校对稿福州市年高三月份质检数学答案文科
2020届福建省福州市高考数学质检(文科)试题Word版含解析
2020届福建省福州市高考数学质检（文科）试题一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合A={﹣3，﹣1，2，4}，B={x ∈R|2x ＜8}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣3}B ．{﹣1，2}C ．{﹣3，﹣1，2}D ．{﹣3，﹣1，2，4} 2．已知复数z 满足（z ﹣i ）i=2+3i ，则|z|=（ ）A ．B ．3C ．10D ．183．若函数f （x ）=ax 2+，则下列结论正确的是（ ） A ．∀a ∈R ，函数f （x ）是奇函数 B ．∃a ∈R ，函数f （x ）是偶函数C ．∀a ∈R ，函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数D ．∃a ∈R ，函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数4．已知sin α+cos α=2，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．5．在如图所示的程序框图中，若a=（），b=log 42，c=log 23•log 32，则输出的x 等于（ ）A ．0.25B ．0.5C ．1D ．26．已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣28．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（1，3），C（2，2），对于△ABC（含边界）内的任意一点（x，y），z=ax+y的最小值为﹣2，则a=（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5/件）应为（）A．4 B．5.5 C．8.5 D．1010．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA⊥平面ABC，若AB=2．AC=，∠BAC=，则棱PA的长为（）A．B．C．3 D．911．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增12．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其图象在点（1，f（1））处的切线斜率为0，若a＜b＜c，且函数f（x）的单调递增区间为（m，n），则n﹣m的取值范围是（）A ．（1，）B ．（，3）C ．（1，3）D ．（2，3）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．已知两点A （1，1），B （5，4），若向量=（x ，4）与垂直，则实数x= ．14．若函数f （x ）=有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．15．已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，P 为抛物线C 上的动点，点Q （0，﹣1），则的最小值为 ．16．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1﹣a n =cos，则a 2016= ．三.解答题：17．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2acosB=2c ﹣b ． （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC 的面积．18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=4，S 5=30，数列{b n }满足b 1+2b 2+…+nb n =a n （Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设c n =b n •b n+1，求数列{c n }的前n 项和T n ．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：B 1C ∥平面A 1BD ；（Ⅱ）若∠A 1AB=∠ACB=60°，AB=BB 1，AC=2，BC=1，求三棱锥A 1﹣ABD 的体积．20．已知过点A （0，2）的直线l 与椭圆C ：+y 2=1交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围； （Ⅱ）若以PQ 为直径的圆经过点E （1，0），求直线l 的方程．21．已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的最小值；（Ⅱ）若f （x ）≥ax+1恒成立，求实数a 的取值范围．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣a|，a ∈R（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）≥|x+1|+1的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）+3x ≤0的解集包含{x|x ≤﹣1}，求a 的取值范围．2020届福建省福州市高考数学质检（文科）试题参考答一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合A={﹣3，﹣1，2，4}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．{﹣3} B．{﹣1，2} C．{﹣3，﹣1，2} D．{﹣3，﹣1，2，4}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵集合A={﹣3，﹣1，2，4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，则A∩B={﹣3，﹣1，2}，故选：C．2．已知复数z满足（z﹣i）i=2+3i，则|z|=（）A． B．3 C．10 D．18【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（z﹣i）i=2+3i，∴﹣i•（z﹣i）i=﹣i（2+3i），∴z﹣i=3﹣2i，∴z=3﹣i．则|z|==．故选：A．3．若函数f（x）=ax2+，则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，函数f（x）是奇函数B．∃a∈R，函数f（x）是偶函数C．∀a∈R，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数D．∃a∈R，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】由题意可得当a=0时，f（x）=，f（x）是奇函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，排除A，B；再根据当a＜0，函数f（x）为减函数，故排除C，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=ax2+，当a=0时，f（x）=，此时，f（x）是奇函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a≠0时，函数f（x）=ax2+为非奇非偶函数，故排除A，B．当a＜0，在（0，+∞）上，f′（x）=2ax﹣＜0，函数f（x）为减函数，故排除C，故选：D．4．已知sin α+cos α=2，则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得α=2k π+，k ∈Z ，从而求得tan α的值．【解答】解：∵sin α+cos α=2，∴2sin （α+）=2，∴sin （α+）=1，∴cos （α+）=0，∴α+=2k π+，k ∈Z ，即α=2k π+，则tan α=，故选：D ．5．在如图所示的程序框图中，若a=（），b=log 42，c=log 23•log 32，则输出的x 等于（ ）A ．0.25B ．0.5C ．1D ．2 【考点】程序框图．【分析】由程序框图知：算法的功能是求a ，b ，c 三个数中的最大数，根据对数函数的性质比较出a 、b 、c 的大小关系即可．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a ，b ，c 三个数中的最大数，由于：a=（）=；b=log 42=；c=log 23•log 32=1，可得：a ＜b ＜c ，则输出x的值是1．故选：C．6．已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：设P（x，y），实轴两顶点坐标为（±a，0），则∵点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，∴•=2，∴=+1，∵﹣=1，∴+1﹣=1，∴b2=2a2，∴c2=a2+b2=3a2，∴c=a，∴e==，故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．故选A．8．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（1，3），C（2，2），对于△ABC（含边界）内的任意一点（x，y），z=ax+y的最小值为﹣2，则a=（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，结合图象求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然直线y=﹣ax+z过A（1，1）时z最小，z=a+1=﹣2，解得：a=﹣3，故选：B．/件）应为（）A．4 B．5.5 C．8.5 D．10【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由题意，设定价为x元时，利润为y元，则y=（x﹣3）40），利用二次函数的性质求最值．【解答】解：由题意，设定价为x元时，利润为y元，由题意可知：y=（x﹣3）40）=40（﹣x2+17x﹣42）故当x==8.5；即x=8.5时，有最大值，故选：C．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA⊥平面ABC，若AB=2．AC=，∠BAC=，则棱PA的长为（）A．B．C．3 D．9【考点】球内接多面体．【分析】把三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的体对角线就是球的直径．【解答】解：由三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长为直径4，因为AB=2．AC=，∠BAC=，所以4+3+PA2=16，所以PA=3．故选：C．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+）是偶函数，可得+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=π，故A错误；∵ω＞0∴ω=2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∴由2x+=k π，k ∈Z ，解得对称中心为：（﹣，0），k ∈Z ，故B 错误； 由2x+=k π+，k ∈Z ，解得对称轴是：x=，k ∈Z ，故C 错误；由2k π≤2x+≤2k π+，k ∈Z ，解得单调递增区间为：[k π，k π]，k ∈Z ，故D 正确．故选：D ．12．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d ，其图象在点（1，f （1））处的切线斜率为0，若a ＜b ＜c ，且函数f （x ）的单调递增区间为（m ，n ），则n ﹣m 的取值范围是（ ） A ．（1，） B ．（，3） C ．（1，3） D ．（2，3） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率可得a+b+c=0，由a ＜b ＜c ，可得a ＜0，b ＞0，求出﹣＜＜﹣2，由f ′（1）=0得到方程有一根为1，设出另一根，根据韦达定理可表示出另一根，根据求出的范围求出另一根的范围，令导函数大于0的不等式的解集应该为x 大于另一根小于1，所以n ﹣m 就等于1减另一根，求出1减另一根的范围即可． 【解答】解：f'（x ）=ax 2+bx+c ， 由图象在点（1，f （1））处的切线斜率为0， 得f'（1）=0，即a+b+c=0， 由a ＜b ＜c 知：c ＞0，a ＜0．由a ＜b=﹣a ﹣c ＜c ，得﹣＜＜﹣2，由f'（1）=0知：方程f'（x ）=0即ax 2+bx+c=0的一根为1，设另一根为x 0，则由韦达定理，得x 0=． 由a ＜0，令f'（x ）=ax 2+bx+c ＞0，得x 0＜x ＜1， 则[m ，n]=[x 0，1]，从而n ﹣m=1﹣x 0∈（，3），故选B ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．已知两点A （1，1），B （5，4），若向量=（x ，4）与垂直，则实数x= ﹣3 ． 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先求出向量，再由向量垂直的性质能求出实数x ． 【解答】解：∵两点A （1，1），B （5，4），向量=（x ，4）与垂直，∴=（4，3），=4x+12=0，解得x=﹣3． 故答案为：﹣3．14．若函数f （x ）=有两个零点，则实数a 的取值范围是 [2，+∞） ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】令ln（1﹣x）=0得x=0，即f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，所以f（x）在[1，+∞）上有1个零点．令2x﹣a=0得a=2x，故a的范围是2x在[1，+∞）上的值域．【解答】解：当x＜1时，令ln（1﹣x）=0得x=0，∴f（x）在（﹣∞，1）上有1个零点，∴f（x）在[1，+∞）上有1个零点．当x≥1时，令2x﹣a=0得a=2x，∴a≥2．故答案为[2，+∞）．15．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，P为抛物线C上的动点，点Q（0，﹣1），则的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PQM，故当PQ和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．【解答】解：由题意可得，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PQM，∠PQM为锐角．故当∠PQM最小时，最小，故当PQ和抛物线相切时，最小．设切点P（a，），则PQ的斜率为，又（）′=x，即有切线的斜率为a，由=a，解得a=±2，可得P（±2，1），∴|PM|=2，|PQ|==2，即有sin∠PQM===．则最小值为．故答案为：．16．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1﹣a n =cos ，则a 2016= 0 ．【考点】数列递推式． 【分析】利用a n+1﹣a n =cos，可得a n+6=a n ．即可得出．【解答】解：当n=6k （k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k+1﹣a 6k =cos =1，当n=6k ﹣1（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣a 6k ﹣1=cos =，当n=6k ﹣2（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣1﹣a 6k ﹣2=cos =﹣，当n=6k ﹣3（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣2﹣a 6k ﹣3=cos =﹣1，当n=6k ﹣4（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣3﹣a 6k ﹣4=cos =﹣，当n=6k ﹣5（k ∈N *）时，a n+1﹣a n =a 6k ﹣4﹣a 6k ﹣5=cos=．∴a n+6=a n ．a 6﹣a 1=﹣1，a 6=0． ∴a 2016=a 336×6=a 6=0． 故答案为：0．三.解答题：17．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2acosB=2c ﹣b ． （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC 的面积． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（I ）利用余弦定理即可得出；（II ）利用余弦定理可得bc ，与b+c=4联立解出b ，c ，即可得出．【解答】解：（I ）2acosB=2c ﹣b ，∴=2c ﹣b ，化为：b 2+c 2﹣a 2=bc ．∴cosA==，又A ∈（0，π）， ∴A=．（II ）由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，∴22=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccosA=42﹣2bc （1+），化为bc=4．联立，解得b=c=2．∴△ABC 是等边三角形，∴S △ABC =×22=．18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=4，S 5=30，数列{b n }满足b 1+2b 2+…+nb n =a n （Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设c n =b n •b n+1，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（I ）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出； （II ）利用递推关系与“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 2=4，S 5=30，∴，解得a 1=d=2．∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ． （II ）∵b 1+2b 2+…+nb n =a n ， ∴当n=1时，b 1=a 1=2；当n ≥2时，b 1+2b 2+…+（n ﹣1）b n ﹣1=a n ﹣1， ∴nb n =a n ﹣a n ﹣1=2， 解得b n =．∴c n =b n •b n+1==4．∴数列{c n }的前n 项和T n =4++…+=4=．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：B 1C ∥平面A 1BD ；（Ⅱ）若∠A 1AB=∠ACB=60°，AB=BB 1，AC=2，BC=1，求三棱锥A 1﹣ABD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连接AB 1，交A 1B 于点O ，连接DO ，根据线面平行的判定定理即可证明B 1C ∥平面A 1BD ； （2）若∠A 1AB=∠ACB=60°，AB=BB 1，AC=2，BC=1，分别求出三棱锥的底面积和高的大小，根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥A 1﹣ABD 的体积． 【解答】（1）连接AB 1，交A 1B 于点O ，连接DO 在△ACB 1中，点D 是AC 的中点，点O 是AB 1的中点 ∴CB 1∥DO ，∵BC 1⊄平面A 1BD ，DO ⊂平面A 1BD ∴BC 1∥平面A 1BD ．（2）取AB 的中点E ，连接A 1E ，ED ， 则ED ∥BC ，且ED=BC==，∵∠A 1AB=60°，AB=BB 1， ∴四边形AA 1B 1B 是菱形，则AE ⊥AB ，∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ， ∴AE ⊥平面ABC ，即AE 是三棱锥A 1﹣ABD 的高， ∵∠ACB=60°，AC=2，BC=1，∴AB===，则满足AC 2=BC 2+AB 2， 即△ABC 是直角三角形， 则BC ⊥AB ，即ED ⊥AB ，则△ABD 的面积S △ABD ===，AE=×=则三棱锥A 1﹣ABD 的体积V=S △ABD •AE=×=．20．已知过点A （0，2）的直线l 与椭圆C ：+y 2=1交于P ，Q 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围； （Ⅱ）若以PQ 为直径的圆经过点E （1，0），求直线l 的方程． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l 的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于0求得k 的取值范围；（Ⅱ）设出P 、Q 的坐标，利用根与系数的关系得到P 、Q 的横坐标的和与积，结合以PQ 为直径的圆经过点E （1，0），由求得k 值，则直线方程可求． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可设直线l 的方程为y=kx+2，联立，得（1+3k 2）x 2+12kx+9=0，由△=（12k ）2﹣36（1+3k 2）=36k 2﹣36＞0， 解得k ＜﹣1或k ＞1．∴k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）； （Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则由（Ⅰ）得：，又E （1，0），∴，由题意可知，=1﹣x 1﹣x 2+x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）=（1+k 2）x 1x 2+（2k ﹣1）（x 1+x 2）+5==，解得：k=﹣，满足k ＜﹣1．∴直线l 的方程为y=﹣，即7x+6y ﹣12=0．21．已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的最小值；（Ⅱ）若f （x ）≥ax+1恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求函数f （x ）的导数f ′（x ），利用导数判断f （x ）在[0，+∞）上单调递增，从而求出f （x ）的最小值； （Ⅱ）【法一】讨论a ≤0以及a ＞0时，对应函数f （x ）的单调性，求出满足f （x ）＜ax+1时a 的取值范围．【法二】根据不等式构造还是h （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣ax ﹣1，利用导数h ′（x ）判断函数h （x ）的单调性与是否存在零点，从而求出满足f （x ）＜ax+1时a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数，所以f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1；令g （x ）=e x ﹣x ﹣1，则g ′（x ）=e x ﹣1， 所以当x ＞0时，g ′（x ）＞0； 故g （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以当x ＞0时，g （x ）＞g （0）=0，即f ′（x ）＞0， 所以f （x ）在[0，+∞）上单调递增； 故当x=0时f （x ）取得最小值1； （Ⅱ）【法一】（1）当a ≤0时，对于任意的x ≥0，恒有ax+1≤1， 又由（Ⅰ）得f （x ）≥1，故f （x ）≥ax+1恒成立； （2）当a ＞0时，令h （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣ax ﹣1，则h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1，由（Ⅰ）知g （x ）=e x ﹣x ﹣1在[0，+∞）上单调递增， 所以h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1在[0，+∞）上单调递增；又h ′（0）=﹣a ＜0，取x=2，由（Ⅰ）得≥+2+1，h ′（2）=﹣2﹣a ﹣1≥+2+1﹣2﹣a ﹣1=a ＞0，所以函数h ′（x ）存在唯一的零点x 0∈（0，2）， 当x ∈（0，x 0）时，h ′（x ）＜0， h （x ）在[0，x 0）上单调递减；所以当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜h （0）=0，即f （x ）＜ax+1，不符合题意； 综上，a 的取值范围是（﹣∞，0]．【法二】令h （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣ax ﹣1，则h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1，由（Ⅰ）知，x ＞0时，e x ﹣x ﹣1＞0；（1）当a ≤0时，h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1＞0，此时h （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以当x ≥0时，h （x ）≥h （0）=0，即e x ﹣x 2﹣x ≥ax+1，即a ≤0时，f （x ）≥ax+1恒成立； （2）当a ＞0时，由（Ⅰ）知g （x ）=e x ﹣x ﹣1在[0，+∞）上单调递增， 所以h ′（x ）=e x ﹣x ﹣a ﹣1＞0在[0，+∞）上单调递增， 所以h ′（x ）在[0，+∞）上至多存在一个零点，如果h ′（x ）在[0，+∞）上存在零点x 0，因为h ′（0）=﹣a ＜0，则x 0＞0，且h ′（x 0）=0， 故当x ∈（0，x 0）时，h ′（x ）＜h ′（x 0）=0， 所以h （x ）在[0，x 0）上单调递减；所以当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜h （0）=0，即f （x ）＜ax+1，不符合题意；如果h ′（x ）在[0，+∞）上不存在零点，则当x ∈（0，+∞）时，恒有h ′（x ）＜0， 所以h （x ）在[0，+∞）上单调递减；则当x ∈（0，+∞）时，h （x ）＜h （0）=0，即f （x ）＜ax+1，不符合题意；综上，a 的取值范围是（﹣∞，0]．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由sin 2α+cos 2α=1，能求出曲线C 1的普通方程，由x=ρcos θ，y=ρsin θ，能求出曲线C 2的极坐标方程．（Ⅱ）依题意设A （），B （），将（ρ＞0）代入曲线C 1的极坐标方程，求出ρ1=3，将（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣2）2=7．∵曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，∴把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入（x ﹣1）2+y 2=1，得到曲线C 2的极坐标方程（ρcos θ﹣1）2+（ρsin θ）2=1， 化简，得ρ=2cos θ．（Ⅱ）依题意设A （），B （），∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C 1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣a|，a ∈R（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）≥|x+1|+1的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）+3x ≤0的解集包含{x|x ≤﹣1}，求a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得绝对值不等式的解集．（Ⅱ）由不等式f（x）+3x≤0，求得x≤﹣，且x≤．分类讨论，根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即 f（x）=|x﹣1|≥|x+1|+1，即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，故不等式的解集为{x|x≤﹣0.5}．（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），即 3x≤x﹣a≤﹣3x，求得 x≤﹣，且x≤．当a≥0时，可得它的解集为{x|x≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，可得﹣≥﹣1，求得a≤2，故有0≤a≤2．当a＜0时，可得它的解集为{x|x≤}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，可得≥﹣1，求得a≥﹣4，故有﹣4≤a＜0．综上可得，要求的a的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）=[﹣4，2]．。
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福州市高三第二次质检 数学（文科）试卷（考试时间：120分钟；满分150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）． 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）＝P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-．球的表面积公式24S R π=,其中R 表示球的半径． 球的表体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1．不等式103x x ->+的解集是 （ ）．A ．（－3，1）B ．（1，＋∞）C ．（－∞，-3）（1，＋∞）D ．（－∞，－1）（3，＋∞）2．设集合{|12},{|}.A x x B x x a ==≤≤≥若A B ⊆，则a 的范围是 （ ）A ．1a <B ． 1a ≤C ． 2a <D ． 2a ≤3． 设αβ﹑为两个平面，l m ﹑为两条直线，且l α⊂，m β⊂，有如下两个命题：①若αβ∥，则l m ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥，那么 （ ）．A ． ①是真命题，②是假命题B ． ①是真命题，②是假命题C ． ①是真命题，②是真命题D ． ①是假命题，②是假命题4． 若函数()y f x =的反函数图象过点（1，5），则函数()y f x =的图象必过点 （ ）．A ．（1，1）B ．（1，5）C ．（5，1）D ．（5，5） 5． 已知(1)nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a = （ ）Ａ．-2 Ｂ．2 Ｃ．-3 Ｄ．36． 在等差数列{}n a 中: 102030,50a a ==,则40a = （ ） A ． 40 B ．70 C ． 80 D ．90 7． 直角坐标系xOy 中，(2,1),(3,)AB AC k ==，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的可能值个数是 （ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 8． “2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的 （ ） Ａ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ． 既不充分也不必要条件9． 如果把圆22:1C x y +=沿向量(1,)a m =平移到C ',且C '与直线340x y -=相切,则m 的值为 （ ）．A ．2或－21B ．2或21C ．－2或21 D ．－2或－21 10． 某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 （ ）．A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种11． 已知函数2()2f x x ax a =-+，在区间(0,)+∞上有最小值，则函数()()f x g x x=在区间(0,)+∞上一定 （ ）．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数12． 在平面直角坐标系xOy 中，)1,0(,)1,1(,)0,1(C B A ，映射f 将xOy 平面上的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点22(2,)P xy x y '-，则当点P 沿着折线C B A --运动时，在映射f 的作用下，动点P '的轨迹是 （ ）．A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）13． 在平面直角坐标系中，不等式组1,0,40x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩表示的平面区域面积是 ．14． 在ABC ∆中，2A C B +=，5,BC =且ABC ∆的面积为AB = ． 15． 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ． 16． 已知定义在R 上的函数()f x 满足(5)()2f x f x +=-+，且当(0,5)x ∈时，()f x x =，则(2008)f 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=2acos 2x+bsinxcosx 23-，且f （0）f （4π）=21． （1）求f （x ）的解析式； （2）求f （x ）的单调递增区间；（3）函数f （x ）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？三个人进行某项射击活动，在一次射击中甲、乙、丙三人射中目标的概率分别为12、14、13． （1）一次射击后，三人都射中目标的概率是多少？（2）用随机变量ξ表示三个人在一次射击后射中目标的次数与没有射中目标的次数之差的绝对值．求证ξ的取值为1或3，并求3ξ=时的概率．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，C 1C=CB=CA=2，AC ⊥CB ． D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点． （1）求B A 1与平面A 1C 1CA 所成角的大小； （2）求二面角B —A 1D —A 的大小；（3）点F 是线段AC 的中点，证明：EF ⊥平面A 1BD ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足关系：111n n n S a a ++-=- ()n N *∈． （1）求{}n a 的通项公式：（2）设 ⎝⎛⎪⎪⎭⎫-=++,log 2log 1122322n n n n a a a b 数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．21．（本小题满分12分）设()f x 是定义在[-1，1]上的偶函数，当x ∈[-1，0]时，()f x =-2a x +4x 3． （1） 若()f x 在(0,1]上为增函数，求a 的取值范围；（2） 是否存在正整数a ，使()f x 的图象的最高点落在直线12y =上？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．已知点A（－2,0），B（2,0），动点P满足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin2θ=2（1）证明：动点P的轨迹Q是双曲线；M N．试问x轴上是否存在定点C，使C M C N （2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点,为常数，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．福州市高三第二轮质检数学（文科）试卷评分标准与参考答案一．选择题 1-5 CBDCB6-10 DBAAC11-12 AA二．填空题 13． 1 ;14． 8 ;15． 3π;16． -1三、解答题17．解：（1）由f （0）=23，得2a-23=23，∴2a=3，则a=23．由f （4π）=21，得23+2b -23=21，∴b=1，…………2分∴f （x ） =3cos 2x+sinxcosx -23=23cos2x+21sin2x=sin （2x+3π）． …………4分 （2）由f （x ）=sin （2x+3π）． 又由π2-+2kπ≤2x+3π≤π2+2kπ，得5π12-+kπ≤x≤12π+kπ， ∴f （x ）的单调递增区间是［5π12-+kπ，12π+kπ］（k ∈Z ）． …………8分（3）∵f （x ）=sin2（x+6π），∴函数f （x ）的图象右移6π后对应的函数可成为奇函数． …………12分18．解：（1）一次射击后，三人射中目标分别记为事件A 1，A 2，A 3，由题意知A 1，A 2，A 3互相独立，且123111(),(),()243P A P A P A ===, …………2分 241314121)()()()(321321=⨯⨯==A P A P A P A A A P ． …………5分∴一次射击后，三人都射中目标的概率是124． …………6分（2）证明：一次射击后，射中目标的次数可能取值为0、1、2、3，相应的没有射中目标的的次数可能取值为3、2、1、0，所以ξ可能取值为1、3, …………9分则(3)P ξ=(P =123A A A ）+)(321A A A P1231231111327()()()()()()24324324P A P A P A P A P A P A =+=⨯⨯+⨯⨯=． .........12分 19．解：（1）连接A 1C ．∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥BC ． ∵AC ⊥CB ，∴BC ⊥平面A 1C 1CA ． (1)分∴1BA C ∠为1A B 与平面A 1C 1CA 所成角，11arctan BC BAC AC ∠== ∴B A 1与平面A 1C 1CA 所成角为22arctan ． (3)分（2）分别延长AC ，A 1D 交于G ． 过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ， ∵BC ⊥平面ACC 1A 1，∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 内的射影，∴BM ⊥A 1G ，∴∠CMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角， (5)分 平面A 1C 1CA 中，C 1C=CA=2，D 为C 1C 的中点，∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，CM ∴=，tan CMB ∴= (7)分 即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ． ……………………8分（3）证明：∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱，∴B 1C 1//BC ， ∵由（Ⅰ）BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ，∵F 为AC 中点，∴C 1F ⊥A 1D ，∴EF ⊥A 1D ． ……………………11分同理可证EF ⊥BD ，∴EF ⊥平面A 1BD ． ……………………12分解法二：GM（1）同解法一……………………3分（2）∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱，C 1C=CB=CA=2， AC ⊥CB ，D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点． 建立如图所示的坐标系得：C （0，0，0），B （2，0，0），A （0，2，0）， C 1（0，0，2）， B 1（2，0，2）， A 1（0，2，2），D （0，0，1），E （1，0，2）． ………………6分 1(2,0,1),(2,2,2)BD BA ∴=-=-，设平面A 1BD 的法向量为n ),,1(μλ=，10,20,1,2220. 2.0.n BD n BA μλλμμ⎧⋅=-+==-⎧⎧⎪∴⎨⎨⎨-++==⋅=⎩⎩⎪⎩即得 (1,1,2)n ∴=-． …………6分 平面ACC 1A 1的法向量为m =（1，0，0），cos ,n m <>==． ………7分 即二面角B —A 1D —A的大小为 …………………8分 （3）证明：∵F 为AC 的中点，∴F （0，1，0），(1,1,2)EF =-． ……10分由（Ⅱ）知平面A 1BD 的一个法向量为(1,1,2)n =-，∴FE //n ． ……11分 EF ⊥平面A 1BD ． ………………………………12分 20．解：（1） 据题意：111n n n S a a ++-=- ()n N *∈，11n n n S a a --=-()2,n n N *≥∈．两式相减,有：1112+-++-=-n n n n n a a a S S ，…………3分111112,2n n n n n n a a a a a a +-+-∴=-+∴=()2,n n N *≥∈． …………4分 又由S 2=121212,1(),a a a a a a +∴-+=-解得112a =． …………5分∴{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，∴1()2n n a n N *=∈． …………6分（2） ⎝⎛⎪⎪⎭⎫-=++,log 2log 1122322n n n n a a a b)()(12111121232212232n n nn n n n -⎛⎫ =-⋅=-⎪ +++⋅+⋅⎭⎝………8分 n T 12n b b b =+++11111111135252747498(21)2(23)2n n n n -⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭ 113(23)2nn =-+⋅ …………12分 21．解： 因为当x ∈[-1，0]时，()f x =-2a x +4x 3． 所以当x ∈(0,1]时，()f x =()f x -=2a x -4x 3，∴3324,10,()24,0 1.ax x x f x ax x x ⎧-+-⎪=⎨-<⎪⎩≤≤≤ ………………………………………2分 （1）由题设()f x 在(0,1]上为增函数，∴()0f x '≥在x ∈(0,1]恒成立，即22120a x -≥对x ∈(0,1]恒成立，于是，26a x ≥，从而()2max66a x ≥=．即a 的取值范围是[6,)+∞………………………………6分（2）因()f x 为偶函数，故只需研究函数()f x =2a x －4x 3在x ∈(0,1]的最大值．令()f x '=2a -12x 2=0，得x=……………8分(0,1]，即0＜a ≤6，则3max [()]2212f x f a a ==<， 故此时不存在符合题意的a ； ……………10分 1，即a ＞6，则()f x 在(0,1]上为增函数，于是max [()](1)24f x f a ==-．令2a -4=12，故a =8． 综上，存在a =8满足题设． ………………12分22．解: （1）依题意，由余弦定理得：2222cos2AB PA PB PA PB θ=+-⋅⋅, ……2分即即222162(12sin)PA PB PA PB θ=+-⋅⋅-22224sin PA PB PA PB PA PB θ=+-⋅+⋅⋅2()8PA PB =-+．2()8PA PB ∴-=,即4PA PB AB -==． …………4分 （当动点P 与两定点,A B 共线时也符合上述结论）∴动点P 的轨迹为以,A B 为焦点,实轴长为的双曲线．所以，轨迹Q 的方程为222x y -=． …………6分（2）假设存在定点(,0)C m ,使CM CN ⋅为常数．（1）当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为(2)y k x =-,代入222x y -=整理得: 2222(1)4(42)0k x k x k -⋅+-+=． …………7分 由题意知，1k ≠±．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则212241k x x k +=-,2122421k x x k +⋅=-． …………8分 于是，21212()()(2)(2)CM CN x m x m k x x ⋅=-⋅-+-⋅- …………9分2222121222222222222(1)(2)()4(1)(42)4(2)4112(12)21k x x k m x x k m k k k k m k m k k m k m k =+-+++++++=-++---+=+- 224(1)2(12)1m m m k -=++--． …………11分 要使CM CN ⋅是与k 无关的常数，当且仅当1m =，此时1CM CN ⋅=-． …12分（2）当直线l 与x轴垂直时，可得点M,(2,N ，当1m =时，(1,1CM CN ⋅=⋅=-． …13分 故在x 轴上存在定点(1,0)C ,使CM CN ⋅为常数． …………14分。
2024福建省福州市高三下学期4月末质量检测数学试题及答案
（在此卷上答题无效）2023～2024 学年福州市高三年级4月份质量检测数 学 试 题（完卷时间 120 分钟； 满分 150 分）友情提示： 请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合101M xx= +…，则M =R ð A. {}1x x <−B. {}1x x −…C. {}1x x >−D. {}1x x −…2. 设,a b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 等轴双曲线经过点(3,1)−，则其焦点到渐近线的距离为A ．B ．2C ．4D6. 54(1)(12)x x −+的展开式中2x 的系数为A ．14−B ．6−C ．34D ．747. 数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q .若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q −= A ．1 B ．2 C ．3 D ．48. 四棱锥E ABCD −的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD ，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为A ．13B ．14C D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分.9. 在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是甲乙87 90 96 91 86 90 86 92 87 95A ．甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B ．甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C ．甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D ．甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数 10. 已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足ππ33f x f x+=−，且π()(π)2f f >，则A ．1sin 2ϕ=B ．1sin 2ϕ=−C ．()y f x =的图象关于点13(π,0)12对称D ．()f x 在区间π(,π)2单调递减11. 已知函数()(e e )e e x x x x f x ax −−=+−+恰有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<，则 A ．1230x x x ++= B ．实数a 的取值范围为(0,1] C ．110ax +>D ．31ax a +>三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若向量(3,4)=−a 在向量b (2,1)=−上的投影向量为λb ，则λ等于__________.13. 倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为__________.14. 如图，六面体111ABCDA C D的一个面ABCD 是边长为2的正方形，111,,AA CC DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于__________，表面积等于_________.1A四、解答题：本大题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （13分）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n −=+（2n …）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16. （15分）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布2(0,0.2)N ，规定(0.2,0.2)X ∈−的零件为优等品，(0.6,0.6)X ∈−的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测.求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）.（附：若随机变量2~(,)N ξµσ，则()0.6827P µσξµσ−<<+=，(22)0.9545P µσξµσ−<<+=，(33)0.9973P µσξµσ−<<+=）17. （15分）如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE −．设P 是»CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点.（1）证明：GH ∥平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.C18. （17分）点P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上（左、右端点除外）的一个动点，1(,0)F c −，2(,0)F c 分别是E 的左、右焦点．（1）设点P 到直线2:a l x c =的距离为d ，证明2||PF d为定值，并求出这个定值； （2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴． （ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围．19. （17分）记集合{}(),000()()|,()(),,()()f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈∃∈=R 且…，集合{}(),000()()|,()(),,()()f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈∃∈=R 且….若(),()f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若(),()f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”.（1）已知函数2()f x x x =−+，0()1l x kx =+.若0(),()f x x l x L ∈∈R ，求k 的值； （2）已知()e 1x g x =+.（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()ln(1)h x x =−，直接写出集合(),(1,)(),h x x g x x L T ∈+∞∈R I 中元素的个数（无需证明）.2023～2024 学年福州市高三年级4月份质量检测参考答案与评分细则一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分.1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABC 10．BC 11．ACD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．2− 13．8 14．6，22四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 【考查意图】本小题主要考查递推数列与数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等；考查分类与整合、化归与转化等思想方法；考查数学运算、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.满分13分.解：（1）因为12,2n n a a n n −=+…，所以12n n a a n −−=，···································1分 当2n …时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+L ，所以22242n a n n =+−+++L ，·························································3分 所以(22),22n n n a n +=…，所以2,2n a n n n =+…，··································4分 又因为12a =，···············································································5分 所以2*,n a n n n =+∈N .······································································6分 （2）由（1）可知2*(1),n a n n n n n =+=+∈N ，·············································7分所以()111111n a n n n n ==−++，····························································9分 所以11111223(1)(1)n S n n n n =++++××−+L 1111111122311n n n n =−+−++−+−−+L ，·····································11分 所以111n S n =−+，·········································································12分 又因为1n …，所以1n S <.·································································································13分16.【考查意图】本小题主要考查正态分布、全概率公式、条件概率等基础知识，考查数学建模能力、逻辑思维能力和运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和应用性．满分15分. 解：（1）依题意得，0,0.2µσ==，···························································1分所以零件为合格品的概率为(0.60.6)(33)0.9973P X P X µσµσ−<<=−<<+=， ···································································································2分 零件为优等品的概率为(0.20.2)()0.6827P X P X µσµσ−<<=−<<+=，·····3分 所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =−=，···········5分 所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631×≈.·············································································6分 （2）设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，····························································8分 则D A BC =+，且A 与BC 互斥，·······················································9分 所以()()()P D P A P BC =+·································································10分()()(|)P A P B P C B =+·························································11分221220.68270.68270.31460.6827C C =×+×××21.62920.6827=×，····························································12分所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为 ()(|)()P AD P A D P D =···········································································13分 220.68271.62920.6827=× 11.6292= 0.61≈.············································································· 15分答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61.17.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质定理、平面与平面的夹角、空间向量、三角函数的概念等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分.解法一：（1）在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK .···································································································2分因为,G H 分别为线段,AP EF 中点， 所以HF HE =，所以Rt AFH △≌Rt KEH △，所以AH KH =，·····························4分 所以GH PK ∥.································5分 又因为,GH BCE PK BCE ⊄⊂面面，所以GH BCE ∥面.···········································································7分 （2）依题意得，AB BCE ⊥面，又因为BP BCE ⊂面，所以AB BP ⊥.又因为BP AE ⊥,AB AE A =I ,,AB AE ABEF ⊂面，所以BP ABEF ⊥面，········································································8分 又BE ABEF ⊂面，所以BP BE ⊥，·····················································9分解法二：（1）证明：取BP 的中点Q ，连接,GQ EQ . ·····1分因为,G H 分别为线段,AP EF 的中点， 所以GQ AB ∥，12GQ AB =，····························2分 又因为,AB EF AB EF =∥，所以,GQ HE GQ HE =∥，·································3分所以四边形GQEH 是平行四边形，······················································4分 所以GH QE ∥，··············································································5分 又因为,GH BCE QE BCE ⊄⊂面面，所以GH BCE ∥面.············································································7分 （2）同解法一.····················································································15分所以GH BCE ∥面.············································································7分 （2）同解法一.····················································································15分18.【考查意图】本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分17分.解法一：（1）依题意，222b c a +=．··························································1分设00(,)P x y ，则2200221x y a b +=，0ax a −<<，所以2||PF =，所以20||||cPF x a a==−，············································3分又a c >，所以0c a x a >，20a x c >，所以20||c PF a x a =−，20a d x c =−所以0220||c a x PF c a a d a x c−==−，即2||PF d 为定值，且这个定值为ca．··················4分 （2）（ⅰ）依题意，00(,)33x yG ，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG ⊥x 轴，所以0(,0)3xC ，·······················5分所以001202||||()()333x x FC F C c c x −=+−−=，··········································6分 因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点C ，所以121202||||||||3PF PF F C F C x −=−=，·················································7分又因为12||||2PF PF a +=，解得02||3x PF a =−，··········································8分由（1）得20||cPF a x a =−， 所以003x ca x a a −=−，所以椭圆E 的离心率13c e a ==．·························10分（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =−=，所以椭圆E 的方程为22198x y +=．······················································11分根据椭圆对称性，不妨设点P 在第一象限或y 轴正半轴上，即003x <…，00y <…， 又1(1,0)F −，2(1,0)F ，所以直线PF 1的方程为00(1)1yy x x =++，设直线IG 与PF 1交于点D ，因为03D x x =，所以000(3)3(1)D y x y x +=+，△F 1CD 的面积1S 与△PF 1F 2的面积S 之比为00200100(3)1(1)233(1)(3)118(1)22x y x x x S S x y ++×++==+××，················································13分令2(3)()18(1)x f x x +=+（03x <…），则2(3)(1)(1))(18x x x f x −′++=，当[0,1)x ∈，()0f x ′<，当(1,3)x ∈，()0f x ′>， 所以函数()f x 在[0,1)单调递减，在(1,3)单调递增.又因为1(0)2f =，4(1)9f =，1(3)2f =，所以()f x 的值域是41[,]92，所以14192S S ……，··········································································15分所以11415S S S −……，·······································································16分 根据对称性，△PF 1F 2被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45[,54．········17分解法二：（1）同解法一···········································································4分（2）（ⅰ）依题意，00(,33x yG ，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG ⊥x 轴，所以0(,0)3xC ，·······················5分所以001202||||()()333x x FC F C c c x −=+−−=，··········································6分 因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点C ，所以121202||||||||3PF PF F C F C x −=−=，·················································7分又因为12||||2PF PF a +=，得0102||,3||.3x PF a x PF a=+ =− ···········································8分所以00,3,3x a x a =+=−两式平方后取差，得00443cx ax =对任意0x 成立， 所以椭圆E 的离心率13c e a ==．························································10分（ⅱ）同解法一···················································································17分 解法三：（1）同解法一···········································································4分（2）（ⅰ）依题意，00(,33x y G ，因为IG ⊥x 轴，设点I 坐标为0(,)3xt .··········5分可求直线1PF 方程为00()yy x c x c=++，则点I 到直线1PF 的||t =，·································6分即()222200000()()()3x y c t x c t y x c +−+=++ ，化简得22000002()()()033x xy t t c x c y c +++−+=，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于||t ，可得22000002()()()033x xy t t c x c y c +−−−−=，②············································7分 将式①−式②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.·····································8分将04yt =代入式①，得2200001()()()016233y xx c x c c +++−+=， 化简得220022198x y c c +=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==．························································10分（ⅱ）同解法一···················································································17分19.【考查意图】本小题主要考查集合、导数、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、 综合性与创新性.满分17分. 解：（1）依题意，因为0(),()f x x l x L ∈∈R ，所以2,1x x x kx ∀∈−++R …，且0x R ，20001x x kx −+=+，····················1分 令2()(1)1x x k x φ=−+−−，()214k ∆=−−， 则()0x φ…，且0()0x φ= ，所以0,0,∆ ∆ ……所以0∆= ，···································································3分即()2140k −−=，解得3k =或1−.··············································································4分（2）（ⅰ）先证必要性.若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +， 因为()e x g x ′=，所以切线方程为()000e 1e ()x x y x x −+=−，即()000e (1)e 1x x l x x x =+−+（*）.························································5分 一方面，()()00g x l x =，所以000,()()x g x l x ∃∈=R ，································6分。
2020届福建省福州市高三质量检测数学(文)试题(解析版)
将四棱锥置入到正方体中，如图，
因为 ，所以 ，
所以外接球O的半径为 .
故选：B
【点睛】
本题考查求四棱锥外接球的半径，在处理较为特殊的锥体时，首先考虑能否将其置入长方体中，本题是一道容易题.
11．已知两条抛物线 ， （ 且 ），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且 的面积是 面积的3倍．则 （）
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ，易知 或其补角为异面直线MN与PC所成的角，分别求出 ，解三角形即可.
【详解】
取 的中点 ，连接 ，易知 或其补角为异面直线MN与
PC所成的角，又三棱锥 的各棱长均为2，所以 ，
又易得 ，所以 ， ，
所以 ，所以 为等腰直角三角形，
故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，空间想象能力，是一道中档题.
【详解】
令 ，得 ．令 ，即 ，
则 ， 即为 与直线 在 上交点的横坐标，由图象可知，
，故 ，
又 ，所以
．
故选：B
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换中的给值求值，涉及到三角函数的图象与性质，辅助角公式，考查学生数形结合的思想，转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.
二、填空题
13．已知 ，则曲线 在 处的切线方程为_________．
2020届福建省福州市高三质量检测数学（文）试题
一、单选题
1．若复数 ，则 （）
A．0B．2C． D．
【答案】D
【解析】利用复数的除法运算即可.
【详解】
.
故选：D
【点睛】
2020年福州市高中毕业班质量检测参考答案(文科数学)详解
地理三个科目的优势更明显，故 D 不一定错误．
7. 如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形．此图形由三个半圆构成，两个小
半圆外切，又同时内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形（黑色部分），由于其
形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称此图形为“皮匠刀”图形．若 AC 2CB ，在
整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形（黑色部分）的概率为
作出阳马 P ABCD 的直观图，如图正方体中的粗线部分，
易知该阳马的外接球即为该正方体的外接球，
A
D
则该球的直径 2R
12 12 12 ，即 R
3． 2
B
C
11. 已知两条抛物线 C : y2 2x ，E : y2 2 px（ p ＞ 0 且 p 1 ），M 为 C 上一点（异于原
算等数学核心素养．
【答案】D．
【解答】
zz i
1 i1 i
i
2 i
2i ．
2. 已知集合 M x x2 ≤ 4 ，N x 2 x ＞0 ，则 M N
A．x 2 ≤ x ＜ 2
B．x 0 ＜ x ＜ 2
C．x 2 ≤ x ≤ 2
D．x x ≤ 2
【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、解不等式等基础知识，意在考查逻辑 推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】A．
D．
y
ln x,
ln
x
,
x ＞ 0, x＜0
【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理等数学
核心素养． 【答案】D． 【解答】函数 f (x) x sin x 定义域为 R ，且 f (x) (x)sin(x) x sin x ，所以 f (x)
福建省福州市2023-2024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷(解析版)
2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合101M x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则R M =ð（）A.{}1x x <- B.{}1x x ≤- C.{}1x x >- D.{}1x x ≥-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式再利用补集运算即可求解.【详解】由101x ≤+得10x +<，即1x <-，所以{}1M x x =<-，于是{}R 1M x x =≥-ð.故选：D.2.设a ，b ∈R ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充要条件的概念即可求解.【详解】当0ab <时，00a b >⎧⎨<⎩或0a b <⎧⎨>⎩，则0a b a b +=，即充分性成立；当0a b a b +=时，0b ba a =->，则0ab <，即必要性成立；综上可知，“0ab <”是“0a ba b+=”的充要条件.故选：C.3.等轴双曲线经过点()3,1-，则其焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】因为该曲线为等轴双曲线，不妨设该双曲线的方程为22221(0)x y a a a-=>，因为等轴双曲线经过点(3,1)-，所以22911a a-=，解得28a =，则22216c a a =+=，所以该双曲线的一个焦点坐标为(4,0)F ，易知该双曲线的一条渐近线方程为y x =，则点(4,0)F 到直线y x =的距离d ==．故选：A ．4.已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A.78B.158C.158-D.78-【答案】D【解析】【分析】先利用和角公式展开1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，平方可求sin 2α.【详解】1sin cos 4224πααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭平方可得11(1sin 2)216α+=，所以7sin 28α=-,故选D.【点睛】本题主要考查倍角公式，熟记公式是求解关键，题目较为简单,侧重考查数学运算的核心素养.5.已知非零复数z 满足1i z z -=-，则zz=（）A.1 B.1- C.iD.i-【答案】D 【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用条件证明a b =，再代入zz化简即可.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由1i z z -=-知()1i 1i a b a b -+=+-.从而()()222211a b a b -+=+-，展开即得a b =.由z 非零，知0a b =≠，故()()()2i 1i i 1i 2i i i 1i 1i 1i 2i a z a b b a z a b b-----======-+++-+.故选：D.6.()()54112x x -+的展开式中2x 的系数为（）A.14- B.6- C.34D.74【答案】B 【解析】【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【详解】5(1)x -的展开式为15C (1)(0rrrr T x r +=⋅-⋅=，1，2，3，4，5)，4(12)x +的展开式14C 2(0k k k k T x k +=⋅⋅=，1，2，3，4)，当0r =，2k =时，2x 的系数为224C 224⋅=；当1r =，1k =时，2x 的系数为54240-⨯⨯=-；当2r =，0k =时，2x 的系数为25C 10=，故2x 的系数为2410406+-=-．故选：B ．7.数列{}n a 共有5项，前三项成等差数列，且公差为d ，后三项成等比数列，且公比为q ．若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d q -=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】结合等差、等比数列的概念利用第二项写出剩下四个项，进而列方程组即可求解.【详解】由根据题意得，该数列的项为()()22,2,2,2,2d d d q d q -+++，又()()222102230d d q d d q ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩，即26213021d q d q ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得24q d =⎧⎨=⎩或31q d =⎧⎨=⎩.于是2d q -=.故选：B.8.四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，平面BEC ⊥平面ABCD，BC =，1CD CE ==，2BE =，则O 到平面ADE 的距离为（）A.13B.14C.24D.58【答案】A 【解析】【分析】根据线面关系可证得AB ⊥平面BEC ，BE CE ⊥，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，确定球心的位置，再建立空间直角坐标系，求解平面ADE 的法向量，利用空间向量的坐标运算计算O 到平面ADE 的距离即可.【详解】因为平面BEC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，又底面ABCD 为矩形，则AB BC ⊥，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面BEC ，则,AB CE AB EB ⊥⊥，又BC =，1CD CE ==，2BE =，所以222BE CE BC +=，则BE CE ⊥,如图，将四棱锥E ABCD -补成长方体111AD DA BECB -，若四棱锥E ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则长方体111AD DA BECB -的顶点均在球O 的球面上，O 为体对角线11D B 中点，如图，以E 为原点，1,,EC EB ED 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,1,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,2,0A D E D B ，故11,1,22O ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =，又()()0,2,1,1,0,1EA ED == ，12020n EA y z y z n ED x z x z⎧⎧⋅=+==-⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩=-⎩ ，令2z =，所以()2,1,2n =-- ，又11,1,22EO ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则O 到平面ADE的距离为13EO n n ⋅==.故选：A.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数【答案】ABC 【解析】【分析】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解.【详解】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：极差等于968610-=；平均数等于()18687909196905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909190969012.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于91.乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：极差等于95869-=；平均数等于()18687909295905⨯++++=；方差等于()()()()()2222218690879090909290959010.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；第75百分位数等于92.综上可知，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.10.已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.1sin 2ϕ=B.1sin 2ϕ=-C.()y f x =的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()33ππ+=-f x f x，所以()f x 的图象关于π3x =对称，则2πππ32k ϕ+=+，Z k ∈，则6πkπϕ=-，Z k ∈，所以π()sin(2)6f x x =-或5π()sin(2)6f x x =+，因为π((π)2f f >，所以π2π6n ϕ=-，Z n ∈，1sin 2ϕ=-，A 错误，B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，13π(sin 2π012f ==，即()f x 的图象关于点13(π,0)12对称，C 正确；当ππ2x <<时，5ππ11π2666x <-<，因为sin y t =在5π(6,11π6上不单调，D 错误．故选：BC ．11.已知函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+恰有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A.1230x x x ++=B.实数a 的取值范围为(]0,1C.110ax +>D.31ax a +>【答案】ACD 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性可判断A 选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数a 的取值范围，即可判断B 选项；由112122e1e 1x xax +=+来可判断C 选项；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，进而31ax a +>等价于323e 210x x -->，令()()2=e210xh x x x -->，用导数证明()0h x >，即可判断D 选项.【详解】函数()()e eee xxxx f x ax --=+-+定义域为R ，()()()()()e e e e e e e e x x x x x x x xf x a x ax f x ----⎡⎤-=-+-+=-+-+=-⎣⎦，所以()f x 是奇函数，则()00f =，又因为()f x 有三个零点且123x x x <<，()()()1230f x f x f x ===，所以13x x =-，20x =，即1230x x x ++=，故A 选项正确；()()e eee0xxxxf x ax --=+-+=，得222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xax --=--==-+++，令()221e 1xg x =-+，则()()2224e 0e 1xxg x =>+'，所以()f x 在R 上增函数，要使函数()f x 有3个零点，y ax =与()y g x =的图象有3个交点，如图：又()()()2222222224e 4e 411e 1e 2e 1e 2e xxx xx x x g x ===≤=+++++'，当且仅当0x =时取等号，即()01g x <'≤，所以01a <<，故B 错误；111212222e 1110e 1e 1x x x ax ⎛⎫+=-+=> ⎪++⎝⎭，故C 选项正确；由32321e 1x ax =-+得323121e 1x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，又30x >，要使333223212111e 1e 1x x ax a x ⎛⎫+=-+-> ⎪++⎝⎭成立，则323e 210x x -->成立，令()()2=e210xh x x x -->，()()()2=2e 100x h x x -'>>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()0=0h x h >，于是323e210x x -->，则31ax a +>，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量()3,4a =- 在向量()2,1b =- 上的投影向量为b λ，则λ等于______．【答案】2-【解析】【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为2a b b b⋅ ，所以()()()223,42,164252,1a b b λ-⋅-⋅--====--.故答案为：2-.13.倾斜角为π3的直线经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与C 交于A ，B 两点，Q 为线段AB 的中点，P 为C 上一点，则PF PQ +的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由题意，根据给定条件，求出点Q 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．【详解】易知抛物线2:12C y x =的焦点(3,0)F ，准线3x =-，直线AB的方程为3)y x =-，联立23)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理得21090x x -+=，不妨设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由韦达定理得1210x x +=，此时线段AB 的中点Q 的横坐标5Q x =，过P 作准线3x =-的垂线，垂足为D '，过Q 作准线3x =-的垂线，垂足为D ，由抛物线的定义可得5382Q pPF PQ PD PQ QD QD x +=+≥≥+='+'==||||PF PQ +取得的最小值为8．故答案为：8．14.如图，六面体111ABCDA C D 的一个面ABCD 是边长为2的正方形，1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，且11AA =，12CC =，则该六面体的体积等于________，表面积等于______．【答案】①.6②.22【解析】【分析】根据1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，从而根据线线平行可得故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，根据柱体体积公式即可得该六面体的体积，根据几何体外表面的线线关系结合勾股定理、余弦定理、三角形面积公式、梯形面积公式、正方形面积公式，即可得几何体的表面积.【详解】如图，在1DD 上取1DM AA =，连接1,A M MC ，因为1AA ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，所以111////AA CC DD ，则11,AA AD AA DC ⊥⊥，因为正方形ABCD ，所以AD DC ⊥，又,,AD DC D AD DC =⊂ 平面11A ADD ，所以DC ⊥平面11A ADD ，由1DM AA =可得四边形1AA MD 为平行四边形，所以11//,AD A M AD A M =，因为面ABCD 为正方形，则//,AD BC AD BC =，所以11//,BC A M BC A M =，则四边形1A MCB 为平行四边形，所以11//,A B MC A B MC =，又1A B ⊄平面11DCC D ，MC ⊂平面11DCC D ，所以1//A B 平面11DCC D ，因为平面11DCC D 平面11111A BC D C D =，则111//A B C D ，所以四边形11MD C C 为平行四边形，所以112MD C C ==，故1ABA DCM -为三棱柱，111BCC A MD -为三棱柱，则该六面体的体积1111ABA CDM BCC A MD V V V --=+=1111212222622ABA BCC S BC S DC ⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ；如图，连接1,BD D B ，又1A B ===，11A D ===，BD ==所以1BD ==，则在四边形111A BC D中，由余弦定理得22211111111110cos 210A B A D BD D A B A B A D +-∠===-⋅，所以11sin 10D A B ∠==，则11111111sin 610A BC D S AB A D D A B =⋅⋅∠== ，该六面体的表面积111111111ABA BCC A BCD ABCDA ADD DCC D S S S S S S S =+++++ 四边形四边形()()11112122132232622222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=.故答案为：6；22.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定六面体的线线关系.关于求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．【答案】（1）2n a n n =+，*n ∈N ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n 项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【小问1详解】数列{}n a 中，当2n ≥时，12n n a a n -=+，即12n n a a n --=，则12112312()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=--⋅⋅⋅+--++++()()2222462222n n n a n n n n +=+++⋅⋅⋅+-+==+，而12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+，*n ∈N ．【小问2详解】由（1）知()21n a n n n n =+=+，*n ∈N ，则()111111n a n n n n ==-++，因此()()1111122311n S n n n n =++⋅⋅⋅++⨯⨯-+1111111111223111n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+-=--++，而1n ≥，则1111n -<+，所以1n S <．16.甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X 服从正态分布()20,0.2N ，规定()0.2,0.2X ∈-的零件为优等品，()0.6,0.6X ∈-的零件为合格品．（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．（附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=）【答案】（1）约31个（2）约为0.61【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求解；（2）利用条件概率求解即可．【小问1详解】依题意得，0μ=，0.2σ=，所以零件为合格品的概率为()()0.60.6330.9973P X P X μσμσ-<<=-<<+=，零件为优等品的概率为()()0.20.20.6827P X P X μσμσ-<<=-<<+=，所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =-=，所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631⨯≈．【小问2详解】设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，则D A BC =+，且A 与BC 互斥，所以()()()()()()P D P A P BC P A P B P C B=+=+221222C 0.6827C 0.68270.31460.6827 1.62920.6827=⨯+⨯⨯⨯=⨯，所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为22()0.68271(|)0.61() 1.62920.6827 1.6292P AD P A D P D ===≈⨯．答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．17.如图，以正方形ABCD 的边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是CE 上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：//GH 平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ，通过证明Rt Rt AFH KEH ≌△△可得GH PK ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，通过证明四边形GQEH 是平行四边形可得GH QE ∥，进而利用线面平行的判定定理即可证明；证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ，利用面面平行的判定定理证明平面//GIH 平面BCE ，从而即可得证//GH 平面BCE .（2）首先通过线面垂直的判定定理证明BP ⊥平面ABEF 可得BP BE ⊥，然后建立空间直角坐标系，利用向量法可求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值.【小问1详解】证法一：在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 中点，所以HF HE =，所以Rt Rt AFH KEH ≌△△，所以AH KH =，所以GH PK ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，PK ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法二：取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ ，因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以//GQ AB ，12GQ AB =，又因为//AB EF ，AB EF =，所以GQ HE ∥，GQ HE =，所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥，又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以//GH 平面BCE ．证法三：取AB 的中点I ，连接G I ，HI ．因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GI BP ∥，HI EB ∥，又因为GI ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，所以//GI 平面BCE ．因为HI ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//HI 平面BCE ．又因为GI HI I ⋂=，GI ⊂平面GIH ，HI ⊂平面GIH ，所以平面//GIH 平面BCE ，又因为GH Ì平面GIH ，所以//GH 平面BCE ．【小问2详解】依题意得，AB ⊥平面BCE ，又因为BP ⊂平面BCE ，所以AB BP ⊥．又因为BP AE ⊥，AB AE A = ，AB ，AE ⊂平面ABEF ，所以BP ⊥平面ABEF ，又BE ⊂平面ABEF ，所以BP BE ⊥，所以BP ，BE ，BA 两两垂直．以B 为原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设1AB =，30BCP ∠= ，则()1,0,0P ，31,,122D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BP =，31,,122BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BPD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,BP m BD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即031022x x y z =⎧-+=⎩，取2y =，得0x =，1z =，所以平面BPD 的一个法向量是()0,2,1m =，又平面BPA 的一个法向量为()0,1,0n =．设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则25cos cos ,5m n m n m n θ⋅====．所以平面DBP 与平面BPA．18.点P 是椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.（1）设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF 为定值，并求出这个定值；（2）12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.【答案】（1）证明见解析，定值为ca（2）（ⅰ）13；（ⅱ）45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由两点间距离公式（结合点P 在椭圆上）、点到直线距离公式表示出2,PF d ，两式相比即可得解；（2）（ⅰ）解法一：一方面由（1）得20cPF a x a =-，另一方面结合已知以及椭圆定义得023x PF a =-，对比两式即可得解；解法二：利用已知以及椭圆定义得12,PF PF 的一种表达式，另外结合两点间距离公式也可以分别表示12,PF PF ，从而平方后作差即可得解；解法三：表示出12,PF PF 方程，根据题意设出内心坐标，结合点到直线距离公式以及内切圆性质即可得解；（ⅱ）先求出椭圆方程，然后求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式结合导数即可求出其范围，进一步即可得解.【小问1详解】依题意，222b c a +=.设()00,P x y ，则2200221x y a b+=，0a x a -<<，所以2PF =所以20c PF x a a==-，又a c >，所以0c a x a >，20ax c >，所以20c PF a x a =-，20a d x c=-所以0220ca x PF c a a d a x c-==-，即2PF 为定值，且这个定值为c a .【小问2详解】（ⅰ）解法一：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，解得023x PF a =-由（1）得20cPF a x a =-，所以003x c a x a a -=-，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法二：依题意，00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG x ⊥轴，所以0,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001202333x x F C F C c c x ⎛⎫⎛⎫-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12PF F △的内切圆与x 轴切于点C ，所以1212023PF PF F C F C x -=-=，又因为122PF PF a +=，得0102,3,3x PF a x PF a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以0,3,3x a x a =+=-两式平方后作差，得00443cx ax =对任意0x 成立，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.解法三：依题意，00,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为IG x ⊥轴，设点I 坐标为0,3x t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求直线1PF 方程为()00y y x c x c=++，则点I 到直线1PFt =，即()()()2222000003x y c t x c t y x c ⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①同理，由点I 到直线2PF 的距离等于t ，可得()22000002033x x y t t c x c y c ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②将式①－②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.将04y t =代入式①，得()2200001016233y x x c x c c ⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220022198x y c c+=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==.（ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =-=，所以椭圆E的方程为221 98x y+=.根楛椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或y轴正半轴上，即0003,0x y≤<<≤又()11,0F-，()21,0F，所以直线1PF的方程为()11yy xx=++，设直线IG与1PF交于点D，因为03Dxx=，所以()()00331Dy xyx+=+，1FCD的面积1S与12PF F△的面积S之比为()()()()00200131123313118122y xxx xSS xy+⎛⎫+⨯⎪++⎝⎭==+⨯⨯，令()()()23181xf xx+=+（03x≤<），则()()()()231181x xf xx+-+'=，当[)0,1x∈，()0f x'<，当()1,3x∈，()0f x'>，所以函数()f x在[)0,1单调递减，在()1,3单调递增.又因为()12f=，()419f=，()132f=，所以()f x的值域是41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以14192SS≤≤，所以11415SS S≤≤-，根据对称性，12PF F△被直线IG分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问（ⅱ）的关键在于求得1FCD 的面积1S 与12PF F △的面积S 之比的表达式，由此即可顺利得解.19.记集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D L l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≤∃∈=且，集合()()()()()()(){}000,R ,,,f x x D T l x kx b x x D f x l x x D f x l x ∈==+∈∀∈≥∃∈=且，若()(),f x x D l x L ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳上界线”；若()(),f x x D l x T ∈∈，则称直线()y l x =为函数()f x 在D 上的“最佳下界线”．（1）已知函数()2f x x x =-+，()01l x kx =+．若()()0,R f x x l x L ∈∈，求k 的值；（2）已知()e 1xg x =+．（ⅰ）证明：直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”；（ⅱ）若()()ln 1h x x =-，直接写出集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂中元素的个数（无需证明）．【答案】（1）3k =或1-（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2个【解析】【分析】（1）由题意可得R x ∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，再由△0=求解即可；（2）（ⅰ）结合“最佳下界线”及充要条件的定义证明即可；（ⅱ）由定义直接写出结果即可．【小问1详解】依题意，()()0,R f x x l x L ∈∈ ，R x ∴∀∈，21x x kx -+≤+，且0R x ∃∈，20001x x kx -+=+，令2()(1)1x x k x ϕ=-+--，2Δ(1)4k =--，则()0x ϕ≤，且0()0x ϕ=，∴Δ0,Δ0,≤⎧⎨≥⎩，∴Δ0=，即2(1)40k --=，12k -=或12k -=-，解得3k =或1-；【小问2详解】（ⅰ）先证必要性．若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +，因为()e x g x '=，所以切线方程为()()000e 1e x x y x x -+=-，即()()000e 1e 1x xl x x x =+-+（*）一方面，()()00g x l x =，所以0x ∃∈R ，()()00g x l x =，另一方面，令()()()()000e e 1e x xx G x g x l x x x =-=---，则()00G x =，因为()0e e xx G x '=-，所以当0x x <时，()0G x '<，()G x 在()0,x ∞-单调递减，当0x x >时，()0G x '>，()G x 在()0,x ∞+单调递增，所以()()00G x G x ≥=，所以()()g x l x ≥．即x ∀∈R ，()()g x l x ≥，所以()(),R g x x l x T ∈∈，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．再证充分性．若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，x ∀∈R ，()()g x l x ≥，且0x ∃∈R ，()()00g x l x =，令()()()e 1xH x g x l x kx b =-=+--，则()0H x ≥且()00H x =，所以()min 0H x =．因为()e xH x k '=-，①若0k ≤，则()0H x '≥，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k ≤不符合题意．②若0k >，令()0H x '=，得ln x k =，当(),ln x k ∞∈-时，()0H x '<，得()H x 在(),ln k ∞-单调递减，当()ln ,x k ∞∈+时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k ∞+单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k ．又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以()0,ln 0,x lnk H k =⎧⎨=⎩即000e ,e 10,x x k kx b ⎧=⎪⎨+--=⎪⎩解得0e x k =，()001e 1x b x =-+，所以()()000e 1e 1x xl x x x =+-+，由（*）式知直线()y l x =是曲线()y g x =在点()00,e 1x x +处的切线．综上所述，直线()y l x =是曲线()y g x =的一条切线的充要条件是直线()y l x =是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”．（ⅱ）集合()()(),1,,R h x x g x x L T ∞∈+∈⋂元素个数为2个．【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
2024届福建省福州市高三下学期2月质量检测数学试题及答案
1（在此卷上答题无效）2023～2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}1,1,1A x x B =<=-，则A B =U A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.{}1- D.{}1,1-2.已知点()2,2A 在抛物线2:2C x py =上，则C 的焦点到其准线的距离为A.12B.1C.2D.43.已知1e ，2e 是两个不共线的向量，若122λ+e e 与12μ+e e 是共线向量，则A.2λμ=- B.2λμ=- C.2λμ= D.2λμ=4.在ABC △中，2AB =，4AC =，BC =ABC △的面积为A.2B. C.4D.A. B. C. D.22227.甲、乙、丙三个地区分别有%x ，%y ，%z 的人患了流感，且,,x y z 构成以1为公差的等差数列.已知这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则x 的可能取值为A.1.21B.1.34C.1.49D.1.518.已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()='g x f x .若()2g x -的图象关于点()20，对称，且()()()22112---=-g x g x g x ，则下列结论一定成立的是2A.()()2f x f x =-B.()()2g x g x =+C.()20241==∑n g n D.()20241n f n ==∑二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
【终稿】2020届福州市高中毕业班第三次质量检查文科数学试卷含答案
准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）2020年福州市高中毕业班第三次质量检测数学（文科）试卷（完卷时间:120分钟；满分:150分）（在此卷上答题无效）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至5页． 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{|8},U x x =∈N …集合{1,3,7}A =，则U A =ðA ．{2,4,5,6}B ．{0,2,4,5,6}C ．{2,4,5,6,8}D ．{0,2,4,5,6,8}2. 已知纯虚数z 满足(1i)2i z a -=+，则实数a 等于A ．2B ．1C ．1-D ．2-3. 曲线()1e x y x =-在1x =处的切线方程为A ．e e 0x y --=B ．e +e 0x y -=C ．e 10x y +-=D ．e 10x y --= 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的m =A ．1B ．2C ．3D ．45. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202020202020a S ==，则{}n a 的公差为A ．2-B ．2C ．2019D ．2019-6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是 A ．平均数相同 B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．方差最大的是丁7. 为了得到曲线cos y x =，只需把曲线sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 A ．35π个单位长度 B ．125π个单位长度 C ．3π个单位长度 D ．6π个单位长度 8. 已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊂⊂⊂，则直线,,a b c 可能满足以下关系：①两两相交；②两两垂直；③两两平行；④两两异面．其中所有正确结论的编号是 A ．①③ B ．②④C ．①②④D ．①②③④9. 已知椭圆()222:109x y C b b+=>的右焦点为F ，以C 上点M 为圆心的圆与x 轴相切于点F ，并与y 轴交于A ，B 两点．若4FA FB ⋅=u u u r u u u r，则C 的焦距为AB ．2C ．D ．410. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=-，函数()2f x +为偶函数，当()0,2x ∈时，()f x 3296+ 2x x x a =-+-.若()2,0x ∈-时，()f x 的最大值为12-，则a =A ．3B ．2C ．12D ．32-11. 2019年世界读书日，陈老师给全班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在2020年世界读书日时交流读书心得．经了解，甲、乙两同学阅读书单中的书本有如下信息：①甲同学还剩②乙同学还剩5本未阅读；的书本甲、乙两同学都没阅读．则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有 A ．2本B ．4本C ．6本D ．8本12. 若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 A.8:3B.6:1C .3:1D. 2:1第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第 (13)～(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知向量()1,2=a ，(),1t =b ，若,a b ，则实数t 的值为 ．14. 已知双曲线C 过点(，且渐近线方程为2y x =±，则C 的离心率为 ． 15. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以拆分为两个素数的和”，如307+2313171119==+=+，30有3种拆分方式；633=+，6只有1种拆分方式.现从大于4且小于16的偶数中随机任取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率为 ．16. “熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩．2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%．企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到k 月份()28k k <<∈N 且<，每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从+1k 月份到9月份不再增加新的生产线．计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加 条熔喷布生产线．（参考数据：81.1 2.14≈，91.1 2.36≈）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，1a =sin C c A =．（1）求C ；（2）若3b =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，求ACD △的面积． 18. （本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A 药，B 药）的疗效，某机构随机地选取20 位患者服用A 药，20位患者服用B 药，观察这40位患者的睡眠改善情况．这些患者服用一段时间后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：h ），以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；（2）求这40名患者日平均增加睡眠时间的中位数m ，并将日平均增加睡眠时间超过m 和不超过m 的患者人数填入下面的列联表：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19. （本小题满分12如图，在多面体PABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，120PAD ∠=︒，1BC =，2AB AD PA ===．（1）求多面体PABCD 的体积；（2）已知E 是棱PB 的中点，在棱CD 是否存在点F 使得EF PD ∥，若存在，请确定点F 的位置；若不存在，ACB请说明理由.20. （本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =，直线:2(0)l x my m =+>与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点.（1）求直线OM 斜率的最大值；（2）若点P 在直线2x =-上，且PAB △为等边三角形，求点P 的坐标.21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，若()12f x mx >恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22. （本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为33,x kt y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33,x m y km =-⎧⎨=⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的普通方程；（2）设Q 为圆()222:43C x y +-=上任意一点，求PQ 的最大值．23. （本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0a b ＞＞，2224a b c ++=． （1）当1c =时，求证：()()339a b a b ++≥；（2）求2224411a b c +++的最小值．2020年福州市高中毕业班第三次质量检测数学（文科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2020届福建省福州市高三质量检测数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届福建省福州市高三质量检测数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若复数1z i =+，则z zi⋅=（ ） A ．0 B ．2C ．2iD ．2i -答案：D利用复数的除法运算即可. 解：2(1)(1)222z z i i ii i i i i⋅+-====-. 故选：D 点评：本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2．已知集合{}2|4M x x =≤，{|20}N x x =->，则M N =I （ ） A ．{|22}x x -≤< B ．{|02}x x << C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|2}x x ≤-答案：A分别求出集合A 、B ，再按交集的定义运算即可. 解：由24x ≤，得22x -≤≤，所以{}|22M x x =-≤≤，又{|2}N x x =<， 所以M N =I {|22}x x -≤<. 故选：A 点评：本题考查集合的交集运算，涉及到解一元二次不等式，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3．已知01m <<，设3a m =，3m b =，3log c m =，则（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>答案：A利用指数函数、对数函数、幂函数的性质即可得到答案. 解：由已知，3(0,1)a m ∈=，(1,3)3mb ∈=，3log (,0)c m =∈-∞，所以b a c >>. 故选：A 点评：本题考查指、对、幂的大小比较，考查学生的逻辑推理与基本计算能力，是一道容易题. 4．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．sin y x x =B ．xxy e e -=+C ．1ln ln y x x=- D ．ln ,0ln(),0x x y x x >⎧=⎨--<⎩答案：D分别对所给选项按奇函数的定义进行验证. 解：对于选项A ，()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，故sin y x x =是偶函数； 对于选项B ，()()xx f x ee f x --=+=，故x x y e e -=+是偶函数；对于选项C ，定义域为(0,)+∞，不关于原点对称，故1ln ln y x x=-不是奇函数； 对于选项D ，当0x >时，0x -<，()ln ()f x x f x -=-=-， 当0x <时，0x ->，()ln()()f x x f x -=-=-， 所以ln ,0ln(),0x x y x x >⎧=⎨--<⎩是奇函数.故选：D 点评：本题考查奇函数的定义，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.5．在ABC V 中，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则BDDC=（ ） A ．13B ．12C ．23D ．2答案：B将2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 写成22113333AD AB AC AD -=-u u ur u u u r u u u r u u u r ，利用减法运算可得2DC BD =uuu r uu u r即可得到答案.解：因为2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以22113333AD AB AC AD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2133BD DC =u u ur u u u r ，所以2DC BD =uuu r uu u r ，所以||12||BD BD DC DC ==u u u ru u u r . 故选：B 点评：本题考查向量的线性运算，涉及到向量的减法、数乘运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.6．2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）A ．甲的物理成绩领先年级平均分最多B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分C ．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 答案：C根据图表依次对所给选项进行判断. 解：由雷达图可知，甲的物理成绩领先年级平均分约为1.5，化学成绩领先年级平均分约 为1，生物成绩约等于年级平均分，历史成绩低于年级平均分，地理成绩领先年级平均分约为1，政治成绩低于年级平均分，故A、B、D正确；而甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），故C选项错误.故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，涉及到统计中雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.7．如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形．此图形由三个半圆构成，两个小半圆外切，又同时内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形（黑色部分），由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称此图形为“皮匠刀”图形．若2AC CB=，在整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形（黑色部分）的概率为（）A．29B．49C．12D．59答案：B设=CB a，则AC2a=，3AB a=，先求出白色区域的面积以及整个半圆的面积，再利用几何概型的概率计算公式计算即可.解：设=CB a，则AC2a=，3AB a=，所以白色区域的面积为21()22ACπ⨯+21()22BCπ⨯258aπ=，又整个半圆的面积为2219()228ABaππ=，由几何概型的概率计算公式，得所求事件的概率为2258198aaππ-=49.故选：B点评：本题考查面积型的几何概型的概率计算，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 8．已知双曲线()2222100x yC a ba b-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(23)4x y+-=相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（）A BC ．2D ．4答案：C求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可． 解：由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，圆22(4x y +-=的圆心为(0,，半径为2，由题意及|AB |＝2，可得22212+=，222123a a b=+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e ca==2． 故选：C ． 点评：本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.9．已知()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，且24f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．ω有最小值1 B ．ω有最大值1C ．ω有最小值3D ．ω有最大值3答案：A分别由24f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得到112,42k k Z πωπϕπ=++∈，22,4k k Z πωϕπ=-+∈，消去ϕ得到ω的表达式，再结合0>ω，即可得到答案.解：由24f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin()14πωϕ-+=，解得112,42k k Z πωπϕπ=++∈①， 由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得sin()04πωϕ+=，解得22,4k k Z πωϕπ=-+∈②， 由①②，得21122(2)1,,k k k k Z ω=--∈，又0>ω，所以当2121k k -=时，ω有最小值1，无最大值.故选：A 点评：本题考查正弦型函数的性质，当然本题也可以数形结合得到4(())244T πππ≤--=，即22ππω≤，1ω≥，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.10．我国古代名著《九章算术》中，将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体称之为阳马．已知阳马P ABCD -的顶点都在球O 的表面上，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，1AB AD AP ===，则球O 的半径为（ ） A ．12B ．3 C ．1D ．3答案：B将四棱锥置入到正方体中，利用正方体的体对角线为其外接球的直径即可得到答案. 解：将四棱锥置入到正方体中，如图， 因为1AB AD AP ===，所以2223PC PA AB AC =++=，所以外接球O 的半径为32PC =. 故选：B点评：本题考查求四棱锥外接球的半径，在处理较为特殊的锥体时，首先考虑能否将其置入长方体中，本题是一道容易题.11．已知两条抛物线2:2C y x =，2:2E y px =（0p >且1p ≠），M 为C 上一点（异于原点O ），直线OM 与E 的另一个交点为N ．若过M 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且ABN V 的面积是ABO V 面积的3倍．则p =（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2答案：C3ABN ABO S S =△△，得||3||MN MO =，故3N MMy y y -=（），设直线OM 的方程为y kx =（0k ≠），分别代入22y x =和22y px =，得2M y k =，2N p y k=，代入（）式得|1|3p -=，解方程即可得到答案. 解：因为3ABN ABO S S =△△，所以||3||MN MO =，故3N MMy y y -=（），设直线OM 的方程为y kx =（0k ≠）， 由22y kx y x=⎧⎨=⎩，得220y y k -=，解得0y =或2y k =，所以2M y k =， 由22y kx y px =⎧⎨=⎩，得220p y y k -=，解得0y =或2p y k =，所以2N p y k =，将2M y k =，2N p y k=，代入（）式得|1|3p -=，解得2p =-（舍去）或4p =， 所以4p =． 故选：C点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，本题解题关键是将3ABNABOS S =△△，转化为||3||MN MO =，考查学生转化与化归思想，数学运算求解能力，是一道中档题. 12．已知α，β是函数1()sin cos 3f x x x =+-在[0,2)π上的两个零点，则cos()αβ-=（ ）A ．1-B ．89-C ．22-D ．0答案：B令()sin cos g x x x =+，则α，β即为()g x 与直线13y =在[0,2)π上交点的横坐标，由图可得524αβπ+=，即52πβα=-，且12sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用cos()αβ-=5cos 2cos 2324ππααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 24πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212sin 4πα⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭计算即可.解：令()0f x =，得1sin cos 3x x +=．令()sin cos g x x x =+，即()2sin 4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α，β即为()g x 与直线13y =在[0,2)π上交点的横坐标，由图象可知， 524αβπ+=，故52πβα=-， 又12sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos()αβ-=5cos 2cos 2324ππααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 24πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2812sin 49πα⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B点评：本题主要考查三角恒等变换中的给值求值，涉及到三角函数的图象与性质，辅助角公式，考查学生数形结合的思想，转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.二、填空题13．已知2()ln f x x x =-，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为_________． 答案：y x =利用导数的几何意义计算即可. 解：由已知，'1()2f x x x=-，'(1)1f =，又(1)1f =，所以切线方程为11y x -=-，即y x =. 故答案为：y x = 点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.14．设x ，y 满足约束条件2202402x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则z ＝x -3y 的最小值为_____答案：-7先根据条件画出可行域，设z ＝x -3y ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，数形结合即可得到答案． 解：在坐标系中画出x ，y 满足约束条件2202402x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域，如图所示：由3z x y =-可得1133y x z =-，则13z -表示直线3z x y =-在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，平移直线30x y -=，经过点A 时，z 最小，由2240x x y =⎧⎨-+=⎩，可得(2,3)A ，此时min 2337z =-⨯=- 故答案为：7-．点评：本题考查简单的线性规划的应用，涉及到利用几何意义求目标函数的最值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.15．已知三棱锥P ABC -的各棱长均为2，M ，N 分别为BC ，PA 的中点，则异面直线MN 与PC 所成角的大小为__________．答案：45︒取AC 的中点G ，连接,,,NG GM PM AM ，易知GNM ∠或其补角为异面直线MN 与PC 所成的角，分别求出,,NG GM MN ，解三角形即可.解：取AC 的中点G ，连接,,,,NG GM PM AM BN ，易知GNM ∠或其补角为异面直线MN 与PC 所成的角，又三棱锥P ABC -的各棱长均为2，所以1NG GM ==，又易得3PM AM ==，所以PA MN ⊥，2222(3)12MN AM AN =-=-=，所以2222NG GM MN +==，所以NGM △为等腰直角三角形， 故45GNM ∠=o . 故答案为：45︒点评：本题主要考查异面直线所成的角，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，空间想象能力，是一道中档题.16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的面积2228a b c S +-=，D 为线段BC 上一点．若ABD △为等边三角形，则tan DAC ∠的值为___________．答案：853-+由2228a b c S +-=及三角形面积公式，余弦定理可得1tan 2C =，又()tan tan 60DAC C ︒∠=-，利用两角差的正切公式展开计算即可.解：因为2228a b c S +-=,所以，由三角形面积公式及余弦定理得12cos sin 28ab C ab C =， 所以tan C =sin 1cos 2C C =， 又ABD △为等边三角形， 所以()tan tan 60DAC C ︒∠=-=3tan 23185313tan 23C C --==-+++．故答案为：853-+点评：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角差的正切公式，三角形面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 为递减的等差数列，1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和．答案：（1）8n a n =-；（2）n S 2115222n n n +-=+-．（1）由1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根，且数列{}n a 为递减的等差数列可得167,2a a ==，进一步得到公差d ，再利用通项公式计算即可；（2）由（1）可得82nn b n =--，再利用分组求和法求和即可.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根，且数列{}n a 为递减的等差数列， 所以1672a a =⎧⎨=⎩，所以612716161a a d --===---， 所以1(1)7(1)8n a a n d n n =+-=--=-， 即数列{}n a 的通项公式为8n a n =-．（2）由（1）得8n a n =-，所以82nn b n =--，所以数列{}n b 的前n 项和()2[76(8)]222nn S n =+++--+++L L(78)2(12212)n n n +-⨯-=-- 2115222n n n +-=+-．点评：本题主要考查等差数列、等比数列、一元二次方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道容易题.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ︒∠=，45ABC ︒∠=，12AB AA ==，P 为1CC 的中点．（1）证明：1AB ⊥平面1PA B ；（2）设E 为BC 的中点，线段1AB 上是否存在一点Q ，使得//QE 平面11A ACC ？若存在，求四棱锥11Q AA C C -的体积；若不存在，请说明理由． 答案：（1）证明见解析；（2）存在，1123Q AA C C V -=（1）设1A B 交1AB 于点O ，要证明1AB ⊥平面1PA B ，只需证明11A B AB ⊥，1PO AB ⊥即可；（2）利用线面平行的判定定理可得当Q 为1AB 中点，即点Q 与点O 重合时，QE ∥平面11A ACC ，111112Q AA C C B AA C C V V --=，只需求出11B AA C C V -即可. 解：（1）证明：在ABC V 中，∵90ACB ︒∠=，45ABC ︒∠=，2AB =， ∴2AC BC ==，又直三梭柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则11A ABB 为正方形， 设1A B 交1AB 于点O ，则O 为1AB 的中点，且11A B AB ⊥． 连接PA ，1PB ，PO ，∵侧棱1CC ⊥底面ABC ，P 为1CC 的中点，则22213PA AC PC =+=+=1B P ===故1PA PB =． ∴1PO AB ⊥，∵1PO A B O ⋂=，且PO ，1A B ⊂平面1PA B ， ∴1AB ⊥平面1PA B ．（2）当Q 为1AB 中点，即点Q 与点O 重合时，QE ∥平面11A ACC ． 理出如下：连接1A C ，∵E 为BC 的中点，∴则QE ∥1A C∵QE ⊄平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ， ∴QE ∥平面11AAC C ．此时，Q 到平面11A ACC 的距离等于B 到平面11A ACC 的距离的一半， 又AC BC ⊥，1C C BC ⊥，1AC C C C =I ，所以BC ⊥平面11AAC C ，所以111131B AA C C C AA C BC V S -=⨯X 14233==， ∴11111223Q AA C C B AA C C V V --==． 点评：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养，是一道容易题.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，1F ，2F 是C 的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且2ABF V 的周长为 （1）求C 的方程；（2）若223F A F B ⋅=u u u u r u u u u r，求l 的方程．答案：（1）2212x y +=；（2）220x y -+=或220x y ++=（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b ，c 的值，即可得到椭圆的方程；（2）当AB x ⊥轴时，A ，B 的坐标为1,2⎛-- ⎝⎭，1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，易知22732F A F B ⋅=≠u u u r u u u u r ，不满足题意；当AB 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，联立椭圆方程得到根与系数的关系，将22F A F B ⋅u u u u r u u u u r用k 表示，解方程即可.解：（1）依题意，4a =，故a =将点1,2⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得，221112a b+=，所以21b =， 所以C 的方程为2212x y +=．（2）由（1）知1F ，2F 的坐标分别为(1,0)-，(1,0)． 设()11,A x y ，()22,B x y ，①当AB x ⊥轴时，A ，B的坐标为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，则2272,32F A F B ⎛⎛⋅=-⋅-=≠ ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，不满足题意． ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，代入2212x y +=得：()2222124220k x k x k +++-=．所以()()()22222441222880kk k k ∆=-+-=+>，2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+， 因为()2111,F A x y =-u u u u r ，()2221,F B x y =-u u u u r，所以()()22121211F A F B x x y y ⋅=--+=u u u u r u u u u r()1212121x x x x y y -+++．因为()()121211y y k x k x =++=()212121kx x x x +++，所以()()()()22221212111F A F B k x x k x x ⋅=+++-+u u u u r u u u u r()()2222222241111212k k k k k k ⎛⎫--=+⨯++-⨯ ⎪++⎝⎭227112k k-=+． 依题意得：2271312k k -=+，解得24k=，即2k=±．综上，直线l的方程为220x y-+=或220x y++=．点评：本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道中档题.20．下图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y和数学成绩x的散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：4214641iix==∑，4213108iiy==∑，421350350i iix y==∑，()422113814.5iix x=-=∑，()42215250iiy y=-=∑，其中i x，i y分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,,42i=L．y与x的相关系数0.82r=．（1）若不剔除A、B两名考生的数据，用44数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为0r，试判断0r与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）．附：回归方程ˆˆˆy a bx=+中，$$$121()()()ni iiniix x y ya y bxbx x==--==--∑∑，．答案：（1）0r r<；理由见解析；（2）ˆ0.5018.64y x=+；81分（1）结合散点图，可得出结论；（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x＝125，即可算出答案； 解：（1）0r r <． 理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， ①异常点 A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其回归直线l ． ⑤44个数据点与其回归直线更离散．（以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分）（2）由题中数据可得：4211110.542i i x x ===∑，42117442i i y y ===∑，()()42421142iii ii i x x y y x y x y ==--=-=∑∑35035042110.5746916-⨯⨯=所以()()()21424216916ˆ0.50113814.5iii ii x x yybx x ==--==≈-∑∑，ˆˆ740.501110.518.64ay bx =-=-⨯≈， 所以ˆ0.5018.64yx =+， 将125x =代入，得ˆ0.5012518.6462.518.6481y=⨯+=+≈， 所以估计B 同学的物理成绩约为81分． 点评：本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养，是一道中档题.21．已知函数()(sin cos )x f x x x x e =+-，()f x '为()f x 的导函数．（1）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 的单调区间； （2）若0x ≥，证明：()1f x x ≥-． 答案：（1）()g x 的单调递增区间22(22),33k k k Z ππππ-++∈，；单调递减区间2(2,3k ππ+42),3k k Z ππ+∈；（2）详见解析． （1）先对()g x 求导，然后结合导数符号可求函数的单调区间；（2）要证明：()1f x x ≥-，只要证0()1f x x +-≥，构造函数()()1h x f x x =+-，0x ≥，结合导数及函数性质可证．解：（1）由已知，()(1cos sin )(sin cos )(12sin )x x x f x x x e x x x e x x e '=++++-=++，所以()()()(1sin cos )xg x f x f x x x e '=-=++，()(12cos )xg x x e '=+，令()0g x '>，得1cos 2x >-，解得2222,33k x k k Z ππππ-+<<+∈， 令()0g x '<，得1cos 2x <-，解得2422,33k x k k Z ππππ+<<+∈， 故()g x 的单调递增区间22(22),33k k k Z ππππ-++∈，；单调递减区间24(2,2),33k k k Z ππππ++∈ （2）要证()1f x x ≥-，只需证：0()1f x x +-≥．设()()1h x f x x =+-，0x ≥，则()()1(12sin )1xh x f x x x e ''=-=++-．记()()(12sin )1x t x h x x x e '==++-，则()(22sin 2cos )xt x x x x e '=+++． 当[0,]x π∈时，sin 0x ≥，又22cos 0x +≥，0x e >，所以()0t x '≥；当(,)x π∈+∞时，x π>，2sin 2x ≥-，所以2sin 20x x π+>->，又22cos 0x +≥，0x e >，所以()0t x '≥．综上，当0x ≥时，()0t x '≥恒成立， 所以()t x 在[0,)+∞上递增．所以，()(0)0t x t ≥=，即()0h x '≥， 所以，()h x 在[0,)+∞上递增，则()(0)0h x h ≥=，证毕． 点评：本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道有一定难度的压轴题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为1x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求C 1的极坐标方程；（2）若C 1与曲线C 2：ρ＝2sin θ交于A ，B 两点，求|OA |∙|OB |的值． 答案：（1）ρ2﹣2ρcos θ﹣4＝0；（2）（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用两曲线间的位置关系的应用求出交点的坐标，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果． 解：（1）曲线C 1的参数方程为1x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），所以C 1的普通方程为22(1)5x y -+=，即22240x y x +--=， 化为极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ﹣4＝0．（2）由于若C 1与曲线C 2：ρ＝2sin θ交于A ，B 两点， 曲线C 2：ρ＝2sin θ转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝2y ，所以2222(1)52x y x y y ⎧-+=⎨+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩ 故(0,2),(1,1)A B -，所以||||2OA OB ⋅==点评：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程的互化，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.23．已知函数()|1||2|f x x x a =-+-． （1）当a ＝3时，解不等式()2f x ≤；（2）若不等式|1|()3x f x -+<的解集非空，求实数a 的取值范围． 答案：（1）2[,2]3；（2）(1,5)-．（1）由a ＝3可得|1||23|2x x -+-≤，去绝对值，分类讨论解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|22||2|3x x a -+-<有解，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，解a 的不等式可得所求范围． 解：（1）当a ＝3时，()2f x ≤即为|1||23|2x x -+-≤，等价于321232x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+-≤⎩或3121322x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或11322x x x ≤⎧⎨-+-≤⎩， 解得322x ≤≤或312x <<或213x ≤≤， 则原不等式的解集为2[,2]3；（2）不等式|1|()3x f x -+<的解集非空等价于|22||2|3x x a -+-<有解． 由|22||2||222||2|x x a x a x a -+-≥-+-=-， （当且仅当(22)(2)0x x a --≤时取得等号），所以|2|3a -<，解得15a -<<，故a 的取值范围是(1,5)-． 点评：本题考查分类讨论解绝对值不等式以及不等式能成立求参数的问题，考查学生分类讨论的思想，是一道容易题.。
福建省福州一中2021届高三数学5月校质检 文(1)
福建省福州一中数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份（总分值150分 考试时刻120分钟）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中有且只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1.设复数121,2z i z bi =+=+, 假设12z z ⋅为纯虚数,那么实数b = A.2 B.2- C.1 D.1-2.以下导数运算正确的选项是 A. 211()1x x x'+=+B. 2(cos )2sin x x x '=- C. 3(3)3log x xe '= D. 21(log )ln 2x x '=3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，若是前6项均为正数，第7项起为负数，那么它 的公差为 A ．－2B ．－3C ．－4D ．－64.运行下面的程序，若是输入的n 是6，那么输出的p 是A. 120B. 720C. 1440D. 5040 5.将一个整体分为A, B, C 三层,其个体数之比为523,假设用分层抽样 抽取容量为200的样本,那么应从C 中抽取的个体数是A. 20B. 40C. 60D. 806.将函数cos()3y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为 A. 9x π=B. 8x π=C. 2x π=D. x π=7. 已知函数2(10)(),1)x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩那么以下图象错误的是8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 在1A D 上且12A E ED =,点F 在AC 上且2CF FA =, 那么EF 与1BD 的位置关系是A. 相交不垂直B. 相交垂直C. 异面D. 平行9.已知A 、B 为平面内两定点, 过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N, 若2MN AN NB λ=⋅, 其中λ为常数, 那么动点M 的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线10.已知12,F F 别离为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右核心, P 为双曲线右支上一点,知足212PF F F =,直线1PF 与圆222x y a +=相切, 那么该双曲线的离心率是 A.43 B. 53 C. 54D.以上都不正确 11.已知2a b >≥, 现有以下不等式 ①23b b a >-; ②41112()ab a b+>+; ③ab a b >+; ④log 3log 3a b >; 其中正确的选项是A. ②④B.①②C.③④D.①③12.设A 是整数集的一个非空子集,关于k A ∈, 若是1k A +∉且1k A -∉, 那么称k 是A 的一个“孤立元素”. 现给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =由S 的3个元素组成的所有集合中,不含“孤立元素”的集合共有多少个A. 6B. 7C. 8D. 9 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13.式子4327log 3的值为__________________________. 14.设命题21:01x p x -<-. 命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤. 假设p 是q 的充分没必要要条 件.那么实数a 的取值范围是____________________________. 1[0,]215.设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点,记A ={}2()41(0)[1,)x f x ax bx a =-+>+∞关于的一元二次函数在上是增函数, 那么事件A 发生的概率是_____________________________. 1/316.如下图, △ABC 是边长为1的正三角形，且点P 在边BC 上运动. 当PA PC ⋅取得最 小值时，那么cos PAB ∠的值为________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明进程或演算步骤．17.（本小题总分值12分）已知等差数列{}n a 中，n S 是它前n 项和，设10,2106==S a . (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)假设从数列{}n a 中依次掏出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按掏出的顺序组成一个新数列{}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题总分值12分）某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加5次初赛,成绩记录如下 (I)用茎叶图表示这两组数据;(II)现要从甲、乙两人当选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你以为选派哪位学生参赛更适合? 并说明理由.19.（本小题总分值12分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边别离为,,a b c , 且A ∠知足22cos A 23cos A A -1=-,(I)假设3,2a c ==, 求ABC ∆的面积; (II)求02cos(60)b ca C -⋅+的值.20.（本小题总分值12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为3的正方形,平面PCD ⊥底面ABCD,E 是 PC 的中点.(I)求证//PA BDE 平面; (II)假设22PD PC DC ==,求证平面PDA ⊥平面PCB ; (III)假设侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=4.求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积. 21.（本小题总分值12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个核心，且椭圆上的点到核心的最大距离为3. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）假设直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值． 22.(本小题总分值14分) 已知函数21()2ln 2f x x x a x =-+有两个极值点12,x x 且12x x < (I)求实数a 的取值范围,并写出函数()f x 的单调区间; (II)判定方程()(1)f x a x =+根的个数并说明理由; (III)证明232ln 2()8f x -->.高三 (文科)数学校质检试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A DCBCCBDCBDA二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． 14-_________ ; 14． __1[0,]2_____ ; 15．13; 16． ____513______ .三、解答题本大题共6小题,总分值74分,解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤. 17．（本小题总分值12分）解（Ⅰ）设数列d a a n ,,}{1公差分别为首项.那么由已知得 251=+d a ①，102910101=⨯+d a ② …………4分 联立①②解得)(102,2,81*∈-==-=N n n a d a n 所以…………6分（Ⅱ）),(102102212*+∈-=-⋅==N n a b n nn n ………………9分因此41021021)21(4221--=---=+++=+n n b b b T n n n n ………… 12分 18．（本小题总分值12分） 解 (1)作出的茎叶图如下…………4分 (2)派甲参赛比较适合. 理由如下1(8282799587)855x =++++=甲…………5分 1(9575809085)855x =++++=乙…………6分2222221[(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)]31.65s =-+-+-+-+-=甲……8分2222221[(7585)(8085)(8585)(9085)(9585)]505s =-+-+-+-+-=乙……10分∵22,;x x s s <<乙乙甲甲 ∴甲的成绩较稳固,派甲参赛比较适合. ……12分19．（本小题总分值12分）解 (1)由已知 22cos A 23cos A A -1=-, 可得sin(2)16A π-=,∵1102(,)266662A A A ππππππ<<∴-∈-⇒∴-=即3A π∠=.………… 2分在ABC ∆中,由余弦定理得 22224121cos 242b c a b A bc b +-+-===解得4b =或2b =-(舍去); ………… 4分 ∴113sin 4223222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=………… 6分 (2)原式=0002sin()2sin 2sin 22sin sin 2sin 32sin cos(60)sin cos(60)sin cos(60)C CR B R C B C R A C A C A C π---⨯-==⋅+⋅+⋅+…… 9分 00033cos sin 3cos(60)22233cos(60)cos(60)C CC C C -+==++………… 12分 20．（本小题总分值12分） 解 (1)连接AC 交BD 于O, 连接EO.∵ABCD 是正方形, ∴O 为AC 中点, 已知E 为PC 的中点, ∴OE//PA. ………2分又∵OE ⊂平面BDE, PA ⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分 (2)在DPC ∆中, 2222,PD PC DC PD PC DC ==∴+= , 即DP ⊥PC. ……4分又已知 平面PCD ⊥底面ABCD, 平面PCD ∩平面ABCD=DC BC ⊥DC; ∴BC ⊥平面PDC, PD ⊂平面PDC, ∴PD ⊥BC, ………… 6分 BC 与PC 相交且在平面PBC 内.∴PD ⊥平面PCB, PD ⊂平面PDA, ∴平面PDA ⊥平面PCB. ………… 8分(3)过D 作PA 的垂线.垂足为H,那么几何体为以DH 为半径,别离以PH,AH 为高的两个圆锥的组合体. …………9分侧棱PD ⊥底面ABCD, ∴PD ⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5431255PD DA DH PA ⋅⨯===,…………10分 22221133111248()53355V DH PH DH AHDH PA πππππ=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= …………12分21．（本小题总分值12分）解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为 033)12(=-++--y x y x m ，……1分 由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， ………… 3分又3=+c a ，2=∴a ，.3222=-=∴c a b ∴椭圆的方程为.13422=+y x ………4分 （2）①设直线MN 的方程为s x =，那么可设),(),,(t s N t s M -，且.124322=+t s直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s t y …… 6分 联立求得交点)523,5285(---s t s s S ，…… 7分 代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.124322=+t s∴点S 恒在椭圆C 上. ……………… 8分②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M 联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， .439,436221221+-=+-=+∴m y y m m y y ………… 9分 2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST， 令)1(12≥+=u m u ，那么.6191)13()43(12222++=+=++uu u u m mu u 19+在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10. .294118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………12分 22．（本小题总分值14分）解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的概念域为(0,)+∞,222()1a x x a f x x x x-+'=-+=;…………………1分且()0f x '=有两个不同的根, ∴2220,2x x a a x x -+==-+且(0)x >有两个交点.2211112()()4424a x x x =--++=--+有两个交点求得 1102,0.48a a <<⇒<< ∴a 的取值范围是1(0,)8.…………………3分(也可利用判别式1180,8a a ∆=-><即;又10,0x a =>∴>).∵1,2x =∴()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当 ∴()f x单调增区间为1(0,2和1()2++∞.单调减区间为11(22-+ ………………………5分 (Ⅱ)由已知方程 ()(1)f x a x =+212ln 2x x a x ax x ⇒-+--=0 ∴令21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++, 22(2)2()(2)()(2)a x a x a x a x t x x a x x x-++--'=-++==…………………7分 0x →时,()t x →-∞;x →+∞时,()t x →+∞;∴()t x 有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分 (III)由(Ⅰ)可知x(0,)aa(,2)a 2 (,)a +∞()t x +0 -0 +()t x极大值极小值12221212(1)2x x a x x x x a +=⎧∴=-⋅⎨⋅=⎩ , ………………………10分而且由2x =得21(,1)2x ∈. ………………………11分 ∵21()2ln 2f x x x a x =-+=2121ln 2x x x x x -+⋅, 222222221()()ln 2f x x x x x x =-+- 2222222222()1(12)ln (12)ln x x f x x x x x x x -'⇒=-+-+=-, 其中21(,1)2x ∈………13分∴2()0f x '>, 函数()f x 在1(,1)2递增; ∴111111132ln 2()()()ln 22422428f x f -->=⨯-+-⋅=. ………………14分。
福州市2020届高三3月质量检查答案
福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学（文科）详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则AB =A ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】D ．【解答】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以AB =(){}1,2．2. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识，意在考查直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解答】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3. 已知12,e e均为单位向量，若12-=e e 1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【命题意图】本题主要考查本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养． 【答案】C ．【解答】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【命题意图】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭+2758-=1308＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【命题意图】本题主要考查概率与古典概型等基础知识，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养．【答案】C ．【解答】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =． 6. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】D ． 【解答】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-． 所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分条件、必要条件、直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象等数学核心素养． 【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB =A ．254B ．174C ．134D ．94【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得AB =122y y ++=917244+=． 9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描【命题意图】本题主要考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养． 【答案】C ．【解答】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f = A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解答】()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π2sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max 2,g x =()min 2g x =-．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()122g x g x =-=，或()()122g x g x =-=-，所以12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022000122222000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ．【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算等数学核心素养． 【答案】4．【解答】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4． 14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养． 【答案】12． 【解答】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养．【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19． 16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、球体与截面等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养． 【答案】12π．【解答】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，ABC1OO EDP则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =．在1Rt OO D △中，OD =OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=， 所以最小截面圆的面积为12π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， ··············································· 1分 又因为()()111n n na n a n n +-+=+，所以()()()1111n n n n b n nb n n ++-+=+，即11n n b b +-=，································ 3分 所以{}n b 为等差数列， ·········································································· 4分 其首项为111b a ==，公差1d =． ····························································· 5分 所以()11n b n n =+-=． ········································································ 7分 （2）由（1）及题设得，2nn c n =-， ······················································ 8分 所以数列{}n c 的前n 项和()()232222123nn S n =++++-++++ ·············································· 9分 ()1222122n n n +-⨯=-- ······································································ 11分 21222n n n++=--． ········································································· 12分 18. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =．（1）证明：1B C ∥平面1A BD ； （2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ， 求三棱锥11B A BD -的体积．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、多面体的体积等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分．【解析】（1）证明：依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ， ···················································································· 1分 ∴四边形11A B CD 是平行四边形， ···························································· 2分 ∴11B C A D ∥， ··················································································· 3分 ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ． ··········································································· 5分 （2）依题意，12,AA AO =在1Rt AAO △中，11AO ==， ················································· 6分 所以三棱锥1A BCD -的体积1A BCD V -113BCD S AO =⋅△21213⎫=⨯⨯⎪⎪⎝⎭=． ········································· 8分 由（1）知1B C ∥平面1A BD ，∴111B A BD C A BD V V --= ··············································································· 10分 1A BCD V -= ··············································································· 11分=． ················································································ 12分 19. （本小题满分12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，ABCD1A 1B1C1DO调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计50参考公式及数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++.()20P K k0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.828【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，考查学生的创新意识和应用意识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）因为志愿者年龄在[40,45)内的人数为15，所以志愿者年龄在[40,45)内的频率为：150.15100=； ··································· 1分 由频率分布直方图得：(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=，即20.07m n +=，① ·············································································· 3分 由中位数为34可得0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，即540.2m n +=，② ·············································································· 4分由①②解得0.020m =，0.025n =. ··························································· 5分 志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+47.50.010)5⨯⨯=34（岁）． ·············································································································· 7分（2）根据题意得到列联表：男性 女性 总计 现场报名 19 31 50 网络报名 311950 总计50 50100······························ 9分 所以2K 的观测值2100(19193131)50505050k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯()()2219311931505050⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦=⨯⨯ 5.7610.828=＜，········· 11分 所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系． ············································································································· 12分说明：第（1）小题中，方程①②列对一个给2分，两个都列对给3分． 20. （本小题满分12分）已知()22ln 3f x x x x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分.【解答】()()2ln 12f x x x a '=+++． ······················································· 1分 （1）当1a =时，()22ln 3,f x x x x x =+++()()2ln 121f x x x '=+++，所以()()15,15f f '==，········································································ 3分 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()551y x -=-，即5y x =． ··········· 5分 （2）存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，频率/组距年龄/岁0.0100.0202m 2n O等价于不等式22ln 3x x x a x ++-≥在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭有解． ······································ 6分设()22ln 3x x x h x x++=-，则()()()2223123x x x x h x x x +-+-'=-=-， ·············· 7分 当11ex <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1e x <<时，()0h x '<，()h x 为减函数． 8分 又213e 2e 1e e h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-，故()1e 0e h h ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜ ················· 10分所以当1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()213e 2e 1e e h x h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞， ··································· 11分所以23e 2e 1e a -+-＞，即a 的取值范围为23e 2e 1,e ⎛⎫-+-+∞ ⎪⎝⎭． ··················· 12分 21. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分.【解答】（1）依题意，1b ==， ·················································· 2分因为离心率c e a ====，解得a = ··························································· 4分 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=． ····················································· 5分（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 右下方，所以NP x ∥轴． ························································· 6分 过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -，·············································································································· 7分所以()12232450x x y -+-=， 即()()12232450x x x m -++-=，整理得126450x x m ++-=．① ··································· 8分 由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+＞，解得22m -＜＜， ····································· 9分 所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③············································································ 10分 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤ ································································ 11分 将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-．综上，m 的值为1-． ·········································································· 12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.【解答】（1）1C 的普通方程为3x y -=-，即30x y -+=． ·························· 2分 曲线2C 的直角坐标方程为2212x y x +=+，即()2212x y -+=． ···················· 5分 （2）由（1）知，2C 是以()1,0为圆心，半径r ·························· 6分圆心2C ()1,0到1C 的距离d == ···································· 7分所以直线1C 与圆2C 相离，P 到曲线1C 距离的最小值为d r -=；最大值d r +== ············································································ 9分所以P 到曲线1C 距离的取值范围为． ······································· 10分 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥． 【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.【解答】（1）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜． ······························ 1分 所以2a b c ++()2217224a a a ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，··············································· 3分 所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭． ········· 5分 （2）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭····························· 7分14+≥ ····················· 8分1436=+=． ····························· 9分 又因为2a b c ++=， 所以14918a b c++≥． ·········································································· 10分。
5月福州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题(word版含
5月福州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题(word版含2022年5月7日福州高三质检文科数学含答案2022年福州市普通高中毕业班综合质量检测文科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 集合A x Nx 4 ,B __2 4 0 ，则A B（A）x0 x 2 （C）0,1(2) 复数z满足(1 i)z 1 i，则z（A）（B）x 2 x 2 （D）2,0,1,21 2（B）1 （C（D）21(3) 已知条件p:x 0，条件q: 0，则p是q成立的x（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件π(4) 函数f(x) Asin(x )（A 0）在x 处取得最小值，则3ππ（A）f(x )是偶函数（B）f(x )是奇函数33ππ（C）f(x )是偶函数（D）f(x )是奇函数33(5) 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm），所得数据如下茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为x甲,x乙，标准差分别为s甲,s乙，则（A）x甲x乙,s甲s乙（B）x甲x乙,s甲s乙（C）x甲x乙,s甲s乙（D）x甲x乙,s甲s乙2022年5月7日福州高三质检文科数学含答案2x 1 x,x 0,(6) 函数f(x) 的零点个数为1 lnx,x 0（C）1 （D）0(7) 在ABC中，C 90 ,AC 2，点M满足BM MA，则CM CA（A）1 （C（B（D）2（A）3（B）2(8) 在各项均为正数的等比数列an 中，a5a6 4，则数列log2an的前10项和等于（A）20 （C）5（B）10 （D）2 log25(9) 执行右面的程序框图，若输入的n值为4，则输出的结果为（A）8 （C）34（B）21 （D）55(10) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（A）10 （C）30（B）20 （D）60x2y2(11) 过双曲线C:2 2 1(a 0,b 0)的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于ab点A，若OF OA，则C的离心率为（A（B）2（C（D）51(12) 已知a R，函数f(x) x3 ax2 ax 2的导函数f (x)在,1 内有最小值．若3函数g(x)f (x)，则x（B）g x 在1, 上有最小值（D）g x 在1, 上为增函数（A）g x 在1, 上有最大值（C）g x 在1, 上为减函数2022年5月7日福州高三质检文科数学含答案第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．(13) 在平面直角坐标系xOy中，点P( m2,3)在抛物线y2 mx的准线上，则实数m ．x 1 0,(14) 若x,y满足约束条件x y 2。
福建省福州市20232024学年高三下学期4月末质量检测数学试卷
2023～2024 学年福州市高三年级4月份质量检测参考答案与评分细则一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分.1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABC 10．BC 11．ACD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．2− 13．8 14．6，22四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 【考查意图】本小题主要考查递推数列与数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等；考查分类与整合、化归与转化等思想方法；考查数学运算、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.满分13分.解：（1）因为12,2n n a a n n −=+…，所以12n n a a n −−=，···································1分当2n …时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+L ，所以22242n a n n =+−+++L ，·························································3分 所以(22),22n n n a n +=…，所以2,2n a n n n =+…，··································4分 又因为12a =，···············································································5分所以2*,n a n n n =+∈N .······································································6分（2）由（1）可知2*(1),n a n n n n n =+=+∈N ，·············································7分 所以()111111n a n n n n ==−++，····························································9分 所以11111223(1)(1)n S n n n n =++++××−+L 1111111122311n n n n =−+−++−+−−+L ，·····································11分 所以111n S n =−+，·········································································12分 又因为1n …，所以1n S <.·································································································13分16.【考查意图】本小题主要考查正态分布、全概率公式、条件概率等基础知识，考查数学建模能力、逻辑思维能力和运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和应用性．满分15分. 解：（1）依题意得，0,0.2µσ==，···························································1分所以零件为合格品的概率为(0.60.6)(33)0.9973P X P X µσµσ−<<=−<<+=， ···································································································2分 零件为优等品的概率为(0.20.2)()0.6827P X P X µσµσ−<<=−<<+=，·····3分 所以零件为合格品但非优等品的概率为0.99730.68270.3146P =−=，···········5分 所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631×≈.·············································································6分（2）设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A ，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C ，这批产品通过检测为事件D ，····························································8分 则D A BC =+，且A 与BC 互斥，·······················································9分 所以()()()P D P A P BC =+·································································10分()()(|)P A P B P C B =+·························································11分221220.68270.68270.31460.6827C C =×+×××21.62920.6827=×，····························································12分所以这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率为()(|)()P AD P A D P D =···········································································13分 220.68271.62920.6827=× 11.6292= 0.61≈.············································································· 15分答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61.17.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质定理、平面与平面的夹角、空间向量、三角函数的概念等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分.解法一：（1）在正方形ABEF 中，连接AH 并延长，交BE 的延长线于点K ，连接PK .···································································································2分因为,G H 分别为线段,AP EF 中点，所以HF HE =，所以Rt AFH △≌Rt KEH △，所以AH KH =，·····························4分所以GH PK ∥.································5分又因为,GH BCE PK BCE ⊄⊂面面， 所以GH BCE ∥面.···········································································7分 （2）依题意得，AB BCE ⊥面，又因为BP BCE ⊂面，所以AB BP ⊥.又因为BP AE ⊥,AB AE A =I ,,AB AE ABEF ⊂面，所以BP ABEF ⊥面，········································································8分 又BE ABEF ⊂面，所以BP BE ⊥，·····················································9分解法二：（1）证明：取BP 的中点Q ，连接,GQ EQ . ·····1分因为,G H 分别为线段,AP EF 的中点，所以GQ AB ∥，12GQ AB =，····························2分 又因为,AB EF AB EF =∥，所以,GQ HE GQ HE =∥，·································3分所以四边形GQEH 是平行四边形，······················································4分 所以GH QE ∥，··············································································5分又因为,GH BCE QE BCE ⊄⊂面面，所以GH BCE ∥面.············································································7分（2）同解法一.····················································································15分所以GH BCE ∥面.············································································7分（2）同解法一.····················································································15分18.【考查意图】本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考査直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考査直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分17分.解法一：（1）依题意，222b c a +=．··························································1分设00(,)P x y ，则2200221x y a b+=，0ax a −<<，所以2||PF =， 所以20||||c PF x a a==−，············································3分 又a c >，所以0c a x a >，20a x c >，所以20||c PF a x a =−，20a d x c=− 所以0220||c a x PF c a a d a x c−==−，即2||PF d 为定值，且这个定值为c a ．··················4分 （2）（ⅰ）依题意，00(,)33x y G ， 设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG ⊥x 轴，所以0(,0)3x C ，·······················5分 所以001202||||()()333x x FC F C c c x −=+−−=，··········································6分 因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点C ，所以121202||||||||3PF PF F C F C x −=−=，·················································7分 又因为12||||2PF PF a +=，解得02||3x PF a =−，··········································8分 由（1）得20||c PF a x a =−， 所以003x c a x a a −=−， 所以椭圆E 的离心率13c e a ==．·························10分 （ⅱ）由26a =，得3a =，又13c a =，所以1c =，2228b a c =−=， 所以椭圆E 的方程为22198x y +=．······················································11分 根据椭圆对称性，不妨设点P 在第一象限或y 轴正半轴上，即003x <…，00y <…， 又1(1,0)F −，2(1,0)F ，所以直线PF 1的方程为00(1)1y y x x =++， 设直线IG 与PF 1交于点D ，因为03D x x =，所以000(3)3(1)D y x y x +=+， △F 1CD 的面积1S 与△PF 1F 2的面积S 之比为000200100(3)1(1)233(1)(3)118(1)22x y x x x S S x y ++×++==+××，················································13分 令2(3)()18(1)x f x x +=+（03x <…），则2(3)(1)(1))(18x x x f x −′++=，当[0,1)x ∈，()0f x ′<，当(1,3)x ∈，()0f x ′>，所以函数()f x 在[0,1)单调递减，在(1,3)单调递增. 又因为1(0)2f =，4(1)9f =，1(3)2f =， 所以()f x 的值域是41[,]92， 所以14192S S ……，··········································································15分 所以11415S S S −……，·······································································16分 根据对称性，△PF 1F 2被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围是45[,54．········17分 解法二：（1）同解法一···········································································4分（2）（ⅰ）依题意，00(,33x y G ， 设直线IG 与x 轴交于点C ，因为IG ⊥x 轴，所以0(,0)3x C ，·······················5分 所以001202||||()()333x x FC F C c c x −=+−−=，··········································6分 因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点C ， 所以121202||||||||3PF PF F C F C x −=−=，·················································7分 又因为12||||2PF PF a +=，得0102||,3||.3x PF a x PF a =+ =−···········································8分所以00,3,3x a x a =+=−两式平方后取差，得00443cx ax =对任意0x 成立， 所以椭圆E 的离心率13c e a ==．························································10分 （ⅱ）同解法一···················································································17分 解法三：（1）同解法一···········································································4分（2）（ⅰ）依题意，00(,33x y G ，因为IG ⊥x 轴，设点I 坐标为0(,)3x t .··········5分 可求直线1PF 方程为00()y y x c x c=++， 则点I 到直线1PF 的||t =，·································6分 即()222200000()()()3x y c t x c t y x c +−+=++，化简得 22000002()()()033x x y t t c x c y c +++−+=，① 同理，由点I 到直线2PF 的距离等于||t ，可得22000002()()()033x xy t t c x c y c +−−−−=，②············································7分 将式①−式②，得00084233t cx y cx ⋅=⋅，则04y t =.·····································8分将04yt =代入式①，得2200001()()()016233y xx c x c c +++−+=， 化简得220022198x y c c +=，得229c a =，所以椭圆E 的离心率13c e a ==．························································10分（ⅱ）同解法一···················································································17分19.【考查意图】本小题主要考查集合、导数、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、 综合性与创新性.满分17分. 解：（1）依题意，因为0(),()f x x l x L ∈∈R ，所以2,1x x x kx ∀∈−++R …，且0x R ，20001x x kx −+=+，····················1分 令2()(1)1x x k x φ=−+−−，()214k ∆=−−， 则()0x φ…，且0()0x φ= ，所以0,0,∆ ∆ ……所以0∆= ，···································································3分即()2140k −−=，解得3k =或1−.··············································································4分（2）（ⅰ）先证必要性.若直线()y l x =是曲线()y g x =的切线，设切点为()00,e 1x x +， 因为()e x g x ′=，所以切线方程为()000e 1e ()x x y x x −+=−，即()000e (1)e 1x x l x x x =+−+（*）.························································5分 一方面，()()00g x l x =，所以000,()()x g x l x ∃∈=R ，································6分另一方面，令()()()000e e (1)e x x x G x g x l x x x =−=−−−，则()00G x =， 因为()0e e x x G x ′=−，所以当0x x <时，()0G x ′<，()G x 在()0,x −∞单调递减， 当0x x >时，()0G x ′>，()G x 在()0,x +∞单调递增，所以()()00G x G x =…，所以()()g x l x ….··············································7分 即,()()x g x l x ∀∈R …，所以()(),g x x l x T ∈∈R ，即()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”.···············8分 再证充分性.若()l x 是函数()g x 在R 上的“最佳下界线”，不妨设()l x kx b =+，由“最佳下界线”的定义，()(),x g x l x ∀∈R …，且()()000,x g x l x ∃∈=R ，····9分 令()()()e 1x H x g x l x kx b =−=+−−，则()0H x …且()00H x =，所以()min 0H x =.·········································10分 因为()e x H x k ′=−，①若0k …，则()0H x ′…，所以()H x 在R 上单调递增，所以10x x ∃<，使得()()100H x H x <=，故0k …不符合题意.·····················11分 ②若0k >，令()0H x ′=，得ln x k =，当(),ln x k ∈−∞时，()0H x ′<，得()H x 在(),ln k −∞单调递减， 当()ln ,x k ∈+∞时，()0H x >，得()H x 在()ln ,k +∞单调递增，所以，当且仅当ln x k =时，()H x 取得最小值()ln H k .····························12分 又由()H x 在0x 处取得最小值，()min 0H x =，所以0ln ,(ln )0,x k H k = = ···········································································13分即000e ,e 10,x xk kx b =+−−= 解得0e x k =，()001e 1x b x =−+，····························14分 所以()000e (1)e 1x x l x x x =+−+，。
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2015年福州市高中毕业班质量检测 文科数学能力测试参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分． 1．A 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．B 9．D 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．13．{}1- 14．1315．2 16．55三、解答题：本大题共6小题，共74分．17． 本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、二倍角的余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分12分．【解析】（Ⅰ）因为()cos (0,)f x x x x ωωω=->∈R ，所以()2sin()6f x x πω=-． ··········································································· 2分所以max ()2f x =．因为函数()f x 与直线2y =的相邻两个交点之间距离为π， 所以T π=， ····························································································· 3分所以2ππω=，解得2,ω=············································································ 4分 所以()2sin(2)6f x x π=-．令222,262k x k k πππππ--+∈Z 剟， ···························································· 5分 解得,63k xk k ππππ-+∈Z 剟． ··································································· 6分 所以函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k ππππ-+∈Z ． ·································· 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2sin()26f απα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1sin()63πα-=． ·················································································· 8分所以cos 2cos236ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭································································· 10分212sin 6πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ····························································· 11分79=． ············································································· 12分 18．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．·········由上表可知：成就感为三级（即01w 剟）的只有9A 一位，其频率为110． ··········· 3分用样本的频率估计总体的频率，可估计该群体中成就感等级为三级的人数有12002010⨯=．·············································································································· 5分 （Ⅱ）设事件A 为 “从成就感等级是一级的被采访者中随机抽取两人，他们的综合指标w 均为4”．由（Ⅰ）可知成就感是一级的（4w …）有：123568,,,,,A A A A A A ，共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1213151618232526283536,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A {}{}{}{}38565868,,,,,,,A A A A A A A A ，共15种． ··················································· 9分 其中综合指标4w =有：125,,A A A ，共3名，事件A 发生的所有可能结果为：{}{}{}121525,,,,,A A A A A A ，共3种， ··························· 10分 所以3()15P A ==15．················································································· 12分 19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分． 证明：（Ⅰ）连结BD ．因为1111ABCD A B C D -是长方体，且2AB BC ==， 所以四边形ABCD 是正方形， ······································································· 1分 所以AC BD ⊥． ························································································ 2分 因为在长方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以1AC BB ⊥． ··························································· 4分 因为BD ⊂平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ， 且1BD BB B =，所以AC ⊥平面11BB D D ． ················································ 5分 因为BP ⊂平面11BB D D ， 所以AC BP ⊥ ······························································· 6分 （Ⅱ）点P 到平面ABC 的距离14AA =，ABC ∆的面积122ABC S AB BC ∆=⋅⋅=， ····························································· 7分 所以111824=333P ABC ABC V S AA -∆=⋅=⨯⨯． ························································· 8分在Rt △1BB P中，114,BB B P ==所以BP =， ·········································· 9分同理CP =又=2BC ，所以PBC ∆的面积122PBC S ∆=⨯ ··· 10分设三棱锥A PBC -的高为h ，则因为A PBC P ABC V V --=，所以183PBC S h ⋅=， ····················································· 11分83=，解得h =． 即三棱锥A PBC -·································································· 12分20．本小题主要考查数列、等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分12分． 解：（Ⅰ）设第n 年初M 的价值为n a ，依题意，当13n 剟时，数列{}n a 是首项为20，公比为12的等比数列，所以13120522n n n a --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭．故210a =，35a =，所以321a a a <<．·············································································································· 2分 当4n …时，数列{}n a 是以4a 为首项，公差为4的等差数列，又4349a a =+=，所以()94447n a n n =+-⨯=-． ········································································· 3分1A A令20n a >，得274n >，又因为*n ∈N ，所以7n …． ·········································· 4分 因此，第7年初M 开始的价值n a 超过原购买的价值． ······································· 5分（Ⅱ）设n S 表示前n 年初M 的价值的和，则n n ST n=由（Ⅰ）知，当13n 剟时，3120124052112n nn S -⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⨯-，34052n n T n --⨯=①； ·············································································································· 7分当4n ...时，由于335S =，故()()()23453947 (3525322)n n n n S S a a a n n -+-=++++=+=-+，225323225n n n T n n n-+==+-．② ································································ 9分 当13n 剟时，由①得，120T =，215T =，3353T =，所以123T T T >> ················ 10分当4n …时，由②知，3225511n T n n =+-=…，当且仅当322n n=，即4n =时等号成立．即()4min 11n T T ==． ····················································································· 11分 由于34T T >，故在第4年初n T 的值最小，其最小值为11． ································ 12分21．本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）因为()e x xf x m=+，所以22e e e (1)()(e )(e )x x x x x m x x m f x m m +-⋅-+'==++， ············· 1分由1x =是()f x 的极值点，得2(1)0(e )mf m '==+， ············································· 2分 解得0m =， ····························································································· 3分此时()ex xf x =，经检验，1x =是()f x 的极值点．所以所求的实数m 的值为0． ······································································· 4分（Ⅱ）证明：取1m =-时，()e 1x xf x =-，此时2e (1)1()(e 1)xx x f x --'=-． ···················· 6分 构造函数()e (1)1x h x x =--， ········································································ 7分 所以()e (1)e (1)e x x x h x x x '=-+-=-在(0,)+∞上恒负，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减， ··································································· 8分 所以()(0)0h x h <=, ···················································································· 9分故()0f x '<在(0,)+∞恒成立，说明()e 1x xf x =-在(0,)+∞上单调递减． ··············· 10分所以当01a b <<<时，e 1e 1b ab a<--，又因为e e 1b a >>，所以e 10,e 10b a ->->， 所以(e 1)(e 1)a bb a -<-， ··········································································· 11分所以e e a b b a a b +<+成立． ········································································ 12分22．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分． 【解析】（Ⅰ）设椭圆Γ的半焦距为c ，则1,23,c e a AF a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩·································································· 2分解得2,1a c ==， ······················································································· 3分所以2223b a c =-=， ················································································· 4分所以椭圆Γ的方程为22143x y+=． ································································· 5分 （Ⅱ）方法一：依题意得， PQ 与坐标轴不垂直．设()()1122,,,P x y Q x y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-．由（Ⅰ）讨论可知，()()2,0,1,0A F -． 因为PF AQ '∥，所以直线FQ 与直线AQ '的斜率相等，故222212y y x x -=+-， ············· 7分 解得212x =． ···························································································· 8分 又因为点()22,Q x y 在椭圆Γ上，所以2y =，或2y = ························· 9分由椭圆对称性，不妨取2y =PQ的斜率221y k x ==+ 所以直线PQ方程为)1y x =+． ····························································· 10分由)221,3412,y x x y ⎧+⎪⎨⎪+=⎩得点P坐标为7,4⎛- ⎝⎭． ·············································· 11分 所以()()()()()2222222211111811111164PF x y x k x k x =++=+++=++=， ················ 12分 ()()()()()2222222222222812221216AQ x y x k x k x '=-+=-+-=+-=． ·················· 13分 所以12PF AQ '=． ·················································································· 14分方法二：依题意得， PQ 与坐标轴不垂直．设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,P x y Q x y ． 因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-．又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q '也在椭圆Γ上． ········································ 6分 由()221,3412,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得()22223484120k x k x k +++-=． 所以2212122284120,,3434k k x x x x k k -∆>+=-⋅=++． ················································· 7分 因为PF AQ '∥，所以直线AQ '的方程为()2y k x =-．由()222,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()2222341616120k x k x k +-+-=． 因为直线AQ '交椭圆于()()222,0,,A Q x y '-两点，所以2221612234k x k -⋅=+，故2228634k x k -=+． ························································· 9分所以22221211212222868864120,,34343434k k k k x x x x x x k k k k ---∆>+=+=-⋅=⋅=++++， 解得2157,44k x ==-．所以222861342k x k -==+． ·············································································· 11分 所以()()()()()2222222211111811111164PF x y x k x k x =++=+++=++=， ················ 12分()()()()()2222222222222812221216AQ x y x k x k x'=-+=-+-=+-=． ·················· 13分 所以12PF AQ '=．·················································································· 14分 方法三：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直． 设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,P x y Q x y ． 因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-．又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q '也在椭圆Γ上． ········································ 6分 由()221,3412,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去x 得()22234690k y ky k +--=． 所以12260,34ky y k∆>+=+． ········································································ 7分 因为PF AQ '∥，所以直线AQ '的方程为()2y k x =-．由()222,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去x 得，()2234120k y ky ++=． 因为直线AQ '交椭圆于()()222,0,,A Q x y '-两点，所以221234k y k --=+，即221234ky k =+． ····························································· 9分 设FP AQ λ'=（0λ>），则()()11221,2,x y x y λ+=--，所以1221234ky y k λλ-=-=+． · 11分所以()122212163434k k y y k k λ-+==++，解得12λ=， ············································ 13分 所以12FP AQ '=，即12PF AQ '=． ···························································· 14分方法四：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直． 设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,P x y Q x y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-． ············································· 6分 因为,,P F Q 三点共线，所以()111,FP x y =+与()221,FQ x y =+共线，所以()()1221110x y x y +-+=． ····································································· 7分 因为PF AQ '∥，所以可设FP AQ λ'=（0λ>），即()()11221,2,x y x y λ+=--，所以()121212,x x y y λλ+=-=-． ·································································· 8分 所以()()2222210x y x y λλ-++=，即()22210y x λ-=． ····································· 9分依题意，120y y ⋅≠，所以212x =． ······························································· 10分 因为点21,2Q y ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆22143x y +=上，所以2211163y +=，解得2y =2y = ···································································· 11分由椭圆对称性，不妨取2y =()()221,02,OP OF FP x y =+=-+--λ31,2⎛⎫=-- ⎪⎝⎭λ，因为点31,2P λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆22143x y +=上，所以22312143λ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得 12λ=或1λ=-（舍去）． ························ 13分。