4.3 单位圆与正弦函数、

合集下载

必修4-1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

虹屏居
11
新知探究
2、求函数 y=-0.5sinx，x[-5π/6，3π/4]的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的自变量x的值.
最大值为0.5，最小值为-0.5；取得最大值时的x值为0.5π，取得最小值时x的值为-0.5π.
虹屏居
12
新知探究
3、求函数y 0.5- cosx 的定义域.
难点：利用单位圆说明正弦函数的周期性．
虹屏居
3
新知预读
1、单位圆中的三角函数定义； 2、试说明角α的终边与单位圆的交点P的纵坐标 sinα的变化情况
虹屏居
4
新知思议
1、研究正弦函数的基本性质从哪几方面进行的？ 4个方面；分别为：（1）定义域；（2）值域；（3）周期性；（4）单调性．
虹屏居
5
虹屏居
14
新知小结
本课所学的知识点有哪些？正弦函数、余弦函数的性质．本课有哪些数学思想？类比思想、数形结合思想．
你有何收获？
虹屏居
15
新知强化
1、P23习题2-4，A组 5，B组 2 .
2、预习：P19、§4.4单位圆的对称性与诱导公式
虹屏居
16
欢迎指导谢谢合作
虹屏居
17
虹屏居
9
新知思议
请在单位圆中，讨论余弦函数的单调性.
由正弦函数的周期性可知，正弦函数在每一个区间[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)上是增加的，在每一个区间[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z)上是减少的.
虹屏居
10
新知探究
1、求下列函数的单调区间. （1）y=sinx，x[-π，π] ；（2）y=cosx，x[-π，π] . （1）y=sinx，在x[-π，π]上增区间为[-π/2，π/2]；减区间为[-π，-2/π] ,[2/π，π] . （2）y=cosx，在x[-π，π]上增区间为[-π，0]；减区间为[0，π] .

高中数学第1章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式

12/12/2021
第九页，共十二页。
解：(1)f(α)＝－sin－αccoossαα·s－incαosα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝cos－2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα＝15， ∴sinα＝－15，又 α 是第三象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－215＝－256，
第一章三角函数(sānjiǎhánshù)
12/12/2021
第一页，共十二页。
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导(yòudǎo)公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
12/12/2021
第二页，共十二页。
基础知识点对点
课后拔高(bá ɡāo)提能练
又∵sin(π－α)＝sinα，∴sinα＝－23，
1又2/12∵/2021sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝23.
第八页，共十二页。
知识点三化简求值 5．已知 f(α)＝sinα－co3sπ－cπos－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值．
∴f(α)＝－cosα＝2
5
6 .
12/12/2021
第十页，共十二页。
12/12/2021
第十一页，共十二页。
内容(nèiróng)总结
第一章三角函数(sānjiǎhánshù)。基础知识点对点
No Image
12/12/2021
第十二页，共十二页。
12/12/2021
第三页，共十二页。
基础知识点对点
12/12/2021

高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大版必修4

易错案例正、余弦函数基本性质的应用【典例】若x是三角形的最小内角,则正弦函数y=sinx的值域为_____.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是角的范围错误,忽视了“最小内角”对角范围的限制.
【自我矫正】因为x是三角形的最小内角,
则0<x≤
3
2.图像的利用在求解函数的值域时,结合单位圆,能避免出错,如本例中x∈ (0，] 时,
3
最大值与最小值的求解,作出单位圆后,结果就很清晰了.
(2)周期函数一定存在最小正周期吗? 提示:不一定.如常数函数是周期函数,但是没有最小正周期.
2.关于周期函数,下列说法正确的是________(填序号). ①周期函数的定义域可以是有限集; ②周期函数的周期只有唯一一个; ③周期函数的周期可以有无数多个; ④周期函数的周期可正可负. 【解析】由周期函数的定义可得①②是错误的,③④是正确的. 答案:③④
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】知识点1 周期函数观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
x

1， 2
结合单位圆(如图所示)知x的取值范围是 2k x 7 2k,k Z.

高中数学必修四文档：第一章§4.3单位圆与正弦函数、

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
1．问题导航 (1)由于 α与－ α的终边关于 x 轴对称，故若 β与 α的终边关于 x 轴对称，则必有 β＝－ α，这样说对吗？
(2)角 α与角 β的所有三角函数值都相等，则 α 与 β 有什么关系？ (3)在应用诱导公式时，公式中的角 α必须是锐角吗？
＝ sin
x＝
1 3.
cos
π ＋ α·cos（ 2π－ α） ·sin
3π － α＋
2
2
3．化简
sin（－ π － α） ·sin
3π ＋ α 2
＝ ________．
π
－sin α· cos α· －sin －α＋
2
解析：原式＝
sin α·（－ cos α）
＝ sin
α· cos α· cos － sin α· cos α
(5)sin( π ＋ α)＝－ sin_α ，cos(π＋ α)＝－ cos α .(1.12)
π
π
(6)sin
＋ α＝ cos_α ， cos ＋ α＝－ sin α .(1.13)
2
2
(7)sin
π－ α＝ cos 2
α ， cos π－ α＝ sin_α ． (1.14) 2
1．判断正误． (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)由公式 (1.9) 知 cos[－ (α－ β)] ＝－ cos(α－ β)． ( ) (2)在△ ABC 中， sin( A＋ B)＝ sin C．( )
α ＝－ cos
α.
答案：－ cos α
对正弦、余弦函数诱导公式的理解
(1) 利用诱导公式，可以将任意角的正弦、余弦函数问题转化为锐角的正弦、余弦函数

高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4单位圆的对称性与诱导公

方法归纳三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点 T，即可得到正切线 AT.
跟踪训练 1
5π 作出－ 8 的正弦线、余弦线和正切线．
π α∈－2，0，
2 ∴sinα＝－ 1－cos α＝－ 3 ， sinα ∴tanα＝cosα＝－2 2. 答案：－2 2
2
2
课堂探究互动讲练类型一三角函数线的作法 3π [例 1] 做出 4 的正弦线、余弦线和正切线．
【解析】
3π 角 4 的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直于 x 轴，垂 3π 足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线 AT，与 4 的终边的反向延长线交 3π 于点 T，则 4 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.
2.角的终边的对称性 (1)角 α 与－α 的终边关于 x 轴对称． (2)角 α 与 α±π 的终边关于原点对称． (3)角 α 与 π－α 的终边关于 y 轴对称．
3．正弦函数和余弦函数的诱导公式
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由公式(1.9)知 cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( × ) (2)在△ABC 中，sin(A＋B)＝sinC.( √ ) π (3)sinα－2＝cosα.( × ) π (4)若 α 为第二象限角，则 sin2＋α＝cosα.( √ ) π π (5)sin4－α＝cos4＋α.( √ )
方法归纳对于负角的三角函数的求值问题，可先利用诱导公式 sin(－α) ＝－sinα 将其化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于 360° ，再利用诱导公式 sin(k· 360° ＋α)＝sinα(k∈Z)，化为 0° 到 360° 间的角的三角函数，若这时的角是 90° 到 360° 间的角，再利用 180° －α 或 180° ＋α 或 360° －α 的诱导公式化为 0° 到 90° 间的角的三角函数．

高中数学第一章三角函数 1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 1.4.4 单位圆的对

4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式知识点一正弦线与利用单位圆看y ＝sin x 性质[填一填]1．根据单位圆理解正弦函数y ＝sin x 的性质 (1)定义域是全体实数；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]； (3)它是周期函数，其最小正周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性：在[0，π2]上是增加的；在[π2，π]上是减少的；在[π，3π2]上是减少的；在[3π2，2π]上是增加的．2．正弦线如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M .线段MP 叫作角α的正弦线．当角α的终边在x 轴上时，M 与P 重合，此时正弦线变成一个点．[答一答]1．正弦线的长度等于y ＝sin x 的函数值吗？提示：不等于，正弦线的长度等于y ＝sin x 的函数值的绝对值．知识点二余弦线与利用单位圆看y ＝cos x 性质[填一填]3．根据单位圆理解余弦函数y ＝cos x 性质 (1)定义域是全体实数；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]； (3)它是周期函数，其最小正周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性：在[0，π2]上是减少的；在[π2，π]上是减少的；在[π，32π]上是增加的；在[32π，2π]上是增加的．4．余弦线如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M .线段OM 叫做α的余弦线．与角α的终边在y 轴上时，M 与O 重合，此时余弦线变成一个点．[答一答]2．余弦线的长度等于y ＝cos x 的函数值吗？提示：不等于，余弦线的长度等于y ＝cos x 的函数值的绝对值．知识点三诱导公式[填一填]5．诱导公式(函数名称不变) sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α. sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α. 文字概括：－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．6．诱导公式(函数名称改变) sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α. sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α. 文字概括：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[答一答]3．怎样记忆七组诱导公式？提示：这七组诱导公式可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k ·π2±α(k∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k 的奇偶性．例如，sin(11π2＋α)，因为11π2中的k ＝11是奇数，且把α看成锐角时，11π2＋α是第四象限角，第四象限角的正弦函数值是负数，所以sin(11π2＋α)＝－cos α.1．诱导公式的实质诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．2．解读诱导公式(－α)(1)主要应用是把负角转化为正角，这也是我们在化简角时常用的一个策略．(2)角α与角－α关于x 轴对称． 3．解读诱导公式(2π－α)(1)由三角函数的定义知，三角函数值由角终边的位置决定，故终边相同的角一定有相同的三角函数值．(2)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．4．解读诱导公式(π＋α，π－α)(1)角α与α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )两角的终边在同一条直线上，关于原点对称，故两角的正弦值与余弦值分别是互为相反数的．(2)可以把任意角的三角函数求值问题进一步缩小为[0，π2]内的角的三角函数求值问题．5．解读诱导公式(π2＋α，π2－α)诱导公式(π2＋α，π2－α)不同于前面的四个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．类型一正、余弦函数的定义域、值域、最值【例1】 (1)函数y ＝sin x3的定义域是( )A ．RB ．[－1,1]C ．⎣⎡⎦⎤－13，13 D ．[－3,3](2)函数y ＝2cos x ＋12的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．⎣⎡⎦⎤－32，52 D ．R 【解析】 (1)∵y ＝sin x 的定义域是R ，即x3∈R ，∴x ∈R .(2)由y ＝cos x 的值域是[－1,1]，得－2≤2cos x ≤2， ∴－32≤2cos x ＋12≤52.∴该函数的值域是⎣⎡⎦⎤－32，52. 【答案】 (1)A (2)C(1)函数y ＝1sin x －1的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }．(2)函数y ＝2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最大值是1；最小值是－1. 解析：(1)∵sin x ≠1，∴函数定义域为{x |x ∈R ，且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3时，cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， ∴y ＝2cos x 的最大值是1，最小值为－1.类型二正、余弦函数的单调性【例2】函数y ＝－23cos x ，x ∈(0,2π)，其单调性是( )A ．在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的B ．在⎝⎛⎦⎤0，π2，⎣⎡⎦⎤3π2，2π上是增加的，在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是减少的 C ．在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是减少的D ．在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是增加的，在⎝⎛⎦⎤0，π2，⎣⎡⎭⎫3π2，2π上是减少的【解析】 ∵y ＝cos x 在(0，π)是单调递减函数，在[π，2π)上是单调递增函数．∴y ＝－23cos x在(0，π)是单调递增函数，在[π，2π)上是单调递减函数，A 成立．【答案】 A规律方法函数y ＝A sin x ＋B 或y ＝A cos x ＋B 型函数的单调性常常利用y ＝sin x 与y ＝cos x 的单调性解决．但要注意A >0，A <0情况的讨论．函数y ＝3sin x 的定义域是⎣⎡⎦⎤π3，5π6，值域是[a ，b ]，则b －a ＝32. 解析：y ＝3sin x 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上是减函数，所以y ∈⎣⎡⎦⎤32，3.所以b ＝3，a ＝32，b －a ＝32. 类型三利用诱导公式求值【例3】 (1)求sin(－1 200°)·cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)的值； (2)计算：cos π7＋cos 2π7＋cos 3π7＋cos 4π7＋cos 5π7＋cos 6π7.【思路探究】 (1)注意观察角，将角化为360°·k ＋α，180°±α，360°－α等形式后，再利用诱导公式求解．(2)根据两互补角的余弦值互为相反数求解．【解】(1)原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1. (2)原式＝(cos π7＋cos 6π7)＋(cos 2π7＋cos 5π7)＋(cos 3π7＋cos 4π7)＝[cos π7＋cos(π－π7)]＋[cos2π7＋cos(π－2π7)]＋[cos 3π7＋cos(π－3π7)]＝(cos π7－cos π7)＋(cos 2π7－cos 2π7)＋(cos 3π7－cos 3π7)＝0.规律方法本题第(1)问主要考查诱导公式，可先将负角化为正角，再化为0°～360°的角，最后化为锐角求值．对本题第(2)问进行推广，可以得到下面规律：cos πn ＋cos 2πn ＋…＋cos(n －2)πn＋cos (n －1)πn ＝[cos πn ＋cos (n －1)πn ]＋[cos 2πn ＋cos (n －2)πn]＋…＝0(n ∈N ＋)．求cos 73π＋sin 74π－cos ⎝⎛⎭⎫－176π的值．解：cos 73π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝cos π3＝12. sin 74π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝－sin π4＝－22. cos ⎝⎛⎭⎫－176π＝cos 17π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. 所以cos 73π＋sin 74π－cos ⎝⎛⎭⎫－176π＝1＋3－22. 类型四利用诱导公式进行化简【例4】设k 为整数，化简：sin (k π－α)cos [(k －1)π－α]sin [(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α).【思路探究】求解本题时，可以将整数k 分为奇数、偶数两种情况进行讨论；也可以根据(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π，[(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π并结合诱导公式将题目中的角均转化为k π＋α；也可以直接利用公式进行化简．【解】方法1：当k 为偶数时，设k ＝2m(m ∈Z )，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，则原式＝sin[(2m ＋1)π－α]cos (2m π－α)sin[(2m ＋2)π＋α]cos[(2m ＋1)π＋α]＝sin (π－α)cos (－α)sin αcos (π＋α)＝sin αcos αsin α(－cos α)＝－1.综上可得，原式＝－1.方法2：由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π， [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)，cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)．又sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)，故原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)][－sin (k π＋α)]cos (k π＋α)＝－1.方法3：原式＝(－1)k －1sin α·(－1)k －1cos α(－1)k ＋1sin α·(－1)k cos α＝－1.规律方法三角函数式的化简是对式子进行某种变形以清晰地显示式子中所有项之间的关系，其变形过程就是统一角、统一函数名称的过程，所以对式子变形时，一方面要注意角与角之间的关系，另一方面要根据不同的变形目的，对公式进行合理选择．化简的基本要求是：(1)能求出值的求出值；(2)使三角函数名称尽量少；(3)使项数尽量少；(4)使次数尽量低；(5)使分母尽量不含三角函数；(6)使被开方数(式)尽量不含三角函数．化简：sin (θ－5π)cos (3π－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θsin (θ－3π)·cos (8π－θ)sin (－θ－4π).解：原式＝－sin (5π－θ)cos (π－θ)·sin θ－sin (3π－θ)·cos θ－sin (4π＋θ)＝－sin (π－θ)－cos θ·sin θ－sin (π－θ)·cos θ－sin θ＝－sin θ－cos θ·sin θ－sin θ·cos θ－sin θ＝1.——易错警示——应用诱导公式时忽略对参数的讨论致误【例5】化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z )＝________.【错解】2cos α(或－2cos α) 【正解】当n 为偶数时①，设n ＝2k ，k ∈Z ，原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α；当n 为奇数时②，设n ＝2k ＋1，k ∈Z ，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α.【错解分析】忽略①②处对n 为奇数或n 为偶数的讨论，只作为一种情况求解，而导致答案错误．【答案】 ⎩⎨⎧2cos α，n 为偶数，－2cos α，n 为奇数【防范措施】分类讨论意识在处理含参数的式子时，常常要对参数进行讨论，有时是对参数的正负的讨论，有时是对参数的奇偶的讨论，要视题目而定，如本例中，因诱导公式中角α＋2k π与角α＋(2k ＋1)π的公式不同，所以要对n 的奇偶分情况讨论．化简：sin(4n －14π－α)＋cos(4n ＋14π－α)(n ∈Z )．解：方法1：当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈Z ，原式＝sin[2k π－(π4＋α)]＋cos[2k π＋(π4－α)]＝sin[－(π4＋α)]＋cos(π4－α)＝－sin(π4＋α)＋cos[π2－(π4＋α)]＝－sin(π4＋α)＋sin(π4＋α)＝0；当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1，k ∈Z ，原式＝sin[(2k ＋1)π－(π4＋α)]＋cos[(2k ＋1)π＋(π4－α)]＝sin(π2＋π4－α)＋cos(π＋π4－α)＝cos(π4－α)－cos(π4－α)＝0.综上可知，原式＝0.方法2：因为4n ＋14π－α＝π2＋(4n －14π－α)，所以sin(4n －14π－α)＋cos(4n ＋14π－α)＝sin(4n －14π－α)＋cos[π2＋(4n －14π－α)]＝sin(4n －14π－α)－sin(4n －14π－α)＝0.方法3：原式＝sin[n π－(π4＋α)]＋cos[n π＋(π4－α)]＝(－1)n －1sin(π4＋α)＋(－1)n cos(π4－α)＝(－1)n －1sin(π4＋α)＋(－1)n cos[π2－(π4＋α)]＝(－1)n －1·sin(π4＋α)＋(－1)n sin(π4＋α)＝0.一、选择题1．函数y ＝2cos x ＋1的最小正周期为( C ) A ．π B ．2π＋1 C ．2πD.π2解析：函数y ＝2cos x ＋1的最小正周期与函数y ＝cos x 的最小正周期相同，故选C.2．sin585°的值为( A )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解析：本题主要考查三角函数的概念及诱导公式．sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 3．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则( B )A ．α＝60°B ．α＝420°C ．α＝120°D ．α＝300°解析：∵cos α＝12，∴在(0°，360°)内α＝60°或300°，∴在(370°，520°)内为420°.二、填空题4．(1)cos 11π4＝－22； (2)sin(π2＋π6)＝32.解析：(1)cos 114π＝cos(2π＋34π)＝cos 34π＝－22. (2)sin(π2＋π6)＝cos π6＝32.5．设sin x ＝t －3，x ∈R ，则t 的取值范围为[2,4]．解析：因为－1≤sin x ≤1，所以－1≤t －3≤1，由此解得2≤t ≤4.三、解答题6．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)3cos (π－α)－sin (－α)的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)得，－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.∴sin (π－α)＋5cos (2π－α)3cos (π－α)－sin (－α)＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝－35.。

4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

从单位圆看正弦函数的基本性质
sin α= v 函数y=sinx y
1
α
-
o
1
-1
正弦函数y=sinx有以下性质：
（1）定义域：R
P(u,v) （2）值域：[-1，1]
（3）是周期函数，最小正周期是 2
M 1 x （4）在[ 0，2]上的单调性是：
在[0, ]、[3 , 2 ]上是增加的；
22
在[ ， ]、[ , 3 ]上是减少的.
2
2
正弦函数的图象
想一想?
1. sin,cos 的几何意义.
y
1 PT
正弦线MP
o M 1A
余弦线OM
x
三角问题
几何问题
1.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1) 列表 y sin x, x 0,2
x
0
6
3
2 5
236
7 6
4 y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2) 描点 y
1-
-
0
2
1 -
(3) 连线
3 2
2
x
2. 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
1-
P1
p1/
作法:(1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
6
o1
M-11 A
o
6
3
2
2 3
5
7
4
6
6
3
3 2
5 3
11 6
2

北师版高中数学第一章单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

出正弦函数值和余弦函数值;
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x;
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,首先求

r= 2 + 2 ,则 sin α= ,cos α= ;
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
如果将水车边缘看成一个圆,如何确定水车边缘上的点呢?
-4-
4.1
4.2
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
一、任意角的正弦函数和余弦函数
任意角的正弦函数和余弦函数的定义
1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作
sin < 0,
从而有
sincos > 0,
cos < 0,
所以角 θ 的终边在第三象限,故选 C.
答案C
-18-
4.1
4.2
探究一
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
反思感悟正、余弦函数值的符号判断方法
-13-
4.1
4.2
探究一
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
探究二
探究三
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
根据正、余弦函数的定义求值

单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义课件

解三角方程
利用单位圆上的点坐标，可以求解三角方程，例如sinθ = 1/2对应的角度θ。
04
正弦函数余弦函数在任意角中的应用
正弦函数在任意角中的应用
定义
正弦函数是单位圆上点的纵坐标，表示与x轴的夹角。
性质
正弦函数具有周期性、对称性和有界性等性质。
应用
在三角函数、解析几何、微积分等领域有广泛应用。
三角函数定义
利用单位圆的性质，我们可以定义任意角的正弦函数和余弦函数。在单位圆上，正弦函数定义为y/r，余弦函数定义为x/r。
三角函数图像
利用单位圆，我们可以绘制出正弦函数和余弦函数的图像。在单位圆上，正弦函数和余弦函数的值分别等于从原点到点P的y和x坐标的长度。
02
任意角的正弦函数与余弦函数的定义
单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义课件
目录
CONTENTS
• 单位圆的定义与性质 • 任意角的正弦函数与余弦函数的
定义 • 单位圆与正弦函数余弦函数的关
系 • 正弦函数余弦函数在任意角中的
应用
01
单位圆的定义与性质
单位圆的定义
单位圆
在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。
邻边与斜边的比值。
在单位圆中，余弦函数表示为x 坐标与半径的比值，即
cosθ=x/r，其中θ为锐角，r为半径。
余弦函数的周期也为360度，即 cos(θ+360)=cosθ。
正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数具有对称性，即 sin(-θ)=-sinθ和cos(-θ)=cosθ。
正弦函数和余弦函数具有有界性，即它们的取值范围都在[-1,1]之间。
正弦函数的值域

单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义42单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质课件

(2)∵－154π＝－4π＋65π，即－154π 与65π 终边相同，而65π 为第三象限角， ∴－154π 也为第三象限角， ∴sin－154π<0.
又∵158π＝4π－25π，即158π 与－25π终边相同，而－25π为第四象限角，
∴158π 为第四象限角， ∴cos 158π>0， ∴sin－154π·cos 158π<0.
4．已知 sin x＝2m＋3，且 x∈－π6，π6，求 m 的取值范围． [解] ∵x∈－π6，π6， ∴结合单位圆知 sin x∈－12，12，即－12 ≤2m＋3≤ 12. ∴－74 ≤m≤－54.
合作探究释疑难
正弦函数、余弦函数定义【例 1】已知角 α 的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋ cos α 的值． [解] r＝－3a2＋4a2＝5|a|. ①若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sin α＝yr＝45aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
A．－34π，π4
B．－π2，π2
C．－π4，34π
D．[0，π]
A [如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及
直线 y＝x，要使 sin x≤cos x，由三角函数线的定义
知角 x 的终边应落在直线 y＝x 上或者该直线的下
方，故选 A．]
利用单位圆解三角不等式的一般步骤第一步：找出不等式对应方程的根；第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域；第三步：结合单位圆写出不等式的解集.
－8 [∵sin θ＝ 42y＋y2＝－255， ∴y<0，且 y2＝64， ∴y＝－8.]
4．确定下列各式的符号． (1)sin 100°·cos 200°； (2)sin－154π·cos 158π.

1.4.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质

π 3 π 3 π 3 π 3
1
2
= .
1 2
反思应用单位圆解sin x≥a或sin x≤a(|a|≤1)时,需作直线y=a;解cos x≥a或cos x≤a(|a|≤1)时,需作直线x=a,这种方法简单、直观,体现了数形结合的思想.
【变式训练 2】求满足不等式 sin α≥ 2 的角��的范围.
正解:令 u=sin x ,y=lg u 在(0,+∞ )上为增函数,u=sin x 在 2��π- ,2��π +
2 π π 2
(��∈Z)上是增加的,由 sin x>0 知,y=lg(sin
π 2
x )的递增区间为 2��π,2��π +
(��∈Z).
课堂练习：
1.函数y=2sin x的周期是(
)
函数 y=sin x 性质定义域 R 值域与最值周期单调区间 y∈[ - 1,1]; π 当 x=2k π+ (�� ∈Z) 时, ymax=1; 当 x=2k π− 2π 递增区间: 2��ππ 2 2 π 2
y=cos x y∈[ - 1,1]; 当 x=2k π( k ∈Z) 时, ymax=1;当 x=2k π+π( k ∈Z) 时, ymin =- 1 递增区间:[2k π- π,2k π] ( k ∈Z); 递减区间:[2k π,2k π+π] ( k ∈Z)
减少的,在区间 π,
π 5π 2
上是增加的.
π π
(2)①函数 y=sin x 在区间 - 3 , 2 上是增加的,在区间上是减少的.
π π 3 2
,

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课件

(2)在单位圆中,若角α= ,求 sin α与 cos α的值;
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
值、余弦函数值.
例 2 已知任意角α终边上除原点外的一点 Q(x,y)，求角α的正弦函数
把点P的横坐标u叫作角α的余弦值,记作u=cos α.
2.任意角的正余弦函数值的计算方法

= , =

其中 =
2 + 2
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
课后思考
已知角α的终边过点 P(－3a，4a)(a≠0)，求 2sin α＋cos α的值．
值、余弦函数值.
y
N
M
x
抽象概括
设任意角终边上除原点外的另外一点 , ，则角的正弦函数值和余
弦函数值分别为：

= , =

其中 =
2 + 2
学以致用
例3.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α=
解析因为 x=5,y=-12,
所以 r= 52 + (-12)2=13,
单位圆与任意角的正弦函数，余弦函数
2023.02.20情Fra bibliotek导入在初中我们是如何定义锐角的正弦值和余弦值？
P

O
M
MP
sin α
OP
OM
cos α
OP
新知探究
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角α的

高中数学1章三角函数44.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质 (1)定义域是R ；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]； (3)它是周期函数，其周期是2k π(k ∈Z )；(4)在[0，2π]上的单调性为：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是单调递增．同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质．思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ [提示] 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.2．诱导公式的推导(1)诱导公式(－α，π±α)的推导 ①在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．②公式sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α；sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α； sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α．(2)诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导①π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．②公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α用－α代替α并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α思考2：设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？[提示] 它们的对应关系如表：A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αB.sin (π－α)＝－sin αC.cos (210°＋α)＝cos (30°＋α)D.cos (－α－β)＝cos (α＋β) D [由诱导公式知D 正确．]2．cos 300°＋sin 450°的值是( ) A.－1＋ 3 B ．12C.－1－ 3D ．32D [原式＝cos (360°－60°)＋sin (360°＋90°) ＝cos (－60°)＋sin 90°＝cos 60°＋1＝32.]3．cos 2π3的值是( )A.－32 B ．32 C ．12 D ．－12D [cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.]4．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2[在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2.]正弦、余弦函数的性质【例1】求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x 的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π；(2)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.[解] (1)由图①可知，y ＝sin x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )；第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律；第四步：得出结论．1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值．(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π].[解](1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sinx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0].当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1，1].给角求值【例2】求下列三角函数式的值： (1)sin 495°·cos (－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＋cos 29π6.[解] (1)sin 495°·cos (－675°) ＝sin (135°＋360°)·cos 675° ＝sin 135°·cos 315°＝sin (180°－45°)·cos (360°－45°) ＝sin 45°·cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＋cos 29π6＝－sin 10π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＋cos 5π6＝－sin 4π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3－cos π6＝sin π3－cos π6＝32－32＝0.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值． 2．求下列三角函数值． (1)sin 4π3·cos 25π6；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－2π3.[解] (1)sin 4π3·cos 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝－sin π3·cos π6＝－32·32＝－34.(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.三角函数式的化简(1)cos （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.[解] (1)原式＝cos α·sin （－α）cos （－α）cos （π－α）sin （π－α）＝cos α（－sin α）cos α（－cos α）sin α＝cos α.(2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则：(1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论； (2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．3．化简下列各式．(1)cos （π＋α）·sin （2π＋α）sin （－π－α）·cos （－π－α）；(2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·sin （－585°）.[解] (1)原式＝－cos α·sin α－sin （π＋α）·cos （π＋α）＝－cos α·sin α－sin α·cos α＝1. (2)原式＝cos （180°＋10°）·[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）·[－sin （360°＋225°）] ＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·（－sin 225°）＝sin 30°－sin 45°＝12－22＝－22.给值求值问题[探究问题]1．有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？[提示] 对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．2．当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？[提示] 当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系．【例4】 (1)已知sin (π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是( )A.－45 B ．45 C ．－35 D ．35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[思路探究] (1)直接利用诱导公式求解，注意角α所在的象限．(2)利用复合角之间的关系及诱导公式求解．(1)B [因为sin (π＋α)＝35，且sin (π＋α)＝－sin α，所以sin α＝－35，又因为α是第四象限角，所以cos (α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.] (2)解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0，2π]内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝cos x 在[0，π]上是递减的．( )(3)sin (2π－α)＝sin α.( )(4)诱导公式中的角α只能是锐角．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知sin (θ＋π)＜0，cos (θ－π)＞0，则θ所在象限是( )A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限D ．第四象限B [由sin (θ＋π)＝－sin θ＜0⇒sin θ＞0，cos (θ－π)＝－cos θ＞0⇒cos θ＜0，由{sin θ＞0，cos θ＜0可知θ是第二象限角．]3．已知cos (π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．12 [cos (π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12.]4．计算：cos 19π6·sin 21π4.[解]原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22 ＝64.。

高中数学必修四文档：第一章§4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

[A.基础达标]1．如果sin(π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选A.因为－12＝sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝12，所以cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－12.2.下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋43π；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3(n ∈Z )．A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C.①中n 为偶数时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋43π＝－sin π3；②中cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3.故②③⑤正确．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25 B ．－15C.15 D ．25解析：选C.sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C.4．已知600°角的终边上有点P (a ，－3)，则a 的值为() A. 3 B ．－ 3C.33 D ．－33解析：选B.cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12，而cos 600°＝a a 2＋9，所以a a 2＋9＝－12，所以a ＜0.解得a ＝－ 3.5.cos ⎝⎛⎭⎫－20π3＝( ) A.12 B ．32C ．－12D ．－32解析：选C.cos ⎝⎛⎭⎫－20π3＝cos 20π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋2π3 ＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 6.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝________．解析：因为⎝⎛⎭⎫π6－x ＋⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝35. 答案：357．化简sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）的值等于________．解析：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32. 答案：－328.计算：cos π7＋cos 2π7＋cos 3π7＋cos 4π7＋cos 5π7＋cos 6π7＝________．解析：原式＝⎝⎛⎭⎫cos π7＋cos 6π7＋⎝⎛⎭⎫cos 2π7＋cos 5π7＋⎝⎛⎭⎫cos 3π7＋cos 4π7＝⎣⎡⎦⎤cos π7＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π7＋⎣⎡⎦⎤cos 2π7＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π7＋⎣⎡⎦⎤cos 3π7＋cos ⎝⎛⎭⎫π－3π7＝⎝⎛⎭⎫cos π7－cos π7＋⎝⎛⎭⎫cos 2π7－cos 2π7＋⎝⎛⎭⎫cos 3π7－cos 3π7＝0. 答案：09.化简cos(n π＋x )＋cos(n π－x )(n ∈Z)．解：当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z)，原式＝cos [(2k ＋1)π＋x ]＋cos [(2k ＋1)π－x ]＝cos (π＋x )＋cos(π－x )＝－cos x －cos x ＝－2cos x ；当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z)，原式＝cos(2k π＋x )＋cos(2k π－x )＝cos x ＋cos(－x )＝2cos x ，故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos x ，n 为奇数，2cos x ，n 为偶数. 10.计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5 ＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60° ＝32×32＋12×12＝1. [B.能力提升]1．在△ABC 中，若sin(A ＋B －C )＝sin(A －B ＋C )，则△ABC 必是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.因为sin(A ＋B －C )＝sin (A －B ＋C )，所以sin(π－2C )＝sin(π－2B )，即sin 2C ＝sin 2B ，所以2C ＝2B 或2C ＝π－2B ，即C ＝B 或C ＋B ＝π2，所以△ABC 是等腰或直角三角形．2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B ．32C ．0D ．－12解析：选A.因为f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，所以f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .所以f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )．所以f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6， f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6，所以f ⎝⎛⎭⎫5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6－12.因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A. 3．若α是三角形的一个内角，且cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos π6，则α＝________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－32，所以sin α＝32. 又因为α是三角形的一个内角，所以α＝π3或2π3. 答案：π3或2π34．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 014)＝2，则f (2 015)＝________．解析：因为f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＝2，所以f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝a sin [π＋(2 014π＋α)]＋b cos [π＋(2 014π＋β)]＝－[a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)]＝－2.答案：－25．已知f (α)＝sin （α－3π）·cos （2π－α）·sin ⎝⎛⎭⎫－α＋32πcos （－π－α）·sin （－π－α）. (1)化简f (α)；(2)若α为第四象限角且sin ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－313π，求f (α)．解：(1)f (α)＝（－sin α）·cos α·（－cos α）（－cos α）·sin α＝－cos α. (2)因为sin ⎝⎛⎭⎫α－32π＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝15，所以f (α)＝－cos α＝－15. (3)f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π ＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋53π＝－cos 53π＝－cos π3＝－12. 6．(选做题)已知f (k )＝sin k π4，k ∈Z . (1)求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (9)＋f (10)＋…＋f (16)；(2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)的值．解：(1)证明：因为sin k π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋k π4＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋84π(k ∈Z )，所以f (k )＝f (k ＋8)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (9)＋f (10)＋…＋f (16)．(2)由(1)可知f (k )是以8为一个周期的周期函数，而2 015＝251×8＋7，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝251[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)．又因为f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝sin π4＋sin2π4＋…＋sin8π4＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝sin π4＋sin2π4＋sin3π4＋sin4π4＋sin5π4＋sin6π4＋sin7π4＝sin π4＋sinπ2＋sin3π4＋sin π－sinπ4－sinπ2－sin3π4＝sin π＝0.。

高中数学 1.4.3+4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式课件北师大

第三十二页，共38页。
诱导公式(gōngshì)的综合应用
已知 cosπ6－α＝m(|m|≤1)，化简 cos56π＋α＋sin23π－α. [思路分析] 观察角的特点，由于56π＋α＝π－π6－α，故可运用 π－α，π2＋α 的诱导公式求正弦、余弦值．
第三十三页，共38页。
[规范解答] cos56π＋α＋sin23π－α ＝cosπ－π6－α＋sinπ2＋π6－α ＝－cosπ6－α＋cosπ6－α＝－m＋m＝0. [规律总结] 观察已知角和未知角之间的关系，运用诱导公式(gōngshì)将不同名的函数化为同名的函数，将不同角化为同角是解决问题的关键．
第二十一页，共38页。
[规范解答] (1)解法一：sin(－1665°)＝－sin1665° ＝－sin(225°＋4×360°)＝－sin225°
＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝
2 2.
解法二：sin(－1665°)＝sin(135°－5×360°)
＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝
＋120°)＝－sin45°＋cos30°＋sin60°＝
3－
2 2.
第十二页，共38页。
5．若 f(n)＝sinn4π(n∈N)，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(9)＝
__________.
[答案] [解析]
2 2
f(1)＝sinπ4＝ 22，f(2)＝sinπ2＝1，f(3)＝sin34π＝ 22，
D．4cosα
[答案(dáàn)] A [解析] 原式＝cosα＋cosα－cosα－cosα＝0.
第十一页，共38页。
4 ．计算 (jì suàn)sin315° ＋ cos( － 330°) － sin( － 480°) ＝ __________.