，2），（4，6），（1，2），（5，2），（5，6），（9，6）， ∴事件“|a ﹣b |≤3“的概率为815．故答案为：815．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知函数f(x)=(12)x −√x +m ，g(x)=x 4−2x 3−x 2+2x +3，若∀x 1∈R ，∃x 2∈（0，1），f （x 2）＜g （x 1），则m 的取值范围为 （﹣∞，52）．【分析】由题意可知，f （x 2）min ＜g （x 1）min ，利用函数的单调性质可求得f （x ）在（0，1）上的值域为（m −12，m +1），g （x ）min ＝2，故m −12＜2，解之即可．解：∵函数f(x)=(12)x −√x +m ，g(x)=x 4−2x 3−x 2+2x +3， 若∀x 1∈R ，∃x 2∈（0，1），f （x 2）＜g （x 1），即f （x 2）min ＜g （x 1）min ， ∵g （x ）＝x 4﹣2x 2（x +1）+x 2+2x +1+2＝[x 2﹣（x +1）]2+2， 又x 2﹣（x +1）＝0有解， ∴g （x ）min ＝2，又f(x)=(12)x −√x +m ∈在0，1）上单调递减，∴f （x ）在（0，1）上的值域为（m −12，m +1）， ∴m −12＜2，解得：m ＜52，故答案为：（﹣∞，52）．【点评】本题考查利用导数求函数的极值，依题意得f（x2）min＜g（x1）min是关键，考查等价转化思想与运算能力，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0（n∈N+，且n≥2）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列．（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）把已知递推关系式整理即可证明结论；（2）利用第一问的结论以及叠加法即可求解．解：（1）因为a n+1﹣3a n+2a n﹣1＝0⇒a n+1﹣a n＝2（a n﹣a n﹣1）；又a1＝1，a2＝3，∴a2﹣a1＝2≠0；∴数列{a n+1﹣a n}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得a n+1﹣a n＝2n；∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+（a n﹣2﹣a n﹣3）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=1−2n1−2＝2n﹣1；（n≥2），当n＝1时，a1＝1适合上式，故a n＝2n﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用以及等比数列的证明，属于中档题目．18．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边，若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2．（1）证明：AB⊥PA；（2）若E为棱BC的中点，求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．【分析】（1）首先证得AB⊥AC，再利用面面垂直的性质定理可得AB⊥平面PAC，进而可证AB ⊥PA ；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式即可得解． 解：（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，BC 为斜边， ∴AB ⊥AC ，又∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴AB ⊥平面PAC ， 又PA 在平面PAC 内， ∴AB ⊥PA ；（2）由（1）知，AB ⊥AC ，PC ⊥平面ABC ，则以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点A 作平行于PC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PC ＝1，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，2，1），E （1，1，0），故AB →=(2，0，0)，AP →=(0，2，1)，AE →=(1，1，0)，设平面PAB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2x =0n →⋅AP →=2y +z =0，故可取n →=(0，1，−2)，设平面PAE 册一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AE →=a +b =0m →⋅AP →=2b +c =0，故可取m →=(1，−1，2)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=−√306，由图可知二面角B ﹣PA ﹣E 为锐角，故二面角B ﹣PA ﹣E 的余弦值为√306．【点评】本题考查面面垂直的性质定理，以及线面垂直的性质定理的运用，考查利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题． 19．已知函数f （x ）＝ax ﹣e x （a ∈一、选择题）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）讨论f （x ）在（0，+∞）上的零点个数．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求；（2）由f（x）＝0分离参数后，构造函数，结合导数分析函数的性质可求．解：（1）f′（x）＝a﹣e x，当a≤0时，f′（x）＜0，函数在R上单调递减，当a＞0时，当x＜lna时，f′（x）＞0，函数在R上单调递增，当x＞lna时，f′（x）＜0，函数在R上单调递减，（2）令f（x）＝0可得a=e x x，设g（x）=e xx，x＞0，则g′(x)=(x−1)e xx2，当x＞1时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数单调递减，故g（x）≥g（1）＝e，当a＜e时，a=e xx在（0，+∞）上没有零点，即f（x）没有零点；当a＝e时，a=e xx在（0，+∞）上有一个零点，即f（x）有一个零点；当a＞e时，a=e xx在（0，+∞）上有2个零点，即f（x）有2个零点；【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及函数零点个数的判断，体现了分类讨论思想的应用．20．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．（1）设日销售40个零件的概率为p，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z，写出z关于p的函数关系式，并求z的极大值点p0．（2）试销结束后统计得到该4S店这30内的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量406080100频数912其中，有两个数据未给出．试销结束后，这款零件正式上市，每件的定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有55件，批发价为550元/件；小箱每箱有40件，批发价为600元/件，以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率．该4S店决定每天批发两箱，若同时批发大箱和小箱，则先销售小箱内的零件，同时根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设日销售量为80件的概率为p 02，其中P 0为（1）中z 的极大值点．（i ）设该4S 店批发两大箱，当天这款零件的利润为随机变量X ；批发两小箱，当天这款零件的利润为随机变量Y ，求EX 和EY ；（ii ）以日利润的数学期望作为决策依据，该4S 店每天应该按什么方案批发零件？ 【分析】（1）设日销售40个零件的概率为p ，记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z ，写出z 关于p 的函数关系式z =C 52p 2(1−p)3=10p 2（1﹣p ）3，0＜p ＜1，再由z ′＝10p （1﹣p ）2（2﹣5p ），利用导数性质能求出z 的极大值点p 0． （2）日销售量为80件的概率为p 02=15，日销售量为100的概率为1−310−25−15=110，（i ）批发两大箱，则批发成本为60500元，分别求出当日销售量为40件、60件、80件、100件时的利润，由此能求出EX ；若批发两小箱，则批发成本为48000元，分别求出当日销售量为40件、60件、80件或100件时的利润，由此能求出EY ．（ii ）当4S 店批发一大箱和一小箱时，成本为54250万元，当天这款零件的利润为随机变量ξ，分别求出当日销售量为40件、60件、80件、100件时的利润，求出E ξ，由EY ＜E ξ＜EX ，得到以日利润的数学期望作为决策依据，该4S 店每天应该按批发两大箱．解：（1）由题意可得z =C 52p 2(1−p)3=10p 2（1﹣p ）3，0＜p ＜1，z ′＝10[2p （1﹣p ）3﹣3p 2（1﹣p ）2]＝10p （1﹣p ）2（2﹣5p ）， 当0＜p ＜25时，z ′＞0，当25＜p ＜1时，z ′＜0，∴p 0=25．（2）由题意得日销售量为80件的概率为p 02=15，日销售量为100的概率为1−310−25−15=110， （i ）批发两大箱，则批发成本为60500元，当日销售量为40件时，利润为：40×1000﹣60500+70×550×90%＝1.415（万元）， 当日销售量为60件时，利润为：60×1000﹣60500+50×550×90%＝2.425（万元）， 当日销售量为80件时，利润为：80×1000﹣60500+30×550×90%＝3.435（万元）， 当日销售量为100件时，利润为：100×1000﹣60500+10×550×90%＝4.445（万元）， ∴EX =1.415×310+2.425×25+3.435×15+4.445×110=2.526（万元）． 若批发两小箱，则批发成本为48000元，当日销售量为40件时，利润为：40×1000﹣48000+40×600×90%＝1.36（万元），当日销售量为60件时，利润为：60×1000﹣48000+20×600×90%＝2.3075（万元），当日销售量为80件或100件时，利润为：80×1000﹣48000＝3.2（万元），∴EY＝1.36×310+2.28×25+3.2×310=2.28（万元）．（ii）当4S店批发一大箱和一小箱时，成本为54250万元，当天这款零件的利润为随机变量ξ，当日销售量为40件时，利润为：40×1000﹣54250+55×550×90%＝1.2975（万元），当日销售量为60件时，利润为：60×1000﹣54250+35×550×90%＝2.3075（万元），当日销售量为80件时，利润为：80×1000﹣54250+15×550×90%＝3.3175（万元），当日销售量为100件时，利润为：100×1000﹣54250＝4.075（万元），∴Eξ=1.2975×310+2.3075×25+3.3175×15+4.075×110=2.38325（万元）．∴EY＜Eξ＜EX，∴以日利润的数学期望作为决策依据，该4S店每天应该按批发两大箱．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．已知椭圆C：x2a+y2b=1(a＞b＞0）的离心率为√22，且四个顶点构成的四边形的面积是8√2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P（﹣2，0），且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM与椭圆C交于E，F两点（O是坐标原点），求四边形AEBF的面积的最小值．【分析】（1）由题意得关于a，b，c的方程组，解得a，b，c的值，则椭圆C的方程可求；（2）设直线l的方程为x＝my﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得M的坐标，得到直线OM的方程，与椭圆方程联立，求出|EF|，设点A到直线OM的距离为d，则点B到OM的距离也为d，利用点到直线的距离公式求得2d，写出四边形的面积S再由配方法求四边形AEBF的面积的最小值．解：（1）由题意得{ c a =√2212×2a ×2b =2ab =8√2a 2=b 2+c 2，解得a =2√2，b ＝2．故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）设直线l 的方程为x ＝my ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x =my −2x 28+y 24=1，整理得（m 2+2）y 2﹣4my ﹣4＝0．则y 1+y 2=4m m 2+2，y 1y 2=−4m 2+2， 从而x 1+x 2=m(y 1+y 2)−4=−8m 2+2． 故M （−4m 2+2，2m m +2）． 直线OM 的斜率为−m2，∴直线OM 的方程为y =−m2x ，即mx +2y ＝0． 联立{mx +2y =0x 28+y 24=1，整理得x 2=16m 2+2，则|EF |=2√x 2+y 2=4√m 2+42．设点A 到直线OM 的距离为d ，则点B 到OM 的距离也为d ， 从而2d =1122√m +4．∵点A ，B 在直线OM 的两侧，∴（mx 1+2y 1）（mx 2+2y 2）＜0． ∴|mx 1+2y 1|+|mx 2+2y 2|＝|mx 1+2y 1﹣mx 2﹣2y 2|， 则2d =212√m +4．∵|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√2√m 2+1m 2+2，∴2d =4√2√m 2+1m 2+4．则四边形的面积S =12|EF|×2d =12×4√m 2+4m 2+2×4√2√m 2+1m 2+2=8√2√m 2+1m 2+2．∵m 2+1m 2+2=1−1m 2+2≥12（当且仅当m ＝0时等号成立）．∴S ≥8√2×√12=8．即四边形AEBF 的面积的最小值是8．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，训练了利用配方法求最值，是中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosα，y =2+3sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=2√2．（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P （﹣2，2），求−1|PM|+1|PN|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =3cosα，y =2+3sinα（α为参数）．转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝9．直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=2√2，转换为直角坐标方程为x ﹣y +4＝0．（2）线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P （﹣2，2），所以直线的参数方程为{x =−2+√22t y =2+√22t（t 为参数），代入圆的方程为：t 2−2√2t −5=0， 所以t 1+t 2=2√2，t 1t 2＝﹣5， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=2√75． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |+|x ﹣5|．（1）当a ＝3时，求不等式f （x ）≤10的解集；（2）若f （x ）≥1．求a 的取值范围．【分析】（1）f （x ）≤10即|x +3|+|x ﹣5|≤10，运用绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）f （x ）≥1等价为|x +a |+|x ﹣5|≥1恒成立，由绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，由绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）当a ＝3时，f （x ）≤10即|x +3|+|x ﹣5|≤10，等价为{x ≥5x +3+x −5≤10或{−3＜x ＜5x +3+5−x ≤10或{x ≤−3−x −3−x +5≤10， 解得5≤x ≤6或﹣3＜x ＜5或﹣4≤x ≤﹣3，则原不等式的解集为[﹣4，6]；（2）f （x ）≥1等价为|x +a |+|x ﹣5|≥1恒成立，由|x +a |+|x ﹣5|≥|x +a +5﹣x |＝|a +5|，当（x +a ）（x ﹣5）≤0取得等号，则|a +5|≥1，解得a ≥﹣4或a ≤﹣6．则a 的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[﹣4，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年河南省新乡市高考数学模拟试卷(二)(3月份)(有答案解析)

2020年河南省新乡市高考数学模拟试卷(二)(3月份)(有答案解析)

2020年河南省新乡市高考数学模拟试卷（二）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={x∈N|ln x＜1}，则A∩B=（）A. {0，1}B. {1，2}C. {0，1，2}D. {0，1，2，3}2.设复数z满足，则|z|=（）A. 1B.C. 3D.3.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C. 3D.4.不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（）A. 12B. 16C. 24D. 325.在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则=（）A. B. C. D.6.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A. 4B. 13C. 40D. 417.将函数f（x）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）g（x）的最大值为（）A. B. C. 1 D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，点G是△ABC的重心，且AG=，则△ABC 的面积为（）A. B. C. 或 D. 或10.函数f（x）=x sin2x+cos x的大致图象有可能是（）A. B.C. D.11.已知四棱锥S-ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S-BC-A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=e x-e-x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（）A. （-∞，1）B. （-∞，1]C. （-∞，2）D. （-∞，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式的展开式中x-2的系数是______．14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______．15.已知sin10°+m cos10°=2cos140°，则m=______．16.已知A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是______．（用p表示）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n+2-2，n∈N*．（1）若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．（2）若a2=a1=1，b1=2，b n=a n-1+a n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）能否存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的数据，列表如下：t i12345y i2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20.顺次连接椭圆（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M满足，连接BM并延长椭圆C于点N，求的值．21.已知函数f（x）=x2-2x+2a ln x，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ=（ρ∈R）．（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为y=-x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2，求a的值．23.已知函数f（x）=|4x-1|-|x+2|．（1）解不等式f（x）＜8；（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2-8a的解集不是空集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={1，2}，A={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足，∴z-i=2i+1，可得z=3i+1．则|z|==．故选D．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即，即有双曲线的e====2．故选：A．4.答案：C解析：解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B由平面向量基本定理及共线向量的运算得：==+=+（）=，得解．本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．【解答】解：==+=+（）=，故选B．6.答案：C解析：【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．【解答】解：模拟程序的运行，可得，A=1，B=0；满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2；满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3；满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4；满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5；此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选C．7.答案：A解析：解：将函数f（x）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin（x-），则y=f（x）g（x）=sin x•sin（x-）=-[cos（2x）-cos]=-cos（2x）+，又-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，故选：A．由三角函数图象的平移得：g（x）=sin（x-），由积化和差公式得：y=f（x）g（x）=sin x•sin （x-）=-[cos（2x）-cos]=-cos（2x）+，由三角函数的有界性及最值得：因为-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，得解．本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8.答案：B本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由几何体的三视图得该几何体三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，∴BO==3，SO==1，∴该几何体的体积为：V===．故选：B．9.答案：D解析：解：由题可知2sin A sin B-sin A cos C=sin C cos A，∴2sin A sin B=sin（A+C）=sin B，∴sin A=，∴A=或，又AG=，延长AG交BC于点D，∴AD=，∵=（+），∴2=（+）2=（b2+c2+2bc cos A），当A=时，c=3，∴△ABC的面积为bc sin A=，当A=时，c=4，∴△ABC的面积为bc sin A=故选：D．先根据正弦定理可求出A=或，再根据向量的运算和余弦定理即可求出c，根据三角形的面积公式计算即可本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题10.答案：A解析：解：f（-x）=-x sin（-2x）+cos（-x）=x sin2x+cos x=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sin x cosx+cos x=0，得cos x（2x sinx+1）=0，得cos x=0，此时x=或，由2x sinx+1=0得sin x=-，作出函数y=sin x和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11.答案：C解析：解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=π，所以，，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S-BC-A的平面角为∠ABS，即．在Rt△ABS中，．所以，直角△ABC的外接圆直径为，即四边形ABCD的外接圆直径为AC=2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S-ABCD的外接球直径为，因此，该球的表面积为4πR2=π×（2R）2=8π．故选：C．先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S-BC-A的平面角为，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12.答案：D解析：解：令g（x）=e x-e-x-mx，x∈（0，+∞），则g′（x）=e x+e-x-m，x∈（0，+∞），易得函数y=e x+e-x＞2在x∈（0，+∞）恒成立，故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）=0，故f（x）＜mx恒成立，当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增，故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）=0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又g（0）=0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是（-∞，2]，故选：D．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.答案：-10解析：解：二项式的展开式中通项公式：T r+1==（-1）r．令-=-2，解得r=3．x-2的系数=-=-10．故答案为：-10．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：5解析：解：x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（-3，-2）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（-2，3），则的最大值是：=5．故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15.答案：-解析：【分析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由题意可得m=，再利用两角和与差的三角函数公式求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====-，故答案为：-．16.答案：（p，+∞）解析：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|=|PB|则=；整理得（x1-x2）（x1+x2-2x0）=y22-y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12=2px1，y22=2px2，代入上式得x0=p+，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，则得x0=p+＞p，即x0的取值范围是（p，+∞），故答案为：（p，+∞）．设出A，B坐标，结合线段AB垂直平分线的性质建立|PA|=|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．17.答案：解：（1）由题意，可知：∵数列{a n}为等比数列，且数列{a n}满足2S n=a n+2-2，n∈N*．∴当n=1时，有：2S1=a3-2…①当n=2时，有：2S2=a4-2…②②-①，可得：2a2=a4-a3，化简整理，得：q2-q-2=0，解得：q=2，或q=-1，∵数列{a n}各项均为正项．∴q=-1舍去．∴q=2．（2）由题意，可知：∵当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=a n+2-2-a n+1-2=a n+2-a n+1．∵a n+2-a n=a n+a n+1．b n=a n-1+a n=S n-S n-2====，∴b n+1=2b n．∵b1=2，∴数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴，n∈N*．解析：（1）根据题意，由数列的递推公式可得2S1=a3-2，2S2=a4-2，两式相减，变形可得2a2=a4-a3，即q2-q-2=0，解可得q的值，即可得答案；（2）根据题意，可将b n=a n-1+a n，用递推公式反向代入，然后可找到b n与b n+1的关系，得出数列{b n}是一个等比数列，即可得答案；本题考查数列的递推公式的应用，注意对数列的递推公式的变形，属于基础题．18.答案：解：（1）不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为．所以，，．设是平面CDE的法向量，则即，取x=2，则z=-1，所以平面CDE的一个法向量为．所以．所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．显然，．设是平面CD1O的法向量，则，即．取x=1，则y=1，z=1，所以平面CD1O的一个法向量为．因为，所以点E的坐标为．所以，．设是平面CDE的法向量，则即．取x=1，则，所以平面CDE的一个法向量为．因为平面CDE⊥平面CD1O，所以，即，，解得λ=2．所以λ的值为2．即当时，平面CDE⊥平面CD1O．解析：（1）设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线OD1与平面CDE所成角的正弦值．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．求出平面CD1O的法向量，平面CD1O的一个法向量，利用向量法能求出结果．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）由题知，，，，，则=．故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则，故所求概率为．②若选择方案一，则需付款1000-100=900（元），若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000.；；；．所以（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算．解析：（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次；②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择．本题考查了线性回归方程，属中档题．20.答案：解：（1）由题可知，a2+b2=3，解得，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），∵，∴，∴，．又∵，∴，即，．∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴，即．（*）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，①，②又直线OA，OB斜率之积为，∴，即，③将①②③代入（*）得，解得．解析：（1）由菱形的面积公式可得2ab=2，由勾股定理可得a2+b2=3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21.答案：（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，又，即x2-x+a=0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2．所以,解得;（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2-x+a=0的两个不等的实根，所以,其中,故=（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2a ln（x1x2）=2a lna-2a-1，令g（a）=2a lna-2a-1，其中,故g'（a）=2ln a＜0，所以g（a）在上单调递减，则，即．解析：本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道较难题．（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质，确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：（1）曲线C1：（a＞0，t为参数）．转换为直角坐标方程为：（x-a）2+y2=a2，该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ．（2）直线C3的方程为y=-x，转换为极坐标方程为：．将代入ρ=2cosθ，解得：，则：=，解得：a=2．解析：（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.答案：解：（1）由题意可得f（x）=，当x≤-2时，-3x+3＜8，得，无解；当时，-5x-1＜8，得，即；当时，3x-3＜8，得，即．所以不等式的解集为．（2）f（x）+5|x+2|=|4x-1|+|4x+8|≥9，则由题可得a2-8a＞9，解得a＜-1或a＞9．解析：（1）求出f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2020届河南省新乡市新乡一中高三二模数学(理)试题解析

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绝密★启用前2020届河南省新乡市新乡一中高三二模数学（理）试题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}|214A x x =<-<，{}2|4120B x x x =--…，则()A B =R U ð（ ） A ．()2,1--B ．()3,6-C ．(]3,6-D ．()6,2-答案：B 算出集合B ，求出B R ð，直接进行交集运算即可.解：因为{}|31A x x =-<<-，{}|26B x x =-<<R ð，所以(){}|36A B x x =-<<R U ð.故选：B点评：本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题.2．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（ ） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i + 答案：C 求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.解：121312z i i z i +--==+. 故选：C点评：本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.3．已知向量()0,2=r a ，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x =（ ） A ．-2B ．2C ．1D ．-1答案：B a b π⋅r r解： 由题意21cos 32212a b a b x π⋅===+r r r r ， 所以0x >，且2212x x =+，解得2x =.故选：B.点评：本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 4．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3- 答案：B根据约束条件作出可行域，找到使直线4y x z =-+的截距取最值得点，相应坐标代入4z x y =+即可求得取值范围.解：画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1A --时，z 取得最小值－5；经过点()1,1B 时，z 取得最大值5，故55z -剟.故选：B点评：本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤答案：C 根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 解：由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S =时，9i =；当1910S =+=时，8i =；当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =.此时输出31S =.故选：C.点评：本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.6．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：B先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.解：()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A . 故选：B.本题考查函数图象的判断，属于常考题.7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544答案：C根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.解：由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„.故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185.故选：C点评：本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.8．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 答案：A联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可.联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩， 不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0， 因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r ，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，两边同时除以2a 可得，210e e +-=，解得ee =，故选：A点评：本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9．将函数f (x )=sin 3xcos 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论：①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称； ④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④ 答案：B根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦解：因为f (x )=sin 3x -3cos 3x +1=2sin (3x -3π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g (x )=2sin [3(x +6π)-3π]+1=2sin (3x +6π)+1，其最小正周期为23T π=，故②正确； 令3x +6π=k π+2π，得x =3k π+9π(k ∈Z )，所以x =59π不是对称轴，故①错误； 令3x +6π=k π，得x =3k π-18π(k ∈Z )，取k =2，得x =1118π，故函数g (x )的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确； 令2k π-2π≤3x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x ≤23k π+9π，取k =2，得109π≤x ≤139π，取k =3，得169π≤x ≤199π，故④错误； 故选：B点评：本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且2m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且2m =C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且3m = 答案：B连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性。

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绝密★启用前2020届河南省新乡市新乡一中高三二模数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{}|214A x x =<-<，{}2|4120B x x x =--…，则()A B =R U ð（ ）A ．()2,1--B ．()3,6-C ．(]3,6-D ．()6,2-答案：B算出集合B ，求出B R ð，直接进行交集运算即可. 解：因为{}|31A x x =-<<-，{}|26B x x =-<<R ð，所以(){}|36A B x x =-<<R U ð.故选：B 点评：本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题. 2．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 答案：C求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 解：121312z i iz i +--==+. 故选：C 点评：本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.3．已知向量()0,2=r a ，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-1答案：Ba b π⋅r r解：由题意21cos 32212a b a b x π⋅===+r r r r ，所以0x >，且2212x x =+，解得2x =.故选：B. 点评：本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.4．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-答案：B根据约束条件作出可行域，找到使直线4y x z =-+的截距取最值得点，相应坐标代入4z x y =+即可求得取值范围.解：画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1A --时，z 取得最小值－5；经过点()1,1B 时，z 取得最大值5，故55z -剟.故选：B 点评：本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤答案：C根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 解：由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 点评：本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题. 6．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 解：()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A .故选：B.本题考查函数图象的判断，属于常考题.7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ） 附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544答案：C根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.解：由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„.故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 点评：本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.8．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 答案：A联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可.联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0，因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=， 因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ， 两边同时除以2a 可得，210e e +-=， 解得ee =，故选：A 点评：本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9．将函数f (x )=sin 3xcos 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．②③④答案：B根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦解：因为f (x )=sin 3x -3cos 3x +1=2sin (3x -3π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g (x )=2sin [3(x +6π)-3π]+1=2sin (3x +6π)+1，其最小正周期为23T π=，故②正确； 令3x +6π=k π+2π，得x =3k π+9π(k ∈Z )，所以x =59π不是对称轴，故①错误； 令3x +6π=k π，得x =3k π-18π(k ∈Z )，取k =2，得x =1118π，故函数g (x )的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确； 令2k π-2π≤3x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x ≤23k π+9π，取k =2，得109π≤x ≤139π，取k =3，得169π≤x ≤199π，故④错误；故选：B 点评：本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且2m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且2m =C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m = D ．直线1A E 与直线1C F 共面，且3m = 答案：B连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用余弦定理求解. 解： 如图所示：连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC P ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得11AB C D P ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设12AA =AB =122AA =，则5DF =13C F 16C D =， 由余弦定理，得1cos m DC F =∠=2236=⨯⨯故选：B 点评：本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1198C ．1024D ．1560答案：Cn c n =，依次用累加法，可求解.解：设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-L L所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+L L 同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--L L11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 点评：本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.12．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ）A ．(,2ln 2)-∞-B ．(],2ln 2-∞-C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+答案：C先求导得221()ax x f x x-+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 解：由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 点评：本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.二、填空题13．已知数列{}n a 是等比数列，131,36a a ==，则2a =__________. 答案：6±根据等比数列通项公式，首先求得q ，然后求得2a . 解：设{}n a 的公比为q ，由131,36a a ==，得236,6q q ==±，故26a =±.故答案为：6± 点评：本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.14．已知双曲线22x a -22y b=1(a >0，b >0)与抛物线y 2=8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|FP |=5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为_____.设点P 为()00,x y ，由抛物线定义知，025FP x =+=，求出点P 坐标代入双曲线方程得到,a b 的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 解：由题意得F (2，0)，因为点P 在抛物线y 2=8x 上，|FP |=5，设点P 为()00,x y ，由抛物线定义知，025FP x =+=，解得003x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩不妨取P (3，)，代入双曲线22x a -22y b=1，得29a -224b =1，又因为a 2+b 2=4，解得a =1，b，因为双曲线的渐近线方程为by x a=±， 所以双曲线的渐近线为y =，由点到直线的距离公式可得，点F 到双曲线的渐近线的距离d ==运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 15．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，点E 在BD 上，EA ＝EB ＝EC ＝ED ，BD 2=CD ，△ACD为正三角形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含端点），且AM ＝CN ，则当四面体C ﹣EMN 的体积取得最大值23时，三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为_____.答案：32π设ED ＝a ，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE ⊥ED. AM ＝x ，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM 的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可. 解：设ED ＝a ，则CD 2=.可得CE 2+DE 2＝CD 2，∴CE ⊥ED.当平面ABD ⊥平面BCD 时，当四面体C ﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设AM ＝x . 则四面体C ﹣EMN 的体积13=⨯（a ﹣x ）12⨯⨯a ×x 22212=ax （a ﹣x ）222()1223x a x a +-≤=，当且仅当x 2a =时取等号.解得a ＝2.此时三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积＝4πa 2＝32π. 故答案为：32π 点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.三、双空题16．若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-，则1a =__________；125a a a ++⋅⋅⋅+=__________.答案：80 211根据()5522x x ⎡⎤=+-⎣⎦，利用通项公式求解51412a C =⋅.再利用赋值法，令3x =，得0125a a a a +++⋅⋅⋅+，令2x =，得0a 即可.解：因为()5522x x ⎡⎤=+-⎣⎦，则5141280a C =⋅=. 令3x =，得501253243a a a a +++⋅⋅⋅+==；令2x =，得50232a ==， 故12524332211a a a ++⋅⋅⋅+=-=. 故答案为：(1). 80 (2). 211 点评：本题主要二项展开式的通项公式和系数和问题，还考查了赋值法运算求解的能力，属于基础题.四、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=.（1）求A ；（2）若2b c =，点D 为边BC 的中点，且AD =，求ABC ∆的面积.答案：（1）3A π=；（2）ABC S ∆=(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2) 为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入2b c =可解得2,4c b ==,再代入面积公式求解即可. 解：（1）由(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=, 可得222a b bc c -+=,由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==, 故3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r,两边同时平方可得22242||||cos AD AB AC AB AC A =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,故2228c b bc =++.因为2b c =,所以2,4c b ==. 所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 点评：本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如下：（1）从空气质量指数属于[]0,50，(]50,100的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0,0100,220,100250,1480,250300,x y x x ⎧⎪=<⎨⎪<⎩剟„„，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望. 答案：（1）23114（2）9060元 (1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为X 元，分别求出()0P X =，()220P X =，()1480P X =，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望. 解：解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则()()()223P P P ξξξ==+= (213061461433202023)114C CC C C C =+=.（2）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则X 的可能取值为0，220，1480，()()201001001005P X P x ====剟， ()()70722010025010010P X P x ==<==„，()()101148025030010010P X P x ==<==„，所以1710220148030251010EX =⨯+⨯+⨯=（元），故该企业一个月的经济损失的数学期望为309060EX =（元）. 点评：本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.19．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .（1）证明：BP ⊥平面DCP .（2）三棱锥D BPC -的体积最大时，求二面角B PD E --的余弦值. 答案：（1）见解析（2）155（1）利用面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BPC ，由此证得DC BP ⊥，根据圆的几何性质证得BP PC ⊥，由此证得BP ⊥平面DCP .（2）判断出三棱锥D BPC -的体积最大时P 点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD 和平面EPD 的法向量，计算出二面角B PD E --的余弦值. 解：（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形， 所以DC ⊥平面BPC .因为BP ⊂平面BPC ，所以DC BP ⊥.因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥. 又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .（2）解：显然，当点P 位于»BC的中点时，BCP ∆的面积最大，三棱锥D BPC -的体积也最大.不妨设2BC =，记AD 中点为G ，以E 为原点，分别以,,EB EP EG u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)E B D P -，(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BD ED PD =-=-=--u u u r u u u r u u u r设平面BDP 的法向量为()111,,m x y z =r，则11111220,20,BD m x z PD m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u v ru u u v r 令11x =，得(1,1,1)m =r . 设平面DEP 的法向量为()222,,n x y z =r，则2222220,20,ED n x z PS n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u v r u u u v r 令22x =，得(2,0,1)n =r ， 所以15cos ,||||35m nm n m n ⋅〈〉===⨯r rr r r r r . 由图可知，二面角B PD E --为锐角，故二面角B PD E --的余弦值为155.点评：本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为抛物线C 过焦点F 的弦，已知以AB 为直径的圆与l 相切于点()1,0-. （1）求p 的值及圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF NF ⊥.答案：（1）2，()2214x y -+=；（2）证明见解析.（1）由题意得l 的方程为2px =-，根据AB 为抛物线C 过焦点F 的弦，以AB 为直径的圆与l 相切于点()1,0-..利用抛物线和圆的对称性，可得12p-=-，圆心为()1,0F ，半径为2.（2）设()01,M y -，MN 的方程为()01y k x y =++，代入C 的方程，得()20440ky y y k -++=，根据直线与抛物线相切，令()016160k y k ∆=-+=，得01y k k +=，代入()20440ky y y k -++=，解得2y k =.将2y k=代入C 的方程，得21x k=，得到点N 的坐标为212,k k ⎛⎫⎪⎝⎭，然后求解FM FN ⋅u u u u r u u u r .解：（1）解：由题意得l 的方程为2px =-， 所以12p-=-，解得2p =. 又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为()1,0F ，半径为2. 所以圆的方程为()2214x y -+=.（2）证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设()01,M y -，MN 的方程为()01y k x y =++，代入C 的方程，得()20440ky y y k -++=.令()016160k y k ∆=-+=，得01y k k+=， 所以()222044440k y ky ky y y k k -+-++==，解得2y k=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k=，即点N 的坐标为212,k k ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()02122,,1,FM y FN kk ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ， 02222212220FM FN y k k k k k k ⎛⎫⋅=-+⋅=-+-⋅= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，故MF NF ⊥. 点评：本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 21．已知函数22()1e x f x ax ax =++-.（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围. 答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）(],2-∞（1）由于函数2()()22e xg x x ax f a ==+-'，得出()2()22exg x a '=--，分类讨论当0a ≤和0a >时，()g x '的正负，进而得出()g x 的单调性；（2）求出()22e (21)21x f x x a x ⎛⎫'=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e 21x a x =+，设22()21x eh x x =+，通过导函数()h x '，可得出()h x 在(0,)+∞上的单调性和值域，再分类讨论2a ≤和2a >时，()f x 的单调性，再结合(0,)x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，即可求出a 的取值范围. 解：解：（1）因为2()()22e xg x x ax f a ==+-'， 所以()22()24e22e xx g x a a '=-=--，①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <；令()0g x '<，则1ln 22ax >， 所以()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减.综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减； 当0a >时，()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. （2）因为22()1e xf x ax ax =++-，可知(0)0f =，2()22e xf x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x xa x x a x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e21x a x =+.设22()21xe h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+. 当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221x e x >+.当2a ≤时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意.当2a >时，(0)2h a =<，所以22e ()21xh x a x ==+有唯一实根0x ，当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意.综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞. 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy中，已知点1,2M ⎛ ⎝⎭，1C的参数方程为12x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2232cos θρ=+.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值. 答案：（1）y =；22213y x +=（2）4（1）消去1C 参数方程中的参数t ，求得1C 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得2C 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的标准参数方程，代入2C 的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得11MA MB+的值. 解：（1）由1C的参数方程12x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），消去参数可得y =-由曲线2C 的极坐标方程为232cos θρ=+，得2222cos 3ρρθ+=，所以2C 的直角坐方程为22323x y +=，即22213y x +=.（2）因为1,2M ⎛ ⎝⎭在曲线1C 上， 故可设曲线1C的参数方程为11222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22323x y +=化简可得23820t t ++=. 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1283t t +=-，1223t t =， 所以12121214111t t t t t MA t MB +=+==+. 点评：本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题. 23．已知函数()31f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足224a b M +=，证明：24a b ab +≥. 答案：（1）[]1,5-（2）证明见解析（1）将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()6f x ≤的解集.（2）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值M ，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式24a b ab +≥成立. 解：（1）()42,12,1324,3x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，不等式()6f x ≤，即1426x x ≤⎧⎨-≤⎩或3246x x ≥⎧⎨-≤⎩或1326x <<⎧⎨≤⎩，即有11x -≤≤或35x ≤≤或13x <<， 所以所求不等式的解集为[]1,5-.（2）()31312f x x x x x =++-≥--+=，2M =， 因为0a >，0b >，所以要证24a b ab +≥，只需证()222216a b a b +≥， 即证22224416a b ab a b ++≥，因为2242a b +=，所以只要证222416ab a b +≥， 即证()28210ab ab --≤，即证()()41210ab ab +-≤，因为410ab +>，所以只需证12≤ab ， 因为22244a b ab =+≥，所以12≤ab 成立， 所以24a b ab +≥. 点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.。

2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(理科)(强化版) (含答案解析)

2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(理科)(强化版) (含答案解析)

2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(理科)(强化版)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={1,2，3}，B={x|x2−2x≥0}，则A∩B=()A. {2}B. {3}C. {1,2}D. {2,3}2.复数z=21−i+2+i的虚部是()A. 3B. 2C. 2iD. 3i3.已知向量a⃗=(−2,2，0)，b⃗ =(1,0，−1)，则它们的夹角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4.设a=log32,b=log23,c=log125，则()A. c<b<aB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a5.已知角α的终边上有一点(−3,1)，则tan2α=()A. −2B. −3C. −13D. −346.下列说法错误的是()A. 平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据分散程度的大小B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D. 众数是一组数据中出现次数最多的数7.f(x)=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为()A. B.C. D.8.已知圆柱的高为3，且其侧面积是18π，则该圆柱的体积为()A. 9πB. 18πC. 27πD. 54π9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b=b+√3c a，sinC =2√3sinB ，则tanA =( ) A. √3B. 1C. √33D. −√310. 将函数f(x)=2sin (ωx +π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若y =g(x)在[−π6,π3]上为增函数，则ω的最大值为( )．A. 54B. 32C. 2D. 311. 已知A 是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C. 4D. 与λ的取值有关12. 如图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，BC =BD =2，点E 是CD的中点，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为√1010，则直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为( )A. √23B. 23C. 2√23D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 方程为y =−14x 2，则该抛物线的焦点坐标是______ ．14. 设x ，y 满足约束条件{x −2≥0y +2≥0x +2y −6≤0，则z =x +y 的最小值是________．15. 从数字1，2，3，4，5中任取两个数字相加，和是3的倍数的概率为________． 16. 已知函数f(x)=lnx x ，g(x)=13x 3−12x 2+m ，∀x 1∈(0,3]，∃x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)<g(x 2)，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}中，a1+a3是a2与a4的等差中项，且以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，且b n+1=b n+a n+n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的侧面A1ADD1是正方形．(1)证明：A1D⊥平面ABD1；(2)若AD=2，AB=4，求二面角B1−AD1−C的余弦值．19.已知函数f(x)=e x−ax−ln2(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，求函数g(x)=f(x)+ln2−cosx在(−π2,+∞)上的零点个数．20.某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=3203；现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，其中左焦点为F(−2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x−2|．(1)求关于x的不等式f(x)<3的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：B={x|x≤0，或x≥2}；∴A∩B={2,3}．故选：D．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：解：∵z=21−i +2+i=2(1+i)(1−i)(1+i)+2+i=1+i+2+i=3+2i，∴复数z=21−i+2+i的虚部是2．故选：B．直接利用复数代数形式的四则运算化简得答案．本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：∵向量a⃗=(−2,2，0)，b⃗ =(1,0，−1)，∴|a⃗|=√(−2)2+22+02=2√2，|b⃗ |=√12+02+(−1)2=√2，a⃗⋅b⃗ =−2×1+2×0+0×(−1)=−2，∴cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=2√2×√2=−12∴两向量的夹角<a⃗，b⃗ >=120°故选：D由题意可得向量的模长和数量积，代入夹角公式可得夹角余弦值，进而可得夹角．本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．4.答案：C解析：本题考查比较大小，利用对数函数的图象和性质直接比较即可，属基础题．解：由对数函数的图象和性质可知：a=log32∈(0,1)，b=log23∈(1,+∞)，c=log125∈(−∞,0)，所以c<a<b．故选C．5.答案：D解析：本题考查三角函数的定义以及二倍角公式，属于基础题．由三角函数的定义求出tanα，再由二倍角公式求出tan2α．解：由三角函数的定义可得：tanα=1−3=−13，所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−13)1−(−13)2=−34，故选D．6.答案：B解析：本题考查中位数、众数、平均数、等基本概念，解题时要认真审题，考查学生对概念的理解能力，是基础题．利用平均数不大于最大值，不小于最小值进行解题．解：平均数不大于最大值，不小于最小值．故选B．7.答案：A解析：本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：C解析：解：设该圆柱的底面圆的半径为r，则2πrℎ=6πr=18π，解得r=3，故该圆柱的体积为πr2ℎ=27π．故选：C．设出圆柱的底面半径，利用侧面积求出底面半径，然后求解圆柱的体积．本题考查的知识点：圆柱的侧面积以及体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．9.答案：C解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．利用正弦定理求出a2=7b2，c=2√3b，进而利用余弦定理求出A，即可求出结果．解：由题意得，ab =sinAsinB=sinB+√3sinCsinA=7sinBsinA=7ba,∴a2=7b2，又sinC=2√3sinB，故c=2√3b，cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32，∵0<A<π，∴A=π6，∴tanA=√33，故选C．10.答案：B解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，主要考查函数的图像变换和函数的单调性，根据题意列出式子即可求出结果．解：将f(x)的图象向右平移π4ω得g(x)=2sin[ω(x−π4ω)+π4]，即g(x)=2sinωx的图象．所以当y=g(x)满足ωx∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，即x∈[−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω](k∈Z)时，y=g(x)单调递增．因为y=g(x)在[−π6,π3]上为增函数，所以{−π2ω≤−π6π2ω≥π3即ω≤32，故选B．11.答案：A解析：解：由题意，PG =2GO ，GA//PF 1， ∴2OA =AF 1，∴2a =c −a ，∴c =3a ， ∴e =c a=3．故选：A ．由题意，PG =2GO ，GA//PF 1，可得2OA =AF 1，即可求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．12.答案：C解析：本题考查利用空间坐标系的方法研究异面直线所成角和直线与平面的夹角，属于一般题． 以BC 、BD 、BA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量数量积的公式结合AD 、BE 所成角的余弦值为√1010解出BA 的长度是4，可求直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值．解：以BC 、BD 、BA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得D(0,2，0)，C(2,0，0)，E(1,1，0)， 设A 点的坐标为(0,0，z)(z >0)， 则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−z)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2⋅√4+z 2⋅cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2， ∵AD 与BE 所成的角的余弦值为√1010，可得24+z 2=110，解得z =4，即BA 的长度是4，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)， 设平面ACD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c )， 则{2b −4c =0−2a +2b =0，令c =1，则m⃗⃗⃗ =(2,2,1)， 设直线BE 与平面ACD 所成的角为θ， 则sinθ=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=3√2=2√23， 故选C ．13.答案：(0,−1)解析：解：∵抛物线方程为y =−14x 2，化为x 2=−4y 中，2p =4，解得p =2， ∴抛物线x 2=−4y 的焦点坐标为(0,−1)． 故答案为：(0,−1)．抛物线x 2=−2py(p >0)的焦点坐标为(0,−p2)本题考查抛物线的焦点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．14.答案：0解析：先画出可行域的边界，即三个直线方程对应的直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规律，确定可行域，将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距，平移目标函数，数形结合找到最优解，即可求出结果．本题考查了线性规划的方法和思想，一元二次不等式表示平面区域的规律和区域的画法，利用可行域数形结合求目标函数最值的方法．解：依题意x ，y 满足约束条件{x −2≥0y +2≥0x +2y −6≤0，画图如下：当z=0时，有直线l1：x+y=0和直线l2：x−y=0，并分别在上图表示出来，当直线向x−y=0向下平移并过A点的时候，目标函数z=x+y有最小值，此时最优解就是A点，联立x−2=0和y+2=0，可解得点A的坐标是：A(2,−2)，所以目标函数z=x+y的最小值是0．故答案为0．15.答案：25解析：本题主要考查古典概型概率的求解，考查的核心素养是计算．先利用枚举法将基本事件逐一列出，然后找出“和是3的倍数”包含的基本事件，最后利用古典概型的概率计算公式进行求解．解：从数字1，2，3，4，5中任取两个数字的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中“和是3的倍数”包含的情况有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(4,5)，共4种，故所求概率P=410=25．16.答案：(1e −23,+∞)解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查恒成立问题与存在性问题的综合，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．∀x1∈(0,3]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)<g(x2)，可得f(x1)max<g(x2)max，x∈[−1,2].利用以及函数f(x)，g(x)的单调性极值与最值即可得出．解：∀x1∈(0,3]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)<g(x2)，∴f(x1)max<g(x2)max，函数f(x)=lnxx，x∈(0,3]，f′(x)=1−lnxx，可得x=e时函数f(x)取得极大值即最大值，∴f(x1)max=f(e)=1e．函数g(x)=13x3−12x2+m，x∈[−1,2]，g′(x)=x2−x=x(x−1)，易知g(x)在(−1,0)和(1,2)上递增，在[0,1]上递减，所以x=0时，函数g(x)取得极大值，g(0)=m．又g(2)=83−2+m=23+m．可得：g(x)max=23+m．∵f(x1)max<g(x)max，∴1e <23+m，解得m>1e−23．∴m的取值范围为：(1e −23,+∞)．故答案为：(1e −23,+∞)．17.答案：解：(Ⅰ)∵以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，∴(a3−2)2+a32=(a3+2)2，∵a3≠0，∴a3=8，∵a1+a3是a2与a4的等差中项，∴2(a1+a3)=a2+a4，∴2(8q2+8)=8q+8q，∴q=2，a1=822=2，∴a n=2n；(Ⅱ)∵b n+1=b n+a n+n，∴b n+1−b n=a n+n，∴b n−b1=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)(n≥2)=(2+22+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n−1)=2(1−2n−1)1−2+n(n−1)2，∴b n=2n+n(n−1)2(n≥2)，当n=1时，b1=2也成立．∴b n=2n+n(n−1)2．解析：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．(Ⅰ)利用以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，求出a3，利用a1+a3是a2与a4的等差中项，求出公比，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法，可求数列{b n}的通项公式．18.答案：解：(1)证明：如图1，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AB⊥平面ADD1A1，又A1D在平面ADD1A1内，∴AB⊥A1D，∵四边形A1ADD1是正方形，∴AD1⊥A1D，又AB∩AD1=A，∴A 1D ⊥平面ABD 1；(2)如图2，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，C(0,4，0)，D 1(0,0，2)，B 1(2,4，2)，故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2)， 设平面ACD 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0，可取m⃗⃗⃗ =(2,1,2)， 同理可求平面AD 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(2,−1,2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√9×√9=79，观察可得二面角二面角B 1−AD 1−C 为锐角，其余弦值为79．解析：(1)由AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥A 1D ，由四边形A 1ADD 1是正方形，可得AD 1⊥A 1D ，进而得证；(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：(1)，其定义域为，，①当时，因为，所以在上单调递增，②当时，令得，令得，所以在上单调递减，上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，单调递增．(2)方法一：由已知得，，则．①当时，因为，所以在单调递减，所以，所以在上无零点;②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使，当时，，当时，，所以在递减，递增，且，所以，又因为，所以，所以在上存在一个零点，所以在上有两个零点;③当时，，所以在单调递增，因为，所以在上无零点;综上所述，在上的零点个数为2个．方法二：由已知得，，则．①当时，因为，所以在单调递增，所以，所以在上无零点;②当时，所以在单调递增，又因为，，所以使，当时，，当时，所以在单调递减，单调递增，且，所以，又因为，所以，所以在上存在唯一零点，在上存在两个零点，综上所述，在上的零点个数为2个．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．(1)先求出导函数f′(x)，再对a分情况讨论，利用导函数的正负即可得到函数f(x)的单调性；(2)由已知得g(x)=e x−2x−cosx，x∈(− π 2,+∞)，对x的范围分情况讨论，分别讨论函数g(x)的零点个数，从而得到g(x)在(− π 2,+∞)上的零点个数为2个．20.答案：解：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n=C302，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C102，∴两天的日需求量均为40个的概率P=C102C302=329．(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y，P(y=−20)=16，P(y=60)=13，P(y=140)=13，P(y=180)=16，∴y的分布列为：y−2060 140180P16131316E(y)=−20×16+60×13+140×13+180×16=2803，∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=3203，280 3<3203，∴此建议不该被采纳．解析：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n=C302，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C102，由此能求出两天的日需求量均为40个的概率．(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y ，分虽求出相应的概率，能求出y 的分布列和E(y)=2803，由2803<3203，得到此建议不该被采纳．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)解(1)由题意，得{ca=√22,c =2,a 2=b 2+c 2,解得{a =2√2,b =2.∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)， 线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由{x 28+y 24=1,y =x +m,，消去y 得，3x 2+4mx +2m 2−8=0， △=16m 2−12(2m 2−8)=96−8m 2>0， ∴−2√3<m <2√3， ∵x 0=12(x 1+x 2)=−23m ，∴y 0=x 0+m =13m ，∵点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴49m 2+19m 2=1，∴m =±3√55．解析：本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．(1)直接由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a ，b 的值，则椭圆方程可求； (2)联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段AB 的中点M 的坐标，代入圆的方程求得m 的值．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ．(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0， 所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)不等式f(x)<3，即|x|+|x −2|<3．当x ≤0时，−2x +2<3，∴x >−12，∴−12<x ≤0； 当0<x <2时，2<3，恒成立；当x ≥2时，2x −2<3，x <52，∴2≤x <52， 综上所述，不等式的解集为{x|−12<x <52}. (2)f(x)=|x|+|x −2|≥|x −(x −2)|=2， ∵关于x 的不等式f(x)<a 的解集不是空集， ∴a >2．故实数a 的取值范围是(2,+∞)．解析：(1)不等式f(x)<3，即|x|+|x −2|<3，分类讨论，即可求关于x 的不等式f(x)<3的解集； (2)如果关于x 的不等式f(x)<a 的解集不是空集，则a 大于函数的最小值，即可求实数a 的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．。

河南省新乡市新乡一中2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题及答案

河南省新乡市新乡一中2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题及答案

理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x ｜0≤x ≤4}，N ＝{x ｜y ＝3－x ，y ∈M}，则M ∩N ＝A ．[0，3]B ．[0，4]C ．[－1，4]D ．[－1，3]2．若复数z 满足，则z ＝()211i i z ＋＝－ A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i3．人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）．其判定标准如下表：某小学生的身高为1．5 m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是 A ．47 kg B ．51 kg C ．66 kg D ．70 kg4．若x ，y 满足约束条件则z ＝4x ＋3y 的最小值为1133x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥－，＋≤，A ．9 B ．6．5 C ．4 D ．35．已知数列{}是等差数列，且＝3，则＋＋＝n a 9a 4a 8a 122a A ．12 B ．9 C ．6 D ．36．某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型y ＝2lg x 进行拟合．在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该A ．使x 增加1个单位B ．使x 增加2个单位C ．使x 增加到原来的2倍D ．使x 增加到原来的10倍7．已知O 是△ABC 的重心，且，则实数λ＝ 20OAOB BC λ ＋＋＝A ．3 B ．2 C ．1 D ． 128．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK ＋CK 的最小值为A B C ．D 9．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋1）是偶函数，f （x －1）是奇函数，则下列说法正确的个数为①f （7）＝0；②f （x ）的一个周期为8；③f （x ）图像的一个对称中心为（3，0）；④f （x ）图像的一条对称轴为x ＝2019．A ．1B ．2C ．3D ．410．将函数图像上所有的点按照向量m ＝（a ，0）（a ≠0）平移得到函()sin 3f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋数g （x ）的图像，若，则｜a ｜的最小值为 3355f g ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ A ． B ． C ． D ． 415π1330π1315π1715π11．如图所示，直线l 与双曲线E ：（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于A ，22221x y a b－＝B 两点，若·＝－4，且△AOB 的面积为，则E 的离心率为OA OBA B C ．2 D12．已知函数若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为 ()1212log 18212x x x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，≤＜，＝，≤≤，A ．B ． CD ．1 1412二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中x 2y 4项的系数为__________． 6122x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋14．曲线y ＝（x 2＋2）e x 在点（0，2）处的切线方程为__________．15．已知圆C ：（x －a ）2＋（y －2）2＝4，直线l ：x ＋ay －1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝__________．16．已知数列{}是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且＝1，＝7．若n a n n S 1a 3S 关于的不等式＜的解集中有6个正整数，则实数k 的取值范围是n n S 22log n k a ＋________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． tan tan a A b B （Ⅰ）证明：△ABC 是等腰三角形；（Ⅱ）若a ：b ：c ＝1 ：x ：y ，且△ABC ，求y 的值．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利 润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的 频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80％以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子? （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥S －ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SA ＝SD ．（Ⅰ）若∠BAD ＝120°，证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）若3BD ＝6AC ＝8SA ，求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设椭圆C ：（a ＞1）的左顶点为A ，右焦点为F ，已知｜AF ｜＝ 2221x y a＋＝2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）抛物线y 2＝2px （p ＞0）与直线x ＝2交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B （异于点A ），若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2lnx （a ≠0）．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若存在a ∈（0，＋∞），对任意的x ∈（0，＋∞），不等式恒成 ()422x f x bx ≤＋立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C的参82x ty ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，＝数方程为（s 为参数）．23x s y ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且abc ＝1，证明：（Ⅰ）（2a ＋1）（2b ＋1）（2c ＋1）≥27； （Ⅱ）．()()()22211134a b c b a c c a b ＋≤＋＋＋理科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.［答案］A［命题意图］本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．［解析］依题意得O罢王3-x罢王4，解得一l,;.;;x罢王3，即N=!xi -1,;.;;x，；二剖，所以M门N=i x l O，；三Z罢王3f.2. ［答案］D【命题意图］本题考查复数的基本运算．【解析】z＝电子＝呜±il＝一1+ i.3.［答案］C［命题意图］本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想．［解析］由题意得，体重＝BMI×身高2，因为此人属于超标，所以BMI e [24 ,29. 9］，所以此学生的体重范围为[24 X 1. 52 ,29. 9×1. 52 J，即［54,67.275］，故正确答案为C.4.［答案］D［命题意图］本题考查线性规划，考查化归与转化能力以及数形结合思想．［解析］不等式组所表示的可行域为下图中的LABC，当目标函数对应的直线经过点B(O,l）时，z取得最小值3.y5.［答案］A［命题意图］本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］因为I a. i是等差数列，所以a4+ a8 + 2a12 = 2a6 + 2a12 = 4a9 = 12.6.［答案］D［命题意图］本题考查回归模型的概念．［解析］y =2lg z，则y+ 2 = 21g X + 2 = 2 (lg X + 1 ) = 21g lOx，所以应该使z增加到原来的10倍．7. ［答案］C［命题意图］本题考查向量的线性运算，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］芮＋20主＋λ亘古二日＋2而＋λ（而－OB）二日＋(2 －λ）而＋λ苟＝0，因为0是LABC的重心，『2λ＝1.所以J’解得λ＝1.lλ＝ 1,8.［答案］B［命题意图］本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力．［解析］将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如。

河南省新乡市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

河南省新乡市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

河南省新乡市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 2．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．8【答案】B 【解析】 【分析】列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=；22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.故选：B. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.4．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为b y x a =-，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为()0,1可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为y =2=，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23 B ．25C ．28D ．29【答案】D 【解析】 【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】解：{}n a Q 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ， ∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 6．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 7．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<， 所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题. 8．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系. 【详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行； 当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行. 所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件， 当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件， 故选：B. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】 【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−x−12>0}，B={x|−2≤x≤6}，则(∁R A)∪B=()A. RB. [−3,6]C. [−2,4]D. (−3,6]2.设复数z=1+i1−i，则z·z−=()A. 1+iB. 1−iC. 1D. 23.已知向量a⃗=(3,4)，b⃗ =(−3,1)，a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则tanθ等于()A. 13B. −13C. −3D. 34.若实数x，y满足约束条件{x+y≥0x−y≥−12x−y≤2，则目标函数z=x−2y的最小值是()A. −5B. −32C. 0D. 25.执行如程序框图所示的程序，若输出的值是5，则框图中①处可填入()A. S≥6B. S≥10C. S≥15D. S≥216.函数f(x)=sinx2+cosx(−π≤x≤π)的图象大致为()A. B.C. D.7.已知随机变量X服从正态分布N(1 , σ2)，若P(0<X⩽1)=0.3，则P(X⩾2)等于()A. 0.7B. 0.35C. 0.4D. 0.28.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，过左焦点F1作斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中垂线与x轴交于P(−c3,0)(c为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率为()A. 12B. √22C. √32D. √239.函数f(x)=2sin (2x+π6)的图像为M，则下列结论中正确的是()A. 图像M关于直线x=−π12对称B. 由y=2sin2x的图像向左平移π6得到MC. 图像M关于点(−π12,0)对称D. f(x)在区间(−π12,5π12)上递增10.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A. 15B. 3√1010C. √1010D. 3511.已知数列{a n}前项n和s n=n2+4n(n∈N∗)，数列{b n}为等比数列，首项b1=2，公比为q(q>0)，且满足b2，b3+4q，b4成等差数列．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=3(a n−3)⋅b n4，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．下列选项中正确的是()A. 2×3n−1；B. 2×3n−1；(n−1)3n+1+34C. 5×3n−1；(2n−1)3n+2+34D. 6×3n−1；E. 2×3n−1；(2n−1)32n+1+34F. 2×3n−1；(2n−1)3n+1+4412.已知函数f(x)=lnx+12ax2−2x有两个极值点，则a的取值范围是()A. B. (0,2) C. (0,1) D. (0,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等比数列{a n}满足a1=2，a4=16，则a3=__________．14.抛物线y2=8x与双曲线上一点x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的有共同的焦点F，两曲线在第一象限的交点为P(x0,y0)，且P到焦点F的距离为5，则双曲线的离心率e=______ ．15.已知(2x+√2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=_______16.在三棱锥A−BCD中，AB=CD=√2，AD=BC=AC=BD=√5，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2(B+C)=cos(B−C)−cos(B+C)．(1)若a=c，求cos A的值；(2)设A=90∘，且a=√2，求△ABC的面积．18.甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀．甲地区：乙地区：分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数1298分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数1010y3(Ⅰ)计算x，y的值；(Ⅱ)根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；(Ⅲ)根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．19.如图，多面体ABCE中，平面AEC⊥平面ABC，AC⊥BC，AE⊥CD四边形BCDE为平行四边形．(Ⅰ)证明：AE⊥EC；(Ⅱ)若AE=EC=CB=√2，求二面角D−AC−E的余弦值．20.已知抛物线x2=2py(p>0)上一点M(32,m)到它的准线的距离为52．(1)求p的值；(2)在直线l上任意一点P(a,−2)作曲线C的切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点．21.设函数f(x)=alnx+x2−1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了集合并集和补集的运算，属于基础题． 先求出集合A 的补集，再根据并集定义求出结果． 解：∵A ={x|x 2−x −12>0}， ∴(∁R A)={x|x 2−x −12≤0}=[−3,4]，∵B ={x|−2≤x ≤6}=[−2,6] ∴(∁R A)∪B =[−3,6]故选：B ．2.答案：C解析：解：∵z =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，∴z ·z −=|z|2=1． 故选：C ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由zz −=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．首先由向量的数量积公式求出夹角的余弦值，根据夹角范围求出正弦值，最后求正切． 解：由已知得到cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√32+42×√(−3)2+12=5√10=−√1010， 又θ∈[0,π]，所以sinθ=3√1010， 所以tanθ=sinθcosθ=−3； 故选C ．4.答案：A解析：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 解：由z =x −2y 得y =12x −z2作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y =12x ，由图象可知当直线y =12x −z2，过点B 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小， 由{x −y =−12x −y =2，解得B(3,4)． 代入目标函数z =x −2y ， 得z =3−8=−5，∴目标函数z =x −2y 的最小值是−5， 故选：A ．5.答案：C解析：本题主要考查了程序框图的应用问题，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 模拟执行程序框图，可得该程序运行后是计算S 的值，满足条件后输出i =5，由此得出判断框中应填入的条件．解：第一次循环：S =1，不满足条件，i =2； 第二次循环：S =3，不满足条件，i =3；第三次循环：S=6，不满足条件，i=4；第四次循环：S=10，不满足条件，i=5；第五次循环：S=15，满足条件，输出的值为5．所以判断框中的条件可填写“S≥15”．故选C．6.答案：A解析：解：f(−x)=−sinx2+cosx=−f(x)则函数f(x)是奇函数，排除C，分母2+cosx>0，则当0<x<π时，sinx>0，则f(x)>0，排除D，f(π4)=√222+√22=√24+√2<f(π2)=12，则B不满足条件．故选：A．利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用f(π4)<f(π2)，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．7.答案：D解析：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到结论．解：∵随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，∴曲线关于x=1对称，∵P(0<X⩽1)=0.3，∴P(X≥2)=12−P(0<X≤1)=0.5−0.3=0.2，故选D．8.答案：B解析：本题考查椭圆的离心率，属于中档题．过左焦点F1作斜率为1的直线l方程为y=x+c，联立方程组利用韦达定理得到AB中点M(−a2ca2+b2,b2ca2+b2)，又P(−c3,0)，利用直线PM斜率为−1，即可求出椭圆的离心率．解：过左焦点F1作斜率为1的直线l方程为y=x+c，设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立{x2a2+y2b2=1y=x+c，得到(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2−a2b2=0，则x1+x2=−2a2ca2+b2，y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2，设AB中点为点M，则M(−a 2ca2+b2,b2ca2+b2)，又P(−c3,0)，由题意可知弦AB中垂线PM的斜率为−1，即−b2ca2+b2−c3+a2ca2+b2=−1，整理得a2=2b2，又b2=a2−c2，所以a2=2(a2−c2)，即c2a2=12，所以离心率e=ca =√22．故选B．9.答案：C解析：本题考查了函数的图象与性质，属于基础题．利用正弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确即可．解：因为函数的图象为M，令x=−π12，可得f(x)=0，可得图象M关于点(−π12,0)对称，故图象M不关于直线x=−π12对称，故C正确且A不正确；把y=2sin2x的图象向左平移π6，得到函数y=2sin[2(x+π6)]=2sin(2x+π3)的图象，故B不正确；在区间(−π12,5π12)上，2x+π6∈(0,π)，函数在区间(−π12,5π12)上先增后减，故D错误，故选：C．10.答案：B解析：解：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连结A1B，根据四棱柱的性质A1B//CD1∵AA1=4，AB=2，∴AE=2，A1B=2√5，BE=2√2在△A1BE中，利用余弦定理求得：cos∠A1BE=3√1010即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：3√1010．故选：B．首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B//CD1进一步解三角形，利用余弦定理求出结果．本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理的应用，及相关的运算．11.答案：A解析：(1)利用已知条件和等量关系求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式，利用乘公比错位相减法求数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用乘公比错位相减法求数列的和．属于基础题型．解(1)当n =1时，a 1=S 1=5．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +3，验证n =1时也成立．∴数的通项公式为：a n =2n +3，∵b 2，b 3+4q ，b 4成等差数列，b 1=2.所以2(b 3+4q)=b 2+b 4，即q 2−2q −3=0，因为q >0，∴q =3．∴{b 1=2q =3，∴数的通项公式为：b =2⋅3n−1.(2)∵c n =3(a n −3)b n4=n ·3n ∴T n =c 1+c 2+⋯+c n =1⋅31+2⋅32+⋯+n ⋅3n ①，3Tn =1⋅32+2⋅33+⋯+n ⋅3n +1②． ①−②得：T n =(2n−1)3n+1+34，故选A ．12.答案：C解析：本题考查了函数的极值问题，考查二次函数的性质，属于中档题．求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可． 解：f ′(x)=1x+ax −2=ax 2−2x+1x，(x >0)，若函数f(x)=lnx +12ax 2−2x 有两个极值点， 则方程ax 2−2x +1=0有2个不相等的正实数根，∴{2a >01a>0Δ=4−4a >0，解得：0<a <1， 故选：C ．13.答案：8解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．由已知条件，运用等比数列的通项公式，求出公比，进而求出a 3的值．解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=2，a 4=16，则a 1q 3=16，解得q =2，所以a3=a1q2=2×22=8．故答案为8．14.答案：2解析：解：抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0)，∵双曲线上一点x2a2−y2b2=1的有共同的焦点F，∴c=2，即a2+b2=4，∵P到焦点F的距离为5，∴|PF|=x0+p2=x0+2=5，∴x0=3,∴y02=24，∴{9a2−24b2=1a2+b2=4，∴a2=1，b2=3，∴e=ca=2，故答案为：2求出抛物线的焦点坐标，确定双曲线的c=2，结合抛物线的定义建立方程进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的关系求出a，b，c是解决本题的关键，属于中档题．15.答案：16解析：本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．根据题意，分别令x=1和−1，求得a0+a1+a2+a3+a4与a0−a1+a2−a3+a4的值，再计算(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2的值．解：(2x+√2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1，得(2+√2)4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=−1，得(−2+√2)4=a0−a1+a2−a3+a4，则(a0+a 2+a 4)2−(a 1+a 3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0−a1+a2−a3+a4)=(2+√2)4⋅(−2+√2)4=(2−4)4=16．故答案为16．16.答案：6π解析：【试题解析】本题考查球的表面积球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．取AB的中点E，CD的中点F，连接AF，BF，EF，取EF的中点O，则O为外接球的球心，只需求出EF长，即可得外接球的半径R，结果可得．解：取AB的中点E，CD的中点F，连接AF，BF，EF，取EF的中点O，由题意可知AF⊥CD，BF⊥CD，所以AF=√AC2−CF2=√5−12=√92，同理BF=√92，因为E为AB的中点，所以EF⊥AB，所以EF=√BF2−BE2=√92−12=2，所以OA=OB=√OE2+AE2=√62，OC=OD=√OF2+DF2=√62，则O为外接球的球心，所以外接球的半径R=√62，所以三棱锥A−BCD外接球的表面积为：．故答案为6π．17.答案：解(1)根据题意，sin2(B+C)=cos(B−C)−cos(B+C)，则sin 2A =2sinBsinC ， 由正弦定理可得：a 2=2bc ， 又由a =c ，则a =c =2b ， 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=14；(2)由(1)知a 2=2bc ，且b 2+c 2=a 2，a =√2， 解得b =c =1，．解析：本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，关键是掌握正弦定理、余弦定理的形式，属于中档题．(1)将sin 2(B +C)=cos(B −C)−cos(B +C)变形可得sin 2A =2sinBsinC ，结合正弦定理可得a 2=2bc ，进而可得a =c =2b ，由余弦定理分析可得答案；(2)根据题意，分析可得a =√2，b =c =1，由三角形面积公式计算可得答案．18.答案：解：(Ⅰ)∵抽样比f =10533000+30000=1600，∴甲地区抽取人数=1600×33000=55人， 乙地区抽取人数=1600×30000=50人， ∴由频数分布表知：{2+3+10+15+15+x +3+1=551+2+9+8+10+10+y +3=50 解得x =6，y =7．(Ⅱ)由频数分布表知甲地区优秀率=6+3+155=211，乙地区优秀率=10+7+350=25，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，抽取出的优秀学生人数ξ的可能取值为0，1，2，3， ξ～B(3,25)， ∴Eξ=3×25=65．(Ⅲ)从样本中优秀的学生中随机抽取3人，抽取出的甲地区学生人数η的可能取值为0，1，2，3，P(η=0)=C203C303=57203，P(η=1)=C101C202C303=95203，P(η=2)=C102C201C303=45203，P(η=3)=C103C303=6203，∴η的分布列为：η0 1 2 3P5720395203452036203Eη=0×57203+1×95203+2×45203+3×6203=1．解析：(Ⅰ)由已知条件先求出甲地区抽取人数和乙地区抽取人数，由此结合频数分布表能求出x=6，y=7．(Ⅱ)由频数分布表求出甲地区优秀率和乙地区优秀率，从而推导出ξ～B(3,25)，由此能求出Eξ．(Ⅲ)由已知条件得η的可能取值为0，1，2，3，分别求出P(η=0)，P(η=1)，P(η=2)，P(η=3)，由此能求出η的分布列和Eη．本题考查频数分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．19.答案：解：(Ⅰ)证明：因为平面AEC⊥平面ABC，交线为AC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面AEC，BC⊥AE，又AE⊥CD，CD∩BC=C，则AE⊥平面BCDE，EC⊂平面BCDE，所以AE⊥EC；(Ⅱ)取AC的中点O，AB的中点F，连接OE，OF，则OE⊥平面ABC，OF⊥平面AEC，以点O为坐标原点，分别以OA，OF，OE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，已知AE =EC =CB =√2，则AC =2，OE =1.O(0,0，0)，A(1,0，0)，C(−1,0，0)，D(0,−√2,1)， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√2,1)， 设平面DAE 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−2x =0,−x −√2y +z =0令y =√2，则x =0，z =2，即m ⃗⃗⃗ =(0,√2,2)，平面ECA 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)， 由cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2√2+4=√33， 所以二面角D −AC −E 的余弦值为√33．解析：(I)先证明BC ⊥平面AEC ，AE ⊥平面BCDE ，利用线面垂直的性质证明出结论；(II)以点O 为坐标原点，分别以OA ，OF ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面DAE 的一个法向量和平面ECA 的一个法向量，利用夹角公式求出即可．考查面面垂直的性质和线面垂直的判定与性质，考查向量法求平面的法向量，求二面角的余弦值等，中档题．20.答案：解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p >0)的准线为x =−p2………………………………(2分)由已知得，M(32,m)到准线的距离为52，∴32+p2=52， ∴p =2，∴E 方程：y 2=4x ………………(4分)(2)证明：由已知可设，l 1：x =m 1y +2，l 2：x =m 2y +2 由{y 2=4x,x =m 1y +2得：y 2−4m 1y −8=0 设A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m 1……………………………………(6分)∴y M =2m 1，又x M =2m 12+2，即M(2m 12+2,2m 1)同理可得：N(2m 22+2,2m 2)…………………………………………………(8分)∴k MN =2m 2−2m 1(2+2m 22)−(2+2m 12)=1m 1+m 2(m 1+m 2≠0) ∴MN ：y −2m 1=1m 1+m 2(x −2m 12−2)，即y =1m1+m 2(x −2+2m 1m 2)……………………………………(10分)∵l1，l2的斜率之积为−2，∴1m1⋅1m2=−2即m1m2=−12∴MN：y=1m1+m2(x−3)即直线MN过定点(3,0).…………………(11分)当m1+m2=0时,不妨设m1>0,m2<0,则m1=√22,m2=−√22,MN也过点(3,0)，综上，即直线MN过定点(3,0).…………………(12分)解析：(1)利用已知条件列出方程求出p，即可得到抛物线方程．(2)设出直线方程，利用直线与抛物线的位置关系联立方程组，求出MN的坐标，利用斜率乘积转化证明即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能能力．21.答案：解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=ax +2x=2x2+ax，①a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，②a<0时，令f′(x)>0，解得：x>√−a2，令f′(x)<0，解得：0<x<√−a2，故f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，当a<0时，f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；(2)由(1)a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，而f(1)=0，故x∈[1,+∞)时，f(x)≥0，故当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0成立，故a≥0符合题意，a<0时，f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；令√−a2=√2，解得：a=−4，−4≤a<0时，√−a2≤√2，故f(x)在[√2,+∞)递增，故f(x)min=f(√2)=aln√2+1≥0，解得：−2ln2≤a<0，a<−4时，√−a2>√2，故f(x)在[√2,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增，f(x)min=f(√−a2)=a2ln(−a2)−a2−1，当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0，只需a2ln(−a2)−a2−1≥0即可，令g(a)=a2ln(−a2)−a2−1，(a<−4)，g′(a)=12ln(−a2)>0，g(a)在(−∞,−4)递增，故g(a)<g(−4)=1−2ln2<0，不合题意；综上，a∈[−2ln2,+∞)．解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)结合(1)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθy=√3sinθ(θ为参数)，消去参数得到x2+y2−4x+1=0，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ得到C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]，所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1，∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5， ∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a +2+1b +1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a +2−1b +1=(1a +2+1b +1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值． 本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

新乡市2020届高三年级第二次模拟考试（强化卷）含答案word版

新乡市2020届高三年级第二次模拟考试（强化卷）含答案word版

新乡市2020届高三年级第二次模拟考试（强化卷）含答案word版新乡市2020届高三年级第二次模拟考试(强化卷)英语考生注意：1. 本试卷共150分,考试时间120分钟。

2. 请将各题答案填写在答题卡上。

3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例: How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡ 9.18.C. ￡ 9.15.答案是C。

1. What is the man probably doing?A. Greeting his guests.B. Cleaning the house.C. Arguing with Maggie.2. What is the man going to do?A. Stay inside.B. Buy an umbrella.C. Walk out with an umbrella.3. How long will the man have to wait for another bus?A. 5 minutes.B. 15 minutes.C. 20 minutes.4. What can we learn about the man?A. He is anxious to see his sister.B. He wrote to his sister last month.C. He is expecting a letter from his sister.5. What does the woman mean?A. She missed the travel.B. The travel was a failure.C. B ob didn’t travel with them.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

2020届河南省新乡市高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)

2020届河南省新乡市高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)

2020届河南省新乡市高三第二次模拟数学（文）试题一、单选题1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，{|31}B x x =-<<，则A B =I （ ） A ．{|12}x x -<< B ．{1,0,1}- C ．{1,0}- D ．{0,1}【答案】C【解析】找两个集合的公共元素. 【详解】∵{1,0,1,2,3}A =-，{|31}B x x =-<<， ∴{}1,0A B ⋂=- 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查理解辨析能力，是基础题. 2．(2)(1)i i ++=（ ） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】A【解析】复数的乘法类似于多项式乘多项式，遇到2i 化为1-. 【详解】2(2)(1)2213i i i i i i ++=+++=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查运算求解能力，是基础题.3．已知双曲线22214x y a -=的一条渐近线方程为3y x =，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】D【解析】双曲线22214x y a -=的焦点在x 轴上，通过近线方程可得a 与b 的关系，2b 已知，可求出2a 的值. 【详解】由题意可得234b a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得a =2a =. 故选：D. 【点睛】本题考查用双曲线的标准方程和渐进线的方程求实轴长，需注意实轴长是2a ，而不是a ，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.4．已知3tan 4α=，则sin 2cos 2sin cos αααα-=+（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】分子分母同除cos α，利用同角三角函数的基本关系式化简求值. 【详解】sin 2cos tan 212sin cos 2tan 12αααααα--==-++.故选：C. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查运算求解能力，是基础题. 5．已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（ ） A ．b c a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】B【解析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较,,a b c 的大小. 【详解】∵3331log log 5lo 392g =<<=，0.2031-<<， 1.233>， ∴b a c <<. 故选：B .【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.6．下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误．．的是（）A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【答案】B【解析】通过雷达图分别求出甲、乙轮胎宽度的平均数、众数中位数和极差，对照选项选出错误的答案.【详解】由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差是3；乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差是5；则A，C，D正确，B错误.故选：B.【点睛】本题考查用雷达图计算平均数、众数中位数和极差，需注意甲、乙数据不要搞混，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.7．函数2()1cos1xf x xe⎛⎫=-⎪-⎝⎭的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取值判断. 【详解】()21222()1cos()1cos cos 1cos 1111x x x x x xe ef x x x x x e e e e ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-==-- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，排除A ，B ； 当02x π<<时，2101xe-->-，cos 0x >，则()0f x >，排除C . 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式判断函数图像，考查理解辨析能力和推理论证能力，是基础题. 8．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（ ） A ．18π B ．36πC ．27πD ．54π【答案】A【解析】分别设出圆柱的底面半径和高，由已知列出关于底面半径和高的方程，解方程，最后可求圆柱的侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ，由题意可得2212222(2)18rh r rh r h πππ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，解得3r h ==，则该圆柱的侧面积是218rh ππ=. 故选：A.本题考查圆柱表面积和轴截面周长的计算，考查运算求解能力和直观想象能力，是基础题.9．如图，P ，Q 是函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的图象与x 轴的两个相邻交点，(1,2)M 是函数()f x 的图象的一个最高点，若MPQ V 是等腰直角三角形，则函数()f x 的解析式是（ ）A ．()2cos 24f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2cos 22f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2cos 42f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】通过(1,2)M ，MPQ V 是等腰直角三角形，可得||PQ 长度，从而求出周期T ，由T 可得ω得值，再将(1,2)M 代入()f x 计算ϕ的值，最后可得()f x 的解析式. 【详解】由题意可得2A =，因为MPQ V 是等腰直角三角，所以||4PQ =，所以42T=，即8T = 则24T ππω==，故()2cos 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将(1,2)M 代入()f x 的解析式得2cos 24πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 可得24k πϕπ+=()k ∈Z ，解得24k πϕπ=-+()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-，则()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角函数识图求解析式，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题. 10．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即 3.1415926π=，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||3a b -≤”的概率为（ ） A ．13B ．815C ．23D ．715【答案】B【解析】把第三到第八位6个有效数字两两组合，列出所有可能情况，找出符合要求事件个数，求概率. 【详解】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，则取到数字a ，b 的情况有(4,1)，(4,5)，(4,9)，(4,2)，(4,6)，(1,5)，(1,9)，(1,2)，(1,6)，(5,9)，(5,2)，(5,6)，(9,2)，(9,6)，(2,6)，共15种，其中符合条件的有8种，故所求概率815P =. 故选：B. 【点睛】本题考查用列举法求古典概型的概率，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题. 11．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上.若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为（ ） A ．9π B ．27πC ．36πD ．54π【答案】C【解析】先确定直四棱柱底面外接圆圆心位置，在外接圆心处垂直底面竖直上升找到外接球球心，求出外接球半径，最后可求外接球体积. 【详解】由题意可得ABC V 和ACD V 都是以AC 为斜边的直角三角形，因为24AB BC ==，所以AC =因为AD CD =，所以AD CD ==所以四边形ABCD 的面积114222S =⨯⨯+9=, 因为四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，所以14AA =，所以该四棱柱的外接球的半径3R ===，故该四棱柱的外接球的体积为34363R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查空间几何体外接球问题，关键是确定外接球球心位置，考查直观形象能力和运算求解能力，是中档题.12．若对任意实数(,1]x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．e【答案】A【解析】求出(1)[(21)]()(1)xx x a f x x e --+'=„．当211a +…，当211a +<，判断函数的单调性求出函数的最值，推出2122()(21)1a a f x f a e+++=厖．令211a t +=<，不等式化为10t e t --„，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值，然后求解a 即可． 【详解】解：221()x x ax f x e-+=，则(1)[(21)]()(1)x x x a f x x e --+'=„． 当211a +…，即0a …时，()0f x '„，则()f x 在(-∞，1]单调递减， 故22()(1)1a f x f e -=厖，解得102ea -<„，所以0a …不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(,21)a -∞+上单调递减，在(21a +，1]上单调递增， 则()(21)min f x f a =+．因为2211xx ax e -+…，所以2122()(21)1a a f x f a e +++=厖． 令211a t +=<，不等式21221a a e++…可转化为10t e t --„，设()1t g t e t =--，则()1t g t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<， 则()g t 在(,0)-∞上单调递减，在(0,1)上单调递增， 当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t …， 因为()0g t „，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查推理论证能力、运算求解能力和分类讨论思想，是难题.二、填空题13．已知向量a =r，)b m =r ，若a b ⊥r r ，则m =__________.【答案】1-【解析】若a b ⊥r r，则0a b ⋅=r r. 【详解】因为a b ⊥r r，所以20+=，所以1m =-.故答案为：1-. 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查运算求解能力，是基础题.14．若实数x ，y 满足约束条件2022033x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________.【答案】11-【解析】根据不等式组作出可行域，结合可行域求目标函数最值. 【详解】如图，可行域为图中阴影部分，目标函数3z x y =-在点59,22A ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值，5931122z =-⨯=-.故答案为：11-. 【点睛】本题考查线性规划求目标函数最值，考查运算求解能力和数形结合思想，是基础题. 15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知(sin 3)csin sin b B C C a A -+=，且8+=b c ，则ABC V 的面积的最大值是__________. 【答案】4【解析】利用正弦定理把已知等式角化边，并结合余弦定理可求得角A ；8+=b c ，利用基本不等式可得bc 的最大值，最后可得ABC V 的面积的最大值. 【详解】因为(sin 3)sin sin b B C c C a A -+=， 所以2223b bc c a -+=，即2223b c a bc +-=，所以2223cos 22b c a A bc +-==， 则1sin 2A =. 因为8+=b c ，所以2162b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当4b c ==时，等号成立）， 故ABC V 的面积111sin 164222S bc A =≤⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，并求三角形面积的最值，考查运算求解能力，是中档题.16．已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F ，且与抛物线C 在第一象限的交点为M ，点N 在抛物线C 的准线1l 上，且1MN l ⊥.若点M 到直线NF的距离是则直线l 的斜率是__________.【解析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出点M 坐标，可得点N 坐标，由直线点斜式方程设出直线NF 的方程，利用点M 到直线NF的距离是点M 在抛物线上，可解出点M 坐标，最后可用斜率公式计算直线l 的斜率. 【详解】由题意可知(2,0)F ，设()00,M x y ，则()02,N y -， 直线NF 的方程为0(2)4y y x =--，即00204y x y y +-=， 因为点M 到直线NF的距离是=因为点M 在抛物线C 上，所以208y x =，=整理得()2200166448y y +=⨯，解得0y =，所以06x =，即M ，故直线l=【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到直线方程点到直线距离公式等知识，考查运算求解能力，是中档题.三、解答题17．在数列{}n a 中，11a =，23a =，11320n n n a a a +--+=（n +∈N 且2n ≥）. （1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）21nn a =-.【解析】（1）利用定义法证明数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）结合数列{}1n n a a +-的通项公式，利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）证明：∵11320n n n a a a +--+=， ∴()112n n n n a a a a +--=-，又11a =，23a =，2120a a ∴-=≠；∴112n nn n a a a a +--=-（n +∈N ，且2n ≥），故数列{}1n n a a +-是首项和公比都是2的等比数列；（2）解：由（1）可得12nn n a a +-=， 则112n n n a a ---=（n +∈N ，且2n ≥），故()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+…12322221n n n ---=+++++…122112nn -==--（n +∈N ，且2n ≥）， 当1n =时，1a 1=满足上式，∴21nn a =-.【点睛】本题考查了等比数列的证明方法——定义法，等比数列通项公式，累加法求求通项公式，特别是累加法求通项要验证首项，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.18．如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，且24AB CD ==，ABC V 是等腰直角三角形，其中BC 为斜边.若把ACD V 沿AC 边折叠到ACP △的位置，使平面PAC ⊥平面ABC ，如图2.（1）证明：AB PA ⊥；（2）若E 为棱BC 的中点，求点B 到平面PAE 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）26. 【解析】（1）证明AB ⊥平面PAC ，则有AB PA ⊥； （2）等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：∵ABC V 是等腰直角三角形，BC 为斜边， ∴AB AC ⊥.∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，AB Ì平面ABC ∴AB ⊥平面PAC ， ∵PA ⊂平面PAC ， ∴AB PA ⊥；（2）解：由（1）知AB AC ⊥，PC ⊥平面ABC ， 由题意可得2PC =，4AC AB ==，AC AB ⊥，则BC =PA ==∵E 为棱BC 的中点，∴12AE CE BC ===∴PE ==在PAE △中，AE =PA =PE = ∴222AE PE PA +=， 即AE PE ⊥，则PAE △的面积为12⨯= 设点B 到平面PAE 的距离为h ∵B PAE P ABE V V --=，∴21111423322⨯=⨯⨯⨯⨯，∴h =. 【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，点到平面距离的求法，考查直观想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题. 19．已知函数()()x f x ax e a =-∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）讨论()f x 在(0,)+∞上的零点个数.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减，当a 0>时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,)a +∞上单调递减；（2）当a e <时，()f x 在(0,)+∞上没有零点，当a e =时，()f x 在(0,)+∞上只有一个零点，当a e >时，()f x 在(0,)+∞上有两个零点. 【解析】（1）利用函数()f x 的导函数，分类讨论参数a ，得出()f x 的单调性；（2）转化问题，原函数有零点即函数()(0)x e g x x x =>有解，求导得出()(0)xe g x x x=>的单调性和极值，分类讨论得出()f x 在(0,)+∞上的零点个数.【详解】解：（1）∵()x f x ax e =-， ∴()x f x a e '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立， ∴()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，令()0f x '>，得ln x a <，令()0f x '<，得ln x a >. ∴()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,)a +∞上单调递减， 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减，当a 0>时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,)a +∞上单调递减；（2）令()0xf x ax e =-=，得e x a x=，设()(0)x e g x x x =>，则2(1)()(0)x xe x e g x x x x-'==>. 令()0g x '>，得1x >， 令()0g x '<，得01x <<，∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则()(1)g x g e ≥=.当a e <时，xea x=在(0,)+∞上无解，所以()f x 在(0,)+∞上没有零点；当a e =时，x ea x =在(0,)+∞上有且仅一个解，所以()f x 在(0,)+∞上有一个零点；当a e >时，x ea x=在(0,)+∞上有两个解，所以()f x 在(0,)+∞上有两个零点.综上，当a e <时，()f x 在(0,)+∞上没有零点； 当a e =时，()f x 在(0,)+∞上只有一个零点； 当a e >时，()f x 在(0,)+∞上有两个零点. 【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数单调性，利用导数求函数单调性和极值讨论函数零点问题，考查了分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是中档题.20．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：（ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【答案】（1）0.3（2）（ⅰ）93.32万元（ⅱ）每天应该批发两大箱【解析】（1）求出日销售总利润不低于24500元所需的日销售件数，得出符合要求的天数，可求对应频率；（2）每天的利润等于销售额加九折的转让费减成本，分别算出两大箱和两小箱30天的总利润作比较.【详解】解：（1）∵试销期间每个零件的利润为1000650350-=元，所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于2450070 350=，∴所求频率为630.330+=. （2）（ⅰ）批发两大箱，则批发成本为60255066000⨯⨯=元， 当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(12050)5506600018650⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(12070)5506600028750⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量为90件时，当日利润为9010000.9(12090)5506600038850⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量量为110件时，当日利润为11010000.9(120110)5506600048950⨯+⨯-⨯-=元； 所以这30天这款零件的总利润为186505287501538850848950293.32⨯+⨯+⨯+⨯=万元.（ⅱ）若批发两小箱，则批发成本为45260054000⨯⨯=元， 当日销售量为50件时，当日利润为5010000.9(9050)6005400017600⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量为70件时，当日利润为7010000.9(9070)6005400026800⨯+⨯-⨯-=元； 当日销售量为90件或110件时，当日利润为9010005400036000⨯-=元. 所以这30天这款零件的总利润为1760052680015360001085⨯+⨯+⨯=万元，∵93.32万元85>万元， ∴每天应该批发两大箱. 【点睛】本题考查频率的计算，销售利润的计算，运算难度不大，但是需要认真审题，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且四个顶点构成的四边形的面积是（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(2,0)P -，且不垂直于y 轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 与椭圆C 交于E ，F 两点（O 是坐标原点），若四边形AEBF的面积为，求直线l 的方程.【答案】（1）22184x y +=；（2）20x +=. 【解析】（1）离心率提供a 与c 的关系，四个顶点构成的四边形对角线互相垂直，列出等量关系求a ，b 的值；（2）直线l 经过点(2,0)P -,由直线点斜式方程设出直线l 的方程，并设出直线l 与椭圆C 交点A 、B 的坐标，联立方程，由韦达定理可表示出AB 的中点M 的坐标；由中点M 的坐标可得直线OM 的方程，联立直线OM 的方程与椭圆C 的方程，利用韦达定理可求||EF ，再利用点到直线距离公式可求点A 、B 到直线OM 的距离，由四边形AEBF的面积为l 的方程. 【详解】解：（1）由题意可得222212222c a a b ab a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪=+⎪⎪⎩解得a =2b =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）设直线l 的方程为2x my =-，()11,A x y ，()22,B x y .联立222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222440m y my +--=，则12242m y y m +=+，12242y y m =-+， 从而()12122842x x m y y m +=+-=-+，故2242,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，直线OM 的斜率为2m -，所以直线OM 的方程为2my x =-， 即20mx y +=.联立2220184mx y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22162x m =+，则||EF ==设点A 到直线OM 的距离为d ，则点B 到直线OM 的距离也为d ，从而2d =.∵点A ，B 在直线OM 的两侧， ∴()()1122220mx y mx y ++<，∴112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，则222m y y d +-=，∵12y y -==，∴2d =则四边形AEBF的面积11||222S EF d =⋅=⨯=∵四边形AEBF 的面积为∴=m =， 故直线l 的方程为20x ±+=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，联立方程利用韦达定理求弦长，考查转化与化归思想和运算求解能力，是难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值. 【答案】（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2. 【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出C 与l 的直角坐标方程； （2）将直线l 的直角坐标方程化为参数方程，点(2,2)P -在直线上l ，利用参数t 的几何意义，可得11||||PM PN +的值. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=， ∵直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin cos 4ρθρθ-=，∴其直角坐标方程为40x y -+=；（2）直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的方程，得250t --=，则12t t +=125t t =-，∴121211||||5t t PM PN t t -+==.【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数t 的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题.23．已知函数()|||5|f x x a x =++-.（1）当3a =时，求不等式()10f x ≤的解集； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）[4,6]-；（2）(,6][4,)-∞-⋃-+∞. 【解析】（1）分类讨论去绝对值解不等式；（2）利用三角不等式解法解不等式，从而得出a 的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时，22,3()8,3522,5x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，不等式()10f x ≤等价于32210x x <-⎧⎨-+≤⎩或35810x -≤≤⎧⎨≤⎩或52210x x >⎧⎨-≤⎩，解得43x -≤<-或35x -≤≤或56x <≤. ∴原不等式的解集为[4,6]-；（2）()1f x ≥等价于|||5|1x a x ++-≥. 因为|||5||5|x a x x ++-≥+， 所以|5|1x +≥，所以4a ≥-或6a ≤-. 则a 的取值范围是(,6][4,)-∞-⋃-+∞. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和绝对值不等式成立问题，考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归思想，是基础题.。

2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)

2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)

2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−3<x<−1}，B={x|x2−4x−12≤0}，则A∩B=()A. [−2,−1)B. (−2,−1)C. (−1,6]D. (−3,−1)2.已知复数z=2−i，z−为z的共轭复数，则(1+z)⋅z−=()A. 5+iB. 5−iC. 7−iD. 7+i3.已知向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则x=()A. −2B. 2C. 1D. −l4.若x，y满足约束条件{x−y≤0x+y≤2x+1≥0，则z=y+2x+3的最大值为()A. 12B. 34C. 52D. 35.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是()A. i≤3?B. i≤4?C. i≤5?D. i≤6?6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3−2x，则不等式f(x)>0的解集为()A. (−32,32) B. (−∞,−32)∪(32,+∞)C. (−∞,−32)∪(0,32) D. (−32,0)∪(32,+∞)7.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有()A. 1人B. 2人C. 5人D. 6人8.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)与直线ya−xb=1交于A，B两点焦点P(0,−c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为()A. √5−12B. √3−12C. √3+14D. √5+149.将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=5π9对称；②它的最小正周期为2π3③它的图象关于点(11π18,1)对称；④它在[5π3,19π9]上单调递增．其中所有正确结论的编号是()A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√23B. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√23C. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√3311.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为()(注：12+22+32+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)6)A. 1624B. 1198C. 1024D. 156012.已知函数f(x)=ae x(a>0)与g(x)=2x2−m(m>0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为()A. (4e2,+∞) B. (8e2,+∞) C. (0,4e2) D. (0,8e2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}是等比数列，a1=1，a3=36，则a2=______．14.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为______．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为______．16.如图，在三棱锥A−BCD中，点E在BD上，EA=EB=EC=ED，BD=√2CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动(不含端点)，且AM=CN，则当四面体C−EMN的体积取得最大值23时，三棱锥A−BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinA+sinB)(a−b)+bsinC=csinC.点D为边BC的中点，且AD=√7．(1)求A；(2)若b=2c，求△ABC的面积．18.某校高三(1)班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：(2)依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．,n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合)，E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．(1)证明：BP⊥平面DCP．(2)若BC=2，当三棱锥D−BPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离．20. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C的弦，已知以AB 为直径的圆经过点(−1,0)． (1)求p 的值及该圆的方程；(2)设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF ⊥NF ． 21. 已知函数f(x)=(x+1)(1+lnx)x−3m ，g(x)=−mx +lnx(m ∈R)．(1)求函数g(x)的单调区间与极值．(2)当m >0时，是否存在x 1，x 2∈[1,2]，使得f(x 1)>g(x 2)成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，已知点M(1,√32)，C 1的参数方程为{x =12+t y =√3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．23.已知函数f(x)=|x−3|+|x−1|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)的最小值为M，正数a，b满足a2+4b2=M，证明：a+2b≥4ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合B={x|x2−4x−12≤0}={x|−2≤x≤6}，集合A={x|−3<x<−1}，∴A∩B={x|−2≤x<−1}，故选：A．先求出集合B，再利用集合的交集运算即可求出A∩B．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=2−i，z−=2+i，则(1+z)⋅z−=(3−i)(2+i)，=7+i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念进行化简，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.答案：B解析：解：∵向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴a⃗⋅b⃗ =0+2x=2⋅√12+x2⋅cosπ3，即2x=√12+x2，求得x=2，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出x的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4.答案：C解析：解：因为z=y+2x+3表示经过点D(−3,−2)和可行域内的点(x,y)的直线的斜率；画出可行域；可知可行域的三个顶点分别为A(−1,3)，B(−1,−1)，C(1,1)；且K AD=52；故z≤52．即z=y+2x+3的最大值为52．故选：C．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题． 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当i 为何值时输出，得到判断框中的条件． 【解答】解：初始值i =9，S =1模拟执行程序框图，可得S =10，i =8不满足条件，继续循环； S =18，i =7不满足条件，继续循环； S =25，i =6不满足条件，继续循环；S =31，i =5，此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为31． 故判断框中应填入的关于i 的条件是i ≤5？ 故选C ． 6.答案：C解析：解：根据题意，f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则其图象如图： 且f(32)=f(−32)=0，则不等式f(x)>0的解集为(−∞,−32)∪(0,32)；故选：C ．根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得f(x)的图象，据此分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，属于基础题． 7.答案：C解析：解：设这两项成绩均合格的人数为x ，则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30−x ， 则30−x +35+5=45， 得x =25，即这两项成绩均合格的人数是25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×2545=5，故选：C ．设这两项成绩均合格的人数为x ，根据集合关系建立方程进行求解即可，再根据分层抽样即可求出． 本题主要考查集合关系的应用和分层抽样的问题，属于基础题． 8.答案：A解析：解：椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与直线y a −xb =1交于A ，B 两点焦点P(0,−c)，其中C 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A(0,a)，B(−b,0)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得b 2=ac ，即a 2−c 2=ac ，即e 2+e −1=0，e ∈(0,1)， 故e =√5−12．故选：A．利用已知条件求出A、B坐标，结合三角形是直角三角形，推出a、b、c关系，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1=2sin(3x−π3)+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x+π2−π3)+1=2sin(3x+π6)+1的图象．令x=5π9，求得g(x)=2sin11π6+1=0，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x=5π9对称，故①不正确；它的最小正周期为2π3，故②正确；当x=11π18时，g(x)=1，故g(x)的图象关于点(11π18,1)对称，故③正确；在[5π3,19π9]上，3x+π6∈[5π+π6,6π+π2]，g(x)没有单调性，故④错误，故选：B．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.答案：B解析：解：连结EF，A1C1，C1D，DF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF//A1C1，∴直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，设AA1=√2，则AB=√2AA1=2，则DF=√5，C1F=√3，C1D=√6，由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：m=cos∠DC1F=2×√3×√6=√23．综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．故选：B．连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF//A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：C解析：解：设该数列为{a n}，令b n=a n+1−a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n=b n+1−b n，设{c n}的前n项和为C n．易c n =n ，C n =n 2+n 2，进而得b n+1=3+C n =3+n 2+n 2，所以b n =3+n(n−1)2=n 22−12n +3，则B n =n(n+1)(n−1)6+3n ，所以a n+1=1+B n ，所以a 19=1024． 故选：C ．设该数列为{a n }，令b n =a n+1−a n ，设{b n }的前n 项和为B n ，又令c n =b n+1−b n ，设{c n }的前n 项和为C n .运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n 项自然数的平方和公式，计算可得所求． 本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化简运算能力，属于中档题． 12.答案：D解析：解：设切点为A(x 0,y 0)，所以{ae x 0=2x 02−m ae x 0=4x 0，整理得{4x 0=2x 02−m x 0>0m >0，由m =2x 02−4x 0>0，解得x 0>2．由上可知a =4x 0e x 0，令ℎ(x)=4x e x ，则ℎ′(x)=4(1−x)e x ．因为x >2，所以ℎ′(x)=4(1−x)e x<0,ℎ(x)=4x e x在(2,+∞)上单调递减，所以0<ℎ(x)<8e 2，即a ∈(0,8e 2)．故选：D ．先设出切点，根据切点是公共点且切点处导数值相等构造方程，由此将m 用切点的横坐标x 0表示出来，根据m 的范围求出x 0的范围，再将a 表示成x 0的函数，利用导数求其值域即可．本题考查了利用导数研究切线问题和研究函数值域的基本思路，属于中档题．注意计算要准确． 13.答案：±6解析：解：设{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=36，得q 2=36， 所以q =±6， 故a 2=±6． 故答案为：±6结合已知及等比数列的通项公式可求公比q ，进而可求本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题14.答案：14π解析：解：正方形的面积S =0.5×0.5=0.25，若铜钱的直径为2cm ，则半径是1，圆的面积S =π×12=π，则随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率P =0.25π=14π，故答案为：14π．求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应圆和正方形的面积是解决本题的关键．比较基础．15.答案：√3解析：解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0)，p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P(m,n)，由抛物线定义知：|PF|=m+p2=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为(3,±2√6)∴{a2+b2=49a2−24b2=1解得：a=1，b=√3，则渐近线方程为y=±√3x，即有点F到双曲线的渐近线的距离为d=√3√3+1=√3，故答案为：√3．根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2−a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．16.答案：32π解析：解：设ED=a，则CD=√2a.可得CE2+DE2=CD2，∴CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x．则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x)≤√212a(x+a−x2)2=23，当且仅当x=a2时取等号．解得a=2√2．此时三棱锥A−BCD的外接球的表面积=4πa2=32π．故答案为：32π．设ED=a，则CD=√2a.可得CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x.则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x).利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结论．本题考查了直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)△ABC中，∵(sinA+sinB)(a−b)+bsinC=csinC；∴(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，由正弦定理可得，(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，(2)∵b2+c2−a2=bc，b=2c，∴a2=3c2=b2−c2，∴B=π2，C=π6；；∴在直角△BAD中，AD2=c2+(a2)2⇒7=c2+34c2⇒c=2，a=2√3；∴S△ABC=12ac=2√3．解析：(1)由已知结合正弦定理可得，b2+c2−a2=bc，然后结合余弦定理可求cos A，进而可求A；(2)先结合第一问的结论求出∴B=π2，C=π6；再在直角△BAD中求出边长即可求出结论．本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题．18.答案：解：(1)因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%=15，由表中数据知，优秀分数线应定为125分．(2)由(1)知，测试成绩优秀的学生有50×0.3=15人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有50−15=35人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：赞成不赞成合计优秀10515不优秀221335合计321850计算K2=50×(10×13−5×22)232×18×15×35=25378≈0.066<2.706，因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．解析：(1)计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；(2)由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，是基础题．19.答案：(1)证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，所以DC⊥平面BPC．因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC．因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC．又DC∩PC=C，所以BP⊥平面DCP．(2)解：显然，当点P位于BC⏜的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D−BPC 的体积也最大．因为BC =2，所以PE =1，所以△BEP 的面积为12×1×1=12，所以三棱锥D −BEP 的体积为13×12×2=13．因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP =√(2√2)2−(√2)2=√6，△BDP 的面积为12×√2×√6=√3． 设E 到平面BDP 的距离为d ，由13×√3×d =13，得d =√33， 即E 到平面BDP 的距离为√33．解析：(1)先根据面面垂直得到DC ⊥平面BPC ⇒BP ⊥DC ；再结合BP ⊥PC 即可证明结论；(2)先分析何时最大，再结合体积相等即可求解本题主要考查线面垂直的证明以及点到面的距离求解；一般求点到面的距离常用体积相等． 20.答案：解：(1)易知A 点的坐标为(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，解得p =2，又圆的圆心为F(1,0)，所以圆的方程为(x −1)2+y =4；(2)证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，代入C 的方程得ky 2−4y +4(y 0+k)=0， 令△=16−16k(y 0+k)=0.得y 0+k =1k ，所以ky 2−4y +4(y 0+k)=k 2y 2−4ky+4k =0，解得y =2k ， 将y =2k 代入C 的方程，得x =1k 2，即N 点的坐标为(1k 2,2k )，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k)， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2k 2+y 0⋅2k =2−2k 2+(1k −k)⋅2k=0 故MF ⊥NF ．解析：(1)易知A(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，即可解得p 的值，得到圆心坐标为(1,0)，半径为2，从而求出改圆的方程；(2)设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，与抛物线方程联立，由△=0可得令△=0可得y 0+k =1k ，所以y =2k ，与抛物线方程联立可求出N 点的坐标，从而得到FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故MF ⊥NF ． 本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的基本知识，是中档题． 21.答案：解：(1)g′(x)=−m +1x ，x >0，当m≤0时，g′(x)>0恒成立，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，所以不存在极值，当m>0时，当0<x<1m 时，g′(x)>0此时函数单调递增，当x>1m时，g′(x)<0，此时函数，单调递减故函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，此时函数g(x)在x=1m 处取得极大值，极大值为g(1m)=−1−lnm，无极小值，综上，当m≤0时，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，不存在极值．当m>0时，函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，极大值为−1−lnm，无极小值，(2)当m>0时，假设存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立则对x∈[1,2]，满足f(x)max>g(x)min，∵f′(x)=x−lnxx2x∈[1,2]，令ℎ(x)=x−lnx，x∈[1,2]，则ℎ′(x)=1−1x≥0，所以ℎ(x)在[1,2]上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1，所以f′(x)>0，所以f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)max=f(2)=3(1+ln2)2−3m，由(1)可知，①当0<1m≤1时，即m≥1时，函数g(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)的最小值是g(2)=−2m+ln2，②当1m ≥2，即0<m≤12时，函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)=−m，③当1<1m <2时，即12<m<1时，函数g(x)在[1,1m]上单调递增，在[1m,2]上单调递减．又g(2)−g(1)=ln2−m，，所以当12<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m．当ln2≤m<1时，g(x)在1，2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，所以当0<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m，故3(1+ln2)2−3m>−m，解得3(1+ln2)4>m，所以ln2>m>0，当ln2≤m时，函数g(x)在[1,2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，故3(1+ln2)2−3m>ln2−2m，解得m<3+ln22，所以ln2≤m <3+ln22．故实数m 的取值范围是(0,3+ln22).解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间与极值，(2)由题意可得，对x ∈[1,2]，满足f(x)max >g(x)min ，结合导数及单调性关系可求．本题综合考查了导数与单调性的关系及函数的存在性问题的求解，属于难题．22.答案：解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t(t 为参数)，消去参数t ，可得y =√3x −√32， 由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ=3，由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M(1,√32)在曲线C 1上， 故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t y =√32+√32t(t 为参数)， 代入3x 2+2y 2=3，化简可得3t 2+8t +2=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△=64−4×3×2>0，且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．解析：(1)由代入消元法，消去t 可得C 1的普通方程；由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；(2)判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x ≤12,1<x <32x −4,x ≥3．∵f(x)≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1<x <32≤6， 即以−1≤x ≤1或3≤x ≤5或1<x <3，∴不等式的解集为[−1,5]．(2)∵(x)=|x +3|+|x −1|≥|x −3−x +1|=2，∴M =2，∵a >0，b >0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证(a +2b)2≥16a 2b 2，即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a2+4b2=2，∴只要证2+4ab≥16a2b2，即证8(ab)2−2ab−1≤0，即证(4ab+1)(2ab−1)≤0，∵4ab+1>0，∴只需证ab≤1，2∵2=a2+4b2≥4ab，∴ab≤1成立，2∴a+2b≥4ab．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤6利用零点分段法解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020届河南省新乡市高三第二次模拟数学(文科)试题(原卷版)

2020届河南省新乡市高三第二次模拟数学(文科)试题(原卷版)

新乡市2020届高三年级第二次模拟考试（强化卷）数学（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,0,1,2,3}A =-，{|31}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|12}x x -<<B. {1,0,1}-C. {1,0}-D. {0,1}2.(2)(1)i i ++=（ ） A. 13i +B. 13i -C. 13i -+D. 13i --3.已知双曲线22214x y a -=的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. C. 4D. 4.已知3tan 4α=，则sin 2cos 2sin cos αααα-=+（ ） A. 2-B. 2C. 12-D.125.已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则（ ） A. b c a <<B. b a c <<C. a c b <<D. a b c <<6.下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误．．的是（ ）A. 甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B. 甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数 C. 甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同 D. 甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差7.函数2()1cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭的部分图象大致为（ ） A.B.C.D.8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（ ） A. 18πB. 36πC. 27πD. 54π9.如图，P ，Q 是函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<图象与x 轴的两个相邻交点，(1,2)M 是函数()f x 的图象的一个最高点，若MPQ 是等腰直角三角形，则函数()f x 的解析式是（ ）A. ()2cos 24f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()2cos 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭D. ()2cos 42f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即3.1415926π=，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||3a b -≤”的概率为（ ） A.13B.815C.23D.71511.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上.若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为（ ）A. 9πB. 27πC. 36πD. 54π12.若对任意实数(,1]x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =（ ） A. 12-B. 0C.12D. e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量(2,23)a =，(3,)b m =，若a b ⊥，则m =__________.14.若实数x ，y 满足约束条件2022033x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________.15.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知(sin 3)csin sin b B C C a A -+=，且8+=b c ，则ABC 的面积的最大值是__________.16.已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F ，且与抛物线C 在第一象限的交点为M ，点N 在抛物线C 的准线1l 上，且1MN l ⊥.若点M 到直线NF 的距离是43，则直线l 的斜率是__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在数列{}n a 中，11a =，23a =，11320n n n a a a +--+=（n +∈N 且2n ≥）. （1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.18.如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，且24AB CD ==，ABC 是等腰直角三角形，其中BC 为斜边.若把ACD 沿AC 边折叠到ACP △的位置，使平面PAC ⊥平面ABC ，如图2.（1）证明：AB PA ⊥；（2）若E 为棱BC 的中点，求点B 到平面PAE 的距离. 19.已知函数()()x f x ax e a =-∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）讨论()f x 在(0,)+∞上的零点个数.20.某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S 店进行连续30天试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S 店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表： 日销售量 40 60 80 100 频数 91263（1）若该4S 店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：（ⅰ）设该4S 店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S 店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且四个顶点构成的四边形的面积是（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点(2,0)P -，且不垂直于y 轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 与椭圆C 交于E ，F两点（O 是坐标原点），若四边形AEBF 的面积为，求直线l 的方程.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值. 23.已知函数()|||5|f x x a x =++-.（1）当3a =时，求不等式()10f x ≤的解集； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.。

【4月河南新乡市二模理数】2020年河南省新乡市高三年级第二次模拟考试(强化卷)理科数学试卷及答案解析

【4月河南新乡市二模理数】2020年河南省新乡市高三年级第二次模拟考试(强化卷)理科数学试卷及答案解析

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河南省新乡市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析

河南省新乡市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析

河南省新乡市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 2．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<„的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( ) A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围. 【详解】已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<„的图象有一个横坐标为3π的交点，则2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Q， 2536ππϕ∴+=，6πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍， 则sin 26y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以当[0,2]x πÎ时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x Q 在[0,2]π有且仅有5个零点，5466πππωπ∴+<„，29352424ω∴<„. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 3．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C 【解析】 【分析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.4．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B U 等于（ ） A ．{}|2x x >- B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】求出集合B ，然后进行并集的运算即可. 【详解】∵{}|1A x x =>-，{}|20B x x =-<<， ∴{}|2A B x x =>-U . 故选：A. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 5．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.6．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 7．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得： ()()222321111330k f x x x x x x x x x x'==+=++≥⋅⋅=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 8．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.【详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，若，即，则，则，且，故，若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.故选A.【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.9．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%【答案】A【解析】【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25% 250450100⨯=++.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.10．已知集合A＝{y|y21x=-}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（）A．[0，12）B．（﹣∞，0）∪[12，+∞）C．（0，12）D．（﹣∞，0]∪[12，+∞）【答案】D【解析】【分析】求函数的值域得集合A，求定义域得集合B，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【详解】集合A＝{y|y21x=-}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x12＜}＝（0，12），∴A∩B＝（0，12），∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[12，+∞）.故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.11．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1(强化版) (含答案解析)

2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1(强化版) (含答案解析)

2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<4}，B ={0,1，2，4}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {0,1，2，4}2. 已知i 是虚数单位，则复数7−i3+i =( )A. 2 – iB. 2+iC. −2+iD. −2−i3. 已知双曲线x 2m 2+16−y 24m−3=1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A. ±54B. ±45C. ±53D. ±354. 已知tanα=1，则sinα+2cosαsinα=( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若log 2a <0，(12)b >1，则( )A. a >1，b >0B. a >1，b <0C. 0<a <1，b >0D. 0<a <1，b <06. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A. 甲、乙、丙B. 乙、甲、丙C. 丙、乙、甲D. 甲、丙、乙7. f(x)=|x|cosxe x +e −x 的部分图象大致为( )A. B.C. D.8. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为( )A. 12πB. 14πC. 16πD. 18π9. 已知函数y =sin(ωx +φ)，ω>0，φ∈(−π,π)的图象，如图，则函数解析式为( )A. y =sin(x +3π4) B. y =sin(2x +3π4) C. y =sin(x +π4)D. y =sin(2x +π4)10. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，若|a −b|≤1，就称甲乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( )A. 19B. 29C. 49D. 71811. 已知三棱锥V −ABC ，VA ⊥平面ABC ，在三角形ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC =VA =2，三棱锥V −ABC 的外接球的表面积为( )A. 16πB. 32π3C. 20√5π3D. 20π12. 已知函数f (x )=e 2−x +x ，x ∈[1,3]，则下列说法正确的是( )A. 函数f (x )的最大值为3+1e B. 函数f (x )的最小值为3+1e C. 函数f (x )的最大值为3D. 函数f (x )的最小值为3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a ⃗ =(m,−1)，b ⃗ =(1,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m = ______ ．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，ab =60，面积S ΔABC =15√3，ΔABC 外接圆的半径为√3，则c =________．16. 抛物线C ：y 2=4x 的交点为F ，准线为l ，p 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM ⊥l 交C于点M ，线段MF 为抛物线C 交于点N ，若PF 的斜率为34，则|MN||NF|=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}中，a1+a3是a2与a4的等差中项，且以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，且b n+1=b n+a n+n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=AD=1，BC=DC=√3，PA=2，PC=2√2，PA⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：BC⊥PB；(Ⅱ)求点B到平面PDC的距离．19.已知函数f(x)=e ax−x−1(a∈R)．(1)当a=1时，求证：f(x)≥0；(2)讨论函数f(x)的零点的个数．20.为激发果农对樱桃种植的热情，某商场每年六月会从果农中订购他们所种植的樱桃，假设商场每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，当天未售完的樱桃降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完．根据往年情况，每天需求量n(单位：公斤)与当天平均气温ℎ(单位：℃)有关．如果ℎ≥25，n=300；如果ℎ∈[20,25),n=200；ℎ∈[15,20),n=100；ℎ<15，n=50.为了确定今年6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月平均气温数据，得到如下所示的频数分布表：(1)若设该商场某天进货220公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率；(2)假设该商场打算在这90天内每天进货200公斤或220公斤，请你以销售樱桃每天为商场带来的利润的期望值作为决策依据，帮该商场作出正确的进货量选择．21.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，又点A(1,√2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−|3x −4|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)关于x 的不等式f(x)≤|3x +1|+|3x +a|−4恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】考查描交集的运算．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|−2<x<2}；∴A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数7−i3+i =(7−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−i，故选A.3.答案：D解析：解：由题意m2+16=25，4m−3>0，∴m=3，√4m−3=3，∴该双曲线的渐近线的斜率为±35，故选D．利用双曲线x2m2+16−y24m−3=1的实轴长为10，求出m，即可求出该双曲线的渐近线的斜率．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．解析： 【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．由已知直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【解答】 解：sinα+2cosαsinα=tanα+2tanα．由tanα=1，得 原式==1+21=3．故选C ．5.答案：D解析： 【分析】本题主要考查了借助指数函数与对数函数的单调性比较大小求解参数的范围，属于基础试题.由对数函数y =log 2x 在(0,+∞)单调递增及log 2a <0=log 21可求a 的范围，由指数函数y =(12)x 单调递减，及(12)b >1=(12)0可求b 的范围． 【解答】解：∵log 2a <0=log 21，由对数函数y =log 2x 在(0,+∞)单调递增∴0<a <1∵(12)b >1=(12)0，由指数函数y =(12)x 单调递减∴b <0故选D .6.答案：A解析： 【分析】本题主要了考查合情推理，是基础题．因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲>乙．乙：丙>乙且丙>甲．丙：丙>乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙>乙，乙>甲，∵乙预测不正确，而丙>乙正确，∴只有丙>甲不正确，∴甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲>乙，乙>丙．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【解答】解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：C解析：【分析】本题考查几何体的体积的求法，几何体的内接体问题的应用，圆柱的侧面积的求法，考查计算能力．设圆柱的底面半径为R，求出三棱柱的底面边长为√3R，利用棱柱的体积，求出底面半径，然后求【解答】解：设圆柱的底面半径为R，底面正三角形的边长为a，，则a=√3R．故三棱柱的底面边长为√3R，因为三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，所以√34(√3R)2⋅2R=12√3，解得R=2，S圆柱侧=2πR⋅2R=16π．故选：C．9.答案：A解析：解：函数的周期T=2×[3π4−(−π4)]=2π，即2πω=2π，得ω=1，由五点对应法得−π4+φ=π2，即φ=3π4，即f(x)=sin(x+3π4)，故选：A．根据函数图象先确定函数的解析式，然后利用五点对应法求出φ即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件ω和φ的值是解决本题的关键．10.答案：C解析：【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．试验发生的所有事件共有6×6=36种不同的结果，而满足条件的|a−b|≤1的情况通过列举得到共16种情况，代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从1，2，3，4，5，6任取两个，共有6×6=36种不同的结果，则|a−b|≤1的情况有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)共16种情况，他们”心相近”的概率为P=1636=49，11.答案：D解析：【分析】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，属于中档题．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=√22+22−2×2×2×(−1)=2√3，2∴三角形ABC的外接圆直径，∴r=2，∵VA⊥面ABC，VA=2，设外接球的圆心为O，则三角形OVA为等腰三角形，×2)2=√5，则有该三棱锥的外接球的半径R=√r2+(12∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√5)2=20π．故选：D．12.答案：D解析：【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．求出函数f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数f(x)的最小值即可．【解答】解：f(x)=e2−x+x，∴f′(x)=−e2−x+1，令f′(x)>0，解得：x>2，令f′(x)<0，解得：x<2，故f(x)在[1,2)递减，在(2,3]递增，故f(x)的最小值是f(2)=3，故选D．13.答案：2解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =(m,−1)⋅(1,2)=m−2=0，得m=2，故答案为：2根据向量垂直转化为a⃗⋅b⃗ =0，解方程即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直转化为a⃗⋅b⃗ =0，是解决本题的关键．14.答案：[0,5)解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l：2x−y=0，平移l可知过C时z最小，过B时z最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)， 即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)． 15.答案：3解析：【分析】本题考查正弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．由题意和三角形的面积公式可得sin C ，再由正弦定理可得c 值．【解答】解：∵△ABC 中ab =60，面积S △ABC =15√3，∴S =12absinC =12×60×sinC =15√3，解得sinC =√32， 设△ABC 外接圆半径为：R ，∵△ABC 外接圆半径R =√3，∴由正弦定理可得c =2RsinC =2√3×√32=3． 故答案为3． 16.答案：√10解析：解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，过N 作l 的垂线，垂足为Q ，则|NF|=|NQ|，∵PF 的斜率为34，∴可得P(9,6)．∴M(−1,6)，∴cos∠MFO =√1010， ∴cos∠MNQ =√1010， ∴|MN||NF|=√10 故答案为：√10． 过N 作l 的垂线，垂足为Q ，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P 的坐标，可得cos∠MNQ =√55，即可得到|MN||NF|．本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题． 17.答案：解：(Ⅰ)∵以a 3−2，a 3，a 3+2为边长的三角形是直角三角形，∴(a3−2)2+a32=(a3+2)2，∵a3≠0，∴a3=8，∵a1+a3是a2与a4的等差中项，∴2(a1+a3)=a2+a4，∴2(8q2+8)=8q+8q，∴q=2，a1=822=2，∴a n=2n；(Ⅱ)∵b n+1=b n+a n+n，∴b n+1−b n=a n+n，∴b n−b1=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)(n≥2)=(2+22+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n−1)=2(1−2n−1)1−2+n(n−1)2，∴b n=2n+n(n−1)2(n≥2)，当n=1时，b1=2也成立．∴b n=2n+n(n−1)2．解析：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．(Ⅰ)利用以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，求出a3，利用a1+a3是a2与a4的等差中项，求出公比，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法，可求数列{b n}的通项公式．18.答案：解：(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，因为PA=2，PC=2√2，所以AC=2．因为AB=AD=1，BC=DC=√3，所以AB2+BC2=AD2+DC2=AC2，所以AB⊥BC，AD⊥DC，由PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A可得，BC⊥平面PAB，又因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．(Ⅱ)以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0,0，0)，C(0,√3,0)，P(1,0，2)，D(32,√32,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,−2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +√3y −2z =012x +√32y −2z =0， 取x =1，得y =√3，z =1，n ⃗ =(1,√3,1)，所以点B 到平面PDC 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=5=3√55．解析：本题考查线面垂直的判定及性质，考查利用空间向量解决点到平面的距离问题，属中档题． (Ⅰ)只需证明BC ⊥平面PAB ，然后利用线面垂直的性质即可得证；(Ⅱ)以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，过点B 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设平面PDC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z )，根据题设数据，求出n ⃗ ，点B 到平面PDC 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |解出即可．19.答案：解：(1)证明：当a =1时，f (x )=e x −x −1，f′(x )=e x −1．由f′(x )=0，得x =0．当x <0时，f′(x )<0；当x >0时，f′(x )>0，所以函数f(x)在区间(−∞,0)内是减函数，在区间(0,+∞)内是增函数，所以f(0)是f(x)的极小值点，也是最小值点，且f (x )min =f (0)=0，故当a =1时，f(x)≥0恒成立；(2)∵函数f (x )=e ax −x −1，∴f′(x )=ae ax −1①当a ≤0时，f′(x)<0恒成立，则函数f(x)在R 上是减函数．又∵f(0)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点．②当a >0时，由f′(x)=0，得x =1a ln 1a ，当x <1a ln 1a 时，f′(x)<0；当x >1a ln 1a 时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,1a ln 1a )内是减函数，在区间(1a ln 1a ,+∞)内是增函数．所以f (1a ln 1a )是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f (x )min =f (1a ln 1a )=1a −1a ln 1a −1．令ℎ(t)=t−tlnt−1(t>0)，则ℎ′(t)=1−(1+lnt)=−lnt，当t=1时，ℎ′(t)=0；当0<t<1时，ℎ′(t)>0；当t>1时，ℎ′(t)<0，所以函数ℎ(t)在区间(0,1)内是增函数，在区间(1,+∞)内是减函数，从而ℎ(1)是函数ℎ(t)的极大值点，也是最大值点，所以ℎ(t)≤ℎ(1)=0，即f(x)min=1a −1aln1a−1≤0(当且仅当a=1时取等号)．当f(x)min=1a −1aln1a−1=0，即a=1时，函数f(x)只有一个零点．当f(x)min=1a −1aln1a−1<0，即a>0，且a≠1时，分a>1和0<a<1两种情况讨论：(i)当a>1时，−1<1a ln1a<0，因为f(−1)=e−a−(−1)−1=e−a>0，所以f(x)在区间(−∞,1a ln1a)内有一个零点；又f(0)=0，因此f(x)有两个零点．(ii)当0<a<1时，1a ln1a>0，由(1)得，ex≥x+1，即x≥ln(x+1)，亦即lnx≤x−1．令x=2a ，则得ln2a≤2a−1，即−ln2a≤−(2a−1)，所以f(2a ln2a)=e2ln2a−2aln2a−1≥(2a)2−2a(2a−1)−1=2a−1>0，所以f(x)在区间(1a ln1a,+∞)内有一个零点．由f(0)=0，因此函数f(x)有两个零点．由(i)和(ii)得，当a>1或0<a<1时，函数f(x)有两个零点．综上，当a≤0或a=1时，函数f(x)只有一个零点；当a>0，且a≠1时，函数f(x)有两个零点．解析：本题考查了导数性质、函数的极值点、单调性等知识，在解题过程中，渗透了分类讨论的思想．(1)当a=1时，f′(x)=e x−1，由f′(x)=0，得x=0.利用导数性质能证明f(x)≥0；(2)求出f′(x)=ae ax−1，此时可分为a≤0和a>0时进行讨论．当a≤0时，利用导数性质能得出f(x)在R上是减函数；当a>0时，利用导数性质可知f(1a ln1a)是函数f(x)的最小值点，即f(x)min=f(1a ln1a)=1a−1aln1a−1，为了方便求出f(x)的最小值的取值范围，我们令ℎ(t)=t−tlnt−1(t>0)，利用导数的性质能得出ℎ(1)是函数ℎ(t)的最大值点，则f(x)min≤0，当f(x)min=0时，函数f(x)只有一个零点；当f(x)min<0时，需分a>1和0<a<1两种情况讨论，综上可以得出函数f(x)的零点的个数．20.答案：解：(1)当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元．所以当天该商场不亏损的概率P=90−1890=45.(2)设每天的进货量为220公斤，则每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值为：880×3690+720×3690−80×1690−480×290=61519(元)．设每天的进货量为200公斤，当需求量n≥200时，利润为4×200=800元；当需求量n=100时，利润为4×100−4×100=0元；当需求量n=50时，利润为4×50−4×150=−400元；此时利润的期望值为800×7290+0×1690−400×290=63119(元)，因为63119>61519，故从每天销售樱桃给商场带来的利润的期望值考虑，应选择进货量为200公斤．解析：本题考查古典概率及数学期望，考查了学生的运算求解能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据题意可得当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元；进而利用古典概率公式即可得到结果；(2)设每天的进货量为220公斤，可求得每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值，设每天的进货量为200公斤，求得此时利润的期望值，进而即可得到结果．21.答案：解：(1)依题意，得{ca =√22a2=b2+c21 b +2a=1，解得{a=2b=√2c=√2，∴椭圆的方程为x22+y24=1．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，设直线BC的方程为y=√2x+m，则有{y=√2x+mx22+y24=1，消去由并整理得4x2+2√2mx+(m2−4)=0，由Δ=(2√2m)2−16(m2−4)=−8m2+64>0，解得−2√2<m<2√2，由根与系数的关系，得：x1+x2=−√22m，x1x2=m2−44，|BC|=√1+2|x1−x2|=√1+2·√(x 12)212=√62√8−m 2，设d 为点A 到直线BC 的距离，则d =√2−√2+m|√(√2)2+(−1)2=√33|m|， ∴S △ABC =12|BC|⋅d =√24√m 2(8−m 2)， ∵√m 2(8−m 2)≤m 2+8−m 22=4，当且仅当m =±2时取等号，满足−2√2<m <2√2，∴当m =±2时，△ABC 的面积取得最大值√2．解析：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆中的最值问题，是较难题．(1)利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．(2)BC 的方程为y =√2x +m ，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求最大值．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1． (Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上， 故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f (x )=|3x +1|−|3x −4|= {−5,x≤−136x−3,−13<x<435,x≥4 3当x⩽−13时，f(x)≤3恒成立，当−13<x<43时，解6x−3≤3，得−13<x≤1，∴f(x)≤3的解集为{x|x≤1}；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|(3x−4)−(3x+a)|=|−4−a|，得：|−4−a|≥4，解得：a≥0或a≤−8，故实数a的取值范围为(−∞,−8]∪[0,+∞)．解析：本题考查了绝对值的意义及绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属中档题．(Ⅰ)不等式即为f(x)≤3，通过讨论x的范围，从而求得不等式的解集；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|−4−a|，得|−4−a|≥4，求a的范围即可．。

2020年新乡市高三数学下期末模拟试卷(及答案)

2020年新乡市高三数学下期末模拟试卷(及答案)

2020年新乡市高三数学下期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．32D ．12．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A ．65B ．184C ．183D ．1763．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．344．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．355．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60C ．80D ．1006．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．26D ．427．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b ),则向量b v 在向量a v 方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-28．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ）A ．只能是左端点的函数值()i f xB ．只能是右端点的函数值1()i f x +C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +）D ．以上答案均正确9．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=r u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.10．对于不等式2n n +<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时,211+<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,即2k k +<k+1.那么当n=k+1时,()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k 3k 2k 2(k 2)+++=++<++++=+=(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立.则上述证法（ ）A ．过程全部正确B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确 11．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．43πB ．83πC ．163πD ．203π 二、填空题13．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则y x的最小值为__________．14．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .15．若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.16．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.17．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.18．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.三、解答题21．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长；(2) 求BC 的长. 22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2n n na C nb *=∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N L 23．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈） 24．已知3,cos )a x x =r ，(sin ,cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r .（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.25．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．26．定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．2．B解析：B【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=.即第八个孩子分得斤数为184.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B解析：B【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是246C =种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B ． 考点：古典概型． 4．C解析：C【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r r r n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r r r T C x += 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.5．A解析：A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 36240C = 种.本题选择A 选项.6．D解析：D【解析】【分析】2a b +≤转化为指数运算即可求解。

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【解析】根据服从的正态分布可得 ， ，将所求概率转化为 ，结合正态分布曲线的性质可求得结果.
【详解】
由题意， ， ，则 ， ，
所以 ， .
故果实直径在 内的概率为0.8185.
故选：C
【点睛】
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
8．已知椭圆 + =1(a>b>0)与直线 交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）
①它的图象关于直线x= 对称；
②它的最小正周期为 ；
③它的图象关于点( ，1)对称；
④它在[ ]上单调递增.
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
【答案】B
【解析】根据函数 图象的平移变换公式求出函数 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.
【详解】
因为f(x)=sin3x- cos3x+1=2sin(3x- )+1，由 图象的平移变换公式知，
【答案】
【解析】设点 为 ，由抛物线定义知， ，求出点P坐标代入双曲线方程得到 的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点 为 ，
由抛物线定义知， ，解得 ，
不妨取P(3，2 )，代入双曲线 - =1，得 - =1，
所以方程 有两个不相等的正实数根，
于是有 解得 .
若不等式 有解，
所以
因为
.
设 ，
，故 在 上单调递增，
故 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.
二、填空题
13．已知数列 是等比数列， ，则 __________.
【答案】C
【解析】求出 ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.
【详解】
.
故选：C
【点睛】
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.
3．已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则x=（）
A．-2B．2C．1D．-1
【答案】B
【解析】由题意 ，代入解方程即可得解.
【详解】
由题意 ，
所以 ，且 ，解得 .
【详解】
如图所示：
连接 ， ， ， ，由正方体的特征得 ，
所以直线 与直线 共面.
由正四棱柱的特征得 ，
所以异面直线 与 所成角为 .
设 ，则 ，则 ， ， ，
由余弦定理，得 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.
11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注： ）
设该数列为 ，令 ，设 的前 项和为 ，又令 ，设 的前 项和为 .
易 ， ，进而得 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 有解，则 的取值范围是（）
两边同时除以 可得， ，
解得e= 或 （舍去），
所以该椭圆的离心率为 .
故选：A
【点睛】
本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
9．将函数f(x)=sin3x- cos3x+1的图象向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先求导得 （ ），由于函数 有两个不同的极值点 ， ，转化为方程 有两个不相等的正实数根，根据 ， ， ，求出 的取值范围，而 有解，通过分裂参数法和构造新函数 ，通过利用导数研究 单调性、最值，即可得出 的取值范围.
【详解】
由题可得： （ ），
因为函数 有两个不同的极值点 ， ，
A．1624B．1024C．1198D．1560
【答案】B
【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列 的通项公式和前 项和，利用累加法求得数列 的通项公式，进而求得 .
【详解】
依题意
：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
：1，2，3，4，5，……
A．直线 与直线 异面，且 B．直线 与直线 共面，且
C．直线 与直线 异面，且 D．直线 与直线 共面，且
【答案】B
【解析】连接 ， ， ， ，由正四棱柱的特征可知 ，再由平面的基本性质可知，直线 与直线 共面.，同理易得 ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线 与 所成角为 ，然后再利用余弦定理求解.
【点睛】
本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.
18．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（ ）的检测数据，结果统计如下：
空气质量
优
良
轻度污染
故答案为：32π
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.
三、双空题
16．若 ，则 __________； __________.
【答案】80 211
【解析】根据 ，利用通项公式求解 .再利用赋值法，令 ，得 ，令 ，得 即可.
【详解】
因为 ，则 .
故选：B
【点睛】
本题考查 图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型
10．如图，在正四棱柱 中， ， 分别为 的中点，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则( )
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.
4．若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据约束条件作出可行域，找到使直线 的截距取最值得点，相应坐标代入 即可求得取值范围.
【详解】
画出可行域，如图所示：
由图可知，当直线 经过点 时， 取得最小值－5；经过点 时， 取得最大值5，故 .
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于 的关系式，解方程求解即可.
【详解】
联立方程 ，解方程可得 或 ，
不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知， · =0，
因为 ， ，
由平面向量垂直的坐标表示可得， ，
因为 ，所以a2-c2=ac，
又因为a2+b2=4，解得a=1，b= ，因为双曲线的渐近线方程为 ，
所以双曲线的渐近线为y=± x，由点到直线的距离公式可得，
点F到双曲线的渐近线的距离 .
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
令 ，得 ；
令 ，得 ，
故 .
故答案为：(1). 80 (2). 211
【点睛】
本题主要二项展开式的通项公式和系数和问题，还考查了赋值法运算求解的能力，属于基础题.
四、解答题
17． 的内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，点 为边 的中点，且 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .中度污染 Nhomakorabea重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10
（1）从空气质量指数属于 ， 的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失 （单位：元）与空气质量指数 的关系式为 ，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.
【答案】（1） （2）9060元
故选：B
【点睛】
本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.
5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据程序框图的运行，循环算出当 时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
此时输出 .
故选：C.
【点睛】
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.
6．函数 在 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.
【详解】
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