D5_3换元法与分部积分法(第2,3次课)
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D5_3 换元法与分部积分法
f (x) f (x)时
f (x) f (x)时
例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
并由此计算
n
I 0 1 sin 2x dx 解: (1) 记 (a) aT f (x)dx, 则
a
(a) f (a T ) f (a) 0 可见 (a)与a无关，因此 (a) (0), 即
1 2
b
a
f
( x)(2 x
a
b)
dx
再次分部积分
1 (2x
2
a
b)
f
(x)
b
a
b
a
f
(x) dx
=
左端
2
0
sin(
x
4
)
dx
令
t
x
4
5
n2Biblioteka 4 sin t dt
4
n 2 sin t dt 0
n 2 sin t dt 2 2 n 0
二、定积分的分部积分法
定理2. 设u(x), v(x) C1[a , b] , 则 b a
证: [u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x)
n
0 1 sin 2x dx
anT
(2) a f (x)dx
并由此计算 则有
n
0 1 sin 2x dx n0 1 sin 2x dx
周期的周期函数
n
0 1 sin 2x dx n0 1 sin 2x dx
n0
(cos x sin x)2 dx
n0 cos x sin x dx
n
备用题
1. 证明 证：
是以 为周期的函数.
5-3定积分的换元法与分部法
2 sin x cosxdx
0
2 sin xd sin x
0
1 sin 2 2
x |02
1 2
例5
设 f (x)在对称区间[a, a] 上连续，证明：
(1) 当f (x) 为偶函数时， a f (x) d x 2
a
f (x)d x .
a
0
(2) 当f (x) 为奇函数时， a f (x) d x 0 . a
et
1 0
]
2e (e 1)
2.
本节小结
1、定积分的换元法
定理 若 (1) f (x)在[a, b] 上连续 ;
(2) ( ) a，( ) b.且（t）在[, ]上单调
(3) x (t)在[, ] 上有连续的导数(t)
b
则 a f (x) d x f ((t))(t) d t
xe 解
1 xe2xdx 1 2x 1 1 1e2xdx
0
2
0 20
e e 1 2 1 2x 1 2 40
1 4
(e2
1).
例7
解
1
1
x arcsin x 2 2
00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
(1
a
a
f (t) d t
0
f (x)d x .
0
于是
a
定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
高等数学课件--D5_3换元法与分部积分法
同济高等数学课件
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备用题
1. 证明 是以 为周期的函数.
证：
令u t π
是以 为周期的周期函数.
2012-10-12 同济高等数学课件
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2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a)
同济高等数学课件
二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则
b a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
两端在 [a, b] 上积分
u ( x) v( x)
b a
a u ( x)v( x) dx a u ( x)v( x) dx
2 m 1 2 m 1
π 2
5
3
π 2
而
I 0 dx
0
π 2
,
I1 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
2012-10-12 同济高等数学课件
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内容小结
基本积分法 换元积分法
分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
思考与练习 1.
0 sin dx
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(t ) (t )
说明: 1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t ) (t )
a f ( x) d x
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
5-3定积分的换元法与分部法-精品文档
2
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
5-3定积分的换元法和分部积分法
0
令 t cos x, x t 0, 2
x 0 t 1,
0 5
0
2
cos x sin xdx 1 t dt
5
1
0
t 5 dt
t 1 . 6 0 6
6
1
例2
计算 0
sin3 x sin5 xdx.
3 2
解
f ( x ) sin 3 x sin5 x cos x sin x
2
2
3 2
4 . 5
例3 解
计算 令 x a sin t ,
dx a cos tdt ,
原式
x a t , 2
x 0 t 0,
2 0
a cos t a cos tdt
sin 2t 2 t 2 0
a 2
2
2 0
或
例1. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2 0
1 2
x 1 x
2
2
dx
0
1 π 12 2
1 2 0
1 1 x2
d(1 x )
1 2
π 1 2 (1 x 2 ) 12 2 0
3 π 1 2 12
例2. 计算 解： 先去根号，
a f ( x )dx F (b) F (a ) ( ) ( )
f [ ( t )] ( t )dt .
b
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
t 时，积分限也 （1）用 x ( t ) 把变量x 换成新变量
令 t cos x, x t 0, 2
x 0 t 1,
0 5
0
2
cos x sin xdx 1 t dt
5
1
0
t 5 dt
t 1 . 6 0 6
6
1
例2
计算 0
sin3 x sin5 xdx.
3 2
解
f ( x ) sin 3 x sin5 x cos x sin x
2
2
3 2
4 . 5
例3 解
计算 令 x a sin t ,
dx a cos tdt ,
原式
x a t , 2
x 0 t 0,
2 0
a cos t a cos tdt
sin 2t 2 t 2 0
a 2
2
2 0
或
例1. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2 0
1 2
x 1 x
2
2
dx
0
1 π 12 2
1 2 0
1 1 x2
d(1 x )
1 2
π 1 2 (1 x 2 ) 12 2 0
3 π 1 2 12
例2. 计算 解： 先去根号，
a f ( x )dx F (b) F (a ) ( ) ( )
f [ ( t )] ( t )dt .
b
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
t 时，积分限也 （1）用 x ( t ) 把变量x 换成新变量
高数53换元法与分部积分法
注意积分技巧
在运用换元法和分部积分法时，需要注意一些积分技巧，如选择合适的代换变量、合理拆分被积函数等。这 些技巧可以帮助我们更有效地求解复杂积分。
04 复杂函数求解技巧与实例 分析
复杂函数类型及特点
01
02
03
复合函数
由多个基本初等函数通过 四则运算或复合而成的函 数，如$f(g(x))$。
隐函数
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
高数53换元法与分部积分法
目录
• 换元法基本概念与原理 • 分部积分法基本概念与原理 • 换元法与分部积分法关系探讨 • 复杂函数求解技巧与实例分析 • 实际应用问题中换元和分部积分思想体现 • 总结回顾与拓展延伸
01 换元法基本概念与原理
换元法定义及作用
换元法是一种通过变 量代换简化复杂数学 表达式或方程的方法。
解。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
换元法
通过变量代换将复杂积分转化为简单积分，包括第一类换元法（凑微分法）和第 二类换元法（三角代换、根式代换等）。
分部积分法
将复杂被积函数拆分成两个简单函数的乘积，通过求导和积分降低计算难度，特 别适用于含有幂函数、指数函数、三角函数等基本初等函数的积分。
易错点剖析及注意事项
换元法易错点
在换元过程中，需要注意新变量 的取值范围与原变量保持一致， 同时在最后要将结果代换回原变
量。
分部积分法易错点
在选择u和dv时，需要遵循“反对 幂指三”的优先级顺序，同时要注 意计算过程中的符号变化。
注意事项
在应用换元法和分部积分法时，需 要熟练掌握基本初等函数的求导和 积分公式，以便进行正确的代换和 拆分。
在运用换元法和分部积分法时，需要注意一些积分技巧，如选择合适的代换变量、合理拆分被积函数等。这 些技巧可以帮助我们更有效地求解复杂积分。
04 复杂函数求解技巧与实例 分析
复杂函数类型及特点
01
02
03
复合函数
由多个基本初等函数通过 四则运算或复合而成的函 数，如$f(g(x))$。
隐函数
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
高数53换元法与分部积分法
目录
• 换元法基本概念与原理 • 分部积分法基本概念与原理 • 换元法与分部积分法关系探讨 • 复杂函数求解技巧与实例分析 • 实际应用问题中换元和分部积分思想体现 • 总结回顾与拓展延伸
01 换元法基本概念与原理
换元法定义及作用
换元法是一种通过变 量代换简化复杂数学 表达式或方程的方法。
解。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
换元法
通过变量代换将复杂积分转化为简单积分，包括第一类换元法（凑微分法）和第 二类换元法（三角代换、根式代换等）。
分部积分法
将复杂被积函数拆分成两个简单函数的乘积，通过求导和积分降低计算难度，特 别适用于含有幂函数、指数函数、三角函数等基本初等函数的积分。
易错点剖析及注意事项
换元法易错点
在换元过程中，需要注意新变量 的取值范围与原变量保持一致， 同时在最后要将结果代换回原变
量。
分部积分法易错点
在选择u和dv时，需要遵循“反对 幂指三”的优先级顺序，同时要注 意计算过程中的符号变化。
注意事项
在应用换元法和分部积分法时，需 要熟练掌握基本初等函数的求导和 积分公式，以便进行正确的代换和 拆分。
定积分的换元法和分部积分法
2
0
1
1 cos2
x
d (cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
15
二、分部积分公式
设函数u( x) 、v( x)在区间 a,b 上具有
连续导数，则有
b
a udv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (uv
第三节 定积分的换元法和分部积分法
不定积分
换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
1
一、换元公式
定理 假设 f ( x)在[a,b]上连续，函数x (t )
满足条件：
（1） ( ) a ， ( ) b；
（2） (t)在[ , ]（或 , ）上具有连续导数， 且其值域R a, b；
14
0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t))
a
或配元
(t) (t)
数学分析中的积分换元和分部积分法
在数学分析中，积分换元和分部积分法是两个非常重要的工具，可以帮助我们解决一些复杂的积分问题。
本文将介绍这两种方法的基本原理和应用。
积分换元，顾名思义，就是通过变量替换的方式来简化积分式子。
通常情况下，我们会选择一个适当的变量替换，使得被积函数在新的变量下变得更简单。
积分换元的基本原理可以通过链式法则来解释。
设y=f(x)为一个可导函数,x=g(t)为一个可导函数的反函数。
那么，由符合复合函数定义的x得t,b得c可得f(x)g(g(c))得（f(g(c))）g'(c)=f(g(c))g'(c)。
当被积函数是f(g(x))g'(x)形式时，我们就可以通过积分换元来简化计算。
举个例子，假设我们要计算积分∫2x/(x^2+1)dx。
我们可以令u=x^2+1，那么dx=du/2x。
通过这个变量替换，原来的积分式子就变成了∫du/u。
显然，这个积分很容易计算，结果为ln|u|+C。
最后，再将u=x^2+1代回，得到最终的结果为ln(x^2+1)+C。
分部积分法则则是另一种常用的积分方法，其基本原理可以通过乘法法则来解释。
设u(x)和v(x)是两个可导函数，那么根据乘法法则，(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)。
对上式两边同时进行积分，我们可以得到∫(u’(x)v(x)+u(x)v’(x))dx=∫(u(x)v’(x))dx+∫(u’(x)v(x))dx。
右边的两个积分式子我们往往可以更容易地计算得到。
举个例子，假设我们要计算积分∫x sin(x)dx。
我们可以选择u(x)=x，v(x)=−cos(x)，那么u’(x)=1，v’(x)=sin(x)。
把这些值代入分部积分公式，我们得到∫x sin(x)dx=−x cos(x)−∫(−cos(x))dx=−x cos(x)+sin(x)+C。
需要注意的是，选择适当的u(x)和v(x)非常重要，因为不同的选择会导致计算的难度差别很大。
定积分的换元法和分部积分法
1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
5.3 定积分的换元法和分部积分法
−a
0
0
a
= ∫ 0 [ f (x ) + f (− x) ]d x
a
a
即
∫ ∫ f ( x)d x = [ f ( x) + f (− x) ] d x
−a
0
a
a
∫ ∫ 即
f (x)d x = [ f (x) + f (−x) ] d x
−a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f ( x ) = f (− x )
π
原式 =
t 2
+
ln
|
sin
t
+
cos
t
|
2 0
=π
4
例6：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
a
a
则 ∫ − a f (x)d x = 2∫ 0 f (x)d x
（2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数，
a
则 ∫ −a f (x)d x = 0
1 −1
f (u) d u
∫ ∫ ∫ =
1
f (x)d x =
0 (1 + x2 ) d x +
1 e−x d x
−1
−1
0
=
[
x
+
1 3
x
3
]0−1
+
[−e − x ]10
= 7− 1 3e
二、 定积分的分部积分法
设 u = u (x) , v = v(x) 在区间 [ a , b ] 上有连续导
π 2
−
t
dt
π
第三节定积分的换元法和分部积分法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(
n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i n
n
1
0
sin
xdx
1
[
cos
x]0
2
i
xi
或上式 lim 1
n sin i lim n sin i 1
1
sinxdx
n n i1 n n i1 n n 0
1
[ cosx]10
2
i xi
15
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16
二、小结
1.定积分旳分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法旳区别）
2.利用定积分定义求无限（和、积）项旳极限
参见《高等数学学习指导》P86-87 例1、例2、例3
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin
x
2dx 2
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
7
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8
【教材例10】 证明定积分公式(华里士（Wallis）公式)
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
n
1 1
n n n
1
第三节 定积分旳换元法和分部积分法 （二）
定积分的换元法和分部积分法
0 0
a
a
∫
a +T
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫
a 0
0
T
a +T
T
f ( x)dx
例9 求
∫
π +1
1
sin 2xdx
解 函数sin2x 是以为周期的周期函数，故
∫
π +1
1
sin 2 xdx = ∫
π
0
1 π 1 sin 2 xdx = ∫ sin 2 xdx = [ cos 2 x ]π = 0 0 2 0 2
2 7 2
π
解 （1）因为f(x)=sin7x在 [ 2 , 2 ]
x dx (2)在 ∫4π 4 1 + cos x
π
x （2）π ∫ 4 1 + cos xdx
4
π
π π
上为奇函数，所以∫2π sin 7 xdx = 0
2
π
中，令f(x)=
x 1 + cos x
，因为
f(-x)= 所以f(x)在
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx
a 0 0 0
0
T
a
T
对右边第三个积分，x=t+T, 则dx = dt , 当x = T 时, t = 0, 当x = a + T 时, t = a,
∫
a +T
a
f ( x)dx = ∫ f (t + T )dt = ∫ f (t )dt ,
a
a
∫
a +T
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫
a 0
0
T
a +T
T
f ( x)dx
例9 求
∫
π +1
1
sin 2xdx
解 函数sin2x 是以为周期的周期函数，故
∫
π +1
1
sin 2 xdx = ∫
π
0
1 π 1 sin 2 xdx = ∫ sin 2 xdx = [ cos 2 x ]π = 0 0 2 0 2
2 7 2
π
解 （1）因为f(x)=sin7x在 [ 2 , 2 ]
x dx (2)在 ∫4π 4 1 + cos x
π
x （2）π ∫ 4 1 + cos xdx
4
π
π π
上为奇函数，所以∫2π sin 7 xdx = 0
2
π
中，令f(x)=
x 1 + cos x
，因为
f(-x)= 所以f(x)在
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx
a 0 0 0
0
T
a
T
对右边第三个积分，x=t+T, 则dx = dt , 当x = T 时, t = 0, 当x = a + T 时, t = a,
∫
a +T
a
f ( x)dx = ∫ f (t + T )dt = ∫ f (t )dt ,
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第五章 第三节 定积分的换元法和 分部积分法 不定积分
换元积分法分部积ຫໍສະໝຸດ 法定积分换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
1
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一 第一换元法------凑微分
(t ) (t )
(t ) d (t )
凑微分------不换限
2
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9
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例6. 证明
n 1 n 3 3 1 π , n n2 4 2 2
证: 令 t π x , 则 n 为偶数 n 为奇数
sin x dx π sin n ( π t ) d t cos n txd tx d 0 2
2
π 2
2 n
0
π π 2 2
0
令
u (n 1) sin n2 x cos x , 则
π 2
v cos x n 1 I n [ cos x sin x]
0
0
(n 1) sin n 2 x cos 2 x dx
0
10
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π 2
4 I 2m1 22 m 1 2 m 1 3 2 I1 I 2 m2 I 2 m5 3 m 2 m 1
而
I 0 dx
0
π 2
π 2
,
I1 sin x dx 1
0
11
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π 2
故所证结论成立 .
内容小结
基本积分法 换元积分法
6
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例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
解: 方法一：记 (a) a
a T
f ( x ) d x, 则
(a) f (a T ) f (a) 0
可见(a ) C， 因此 (a) (0), 即
方法二：变量代换法
0
a
则
a
a
f ( x ) dx 0
a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx
f (t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx
0 0 a 0 a a
令 x t
f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时
7
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二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a
(t ) (t )
注： 换元必换限
3
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例1. 计算 解: 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t π . 2
2 a 2 0 cos t d t ∴ 原式 =
π 2
I n (n 1) sin
0
π 2
n2 n2
x cos x dx x (1 sin x) dx
2
2
(n 1) sin
π 2
(n 1) I n2
由此得递推公式 I n nn 1 I n2
0
于是
2 m 1 I m 3 I 3 1 I 2 I 2 m 2 m 22m 2 4 2 0 m 2 2m 4
f (b) 0 , 试证
1 b 证： 右端 ( x a )( x b) d f ( x) 分部积分 2 a b 1 ( x a)( x b) f ( x) 2 a 1 b f ( x)(2 x a b) d x 2 a
再次分部积分
b b 1 (2 x a b) f ( x) f ( x) d x = 左端 a 2 a 16
f (x )
3
解法2. 对已知等式两边求导,
得
13
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3. 设
求 解:
(分部积分)
14
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备用题
1. 证明 是以 为周期的函数.
证：
令u t π
是以 为周期的周期函数.
15
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2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a)
一、第二换元法------变量代换法
定理1. 设函数 1) ( ) a , ( ) b ; 2) 在[ , ] 或 [ , ] 上
则 证: 则 单值函数 满足:
(t ) (t ) (t ) 是 (t ) (t ) 的原函数 , 因此有
F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]
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分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
思考与练习
d x 100 sin100 x 1. 0 sin ( x t ) d t ________ dx
提示: 令 u x t , 则
0
x
sin
100
(x t) d t
sin
100
u
12
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2. 设
解法1.
y
y a x
2
2
a 2
2
0 (1 cos 2 t ) d t
π 2
π 2
a 1 ( t sin 2t ) 2 2 0
2
O
a x
4
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例2. 计算
t 2 1 解: 令 t 2 x 1, 则 x , dx t d t , 且 2 当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
8
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例5. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2
0
1 2
x 1 x
0
dx 2
1 π 1 1 2 2 2(1 x ) d (1 x 2 ) 12 2 0 1 1 π (1 x 2 ) 2 2 12 0 π 3 1 12 2
∴ 原式 =
t 2 1 3 2 2 t dt 1 t
1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1
5
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例3.
(1) 若 (2) 若 证:
a 0
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
换元积分法分部积ຫໍສະໝຸດ 法定积分换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
1
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一 第一换元法------凑微分
(t ) (t )
(t ) d (t )
凑微分------不换限
2
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9
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例6. 证明
n 1 n 3 3 1 π , n n2 4 2 2
证: 令 t π x , 则 n 为偶数 n 为奇数
sin x dx π sin n ( π t ) d t cos n txd tx d 0 2
2
π 2
2 n
0
π π 2 2
0
令
u (n 1) sin n2 x cos x , 则
π 2
v cos x n 1 I n [ cos x sin x]
0
0
(n 1) sin n 2 x cos 2 x dx
0
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π 2
4 I 2m1 22 m 1 2 m 1 3 2 I1 I 2 m2 I 2 m5 3 m 2 m 1
而
I 0 dx
0
π 2
π 2
,
I1 sin x dx 1
0
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π 2
故所证结论成立 .
内容小结
基本积分法 换元积分法
6
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例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
解: 方法一：记 (a) a
a T
f ( x ) d x, 则
(a) f (a T ) f (a) 0
可见(a ) C， 因此 (a) (0), 即
方法二：变量代换法
0
a
则
a
a
f ( x ) dx 0
a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx
f (t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx
0 0 a 0 a a
令 x t
f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时
7
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二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a
(t ) (t )
注： 换元必换限
3
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例1. 计算 解: 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t π . 2
2 a 2 0 cos t d t ∴ 原式 =
π 2
I n (n 1) sin
0
π 2
n2 n2
x cos x dx x (1 sin x) dx
2
2
(n 1) sin
π 2
(n 1) I n2
由此得递推公式 I n nn 1 I n2
0
于是
2 m 1 I m 3 I 3 1 I 2 I 2 m 2 m 22m 2 4 2 0 m 2 2m 4
f (b) 0 , 试证
1 b 证： 右端 ( x a )( x b) d f ( x) 分部积分 2 a b 1 ( x a)( x b) f ( x) 2 a 1 b f ( x)(2 x a b) d x 2 a
再次分部积分
b b 1 (2 x a b) f ( x) f ( x) d x = 左端 a 2 a 16
f (x )
3
解法2. 对已知等式两边求导,
得
13
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3. 设
求 解:
(分部积分)
14
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备用题
1. 证明 是以 为周期的函数.
证：
令u t π
是以 为周期的周期函数.
15
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2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a)
一、第二换元法------变量代换法
定理1. 设函数 1) ( ) a , ( ) b ; 2) 在[ , ] 或 [ , ] 上
则 证: 则 单值函数 满足:
(t ) (t ) (t ) 是 (t ) (t ) 的原函数 , 因此有
F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]
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分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
思考与练习
d x 100 sin100 x 1. 0 sin ( x t ) d t ________ dx
提示: 令 u x t , 则
0
x
sin
100
(x t) d t
sin
100
u
12
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2. 设
解法1.
y
y a x
2
2
a 2
2
0 (1 cos 2 t ) d t
π 2
π 2
a 1 ( t sin 2t ) 2 2 0
2
O
a x
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例2. 计算
t 2 1 解: 令 t 2 x 1, 则 x , dx t d t , 且 2 当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
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例5. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2
0
1 2
x 1 x
0
dx 2
1 π 1 1 2 2 2(1 x ) d (1 x 2 ) 12 2 0 1 1 π (1 x 2 ) 2 2 12 0 π 3 1 12 2
∴ 原式 =
t 2 1 3 2 2 t dt 1 t
1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1
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例3.
(1) 若 (2) 若 证:
a 0
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx