2.4.2抛物线的简单几何性质(3)110203
课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质
解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
课件13：2.4.2 抛物线的简单几何性质
x2＝2py
x2＝－2py
方程 (p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
焦半径 |PF|＝x0＋p2 |PF|＝p2－ |PF| x0
|PF|＝y0＋p2 |PF|＝p2－y0
焦点弦 |AB|＝x1＋ |AB|＝ |AB|＝y1＋y2＋ |AB|＝
|AB|
x2＋p p－(x1＋x2)
p
p－(y1＋y2)
(5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值， 即 x1·x2＝p42，y1·y2＝－p2. (6)|A1F|＋|B1F|为定值p2.
变式训练 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． (1)如果x1＋x2＝7，求线段AB的长； (2)若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交点， 则|AB|等于多少？
4．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则 其方程为________． 【答案】y2＝8x或y2＝－8x
5．已知点(－2，3)与抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的距离 是 5，则 p＝________．
【解析】因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标是p2，0，
类型 3 抛物线几何性质的简单应用
典例 3 已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，
P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若F→P＝
4F→Q，则|QF|＝( )
7
5
A.2
B.2
C.3
D.2
【解析】因为F→P＝4F→Q，所以|F→P|＝4|F→Q|，所以||PPQF||＝43. 示意图如图所示，过点 Q 作 QQ′⊥l，垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A， 则|AF|＝4，所以||PPQF||＝|Q|AQF|′|＝43. 所以|QQ′|＝3.根据抛物线的定义可知|QQ′|＝|QF|＝3. 【答案】C
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
教学设计2：2.4.2 抛物线的简单几何性质
教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标【知识与技能】1．掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；2．能由抛物线方程解决简单的应用问题；3．学会判断抛物线与直线的位置关系；4．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．【过程与方法】通过抛物线性质的学习，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。
【情感态度与价值观】通过抛物线性质的学习，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系。
教学难点抛物线性质的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。
教学过程复习引入一．引入新课【师】复习提问：1、抛物线定义：平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F和一条直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。
点F叫做焦点．．，l叫做准线。
．．．2、抛物线的标准方程标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下那么，抛物线有哪些几何性质呢？点题，板书课题。
新课学习二．新课讲解1．抛物线的简单几何性质标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图像范围0≥x0≤x0≥y0≤y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点()0,0()0,0()0,0()0,0离心率1=e焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下2．通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。
直接应用抛物线定义，得到通径：pd2=。
三．练习领会师生共同解答下列各例：【例1】已知点()2,0A和抛物线C：xy62=，求过点A且与抛物线C相切的直线L的方程。
2.4.2-抛物线的简单几何性质
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
(0，p ) y p
2
2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0
p0
o F( p ,0) x
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦 的长度 通径
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
（0,0）
p 2
x0
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
y
o F( p ,0) x
2
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、 离心率
即直线与抛物线只有一个公共点。
当1 k 1 ,且k 0时， 2
即直线与抛物线有两个公共点。
2.4.2抛物线的几何性质
斜角为 135的直线被抛物线所截得 的弦长为 8，试求抛物线的方程.
y 2 2 px 1 2 2 由 p 得 x 3 px p 0 4 y x 2
p 抛物线方程为 y 2 px（p 0） 直线l：y x 2
2
解：当焦点在 x轴正半轴时，
课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上 , 顶 点 A、 B 在抛物线 y 2 x 上, 求正方形的边长.
2.已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上,
B 在抛物线 y 2 x 上,求正方形的边长. 顶点 A 、
解：设 AB 的方程为 y=x+b, y xb 由 2 消去 x 得 y2-y+b=0， y x
2
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 y 1或 x 0或 y x 1 直线的方程是__________________________.
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交 与两点。 例：判断直线 y = x -1与 y 抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一 元二次方程，需计 算判别式。相交。
O
x
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物线 相交(一个交点)
,
例1. 正三角形的一个顶点 位于坐标原点，另外两 个顶点 在抛物线 y 2 2 px（p 0）上，求这个三角形的 边长.
高中数学 第二章2.4.2 抛物线的简单几何性质讲解与例
2.4.2 抛物线的简单几何性质问题导学一、抛物线几何性质的应用活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．答案：课前·预习导学 【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ． 迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1． 故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p． 于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k p pk p k p p p pk ++++⋅+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA u u u r ·OB uuu r＝0．由OA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2， 得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上，∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4，即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0． 当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么|PF |＝( )．A ．43B ．8C ．83D ．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为3(2)y x =--，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，43)．设P (x 0，43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为122p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ． 联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1＋2)p ，x 2＝(1－2)p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝22p ． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)·|CD |＝13221222p p ⋅⋅=，解得p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2．联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 5l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ．由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0．∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得12t≥-．另一方面，由直线OA与l的距离55d=，可得55=，解得t＝±1．∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。
课件5：2.4.2 抛物线的简单几何性质
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点P的坐标为( )
A．(14，±
F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
→ FP
＝4F→Q，则|QF|＝( )
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
[答案] D
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准
线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交
点为G，因为
→ FP
＝4
→ FQ
，则点Q是PF的三等分点，由于三角形
5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线 上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．
[答案] a≥1 [解析] 本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以 及恒成立问题，不妨设A( a，a)，B(－ a，a)，C(x0，x20)，则 C→B＝(－ a－x0，a－x20)，C→A＝( a－x0，a－x20)， ∵∠ACB＝90°. ∴C→A·C→B＝( a－x0，a－x20)·(－ a－x0，a－x20)＝0. ∴x20－a＋(a－x20)2＝0，∵x20－a≠0. ∴(a－x20)(a－x20－1)＝0，∴a－x20－1＝0. ∴x20＝a－1，又x20≥0.∴a≥1.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质
13．已知倾斜角为π的直线 l 过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F，抛物线 C 上存在点 P 与 x 轴上一点 Q(5,0)关 6
于直线 l 对称，则 p 等于( )
A.1
B．1
C．2
D．3
2
14.如图，已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线 AF， BF 分别与抛物线交于点 M，N. (1)求 y1y2 的值； (2)连接 MN，记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：kk12为定值．
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.
5．抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，
其面积为( )
A．2 3
B．4
C．6
D．4 3
6．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标
为 2，则该抛物线的准线方程为( )
2 所在的直线方程．
引申探究 本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离．
反思感悟 求抛物线弦长问题的方法： (1)一般弦长公式
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|. (2)焦点弦长
设过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所 在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出 x1＋x2 即可． 跟踪训练 3 已知 y＝x＋m 与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两点． (1)若|AB|＝10，求实数 m 的值；(2)若 OA⊥OB，求实数 m 的值．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质1.设AB为过抛物线y2=2px (p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( C )(A)(B)p(C)2p (D)无法确定解析:当AB垂直于对称轴时,|AB|取最小值,此时AB为抛物线的通径,长度等于2p.故选C.2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( B )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.3.抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点(-5,2)到焦点的距离为6,则抛物线方程为( D )(A)y2=-2x (B)y2=-4x(C)y2=2x (D)y2=-4x或y2=-36x解析:因为抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,设y2=2px,则焦点坐标为(,0),因为点(-5,2)到焦点的距离为6,所以(-5-)2+(2-0)2=62,即(5+)2=16,所以5+=4或5+=-4,解得p=-2或p=-18,所以y2=-4x或y2=-36x,故选D.4.设经过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线在第一象限的交点为A,过A作x轴的垂线,垂足为B,若△ABF的面积为,则实数a的值为( D )(A)4 (B)2 (C)1 (D)解析:设抛物线方程为x2=2py(p>0),由题意知∠FAB=,延长AB交准线于C,故△AFC是正三角形,又点F到准线的距离为p,知|FC|=2p,△ABF的面积为,即×2p×p×sin =,得p=1,所以a=.故选D.5.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|等于( B )(A)3 (B)6 (C)9 (D)12解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线l的方程为x=-2①,设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为,所以a=4,b=2,椭圆E的方程为+=1②,联立①②,解得A(-2,3),B(-2,-3)或A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选B.6.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n 的关系是( A )(A)m+n=mn (B)m+n=4(C)mn=4 (D)无法确定解析:设抛物线焦点弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线y2=4x的焦点为(1,0),当焦点弦与抛物线的对称轴垂直时,m=2,n=2,所以m+n=mn.当焦点弦与抛物线的对称轴不垂直时,设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k≠0).把y=k(x-1)代入y2=4x并整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,所以x1x2=1.因为m=x1+1,n=x2+1,所以x1=m-1,x2=n-1,代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1,即m+n=mn.故选A.7.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( C )(A)(0,2) (B)[0,2](C)(2,+∞) (D)[2,+∞)解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2,由圆与准线相交知4<r.因为点M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,所以=8y0,又点M(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上,所以+(y0-2)2=r2>16,所以8y0+(y0-2)2>16,即有+4y0-12>0,解得y0>2或y0<-6,又因为y0≥0,所以y0>2,故选C.8.已知抛物线y=x2-1上的一定点B(-1,0)和两个动点P,Q,当BP⊥PQ 时,点Q的横坐标的取值范围是( C )(A)(-∞,-3]∪[1,+∞)(B)[-3,1](C)(-∞,-3]∪[1,)∪(,+∞)(D)[1,+∞)解析:设P(t,t2-1),Q(s,s2-1),因为BP⊥PQ,所以·=-1,即t2+(s-1)t-s+1=0,因为t∈R,P,Q是抛物线上两个不同的点,所以必须有Δ=(s-1)2+4(s-1)≥0.即s2+2s-3≥0,解得s≤-3或s≥1.由t=-1,代入t2+(s-1)t-s+1=0,可得s=,此时P,B重合,故s≠.所以Q点的横坐标的取值范围是(-∞,-3]∪[1,)∪(,+∞).故选C.9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为.解析:抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,圆x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16,则圆心为(3,0),半径为 4.又因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,所以3+=4,解得p=2.答案:210. 已知抛物线y=x2的焦点为F,过点F的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到x轴的距离等于.解析:由题意,抛物线y=x2的焦点坐标为(0,),准线方程为y=-,根据抛物线的定义,因为|AB|=4,所以A,B到准线的距离和为4,所以弦AB的中点到准线的距离为2,所以弦AB的中点到x轴的距离为2-=.答案:11.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.解析:设AB的方程为x=my+4,代入y2=4x得y2-4my-16=0,则y1+y2=4m,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,当m=0时,+最小为32.答案:3212.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k≠0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得y2-y+k=0,即Δ=1-k2<0,解得k>1或k<-1.答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)13.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.解:如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.又|OA|=|OB|,所以+=+,即-+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即点A,B关于x 轴对称.由此得∠AOx=30°,所以y1=x1,与=2px1联立,得y1=2p.所以|AB|=2y1=4p.14.已知A,B是抛物线C:y2=2px(p>0)上不同的两点,点D在抛物线C 的准线l上,且焦点F到直线x-y+2=0的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线AB过焦点F,且直线AD过原点O,求证:直线BD平行x轴.(1)解:抛物线C:y2=2px的焦点F(,0),由题意可得d==,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)证明:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.设直线AB:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线方程,可得y2-4ty-4=0,即有y1y2=-4,直线AD:y=x,则有D(-1,-),由于-=-=-=y2,故直线BD平行x轴.15.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则消去y,得4x2-(2a-4)x+1=0,设直线y=2x+1与抛物线交于A,B两点,其坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2 =,x1x2=.|AB|=|x1-x2|===.则=,a2-4a-12=0,解得a=-2或a=6.所以y2=-4x或y2=12x.16.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( D )(A)(B) (C)(D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.①因为|FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,且|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2. ②由①②得x2=1,所以B(1,2),代入y=k(x+2),得k=.故选D.17.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是( C )(A) (B) (C) (D)名师点拨:设|AF|=a,|BF|=b,由梯形中位线定理知|MN|=,欲求的最大值,只需求出|AB|的最小值.在△ABF中,运用余弦定理和基本不等式即可.解析:设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.在△ABF中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos =a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab,又因为ab≤()2,所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-()2=(a+b)2,得到|AB|≥(a+b),所以≤=,即的最大值为.故选C.18.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= . 解析:如图, 由AB的斜率为,知∠α=60°,又=,所以M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l 于点P,则∠ABP=60°,所以∠BAP=30°,所以|BP|=|AB|=|BM|.所以M为抛物线C的焦点,即=1,所以p=2.答案:219.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是.解析:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率k不存在时,符合条件的直线l必有两条.当k存在时,x1≠x2,则有·=2,又y1+y2=2y0,所以y0k=2.由CM⊥AB,得k·=-1,即y0k=5-x0,因此2=5-x0,x0=3,即M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x,得y2=12,则有-2<y0<2. 因为点M在圆上,所以(x0-5)2+=r2,故r2=+4<12+4=16.又+4>4(为保证有4条,在k存在时,y0≠0),所以4<r2<16,即2<r<4. 答案:(2,4)20.已知抛物线C的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上,抛物线上的点N到F的距离为2,且N的横坐标为1,过焦点F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线于A,B两点,且与其准线交于点D.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若线段AB的长为8,求直线l的方程;(3)在C上是否存在点M,使得对任意直线l,直线MA,MD,MB的斜率始终满足2k MD=k MA+k MB?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.解:(1)由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),由1+=|NF|=2,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)F(1,0),设直线l方程为y=k(x-1)(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1+x2=.因为|AB|=8,所以+2=8,化为k2=1,又k>0,解得k=1.所以直线l的方程为y=x-1.(3)假设存在M(,t),A(,y1),B(,y2),直线l方程my=x-1(m>0).D(-1,).联立消去x得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.k MD==,k MA==,k MB=.因为满足2k MD=k MA+k MB,所以=+.因为+==,所以=,整理得(t2-4)(m2+1)=0,因为m2+1>0,所以可得t2-4=0,解得t=±2.因此存在M(1,±2)满足2k MD=k MA+k MB.。
2.4.2抛物线的简单几何性质
2.4.2抛物线的简单几何性质
一、学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质；
2.会用抛物线的几何性质解决相关问题；
3.掌握直线与抛物线的位置关系.
学习重点：抛物线的简单几何性质的应用；
学习难点：抛物线的简单几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系； 二、导学指导与检测
导学指导
导学检测及课堂展示
阅读教材
7068P P 完成右框内容
一、抛物线的简单几何性质
标准方程
y 2=2px
(p >o)
y 2=−2px (p >o)
x 2=2py (p >o)
x 2=−2py (p >o)
图形
性质
范围 对称轴
焦半径 |P 1F |=p
2
+x 1
焦点弦
|P 1P 2|=
p +(x 1+x 2)
顶点
离心率
【即时训练1】课本P72练习第1题.
【即时训练2】已知直线l 的倾斜角为60°，且经过抛物线y 2=6x 的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，求|AB |的值.
1、已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1,−2).求抛物线的标准方程和准线方程.
2、过点M（2,0）作斜率为1的直线l,交抛物线y2=4x于A，B两点，求AB.
闯关题：已知抛物线y2=−8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点.。
课件9：2.4.2 抛物线的简单几何性质
C.y=2
答案:A
INZHIDAOXUE
y轴
向上
做一做 1
A.y=-
X 新知导学 Z重难探究
1
4
B.y=-
D.y=-1
)
向下
HONGNANTANJIU
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.2.2 抛物线的简单几何性质
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
D当堂检测
得抛物线的标准方程,但注意抛物线的开口方向不确定,需分两种情况考虑.
2.2.2 抛物线的简单几何性质
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
探究四
解:当焦点在 x 轴的正半轴上时,
设方程为 y2=2px(p>0),当 x= 时,y=±p,由 2p=8,得 p=4.
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
2.2.2 抛物线的简单几何性质
首页
X 新知导学 Z重难探究
INZHIDAOXUE
HONGNANTANJIU
1.抛物线的几何性质
y2=2px
类型
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图象
焦 p
p
p
p
F 2 ,0
F - 2 ,0
答案:B
2
2.2.2 抛物线的简单几何性质
探究一
2.4.2抛物线的简单几何性质
（4）x2 +8y =0 准线方程
焦点坐标
（ 1） （ 2） （ 3）
（ 5， 0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（ 4）
（0，-2）
y=2
前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性 质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有 什么区别吗？
分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有 一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它 没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线，而椭
四.离心率：
同样 ，抛物线上的点M到其焦点的距离 和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率, 用e表示.由定义可知,抛物线的离心率为e=1.
例1：
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点M（2，-2 2 ）, 求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在 原点,并且经过点M（2,-2 2）,所以,可以设它的 标准方程为 y2=2px（p>0） 因为点M在抛物线上，所以（-2 2）2=2p· 2， 即 p=2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y2=4x
3x2-10x+3=0，
M
例3：
如图,直线y=x-2与抛物 线y2=2x相交于A,B两点,求 证:OA⊥OB.
O
y
●
B
F
x
A
（x-2）2=2x. 证明：将y=x-2代入y2=2x中，得 则 y=3± 5 -2=1± 化简得 x2-6x+4=0， 解得x=3± 5 ， 5
1+ 5 1因为k OB= ，k OA= 3+ 5 31 + 5 1所以k OB ·k OA= × 3+ 5 3所以OA⊥OB.
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
2.4.2__抛物线的简单几何性质.ppt
2
探究5 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，O为坐标原点， OA⊥OB，则直线AB是否过定点？ 求AB中点P的轨迹方程.
2
探究6 设抛物线 y 2 px 上两动点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )，M为该抛物线 上一定点，且MA⊥MB，则直线AB 是否过定点？
O
N
B1
F B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠, ∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一个公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线 y 2 px 的焦 点的一条直线和抛物线相交，两交 点的纵坐标为 y1 , y 2 ， 2 求证：y1 y 2 p .（焦点弦的其中 一条性质）
y A1 M1 A(x1,y1)
M
O F B(x2,y2) X
B p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 4 1 1 2 ( 3) | AF | | BF | P
2
1
(4) A, O , B1三点共线, B , O , A1三点共线
y
A1 A(x1,y1)
y2=2px(p>0)
M1
M
率为非零常数.
y0
变式1过抛物线 y 2 px ( p 0) 上一定 点 P ( x 0 , y0 )( y0 0) ，作两条直线分别 交抛物线于 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，若直 p 线AB的斜率为定值 ，证明直线 y0 PA与PB的倾斜角互补.
课件1：2.4.2 抛物线的简单几何性质
【自主解答】法一 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p＞0)． 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴2p＝5，∴p＝10. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
法二 由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴． ∴设抛物线的方程为 y2＝mx(m≠0)． 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5， ∴|m4 |＝5，∴m＝±20. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x.
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛
物线的哪些几何性质？ 【提示】范围、对称性、顶点、离心率．
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形
y 0, y R y 0, y R
x轴
y轴
(0,0) 1
(2)当 k＜1，且 k≠0 时，直线 l 与 C 有两个公共点； (3)当 k＞1 时，直线 l 与 C 没有公共点．
规律方法 判断直线与抛物线的位置关系通常使用代数法：将直线的方程 与抛物线的方程联立，整理成关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，利用判别式解决． Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离． (2)当 a＝0 时，方程只有一解 x＝－bc，这时直线与抛物线的对 称轴平行或重合．
双曲线的渐近线方程为 3x－y＝0 或 3x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离 d1＝
| 3×1－0| 3 2＋ －1
2＝ 23或 d2
＝
|
3×31＋2＋0| 12＝
3 2.
【答案】 B
题型二：直线与抛物线的位置关系的判断
2.4.2抛物线的简单几何性质3
练习：
1、求过定点（0，2），且与抛物线y2＝4x相 切的直线方程.
说明：（1）联立方程组，结合判别式求解 （2）注意斜率不存在的情形
2、顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x－y－4＝0 所得弦长为 3 5 ，求抛物线方程.
16 9
5
y
将x0
y02 64
代入得：
d
y02 16
3y0 46 5
y02
48
y0 80
16
46
,
(
y0
R)
.
OF x
当y0 24时,dmin 2 此时P(9,24)
另解：设直线4x 3y m 0与4x 3y
对称性 关于x轴对称
顶点 （0,0）
关于x轴对称
关于y轴对称
（0,0） （0,0）
关于y轴对称
（0,0）
焦半径
焦点弦 的长度
p 2
x0
p x1 x2
p 2
x0
p (x1 x2 )
p 2
y0
p y1 y2
p 2
y0
p ( y1 y2 )
复习回顾：
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：
直线与抛物线的 对称轴平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
三、例题选讲：
例1、已知直线l：y＝－x＋1和抛物线 C：y2＝4x，设直线与抛物线的交点为 A、B，求AB的长.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O
x
二、判断方法探讨 3、直线与抛物线的对称轴平行，相交于 一点。
例：判断直线 y = 6 y 与抛物线 y2 =4x 的 位置关系
O
计算结果：得到一 元一次方程，容易 x 解出交点坐标
二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交 与两点。 例：判断直线 y = x -1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得到一 元二次方程，需计 算判别式。相交。
( 3) AB x1 x 2 p
p2 ( 4 )x 1 x 2 , y 1y 2 p 2 4 1 1 2 ( 5) AF BF p
A1
A
o
B1
F ( x2 , y2 )
B
x
2p (6) AB sin2
例一、 点P在抛物线y2=x上，定点A(3,0),求|PA|的最小值。
2
交抛物线于A, B两点，A' , B'为A, B在准线上 的射影，
y
问：A FB ？
' '
A´
A' FB' 90
1 2 2
B´
1
x
y
A´
y
A ´
Q
x
B´
Q
x
B´
(2)
C
(3)
y
A´
C
y
A ´ Q
x
B ´ B´
N
x
D
(4)
(4)
探究二：角度（圆与直线位置关系）问题
已知过抛物线y 2 px( p 0)的焦点F的直线
P(x,y)
o
x
法二、判别式法
解：当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此时的 直线为L1，其方程为3x-4y-b=0。则L与L1的距离即为所求。
3x-4y+b=0 ① y=x2 ② ②代入①可得：4x2 -3x+b=0 ∴ ⊿=(-3)2-4×4×b=0 可得
y
y=x2
L1 L o x
9 b 16 L与L 1的 距 离 是
d
6 (
9 16
)
3 2 ( 4 ) 2
87 80
为所求 .
练习：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点 A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边△ABP，其顶点P 在抛物线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面积 及此时点P的坐标。 分析1：动点在弧AB上运动，可以设 L y 出点P的坐标，只要求出点P到线段 A(4, AB所在直线AB的最大距离即为点P到 4)
>0
相交
=0
相切
<0
相离
思考 1:(课本第 71 页例 6) 已知抛物线的方程为 y 2 4 x , 直线 l 过定 点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
分析:用坐标法解决这个问题,只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况, 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.
B´
1 1 2 AF BF p
探究四：最值问题
已知线段AB为抛物线y 2 2 px上的动弦，且 AB a(a为常数，且a 2 p )，
此时AB处在何位置？
y
问：AB中点M 到准线L的最短距离是多少？
B
'
B
M' 0 F M x A' A
L
小结：
（1）转化的思想；
y
（2）定义的理解.
O
x
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交（一个交点）
相交
相切
相离
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二） 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物线 相交(一个交点)
当 k 0 时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= 16(2k k 1)
2
①当△=0 时,即 K=-1 或 1/2
……
……
……
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 y 1或 x 0或 y 直线的方程是__________________________. x 1
已知过抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点F的直线 交抛物线于A, B两点，这两点的横坐标分别 为x1，x2，
y
问： ? AB
(x1,y1)
A´
AB x1 x2 p
x
B´
(x2,y2)
探究二：角度（圆与直线位置关系）问题
已知过抛物线y 2 px( p 0)的焦点F的直线
弦长问题: 2.已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上,顶点 A 、 在抛物线 y2 x 上,求正方形的边长. B
解：设 AB 的方程为 y=x+b, y xb 由 2 消去 x 得 y2-y+b=0， y x
设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
法一、目标函数法
解 ： 设P( x , y ) P点 在 抛 物 线 上 ， y 2 x PA ( x 3) 2 y 2
x 2 6x 9 x x 2 5x 9 5 2 11 (x ) 2 4 11 。 2
5 当x 时 ， 取 最 小 值 PA 2
y k x 1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky2 4 y 4 0
过点且与抛物线只有一个 公共点的直线的条数
过点1
过点2 过点3
3条
2的位置关系 ⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线 的对称轴平行; 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平 行于抛物线的对称轴; 相离:直线与抛物线无公共点. ⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是: ①方程组有一组解 直线与抛物线相交或相切(1 个公 共点; ②方程组有两组解 直线与抛物线相交(2 个公共点); ③ 方程组无解 直线与抛物线相离
2
交抛物线于A, B两点，A , B 为A, B在准线上
' '
的射影，Q为A B `的中点
`
y
A´
AFQ 90
Q
x
B´
探究二：角度（圆与直线位置关系）问题
已知过抛物线y 2 px( p 0)的焦点F的直线
2
交抛物线于A, B两点，A , B 为A, B在准线上
' '
的射影，Q为A B `的中点
若P为抛物线y2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上一 动点，求|PQ|的最小值 11
2 1
例二、 设P为抛物线y= x2上的一动点，求P点到直线 L: 3x-4y-6=0的距离的最小值。 法一、目标函数法 y=x2 y 解：设P( x, y )
P点在抛物线上， y x 2 3x 4y 6 d 5 5 3 87 4( x ) 2 8 16 5 3 87 当x 时，d有最小值为 。 8 80 3x 4x 2 6
解:依题意直线 l 的方程为 y 1 k ( x 2)
y 1 k( x 2) 消去 x 可得 ky2 4 y 4(2k 1) 0(Ⅰ) 联立 2 (*) y 4x 当 k 你认为是消 x 呢,还是消 y 呢? 0 时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点
思考 1:(课本第 71 页例 6) 已知抛物线的方程为 y 2 4 x , 直线 l 过定 点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
思考 1:(课本第 71 页例 6) 已知抛物线的方程为 y 2 4 x , 直线 l 过定 点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
F'
(x1,y1)
p2 x1 x2 , y1 y2 p 2 4
x
(x2,y2)
B ´
探究三：定值问题
2
(2)已知过抛物线y 2 px( p 0)的焦点F的直线 1 1 交抛物线于A, B两点， 问： ? AF BF
y
M
A´
N
x
AF AF p BF p BF
1 ∴ AB 1 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=
( y1 y1 )2 4 y1 y2 = 2 8b ，
,由 ABCD 为正方形有 2 8b =
4b 2
4b 2
,
解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .
抛物线焦点弦
探究一：弦长问题
2.4.2抛物线的简单几 何性质(3)
抛物线的简单几何性质(三)
直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经 接触了一些,在我们看来就是三句话的实践: (一)设而不求; (二)联立方程组,根与系数的关系; (三)大胆计算分析,数形结合活思维.
这一节我们来做几个关于直线与抛物线 的问题……
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
' '