齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解
非齐次方程的求解
(※)
的求解
解：第一步:设函数 分别是下列两个定解问题
（Ⅰ） （Ⅱ）
的解，则根据线性方程解的叠加原理,原定解问题(※)的解
.(1)
第二步:问题（Ⅰ）的求解.
设此问题的非平凡解 ,代入（Ⅰ）的方程有
.
由解 的非平凡性,上式两端同除以 有
.
此式左右两边分别是 和 的函数,等式要成立,则只能等于同一常数 .因此有
,
.
再次利用特征函数系的正交性,有
(16)
和
.(17)
问题(16)对应齐次方程的特征方程为 ,特征重根 .
则相应齐次方程的通解为
.
由于 是特征重根,则设问题(16)中非齐次方程的一个特解为
,
其中 是待定常数.于是有
, .
把这些式子代入问题(16)的微分方程可得 .所以 .
根据非齐次常微分方程解的结构理论,可得问题(16)中微分方程的通解为
,(2)
.(3)
把 代入（Ⅰ）的边界条件,注意到所求解的非平凡性,有
.(4)
(3)和(4)构成特征值下列问题:
特征值问题中微分方程的特征方程为 .
1当 时,特征根 ,方程(3)的通解为
,
其中 是任意常数.由定解条件(4)有
.
则 ,此时 是平凡解,舍去;
②当 时,特征重根 ,微分方程(3)的通解
非齐次方程的解法
a2W A 0 W |x0 0,W |xl B
0 xl t0
通过两次积分后得:
W (x)
A 2a 2
x2
Al 2a 2
B l
x
再由初始条件可知函数V(x, t)为下列定解问题的解:
Vtt a2Vxx V |x0 V |xl 0
0 x l,t 0 t0
0, (n
2)
(f)
Bn( )
1
Bn ( )
n2
2
B（n )
0
再由条件 u | a u |b 0 得:
An (a) An (b) 0
Bn (a) Bn (b) 0
方程(e)，(f)都是齐次的欧拉方程，它们的通解分 别为:
由条件
A0 ( ) c0 d0 ln
B0
(
)
c0
d
0
w( x) f ( x)
即
w( x) ( f ( x)dx)dx ax b
这样就转化为齐次边界问题。 重解例2.
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求解下列定解问题：
ut
a 2 uxx
A,
0
x
l,t
0
u |x0 u |xl 0, t 0
u
|t
0
0,
0
xl
大学物理-非齐次方程及其次边界条件的定解问题
v
ra Ca4 sin 2
其一般解为
v(r,) rn An sin n Bn cos n n0
由边界条件定出系数
A2 Ca2, An 0, (n 2), Bn 0
解得
v(r,) Ca2r2 sin 2
于是，求得
u(r,) Cr2 a2 r2 sin 2
二、非齐次边界条件的处理 定解问题：
Tn (t) cos t
t sin fn ( ) d
0
sin t
t cos fn ( ) d
0
(12)
C1
cos
t
C2
sin
t
1
t
0 fn ( )sin (t )d C1 cos t C2 sin t
将式 (12) 代入式 (11)，可得 C1 = n , C2 = n / 。再将
u(r,) Cr2(a2 r2)sin 2
方法二：猜特解的方法，不难猜到，方程
有特解
2u x2
2u y2
24Cxy
us (r,) us (x, y) 2C x3 y xy3 Cr4 sin 2
设解为
u(r,) us (r,) v(r,)
v(r, ) 应该满足如下定解问题
2v 0 (r a)
( n a )
l
(10)
Tn (0) n Tn '(0) n
2.4非齐次方程的求解问题详解
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
(54)
u ( x,0)
( x),
ut (x,0) (x).
v(x,t) 和 w(x,t) 分别满足如下定解问题：
vvt(t 0, t
a )
2vxx 0,
f (x,t) v(l,t)
Hale Waihona Puke Baidu
(0 0,
x
l,
t
0),
v(x,0) vt (x,0) 0.
满足齐次边界条件(47)的固有函数满足
10
为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件 的强迫振动问题：
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
u(x,0) ut (x,0) 0.
(46) (47) (48)
X ''(x) X (x) 0, X (0) X (l) 0.
利用条件 u(0) 0 即得 C 0
所以原问题的解可表示为
u(t) t f ( )ek2 (t )d . 0
2
补充 用拉普拉斯变换求解
u(t) k 2u(t) f (t),
u(0) 0, u(0) 0.
解 记 U(s) L[u], F(s) L[ f ], 对方程两边作 拉普拉斯变换得 L[u''(t)] s2L[u(t)] su(0) u'(0)
数学物理方程非齐次边界条件的处理
na d
l
D)
V
vn (t) sin
n1
n
l
x
vn(t)
a2
n 2
l2
2
vn (t)
f n (t)
0
V (x, 0)
vn (0) sin
n1
n
l
x
0
V (x, 0)
t
vn (0) sin
n1
n
l
x
0
vn (0) 0
vn (0) 0
a 2
2W x 2
2W t 2
0,
W (0,t) u1(t),W (l,t) u2 (t)
a2W 0, W (0) u1,W (l) u2
例7 求下列定解问题
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
,
0,u(l,
t
)
t
0,
0 x l,t 0
t 0 0 xl
解：先解对应的齐次问题
u
t
a2
2u x2
u (0, t )
x
u(l , t ) x
0,
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
一、齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）齐次线性方程组必有解x=0，称为零解。
（2）如果齐次线性方程组的系数行列式不为0，则方程组只有零解。
（3）如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则方程组有非零解。
（4）对于齐次线性方程组的非零解，若x1是其中一个解，则对于k≠0，kx1也是方程组的解。
例如，对于齐次线性方程组
a1x1+a2x2+...+anxn=0
b1x1+b2x2+...+bnxn=0
……
c1x1+c2x2+...+cnxn=0
如果a1a2...an≠0，则只有零解x1=0。
如果a1a2...an=0，且b1b2...bn≠0，则有非零解
x=(b1,b2,...,bn)T和x=k(b1,b2,...,bn)T。
3.推论：对于齐次线性方程组，n个未知量的向量{x1,x2,...,xn}张成的向量空间叫做齐次线性方程组的解空间，其维数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。
二、非齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项不都为0的线性方程组称为非齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）若常数项b≠0，则非齐次线性方程组必定有解。
（2）设x1和x2为非齐次线性方程组的两个解，则x1-x2为其对应齐次线性方程组的解。
（3）设x0为非齐次线性方程组的一个解，则一般解为
x=x0+kx1，其中x1为对应齐次线性方程组的解，k为任意实数。
3.推论：非齐次线性方程组的解集为齐次线性方程组的解集加上非齐次线性方程组的特解。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）
一、齐次线性方程组的解法
【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：
(1),,
,n r -12ξξξ线性无关;
(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ称
齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系(1)(2)（注：1于n -2程组 （1）（2（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；
若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤
（1）−−
→A C 行
（行最简形）;写出同解方程组CX =0.
(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;
(3)写出通解n r n r k k k --=++
+1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.
【例题1】解线性方程组12
341
23412341
2
3
4
2350,320,4360,2470.
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪
⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩
解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵
式：注：解：可得r 12x x =⎧⎨
=⎩令3x 令3x 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为
2-5 非齐次边界条件的处理
因而只要作代换:
⎡ u2 − u1 ⎤ u =V + ⎢ x + u1 ⎥ ⎣ l ⎦ 就能使新的未知函数V满足齐次边界条件.
经过这个代换后,得到关于V的定解问题为:
⎧Vtt = a 2Vxx + f1 ( x , t ) 0 < x < l, t > 0 ⎪ t>0 ⎨V | x = 0 = V | x = l = 0 ⎪V | = ϕ ( x ),V | = ψ ( x ) 0 ≤ x ≤ l t t =0 1 ⎩ t =0 1
4.对于稳定的非齐次的边界问题[即边界条件方 程中都与 t 无关]总可选适当的 W(x)[也与 t 无关]使 关于V(x,t) 的方程和边界条件都齐次化.
求解下列定解问题.
⎧ utt = a 2 uxx + A 0 < x < l, t > 0 ⎪ t>0 ⎨ u | x = 0 = 0, u | x = l = B ⎪u | = u | = 0 0≤ x≤ l ⎩ t =0 t t =0
则新未知函数 u( x , t ) = V ( x , t ) + W ( x , t ) ,便满足齐次 边界条件 V |x = 0 = V |x = l = 0
令 W ( x , t ) = A( t ) x + B( t ) 于是由 W | x = 0 = u1 ( t ), W | x = l = u2 ( t ) 有:
分离变量法(非齐次方程的求解问题)
称为施图姆-刘维尔方程,加上边界条件就称为施图姆刘维尔问题.那些使施图姆-刘维尔问题存在非零解的
非零解就称为固有函数.
λ 值称为该问题的固有值,相应于给定的固有值的
关于固有值和固有函数,我们有一下几点结论: (1)存在无穷多个实的固有值:
λ1 ≤ λ 2 ≤
当
≤ λn ≤
q ( x) ≥ 0
y1
时,
( n = 1, 2 )
将此式代入(1.1)式即得定解问题(*)的解
nπ a nπ a y1 (t ) = cos t , y2 (t ) = sin t l l l nπ a C1′(t ) = − f n (t )sin t, nπ a l l nπ a ′ C2 ( t ) = f n (t ) cos t nπ a l nπ a nπ a un (t ) = c1 cos t + c2 sin t+ l l nπ a nπ a ∫ C1′(t )dt cos l t + ∫ C2′ (t )dt sin l t
2.5 固有值与固有函数
本章学习了应用分离变量法求解弦振动方程,一维 热传导方程和二维拉普拉斯方程的有关定解问题时, 都需要解决一个含参变量的常微份方程的边值问题 称为固有值问题. 这个问题在下面章节还会遇到. 方程:
d ⎛ dy ⎜ p (x) dx ⎝ dx
⎞ ⎟ − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 ⎠
对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题
对非齐次偏微分方程的求解
齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题 （一）冲量定理法 （二）傅立叶级数法
齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题 （一）方程和边界条件同时齐次化 非齐次方程的求解思路
• 用分解原理得出对应的齐次问题 • 解出齐次问题 • 求出任意非齐次特解 • 叠加成非齐次解
方法一
冲量定理法
前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。
基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为（无穷多个）自由振动问题的叠加.
2000(,)0,0
(),()
tt xx x x l t t t u a u f x t u u u x u x φψ====⎧-=⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩ 试设
12u u u =+
222112211
11,(,0)(,0)(),(),(0,)0,(,)0
u u a t x u x u x x x t
u t u l t ϕψ⎧∂∂=⎪∂∂⎪
∂⎨
==⎪∂⎪
==⎩， ()22
222
2222
22,,(,0)
(,0)0,0,(0,)0,(,)0
u u a f x t t x u x u x t
u t u l t ⎧∂∂-=⎪∂∂⎪∂⎨==⎪∂⎪
==⎩.
物理意义：
在时间 0 — t ，可以把非齐次项（单位质量所受的持续作用力）看成许多前后相继（无穷多个）的“瞬时”力引起的物理过程的线性叠加。
22
222
0,0,(,),0,0t t t x x l a t t
x f x d τ
τωωτωω
ττωω====⎧∂∂=>⎪∂∂⎪⎨==⎪⎪==⎩22
222
,0,(,),0,0
非齐次方程的解法
(2.29)
5
因此得到两个常微分方程的定解问题 F lF 0, (2.30) F ( 2p ) F ( ),
r R r R l R 0, (2.31) | R(0) | . 先解哪一个要看哪一个可以定出特征值. 由于 条件(2.29)满足可加性(即所有满足(2.29)的函 数加起来仍旧满足(2.29)), 所以只能先解问题 (2.30).
而W(x,t)表示仅由初始状态引起弦振动位移,
2 2W W 2 t 2 a x 2 ,0 x l , t 0, (2.42) W |x 0 W |x l 0, t 0, W W |t 0 ( x), ( x),0 x l. t t 0
4
代入方程(2.25)得
RF
1
r R r R 即
2
F R F 令比值为常数l即得两个常微分方程 F''+lF=0, r2R''+rR'lR=0.
再由条件(2.27)及(2.28)可得 |R(0)|<+, F(+2p)=F().
r
RF
1
r
2
RF 0
23
拉氏变换是线性变换, 就是说, 它满足线性性 质, 如果f1(t)的象函数是F1(p), f2(t)的象函数是 F2(p)则f1(t)+f2(t)的象函数就是F1(p)+F2(p), 反 之亦然. 此外, 对任何数k, kf1(t)的象函数是 kF1(p). 拉氏变换最重要的性质是微分性质, 就是说, 如果f(t)的象函数是F(p), 则f(n)(t)的象函数就是 pnF(p)[pn1f(0)+pn2f '(0)+…+f (n1)(0)] 如果上面的方括号中的初始条件都是0, 则f(t) 的n阶导的象函数就是用p的n次方来乘F(p). 这个性质在拉氏变换表中也有, 这使得拉氏变 换成为求解线性微分方程组的重要手段. 24
第八章第二节 非齐次振动方程和输运方程
其中d 很短，已略去
目标实现。可用分离变数法或傅里叶级数法求解。但这
里的初始时刻是 ，前两方法(分离变量法、傅立叶级
数法)得出的解中，将t换成 t 即可。
定解问题(8.2.12)~(8.2.14)是线性的，适用叠加原理。(8.2.12) ~(8.2.14)的解应是所有瞬时力所引起的振动的叠加，即求出v以后，
用冲量定理研究弦的受迫振动问题：
utt a2uxx f x,t...8.2.12, 非齐次
u x0 0,u xl 0,...8.2.13 齐次
u t0
0,ut t0 0....8.2.14
齐次
(1) 冲量定理法的物理思想
上面定解问题的含义可以理解为：两端固定的弦，
初始位移和初始速度均为零；作用在每单位长度弦
Tn
n0
t cos
nx
l
.
2、代入非齐次方程后，分离出Tn(t)的常微分方程：齐次
的和非齐次的。
utt
a2uxx
Acos x sint;...8.2.2
l
n0
Tn
n2 2a2
l2
Tn
cos
n
l
x
A cos
x
l
sin t.
T1
2a2
l2
T1
Asin t...n
1
齐次方程组的解与非齐次方程组的解的关系
齐次方程组的解与非齐次方程组的解的关系
齐次方程组和非齐次方程组是线性代数中经常遇到的两类方程组。它们之间存在着密切的关系。本文将探讨齐次方程组的解与非齐次方程组的解之间的关系。
我们来回顾一下齐次方程组的定义。一个齐次方程组是指方程组的常数项全为零的线性方程组。例如，对于一个二元一次齐次方程组：\[
\begin{cases}
ax + by = 0 \\
cx + dy = 0
\end{cases}
\]
其中a、b、c、d为实数，这个方程组的常数项都是0，因此是一个齐次方程组。
对于一个齐次方程组，我们有以下结论：
1. 齐次方程组总是有零解。即使系数矩阵不是满秩的，也至少存在一组解全为0的解，称为零解。
2. 如果齐次方程组有非零解，那么它一定有无穷多个解。这是因为如果有一个非零解，那么通过对这个非零解进行任意的线性组合，可以得到无穷多个解。
接下来，我们将探讨齐次方程组的解与非齐次方程组的解之间的关系。
考虑一个非齐次方程组：
\[
\begin{cases}
ax + by = u \\
cx + dy = v
\end{cases}
\]
其中u、v为非零实数。我们假设这个方程组有一个特解(x0, y0)。那么我们可以将方程组改写为：
\[
\begin{cases}
ax + by = 0 \\
cx + dy = 0
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
ax + by = u \\
cx + dy = v
\end{cases}
\]
将这两个方程组相减，得到：
\[
\begin{cases}
0x + 0y = u - 0 \\
第三讲-非齐次方程定解问题
非零值初始条件
非齐次方程
零值初始条件
非齐次边界条件 非零值初始条件
2020/1/28
有界弦的自由振动
有界弦的自由振动
分离变量法
分离变量法(齐次方程)的解题步骤为： ①对齐次方程和齐次边界条件分离变量 ②解常微分方程的本征值问题 ③解其它变量的常微分方程 ④叠加，用初始条件（或非齐次边界条件)定系数
5
ux,0 0, ut x,0 0
2020/1/28
21
1、设想方程的解由两部分组成：
ux,t vx,t wx,t
w(x,t)也满足方程：
wtt
a2wxx
a2 5
,
0 x l,t 0
w0,t 0, wl,t l
2020/1/28
5
wx,t Atx Bt
边界条件要求为：
At0 Bt u1t
Atl Bt u2t
2020/1/28
17
w(x,t)最简单的形式为：
wx,t
x l
u2t u1t u1t
w(x,t) 函数的选择不只一种， 即对相同的边界条件， w(x,t) 并不是唯一的．
n2 c2
vpmn x,
y, z
sin
px sin
a
齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
uyu1y1
vy2 vy2
f
0 (x)
由此求得非齐次通解为：
y y1
x y2 f ( ) d
0 ( y1, y2 )
y2
x y1 f ( ) d
0 ( y1, y2 )
C1y1 C2 y2
19
5、由常数变易法求出T n(t) 。
应用举例
例1 求定解问题：
ut a2uxx A, (0 x L,t 0)
u t0 0
(1)
u x0 0, ux xL 0
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：1、求齐次定解问题对应的固有值问题： ut a2uxx , (0 x L, t 0) u x0 0, ux xL 0
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解 (一)、齐次化原理方法 (二)、固有函数值展开方法
1
非齐次方程的解与齐次方程解的关系
非齐次方程的解与齐次方程解的关系
一、引言
在数学中，非齐次方程和齐次方程是常见的数学问题。非齐次方程是指含有非零常数项的方程，而齐次方程则是不含有常数项的方程。两者之间存在着密切的关系，本文将探讨非齐次方程的解与齐次方程解之间的关系。
二、齐次方程的解
首先，我们来了解一下齐次方程的解。对于一个齐次线性方程，可以表示为：
a n(x)y(n)+a n−1(x)y(n−1)+⋯+a1(x)y′+a0(x)y=0
其中，y(n)表示y的n阶导数，a n(x)到a0(x)为系数函数。齐次方程的解是指满足上述方程的函数y。
齐次方程的解具有以下性质：
1.零解：y=0是齐次方程的解，称为零解。
2.叠加原理：如果y1和y2是齐次方程的解，那么它们的线性组合c1y1+c2y2也
是齐次方程的解，其中c1和c2为任意常数。
3.超线性性质：如果y是齐次方程的解，那么k⋅y也是齐次方程的解，其中k
为任意常数。
三、非齐次方程的解
接下来，我们讨论非齐次方程的解。对于一个非齐次线性方程，可以表示为：
a n(x)y(n)+a n−1(x)y(n−1)+⋯+a1(x)y′+a0(x)y=f(x)
其中，f(x)为非零函数。非齐次方程的解是指满足上述方程的函数y。
非齐次方程的解具有以下性质：
1.特解：非齐次方程的解中，特别地，如果y p是方程的一个解，那么称y p为非
齐次方程的一个特解。
2.通解：非齐次方程的解中，如果y c是对应齐次方程的解，y p是非齐次方程的
特解，那么非齐次方程的通解可以表示为y=y c+y p。
四、非齐次方程解与齐次方程解的关系
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先讨论如下定解问题求解：
utt a2uxx f (t, x)(t 0,0 x L) u(t,0) u(t, L) 0
u(0, x) (x), ut (0, x) (x)
分析：定解问题可以看成两端固定弦的强迫振动 问题。振动是由强迫力与初始扰动引起的合成振 动，于是，可设问题的解为：
*
V (0, x) (x),Vt (0, x) (x)
WWtt(t, 0a)2W Wxx
Baidu Nhomakorabea
(t
f (t, x) , L) 0
**
W (0, x) 0,Wt (0, x) 0
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对于一般常系数二阶偏微分方程定解问题：
(2)
W (0, x) 0,Wt (0, x) 0
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对于(1),可考虑分离变量求解，因此，主要讨论(2) 的求解
对于(2),注意到方程是非齐次方程，边界条件 是齐次边界条件，初值条件为0初值条件，正好和 二阶线性偏微分方程理论中的齐次化原理条件相对 应，所以，可以考虑用齐次化原理求解。
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
齐次化原理回顾
齐如次果化W原(理x, t1;(推) 广满) 足方程：2t2x0
L, (0 x 0, xl 0
l,
t
)
t
0,
t
t
f , x
那么非齐次定解问题
u2txu20
Lu 0, u
f t, x, (0
首先：自由项A按固有函数系展开:
A
n1
An sin
(2n 1)
2L
x
得：
An
2 L
L Asin (2n 1) xdx 4A
0
2L
(2n 1)
其次：将一般解和自由项展开代入定解问题得：
Tn(t)
(2n 1) a 2
2L
Tn
4A
(2n 1)
Tn (0) 0
24
1
0.5 n 0
0.5
5、由常数变易法求出T n(t) 。
应用举例
例1 求定解问题：
ut a2uxx A, (0 x L,t 0)
u t0 0
(1)
u x0 0, ux xL 0
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：1、求齐次定解问题对应的固有值问题： ut a2uxx , (0 x L, t 0) u x0 0, ux xL 0
a1Vx (t, x1) 1V (t, x1) 0 a2Vx (t, x2 ) 2V (t, x2 ) 0
(1)
V (0, x) (x),Vt (0, x) (x)
与
LtW LxW f (x,t), (t 0, x1 x x2)
a1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 a2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
n x
u(x,t) Tn (t) sin
n1
L
(a)
(b) 对自由项f(x, t)也按固有函数系展开成傅立叶 级数：
f
( x, t )
n1
fn (t) sin
n x
L
(b)
其中：
fn (t)
2 L
L
n x
f (x,t)sin dx
0
L
(n 1, 2,
)
将(a)与(b)代入原方程中可得到：
14
u(0, x) (x), ut (0, x) (x)
方法原理：(a) 设想定解问题的解可分解为无穷多 个驻波叠加，而每个驻波波形仍然由该振动体的固有 函数决定，即由固有函数系{sinnπx/L}决定。可以 假定一般解为：
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Tn(t) sin
n1
nx
L
a 2nTn (t) sin
n1
nx
L
n1
fn (t) sin
nx
L
比较系数得:
Tn na2Tn fn (t)(n 1, 2, )
把待求级数解代入初始条件得:
u(x, 0)
u(x,t) V (x,t) W (x,t)
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
其中，V(x,t)表示初始状态引起的弦振动位移，而W(x,t) 表示强迫振动引起的弦振动位移。
于是所给的定解问题分解成两个简单的定解问题
VVtt(t, 0a)2VxVx (t, L) 0
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
常数变易得非齐次特解为：
y u(x) y1(x) v(x) y2 (x)
将其两端求导数得：
y uy1 uy1 vy2 vy2 令： uy1 vy2 0
得：
y uy1 vy2
将其代入原方程并注意到y1与y2是齐次解得：
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
4、T n(t) 表达式为：
Tn (t)
16 AL2
(2n 1)3
3a2
1
e
(
2n1) 2L
a
2
t
5、原定解问题解为：
u( x, t )
n1
16 AL2
(2n 1)3
3a2
1
e
(
2
n1) 2L
a
2
t
sin
(2n 1)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
齐次边界条件下非齐次方程定解问题求解 (一)、齐次化原理方法 (二)、固有函数值展开方法
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、齐次化原理方法
a
2
1
2a2 L2
(
sin
at
L
a
L
sin t ) cos
x
L
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、固有函数值展开方法
讨论如下定解问题求解：
utt a2uxx f (t, x)(t 0,0 x L) u(t,0) u(t, L) 0
u xL
A1 0
x L
e ht
,0
x
L,
t
0
u t0 0
解：考虑相应齐次方程的定解问题
WWtx0aW2 x2xW2L
, 0
0
x
L, t
0
W
t
A1
x eh L
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由分离变量得定解问题的解为：
W (t,
Ltu Lxu f (t, x), (t 0, x1 x x2 )
a1ux (t, x1) 1u(t, x1) 0 a2ux (t, x2 ) 2u(t, x2 ) 0
u(0, x) (x),ut (0, x) (x)
1,2 , 1, 2
非负常数
2 i
2 i
0(i
1,2)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
其中 ( y1, y2 ) y2 y1 y1y2 称为朗斯基行列式。
固有函数值展开方法总结：
定解问题一般形式：
LtW LxW f (x,t), (t 0, x1 x x2)
a1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 a2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
, (n 1, 2,
)
Tn (0) an ,Tn (0) bn
上面定解问题可由由常数变易法求得。
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
常数变易法回顾
设二阶常系数线性非齐次微分方程为：
y py qy f (x)
对应的齐次通解为：
y C1y1(x) C2 y2 (x)
xl 0
x
l,t
0)
u
t 0
0, u t
t 0
0
的解为：
u .tW t, x; d .0
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
齐次化原理2(推广)
如果 W (x,t; ) 满足方程：
tx
L,0
0 0, xl
x
l, 0,
Lt
a1
2 t 2
a2
t
a3
Lx
b1
2 x2
b2
x
b3
分别是关于t和x的二阶常系数偏微分算子
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
令：u(x,t) V (x,t) W (x,t)
原定解问题可作如下分解 ：
LtV LxV 0, (t 0, x1 x x2 )
Acos x sin
L
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由分离变量得定解问题的解为：
W (t, x, ) AL sin sin a(t ) cos x
a
L
L
由齐次化原理1，有
.t
u(x,t) W (t, x, )d .0
AL
Tn (0) sin
n1
n x
L
(x)
ut
(x, 0)
n1
Tn(0) sin
n x
L
(x)
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
令
( x)
n1
an
sin
n x
L
(x)
n1
bn
sin
n x
L
得定解问题：
Tn na2Tn fn (t)
t
,
t f , x ,
那么非齐次定解问题
uutx0 L0u,u
f t, x,(0
xl 0,
x
l,t
0)
u t0 0
的解为：
u .tW t, x; d .0
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1
解定解问题：
u utx
0
a2
2u x2
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
uyu1y1
vy2 vy2
f
0 (x)
由此求得非齐次通解为：
y y1
x y2 f ( ) d
0 ( y1, y2 )
y2
x y1 f ( ) d
0 ( y1, y2 )
C1y1 C2 y2
19
固有函数为： (2n 1)
Xn (x) sin 2L x (n 1, 2, ) 2、令一般解为：
u( x, t )
Tn (t) sin
n1
(2n 1)
2L
x
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
3、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函 数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；
x, )
n1
2A
n
exp
na
L
2
(t
)
h
sin
nx
L
由齐次化原理2，有:
.t
u(x,t) W (t, x, )d .0
2 AL2
n1
1
n[(n
a)2
L2h]
e
ht
exp
n a
L
2
t sin
n x
L
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
2L
x
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例2、在以原点为中心以1为半径的圆内，求泊松 方程定解问题：
uxx u yy 2x
u(0,
0)
u 0 x2 y2 1
解：极坐标变换后得：
W (0, x) (x),Wt (0, x) (x)
求解步骤：
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1、求对应的齐次定解问题对应的固有值问题
LtW LxW 0, (t 0, x1 x x2 )
1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
0.6 0.4 x 0.2
例2 求定解问题：
utt
a 2u xx
A cos x sin t, 0
L
x
L, t
0
ux x0 ux xL 0
u t0 ut t0 0
解：考虑相应齐次方程的定解问题
2W
Wxt
2 x
0
a2
2W x2
,
Wx xL
0 0
x
L, t
0
W
t
0,Wt
t
固有函数为：Xn(x) 2、令一般解为：
W (x,t) Tn (t) X n (x)
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
3、将一般解代入泛定方程和初始条件，并把自 由项和初始函数按固有函数系展开后通过比较系 数得到Tn(t)的微分方程；
4、由原定解问题初值条件得出T n(t)的初值条件；