齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解

先讨论如下定解问题求解：
utt a2uxx f (t, x)(t 0,0 x L) u(t,0) u(t, L) 0
u(0, x) (x), ut (0, x) (x)
分析：定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动 问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振 动，于是，可设问题的解为：
*
V (0, x) (x),Vt (0, x) (x)
WWtt(t, 0a)2W Wxx
Baidu Nhomakorabea
(t
f (t, x) , L) 0
**
W (0, x) 0,Wt (0, x) 0
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对于一般常系数二阶偏微分方程定解问题：
(2)
W (0, x) 0,Wt (0, x) 0
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对于(1),可考虑分离变量求解，因此，主要讨论(2) 的求解
对于(2),注意到方程是非齐次方程，边界条件 是齐次边界条件，初值条件为0初值条件，正好和 二阶线性偏微分方程理论中的齐次化原理条件相对 应，所以，可以考虑用齐次化原理求解。
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
齐次化原理回顾
齐如次果化W原(理x, t1;(推) 广满) 足方程：2t2x0
L, (0 x 0, xl 0
l,
t
)
t
0,
t
t
f , x
那么非齐次定解问题
u2txu20
Lu 0, u
f t, x, (0
首先：自由项A按固有函数系展开:
A
n1
An sin
(2n 1)
2L
x
得：
An
2 L
L Asin (2n 1) xdx 4A
0
2L
(2n 1)
其次：将一般解和自由项展开代入定解问题得：
Tn(t)
(2n 1) a 2
2L
Tn
4A
(2n 1)
Tn (0) 0
24
1
0.5 n 0
0.5
5、由常数变易法求出T n(t) 。
应用举例
例1 求定解问题：
ut a2uxx A, (0 x L,t 0)
u t0 0
(1)
u x0 0, ux xL 0
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：1、求齐次定解问题对应的固有值问题： ut a2uxx , (0 x L, t 0) u x0 0, ux xL 0
a1Vx (t, x1) 1V (t, x1) 0 a2Vx (t, x2 ) 2V (t, x2 ) 0
(1)
V (0, x) (x),Vt (0, x) (x)
与
LtW LxW f (x,t), (t 0, x1 x x2)
a1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 a2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
n x
u(x,t) Tn (t) sin
n1
L
(a)
(b) 对自由项f(x, t)也按固有函数系展开成傅立叶 级数：
f
( x, t )
n1
fn (t) sin
n x
L
(b)
其中：
fn (t)
2 L
L
n x
f (x,t)sin dx
0
L
(n 1, 2,
)
将(a)与(b)代入原方程中可得到：
14
u(0, x) (x), ut (0, x) (x)
方法原理：(a) 设想定解问题的解可分解为无穷多 个驻波叠加，而每个驻波波形仍然由该振动体的固有 函数决定，即由固有函数系{sinnπx/L}决定。可以 假定一般解为：
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Tn(t) sin
n1
nx
L
a 2nTn (t) sin
n1
nx
L
n1
fn (t) sin
nx
L
比较系数得:
Tn na2Tn fn (t)(n 1, 2, )
把待求级数解代入初始条件得:
u(x, 0)
u(x,t) V (x,t) W (x,t)
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
其中，V(x,t)表示初始状态引起的弦振动位移，而W(x,t) 表示强迫振动引起的弦振动位移。
于是所给的定解问题分解成两个简单的定解问题
VVtt(t, 0a)2VxVx (t, L) 0
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
常数变易得非齐次特解为：
y u(x) y1(x) v(x) y2 (x)
将其两端求导数得：
y uy1 uy1 vy2 vy2 令： uy1 vy2 0
得：
y uy1 vy2
将其代入原方程并注意到y1与y2是齐次解得：
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
4、T n(t) 表达式为：
Tn (t)
16 AL2
(2n 1)3
3a2
1
e
(
2n1) 2L
a
2
t
5、原定解问题解为：
u( x, t )
n1
16 AL2
(2n 1)3
3a2
1
e
(
2
n1) 2L
a
2
t
sin
(2n 1)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解 (一)、齐次化原理方法 (二)、固有函数值展开方法
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、齐次化原理方法
a
2
1
2a2 L2
(
sin
at
L
a
L
sin t ) cos
x
L
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、固有函数值展开方法
讨论如下定解问题求解：
utt a2uxx f (t, x)(t 0,0 x L) u(t,0) u(t, L) 0
u xL
A1 0
x L
e ht
,0
x
L,
t
0
u t0 0
解：考虑相应齐次方程的定解问题
WWtx0aW2 x2xW2L
, 0
0
x
L, t
0
W
t
A1
x eh L
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由分离变量得定解问题的解为：
W (t,
Ltu Lxu f (t, x), (t 0, x1 x x2 )
a1ux (t, x1) 1u(t, x1) 0 a2ux (t, x2 ) 2u(t, x2 ) 0
u(0, x) (x),ut (0, x) (x)
1,2 , 1, 2
非负常数
2 i
2 i
0(i
1,2)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
其中 ( y1, y2 ) y2 y1 y1y2 称为朗斯基行列式。
固有函数值展开方法总结：
定解问题一般形式：
LtW LxW f (x,t), (t 0, x1 x x2)
a1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 a2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
, (n 1, 2,
)
Tn (0) an ,Tn (0) bn
上面定解问题可由由常数变易法求得。
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
常数变易法回顾
设二阶常系数线性非齐次微分方程为：
y py qy f (x)
对应的齐次通解为：
y C1y1(x) C2 y2 (x)
xl 0
x
l,t
0)
u
t 0
0, u t
t 0
0
的解为：
u .tW t, x; d .0
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
齐次化原理2(推广)
如果 W (x,t; ) 满足方程：
tx
L,0
0 0, xl
x
l, 0,
Lt
a1
2 t 2
a2
t
a3
Lx
b1
2 x2
b2
x
b3
分别是关于t和x的二阶常系数偏微分算子
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
令：u(x,t) V (x,t) W (x,t)
原定解问题可作如下分解 ：
LtV LxV 0, (t 0, x1 x x2 )
Acos x sin
L
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由分离变量得定解问题的解为：
W (t, x, ) AL sin sin a(t ) cos x
a
L
L
由齐次化原理1，有
.t
u(x,t) W (t, x, )d .0
AL
Tn (0) sin
n1
n x
L
(x)
ut
(x, 0)
n1
Tn(0) sin
n x
L
(x)
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
令
( x)
n1
an
sin
n x
L
(x)
n1
bn
sin
n x
L
得定解问题：
Tn na2Tn fn (t)
t
,
t f , x ,
那么非齐次定解问题
uutx0 L0u,u
f t, x,(0
xl 0,
x
l,t
0)
u t0 0
的解为：
u .tW t, x; d .0
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1
解定解问题：
u utx
0
a2
2u x2
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
uyu1y1
vy2 vy2
f
0 (x)
由此求得非齐次通解为：
y y1
x y2 f ( ) d
0 ( y1, y2 )
y2
x y1 f ( ) d
0 ( y1, y2 )
C1y1 C2 y2
19
固有函数为： (2n 1)
Xn (x) sin 2L x (n 1, 2, ) 2、令一般解为：
u( x, t )
Tn (t) sin
n1
(2n 1)
2L
x
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
3、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函 数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；
x, )
n1
2A
n
exp
na
L
2
(t
)
h
sin
nx
L
由齐次化原理2，有:
.t
u(x,t) W (t, x, )d .0
2 AL2
n1
1
n[(n
a)2
L2h]
e
ht
exp
n a
L
2
t sin
n x
L
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
2L
x
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例2、在以原点为中心以1为半径的圆内，求泊松 方程定解问题：
uxx u yy 2x
u(0,
0)
u 0 x2 y2 1
解：极坐标变换后得：
W (0, x) (x),Wt (0, x) (x)
求解步骤：
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1、求对应的齐次定解问题对应的固有值问题
LtW LxW 0, (t 0, x1 x x2 )
1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
0.6 0.4 x 0.2
例2 求定解问题：
utt
a 2u xx
A cos x sin t, 0
L
x
L, t
0
ux x0 ux xL 0
u t0 ut t0 0
解：考虑相应齐次方程的定解问题
2W
Wxt
2 x
0
a2
2W x2
,
Wx xL
0 0
x
L, t
0
W
t
0,Wt
t
固有函数为：Xn(x) 2、令一般解为：
W (x,t) Tn (t) X n (x)
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
3、将一般解代入泛定方程和初始条件，并把自 由项和初始函数按固有函数系展开后通过比较系 数得到Tn(t)的微分方程；
4、由原定解问题初值条件得出T n(t)的初值条件；