第10章曲线积分和曲面积分第七节

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《高等数学》第十章曲线积分与曲面积分

x2
dS y2

z2

2
Dxz
(1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
D1 (1
1 z2)
1
x2
dxdz

4
lim
a1

D1
(1

z
2
1 )
1
x2
dxdz

4
lim
a1
01dz
a
0
(1

1 z2)
1
x2
dx
lim arcsina
a1

2
2
.
z
1
y
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy,
z

1
其中是圆柱面 x2 y2 1 o
在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧. x 1
y
1
例1
计算

x2
dS y2

z2
,
其中是界于平面 z = 0 及
z = 1 之间的圆柱面 x2 y2 1.

1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 ,
dS
1
(
y1 x
)2

(
y1 z
)2
dxdz

1 dxdz. 1 x2

1
x2
dS y2

z2

Dxz
1 1 z2

1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 , 将曲面右向 xoz 面投影，得

高等数学第十章曲线积分

y x
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L

高等数学第10章曲线积分与曲面积分

79
80
81
82
10.7.2 旋度的定义及其物理意义
83
84
85
66
67
实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发，蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出现的现象
第10章曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系，并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续，有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为

第10章曲线积分与曲面积分习题 10- (7)

dxdy ∂ ∂z x− y
a
a
y
x
图 10.50
= ∫∫ −2dydz − 2dzdx − 2dxdy
∑
(化为非组合曲面积分)
1
b 2(a + b) = −2∫∫ ( + 0 + 1)dxdy = − ∫∫ dxdy a a ∑ ∑
=−
2(a + b) 2(a + b) 2 ∫∫ dxdy = − a ⋅ πa = −2πa(a + b). a D
如图 10.55 所示, 取 ∑ 为平面 z = 0 上被 Γ 所围的部分, 取上侧, 则 Γ 是 ∑ 的正向边界. 利用斯托克斯公式, 可得
3
∫ Γ ( x − z )dx+(x
= ∫∫
∑
3
+yz )dy − 3 xy 2 dz dxdy ∂ ∂z
z
2
dydz ∂ ∂x
dzdx ∂ ∂y
z = 2 − x2 + y 2
3 3 3
∑
z3
x3
y3 O
z = 2( x 2 + y 2 )
1
= ∫∫ 3 y 2 dydz + 3z 2 dzdx + 3x 2 dxdy
∑
y
x
图 10.54
= ∫∫ 3x 2 dxdy =
∑
Dxy
∫∫ 3x dxdy
2
= 3∫ cos 2θ dθ ∫ ρ 3dρ =
0 0
2π
1
3 π. 4
2. (1)
rot r ;
i
(2)
j
rot[ f (r ) r ].

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第10章课后习题详解

第10章课后习题详解曲线积分与曲面积分例题分析★★1. 计算ds y x L⎰+)(，其中L 为连接)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 的闭折线。

知识点：第一类曲线积分.思路: L 由三段直线段组成，故要分段积分.解：如图L OA =AB +BO +则=+⎰ds y x L)(⎰+OA(⎰+AB⎰+BOds y x ))(10,0:≤≤=x y OA ，dx dx y ds ='+=2)(1，2121)0()(1021==+=+∴⎰⎰x dx x ds y x OA10,1:≤≤-=x x y AB ，dx dx y ds 2)(12='+=， 2221)(1010==⋅=+∴⎰⎰x dx ds y x AB注：利用被积函数定义在AB 上，故总有1),(=+=y x y x f10,0:≤≤=y x BO ，dy dy x ds ='+=2)(12121)0()(1021==+=+∴⎰⎰y dy y ds y x BO2121221)(+=++=+⎰ds y x L. 注：1)⎰⎰+=+BAABds y x ds y x )()(，⎰⎰+=+OBBOds y x ds y x )()(对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大. 2)对AB 段的积分可化为对x 的定积分，也可化为对y 的定积分，但OA 段，OB 段则只能化为对x （或对y ）的定积分.★★2.计算⎰L yds ，其中L 为圆周4)2(222a a y x =-+.知识点：第一类曲线积分.思路: L 为圆周用极坐标表示较简单.解：L 的极坐标方程：πθθ≤≤=0,sin a rθθθθθad d a a d r r ds =+='+=2222)cos ()sin ()(θθ2sin sin a r y ==∴22020222212212sin 2sin a a d aad a yds Lππθθθθππ=⋅⋅==⋅=⎰⎰⎰.★3. 计算曲线积分⎰Γ++ds z y x 2221，其中Γ为曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,应于t 从0到2的一段弧.知识点：第一类曲线积分.思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：dt e dt e t e t e dt z y x ds t t t t 3 )sin ()cos ()()()(222222=+'+'='+'+'=∴原式=dt e dt e e tt t-⎰⎰=+⋅2222t 2331e 1)1(2323220---=-=e e t . ★★★1. 计算曲线积分⎰Γ++ds xz z x 22，其中Γ为球面2222R z y x =++与平面0=++z y x 的交线。

第10章-曲线积分与曲面积分高等数学教学课件

f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有

高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)教学内容

切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，转换。
L( AB) 是直线时，则 L ( AB)
可能采用两类不同的曲线积分的
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q( x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
QP
P(x, y)dx Q(x, y)dy
L( AB )
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k , k ) xk
f ( k , k , k ) yk
f ( k , k , k ) zk ]
k1
其中 (T ) 表示分割曲线 L( AB ) 的分法 T 的细度，即 n 段的最大弧长， ( k , k ) 是第 k 段弧
上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力 F 沿曲线 L 所作的功，被积函数 P ( x, y), Q (x, y) 或
(P cos
L ( AB )
F ds
L ( AB )
dQy ds Q cos
dzR d s ds R cos )d s
其中 cos ,cos ,cos 是曲线 AB 上的点的切线的方向余弦，且
dx cos ds,d y cos ds,d z cos ds
一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线
注 5 计算第二类曲线积分，不论积分曲线是平面曲线还是空间曲线，都有两个方法：（ 1）平面曲线积分：将曲线积分转化为定积分或重积分；
（ 2）空间曲线积分：将曲线积分转化为定积分或曲面积分。
例 5 计算
y2dx
L
x2dy ，其中 L 为上半椭圆：
x2 a2

大学高数第十章曲线积分与曲面积分课后参考答案及知识总结

解：设围的区域为D
，
原式=
注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有 .
★★4.利用曲线积分，求星形线所围成图形的面积。
解：由公式
★★5.求双纽线所围区域的面积。
解：双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算，其中为圆周的顺时针方向。
解：参数方程为：变化从到
原式
原式
法二：线积分与路径无关。
原式 =
★★15.利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：
(1) ;
(2) ;
(3) .
解：(1) ,
是某函数的全微分
.
(2)
是某函数的全微分
.
(3)
是某函数的全微分
★★16.设有一变力在坐标轴上的投影为，，改变力确了一个力场.
证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.
(1)螺旋形弹簧关于轴的转动惯量 ;
(2)螺旋形弹簧的重心.
解:
(1)
.
(2)
螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为：
同法得：
.
,
.
提高题
★★★1.计算，其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解：与在第一象限的交点为 .
如图：
;
; .
则原式
★★★★2.计算，其中为圆柱面与锥面的交线.
解：摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分，其中为螺旋线上相应于从到的一段弧。
解：
原式
★★6.计算曲线积分，其中为折线 ,这里 , , , 依次为点，，， .
解：如图，原式=

高等数学第十章曲线积分与曲面积分第七节斯托克斯公式环流量与旋度

∑
∑
P Q R + + Gauss 公式 : ∫∫∫ ( )dV x y z = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ;
二,Stokes公式的简单的应用
例 1 计算曲线积分 ∫ zdx + xdy + ydz ,
Γ
其中 Γ 是平面 x + y + z = 1 被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.
§7. 斯托克斯(stokes)公式一,斯托克斯公式
定理设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线,∑ 是以
Γ 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ 的正向与 ∑
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面∑ 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
Q P P R R Q ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
n
∑
右手规则
Γ 是有向曲面 ∑ 的
边界曲线
z
n
Γ
如图设∑与平行于 z 轴的直线
相交不多于一点, 并∑取上侧,有向曲线 C 为∑的正向边界曲线 Γ 在 xoy 的投影.且所围区域 D xy .
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立.
Q P P R R Q ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy ∑

高数第十章曲线积分与曲面积分

曲线积分
计算
定积分
计算
Stokes公式计算曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系

定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题：如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I

L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭

( y 2 z 2 ) dS; I z

( x 2 y 2 ) dS
曲面质心：曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y

ydS ydS

dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS

15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中，，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条件等

微积分第十章曲线积分与曲面积分

lo
δ2
T < δ1 l(T ) −
p
n n
x 2 (ti ) + y 2 (ti ) + z 2 (ti )∆ti < ε
i=1
∆ti = ε(β − α).
i=1
(10.1.1)
p w
w`i
n i=1
x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)
V
[α, β ]
aU'UyUUtUgudvxV gudo
β
7 89 @ gUU´ HUµ¶ ' 'fR
α
r = r (x(t), y (t), 0),
i {U·
l0 =
x 2 (t) + y 2 (t)dt.
3
suº ¹»¼9 @ d S g ~ E ¹»¼94@ ½¾ ¿ ÀÁÂ @
10.1.1
'j ¹ @¹ ¿ s Ã i S @ ¹ ÄÅfRh x 'gh 8 iph 'ÆÇ ÈÉÊ ËÌ @¹ a' ~ qÕÖ ²³ F 7 8 ' 9 @ a Ò VUÍUÎ`ÏTÐ`&9 dÒ Ñ Ó À Ô V x×Ø ÙÚ jÛ @ q'ÜÝ Þß 6 78 & js' »¼à94@ d ~ V H 9 @ ¹ e a'B ¹ qh Ô ¹ q w Xá ( â 'E VãXá am jh ¾ B V
4 = 2π R2 + π 2 k 2 3
'¥¨UþUgUu S
.
xρ(x, y, z )dl , yG = ρ(x, y, z )dl

高数课件第十章曲线积分与曲面积分

Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分物质曲线质量）（物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分变力作功）（变力作功） 3. 第一类曲面积分曲面薄板质量）（曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分通量）（通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L

第十章曲线积分与曲面积分

1 2( y)dy.
L
c
(c d)
推广: : x (t), y (t), z (t). ( t )
f ( x, y, z)ds

f [(t), (t),(t)]
2(t) 2(t) 2(t)dt

( )
L

R3 2
[

s in 2
2
]
R3( sin cos ).
兰州交通大学数理与软件工程学院
几何意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
当 f ( x, y) 1时,
L弧长
ds;
L
(3) 当 f ( x, y)表示立于L上的柱面在点( x, y)处的高时,
兰州交通大学数理与软件工程学院
例1 计算 L yds, 其中 L 是抛物线 y x2 上点
O(0,0) 与点 B(1,1) 之间的一段弧。
解由于 L 由方程
给出，因此
y x2
(0 x 1)
yds
1
x2
1 ( x2 )'2 dx
1
x
1 4x2 dx
L
0
积分弧段
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
兰州交通大学数理与软件工程学院
2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分
L f ( x, y)ds 存在.
3.推广:
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为
n

第10章曲线积分和曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green ）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass ）公式和斯托克斯（Stokes ）公式并会计算两类曲面积分。

5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。

6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。

二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分 2学时第二节对坐标的曲线积分 2学时第三节格林公式及其应用 2学时习题课 2学时第四节对面积的曲面积分 2学时第五节对坐标的曲面积分 2学时第六节高斯公式通量与散度 2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度 2学时习题课 2学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。

5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。

1、引例：求曲线形构件的质量最后举例巩固计算方法的掌握。

2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。

若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mdsz y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰Γ4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。

第10章 曲线积分和曲面积分 第七节

《高等数学》第十章 曲线积分与曲面积分

高等数学第十章曲线积分

高等数学第10章 曲线积分与曲面积分

第10章 曲线积分与曲面积分 习题 10- (7)