第六章偏导数与全微分(专升本微积分)
偏导数和全微分的关系
偏导数和全微分的关系在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在物理、工程、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将探讨偏导数和全微分的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义偏导数是指函数在某一点处关于其中一个自变量的变化率。
设函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点$(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数为：$$frac{partial f}{partial x_i}=lim_{Delta x_ito0}frac{f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_i^0+Delta x_i,cdots,x_n^0)-f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)}{Delta x_i}$$其中 $Delta x_i$ 是 $x_i$ 的增量。
二、全微分的定义全微分是指函数在某一点处的微小变化量。
设函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 在该点的全微分为：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$其中 $dx_i$ 是 $x_i$ 的微小增量。
三、偏导数和全微分的关系对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，偏导数和全微分之间有以下关系：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$全微分 $df$ 可以看作是各个偏导数的线性组合。
这个公式可以被看作是对 $f$ 的微小变化的一种描述。
偏导数与全微分
若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
06第6章 偏导数与全微分
两个向量减法的三角形法则:将向量 a 与 b 的起点重合,则从 b 的 终点到 a 的终点的向量就是向量 a 与 b 的差 a-b. (如图 6-6).
b a 图 6-4 a+b a+b b a 图 6-5 图 6-6 b a-b a
向量加法满足的运算规律: 交换律:a+b=b+a 结合律(a+b)+c=a+(b+c)
z z
Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅱ
yOz平面 xOz平面
o
xOy平面
x
y
Ⅶ
O Ⅵ Ⅴ
y
xⅧ图 6-1 Nhomakorabea图 6-2
空间直角坐标系中的点 M 的坐标为有序数组 (a, b, c) , 其中 a, b, c 分别称为横坐标、纵坐标和立坐标.
6.1.2
1.向量的基本概念
向量的概念及其线性运算
向量:既有大小又有方向的量称为向量(或矢量),如速度、 位移等. 向量的表示:用黑体小写的字母表示向量，如a ,b ,c 等， 也用 a, b, c 等表示向量.在几何上,向量可用从起点到 终点的有向线段来表示.如：向量AB （如图 6-3）. 向量的模:有向线段的长度表示向量的大小,称为向量的 模, 记作 AB 或a , 向量的方向:有向线段的方向表示向量的方向. A B
第6章
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
偏导数与全微分
空间直角坐标系与向量的概念 多元函数的极限与连续 偏导数 全微分 多元函数的极值
6.1 空间直角坐标系与向量的概念
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 空间直角坐标系 向量的概念及其线性运算 向量的坐标表示 向量的点积与叉积 内容小结
偏导数与全微分的计算
偏导数与全微分的计算在微积分中，偏导数与全微分是重要的概念和工具，用来描述函数在不同方向上的变化率和近似值。
本文将介绍偏导数与全微分的计算方法及其应用。
一、偏导数的计算偏导数用来计算函数在某一变量上的变化率，而其他变量保持不变。
计算偏导数的方法可以通过对该变量求导来实现。
以二元函数为例，假设有一个函数f(x, y)，我们想要计算它关于x的偏导数。
可以通过以下步骤来进行计算：1. 将函数f(x, y)视为关于x的函数，将y视为常数；2. 对x求导，即将y视为常数进行求导运算；3. 求导后得到的结果即为函数f(x, y)关于x的偏导数。
同样地，如果我们想要计算f关于y的偏导数，可以将函数f(x, y)视为关于y的函数，将x视为常数，然后对y求导。
二、全微分的计算全微分描述了函数在某一点上的微小变化，可以用于近似计算函数值的变化。
全微分的计算可以通过以下步骤来实现：1. 将函数f(x, y)进行展开，得到函数的微分形式；2. 将微分形式中的dx和dy代入函数的具体值；3. 计算展开后的函数值，得到函数在某一点上的全微分。
具体地，在计算全微分时，可以使用以下公式来表示：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f关于x和y的偏导数，dx和dy表示自变量的微小变化量。
三、应用实例偏导数和全微分在许多领域中都有广泛的应用。
以下是两个应用实例：1. 物理学中的运动学在物理学中，偏导数和全微分常常用于描述物体在空间中的运动。
通过计算速度和加速度的偏导数，可以获得物体在不同时间点上的运动状态。
全微分则可用于近似计算物体在某一时刻的位移。
2. 经济学中的边际效应在经济学中，偏导数和全微分常常用于计算边际效应。
通过计算函数对某一变量的偏导数，可以了解某一因素对函数值的影响程度。
全微分则可用于近似计算函数值的变化量。
总结：偏导数和全微分是微积分中重要的概念和工具，用于计算函数的变化率和近似值。
偏导数和全微分
偏导数和全微分偏导数和全微分是微积分中一些重要的概念，用于描述多变量函数的变化情况和进行近似计算。
我们来看偏导数。
在一元函数中，导数描述了函数在某一点上的变化速率，而在多元函数中，一个变量的变化并不仅仅受到其他变量的影响，而是受到多个变量的共同影响。
我们需要引入偏导数，用于表示多元函数中一个变量的变化情况。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中各个变量都是相互独立的，我们可以对其偏导数进行求解。
对于变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他变量保持不变的情况下，函数关于xi的变化速率。
偏导数与导数类似，可以用极限的定义来解释。
对于变量xi，其偏导数可以通过限制其他变量，并将函数看作一元函数进行求解，然后取极限得到。
例如，对于函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) - f(x, y))/Δx。
我们来看全微分。
全微分是对多元函数进行近似计算的一种方法。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为变量的微小增量。
全微分的含义是，当各个变量的微小增量dx1, dx2, ..., dxn趋于0时，函数f的微小增量df与各个偏导数的乘积之和趋于一致。
全微分可以看作是函数在某一点上的线性近似，用于描述函数在该点附近的变化情况。
全微分也可以通过偏导数的极限定义来求解，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn = lim(Δx1→0, Δx2→0, ..., Δxn→0) (f(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn) - f(x1, x2, ..., xn))。
总结起来，偏导数用于描述多元函数中一个变量的变化速率，而全微分用于对多元函数进行近似计算。
偏导数与全微分的概念与应用
偏导数与全微分的概念与应用在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将对偏导数和全微分的概念进行解释，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的概念偏导数是多元函数的导数的一种扩展。
对于一个函数，当它有多个变量时，我们可以将其中的一个变量视为其他变量的常数，然后对该变量求导数，这就是偏导数。
数学上，对于一个函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，它的偏导数表示为$\frac{{\partial f}}{{\partialx_i}}$，表示在其他变量固定的情况下，函数$f$关于变量$x_i$的变化率。
二、全微分的概念全微分是函数在某一点附近的线性逼近。
对于一个函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，在某一点$(x_1,x_2,...,x_n)$处，其全微分表示为$df=\frac{{\partial f}}{{\partial x_1}}dx_1+\frac{{\partial f}}{{\partialx_2}}dx_2+...+\frac{{\partial f}}{{\partial x_n}}dx_n$。
全微分可以表示函数在该点附近的微小变化。
三、偏导数与全微分的应用1. 最优化问题在最优化问题中，偏导数和全微分是非常重要的工具。
通过求取偏导数，我们可以找到函数的极值点。
全微分可以帮助我们理解函数在极值点处的行为，并判断其是否为极值点。
2. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
偏导数和全微分可以用于推导泰勒展开的形式，从而更好地理解函数的性质和行为。
3. 物理学中的应用偏导数和全微分在物理学中也有广泛的应用。
例如，在力学中，速度、加速度等物理量通常与时间和位置有关，通过对这些物理量求偏导数，我们可以得到在某一时刻的速度和加速度。
全微分可以用于描述物理量在微小变化下的行为。
4. 经济学中的应用经济学中的边际分析常常需要用到偏导数和全微分。
全微分和偏导数
全微分和偏导数是微积分中的重要概念。
它们分别用来描述函数在某一点处的变化和变化率，具有广泛的应用。
本文将从基本概念入手，逐步探讨的性质和应用。
微分的概念可以追溯到17世纪，牛顿和莱布尼茨是微积分的奠基人。
在微分学中，微分是函数在某一点处的近似线性变化的表示。
全微分是一种更加精确的描述，它在数学上可以通过偏导数来表示。
首先，我们来介绍偏导数。
偏导数是多元函数对各个自变量的导数。
对于一个多元函数而言，存在多个自变量，而偏导数只考虑其中一个自变量的变化对函数值的影响。
以二元函数为例，如果函数z=f(x,y)，则f对x的偏导数记作∂f/∂x，表示函数在不改变y的情况下，对x的变化的敏感程度。
偏导数的求法与普通导数类似，只是要将其他自变量视为常数进行计算。
例如，对于函数z=3x^2+2y，其对x的偏导数为∂z/∂x=6x，对y的偏导数为∂z/∂y=2。
偏导数可以看作是函数在某一方向上的变化率，例如∂z/∂x表示函数在x方向上的变化率。
全微分提供了更加精确的描述函数变化的工具。
全微分是函数的线性逼近。
对于函数z=f(x,y)，全微分为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
其中dx和dy分别表示自变量x 和y的变化量。
全微分可以理解为函数值的增量与自变量的增量的线性组合，它描述了函数在某一点的变化情况。
全微分可以进一步扩展到多元函数的情况。
对于函数z=f(x_1,x_2,...,x_n)，其全微分为dz=∂z/∂x_1*dx_1+∂z/∂x_2*dx_2+...+∂z/∂x_n*dx_n。
全微分在物理学、经济学和工程学等领域具有广泛应用。
例如在物理学中，全微分可以用来描述物理量之间的关系。
在经济学中，全微分可以用来分析边际效应和弹性等概念。
在工程学中，全微分可以用于设计优化和系统控制等问题。
是微积分中相互关联的概念。
全微分提供了更加精确的函数变化描述，而偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
它们在研究函数的性质、优化问题和建立数学模型等方面有着重要的作用。
偏导数与全微分的概念与计算
偏导数与全微分的概念与计算在微积分中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在各个科学领域中都有广泛的应用，尤其在物理学、经济学和工程学等领域中更是不可或缺的工具。
本文将介绍偏导数和全微分的基本概念，并探讨它们的计算方法和应用。
一、偏导数的概念与计算在多元函数中，如果我们只关注某一个变量对函数的变化率，而将其他变量视为常数，那么我们就可以引入偏导数的概念。
偏导数表示了函数在某个特定方向上的变化率。
对于一个函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，它的偏导数可以用以下符号表示：$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$其中，$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$表示对于变量$x_i$的偏导数。
例如，对于一个二元函数$f(x, y)$，它的偏导数可以表示为$\dfrac{\partial f}{\partial x}$和$\dfrac{\partial f}{\partial y}$。
计算偏导数的方法与计算普通导数的方法类似。
对于一个以$x_i$为变量的函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，我们只需要将函数中所有不含$x_i$的变量视为常数，然后对$x_i$求导即可。
例如，对于函数$f(x, y) = x^2y + \sin(xy)$，我们先计算$\dfrac{\partial f}{\partial x}$，将变量$y$视为常数，得到：$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy)$同理，计算$\dfrac{\partial f}{\partial y}$，将变量$x$视为常数，得到：$\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\cos(xy)$通过计算偏导数，我们可以了解函数在不同方向上的变化率。
这对于优化问题、最小二乘法等应用非常重要。
《偏导数和全微分》课件
光学：描述光场、折射率场等物理量
量子力学：描述波函数、概率密度等物理量
相对论：描述时空弯曲、引力场等物理量
全微分在几何中的应用
计算曲面的切平面
计算曲面的法线
计算曲面的曲率
计算曲面的旋转曲面
全微分在物理中的应用
力学：计算力、力矩、能量等物理量
热力学：计算温度、压力、体积等物理量
电磁学：计算电场、磁场、电磁波等物理量
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全微分的几何意义
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全微分描述了函数在某点处的变化趋势
全微分是函数在某点处的线性近似
全微分是函数在某点处的切线斜率
全微分是函数在某点处的切线方程
全微分的物理意义
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全微分表示函数在某点处的变化率
全微分是函数在某点处所有偏导数的线性组合
全微分可以用来计算函数在某点处的变化量
全微分是微积分中的重要概念，用于解决实际问题
偏导数和全微分的应用
偏导数在几何中的应用
求曲线的切线斜率
求曲面的切平面参数方程
求曲面的切平面法线
求曲面的切平面方程
偏导数在物理中的应用
力学：描述力场、速度场、加速度场等物理量
热力学：描述温度场、压力场等物理量电磁学：描述电场、磁来自等物理量偏导数的物理意义
偏导数可以用于求解多元函数的极值和条件极值
偏导数是函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述函数在某一点处的局部性质
偏导数可以用于求解多元函数的梯度和方向导数
全微分的概念
全微分的定义
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偏导数与全微分
偏导数与全微分
让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元 函数的一些简单知识： 函数的一些简单知识：
* 一、二元函数的概念
1. 二元函数的定义 . 定义 1 设有三个变量 x , y 和 z , 如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时 变量 z 按 在一定范围内任意取定一对数值时. 照一定的规律 f , 总有确定的数值与它们对应， 则 总有确定的数值与它们对应， 的二元函数， 称 z 是 x , y 的二元函数， 记为
x z = f ( x 0 + x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) .
xz 如果当 x → 0 时， 比值 的极限存在， 的极限存在， x
则称此极限值 为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 的偏导数， 对 x 的偏导数， 记作
z x
即
, f x = x0 x
f ( x 0 , y0 + y ) - f ( x 0 , y0 ) lim . = lim y →0 y y →0 y
记作
z y ,
yz
x = x0 y = y0
f y
x = x0 y = y0
,
z ′y
x = x0 y = y0
或 f y′ ( x0 , y0 ),
称为函数 其中 y z = f ( x 0 , y 0 + y ) f ( x 0 , y 0 ) 称为函数 z 的偏增量. 对 y 的偏增量.
关于2.7.3 关于2.7.3 二元复合函数的微分法 2.7.4 二元函数的无条件极值 同学们可以自己有兴趣阅读
2
y
y
y2 >2x1
y<x
偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系偏导数和全微分是微积分学中基本的概念，它们之间有着密切的关系。
在科学研究和工程应用中，这两个概念经常被用来求解复杂的问题。
本文将探讨偏导数和全微分之间的关系，以及它们在实际应用中的意义。
一、偏导数的定义和意义在微积分学中，偏导数是指在函数多元的情况下，对其中一个自变量求导，而把其他自变量看作常数的导数。
例如，对于函数$f(x,y)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示在 $y$ 固定的情况下， $f$ 相对于 $x$ 的变化量。
同样地，$\frac{\partialf}{\partial y}$ 表示在 $x$ 固定的情况下，$f$ 相对于 $y$ 的变化量。
偏导数在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，偏导数可以用来求出某个物理量相对于时间的变化率，从而可以计算出这个物理量在不同时间点的取值。
在工程学中，偏导数可以用来计算出某个个体参数对系统的影响，从而帮助调节系统，以使其工作在最佳状态。
二、全微分的定义和意义全微分是指在函数多元的情况下，对于自变量的微小变化，函数值相对于自变量的变化量。
其数学表达式为：$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$$其中 $\Delta x,\Delta y$ 为自变量的微小变化量，$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别表示函数 $f(x,y)$ 关于 $x,y$ 的偏导数。
全微分可以用来描述函数在某个点处的变化趋势。
例如，对于函数 $f(x,y)$，在某个点 $(x_0,y_0)$ 处的全微分 $df(x_0,y_0)$，可以用来描述函数 $f$ 在这个点处的斜率，从而反映函数在这个点的变化趋势。
偏导数与全微分解析
偏导数与全微分解析偏导数和全微分是微积分中的重要概念，用来描述多变量函数的变化率和微小变化。
在本文中，我们将深入探讨偏导数和全微分的定义、计算方法和应用。
一、偏导数偏导数是用来描述多变量函数在某一点上沿着某个特定方向的变化率。
对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以分别表示为∂f/∂x和∂f/∂y，表示函数在x轴和y轴上的变化率。
计算偏导数的方法为将函数中的其他变量视为常数，只对所求的变量求导。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + cos(xy)，要计算∂f/∂x，我们将y视为常数，对x求导得到2x - ysin(xy)。
偏导数的存在性与连续性紧密相关。
如果一个函数在某一点处的偏导数存在且连续，那么该函数在该点可微。
二、全微分全微分是用来描述多变量函数在某一点上的微小变化量。
对于一个二元函数f(x, y)，其全微分df可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
全微分可以看做是偏导数的线性组合，表示函数在该点的微小变化量。
在数学中，全微分在解析几何和微分几何中有广泛的应用。
由于全微分是偏导数的线性组合，其计算方法与偏导数类似。
通过对变量的求导，我们可以计算出全微分的数值。
对于函数f(x, y) = x^2+ cos(xy)，可以计算出其全微分df = 2x * dx - ysin(xy) * dx + (-xsin(xy)) * dy。
三、偏导数与全微分的应用偏导数和全微分在物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，偏导数和全微分可以描述物体在多个方向上的运动变化率和微小变化量。
在经济学中，偏导数和全微分可以描述不同变量对经济模型的影响程度和微小变化的效应。
在工程学中，偏导数和全微分被广泛应用于优化问题和控制系统设计。
通过求取偏导数，可以找到函数的驻点和最值点，从而优化系统的性能。
通过求取全微分，可以找到系统在某一点上的微小变化量，从而进行控制系统的设计和分析。
二元函数的偏导数与全微分
二元函数的偏导数与全微分二元函数是指有两个自变量的函数，例如 $z=f(x,y)$，其中$x$ 和 $y$ 是自变量，$z$ 是因变量。
在微积分中，二元函数的偏导数和全微分是比较重要的概念。
一、偏导数的定义偏导数是指在多元函数中，对某一个变量求导时，把其他变量当作常数来对函数进行求导。
对于二元函数 $z=f(x, y)$，它的偏导数可以用符号 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partialz}{\partial y}$ 表示。
其中 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 表示当$y$ 固定时，$z$ 对 $x$ 的变化率；$\frac{\partial z}{\partial y}$ 表示当 $x$ 固定时，$z$ 对 $y$ 的变化率。
例如，二元函数 $z=x^2y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y}$，则有：$$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=x^2$$二、全微分的定义对于二元函数 $z=f(x,y)$，它的全微分可以表示为：$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partialy}dy$$全微分表示 $z$ 在 $(x, y)$ 处的微小变化量，可以理解为$z$ 的无限小增量。
全微分的概念在微积分中有着广泛的应用，如求方程组的解、最大值、最小值等。
例如，对于二元函数 $z=x^2y$，它的全微分可以表示为：$$dz=2xydx+x^2dy$$三、偏导数与全微分的关系对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数与全微分有着密切的联系。
根据全微分的定义，可以推导出：$$\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$将上述式子代入全微分，可以得到：$$dz=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Deltax}dx+\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}dy$$当 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 趋近于 $0$ 时，可以认为二元函数$z=f(x,y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分。
偏导数与全微分
偏导数与全微分偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念和工具。
它们在求解多元函数的极值、优化问题以及微分方程的应用中起到了关键作用。
本文将介绍偏导数和全微分的定义、性质以及在实际应用中的意义和应用。
一、偏导数偏导数是对多元函数在某一变量上求导的一种推广。
对于函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi，即对变量 xi 进行微小变化时，函数 f 的变化量与 xi 的变化量之间的比率。
如果 f 在某一点处的偏导数存在，那么它就是该点的切线斜率。
偏导数可以用几何上的切线来理解，它告诉我们函数在每个变量方向上的变化率。
偏导数的计算方法和一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导。
例如，对于函数 f(x, y) = x² + 2xy + y²，在求∂f/∂x 时，将y 视为常数，得到∂f/∂x = 2x + 2y。
同理，求∂f/∂y 时，将 x 视为常数，得到∂f/∂y = 2x + 2y。
偏导数不仅可以求一阶偏导数，还可以求高阶偏导数。
二阶偏导数表示对函数的一阶偏导数再次求导，例如∂²f/∂x² 表示对 x 的偏导数再对 x 求导。
高阶偏导数也有类似的定义。
二、全微分全微分是在偏导数的基础上推广出来的概念。
对于函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，它的全微分表示为df = ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ... + ∂f/∂xndxn。
全微分可以看作是多元函数的线性逼近。
在某一点处，函数值的增量可以近似表示为各个自变量的增量与其对应的偏导数之积的总和。
全微分的重要性在于它可以帮助我们理解函数的微小变化对应的函数值的变化。
在实际应用中，我们常常使用全微分来近似计算函数值的变化。
三、偏导数与全微分的应用1. 极值和最优化问题：偏导数和全微分可以帮助我们找到多元函数的极值点和最优化问题的解。
通过求解偏导数为零的方程组，我们可以找到函数的驻点，并通过二阶偏导数的正负判断是否为极值点。
第6讲-偏导数与全微分
第6讲 多元函数的偏导数与微分讲授内容一、偏导数定义 设函数.),(),,(D y x y x f z ∈=若D y x ∈),(00，且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限xy x f y x x f xz x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(limlim00000存在时，称这个极限为函数f 在点),(00y x 关于x 的偏导数，记作()00,y x f x 或().00,y x xf ∂∂类似有，若极限yy x f y y x f yz y y y ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(limlim00000存在时，它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数，记作()00,y x f y 或().00,y x yf ∂∂注意1 这里符号yx ∂∂∂∂,专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号dxd 相仿，但又有差别．若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数，则得到函数),(y x f z =在区域D 上对x （或对)y的偏导函数（也简称偏导数），记作),(y x f x 或xy x f ∂∂),( ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f y x f y ),(,或，也可简单地写作x f ，x z 或x f∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂.,y f z f y y 或在上一章中已指出，二元函数),(y x f z =的几何图象通常是三维空间中的曲面．设()0000,,z y x P 为这曲面上一点，其中),(000y x f z =，过0P 作平面0y y =，它与曲面的交线⎩⎨⎧==),(,:0y x f z y y C是平面0y y =上的一条曲线。
于是，二元函数偏导数的几何意义（如图17－1）是：),(00y x f x 作为一元函数),(0y x f 在0x x =的导数，就是曲线C 在点0P 处的切线x T 对于x 轴的斜率，即x T 与x 轴正向所成倾角的正切a tan 。
偏导数与全微分
偏导数与全微分偏导数和全微分是微积分中的重要概念和工具，用于描述函数在某一点的变化率以及函数在这一点附近的近似变化情况。
在实际应用中，它们在物理、经济学、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将从基本概念、性质以及应用角度出发，深入探讨偏导数和全微分的相关知识。
一、偏导数的定义与性质偏导数是多元函数的导数概念的延拓，用来研究多元函数的各个自变量对函数值的影响。
设函数 f(x1, x2, ..., xn) 在某点 P0 处可导，则在此点的偏导数定义为函数沿着坐标轴方向的导数值，即：∂f/∂xi = lim(h→0) [f(x1, x2, ..., xi+hi, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xi, ..., xn)]/hi 偏导数有以下几个重要性质：1. 可导即可偏导：函数可导则其各个分量函数都偏导存在；2. 各个变量的偏导数交换次序得到相同的结果，即偏导数具有交换性；3. 偏导数具有线性性质：对于函数 u(x1, x2, ..., xn) 和 v(x1, x2, ..., xn)，以及常数 k1 和 k2，有 d(u + kv)/dxi = du/dxi + k*dv/dxi；4. 二阶偏导数与次序无关：当函数具有二阶连续偏导函数时，其偏导函数的二阶偏导数与次序无关。
二、全微分的定义与性质全微分是描述函数的微分变化情况的工具，它是偏导数的线性组合。
设函数 f(x1, x2, ..., xn) 在某点 P0 处可导，则在此点的全微分定义为：df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn全微分有以下几个重要性质：1. 雅可比矩阵：全微分可以表示为雅克比矩阵和自变量的增量之间的乘积形式；2. 全微分的近似表示：在某一点的全微分可以近似表示为函数值在该点的偏导数乘以自变量的增量之和；3. 链式法则：当函数经过复合运算时，全微分的求解可以通过链式法则简化计算；4. 全微分为导数的线性组合：全微分具有线性性质。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (u,v) u3 2uv 3v2
令u 1 , v 2 则 xy
f (1 , 2 ) (1 )3 2(1 ) ( 2 ) 3( 2 )2
xy x
xy y
1 4 12 x3 xy y2
例3.设f
(x
y,
y )
x2
y2 ,求f
同理可定义三元函数及n元函数
例1：求函数z ln( y x)
x 的定义域
1 x2 y2
yx0 解：由 x 0
yx
x0
1 x2 y2 0 x2 y2 1
定义域为：
D( f ) (x, y) x2 y2 1且y x且x 0
y x
01
对应关系的求法同一元函数
例2：设f (x, y) x3 2xy 3y2,求f ( 1 , 2 ) xy
2z x 2
f
xx
(
x,
y
),
2z y 2
f
yy
,
2z xy
f xy ( x, y),
2z yx
f yx( x, y)
其中 2z , 2z 称为二阶混合偏导数 .
xy yx
1
二元函数z f (x, y)的偏导数z , z 仍然是
x y
x, y的二元函数
2 若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，
f y( x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0 , y0
y) y
f ( x0 ,
y0 )
lim f ( x0 , y) f ( x0 , y0 )
y y0
y y0
f y(0,0)
lim
y0
f (0,
y) y
f (0,0)
例4.设 函 数z e xy2 ,则lim f ( x,2) f (1,2) ______;
x1
x1
f (2,1 2y) f (2,1)
lim
_______
y0
y
解: 根 据 偏 导 数 定 义,知lim x1
f ( x,2) f (1,2) x1
f x(1,2)
而
f x x, y e xy2 y2 y2e xy2 f x(1,2) 4e4
f (2,1 2y) f (2,1)
y0 )
lim
y0
yz y
( x0 , y0 )
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
注：
f x( x0 , y0 )
lim
x x0
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x x0
f x(0,0)
lim
x0
f ( x,0) x
f (0,0)
f (2,1 2y) f (2,1)
lim
2 lim
y0
y
y0
2y
2 f y(2,1) 2 (2xye xy2 ) 8e2 ( 2 ,1)
６．二元函数的二阶偏导数
若z f ( x, y)的一阶偏导数z , z 对x, y的偏导数仍 x y
然存在,则称这些偏导数为f ( x, y)的二阶偏导数,记为
1 xy
2.二元函数的极限
lim f (x, y) A 0, 0,当
x x0 y y0
0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，恒有 f (x, y) .
注：二元函数的极限要求点Q(x,y)以任何方式，
任何方向，任何路径趋向于 P(x0 , y0 ) 时，均
有 f (x, y) A 若能找到两条不同的路径使
( x,
y),
f
(x
y,
x
y)
x
解
：
设
x
y
x
y
v
u
x y
u
1 v uv
1 v
f (u, v) ( u )2 1 v
( uv )2 1 v
u2 (1 v 2 ) (1 v)2
u2 (1 v)
1 v
f (x,
y)
x2 (1 y) 1 y
( x y)2 (1 xy) f ( x y, xy)
x x0
x0
x
则称此极限值为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处关于
自变量x的偏导数, 记作
z x
,
( x0 , y0 )
f x( x0 ,
f y0 ),
( x0 , x
y0 )
, zx ( x0 ,
y0 )
同样可定义关于y的偏导数:
z y
f
y( x0 ,
y0
)
zy ( x0 ,
沿此两路径 (x, y) (x0, y0) 时，f(x,y)具有不同的
极限，则 lim f (x, y), y kx不存在，一般 x x0 y y0
取y kx.
3.二元函数连续性定义：
如果函数 z f (x, y)满足条件 (1)z f (x, y)在点
P(x0 , y0 )的某邻域内有定义；(2)
第六章 偏导数与全微分
一 、基本概念及结论
1.多元(二元)函数的定义：
( x, y) f z R, z f ( x, y)
二元函数的定义域是平面点集，通常用平面 区域D表示,記为D(f)。 设点(x0, y0 ) D，则f (x0, y0 )称为对应于 点(x0, y0 )的函数值，函数值的集合称为函 数的值域。
为 z Ax By 0( ),其中A, B与x, y无关,
(x)2 (y)2 , 0( )为x 0, y 0时的
lim
xx0
f
(x, y)存在;
y y0
(3) lim x x0
f (x0 , y0 )
f (x0 , y0 )，则称z
f (x, y)
y y0
在点p(x0 , y0 )连续。
4.闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最 大最小值定理、零值定理。
5.二元函数偏导数定义
z f ( x, y) yy0 一元函数f ( x, y0 ) x的导数
则意味着可交换混 合偏导数的求导次序，
可将结果整理为最简形式。即
2z 2z
xy yx
6.二元函数的全微分:
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义, x, y在 点( x0 , y0 )分别取得改变量x, y,相应函数z f ( x, y) 的改变量为z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ),若其可表
当x在点( x0 , y0 )取得改变量x时,函数z f ( x, y0 )
的改变量为 x z f ( x0 x, y0 )称为函数f ( x, y)
在点( x0 , y0 )处关于x的偏改变量.如果当x 0时,
极限 lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在,