江苏省灌云县陡沟中学2012届高三苏教版数学导学案---导学案002(函数的定义与表示)

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江苏省灌云县陡沟中学高中数学正弦定理1导学案新人教A版必修5

江苏省灌云县陡沟中学高中数学正弦定理1导学案新人教A 版必修5一、学习目标：掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力；3. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．二、学习重点：正弦定理及其证明过程。

三、学习难点：正弦定理的推导和证明。

四、学习过程（根据学科特点选择性灵活运用）●自主质疑一、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =o，那么边角之间有哪些关系？ sin a A c =，sin b B c =，sin 1c C c ==，cos b A c =，cos a B c =，cos 0C =，tan a A b =，sin cos A B =,sin cos B A =,1tan tan A B =…… 探索2 在Rt ABC ∆中，我们得到sin sin sin a b c A B C ==，对于任意三角形，这个结论还成立吗？●合作探究把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．图1●交流展示探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证明结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论成立？师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法．证法一若C 为锐角（图2（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =,sin AD C b =，所以sin sin c B b C =,即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a c A C =,所以sin sin sin a b c A B C ==．cbDAB C（1）图2（2）若C为钝角（图2（2）），过点A作AD BC⊥，交BC的延长线于D，此时有sinADBc=，且sinADCb=，同理可得sin sin sina b cA B C==．综上可得，结论成立．证法二利用三角形的面积转化，先作出三边上的高AD、BE、CF，则sinAD c B=，sinBE a C=，sinCF b A=．所以ABCS=V1bcsinA2=1sin2ac B=1bcsinA2，每项同时除以12abc，得sin sin sina b cA B C==五、学习评价自我评价：A、满意（）B、比较满意（）C、不满意（）教师评价： A 、满意（） B 、比较满意（） C 、不满意（）第 1 课（第 1课时）巩固案【主备人：黄波审核人：谢兆添时间：总第 1 课时页码：P 】在ABC ∆中：（1）已知16a =，26b =，30A =o，求B ，C ，c ；（2）已知30a =，26b =，30A =o ，求B ，C ，c ；（3）已知25a =，11b =，30B =o ，解这个三角形．。

高中数学第3章《导数及其应用》复习精品导学案2 苏教版选修1-1

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》复习2导学案苏教版选修1-1复习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0.2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值一定比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。

( )3．函数f(x)＝x ＋4x的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是课堂探究：2.已知函数f(x)＝x－alnx．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L为曲线C：y＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

江苏省灌云县第一中学高中数学专题三函数复习教案(无答案)苏教版必修2

江苏省灌云县第一中学2013-2014学年高中数学专题三函数复习教案（无答案）苏教版必修2教学目标：系统掌握函数的概念与图象、单调性、奇偶性及其应用；了解映射的概念。

重、难点：对函数知识的理解与应用一、复习引入1、函数的概念2、（1）函数单调性定义（2）单调性的判断、证明方法3、（1）函数奇偶性定义（2）奇偶性的判断与证明4、单调性与奇偶性的综合5、映射的概念二、课前练习1、求下列函数的定义域（1）11)(3+-=x x x f （2）422--=x x y （3）x x x y -+=122、求函数的值域（1）242-+-=x x y （2）242-+-=x x y []2,0∈x （3）函数322+--=x x y3、作出下列函数图象，并求出其值域、单调区间 ①12-=x y ②1(12,0)y x x x=-≤≤≠4、已知二次函数)(x f 满足569)13(2+-=+x x x f ，求)(x f 。

5、已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x xx x x f ，)3(-f = __ ，)3(f = ；10)(=x f ，x = 。

三、例题分析例1、根据函数单调性的定义证明函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。

例2、设函数)(x f 是定义在(2,2)-上的减函数，满足()f x -=()f x -且(1)(21)0f m f m -+->，求实数m 的取值范围。

例3、（1）用篱笆墙围成一矩形（三边篱笆，一边为墙），当篱笆总长为定值a 时，求矩形的最大面积。

（2）已知函数322+-=x x y 在闭区间[]a ,0上有最小值2，最大值3，求a 的取值范围。

四、回顾小结对函数知识的系统理解及应用。

五、课后作业1、偶函数)(x f 的图像与x 轴有()n n N ∈个交点，则方程)(x f =0的所有实根之和为____2、设集合A 和B 都是坐标平面上的点集，映射B A f →:使集合A 中的元素),(y x 映射成集合B 中的元素),(y x y x -+，则在影射f 下，则B 中元素)1,2(对应的A 中的元素为____3、用定义证明11)(-+=x x x f 在),1(+∞上是减函数。

江苏省高三数学高考一轮复习导学案函数的定义域和值域苏教版

函数的定义域与值域【学习目标】1. 掌握求常规函数的定义域与值域的方法。

2. 了解特殊情形下的函数的定义域与值域的求法。

3. 以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】基本初等函数的定义域与值域的求法。

【学习难点】复合函数的定义域与值域的求法。

[自主学习] 一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .h② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的域是外函数f (x )的域.③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值的集合2．常见函数的值域求法，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法例如：① 形如y ＝221x +，可采用法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用法；④ y ＝x －x -1，可采用法；⑤ y ＝x －21x -，可采用法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用法等.[典型例析]（A ）例1. 求下列函数的定义域：（1）y=xx x -+||)1(0(2)y=232531x x -+-;1·1-+x x变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=212)2lg(x x x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;( B)例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x ; (4)y=f(x+a)+f(x-a).小结：(B)例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x 21-; (3)y=1e 1e +-x x .（4）y=521+-x x; (5)y=|x|21x -.小结：（C ）例4已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.[当堂检测]1.若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域__________。

江苏省灌云县陡沟中学2020学年高中数学第2章《函数》复习导学案(无答案)新人教版必修1

江苏省灌云县陡沟中学2020学年高中数学第2章《函数》复习导学案新人教版必修1一、学习目标：1.梳理本章知识结构，找出重点；2 •函数的概念、图象及其性质、映射的概念.二、学习重难点：函数的概念与图象及函数的简单性质.三、学习过程复习引导本章主要运用数形结合的方法来研究函数的性质，可以通过函数的图象来探究函数的性质, 性质又可以作出函数的图象.1. 画出本章知识结构图.2. 慨念回顾；國数的定义;函数的单调性i 函数的奇偶性I 映射慨念.典型例題1.求下列酗的走义域: （无答案）利用函数的2•作出下列函数图象①y x 11② y —(1 x 2,x 0)xx21 3.已知f (x)(x O' f( 3)= ,f (3)= ; 2x (x 0) f (x) 10 , x = 4.已知函数若f(x 1) 3x 2，求f(x)巩固媒习L 已知函数j(Q=2x+?的值域为｛ —1齧耳则它的定义域为 _____________ 工已知函数血才刊冷"则加-乃］的值拘 _____________________ . 3-给出下列四个对应，其中构展映射的是 _________ .4.设函数f (x ) = x 2+ (a + 1)x + a + 1为奇函数，则实数 a = ____________________5.当 x € [ — 2,1]：时，函数 f (x ) = x 2+ 2x - 2 的值域是 r ___________ _ 2 7.已知 f (x -1) = x - 2x — 3,求 f (x )5.根据函数单调性的定义证明函数f (x) x 3 1在R 上是减函数6.已知 f (x )=2 x + 1, x <0 —2x , x >0 ，若f (a ) = 10,则a 的值为① ② ③&已知函数f (x)= .x - 6(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗?⑵当x = 4时，求f(x)的值；(3)当f (x) = 2时，求x的值.29.函数f(x) = x -2|x|，画出此函数的图象，并指出图象的对称性及其单调区间.。

江苏省灌南高级中学高三数学函数与方程复习导学案

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：函数与方程考情分析预测回顾2008～2011年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，难度基础题、中档题、难题都有涉及．在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008和2009年考查了函数的基本性质，在2010和2011年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查．值得注意的是在2008～2011年的高考题中没有单独考查的内容有：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念．这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾．预计在2012年的高考题中， (1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用相关的考查，难度不一． (2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想的是考查的重点．备考策略(1)基本初等函数和函数的应用：掌握以基本初等函数或其组合为模型的函数基本性质(如单调性和奇偶性)研究的基本方法；掌握在对复杂函数的性质进行研究时，借助于函数图象研究和对函数解析式的简化处理(如还原法)的运用；掌握含有量词的命题的常规化归方法．(2)导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究，这是高考命制压轴题的一个考查点．专题一．函数的性质主要包括：单调性、奇偶性、周期性、值域． 2．单调性的研究(1)定义：单调递增函数满足：f x 1－f x 2x 1－x 2>0或f ′(x )>0，单调递减函数满足：f x 1－f x 2x 1－x 2<0或f ′(x )<0；(2)判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数y ＝f (g (x ))可用“同增异减”的法则判断．3.奇偶性的研究 (1)定义：①定义域关于原点对称；②奇函数f (x )＋f (－x )＝0；偶函数f (x )＝f (－x )；(2)判断方法：定义法、图象法、复合函数y ＝f (g (x ))可用“有偶则偶，无偶则奇”的判断法则．4．周期性定义及判断方法定义：f (x ＋T )＝f (x )恒成立，则T 为f (x )的一个周期． 5．值域求解常见思路定义域研究→函数解析式结构的研究→单调性研究→极值判定→比较大小→确定最值要点热点探究探究点一动态函数单调性的研究动态函数一般是指函数解析式中含有参数的函数，如y ＝x 2＋ax (x ∈[1,2])，参数取值会影响函数的性质和图象，需要分类进行研究．例1 已知函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝[f (x )－x 3]·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．【解答】 (1)因为f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，从而f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3 ⎛⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1. (2)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x. 因为函数g (x )在区间[－3,2]上单调递增，等价于h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0即可，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．【点评】 (1)含有参数的动态函数中若参数出现在函数的常数项，则不影响函数的单调性；(2)函数g (x )在[a ，b ]上单调递增，等价为g ′(x )≥0在[a ，b ]上恒成立．(3)在解决本题的第二问中，不难发现形如g (x )＝f (x )·e x或g (x )＝f xex再求导后，所得导函数方程与e x无关．探究点二函数单调性与奇偶性的综合运用函数性质中的奇偶性反映的是函数整体的性质，单调性反映的是函数局部的性质，故函数奇偶性与单调性结合在一起主要是考查对局部和整体的不同认识．例2 设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ∪(0，a ) 【解析】因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图．当t >1时，因为0<a <1，所以log a t <0.由图象可得－12<log a t <0，解得1<t <1a；当0<t <1时，因为0<a <1，所以log a t >0.可得12<log a t ，解得0<t <a ，综上，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ∪(0，a )．【点评】 (1)函数的奇偶性对单调性的影响为：偶函数关于y 轴对称，故单调性相反；奇函数关于原点对称，故单调性不变． (2)对于抽象函数问题的研究，在得到函数的性质之后，可先画出抽象函数的“草图”，再根据图象来解决相关问题，比较直观，利于问题解决．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是________．c >a >b 【解析】令g (x )＝xf (x )，则由于f (x )是R 上的奇函数，所以g (x )为R 上的偶函数，又当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，即g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0成立，故当x ∈(－∞，0)时，g (x )单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由于1<30.3<2，log π3∈(0,1)，log 319＝－2，所以g (－2)＝g (2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b .探究点三动态函数的值域求解动态函数值域的研究的基础是其单调性的研究，值域是作为单调性研究的一个应用而存在的．在这类问题处理时，也需要分类讨论思想．例3 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x (a 为实常数)．(1)若a ＝－2，求证：函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (2)求函数f (x )在[1，e]上的最小值及相应的x 值．【解答】 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x .当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝x 2－x>0，故函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)f ′(x )＝2x 2＋ax，当x ∈[1，e]时，2x 2＋a ∈[a ＋2，a ＋2e 2]．若a ≥－2，f ′(x )在[1，e]上非负(仅当a ＝－2，x ＝1时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是增函数，此时[f (x )]min ＝f (1)＝1.若－2e 2<a <－2，当x ＝－a 2时，f ′(x )＝0；当1≤x <－a 2时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数；当－a2<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数．故[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a 2. 若a ≤－2e 2，f ′(x )在[1，e]上非正(仅当a ＝－2e 2，x ＝e 时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是减函数，此时[f (x )]min ＝f (e)＝a ＋e 2.综上可知，当a ≥－2时，f (x )的最小值为1，相应的x 值为1；当－2e 2<a <－2时，f (x )的最小值为a 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a 2，相应的x 值为－a 2；当a ≤－2e 2时，f (x )的最小值为a ＋e 2，相应的x 值为e.【点评】一般地，在求动态函数的最值问题时，需要进行分类讨论．第一级讨论为讨论导函数方程根的个数问题；第二级讨论为讨论f ′(x )＝0根的个数与所给区间的关系；第三级讨论为极值与区间端点函数值大小比较．本题只涉前两级讨论．规律技巧提炼1．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点．单调性研究主要有：一是单调区间的求解；二是根据所给区间内函数的单调性求参数范围；三是应用单调性解不等式；四是用分类讨论的思想研究动态函数的单调性．2．函数的奇偶性和周期性在函数性质研究中是“配角”，它们所起到的共同作用是由部分而知整体．3．动态函数的性质的研究，首先应该观察参数的位置，然后再研究参数对函数性质的影响．在用分类讨论的思想时要注意做到不重不漏，多积累分类讨论的标准的制定依据．例 [2011·江苏卷] 已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx, f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a >0，若f (x )和g (x )在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (2)设a <0且a ≠b ，若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【分析】第一小问给出新定义，研究动态函数的单调性问题以及导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，属于中档题；第二小问中由于参数a ，b 大小关系不清楚，所以需要进行分类讨论，对于二元问题的处理可以用线性规划思想解决，属于难题．【解答】 f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋b .(1)由题意知f ′(x )g ′(x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a >0，故3x 2＋a >0，进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞)．(2)令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a3. 若b >0，由a <0得0∈(a ，b )．又因为f ′(0)g ′(0)＝ab <0，所以函数f (x )和g (x )在(a ，b )上不是单调性一致的．因此b ≤0.现设b ≤0.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )>0.因此当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )g ′(x )<0.故由题设得a ≥－－a3且b ≥－－a 3，从而－13≤a <0，于是－13≤b ≤0，因此|a －b |≤13，且当a ＝－13，b ＝0时等号成立．又当a ＝－13，b ＝0时，f ′(x )g ′(x )＝6x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－19，从而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0时f ′(x )g ′(x )>0，故函数f (x )和g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0上单调性一致．因此|a －b |的最大值为13.已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x ∈D ，存在正数K ，都有f (x )≤K |x |成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”．已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝xx 2－x ＋1.其中是“倍约束函数”的是________(写出所有满足要求的函数的序号)．①③④ 【解析】 ①当K ＝2时，2x ≤2|x |恒成立，故①是“倍约束函数”； ②当x ＝0时，f (0)＝2>K ×0，故不存在相应K ，使②为“倍约束函数”；③因为f x |x |＝x －1x 2＝－1x 2＋1x ≤14＝12，故存在K ≥12，满足题意； ④因为f x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 2－x ＋1x ，－1x 2－x ＋1x，所以f x |x |≤43，故存在K ≥43，满足题意．故符合条件的序号为①③④.专题二分段函数主干知识整合1．分段函数(1)分段函数定义：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．(2)定义域：各段函数定义域的并集． (3)值域：各段函数值域的并集． 2．分段函数的常见问题(1)分段函数的图象．(2)分段函数的函数值．(3)分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可．(4)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，再由x ＞0，－x ＜0，分别代入各段函数式计算f (x )与f (－x )的值，若有f (x )＝－f (－x )，当x ＝0有定义时f (0)＝0，则f (x )是奇函数；若有f (x )＝f (－x )，则f (x )是偶函数．要点热点探究探究点一分段函数的单调性分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分开说明单调性．例1 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋x 是R 上的单调递增．．函数，则实数a 的取值范围为________． [4,8) 【解析】因为f (x )是定义在R 上的增函数，故y ＝a x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2均为增函数，所以a >1且4－a2>0，即1<a <8. 又画出该分段函数图象，由图象可得，该函数还必须满足：a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2，即a ≥4.综上，a 的取值范围为4≤a <8.【点评】在处理分段函数的单调性时，易错在当每一段函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象．探究点二分段函数的值域由于分段函数的值域为每一段函数值域的并集，所以分段函数的值域一般需要进行比较各段最值之间的大小关系后，才能明确．例2 已知函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|(a >0)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)当x ∈[1，＋∞)时，求f (x )的最小值．【解答】 (1)当a ＝1，x ∈[1，e]时，f (x )＝x 2－ln x ＋1，f ′(x )＝2x －1x≥f ′(1)＝1，所以f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )max ＝f (e)＝e 2. (2)①当x ≥e 时，f (x )＝x 2＋a ln x －a ，f ′(x )＝2x ＋a x，∵a >0，∴f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在[e ，＋∞]上为增函数，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2.②当1≤x <e 时，f (x )＝x 2－a ln x ＋a ，f ′(x )＝2x －a x ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2.(i)当a2≤1，即0<a ≤2时，f ′(x )在(1，e)上为正数，所以f (x )在区间[1，e)上为增函数，故当x ＝1时，y min ＝1＋a ，且此时f (1)<f (e)＝e 2； (ii)当1<a2<e ，即2<a <2e 2时，f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 2上小于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，e 上大于0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，e 上为增函数，故当x ＝a 2时，y min ＝3a 2－a 2ln a 2，且此时f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2<f (e)＝e 2； (iii)当a2≥e，即a ≥2e 2时，f ′(x )在(1，e)上为负数，所以f (x )在(1，e)上为减函数，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2.综上所述，函数y ＝f (x )的最小值y min＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ，0<a ≤2，3a 2－a 2ln a2，2<a <2e 2，e 2，a ≥2e 2.【点评】一般地，含有绝对值符号的函数也是一种分段函数，如本题所给函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|，所以在研究其值域时，首先要通过分类讨论去掉其绝对值，再讨论每一段函数的单调性，最后再比较各段函数的最小值，从而求得函数的最小值．探究点三实际问题中的分段函数模型在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型，在将题干中的文字语言转化为函数模型时，要注意不同情况下，所对应的不同函数模型．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x4＋x ，6x －2x，当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的值．【解答】 (1)因为m ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，24x －2x当0<x ≤4时，x ＋8≥4，显然符合题意；当x >4时，24x －2≥4⇒4<x ≤8.综上，0<x ≤8.所以自来水达到有效净化一共可持续8天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 4＋2mx ，6mx －2x知在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ，在区间(4,7]上单调递减，即6m 5≤y <3m ，所以6m5≤y ≤3m .为使4≤y ≤10恒成立，只要6m 5≥4且3m ≤10即可，即m ＝103.所以为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量m 应该为103.【点评】本题的实际应用题所给函数模型为分段函数模型，模型无需建立(变式题需要建立模型)，本题的难点所在是对“有效净化”和“最佳净化”这两个词语的转化．[2011·湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【解答】 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x <20，13－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x <20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝100003. 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．规律技巧提炼1．分段函数在概念上的理解易出问题，会以为它是几个函数，要明确的是分段函数不论分几段，都是一个函数，只不过是每一个部分有着不同的解析式和图象．2．分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点，难度不大，如2010和2011年所考查的题．分段函数的单调性和值域以及实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的重点，尤其是含参数的分段函数性质，此时用好分类讨论和数形结合这两个思想，会起到事半功倍的效果．3．分段函数的奇偶性很少考查，如有涉及，可画出分段函数的图象，转化为图象的对称性进行研究．例 [2011·江苏卷] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【答案】－34【解析】当a >0时，f (1－a )＝2－2a ＋a ＝－1－3a ＝f (1＋a )，a ＝－32<0，不成立；当a <0时，f (1－a )＝－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ＝f (1＋a )，a ＝－34.[ 2011·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A 【解析】由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x>1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0.若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．(－2,1) 【解析】画出函数的图象，如下图所示，由图象可得，该函数是定义在R 上的增函数，故2－x >x ，解得－2<x <1. 专题三函数的切线主干知识整合1．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))的切线斜率． 2．函数的切线方程对于函数f (x )(可导函数)，其在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，其中切线斜率k ＝f ′(x 0)．3．公切线(1)定义：同时切于两条或两条以上曲线的直线，叫做曲线的公切线． (2)两个函数的公切线：y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)与y －g (x 2)＝g ′(x 2)(x －x 2)为同一直线．其中若切点为同一点P (x 0，f (x 0))，则⎩⎪⎨⎪⎧fx 0＝g x 0，f x 0＝g x 0要点热点探究探究点一公切线问题公切线问题是函数切线求解一个更深层次的问题，主要是求解两个函数图象与一条直线相切于同一个点的问题．例1 [2011·湖北卷] 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，得m <0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0，又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0.于是当－14<m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 【点评】两个函数在同一点的公切线的方程求解，主要是解⎩⎪⎨⎪⎧f x 0＝g x 0，f x 0＝g x 0，但要注意如果切点不在同一点时，不可以用该方程组，而是需要求两次切线方程，并证明切线方程重合．设a >0，f (x )＝xx －a，g (x )＝e xf (x )(其中e 是自然对数的底数)，若曲线y ＝f (x )与y＝g (x )在x ＝0处有相同的切线，求公切线方程．【解答】 (1)f ′(x )＝－ax －a 2，g ′(x )＝e x[f (x )＋f ′(x )]＝x 2－ax －a x x －a 2.f ′(0)＝－1a ，g ′(0)＝－1a.又f (0)＝0，g (0)＝f (0)＝0.所以，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处有相同的切线y ＝－x a.探究点二切线条数的问题过一点作函数切线的条数问题，应该先求出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，然后再论证关于切点的方程的根的个数问题．例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－ 3.(1)求f (x )的解析式；(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝3a ＋2b ＋c ＝0，f －＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，3a ＋c ＝0.又f ′(0)＝－3，∴c ＝－3，∴a ＝1，∴f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)，∵f ′(x )＝3x 2－3，∴f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，又切线过点A (2，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(2－x 0)，∴m ＝－2x 30＋6x 20－6.令g (x )＝－2x 3＋6x 2－6，则g ′(x )＝－6x 2＋12x ＝－6x (x －2)，由g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，g (x )极小值＝g (0)＝－6，g (x )极大值＝g (2)＝2，画出草图知，当－6<m <2时，m ＝－2x 3＋6x 2－6有三解，所以m 的取值范围是(－6,2)．【点评】本题中方程m ＝－2x 3＋6x 20－6的三个根判定的问题，需要借助于图形来进行研究，先求导研究函数g (x )＝－2x 3＋6x 2－6的性质，再求出极值，即可求出m 的范围探究点三与切线有关的多边形问题函数的切线与其他线，如坐标轴所围成图形的面积或者线段长度的最值问题是难点问题．例3 如图3－1，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【解答】解法一：以O 建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为 y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)，要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)，∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t2(x －t )，即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2. ∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)．要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )，即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1，设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |)＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52.∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5m 2.【点评】与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y ＝－x 3＋1上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为________．3324【解析】解法1：依题意设切点为(x 0，－x 30＋1)，易知x 0∈(0,1)，从而切线的斜率为k ＝－3x 20，切线方程为y －(－x 30＋1)＝－3x 20(x －x 0)⇒y ＝－3x 20x ＋2x 30＋1，从而可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 30＋13x 20，0，B (0,2x 30＋1)，所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12·(2x 30＋1)·2x 30＋13x 20＝4x 60＋4x 30＋16x 20＝23x 40＋23x 0＋16x 20，x 0∈(0,1)．记f (x )＝23x 4＋23x ＋16x2，x ∈(0,1)，则f ′(x )＝83x 3＋23－26x 3⇒f ′(x )＝8x 6＋2x 3－13x 3＝x 3＋x 3－3x 3. 又x ∈(0,1)，令f ′(x )＝0⇒4x 3－1＝0⇒x ＝314，易知f (x )在x ＝314时取得极小值且为最小值，所以当x 30＝14时有S △AOB 的最小值为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×14＋16×⎝⎛⎭⎪⎫3142＝3324.解法2：得到三角形的面积后可利用基本不等式S △AOB ＝12OA ·OB ＝12·(2x 30＋1)·2x 30＋13x 20＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 30＋1x 02＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 20＋12x 0＋12x 02≥16·⎝ ⎛⎭⎪⎫33122＝3324，当且仅当2x 20＝12x 0即x 30＝14时等号成立．规律技巧提炼1．函数切线的求解主要包括以下问题 (1)求函数在某一点的切线方程；(2)求两个函数在某一点处的公切线方程； (3)求过一点作函数的切线或切线条数的求解．这三个问题，主要还是先求出在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再进行相关论证．2．与切线有关的问题与切线有关的多边形的面积或长度的最值问题，切线方程求解不难，主要是建立函数后对所建立函数的研究，难度会因为所建函数不同而不同．例 [2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．【分析】高考在考查函数切线问题时，主要是以切线为背景函数的其他知识，如2011年与切线有关的两点纵坐标差的最值问题研究，属于难题．【答案】 4【解析】设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x 2＝2k，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.设曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x )e －x在点B (x 0，y 2)处的切线为l 2，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 【解析】依题意由y ＝(ax －1)e x ，得y ′＝a e x ＋(ax －1)e x ＝(ax ＋a －1)e x ，所以kl 1＝(ax 0＋a －1)e x 0.由y ＝(1－x )e －x＝1－x e x ，得y ′＝－e x －－x xx 2＝x －2e x ，所以kl 2＝x 0－2e x 0.因为l 1⊥l 2，所以kl 1·kl 2＝－1，即(ax 0＋a －1)e x 0·x 0－2e x 0＝－1，即(ax 0＋a －1)·(x 0－2)＝－1，从而a ＝x 0－3x 20－x 0－2，其中x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 令f (x )＝x －3x 2－x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32，则f ′(x )＝－x －x －x 2－x －2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又因为f (0)＝32，f (1)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝65，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 专题四函数的零点主干知识整合1．函数的零点：使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (1)函数的零点⇔方程的根；(2)零点存在理论：在区间[a ，b ]上连续；f (a )·f (b )<0. 2．常见求解方法(1)直接解方程，如一元二次方程； (2)用二分法求方程的近似解； (3)一元二次方程实根分布规律；(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点．画出y ＝f (x )图象可用到以下方法： ①用图象变换法则画复杂函数图象；②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y ＝ln xx；③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e xln x ＝1，转化为y ＝ln x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； ④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m ＝g (x )，再画y ＝g (x )与y ＝m (常数函数)的图象．要点热点探究探究点一用零点存在定理判断函数零点零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值．例 1 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20112011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a <b ，a ，b ∈Z)内，则b －a 的最小值为________．【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.9 【解析】由F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋3)的零点或g (x －3)的零点．f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010，当x >－1时，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010＝1＋x 20111＋x>0成立，f ′(－1)＝2011>0；当x <－1时，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010＝1＋x 20111＋x>0也成立，即f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010>0恒成立，所以f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011在R 上单调递增．f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12010－12011<0， f (x )的惟一零点在[－1,0]内，即f (x ＋3)的惟一零点在[－4，－3]内．同理，g (x －3)的惟一零点在[4,5]内，因此b ＝5，a ＝－4，b －a ＝9.可知a<0(2)设t＝f(x)，则原方程即化为t2＋at＋b＝0，由t＝f(x)图象如下：可得：当t＝1时，有三解，当>0且≠1时，有两解．又t1＋t2＝－a，所以当t1＝1，t2∈(0,1)∪(1，＋∞)时，原方程有5个解，即a∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．【点评】 (1)和(2)中的方程根都不能够解出，所以用图象进行研究比较简单．第(1)题中直接画题干所给的三个函数的图象不容易，故转化为两个较为简单函数，再画图象可以判断零点大小；第(2)题中是一个符合的方程，需要进行换元，分两步进行研究，一是t＝f(x)；二是t2＋at＋b＝0.探究点三不定方程的根的判断所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组．常见问题有：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数．例3 设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．{0,3,14,30} 【解析】原命题等价为f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10＝0有整根，即方程m ＝2x ＋1010－x ＋1有整数解．因为m ∈N ，所以2x ＋10≥0，且10－x ≥0，所以x ∈[－5,10]，且x ∈Z ，又10－x ∈Z ，当x ＝－5时，m ＝0；当x ＝1时，m ＝3；当x ＝6时，m ＝223(舍去)；当x ＝9时，m ＝14；当x ＝10时，m ＝30.【点评】含有参数的方程整数解的问题，可以考虑将参数和未知数x 分离，再利用整除(有理、奇偶、约数)来得到参数和未知数的特征，通过逐一代入得到结果．探究点四含参数的方程根的问题含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决．例4 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)讨论方程f (x )＝0的解的个数，并说明理由．【解答】 (1)因为f ′(x )＝x －a x(x >0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln2＝2＋b ，2－a2＝1，解得：a ＝2，b ＝－2ln2.(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解；当a <0时，f ′(x )＝x －ax>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数．∵f (1)＝12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1a ＝12e 2a－1<0，所以方程有惟一解；当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，因为当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a )内为减函数；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)内为增函数．所以当x ＝a 时，f (x )有极小值即为最小值f (a )＝12a －a ln a ＝12a (1－ln a )，当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )>0，此方程无解；当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0.此方程有惟一解x ＝a ，当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )<0，。

江苏省灌云县陡沟中学高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用(第2课时)导学案苏教版必修5

江苏省灌云县陡沟中学高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用（第2课时）导学案苏教版必修5一、学习目标：1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求有关的实际问题.2. 能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题.二、学习重点：正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．三、学习难点：正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．四、学习过程（根据学科特点选择性灵活运用）●自主质疑一、复习引入（一）主要知识：1. 正弦定理：2sin sin sin abcR A B C ===．2. 余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b cC ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩3. 推论：正余弦定理的边角互换功能．① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =②sin 2aA R =，sin 2bB R =，sin 2cC R =③ sin sin sin a b cA B C ===sin sin sin a b cA B C ++++=2R④::sin :sin :sin a b c A B C =4. 三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos ,B C A B C A +=+=-sin cos ,cos sin 2222B CAB CA++==（二）总结解斜三角形的要求和常用方法：1. 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和角.2. 应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角.●合作探究利用正弦定理、余弦定理解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，今天我们继续来研究正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力．下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用．●交流展示1．例题．OA ，例1．如图1-3-4，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，2B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？五、学习评价自我评价： A 、满意（） B 、比较满意（） C 、不满意（）教师评价： A 、满意（） B 、比较满意（） C 、不满意（）第 2课（第 2课时）巩固案如图，有两条相交成60o 角的直线XX '、YY '，交点是O ，甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX ' 方向，乙沿Y Y '方向步行，（1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解X X ' YY '•B Q P O A •• •。

江苏省灌云县陡沟中学高中数学第2章《函数》复习导学案(无答案)新人教版必修1

江苏省灌云县陡沟中学2014-2015学年高中数学第2章《函数》复习导学案（无
答案）新人教版必修1
一、学习目标：
1．梳理本章知识结构，找出重点；
2．函数的概念、图象及其性质、映射的概念．二、学习重难点：
函数的概念与图象及函数的简单性质．
三、学习过程
复习引导
本章主要运用数形结合的方法来研究函数的性质，可以通过函数的图象来探究函数的性质，利用函数的性质又可以作出函数的图象．
2.作出下列函数图象 ①1-=x y ②1(12,0)y x x x
=
-≤≤≠
3.已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，)3(-f = ，)3(f = ； 10)(=x f ，x =
4.已知函数若23)1(+=+x x f ，求)(x f
5.根据函数单调性的定义证明函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数
4．设函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋1为奇函数，则实数a ＝________.
5．当x ∈[－2,1]时，函数f (x )＝x 2＋2x －2的值域是________．
6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋1，x ≤0－2x ，x >0，若f (a )＝10，则a 的值为________．
7．已知f (x －1)＝x 2－2x －3，求f (x )
8．已知函数f (x )＝x ＋2
x －6.
(1)点(3,14)在f (x )的图象上吗？
(2)当x ＝4时，求f (x )的值；
(3)当f (x )＝2时，求x 的值．
9.函数f (x )＝x 2－2|x |，画出此函数的图象，并指出图象的对称性及其单调区间．。

江苏省灌云县陡沟中学高中数学 2.1数列(第2课时)导学

江苏省灌云县陡沟中学高中数学 2.1数列（第2课时）导学案苏教版必修5一、学习目标：1. 进一步熟悉数列及其通项公式的概念；2．掌握数列通项公式的写法．二、学习重点：掌握数列通项公式的写法．三、学习难点：掌握数列通项公式的写法．四、学习过程（根据学科特点选择性灵活运用）●自主质疑一、复习1. 分别用列表法、图象法表示数列：我国参加6次奥运会获金牌数: 15，5，16，16，28，32．2.若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－3，试写出这个数列的前4项．3. 已知一个数列的前4项分别为1，2，4，8，试写出这个数列的一个通项公式．●合作探究二、例题剖析例1. 写出下列数列的一个通项公式：（1）1，4，9，16，…，（2）－1，3，－5，7，…，（3）13，45，97，169，…；（4）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯，…；（5）1，3，1，3，…；（6）1，1，1，3，1，5，1，7，…．例2. 判断数列｛2n－1｝的单调性，并说明理由．例3. 试判断下列各数是否是数列｛5n＋4｝的项，并说明理由：（1）29；（2）31．例4. 求数列｛n2＋3n－4｝的最小项．五、学习评价自我评价： A 、满意（） B 、比较满意（） C 、不满意（）教师评价： A 、满意（） B 、比较满意（） C 、不满意（）第 2 课（第 2课时）巩固案 1. 用图象法表示数列｛2n-13 ｝（n ≤5）．2. a n ＝cos n 2 是否是数列｛1＋(－1)n2 ｝的一个通项公式？请说明理由．。

江苏省灌云县陡沟中学高中数学 2.2.2 函数的单调性(第2课时)导学案(无答案)新人教版必修1

江苏省灌云县陡沟中学2014-2015学年高中数学 2.2.2 函数的单调性（第2课
时）导学案（无答案）新人教版必修1
一、学习目标：
1．进一步理解函数的性质，从形与数两个方面理解掌握函数单调性与函数的奇偶性；
2．能正确地运用函数的有关性质解决相关的问题；
二、学习重难点：
函数的简单性质的综合运用．
三、学习过程
自学引导(P37-P43)
1．（1）复习函数的单调性；
（2）复习函数的奇偶性．
2. 问题．
函数的单调性与函数的奇偶性二者之间是否具有某些必然的联系呢？
迁移运用
1.画出函数f (x )＝x 2－2|x |－1图象，通过图象，指出它的单调区间，并判定它的奇偶性．
2.已知函数1)(2++=mx x x f 为偶函数，求实数m 的值.
3.已知函数)(x f y =是R 上的奇函数,且当0>x 时1)(=x f ,
试求函数)(x f y =的表达式.。

江苏省灌云县陡沟中学高中数学 2.2等差数列的通项公式

江苏省灌云县陡沟中学高中数学 2.2等差数列的通项公式导学案苏教版必修5一、学习目标：1. 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法；2. 掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；3. 理解等差数列的性质，能熟练运用等差数列的性质解决有关问题．二、学习重点：等差数列的通项公式，关键对通项公式含义的理解．三、学习难点：等差数列的性质和应用.四、学习过程（根据学科特点选择性灵活运用）●自主质疑一、问题情境1．情境：观察等差数列{}n a4,7,10,13,16，…,如何写出它的第100项呢？[2．问题：设{}na是一个首项为1a，公差为d的等差数列，你能写出它的第n项na吗？●合作探究通过对引例的讲解使学生了解“叠加法”，引导学生自己总结得出等差数列的通项公式．●交流展示例1第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（2）2008年北京奥运会时第几届？2050年举行奥运会吗？例2在等差数列{}na中，已知3910,28a a==，求12a．例3已知等差数列{}na的通项公式为21na n=-，求首项1a和公差d．五、学习评价自我评价：A、满意（）B、比较满意（）C、不满意（）教师评价：A、满意（）B、比较满意（）C、不满意（）第 1 课（第1 课时）巩固案课本P39-40练习1，2，4，5，6．。

江苏省灌云县陡沟中学七年级数学下册《12.2 证明》(第2课时)导学案(无答案)(新版)苏科版

《12.2 证明》（第2课时）一.学习目标1.了解证明的基本步骤和书写格式；2. 能从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，证明平行线的判定定理和平行线的性质定理，并能简单应用这些结论；3. 感受数学的严谨性，结论的确定性，初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力；二、学习重点了解证明的基本步骤和书写格式；三、学习难点：，初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力；【自主学习】问题一：如何用推理的方法证实“垂直于同一条直线的两条直线平行．”的正确性呢？(1)这个命题的条件是什么？结论是什么？(2)你能根据命题的条件画出相应的图形吗？(3)要证明图1中的∠2与∠3相等，就需要知道它们有什么联系？你能说说它们之间的联系吗？已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．[解析]首先由BE ⊥FD ，得∠1和∠D 互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D 互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB ∥CD ．证明：∵BE ⊥FD ，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D 互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB ∥CD ．【拓展练习】1.已知：如图，∠BAD=∠DCB,∠1=∠3.求证：AD ∥BC.2.证明：同角的余角相等.3.已知：如图，∠1=∠2，CE 平分∠A CD. 求证：AB ∥CD.4321C A B 21E A B C D五、学习评价自我评价： A、满意（） B、比较满意（） C、不满意（）教师评价： A、满意（） B、比较满意（） C、不满意（）。

江苏省连云港市灌云县高中数学第二章函数2.1函数的概念和图象(2)教案苏教版必修1

江苏省连云港市灌云县高中数学第二章函数2.1 函数的概念和图象（2）教案苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省连云港市灌云县高中数学第二章函数2.1 函数的概念和图象（2）教案苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.1 函数的概念和图象（2）教学目标1．知识与技能（1)进一步加深对函数概念的理解；（2）掌握同一函数的标准；（3）了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．2．过程与方法经历求函数定义域及值域的过程，提高学生解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。

重点难点1．教学重点：能熟练求解常见函数的定义域和值域．2．教学难点：对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．教学过程一、创设情境下列函数f (x ）与g(x )是否表示同一个函数？为什么？(1）0()(1);()1f x x g x =-= ；（2)()f x x =；()g x =(3）2()f x x =；2()(1)g x x =+ ；、（4）()||f x x =；()g x ．二、讲解新课总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同例1、求下列函数的定义域：（1）11+⋅-=x x y ；（2）x x x y -+=||)1(0；（3)232531x x y -+-=；（4）x x x y 12132+--+=．分析：一般来说，如果函数由解析式给出,则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．解:（1）由⎩⎨⎧≥+≥-,01,01x x 得⎩⎨⎧-≥≥,1,1x x 即1≥x ,故函数11+⋅-=x x y 的定义域是1[，)∞+．（2）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0是{x |x 〈0，且x ≠1-｝．（3）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠-,05,0322x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠,55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3,故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3｝．（4）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠<-≥0,2,23x x x ∴23-≤x ＜2，且x ≠0，故函数的定义域是{x |23-≤x ＜2，且x ≠0}．说明:求函数的定义域,其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组),然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个:① 分式中，分母不等于零．② 偶次根式中，被开方数为非负数．③ 对于0x y =中，要求 x ≠0．若A 是函数)(x f y =的定义域，则对于A 中的每一个x ,在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数f :A B 而言，如果值域是C ，那么B C ⊆，因此不能将集合B 当成是函数的值域．我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f （x )=(x -1)2+1，x ∈｛—1,0，1，2，3｝;(2）f （x ）=( x -1）2+1．解:（1）函数的定义域为{—1，0，1，2，3}，f (-1）= 5，f （0)=2，f (1）=1,f （2）=2,f (3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}．(2）函数的定义域为R ，因为(x -1)2+1≥1，所以这个函数的值域为｛y ∣y ≥1}说明：通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．例3 求下列函数的值域：（1）642+-=x x y ，1[∈x ，)5；(2）113+-=x x y ；解：(1）2)2(2+-=x y ．作出函数642+-=x x y ,1[∈x ，)5的图象，由图观察得函数的值域为2|{y ≤y ＜}11．（2)解法一：14)1(3+-+=x x y 143+-=x ，显然14+x 可取0以外的一切实数,即所求函数的值域为{y |y≠3｝．解法二:把113+-=x x y 看成关于x 的方程，变形得()()310y x y -++=，该方程在原函数定义域{}|1x x ≠-内有解的条件是错误!，解得y ≠3,即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝．说明:解法一的方法我们称为分离常数法，解法二的方法我们称为反函数法。

江苏省灌云县四队中学苏教数学必修一《函数的概念及其图像》教案

y学习目标：使学生掌握函数图像的画法. 教学重点：函数图像的画法. 教学难点：函数图像的画法. 教学过程：一、复习回顾上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ︰A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.练习：下列函数中，哪个函数与函数y ＝x 是同一个函数？()()()()()xx y 4xy 3xy 2xy 122332====两个只有当它们的三要素完全相同时才为同一个函数. 二、学生活动在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y ＝2x －1，y ＝1x（x ≠0）以及y ＝x2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等.回想一下，在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？描点法描点法作图的步骤有哪些？列表、描点、连线练习（P25例4）试画出下列函数的图象： ⑴f(x)＝x ＋1⑵f(x)＝(x －1)2＋1,x ∈[1,3)三、建构数学将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为{(x,f(x))｜x∈A}，即{(x,f(x))｜y＝f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象.四、数学运用例5 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况吗？如果把人口数y（百万人）看做年份x的函数，试画出这个函数的图象.解：由上表的数据，画出的函数图象是11个点.补：一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2.若一物体下落2s .思考：设函数y ＝f(x)的定义域为A ，则集合P ＝{(x,y)｜y ＝f(x),x ∈A}与集合Q ＝{y ｜y ＝f(x),x ∈A}相等吗？请说明理由.解析：P ≠Q ，因为P 、Q 的代表元素不一样，P 是点集，Q 是值域. 问题：直线x ＝1和函数y ＝x 2＋1的图象的公共点可能几个？解析：根据图象知有且仅有一个公共点.变：⑴（P29习题6）直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋1的图象的公共点可能几个？解析：根据图象知有且仅有一个公共点.⑵直线x ＝－1和函数y ＝x 2＋1，x ∈[0.＋∞）的图象的公共点可能几个？解析：根据图象知没有公共点.⑶直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋1，x ∈A 的图象的公共点可能几个？解析：当a ∈A ，则根据图象知有且仅有一个公共点；当a ∉A 时，没有公共点. 例6 试画出函数f(x)＝x 2＋1的图象，并根据图象回答下列问题： ⑴比较f(－2),f(1),f(3)的大小；⑵若0＜x 1＜x 2,试比较f(x 1)与f(x 2)的大小. 解：函数的图象如下 ⑴根据图象知 f(3)＞f(－2)＞f(1),⑵根据图象知，当0＜x 1＜x 2f(x 1)＜f(x 2).思考：在上例⑵中， ⑴如果把“0＜x 1＜x 2”改为 “x 1＜x 2＜0”，那么f(x 1)与f(x 2) 哪个大？⑵如果把“0＜x 1＜x 2”改为 “|x 1|＜|x 2|”，那么f(x 1)与f(x 2) 哪个大？解析：仍然根据函数的图象，有 ⑴f(x 1)＞f(x 2).⑵∵f(x)的图象关于y 轴对称，∴当|x 1|＜|x 2|时有f(x 1)＜f(x 2). 学生练习P28练习1,2,3 五、回顾反思能用描点法画出常见函数的图象，并能根据函数的图象解决有关问题六、作业P20习题2.1⑴7,8, 9。

江苏省连云港市灌云县四队中学高中苏教版数学1-1教案：《常见函数的导数》

四队中学教案纸（备课人: 吴利霞学科：高二数学）
备课时间 3.31
教
学课题
教时计划
1
教学课时
1
教学目标掌握初等函数的求导公式
重点难点
用定义推导常见函数的导数公式
教学过程一、复习
1、导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义;
4、求函数的导数的流程图。

（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ （2）求平均变化率x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(
(3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x
y
x ∆∆→∆0lim
本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数。

（1）、y=x （2）、y=x 2 （3)、y=x 3 问题:1
-=x y ，2
-=x y ，3
-=x y 呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？二、新授。

高中数学第3章导数及其应用导数在研究函数中的应用—极大值与极小值导学案2苏教选修11

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数在研究函数中的应用—极大值与极小值导学案2 苏教版选修1-1
学习方针：1、进一步巩固应用导数求函数极值的方式
2、应用极值解决求参数的有关问题。

重点：应用极求参数及参数范围问题
课前预学：
1、函数
)0
(>
=x
x
e
y
x
的极小值为
2、已知函数
1
)6
(
)
(2
3+
+
+
+
=x
m
mx
x
x
f有极大值和极小值，
则实数m的取值范围是
3、若函数
x
bx
x
a
y+
+
=2
ln在x=1和x=2处有极值，则a= ，b=
4、若函数
2
2
3
)
(a
bx
ax
x
x
f+
-
-
=在x=1处有极值10，则a= ，b=
3、设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值．
(1)求a 、b 的值；
(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f(x )＜c 2成立，求c 的取值范围．
4、已知函数
x a x x f ln )(2+= （1）当e a 2-=时，求函数f （x ）的单调区间和极值；
（2）若函数x x f x g 2)()(+
=在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围
课堂检测：。

江苏省连云港市灌云县高中数学第二章函数2.1函数的概念和图象(3)教案苏教版必修1

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1 函数的概念和图象（3）教学目标1．知识与技能（1）能根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象；（2）能利用基本初等函数图象结合图象变换作出所求函数的图象．2．过程与方法通过作出函数的图象,渗透数形结合的思想．3．情感、态度与价值观培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识,培养学生良好的数学学习品质。

重点难点1．教学重点:根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象；2．教学难点:函数图象可以是一些点、一些线段、一段曲线等，利用图象变换作出所求函数的图象．教学过程一、情境创设下列图象哪些是函数图象？那些不是？为什么？二、讲解新课例1试画出下列函数的图象：（1）y＝错误!（-1≤x≤2,且x∈Z）；(2)y＝｜2x－1｜;（3）y＝x2－4x+3（1≤x≤3）．（1) （2） (3）点评:做函数的图像，主要是描点法，要注意函数的定义域，如(1），定义域是一些整数构成的集合,图像是一些孤立的点，如(3）,图像是一抛物线的一部分．例2、作出下列函数的图象:（1）1xyx=+；（2）2|23|y x x=--．解:（1）1111xyx x==-++，此函数图象可看作把函数1yx=-的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位所得．(2）y＝｜x2－2x－3|＝错误!分别作出图象如下:x（1）（2)点评：函数y＝f(x)的图象和函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称;函数y＝|f(x)｜的图象可以看作将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方（并保持在x轴上方的图象不变）得到．三、课堂小结（1）列表、描点法是我们作出函数图象的基本方法．（2）函数的图象不一定都是连续的曲线，可以是一些离散的点，也可以是一段曲线.（3）有时利用图象变换作出函数的图象，常见的变换有平移变换(包括左右平移、上下平移）、对称变换（包括关于直线对称、关于点对称）．以后还要学习到伸缩变换、旋转变换等．四、课后作业（1)P28练习2；(2）P29习题3，5，7,8，9．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

高中数学第3章导数及其应用常见函数的导数导学案苏教

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》3.2.1常见函数的导数导学案苏教版选修1-1学习目标：1．能按照导数的概念推导部份大体初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．教学重点：大体初等函数的导数公式的应用．课前预习：1．在上一节中，咱们用割线逼近切线的方式引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？2．用导数的概念求下列各函数的导数：（1）bkxxf+=)(（bk,为常数）；（2）Cxf=)(（C为常数）；（3）xxf=)(；（4）2)(xxf=；（5）3)(xxf=；（6）xxf1)(=；（7）xxf=)(．试探由上面的结果，你能发觉什么规律？3．大体初等函数的导数：课堂探讨：1.利用求导公式求下列函数导数．（1）5-=xy；（2）xxxy=； (3)3sinπ=y；（4）xy4=；(5)x y 3log =；（6）)2sin(x y +=π；（7）)2cos(x y -=π．5.已知直线1:-=x y l ，点P 为2x y =上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．课堂检测：1．求下列函数的导函数（1）2y x -= （2）35y x =（3）41y x =（4）2x y =（5）4log y x = （6）ln y x =π=-（8）3cos()2y xπ=+（7）sin()2y x。