2008-2009武汉大学数学B期末考试

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武汉大学大一高数下五年期末考试试题

D
[ey f (y) + y − x] dσ ≥ (e − 1)
பைடு நூலகம்
1 0
f (y) dy. 其中 D = {( x, y)|0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
3
武汉大学 2007 – 2008 学年第二学期
《高等数学B 》试题
一. (36 分) 试解下列各题 ⎧ ⎪ ⎪ 2x + y = 0 x y z ⎨ 1. (6 分) 求通过直线 ⎪ 且平行于直线 = = 的平面方程. ⎪ ⎩ 4 x + 2y + 3z = 6 1 2 4
x2 y2 z2 + + 在点 M (1, 2, 3) 处的梯度及方向导数的最大值. 6 12 18
x2 + y2 在点 (0, 0) 处的连续性, 偏导数的存在性.
4. 已知以 2π 为周期的连续函数 f ( x) 的傅里叶系数为 a0 , an , bn (n = 1, 2, · · · ), 求函数 f (− x) 的傅里叶系数.
D
∂2 z . ∂ x ∂y
xy d x dy, 其中 D = {( x, y)| x2 + y2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
0 −1
6. (6 分) 交换积分次序
dx
1− x 2 x +1
√
f ( x, y) dy.
二. (10 分) 求函数 z = x + y +
1 ( x > 0, y > 0) 的极值. xy
x2 + y2 = 0
性. 三. (10 分) 验证变换 x = et 可将微分方程 x2 微分方程
d2 y dy −3 + 2y = tet 的通解. dt dt2

武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试线性代数B试题(A)

武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试线性代数B 试题（A ）1、（10分）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==计算四阶行列式()32112αααββ+.2、（10分）已知3阶方阵101020201A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3阶矩阵B 满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B .3、（10分）已知向量123,,e e e 不共面，试判断向量12312312332,,45e e e e e e e e e αβγ=+-=+-=-++是否共面。

4、（10分）设)(4321αααα，，，=A 为4阶方阵，其中4321αααα，，，是4维列向量，且234,ααα，线性无关，3214αααα++=.已知向量4321ααααβ+++=，试求线性方程组β=x A 的通解.5、（12分）设有向量组()T11,3,3,1α=,()T21,4,1,2α=,()T31,0,2,1α=,()T41,7,2,k α=（1）问k 为何值时，该向量组线性相关？（2）在线性相关时求出该向量组的一个极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

6、（10分）设A 是3阶方阵，互换A 的第一、第二列，得矩阵B ；再将B 的第二列加到第三列上得矩阵C ；然后再将矩阵C 的第一列乘以2得到矩阵D ;求满足AX D = 的可逆矩阵X .7、（10分）若矩阵22082006A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可以对角化，设与A 相似的对角矩阵为Λ；（1）试求常数a 的值及对角矩阵Λ，可逆矩阵P 使得1P AP -=Λ.8、（10分）已知321ααα，，与321βββ，，为所有3维实向量构成的线性空间3R 的两组基, 123ααα，，到321βββ，，的过渡矩阵为021102100P -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1T T T ααα===,试求：(1) 基321βββ，，；(2) 在基 321321,,,,βββααα与下有相同坐标的全体向量.9、（8分）设n 阶方阵A 的伴随矩阵为,A *证明：若,A O =则A O *=；10、（10分）设实二次型2221231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 为参数。

武汉大学高数上往届试题

武汉大学2008–2009学年第一学期《高等数学B》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算limn→∞[︃n−n3−1n(n+2)]︃.2.计算limx→0(sin x)·ln(1+2x)1−cos2x.3.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=t+sin ty=f(x−t)f二阶可导,求d2yd x2.4.计算π/2−π/2sin x(x+cos x)d x.5.设f′(ln x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1,0<x≤1x,x>1且f(0)=0,求f(x).6.计算反常积分+∞(1+2x)e−2x d x.二.(15分)已知函数y=(x−1)3(x+1)2,求:1.函数f(x)的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.三.(12分)设有点A(3,1,−2)和直线l:x−4=y+32=z1,1.试求过点A且通过直线l的平面方程;2.求点A到直线l的距离.四.(12分)设f(x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩e2x+b,x≤0sin ax,x>0问:1.a,b为何值时,f(x)在x=0处可导;2.若另有F(x)在x=0处可导,证明F[f(x)]在x=0处可导.五.(12分)一铅直倒立在水中的等腰三角形水闸门,其底为6米,高为3米,且底与水面相齐,求:1.水闸所受的压力(水的比重为1);2.作一水平线将此闸门分为上下两部分,使两部分所受的压力相等.六.(7分)设f(x)在区间[0,1]上连续,且1f(x)d x=0,证明:对于任意正整数k,在(0,1)内至少存在一点ξ,使kξf(x)d x=f(ξ).武汉大学2009–2010学年第一学期《高等数学B 》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算lim x →0x −arctan x e x 3−12.求解微分方程y ′′−6y ′+9y =0的通解.3.计算 1−1x 2(1+√1+x 2sin x )d x4.计算 +∞0e −√x d x .5.求曲线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x = t 1cos u u d u y = t 1sin u u d u 自t =1到t =π2一段弧的长度.6.设y =1x 2+3x +2,求y (n ).二.(8分)已知u =e xy ,其中y =f (x )由方程y 0e t 2d t = x 20cos t d t 确定,求d u d x .三.(8分)设x 1=1,x n =1+x n 1+x n(n =1,2,···),试证明数列{x n }收敛,并求lim n →∞x n .四.(8分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数,并说明此结论的几何意义.五.(15分)已知函数y =x 3+4x 2,求1.函数f (x )的单调增加,单调减少区间,极大、极小值.2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.六.(12分)已知函数y =y (x )满足微分方程y ′′−y ′=2(1−x ),且x 轴为曲线y =y (x )的过原点的一条切线,在曲线y =y (x )(x ≥0)上某B 点处作一切线,使之与曲线、x 轴所围成平面图形的面积为112,试求:1.曲线y =y (x )的方程;2.切点B 的坐标;3.由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.七.(7分)若f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )=f (b )=0及f ′(a )f ′(b )>0,则f (x )在(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)=0.武汉大学2010–2011学年第一学期《高等数学B 》试题一.计算题:(每题7分,共56分)1.求由方程ln xy =e x +y 所确定的隐函数y =y (x )的导数d y d x .2.求lim x →0√2−√1+cos x √1+x 2−1.3.求lim x →0+ x0sin t 3d tx 0cos t 2d t .4.(7分)求lim n →∞1n [︃(︃x +2n )︃+(︃x +4n )︃+···+(︃x +2n n )︃]︃.5.求不定积分 1√1+e 2xd x .6.求定积分 π/2x (1−sin x )d x .7.求方程y ′+2xy =xe −x 2的通解.8.设f ′(x )=e −x 2,lim x →+∞f (x )=0,求 +∞0x 2f (x )d x .二.(7分)证明当0<x <π2时,sin x >2πx .三.(10分)设抛物线y =ax 2+bx +c 过原点,当0≤x ≤1时,y ≥0.又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围成的图形的面积为13,试确定a ,b ,c 使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小.四.(7分)试判断函数f (x )=lim n →∞x 2n −1−1x 2n +1的间断点及其类型.五.(10分)设函数f (x ),g (x )满足f ′(x )=g (x ),g ′(x )=2e x −f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求f (x ),g (x )的表达式.六.(10分)设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.武汉大学2011–2012学年第一学期《高等数学B》试题一.计算题:(每题8分,共56分)1.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=arcsin√1−t2y=1+t2,求d2yd x2.2.求limx→0e x−e sin x(x+x2)ln(1+x)arcsin x.3.已知limx→∞(︂x−ax+a)︂x=+∞a2xe−2x d x,求常数a的值.4.计算不定积分d x√ax+b+d(a 0).5.求定积分1x(1−x4)32d x.6.求解微分方程d yd x=x3y3−xy.7.设ϕ(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2xxe t2d tx,x 0a,x=0求a的值使得ϕ(x)在x=0处连续,并用导数的定义求ϕ′(0).二.(5分)设a n=(︃1+1n)︃sinnπ2,证明数列{a n}没有极限.三.(10分)设y=y(x)c满足微分方程y′′−3y′+2y=2e x,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2−x+1在该点的切线重合,求y=y(x).四.(11分)已知函数y=x−1x2+1,求函数的增减区间，凹凸区间，极值、拐点和渐近线.五.(10分)求曲线y=e x,y=sin x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.六.(8分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使f′′(ξ)=g′′(ξ).武汉大学2012–2013学年第一学期《高等数学B 》试题一.(5分)若lim x →x 0g (x )=0,且在x 0的某去心邻域内g (x ) 0,lim x →x 0f (x )g (x )=A ,则lim x →x 0f (x )必等于0,为什么？二.(8分)设f (x )=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ae x +be −x −c sin 2x ,x ∈(︁−π2,−π2)︁且x 0,1,x =0.试确定a ,b ,c 的一组值,使得f (x )在x =0处连续.三.(6分)设f (x )在x =a 处二阶可导,且f (a )=f ′(a )=0,f ′′(a )=1,求极限limx →a f (x )sin(x −a )(e x −e a )3.四.(5分)指出f (x )=11+e 1x 的间断点及其类型.五.(5分)设u ,v 均是x 的可微函数,y (x )=ln √u 2+v 2,求d y .六.(5分)求函数I (x )=x e ln t t 2−2t +1d t 在区间[e ,e 2]上的最大值.七.(5分)求 −1−2d xx √x 2−1.八.(5分)求微分方程y ′′+3y ′=cos 2x 的通解.九.(5分)若在x 0的某去心邻域内|f (x )|≤α(x ),且lim x →x 0α(x )=0,试证明:lim x →x 0f (x )=0.十.(5分)设y =y (x )由方程y =f [2x +ϕ(y )]所确定,其中f 与ϕ都是可微函数,求y ′.十一.(6分)设f (x )=lim t →∞x (︃1+1t)︃4xt ,求f ′′(x ).十二.(6分)求函数y =(x −1)3√x 2的极值.十三.(8分)求由不等式sin 3x ≤y ≤cos 3x ,0≤x ≤π4所确定的区域的面积.十四.(8分)设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) 0,证明存在c ∈(0,1)使得n f ′(c )f (c )=f ′(1−c )f (1−c ).(n 为自然数).十五.(8分)设f (x )在[0,+∞)上连续,0<a <b .若 +∞0f (x )x d x 收敛,证明 +∞0f (ax )−f (bx )x d x =f (0)ln b a.十六.(10分)设位于第一象限的曲线y =f (x )过点⎛⎜⎜⎜⎜⎝√22,12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,其上任意一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]上的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )的弧长.。

武汉大学2009—2010学年上学期高等数学期中考试试卷及答案

武汉大学2009—2010学年上学期期末考试试卷《微积分（上）》解答（总学时216）一、填空题：1、!2004dx ；2、32e 3、21；4、e 1；5、1)1()!(2)1(++⨯-n n x n 。

二、选择题：1、D ；2、B ；3、D ；4、A ；5、D 。

三、讨论函数⎩⎨⎧>≤=-00)(2x xe x x x f x的单调性，并求其单调区间和极值。

解：函数的定义为),(+∞-∞，且0=x 为函数的分段点，当0<x 时，x x f 2)(='；当0>x 时，x e x x f --=')1()(；当0=x 时，1)1(lim )0(,02lim )0(0=-='=='-→+→-+-xx x e x f x f 故)0(f '不存在，令0)(='x f ，得1=x ，点1,0==x x 将),(+∞-∞分成三部份：),1(),1,0(),0,(+∞-∞在各区间内的符号如下表所示：0=x 处函数取得极小值0)0(=f ；在1=x 处函数取得极大值1)1(-=e f 。

四、当a 为何值时，函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=00])1([)(11x e x e x x f a x x 在0=x 处的连续。

解：由ae f =)0(，)0()(lim 0f e x f a x ==-→，故)(x f 在0=x 处左连续，又记xxe x y 11]/)1[(+=，则2)1ln(]1)1[ln(1ln 1x xx x x y -+=-+=而21])1(1[lim 2121lim ln lim 201100-=+-=-=+++→+→→x x y x x x x ，故a x e f e y ===-→+)0(lim 210 所以21-=a ，故当21-=a 时)(x f 在0=x 处连续。

五、计算下列各题： 1、解:2ln 2cos 2cos 2sin 2x x xy ⋅+=';x x y x d 2d )2ln 22cos cos 2(d 2sin 22=⋅+==ππππ2、解：由：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x x x x x x x x x x x x x sin cos sin sin cos sin sin cos sin 222222，而2cos sin 1sin cos sin →+=+x xxx x x x （0→x ）。

武汉大学数学与统计学院《高等数学B》期末考试试题及答案(A卷)

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)limcos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、计算4x ⎰5、计算0d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11xy x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d xf xg t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x 轴旋转一周所形成的立体体积；2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0f b f f b bξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题参考答案一、试解下列各题：（87'⨯） 1、解：n →∞n =l i 2n == 2、解：00011ln(1)1lim lim lim 1cos 1sin (1)sin x x x x x x x x x x x →→→-+--+===---+ 3、解：原式222211111arctan d arctan arctan 222221x x x x x x x x c x =-=-+++⎰ 4222220002111dt 2dt 2(1)dt 2dt111t t t t t t -+==-++++⎰⎰⎰22200(1)|2ln(1)|2ln3t t =-++=5、解：000||1x x x x xe dx xe e dx e +∞+∞--+∞--+∞=-+=-=⎰⎰6、解：因为4t π=时，x =，0y =，442sin 2cos t t dy t dx t ππ==-==-故曲线在点处的切线方程为：y x =--， 7、解：两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222c o s y dyx x e dx-= 8、解：由12212(1)1,2(1)(1)1y x y x x--'=-+=+-=⋅-⋅++ 3()(12(1)(2)(1),,(1)2!(1)n n ny x y n x --+''=⋅-⋅-⋅+=-⋅⋅⋅+ 二、（15分）解：定义域为：(,1)(1,)-∞+∞ 23(3)(1)x x y x -'=- 令⇒='0y 驻点0,3x =46(1)xy x ''=- 令⇒=''0y 0x =极小值为：27(3)4f =，无极大值。

武汉大学数学与统计学院 2005-2006第一学期《线性代数》B卷(供72学时用)

武汉大学数学与统计学院2005－2006第一学期《线性代数》B 卷（供72学时用）姓名学号专业成绩一、计算题：（以下5题，每题8分，共40分） 1．设()11,1,1αT=()21,2,3αT=()31,3,t αT=，求t 使得线性相关.2．已知矩阵，求A 的伴随阵*A . 3．已知111222333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求22005A A 和.4．计算：211121314222122324233132334244142434100001111x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+++.及矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩. 5．设n 阶方阵A 的各行元素之和均为，当A 可逆，且时，求的各行元素之和.二、解答题和证明题（以下6题，共60分）：1．(10分)求解齐次线性方程组: 12341234123412343 0253 044319022 0x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎪⎨-++=⎪⎪--+=⎩.2．(10分)求矩阵X ，使满足AX =A +2X , 其中301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3．(10分)设线性空间3R 中的六个向量如下:1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652(1)求出由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数，并选出一个基； (2)对1β和2β中属于L (1α,2α,3α,4α)者，给出其在(1)中所选的基下的坐标. 4．(15分)设A 的一个特征值为1, 其中A ＝.(1)求常数；(2)求可逆矩阵P ，使AP 为对角阵；(3)设向量=(5, 3, 3)，计算A (k 为正整数).5．(10分)已知A 是n 阶可逆矩阵, 证明A T A 是n 阶正定矩阵. 6．(5分)设是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵（n m ≤），其中I 是n 阶单位矩阵，若AB I =，证明B 的列向量组线性无关.（2005－2006上）线性代数B 卷参考解答：一、计算题：1．对实数,令：得方程组，其系数行列式,即t=5时，方程组有非零解，相应，线性相关.2．由初等变换求得101110123321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，则*1011012321A A A -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.3．记，，因此所以2()()()A αβαβαβαβT T TT ==，而，则26A A =；同理可求:20052004()()()()()()()AαβαβαβαβαβαβαβαβαβT T T T T T T T T =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=＝20046A .4. 第1列乘以i x -加到第1i +列(1,2,3,4)i =,则12341234110000100001001x x x x x D x x x ----=421234i=142i=11+010001+001000001001i i x x x x x x ----==∑∑.易知0D A =≠, 则矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为4. 5．因的各行元素之和为，即，(),或，即.又因为A 可逆，得，即各行元素之和均为.二、解答题和证明题：1．对系数矩阵作初等行变换化：因24()()R A R B ==<，故有无穷多解。

武汉大学2008-2009第一学期高等数学B(216)B卷

武汉大学数学与统计学院 B 卷2008—2009第一学期《微积分A1》期末考试试题（216学时）一、试解下列各题：（''⨯=8756）1、求极限： 221lim (cot )x x x→-2、已知0lim41x e →=-，求极限0lim ()→x f x 3、试证:若()f x 是可导的周期为l 的函数，则'()f x 也是以l 为周期的周期函数.4、求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型。

5、已知sin 1()F x =⎰，求 )(x F '6、设函数y y x =()由方程0yxy e +=确定，求d d y x7、计算不定积分++-⎰11(1)d x xx ex x8、计算定积分⎰1ln exdx二、（10分）设()x y y =由参数方程sin cos x t t y t=+⎧⎨=⎩确定，求曲线()x y y =在2π=t 对应点处的切线方程。

三、（8分）设函数+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩sin 0()0axx x b x f x e x ,问、a b 为何值时，)(x f 在0=x 处可导.四、（10分）曲线2x xe ey -+=与直线0x =，x t =（0t >）及0y =围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为()V t ，侧面积为()S t ，在x t =处的底面积为()F t 。

（1）求()()S t V t 的值；（2）计算极限()lim()t S t F t →+∞五、（10分）设43()4xy f x x ==-求：1）函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2）曲线)(x f y =的凸性区间、拐点。

六、（6分）设)(x f 为可微函数，试证：在任意两个零点之间必有点x 使()()f x f x λ'=。

武汉大学2008—2009第一学期 B 卷《微积分A1》试题参考答案(216学时用)一、试解下列各题：（''⨯=8756） 1、解： 2222222321cos sin cos sin sin 2lim (cot )lim2lim2lim 3sin 3x x x x x x xx x xx x x xx xxx →→→→----====-2、解: 011()ln(12)()21224limlim lim lim ()2221x x x x f x x f x x f x xxe →→→→+====-故0lim ()8→=x f x3、解: 设x 是定义域中任意一点,由导数定义有:∆→++∆-+'+=∆0()()()limx f x l x f x l f x l x∆→+∆-'==∆0()()lim()x f x x f x f x x即()'f x 也是以l 为周期的周期函数.4、解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x . 因111lim ()lim2x x x f x x→→+==而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又01()limx x f x x→+==∞∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.5、解： )(x F '=x x cos sin 1⋅+6、解：等式两端对x 求导得e 0yy xy y ''++= 整理得2e yyy x-'=+ 7、解：++++++-=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰11111211(1)d d (1)d d d x x x x x xxxxxx ex ex x ex ex x exx++++=+-=+⎰⎰1111d d x x x x xxxxex xeex xec8、解：=-=-=⎰⎰1111ln ln ||1eeeexdx x x dx e x二、（10分）解：sin 1cos dydytdt dx dx tdt-==+；|1t dy dx π==- 故切线方程为：(1)2y x π=---三、（8分）解：要)(x f 在0=x 处连续，函数在某点处连续的充要条件是00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==成立。

武汉大学2008-2009学年度国家励志奖学金获得者名单

附件：武汉大学2008－2009学年度国家励志奖学金获得者名单文学院廖馨王渝华王丹丹杨春杰杨华荣叶回苏鲁双晴董亚妮涂蜜陆丽霞杨婷婷李海英赵淑娟高娇娇黄欣洲陆颖马昆玲彭晶历史学院陈明辉田琼郭辉李静宋雅娟王忠敬郝晓晓周晓娟刘书羽杨凤哲学学院谢彩虹郭欢孙睿杰曾程程高钟琴赵庆丰刘念付荣荣郑兰芳杨祖荣赵剑赵修传渠爽羿宗滨冯宜山白惠仁艺术学系张云华何鹏高雅李林林胡枝芝王敏赵琦孟玥新闻与传播学院李雪莹陈万如王娟黄康闫国威王诗景涂盼刘贞刘高阳付帧沈云芳沈凤潘菲卢茜虹赵新娥周劲李青陈洋王宣辉陈雄黄仪灿江雨然何亮黄上国外国语言文学学院谢雨霖董玥宋婷钟鑫宏刘晓晨黄露张世亮马云青刘蓓阳侯腊一高聪儒刘晶邹悠悠张青吴阳尼志欣黄婷唐雯徐纯贾楠杨凯刘时泸韩晴王琼狄鑫王颖洁信息管理学院唐义董国事陈德照钟永沣靳鹏飞胡芳芳廖小丽李智慧郑怡萍吴芳枝赵静杨艳程俊梅培培陈荷艳张寒露刘惠婷陈孝禹张兰华小琴李金芮李欣欣袁小玲张欣秦艳琴张皎余婷婷政治与公共管理学院郭衍良肖琪杜艳丽胡灿莲陈建琼李金瑾吴可王涛李彩伟王宇岳三猛黄玉君张兴文黄燕媚付金丁伶雷正辉姚红玲王荣潘荣涛涂海蓝韩杰谭学艳经济与管理学院刘锦丽谭郁陆芳琼王艳姣钟宝庭陈文强李志彬王道财王娟李洪敏吴邦刚刘恒李九定丁璐眺肖勇江欢高爱清刘丽琼何素萍方胜玲郑飞万朝辉王萍莉李红晓刘玉珍陶治敏王友伟马骁夏仕龙杜鹏任焕杰赵秋蓉马丽新刘亚坤刘向南丁海燕王小妹陈玲谭莉张娟肖青峰龙艳萍黄婷漆睿李智伟魏瑞军李姣徐小敏关成祥菅聪聪何开刚黄海何晓辉彭娟娟朱来郑祖荫邹水莲陈钰君解佳转黎荣路欢白璐刘萍李廷堂唐波耿昕李孟佳孟瑶丁纯甘金龙李政张晓宇方振瑶李洪斌李颖常小龙毛忠星程前尧慧君万科研张艳艳蔡艳青寇宣丽刘金晶陈振宇商光香李庆平白鹤蔡杰陈健邵屹莹陈冬芝卢方蒋娜袁文红邓婷周杰芳吴金娥刘利霞王梦媛王永超杨瑞静江碧屏金娟邓翠妮焦光旭王雅琦冯春燕黄晶胡思思法学院陈文文赵婷刘琼慧徐林杉张庆苗赵丽霞王双波张习飞文艳黎婵李露莹黄倩周思邱双双叶元芬吴玉刘芹刘杨李少文彭望李健郑志成余猛刘乐车丽王磊余雪雪李森林刘冰心社会学系舒浪印振浩房宋吴美玲凃丹霞李鹏数学与统计学院吕恒飞常远洋王水木汪琴王立泉刘田香张艳琼雷浩刘文龙刘小东刘正春黄章王树雄方华英侯宗元许建辉李叶郭伟阮姗陈继翔张雨薇邓凡张鹏杨开彬物理科学与技术学院李芬芳刘世培肖鹏张亚军张忠良张舒马亚军周杰陈元方余良波刘雨喻小磊田彩霞张文军秦盛山张安琪温兴林李喜张晓峰王凡李培李莎莎韩冬佳黄绍坚李森王魁松何骏胡艳云蒋沛恒杨柳张兵李靖王欢化学与分子科学学院李劼李倩贾响响刘小蓉黎丽曼郑小龙黄维侯旭徐清华范文莹谭力盛王小刚胡质文吴先勇陈巍海桂杰张欣杨丽曾长根刘冬陈秀红陈才友刘劼李娅娅杨四分罗佳佳郭盛生命科学学院黄志恒姜良波潘蕾蒋雪莲熊晶廖正丽陈垒涂海情李建双汤健松冷凤陈钦铭吴季波司渊徐锦根何智敏苏政曾瑞欧芙蓉刘姗姗资源与环境科学学院邓强中谢彩邱凤翟彦放毛慧霞易嘉伟成程廖鹏辉王娜娜汪雷危小建郭君王银花赵宏龙李星华熊雪平郭浩张方利丁茜袁清润张立王梦娇叶凯张勇辉陈莹莹李海江汤硕华卢威高翔徐敏政杨梦晓张玲蔡俊肖城龙罗红霞张传虎易芝宋天超黎颖药学院任文明梁永添吴凯悦左自青卢磊张鑫龙张海涛陈燕柑陈刚安素珍水利水电学院尹安晶张朝阳蔡茂丽张又胡少华邓春艳刘治军邓厚卓张瑞海毛冰江赵平颜桂芳王芬吴华莉胡挺田密蒋志波熊玉江王飞钟权郭文成陈鹏张续刘琼琼徐敏匡洋罗文谢卫明尹鹏海吴静刘敏刘玉凤汪雷梁培瑜王旭东李晓荣刘思明邵兵朱彩虹邹任芯安华肖雪穆贵玲杜威周敏李继超徐轶陈琼邓建苏鹏力吴华广张啸平徐恒王敏冷振东董文浩电气工程学院马占军崔明建鲁芬李婷婷曾凡玲万伟民贾晶晶刘晓飞严标杜小飞栾某德李兴美董超黄燕江政胡敏邱志斌左山奇朱远黄浩斌詹婷吴娜王宇胡梦月罗恒杨小明张超高明伟李传奇孙辉何立夫朱小霞徐群伟夏俊丽张华坤韦自强曾志力卜芋鑫孙彬林振华周光远齐士伟欧阳庭辉动力与机械学院孟超曹海胜李念念穆昌洪张永霞朱钰荣周玉耿振鹏白海武顾新荣王传娣杨慧郑思敏王金福杨中云张新佳刘华黄旋韩成胡玉华李俊玉刘亚伟鲁琼瑶吕静齐攀王建春王俊伟王小钊魏传新严志桥余芳刘丹范玉玲郭双全陈林王金周云飞邵长孝魏伟雷静刘振华曹滨韦德强孙校丽王煜民王月兰周霖轩刘常坤孟凡刚蔡业豹梁宵袁俊饶自能马超贺礼唐禹城市设计学院朱燕娜张振广张超朱晓羲唐熠斓朱红云周召召柴利全李燕唐波劳丽娜赵晓真丁叶李莎张秋吴玲玉张瑶鲍明颜会闾卜庆新土木建筑工程学院彭嵚王艳强袁淑蓉陈喆叶俊周倩茹何启志刘银曾茜柳菲菲周艳丁健王杰何楂吴志海刘赞张文龙郑翔常江芳邓雅妮陶俊赵岩武维毓明建谱卢璐刘柏君骆涛涛许俊高武黄乐马书飞汪强吴贤明刘欢李明鹏阳杰刘蓓蓓刘亚杰计算机学院国玉静李怀松廖文静尹鹏梁欢乐徐倩李自攀王丽娜段勇邱福生金梅李亚鲁彬李彤王谢兵刘静龚凤娇危振振李学智谢仁泰李帅孟儒吴龙飞周安叶芳刘恋刘阳雷龙华沈成林刘旭辉贺登武郑超付祖发龙珊圣赞杨福强章小路姚燕花王立王运娇李星梁玉牛献会电子信息学院张巧梁苏东徐逢秋王勇锋余琴杨逊贾越石雪灵青海银马兆峰熊思思汤凯倪瑞晓阳兵雷瑶童慧李刚敬敏李朋朋李莹柳敏李白罗怡陈毅许飞廖艳闺彭力孟凡荣张璐乐意陈含陈创夏新凡刘源源罗兰刘鑫洪焱李刘腾窦仁峰雷莉费婷婷刘蓉戴永珊张强唐枚枚孔波关欢王淑珍李飞飞蓝清权遥感信息工程学院石芸郭姣桂力江舒静王力涛鲁路平高贤君张英俊艾明耀曾也鲁杨建平王艳张德飞王振华张玉香张桂贤杨会元付清奎张涛杨知郭舟宋志娜朱敬敬陈智鹏邓方慧董迪刘龙历严俊张莹测绘学院易俊金宗煌吴明魁李俊峰蔡仁澜胡含妮邓辰龙李超颜亮何浩鹏余青容吕成亮潭冰峰王冉余本才李孟奎沈文强郭向张浩锋伍根李钦钦陈起金史波严凤石骞费亮张文袁长征杨沛琦郑刚柴建邓斌闫文博谢镭王迎龙董娜金锐饶友琢李灵芝周大山刘雪芬钱金菊孙媛关棒磊左翔肖雄申然然熊云琪王贤芳夏洁袁小玲段博恒翟广龚学文张青曹亮张迪刘梦可熊德峰吴文俊国际软件学院吴芳陈泽槟焦翠娜朱峰肖翔沈水晶姜涛程胜廖雷熊力郝爽周志威汪帅陶心秀陶然张红达段红飞马晓明吕云王连猛张能康宏伟何飞葛伟黄志明孙长城王攀林辉威胡飞王亚茹吴超赵越徐磊吉艳冰彭星王耀华侯晓军刘娇张明丁丽娜吕程卢显昌王龙戴捷施明磊张书芳印刷与包装系刘权高峰贺青梁宗湾丁洁袁媛胡文文许承龙李交朱新新李倩徐晶基础医学院欧艳晶骆梦全婷婷黄昱韩晓彤李源梁燕王晶晶谢锦伟孙丽马文芳卜雪珊赵喆瞿鑫兰王志浩邓钢马振国彭民金甘泽洪佘盼刘薇韩梅徐婷廖海清沈平华温淑珍邢永万艳李莎向雅娟申艳英张雪荣付方方石秀娟周延召邱石黎吴松杰胥欣王霞伍满燕王雪口腔医学院荚现朝张伟朱玲新肖秀凤杨希李威何克飞王艳李慧第一临床学院陈友浩王嘉慧赵胜豪文英胡敏王莹莹刘双萍孙占国柳权王顺花王培胡文婷卫丽绚张丽吴青青童海洲熊光冰余信远江敬红罗小芳贾妍第二临床学院吴求吉黎清波舒怡刘源辉陈冬玲李兴刘利汪海涛杨应成王艳炜胡昕倩杜丽蓓周海洪薛景景彭猛孔芳芳翟亚奇蔡惠丽陈婷李孝海张琳HOPE护理学院赵晓婷覃芹丹齐小伟尹敏敏卢吉。

第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。

2008-2009学年第2学期期末考试 A卷试卷及解答

中国海洋大学2008-2009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院《线性代数》课程试题(A卷) 共4 页第2 页中国海洋大学 2008-2009学年第2学期期末考试试卷数学科学学院《线性代数》课程试题(A 卷) 共 4 页第 3 页解： 1X A B -=，根据初等行变换求解可得 ()()213132132323102211022110221311133,201570015702,521891014510012110021010351,100121rr r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-------+---+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪-⨯-⨯-⎪ ⎪---⎝⎭uuuuuuuuuuuuu r uuuuu r uuuuuuuuuuuuu r uuuuu r 100210103500121--⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭uuuuuuuuuuu因此213521X --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 已知3R 的两组基为()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1TTTααα==-=与()()()1231,2,1,2,3,3,3,7,1T T Tβββ===，求：（1）基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵；（2）向量()5,2,1Tα=在基{}123,,ααα下的坐标。

解：（1）设基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵为C ，则()()123123,,,,C βββααα=，即123111237011131001C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此1111123011237001131C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用初等变换法求解得()2313122111123110012100118011237,010106,1010106001131001131001131r r r r r r r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----+⨯--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭uuuuuuuuuuu r uuuuuuuuuuuuur12,,,,n αααβL 线性无关；（2）若1β可由12,,,n αααL 表出，而2β不能由12,,,n αααL 表出，则1212,,,,n αααββ+L 线性无关。

2008-2009 线性代数B题及参考答案

D、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 都不是零向量
二、填空题，每空 3 分，共 10 空，30 分。
2 1 ,则 | A |= ( 3 2
(1)、设 A =
), A 的逆矩阵为（
）。
(2)、设 A, B 是已知的 n 阶方阵，且 | A |≠ 0 ,则矩阵方程 AX = B 中的未知矩阵 X 为（）。）;二维向量 a1 = (1,1)T , a2 = (1, 0)T 将 b = (2,3) T
(3)写出二维单位向量 e1 , e2 （
表示为 a1 , a2 的线性组合（
）。
(4)、m × n 阶线性方程组 Ax = b , R( A), R( A, b) 分别为系数矩阵的秩及增广矩阵的秩，则当（
r
）无解，当（
r
）有唯一解，当（
r r
）有无穷多解
(5)、已知 α = (1,−1,2,0) T , β = (2,1,−2,−1) T ，则 α T β = （ 1 1 (6)、三阶方阵 A 的特征值为 1, , ，则 A −1 为（ 2 3 三、计算题（每题 10 分，共 40 分）
α 3 = (2,1,2 )T
2 1 ，单位化后得 p 1 = 3 1 2
则所求正交阵为 P = ( p1 , p 2 , p 3 ) 。
50
)
(6)、向量组 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 线性相关的充分必要条件是(
46
《线性代数》作业答题纸
专业及班级姓名学号成绩
A、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 中至少有一个零向量 B、其中至少有一个向量是其余 s − 1 个向量的线性组合 C、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 中至少有两个向量成比例

武汉大学2008-2009学年下学期《马克思主义基本原理概论》试卷B

武汉大学2008-2009学年下学期《马克思主义基本原理概论》试卷B一、单项选择题（20题，每题1分，共20分。

请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

）1. 全部马克思主义学说的核心和理论结论是( )。

A.历史唯物主义B.无产阶级专政理论C.剩余价值论D.科学社会主义2.“居安思危”这名话体现的哲学道理是（）A．矛盾双方在一定条件下可以相互转化B．矛盾既具有普遍性又具有特殊性C．内因和外因相结合推动事物发展D．事物发展是量变和质变的统一3.“在对现存事物的肯定的理解中同时包含着对现存事物的否定的理解，即对现存事物必然灭亡的理解。

”这是一种( )A．唯物辩证法的观点B．相对主义诡辩论的观点C．激变论的观点D．庸俗进化论的观点4．“我思故我在”是（）A.辩证唯物主义观点B.庸俗唯物主义观点C.客观唯心主义观点D.主观唯心主义观点5．16世纪末，伽利略通过在比萨斜塔所做的自由落体实验，推翻了亚里士多德关于物体的降落速度与物体的重量成正比的说法。

这件事说明（）A.感性认识只有上升到理性认识才能把握事物的本质B.真理是对客观事物及其发展规律的正确反映C.实践是检验认识真理性的唯一标准D.实践是认识的目的和认识发展的动力6．两条根本对立的认识路线是（）A．可知论和不可知论B．经验论和唯理论C．能动革命的反映论和直观被动的反映论D．唯物主义反映论和唯心主义先验论7．人类社会和自然界对立统一的基础是( )A.地理环境B.劳动C.人口的生产和再生产D.物质资料的生产方式8．“社会是一个自然历史过程”，指的是（）A.社会同自然界一样是自发的发展过程B.社会规律与自然规律是没有区别的C.社会同自然界一样是合乎规律的辩证发展过程D.社会同自然界一样是不受意识影响的过程9．承认历史唯物主义的决定论（）A.必然排斥主体选择的作用B.必然导致机械论和宿命论C.必然导致旧唯物主义理论D.与承认主体选择的作用并不矛盾10．社会规律和自然界的规律的区别表现为（）A.社会规律是主观的，自然界的规律是客观的B.社会规律是有阶级性的，自然界的规律是没有阶级性的C.社会规律是通过人们有意识的活动实现的，自然界的规律是盲目的、不自觉的力量相互作用的结果D.社会规律是不可捉摸的，自然界的规律是可以被认识的11．使人与自然既区别开来又联系起来的基础是（）A.地理环境B.生产资料C.生产劳动D.社会意识12．下列观点中，正确表达了人的本质的是（）A.人之初，性本善B.人天生是政治动物C.人是符号动物D.人的本质在其现实性上是一切社会关系的总和13．资本主义生产过程的主要方面是（）A.劳动过程B.价值增殖过程C.价值形成过程D.价值实现过程14．资本家获得相对剩余价值是（）A.工作日绝对延长的结果B.工人工资低于劳动力价值的结果C.劳动力供过于求的结果D.技术进步和生产率提高的结果15．剩余价值率是( )A.不变资本与可变资本之比B.剩余价值与预付资本之比C.可变资本与不变资本之比D.剩余价值和可变资本之比16．实现共产主义不能超越（）发展阶段。

武汉大学线代试题2007-2008B(工54A卷)

武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数B 》（A 卷，工54）学院专业学号姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、（10分）计算下列行列式；1. 123123123123n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a xa +++=+;2. 若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==求四阶行列式()32112αααββ+.二、（10分）若有不全为零的数12,,,,m λλλ使1111m m m m O λαλαλβλβ+++++=成立，则12,,,m ααα线性相关，12,,,m βββ也线性相关.试讨论该结论是否正确？三、（12分）设3阶方阵200121101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，试求：1、A 的特征值和特征向量；2、kA （k 为正整数）及其特征值和特征向量。

四、（15分）当λ为何值时，方程组123123123322,x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程组的解.五、（15分）设二次型()22212312313,,222T f x x x X AX ax x x bx x ==+-+()0,b >其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12.-1、,a b 的值；2、用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换与正交矩阵.六（18分）在四维实向量构成的线性空间4R 中,已知：12341111011100110001,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1234111111102001100,,,a a ββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

2008-2009学年湖北省武汉市新洲区八年级(下)期末数学试卷

2008-2009学年湖北省武汉市新洲区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）在式子中，分式的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（3分）（2006•漳州）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2008•内江）若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y=的图象上，且a＜0，则b与c的大小关系为（）A．b＞c B．b＜c C．b=c D．无法判断4．（3分）（2006•武汉）（北师大版）如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）A．2B．C．D．5．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）A．1B．C．D．26．（3分）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b﹣c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（）A．①B．②C．③D．④8．（3分）如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°9．（3分）某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．下列关于对这组数据的描述错误的是（）A．众数是80 B．平均数是80 C．中位数是75 D．极差是1510．（3分）（2009•枣庄）某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如折线图所示，那么这6天的平均用水量是（）A．30吨B．31吨C．32吨D．33吨11．（3分）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD=．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30°；②AC=2AB；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某班学生理化生实验操作测试的成绩如下表：成绩/分10 12 14 16 18 20人数 1 3 5 27 15 10则这些学生成绩的众数为：_________分．14．（4分）观察式子：，…，根据你发现的规律知，第8个式子为_________．15．（4分）已知梯形的中位线长10cm，它被一条对角线分成两段，这两段的差为4cm，则梯形的两底长分别为_________cm，_________cm．16．（4分）如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A，与x轴交于点B，则OA2﹣OB2=_________．三、解答题（共8小题，满分68分）17．（6分）解方程：﹣﹣1=018．（7分）（2006•天门）先化简，再求值：，其中x=﹣2．19．（7分）如图，已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，﹣3），B（3，m）两点，连接OA、OB．（1）求两个函数的解析式；（2）求△ABO的面积．20．（8分）某同学八年级上学期的数学成绩如下表所示测验类别平时期中考试期末考试测验1 测验2 测验3 测验4成绩110 105 95 110 108 112（1）计算这位同学上学期平时的平均成绩；（2）如果学期总评成绩按扇形图所示的权重计算，问他的上学期的总评成绩是多少分？21．（8分）如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？22．（10分）（2006•攀枝花）某人采用药熏法进行室内消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物10分钟燃完，此时室内空气中每立方米的含药量为8毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y与x的函数关系式为_________，自变量x的取值范围是_________；药物燃烧后，y 与x的函数关系式为_________．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，人方可进入室内，那么从消毒开始，至少需要经过_________分钟后，人才可以回到室内．（3）当空气中每立方米的含药量不低于5毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效，为什么？23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．（1）FG与DC的位置关系是_________，FG与DC的数量关系是_________；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．24．（12分）如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．（1）求证：AD平分∠CDE；（2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD•BD为定值；（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）在式子中，分式的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：分式的定义．分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．解答：解：，，这3个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B．点评：本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．2．（3分）（2006•漳州）下列运算正确的是（）A．B．C．D．考点：分式的基本性质．分析：根据分式的基本性质逐项进行判断，选择正确答案．解答：解：A、，故A错误；B、C分式中没有公因式，不能约分，故B、C错误；D、=，故D正确．故选D．点评：对分式的化简，正确理解分式的基本性质是关键，约分时首先要把分子、分母中的式子分解因式．3．（3分）（2008•内江）若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y=的图象上，且a＜0，则b与c的大小关系为（）A．b＞c B．b＜c C．b=c D．无法判断考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据题意画出图形，根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．解答：解：函数图象如图，∵a＜0，则图象在第三象限，y随x的增大而减小，a﹣2＜a，∴c＞b．故选B．点评：本题考查了由反比例函数的图象确定a，b，c的关系，要注意点的横坐标与纵坐标的积为k的值．4．（3分）（2006•武汉）（北师大版）如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）A．2B．C．D．考点：反比例函数综合题．专题：数形结合．分析：欲求OAB的面积，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，可求出点A的坐标，从而得到△AOB的高，结合已知OA=OB，求得底边OB，从而求出面积．解答：解：依题意A点的坐标满足方程组∴∴A（）∴OA=2∵OB=OA=2∴S△AOB=OB×=×2×=．故选C．点评：此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．5．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）A．1B．C．D．2考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：利用翻折变换及勾股定理的性质．解答：解：∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBD=60°．∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°．∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE，∴△BCE≌△BDE．∴CE=DE．∵AC=6，∠A=30°，∴BC=AC×tan30°=2．∵∠CBE=30°．∴CE=2．即DE=2．故选D．点评：考查了学生运用翻折变换及勾股定理等来综合解直角三角形的能力．6．（3分）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b﹣c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．分析：直角三角形的定义或勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．解答：解；①∠A=∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=90°，所以是直角三角形；②∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故不是直角三角形；③∵a2=（b+c）（b﹣c），∴a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形；④∵a：b：c=5：12：13，∴a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形．故选C．点评：本题考查了利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理来判定一个三角形是不是直角三角形，是判定直角三角形的常见方法．7．（3分）一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（）A．①B．②C．③D．④考点：平行四边形的判定．分析：一组对边平行，一组对角相等可推出两组对角分别相等，可判定为平行四边形一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分，可利用全等得出这组对边也相等，可判定为平行四边形一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，所在的三角形不能得出一定全等，所以能判定为平行四边形．解答：解：根据平行四边形的判定，能满足是平行四边形条件的有：①，②、④，而③无法判定．故选C．点评：本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．8．（3分）如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°考点：菱形的性质．分析：依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=100°，∠CDE=∠ADC﹣∠ADE，从而求解．解答：解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，∴AE=AB=AD，在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，∴∠ADE=50°，又∵∠B=80°，∴∠ADC=80°，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．故选C．点评：本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．9．（3分）某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80．下列关于对这组数据的描述错误的是（）A．众数是80 B．平均数是80 C．中位数是75 D．极差是15考点：算术平均数；中位数；众数；极差．分析：根据平均数，中位数，众数及极差的概念进行判断．解答：解：将6名同学的成绩从小到大排列，第3、4个数都是80，故中位数是80，∴答案C是错误的．故选C．点评：本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及其求法．10．（3分）（2009•枣庄）某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如折线图所示，那么这6天的平均用水量是（）A．30吨B．31吨C．32吨D．33吨考点：折线统计图；算术平均数．专题：图表型．分析：从图中得到6天用水量的6个数据，然后根据平均数的概念计算这6个数据的平均数就可得到平均用水量．解答：解：这6天的平均用水量：=32吨，故选C．点评：要熟悉统计图，读懂统计图，熟练掌握平均数的计算方法．11．（3分）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD=．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|及三角形中位线的判定作答．解答：解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；②根据A、B关于原点对称，S△ABC为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；③因为AO=BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，即不会等于，所以错误．故选C．点评：此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中．12．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30°；②AC=2AB；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④考点：直角梯形．分析：根据梯形的性质和直角三角形中的边角关系，逐个进行验证，即可得出结论．解答：解：在直角三角形ABC中，∵AB=，BC=3，∴tan∠ACB=．∴∠ACB=30°．∴∠BAC=60°，AC=2AB=2．②是正确的∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形．∴CE=AD=2．∴BE=1．在直角三角形ABE中，tan∠BAE=，∠BAE=30°．∴∠CAE=30°．①是正确的∴AE=2BE=2．∵AE=CE，∴平行四边形ADCE是菱形．∴∠DCE=∠DAE=60°．∴∠BAE=30°又∵∠CAE=30°∴∠BAO=60°又∵AB=AO∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO=60°．∴∠OBE=30°．∴BO⊥CD．④是正确的．∵AD∥BC，AD=2BE．∴S△ADC=2S△ABE，③是正确的．∴①②③④都是正确的，故选D．点评：此题综合运用了直角三角形的性质以及菱形的性质．注意两条平行线间的距离处处相等．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某班学生理化生实验操作测试的成绩如下表：成绩/分10 12 14 16 18 20人数 1 3 5 27 15 10则这些学生成绩的众数为：16分．考点：众数．专题：图表型．分析：众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．解答：解：16出现的次数最多，所以众数是16（分）．故填16．点评：主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．14．（4分）观察式子：，…，根据你发现的规律知，第8个式子为﹣．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：观察可知，分子的规律是b的指数是连续的奇数，则第8个式子的分子是b17，分母的规律是a的指数是连续的自然数，则第8个式子的分母是a8，符号规律是奇数个式子时为正，第偶数个式子时为负，所以第8个式子为﹣．解答：解：通过观察可知：分子的指数为连续的奇数，所以第8个式子的分子是b17；分母的指数是连续的自然数，所以第8项的分母是a8．又因为式子是正、负交错，所以第8项为负．所以第8项式子为﹣．点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．15．（4分）已知梯形的中位线长10cm，它被一条对角线分成两段，这两段的差为4cm，则梯形的两底长分别为6 cm，14cm．考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理．分析：根据梯形的中位线定理得：梯形的两底和是20，再结合已知条件，知：它所分成的两段正好是三角形的中位线，根据三角形的中位线定理得下底与上底的差是8，从而不难求得梯形上下底的长．解答：如图，梯形ABCD，中位线EF长为10，GF﹣EG=4，求AD与BC的长．解：∵AD∥BC，EF为中位线∴EG=AD，GF=BC∵GF﹣EG=4∴BC﹣AD=8∵BC+AD=2EF=20∴BC=14，AD=6．点评：考查了梯形的中位线定理和三角形的中位线定理．16．（4分）如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A，与x轴交于点B，则OA2﹣OB2=2．考点：反比例函数综合题．分析：由直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A可知：x+y=b，xy=﹣1，又OA2=x2+y2，OB2=b2，由此即可求出OA2﹣OB2的值．解答：解：∵直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A，设A的坐标（x，y），∴x+y=b，xy=﹣1，而直线y=﹣x+b与x轴交于B点，∴OB=b∴又OA2=x2+y2，OB2=b2，∴OA2﹣OB2=x2+y2﹣b2=（x+y）2﹣2xy﹣b2=b2+2﹣b2=2．故答案为：2．点评：此题难度较大，主要考查一次函数与反比例函数的图形和性质，也考查了图象交点坐标和解析式的关系．三、解答题（共8小题，满分68分）17．（6分）解方程：﹣﹣1=0考点：解分式方程．专题：计算题．分析：观察可得最简公分母是x2，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果要检验．解答：解：方程的两边同乘x2，得2（x+1）2﹣x（x+1）﹣x2=0，解得x=﹣．检验：把x=﹣代入x2=≠0．∴原方程的解为x=﹣．点评：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．18．（7分）（2006•天门）先化简，再求值：，其中x=﹣2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先算乘法，即分解因式、约分，再算减法，注意要找到最简公分母x（x﹣2），通分、约分得到最简形式，最后把数代入求值．解答：解：原式=（1分）=（2分）=（3分）=；（4分）当x=﹣2时，原式=．（5分）点评：此题考查分式的乘法与减法的混合运算，先乘后减．注意分子、分母能因式分解的先因式分解．19．（7分）如图，已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，﹣3），B（3，m）两点，连接OA、OB．（1）求两个函数的解析式；（2）求△ABO的面积．考点：反比例函数综合题．专题：待定系数法．分析：（1）首先把A（1，﹣3）代入反比例函数解析式中确定k2，然后把B（3，m）代入反比例函数的解析式确定m，然后根据A，B两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）根据一次函数解析式求出其图象与坐标轴的交点坐标，然后用面积的割补法可以求出△ABC的面积．解答：解：（1）把A（1，﹣3）代入y=中，∴k2=﹣3，∴y=﹣，把B（3，m）代入求出的反比例函数解析式中得，m=﹣1，∴B（3，﹣1），根据待定系数法得一次函数解析式为y=x﹣4．（2）当x=0时，y=﹣4．当y=0时，x=4，所以直线AB与坐标轴的交点坐标为C（4，0），D（0，﹣4）∴S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=4．点评：此题考查了用待定系数法确定反比例函数和一次函数的解析式，也考查了利用函数的性质求不规则图形的面积．20．（8分）某同学八年级上学期的数学成绩如下表所示测验类别平时期中考试期末考试测验1 测验2 测验3 测验4成绩110 105 95 110 108 112 （1）计算这位同学上学期平时的平均成绩；（2）如果学期总评成绩按扇形图所示的权重计算，问他的上学期的总评成绩是多少分？考点：加权平均数；扇形统计图．专题：计算题．分析：从表格中得出数据，先计算平时平均成绩，再根据加权平均数计算学期总评成绩．解答：解：（1）平时平均成绩为：=105（分）．（2）学期总评成绩为：105×10%+108×40%+112×50%=109.7（分）．点评：本题考查了平均数和加权平均数的概念．21．（8分）如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题；开放型．分析：（1）由题意易得△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AF，同理可证，EF=AB=AD，∴ADEF为平行四边形；（2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．解答：（1）四边形ADEF为平行四边形，证明：∵△ABD和△EBC时等边三角形，∴BD=AB，BE=BC；∵∠DBA=∠EBC=60°，∴∠DBA﹣∠EBA=∠EBC﹣∠EBA∴∠DBE=∠ABC；∵在△BDE和△BAC中，∴△BDE≌△BAC∴DE=AC=AF同理可证：△ECF≌△BCA，∴EF=AB=AD∴ADEF为平行（2）AB=AC时为菱形，∠BAC=150°时为矩形．理由是：∵AB=AC，∴AD=AF．∴ADEF是菱形．∴∠DEF=90°=∠BED+∠BEC+∠CEF=∠BCA+60°+∠CBA=180﹣∠BAC+60°=240°﹣∠BAC，∴∠BAC=150°．点评：此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定．22．（10分）（2006•攀枝花）某人采用药熏法进行室内消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物10分钟燃完，此时室内空气中每立方米的含药量为8毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，y与x的函数关系式为y=x，自变量x的取值范围是0≤x≤10；药物燃烧后，y与x的函数关系式为y=．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，人方可进入室内，那么从消毒开始，至少需要经过40分钟后，人才可以回到室内．（3）当空气中每立方米的含药量不低于5毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效，为什么？考点：反比例函数的专题：应用题．分析：（1）分别根据题意利用待定系数法可求得函数的解析式；（2）分别把题意中对应的变量的值代入对应的函数解析式中求出未知数的值；（3）在计算的时候要注意要把y=5分别代入两个函数解析式，从而求得时间差．解答：解：（1）药物燃烧时，y与x的函数关系式为y=x，自变量x的取值范围是0≤x≤10，药物燃烧后，y与x的函数关系式为y=；（2）当y=2时，x==40，∴从消毒开始，至少需要经过40分钟后，人才可以回到室内；（3）药物燃烧时，y与x的函数关系式为y=x，当y=5时，x=；药物燃烧后，y与x的函数关系式为y=，y=5时，x=16，而空气中每立方米的含药量不低于5毫克的持续时间为：＜10．所以，此次消毒无效．点评：主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．注意此题是分段函数，其自变量的值是连续的．23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．（1）FG与DC的位置关系是FG⊥CD，FG与DC的数量关系是FG=CD；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：探究型．分析：（1）证FG和CD的大小和位置关系，我们已知了G是CD的中点，猜想应该是FG⊥CD，FG=CD．可通过构建三角形连接FD，FC，证三角形DFC 是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过全等三角形来证明；延长DE 交AC于M，连接FM，证明三角形DEF和FMC全等即可．我们发现BDMC是个矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=4 5°，这样我们得出三角形AEM 是个等腰直角三角形，F是斜边AE的中点，因此MF=EF，∠AMF=∠BED =45°，那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出∠DEF=∠FMC ，这样就构成了三角形DEF和CMF的全等的所有条件，可得到DF=FC，即三角形DFC是等腰三角形，下面证直角．根据两三角形全等，我们还能得出∠MFC=∠DFE，我们知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，FG=CD的结论了．（2）和（1）的证法完全一样．解答：解：（1）FG⊥CD，FG=CD．（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，∴四边形BCMD是矩形．∴CM=BD．又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴ED=BD=CM．∵∠AEM=∠A=45°，∴△AEM是等腰直角三角形．又F是AE的中点，∴MF⊥AE，EF=MF，∠DEF=∠FMC=45°．∴△EFD≌△MFC．∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．又∠EFD+∠DFM=90°，∴∠MFC+∠DFM=90°．即△CDF是等腰直角三角形，又G是CD的中点，∴FG=CD，FG⊥CD．点评：本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键．24．（12分）如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．（1）求证：AD平分∠CDE；（2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD•BD为定值；（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．考点：反比例函数综合题．专题：开放型．分析：（1）由于DE⊥y轴，DC⊥x轴，不难得出∠EDC=90°，因此要证AD平分∠CDE，需证得∠ADC或∠ADE为45°，根据直线AB的解析式可得出A （﹣b，0），B（0，b），因此OA=OB，即三角形OAB是等腰直角三角形，即可证得∠ADC=∠ABO =45°，由此可得证；（2）在（1）中已经证得三角形ADC是等腰三角形，同理可得出三角形BDE也是等腰三角形，因此AD=CD，BD=DE，那么AD•BD=2CD•DE，而CD和DE的长，正好是反比例函数图象上D点的横坐标与纵坐标，由此可得出AD•BD是个定值；（3）如果四边形OBCD是平行四边形，需要满足的条件是OB=CD，OA=AC，可根据这个条件设B、D的坐标，然后将D点坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出D 点坐标，也就得出了B点的坐标，然后用待定系数法即可求得直线的解析式．解答：（1）证明：由y=x+b得A（﹣b，0），B（0，b）．∴∠DAC=∠OAB=45°又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴∴∠ACD=∠CDE=90°∴∠ADC=45°即AD平分∠CDE．（2）证明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，同理可得，△BDE是等腰直角三角形，∴AD=CD，BD=DE．∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4为定值．（3）解：存在直线AB，使得OBCD为平行四边形．若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD．由（1）知AO=BO，AC=CD，设OB=a（a＞0），∴B（0，﹣a），D（2a，a），∵D在y=上，∴2a•a=2，∴a1=﹣1（舍去），a2=1，∴B（0，﹣1）．又∵B在y=x+b上，∴b=﹣1．即存在直线：y=x﹣1，使得四边形OBCD为平行四边形．点评：本题是反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质．。

武汉大学2008-2009第二学期国软(优选.)

武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学A2》（国软、土建）试题（A 卷）一、（30 分）试解下列各题：1、（6分）判别级数31(1)2n n n n ∞=-∑的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？2、（6分）求曲面2222312x y z ++=在点(1,2,1)-处的切平面方程。

3、（6分）已知级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，试讨论此级数在2x =处的敛散性。

4、（6分）计算2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 由222,y x y x =-=所围成的区域。

5、（6分）求解微分方程0dx dyy x+=满足14x y ==的特解。

二、（10分）设方程(,)0F x az y bz --=确定(,)z z x y =，且(,)F u v 为可微函数，证明：1z zab x y∂∂+=∂∂。

三、（12分）已知函数()()yu yf x e xg xy =++，其中,f g 具有二阶连续导数，求2ux y∂∂∂四、（10分）试将函数()d cos 1()d x f x x x-=展成x 的幂级数。

五、（10分）设32(,,)f x y z x xy z =--（1）求(,,)f x y z 在点0(1,1,0)P 处的梯度及方向导数的最大值；（2）问：(,,)f x y z 在哪些点的梯度垂直于x 轴。

六、（10分）计算222I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是222(0)xy z z a +=≤≤ 的外侧。

七、（10分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分2[3()2()]()x Lx x xe ydx x dy ϕϕϕ''-++⎰与路径无关，求函数()x ϕ。

八、（8分）将正数a 分为正数,,x y z 之和,使得mnpu x y z =最大(其中,,m n p 为已知正数)。

武汉大学2006—2007学年第二学期《高等数学A2》（国软、土建）试题A 参考解答一、（30分）试解下列各题： 1、（6分）判别级数∑∞1=n 32)1(nn n -的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：1212231lim lim311<=n)(n+=u u nn+n →→n n+n →→，由比值判别法知原级数的绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛. 2、（6分）求曲面2222312x y z ++=在点(1,2,1)-处的切平面方程。

武汉大学2007年到2012年高数考题

武汉大学2007-2008第一学期《高等数学》期末考试试题(数统)一．试解下列各题（每小题6分，共48分） 1．计算().21ln arctan lim 30x xx x +-→2．计算()().21ln 12⎰-+dx x x3．计算积分.arctan 12⎰+∞dx xx4．已知两曲线由()x f y =与1=++y x e xy 所确定，且在点()0,0处的切线相同，写出此切线方程，并求极限.2lim 0⎪⎭⎫⎝⎛→n nf x5．设⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰.cos 21cos ,cos 2122t udu u t t y t x 试求,dx dy .|222π=t dx y d6．确定函数xt xx t x t sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛的间断点，并判断间断点的类型.7．设(),11x x y -=求().n y8．求位于曲线()0≥=-x xe y x 下方，x 轴上方之图形的面积.二．（12分）设()x f 具有二阶连续导数，且().0=a f()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.,,,a x A a x a x x f x g（1）试确定A 的值，使()x g 在a x =处连续.（2）求()x g '. （3）证明：()x g '在a x =处连续三．（15分）设()y x P ,为曲线⎩⎨⎧==.sin 2,cos :2t y t x L ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 上一点，作过原点()0,0O 和点P 的直线OP ，由曲线L 、直线OP 以及x 轴所围成的平面图形记为A .（1）将y 表示为x 的函数.（2）求平面图形A 的面积()x S 的表达式. （3）将平面图形A 的面积()x S 表示成t 的函数()t S S =，并求dtdS取得最大值时点P 的坐标.四．（15分）已知函数(),352--=x x x f 求（1）函数()x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；（2）函数图形的凸性区间、拐点、渐进线.五．（ 10分）设函数()x f 在[]l l ,-上连续，在0=x 处可导，且().00≠'f （1）证明：对于任意()l x ,0∈，至少存在一个()1,0∈θ，使得()()()()[].0x f x f x dt t f dt t f xx θθ--=+⎰⎰-（2）求极限.lim 0θ+→x 武汉大学2008-2009第一学期《高等数学》期末考试试题一、试解下列各题：（''⨯=8756）1、求极限： 2201lim(cot )x x x→-2、已知04x →=，求极限0lim ()→x f x3、试证:若()f x 是可导的周期为l 的函数，则'()f x 也是以l 为周期的周期函数.4、求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型。