山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6：方程的解与函数的零点及二分法(教师版)
2014山东高考数学(理)试题及答案
山东2014年高考数学理科试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += （A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4) （3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根学科网（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足x ya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A）B）C ）2（D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A ）1（B ）8（C ）12（D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为学科网（A ）0x =（B 0y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的学科网距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.（17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.（18）（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求： （Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望. （19）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . （20）（本小题满分13分）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.（21）（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，学科网交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则2(i)a b +=( ) A ．54i - B ．54i + C ．34i - D ．34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4) （3）函数()f x =( )A ．1(0,)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程20x ax b ++=没有实根B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根学科网C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根 （5）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是( ) A ．221111x y >++ B ．22ln(1)ln(1)x y +>+ C ．sin sin x y > D ．22x y > （6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．B ．C ．2D ．4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，．．．．．．，第五组．右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．1(0,)2 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,)+∞（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 2C 的渐近线方程为( )A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ．（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 ． （13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = ． （14）若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ．（15）已知函数()()y f x x R =∈．对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称．若()h x是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）（本小题满分12分）已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-． （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间．（17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值．（18）（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35．假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．B 1C 1D 1A 1CDMBA（19）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（20）（本小题满分13分）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）．（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．（21）（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =．当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．（ⅱ）ABE2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案1、D2、C3、C4、A5、D6、D7、C8、B9、B 10、A10、所以b a =为y =，即0x =， 故答案选A ． 11、3 12、16 13、1414、2 15、()∞ 15、【解析】解：由已知得()32h x x b =+，所以()62h x x b =+()()h x g x >恒成立即62x b +3x b +>恒成立，在同一坐标系内，画出直线3y x b =+及半圆y =故答案为()∞．16、解：（Ⅰ）已知 ()sin 2cos 2f x m x n x =⋅=+a b ， ()f x Q的图像过点π2π,,2123⎛⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭πππ()sin cos 1266f m n ∴=+=，2π4π4π()sin cos 2333f m n =+=-12122m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩解得1m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩（Ⅱ）π()2cos22sin(2x )6f x x x =+=+， π()(+)=2sin(22)6g x f x x ϕϕ=++设()g x 的对称轴为0x x =，1d =Q 解得00x = (0)2g ∴=，解得π6ϕ=()2sin(2)2sin(2)2cos2362g x x x x πππ∴=++=+= 222,k x k k Z πππ∴-+≤≤∈ ,2k x k k Z πππ-+≤≤∈()f x ∴的单调赠区间,,2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦17、解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且2AB CD =所以//DC AB ,又由M 是AB 中点， 因此//CD MA 且CD MA =． 连接1AD在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 因为11//CD C D ,11CD C D = 可得1111//,=C D MA C D MA 所以四边形11AMC D 为平行四边形 因此11//C M D A又111C M A ADD ⊄平面,111D A A ADD ⊂平面, 所以111//C M A ADD 平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平11DC M ∩面ABCD AB =过C 向AB 做垂线交AB 于N ，连接1D N , 由1CD ABCD ⊥面,可得1D N AB ⊥,故1D NC ∠为二面角1C AB C --的平面角在1RT D CN △中，1,602BC NBC CN =∠=︒=可得所以1ND ==在1Rt D CN V中，11cos CN D NC D N ∠===, 所以平面11C D M 和平面ABCD．18、解：（Ⅰ）设恰有一次的落点在乙上为事件A()51143656510P A =⨯+⨯=（Ⅱ）ξ的可能取值为0,1,2,3,4,6()11106530P ξ==⨯=，()11131135656P ξ==⨯+⨯=()()131111122,3355256515P P ξξ==⨯===⨯+⨯=()()1311111114,62535302510P P ξξ==⨯+⨯===⨯=ξ∴的分布列为∴其数学期望为()111211191012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19、解：（Ⅰ） 1121412,S ,S 2,46d a a d S a d ===+=+124,,S S S 成等比数列2214S S S ∴=解得11,21n a a n =∴=- （Ⅱ）111411(1)(1)()2121n n n n n n b a a n n --+=-=-+-+ 当n 为偶数时，111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++-++-+---+当n 为奇数时，111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++--+++---+ 12212121n n T n n +∴=+=++2,2122,21n nn n T n n n ⎧⎪⎪+∴=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数20、解：（Ⅰ）()242221'()x x e x xe f x k x x x⋅-=--+ ()()()320x x e kx x x --=>当0k ≤时，0,kx ≤0xe kx ∴->令()'0f x =，则2x =∴当()0,2x ∈时，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()f x 单调递增． （Ⅱ）令()xg x e kx =-则()'xg x e k =-当0k ≤时，()'0g x >恒成立，()()0,2g x ∴在上单调递增，不符合题意． 当0k >时令()'0g x =，,ln xe k x k ∴==()()'010,010g k g =-<=> ()()22'20,220g e k g e k =->=->22e k ∴<()ln ln ln 0k g k e k k =-<ln 1k ∴> k e ∴>综上：k 的取值范围为2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．21、解：（Ⅰ）当A 的横坐标为3时，过A 作AG x ⊥轴于G ，32pAF =+32p FD AF ∴==+AFD QV 为等边三角形13224p FG FD ∴==+ 又32pFG =-33242p p∴+=-，2p ∴=，2:4C y x ∴= （Ⅱ）（ⅰ）设11(,y )A x ，11FD AF x ==+()12,0D x ∴+ 12AB y k ∴=1//AB l l Q 1112l k y ∴=-又1l 与C 相切，设切点(),y E E E x ,214x y =，1'2x y = 1122E y y -∴=，14E y y ∴=- 22111444E x y y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 21121144,,A ,y 4y E y y ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211121214y y :y y 444AEy l x y y +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭-即()121414y y x y =--恒过点()1,0∴直线AE 过定点()1,0． （ⅱ）2111y :y y 24AB y l x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即21122244y x y y y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩ ()2211880y y y y +-+= 1218y y y +=-2118y y y ∴=--12118+AB y y y y =- 点E 到AB的距离d ==32311121111184222222162242y y S AB d y y y y ∴=⋅=+++=+≥⨯=，当且仅当12y =±时，“=”成立．。
2014年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）22．（5分）（2014•山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）），），，＜）∪（4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是．＞=，故32∫（x|=87．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）=8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）），，＜9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a22=0作可行域如图，，解得：化目标函数为直线方程得：由图可知，当直线2a+b=2的最小值为10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）±x±y=0的方程为+的离心率为：，的方程为﹣的离心率为：，的离心率之积为，，±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．，再根据中，∵•A=时，有=AC=××=故答案为：．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．面积的，=．故答案为：．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．+=，15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．的定义可知，，﹣﹣＞d=，或﹣222，三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．（，，﹣），可得•=msin2x+ncos2x，（，=（sin2x+cos2x2x+）+=2k，，）﹣，17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．，，，，，，，，﹣的法向量=的法向量=CD AM，=，）（，（﹣，，﹣的法向量，∴的法向量=，|==所成的角（锐角）的余弦值为18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．+，+=×））×=+．）﹣=×））×=；×=×））×=；×+×=；×=×+1×+2×+3×+4×+6×=．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．=，，化为1==++．﹣++=1=．﹣++=1+=Tn=20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．当且仅当e，21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．，，，的左侧时，=p方程为联立方程，消去得的解为，直线，的方程为，即联立方程=的坐标为，点=，。
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编6《二次函数》.pdf
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编6：二次函数 一、选择题 ．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是（ ） A．B．C．D． 【答案】A ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）不等式≤0对于任意及恒成立,则实数的取值范围是≤B．≥C．≥D．≥ 【答案】D ．（山东省威海市乳山一中2014届高三上学期第一次质量检测数学试题）若关于x的方程有四个不同的实数解,则实数m的取值范围是（ ） A．B．C．D． 【答案】C ．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数,且,则下列说法正确的是（ ） A．B．C．D．与的大小关系不能确定 【答案】A ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）已知对任意的,函数的值总大于0,则的取值范围是B．C．D． 【答案】B ．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数在区间上有最大值3,最小值2,则的取值范围是（ ） A．B．C．D． 【答案】D ．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）函数是单调函数的充要条件是（ ） A．B．C．D． 【答案】A ．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围是B．C．D．【答案】C二、填空题 ．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）已知满足,则______________ . 【答案】 三、解答题 ．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）设函数f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3), (1)证明f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增还是减函数; (4)求函数的值域. 【答案】(1)证明 ∵x∈[-3,3],∴f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)解 当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, 即f(x)=根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图.(3)解 函数f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3]. f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数,在[-1,0),[1,3]上为增函数.(4)解 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2]. ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）已知二次函数f(x)=ax24x+c.若f(x)<0的解集是(1,5)(1)求实数a,c的值;(2)求函数f(x)在x∈[0,3]上的值域.【答案】解:(1)由f(x)<0,得:ax24x+c<0,不等式ax24x+c0,∴f(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-. ∵二次函数f(a)在上单调递减,∴≤f(a)≤f(-1),即-≤f(a)≤4,∴f(a)的值域为 [-,4]. ．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）设函数. (1)在区间上画出函数的图象 ;(2)设集合. 试判断集合和之间的关系,并给出证明 ;(3)当时,求证:在区间上,的图象位于函数图象的上方. 【答案】 解:(1)函数在区间上画出的图象如下图所示: (2)方程的解分别是和,由于在和上单调递减,在和上单调递增,因此 由于 (3)解法一:当时,. 设 , . 又,① 当,即时,取, . , 则 ② 当,即时,取,=. 由 ①.②可知,当时,, 因此,在区间上,的图象位于函数图象的上方 解法二:当时,. 由 得, 令 ,解得 或, 在区间上,当时,的图象与函数的图象只交于一点; 当时,的图象与函数的图象没有交点. 由于直线过点,当时,直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此,在区间上,的图象位于函数图象的上方.。
2014年高考山东理科数学试题及答案(精校版)
高三 数 学（理）期末模拟（六）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->，2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x （万元）42 3 5 销售额y （万元） 4926 39 54根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为A.63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元解析：由题意可知 3.5,42x y ==，则429.43.5,9.1,a a =⨯+=9.469.165.5y =⨯+=，答案应选B 。
5、不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞D.(,4][6,)-∞-+∞解析：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。
2014年山东高考理科数学试题含答案(Word版)(卷)
山东理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += （A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =（A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4)（3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根 （5）已知实数,x y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22（B ）42（C ）2（D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A ）1（B ）8（C ）12（D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为 （A ）5（B ）4（C ）5（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为3，则2C 的渐近线方程为 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x 是2()4g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 . 1.3.。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编29：二项式定理
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编29：二项式定理一、选择题 1．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））若()()()()()()923112012311132222xx a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【 解析】令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-.令3x =,则01110a a a ++⋅⋅⋅+=,所以1110(5)5a a a +⋅⋅⋅+=-=--=,选C ．2 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 （ ）A ．-20B ．—10C ．10D ．20【答案】C【解析】令1x =,可得各项系数和为5(1)(21)12a a +-=+=,所以1a =.所以555111()(21)()(21)()(12)ax x x x x x x x x+-=+-=-+-,5(12)x -的展开式的通项公式为155(2)(2)k k k k k k T C x x C +=-=-,当1k =时,125(2)10T C x x =-=-;所以展开式的常数项为1(10)10x x-⨯-=,选 C ．3 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++ ,则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++（ ）A ．201320133131+-B ．201320133131+--C ．201220123131+-D ．201220123131+--【答案】B 【解析】令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++= ①,令1-=x 得201301234520133a a a a a a a -+-+-+-= ②,由①②联立,可得2012420a a a a ++++ 2013312+=,++31a a 52013a a ++ 2013132-=,从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++ 20132013312132+=-201320133131+=--. 4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若4(1,)a a b +=+为有理数,则a+b=（ ）A ．36B ．46C ．34D ．44【答案】D二项式的展开式为11223344441118928C C C ++++=+++=+,所以28,16a b ==,281644a b +=+=,选 D ．5 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）二项式8(2x-的展开式中常数项是 （ ）A ．28B ．-7C ．7D ．-28【答案】C展开式的通项公式为488831881()(()(1)22k k k k k k k k x T C C x ---+==-,由4803k -=得6k =,所以常数项为6866781()(1)72T C -=-=,选C ．6 ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）51()(2)x a x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 （ ）A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】 .A ．7 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）设0(cos sin )a x x dx π=⎰-,则二项式26()a x x+展开式中的3x 项的系数为 （ ）A ．-20B ．20C ．-160D ．160【答案】C 因为00(cos sin )(sin cos )2a x x dx x x ππ=⎰-=+=-,所以二项式为26262()()a x x x x+=-,所以展开式的通项公式为261231662()()(2)kk k k k k k T C x C x x--+=-=-,由1233k -=得3k =,所以333346(2)160T C x x =-=-,所以3x 项的系数为160-.选C ．8 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））设a=π0⎰sin x d x ,则二项式6⎛⎝的展开式的常数项是（ ）A ．160B ．-160C ．240D ．-240【答案】B【解析】由2)cos (sin 00=-=⎰ππx xdx ,所以2=a ,所以二项式为6)12(xx -,展开式的通项为22666661)1(2)1()2(k k kk k k k k k xxC xx C T ----+-=-=k k k k x C ---=366)1(2,所以当3=k ,为常数,此时160)1(23336-=-C ,选B ．9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ,则二项式1()n x x-展开式中2x 项的系数为 （ ）A ．15B ．15-C ．30D ．30-【答案】A 因为函数()|2||4|f x x x =++-的最小值为4(2)6--=,即6n =.展开式的通项公式为6621661()(1)k k k k k k k T C x C x x--+=-=-,由622k -=,得2k =,所以222236(1)15T C x x =-=,即2x 项的系数为15,选A ．10．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为（ ）A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-【答案】A11．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）(82展开式中不含．．4x项的系数的和为（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】C12．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）设22(13)40a x dx =-+⎰,则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是（ ）A ．160-B ．160C ．161D ．161-【答案】C13．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10,则实数a 等于 （ ）A ．-1B ．12C ．1D ．2【答案】D14．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）若2012(3)nnn x a a x a x a x -=++++ ,其二项式系数的和为16,则012n a a a a ++++=（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B15．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）若()()()()()()923112012311132222x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为 （ ）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【解析】令3x =,则有012110a a a a +++⋅⋅⋅+=,令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-,所以121105a a a a ++⋅⋅⋅+=-=,选C ．二、填空题16．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3=______________.【答案】8017．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）若261()xax -的二项展开式中3x 项的系数为52,则实数a =_______.【答案】-218．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）若31()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中3x 的系数为______.【答案】84;19．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013滨州市一模)设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】-160词 【解析】,3,2)1(,)12()1(,2|)cos (sin 36616600=∴-=-=-∴=-==--+⎰r x C T x x x x a x dx x a r r r r r ππ所以常数项为-160.20．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）8(2x -的展开式中,常数项为___________. 【答案】7展开式的通项公式为488831881()((1)()22k k k k k k kk x T C C x ---+==-,由4803k -=,解得6k =,所以常数项为226781(1)()72T C =-=.21．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若(x 2-nx)1的展开式中含x 的项为第6项,设(1-3x)n=a o +a 1x+a 2x 2++a n x n,则a l +a 2++a n 的值为_____________ 【答案】255展开式(x 2-n x )1的通项公式为22311()()(1)k n k k kk n k k n n T C x C x x--+=-=-,因为含x 的项为第6项,所以5,231k n k =-=,解得8n =,令1x =,得88018(13)2a a a +++=-= ,又01a =,所以81821255a a ++=-= .22．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）二项式)10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是____________. 【答案】523．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）在62(x )x-的二项展开式中,常数项等于_______. 【答案】 【答案】160- 展开式的通项公式为6621662()(2)k k k k k kk T C x C x x--+=-=-,由620k -=,得3k =,所以3346(2)160T C =-=-,即常数项为160-.24．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）设dx x )12(20-⎰,则二项式4⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为__________.___【答案】2425．（2011年高考（山东理））若62(x x -展开式的常数项为60,则常数a 的值为_________.【答案】解析:6(x 的展开式616(k k k k T C x -+=636(kk C x -=,令630,2,k k -==226(1560,4C a a ===,答案应填:4.26．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）25(ax的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为 【答案】10【解析】因为展开式中各项系数的和为243,所以当1x =时,5(1)243a +=,解得2a =,展开式的通项公式为5102552155(2)2k kkk k kk T C x C x ---+==,由51002k -=,解得4k =,所以常数项为455210T C =⨯=.27．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项等于______(用数字作答). 【答案】1215展开式的通项公式为666316621(3)()3kk k k k kk T C x C x x---+==,由630k -=得2k =,所以常数项为423631215T C ==.28．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】160-00sin =cos 2a xdx x ππ=-=⎰,所以二项式的展开式为663166(((1)2k k kk k k k k T C C x ---+==-⋅⋅,由30k -=时,3k =,所以常数项为33346(1)2160T C =-⋅=-.29．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是_________.【答案】180。
2014年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
2014年全国高考理科数学试卷山东卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi +=（A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =（A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4) （3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）（B）（C ）2 （D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A ）1 （B ）8 （C ）12 （D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（A ）0x =（B 0y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.（17）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.（18）（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望。
2014年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）22．（5分）（2014•山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）），），，＜）∪（4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是．＞=，故32∫（x|=87．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）=8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）），，＜9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a22=0作可行域如图，，解得：化目标函数为直线方程得：由图可知，当直线2a+b=2的最小值为10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）±x±y=0的方程为+的离心率为：，的方程为﹣的离心率为：，的离心率之积为，，±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．，再根据中，∵•A=时，有=AC=××=故答案为：．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．面积的，=．故答案为：．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．+=，15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．的定义可知，，﹣﹣＞d=，或﹣222，三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．（，，﹣），可得•=msin2x+ncos2x，（，=（sin2x+cos2x2x+）+=2k，，）﹣，17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．，，，，，，，，﹣的法向量=的法向量=CD AM，=，）（，（﹣，，﹣的法向量，∴的法向量=，|==所成的角（锐角）的余弦值为18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．+，+=×））×=+．）﹣=×））×=；×=×））×=；×+×=；×=×+1×+2×+3×+4×+6×=．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．=，，化为1==++．﹣++=1=．﹣++=1+=Tn=20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．当且仅当e，21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．，，，的左侧时，=p方程为联立方程，消去得的解为，直线，的方程为，即联立方程=的坐标为，点=，。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编：指数函数、对数函数、幂
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编：指数函数、对数函数、幂山东省2022年届理科数学一轮复习试题选编5：指数函数、对数函数、幂函数一、选择题错误！未指定书签。
．（山东省烟台市2022年届高三3月诊断性测试数学理试题）已知幂函数y=f(x)的图象过点(1),则log2f(2)的值为211A．B．-22（）C．2D．-2A设幂函数为f(x) x,则f() ()12121,解得,所以f(x) ,所以22f(2)1即log2f(2) log2 ,选A．2x错误！未指定书签。
．（山东省德州市2022年届高三上学期期末校际联考数学（理））已知a0,b0,且ab 1,则函数f(x) a与函数g(x) 1ogbx的图象可能是DC．因为D．因为对数函数g(x) 1ogbx的定义域为(0, ),所以排除A,ab 1,所以b1x,即函数f(x) a与g(x) 1ogbx的单调性相反.所以选a错误！未指定书签。
．（山东省实验中学2022年届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）下列函数图象中,正确的是CA中幂函数中a 0而直线中截距a 1,不对应.B中幂函数中a 应.D中对数函数中a 1,而直线中截距0 a 1,不对应,选C．1而直线中截距a 1,不对2错误！未指定书签。
．（山东省枣庄三中2022年届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知f1(x) ax,f2(x) xa,f3(x) logax,(a 0且a 1),在同一坐标系中画出其中两个函数在A．BB（）C．DA中f1(x) ax单调递增,所以a 1,而幂函数f2(x) xa递减,a 0,所以不正确.B中f3(x) logax单调递增,所以a 1,而幂函数f2(x) xa递增,,所以正确.C中f1(x) ax单调递增,所以a 1,而f3(x) logax递减,0 a 1,所以不正确.D中f1(x) ax单调递减,所以0 a 1,而幂函数f2(x) xa递增,a 0,所以不正确.所以正确的是xB．错误！未指定书签。
2014年山东省高考理科数学试题+答案(全)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页，满分150分。
考试用时120分钟考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项：1 答题前，考试务必用05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区 和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2(B)铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。
3 第Ⅱ卷必须用05毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 参考公式:如果事件(A)，(B)互斥，那么P(A)+(B)=P((A))+P((B))；如果事件(A)，(B)独立，那么P(A)(B)=P((A))*P((B))第Ⅰ卷 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知,R a b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += (A) 54i -(B)54i +(C) 34i -(D)34i +答案：D解析：由已知得，2,1a b ==，即2a bi i +=+，所以22()(2)34a bi i i +=+=+，选D考点：复数的四则运算，复数的概念。
（2）设集合{|1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}xB y y x ==∈,则A B =(A) [0,2](B) (0,3)(C) [1,3)(D)(1,4)答案：C解析：由已知{|13},{|14}A x x B y y =-<<=≤≤，所以，[1,3)A B =，选C考点：绝对值不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题(教师版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x]表示不大于*的最大整数)可表示为（ ） A ．[]10x y = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y += 【答案】B 法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除 C ．D,若x=57,y=6,排除A,所以选B法二:设)90(10≤≤+=ααm x ,，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当,所以选B 2 ．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+ ,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B3 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在R 上的函数f(x),存在常数()t t R ∈,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x 均成立,则称f(x )是阶回旋函数,则下面命题正确的是（ ）A ．f(x)=2x是12-阶回旋函数 B ．f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数 C ．f (x)=x 2是1阶回旋函数 D ．f(x)=log a x 是0阶回旋函数【答案】B4 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知c b a ,,为互不相等的三个正实数,函数)(x f 可能满足如下性质:①)(a x f -为奇函数;②)(a x f +为奇函数;③)(b x f -为偶函数;④)(b x f +为偶函数;⑤()()f x c f c x +=-.类比函数2013sin y x =的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足①②,则)(x f 的一个周期为4a ;(ii)若满足①③;则)(x f 的一个周期为||4b a -;(iii)若满足③④,则)(x f 的一个周期为||3b a -;(iv)若满足②⑤;则)(x f 的一个周期为||4c a +. 其中正确结论的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】由2013sin y x =的图象知,两相邻对称中心的距离为2T 两相邻对称轴的距离为2T,对称中心与距其最近的对称轴的距离为4T,若满足①②,则)(x f 的两个相邻对称中心分别为)0,(a ,)0,(a -,从而有a a a T2)(2=--=,即a T 4=;若满足①③,则)(x f 的对称轴为b x =,与对称轴相邻的对称中心为)0.(a ,有||4b a T-=,即||4b a T -=;若满足③④,则)(x f 的两个相邻的对称轴为b x -=和b x =,从而有=--=)(2b b Tb 2,即b T 4=;若满足②⑤,则)(x f 的对称中心为)0,(a -,与其相邻的对称轴为c x =,从而有()4Tc a a c =-+=-,即=T 4||a c -.故只有(iii)(iv)错误.5 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <,值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是 （ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C由2()15f x x =+=,得24x =,即2x =±.故根据题意得a,b 的取值范围为:20a -≤≤且2b =或者02b ≤≤且2a =-,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形面积为4,选 C ．6 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称,且当(,0),()'()0x f x x f x ∈-∞+<成立若a=(20.2)·0.2(2),(12)f b n =·121(12),(1)4f n c og =·121(1)4f og ,则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】B 因为函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称,所以()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为0.2122<<,0ln 21<<,121log 24=,所以0.21210ln 22log 4<<<,所以b a c >>,选B ．7 ．（2012年山东理）(12)设函数f (x)=,g(x )=ax 2+bx 若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则下列判断正确的是 （ ） A ．当a<0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B ．当a<0时, x 1+x 2>0, y 1+y 2<0 C ．当a>0时,x 1+x 2<0, y 1+y 2<0 D ．当a>0时,x 1+x 2>0, y 1+y 2>0【答案】解析:令bx ax x+=21,则)0(123≠+=x bx ax ,设23)(bx ax x F +=,bx ax x F 23)(2+=' 令023)(2=+='bx ax x F ,则ab x 32-=,要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需1)32()32()32(23=-+-=-abb a b a a b F ,整理得23274a b =,于是可取3,2=±=b a 来研究,当3,2==b a 时,13223=+x x ,解得21,121=-=x x ,此时2,121=-=y y ,此时0,02121>+<+y y x x ;当3,2=-=b a 时,13223=+-x x ,解得21,121-==x x ,此时2,121-==y y ,此时0,02121<+>+y y x x .答案应选 B ．另解:令)()(x g x f =可得b ax x+=21.设b ax y xy +=''=',12 不妨设21x x <,结合图形可知, 当0>a 时如右图,此时21x x >,即021>>-x x ,此时021<+x x ,112211y x x y -=->=,即021>+y y ;同理可由图形经过推理可得当0<a 时0,02121<+>+y y x x .答案应选B ．8 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）我们定义若函数)(x f 为D 上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间D 上的任何取值有意义;(2)对于区间D 上的任意n 个值n x x x ,,,21 ,总满足)()()()(2121nx x x nf x f x f x f n n +++≥+++ ,那么下列四个图象中在]2,0[π上满足凹函数定义的是【答案】A 【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可以排除D,在 （ ） A ． B ．C 这三个选项中可以考虑特值法,取01=x ,22π=x ,则显然选项 B ．C 不满足)2(2)()(2121x x f x f x f +>+,故选（ ） A ．9 ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y=f(x),x∈D,若存在常数C,对任意的x l ∈D,仔在唯一的x 2∈D,使得C =,则称函数f(x)在D 上的几何平均数为 C ．已知f(x)=x 3,x∈[1,2],则函数f(x)=x 3在[1,2]上的几何平均数为 （ ）A B ．2C ．4D ．【答案】D10．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）对于函数()f x ,如果存在锐角θ使得()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ,所得曲线仍是一函数,则称函数()f x 具备角θ的旋转性,下列函数具有角4π的旋转性的是 （ ）A ．y =B ．ln y x =C ．1()2x y =D ．2y x =【答案】C 设直线y x b =+,要使()f x 的图像绕坐标原点逆时针旋转角4π,所得曲线仍是一函数,则函数y x b =+与()f x 不能有两个交点.由图象可知选C ．11．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件:①对于任意的x R ∈,都有(4)()f x f x +=;②对于任意的121212,,02,()();x x R x x f x f x ∈≤<≤<且都有③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是（ ）A ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<B ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<C ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<D ．(4.5)(6.5)(7)f f f << 【答案】A【解析】由(4)()f x f x +=知函数的周期是4,由②知,函数在[0,2]上单调递增,函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称,即函数函数()y f x =的图象关于2x =对称,即函数在[2,4]上单调递减.所以(4.5)(0.5)f f =,(6.5)(2.5)(1.5)f f f ==,(7)(3)(1)f f f ==,由(0.5)(1)(1.5)f f f <<可知(4.5)(7)(6.5)f f f <<,选（ ） A ．12．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且[]0,2x ∈时,2()log (1)f x x =+,甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:()31f =;乙:函数()f x 在[]6,2--上是减函数;丙:函数()f x 关于直线4x =对称;丁:若()0,1m ∈,则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-,其中正确的是（ ）A ．甲、乙、丁B ．乙、丙C ．甲、乙、丙D ．甲、丙二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 【答案】A13．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y = 1n|x-1|的图像与函数y=-2 cosπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B14．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））对于正实数α,记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合:12,x x R ∀∈且21x x >,有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是（ ）A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>,则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠,则12()()f x M g x αα∈ 【答案】A15．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+}; ③M={2(x,y )|y log x =};④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【答案】 【答案】D①1y x=是以,x y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x 1,y 1)∈M,不存在(x 2,y 2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x 1,y 1)∈M,在另一支上也不存在(x 2,y 2)∈M,使得x 1x 2+y 1y 2=0成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点集”.②{(,)sin 1}M x y y y x ===+,如图在曲线上,两点构成的直角始存在,所以{(,)sin 1}M x y y y x ===+是“垂直对点集”.对于③2{(,)log }M x y y x ==,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M (0,1)-,N 2(log 2,0),满足“垂直对点集”的定义,所以正确.对于④{(,)2}x M x y y e ==-,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”. ,故选 D ．二、填空题16．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知()f x 为R 上的偶函数,对任意x R∈都有(6)()(3)f x f x f +=+且当[]12,0,3x x ∈, 12x x ≠ 时,有1212()()0f x f x x x ->-成立,给出四个命题:①(3)0f = ② 直线6x =-是函数()y f x =的图像的一条对称轴③ 函数()y f x =在[]9,6--上为增函数 ④ 函数()y f x =在[]9,9--上有四个零点其中所有正确命题的序号为______________ 【答案】①②④【解析】令3x =-,得(36)(3)(3)(3)f f f f -+=-+=,即(3)0f =,所以①正确.因为(6)()(3)f x f x f +=+,所以(6)()(3)()(3)f x f x f f x f -+=-+=+,即(6)(6)f x f x -+=+,所以直线6x =是函数()y f x =的图像的一条对称轴,因为函数为偶函数,所以6x =-也是函数()y f x =的图像的一条对称轴所以②正确.由1212()()0f x f x x x ->-可知函数()f x 在区间[0,3]上递增,又(6)()(3)()f x f x f f x +=+=,所以函数的周期为6,所以函数在[6,9]上递增,所以在[]9,6--上为减函数,所以③错误.因为函数的周期为6,所以(9)(3)(3)(9)0f f f f -=-===,故函数()y f x =在[]9,9--上有四个零点,所以④正确,所以正确的命题为①②④17．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））若函数)(x f 满足0,≠∈∃m R m ,对定义域内的任意)()()(,m f x f m x f x +=+恒成立,则称)(x f 为m 函数,现给出下列函数:①xy 1=; ②x y 2=;③x y sin =;④nx y 1= 其中为m 函数的序号是.(把你认为所有正确的序号都填上) 【答案】②③【解析】①若x y 1=,则由()()()f x m f x f m +=+得111x m x m=++,即111()m x m x x x m m -==++,所以22()m x x m x mx =+=+,显然不恒成立.②若x y 2=,由()()()f x m f x f m +=+得由2()22x m x m +=+恒成立,所以②为m 函数.③若x y sin =,由()()()f x m f x f m +=+得sin()sin sin x m x m +=+,当2m π=时,有sin(2)sin x x π+=,sin sin 20m π==,此时成立,所以③为m 函数.④若nx y 1=,由()()()f x m f x f m +=+得由ln()ln ln ln x m x m mx +=+=,即x m mx +=,即(1)0m x m -+=,要使(1)0m x m -+=恒成立,则有10m -=,即1m =.但此时(1)0110m x m -+=+=≠,所以不存在m ,所以④不是m 函数.所以为m 函数的序号为②③.18．（2009高考(山东理)）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=【答案】【解析】:因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以,由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1x +答案:-819．（山东省济宁市2013[a,b]⊆D,使得函数f (x )满足:(1) f (x )在[a,b]内是单调函数;(2)f (x )在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=f (x )的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是_______ (只需填符合题意的函数序号) ①20f (x )x (x )=≥;②xf (x )e (x R )=∈; ③10f (x )(x )x =>;④2401xf (x )(x )x =≥+. 【答案】①③④【解析】①若2()f x x =,则由题意知()2()2f a a f b b =⎧⎨=⎩,即2222a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得02a b =⎧⎨=⎩时,满足条件.②若()x f x e =,则由题意知()2()2f a a f b b =⎧⎨=⎩,即22a b e a e b⎧=⎪⎨=⎪⎩,即,a b 是方程2xe x =的两个根,由图象可知方程2xe x =无解时,所以不满足条件.③若1()f x x =,则由题意知()2()2f a b f b a =⎧⎨=⎩,即1212b a ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以只要12ab =即可,所以满足条件.④若24()1xf x x =+,因为22244'()(1)x f x x -=+,则由题意知当01x ≤≤时,'()0f x >,函数递增,当1x >时,'()0f x <,函数递减.当01x ≤≤时由()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩得22421421aa ab b b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,由2421x x x =+,解得0x =或1x =,所以当0,1a b ==时,满足条件,即区间为[0,1].所以存在“和谐区间”的是①③④.20．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如:函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.给出下列命题:①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数; ②指数函数)(2)(R x x f x∈=是单函数;③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中的真命题是 ______________.(写出所有真命题的序号)【答案】②③④ 【解析】当122,2x x ==-时,12()4(),f x f x ==故①错;()2x f x =为单调增函数,故②正确;而③④显然正确21．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））具有性质:1()()f f x x=-的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ①1;y x x =-②1;y x x=+ ③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是________________.【答案】①③ 【解析】当1y x x =-时,11()()f x f x x x=-=-,所以①满足“倒负”变换的函数.当1y x x =+时,11()()f x f x x x =+=,所以②不满足“倒负”变换的函数.当,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩时,当1x >时,101x <<,11()()f f x x x ==-,当01x <<时,1x >,1()()f x f x x=-=-,所以③满足“倒负”变换的函数,所以满足条件的函数是①③.22．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）定义在R 上的函数()yf x =,若对任意不等实数12,x x 满足()()12120f x f x x x -<-,且对于任意的,x y R ∈,不等式()()22220f x x f y y -+-≤成立.又函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称,则当14x ≤≤时,yx的取值范围为_______________.【答案】1[,1]2-【解析】若对任意不等实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x -<-,可知函数()y f x =为R 上递减函数.由函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,可知函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称,所以函数()y f x =为奇函数.又22(2)(2)0f x x f y y -+-≤,即222(2)(2)(2)f x x f y y f y y -≤--=-,所以2222+x x y y -≥-,即()(2)0.x y x y -+-≥()(2)014x y x y x -+-≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域如图所示,yx 表示区域中的点与原点连线的斜率,又12OA k =-,所以yx的取值范围为1[,1]2-.如图23．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()f x 的定义域为R ,若存在常数0m >,对任意R x ∈,有()f x m x ≤,则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数:①2()f x x =;②2()1x f x x =+;③()2xf x =;④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为_________________.【答案】②④24．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数()f x 在实数集R 上具有下列性质:①直线1x =是函数()f x 的一条对称轴;②()()2f x f x +=-;③当1213x x ≤<≤时,()()()21f x f x -⋅()210,x x -<则()2012f 、()2013f 从大到小的顺序为_______.【答案】(2013)(2012)(2011)f f f >> 由()()2f x f x +=-得()()4f x f x +=,所以周期是4所以(2011)(3)f f =,()2012(0)f f =,(2013)(1)f f =.因为直线1x =是函数()f x 的一条对称轴,所以()2012(0)(2)f f f ==..由()()()21f x f x -⋅()210x x -<,可知当1213x x ≤<≤时,函数单调递减.所以(2013)(2012)(2011)f f f >>.25．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀,其中4AE =米,6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ,使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为_________平方米 .A MEPDCB N F【答案】48 三、解答题26．（2009高考(山东理)）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6：方程的解与函数的零点及二分法(学生版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6：方程的解与函数的零点及二分法一、选择题1 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设函数4()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[0,5]上,则函数1()g x x=与函数3()h x x a =- 的图象的交点的横坐标为正整数时实数a 的取值个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．无穷个2 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ,则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点,在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点,在区间),1(e 内有零点3 ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[0,1)C ．(,1)-∞D ．[0,)+∞4 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数2, 0(), 0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩,若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为（ ） A ．1[,1]2- B ．1[,1)2- C ．1(,0)4- D ．1(,0]4-5 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )= 110x⎛⎫⎪⎝⎭,在x ∈[0,4]上解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）如果若干个函数图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同族函数”.给出下列函数:①()sin cos f x x x =; ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;③()sin f x x x =; ④()21f x x =+其中“同族函数”的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 7 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）函数x x x f ln )1()(+=的零点有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8 ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）函数1f (x )lg x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)9 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设()338x f x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定10．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+⎩ 的零点个数为 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时,()f x x =,则方程3()log ||f x x =的解个数是（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个 12．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））函数23)(3+-=x x x f 的零点为 （ ）A ．1,2B ．±1,-2C ．1,-2D ．±1, 2 13．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则a 的取值范围是 （ ）A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1a <-14．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．315．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）定义在R 上的奇函数()f x ,当x ≥0时, ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩则关于x 的函数()()F x f x a =-(0<a <1)的所有零点之和为（ ）A ．1-2aB ．21a-C ．12a--D ．21a--16．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈,若函数()y f x k =+有三个零点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．2k ≤B ．10k -<<C ．21k -≤<-D ．2k ≤-17．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,且当3x ≥-时,()23xf x =-,若函数()f x 在区间(1,)()k k k Z -∈上有零点,则K 的值为 （ ）A ．2或-7B ．2或-8C ．1或-7D ．1或-818．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）设函数()f x 的零点为1x ,函数()422x g x x =+-的零点为2x ,若1214x x ->,则()f x 可以是 （ ）A ．()122f x x =-B ．()214f x x x =-+- C．()110xf x =-D ．()()ln 82f x x =-19．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点,)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,则 （ ）A ．0)(,0)(21<<x f x fB ．0)(,0)(21>>x f x fC ．0)(,0)(21<>x f x fD ．0)(,0)(21><x f x f 20．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-,当11x -≤＜ 时,3()f x x =,若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则a 取值范围是（ ）A ．10,5,5+∞ （]（）B ．10,[5,5+∞ （））C ．11,]5,775（（）D ．11,[5,775（））21．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知()f x 是定义在R 上的奇函数,满足33()()22f x f x -+=+,当3(0,)2x ∈时, 2()ln(1)f x x x =-+,则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．922．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知函数x x f x 21log 2)(-=,且实数a >b >c >0满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ,若实数0x 是函数y =)(x f 的一个零点,那么下列不等式中不可．．能．成立的是 （ ）A ．a x <0B ．a x >0C ．b x <0 D ．c x <0二、填空题 23．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.24．（2011年高考（山东理））已知函数()log a f x x x b =+-(0a >,且1a ≠).当234a b <<<<时,函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+,*n N ∈,则n =_________.25．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）给定方程:1()sin 102x x +-=,下列命题中:①该方程没有小于0的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;④若0x 是该方程的实数解,则0x >–1.则正确命题是___________.26．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数2221()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ， 的图象和函数()()ln 1g x x =-的图象的交点个数是 ____________.27．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）若函数()33f x x x a =-+有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是__________.28．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）()()()()()()()121116()|21|,(),,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x -=-=== ．则函数()4y f x =的零点个数为______________.29．（2009高考(山东理)）若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 30．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.31．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）若函数()(01)xf x a x a a a =--≠ 且有两个零点,则实数a 的取值范围是________.山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6：方程的解与函数的零点及二分法参考答案一、选择题1. 【答案】B43()()0f x x ax x x a =-=-=,解得0x =或x =即函数的零点有两个,要使零点都在区间[0,5]上,则有05<≤,解得0125a <≤.由()()h x g x =得31x a x-=,即41x ax -=有正整数解.设4()m x x ax =-,当1x =时,(1)11m a =-=,解得0a =,不成立.当2x =时,4(2)221621m a a =-=-=,解得151252a =<成立.当3x =时,4(3)338131m a a =-=-=,解得2551254a =<成立.当5x =时,4(5)5562551m a a =-=-=,解得6241255a =<成立.当6x =时,4(6)66129661m a a =-=-=,解得12951256a =>,不成立.所以满足条件的实数a 的取值为2,3,4,5,共有4个.选B.2. D 【解析】111()10(1)=0()10333e f e f f e e =->>=+>，，,根据根的存在定理可知,选D.3. C 【解析】做出函数)(x f 的图象如图,,由图象可知当直线为1+=x y 时,直线与函数)(x f 只要一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线1+=x y 向下平移,此时直线恒和函数)(x f 有两个交点,所以1<a ,选C.4. 【答案】 C 由()()=0g x f x m =-得()f x m =,作出函数()y f x =的图象,,当0x >时,2211()()024f x x x x =-=--≥,所以要使函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则104m <<,即1(,0)4-,选C.5. 【答案】D【解析】由)1()1(+=-x f x f ,知)()2(x f x f =+,周期为2,又函数为偶函数,所以)1()1()1(x f x f x f -=+=-,函数关于1=x 对称,在同一坐标内做出函数x y x f y )101(),(==的图象,由图象知在]4,0[内交点个数为个.选D.6. C7. B 【解析】由()(1)ln 0f x x x =+=得1ln 1x x =+,做出函数1ln ,1y x y x ==+的图象,如图由图象中可知交点个数为1个,即函数的零点个数为1个,选B.8. 【答案】B 因为1(2)lg 202f =-<,1(3)lg 303f =->, 所以函数的零点在区间(2,3)上,选B. 9. 【答案】B【解析】因为(1.5)0,(1.25)0f f ><,所以根据根的存在定理可知方程的根落在区间(1.25,1.5)上,所以选B. 10. B 11. C12. C 【解析】由3()320f x x x =-+=得3(22)0x x x ---=,即2(1)(2)0x x -+=,解得1x =或2x =-,选C. 13. B 14. C15. 【答案】A当01x ≤<时,()0f x ≤.当1x ≥时,函数()1|3|f x x =--,关于3x =对称,当1x ≤-时,函数关于3x =-对称,由()()0F x f x a =-=,得(),y f x y a ==.所以函数()()F x f x a =-有5个零点.当10x -≤<,时,01x <-≤,所以122()log (1)log (1)f x x x -=-+=--,即2()log (1)f x x =-,10x -≤<.由2()log (1)f x x a =-=,解得12a x =-,因为函数()f x 为奇函数,所以函数()()F x f x a =-(0<a <1)的所有零点之和为12a x =-,选A. 16. 【答案】D【解析】由()0y f x k =+=,得()f x k =-,所以0k ≤.做出函数()y f x =的图象如图,要使函数()y f x k =+有三个零点,则由2k -≥,即2k ≤-,选D. 17. A18. C 【解析】113()2220422g =+-=-<,1()212102g =+-=>,则11()()024g g ⋅<,所以 21142x <<.若为 A.()122f x x =-,则()122f x x =-的零点为114x =,所以211044x <-<,所以121||4x x -<,不满足题意.如为 B.()214f x x x =-+-的零点为112x =,211024x <-<,所以121||4x x -<,不满足题意.若为 C.()110x f x =-的零点为10x =,所以211042x <-<,所以满足121||4x x ->.若为D.()()ln 82f x x =-的零点为138x =,23133182884x -<-<-,即2131888x -<-<,所以121||8x x -<,不满足题意,所以选C.19. C 【解析】在同一坐标系下做出函数11()(),()2x f x f x x==-的图象由图象可知当0(,)x x ∈-∞时,11()2x x >-,0(,0)x x ∈时,11()2x x<-,所以当)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,有0)(,0)(21<>x f x f ,选C20. 【答案】A 由(1)()f x f x +=-得,(2)()f x f x +=,所以函数的周期是2. 由()()log =0a g x f x x =-.得()=log a f x x ,分别作出函数(),()=log a y f x y m x x ==的图象,因为(5)=log 5(5)a m m =-.所以若1a >,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m <.此时5a >.若01a <<,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m -≥-,此时105a <≤.所以a 取值范围是10,5,5+∞ （]（）,选A.21. D22. D二、填空题 23. 924.解析:根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=,(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=,而函数()f x 在(0,)+∞上连续,单调递增,故函数()f x 的零点在区间(2,3)内,故2n =.答案应填:2.25. ②③④【解析】由1()sin 102x x +-=得1sin 1()2x x =-,令()f x =sin x ,()g x =11()2x-,在同一坐标系中画出两函数的图像如右,由图像知:①错,③、④对,而由于()g x =11()2x-递增,小于1,且以直线1=y 为渐近线,()f x =sin x 在-1到1之间振荡,故在区间(0,+∞)上,两者图像有无穷多个交点,所以②对,故选填②③④.26. 2 【解析】画出图象知交点个数为2.27. (2,2)- 【解析】函数的导数为()22'333(1)f x x x =-=-,所以1x =和1x =-是函数的两个极值,由题意知,极大值为(1)2f a -=+,极小值为(1)2f a =-+,所以要使函数()f x 有三个不同的零点,则有20a +>且20a -+<,解得22a -<<,即实数a 的取值范围是(2,2)-. 28. 【答案】8由43()(())0f x f f x ==,即32()10f x -=,解得31()2f x =.又3221()(())2()12f x f f x f x ==-=,解得23()4f x =或21()4f x =.当23()4f x =时,2113()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得17()8f x =或11()8f x =,当21()4f x =时,2111()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得15()8f x =或13()8f x =,由17()()218f x f x x ==-=,所以1511616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以1151616x =或.由15()()218f x f x x ==-=,所以1331616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以1151616x =或.所以共有8个零点.29. 【解析】: 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点,就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)xy a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a 答案: 1>a30. 【答案】5 由22()3()10y f x f x =-+=解得()1f x =或1()2f x =.若()1f x =,当0x >时,由lg 1x =,得lg 1x =±,解得10x =或110x =.当0x ≤时,由21x =得0x =.若1()2f x =,当0x >时,由1lg 2x =,得1lg 2x =±,解得x =或x =.当0x ≤时,由122x=得1x =-,此时无解.综上共有5个零点.31. {|1}a a。
2014年山东高考理科数学试题及详细解析
2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编：椭圆
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编：椭圆一、选择题错误！未指定书签。
．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若椭圆1C :1212212=+b y a x (011>>b a )和椭圆2C :1222222=+b y a x (022>>b a )的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论:① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点; ②1122a b a b >; ③ 22212221b b a a -=-; ④1212a a b b -<-. 其中,所有正确结论的序号是 （ ） A ．①③ B①③④ C ．①②④ D ．②③④ 【答案】B错误！未指定书签。
．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（,若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠,则该椭圆的离心率的取值范围为 （ ） A ．(0,）12-B ．(122，) C ．(0,22) D ．(12-,1) 【答案】D 【解析】根据正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠,所以由1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠可得21a cPF PF =,即12PF c e PF a==,所以12PF e PF =,又12222(1)2PF PF e PF PF PF e a +=+=+=,即221a PF e =+,因为2a c PF a c -<<+,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以21a a c a c e -<<++,即2111c c a e a-<<++,所以2111e e e -<<++,即2(1)(1)22(1)e e e -+<⎧⎨<+⎩,所以2121e e⎧-<⎪<+,解得11e <<,即1,1),选 D ．二、填空题错误！未指定书签。
2014年山东卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1.已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i −与2bi +互为共轭复数，则2()a bi +=( ) A.54i − B.54i + C.34i − D.34i + 2.设集合{||1|2}A x x =−<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则AB =( )A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4) 3.函数()f x =( )A.1(0,)2B.(2,)+∞C.1(0,)(2,)2+∞ D.1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题:“已知,a b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程20x ax b ++=没有实根 B.方程20x ax b ++=至多有一个实根 C.方程20x ax b ++=至多有两个实根 D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是( ) A.221111x y >++ B.22ln(1)ln(1)x y +>+ C.sin sin x y > D.33x y > 6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B. C.2 D.47.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A.6B.8C.12D.188.已知函数()|2|1f x x =−+,()g x kx =,若()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,)+∞9.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y −−≤⎧⎨−−≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时，22a b +的最小值为( )D.210.已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b−=，1C 与2C的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为( )A.0x =0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±=二、填空题11.执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ； 12.在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 ；13.三棱锥P ABC −中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE −的体积为1V ，P ABC −的体积为2V ，则12VV = ；14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ；15.已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称，若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 ；三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π−. （Ⅰ）求,m n 的值； （Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.17.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a −+=−，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）设函数22()(ln )x e f x k x x x=−+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学(参考答案)1．D 【解析】由已知得，2,1a b ==，即2a bi i +=+，所以22()(2)34,a bi i i +=+=+选D. 2．C 【解析】由已知{|13},{|14},A x x B y y =−<<=≤≤所以，[1,3),A B ⋂=选C.3．C 【解析】由已知得22(log )10,x −>即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C. 4．A 【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程20x ax b ++=至少有一实根”的反面是“方程20x ax b ++=没有实根”，故选A. 5．D 【解析】由(01)xy a a a <<<及指数函数的性质得， ,x y >所以， 33x y >，选D. 6．D【解析】由已知得，23242001(4)(2)|44S x x dx x x =−=−=⎰，故选D. 7．C【解析】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0．24，0．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人． 8．B【解析】由已知，函数f(x)=|x −2|+1,g(x)=kx 的图象有两个公共点，画图可知当直线介于l 1:y =12x,l 2:y =x 之间时，符合题意，故选B.9．B 【详解】由()0 0z ax by a b =+>>，得a zy x b b =−+，∵0,0a b >>，∴直线的斜率0a b−<，作出不等式对应的平面区域如图，由图可知当直线a z y x b b =−+经过点A 时，直线a zy x b b=−+的截距最小，此时z 最小．由10{230x y x y −−=−−=，解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)A ，此时目标函数()0 0z ax by a b =+>>，的最小值为2a b +=，所以点(,)P a b在直线2x y +=2d ==，即22a b +的最小值24d =.故选B ．10．A 【解析】2=，所以，b a，双曲线的渐近线方程为y x =，即0x =，选A. 11．3【详解】框图中的条件即13x ≤≤. 运行程序：1,0,x n ==符合条件13x ≤≤，2,1x n ==； 符合条件13x ≤≤，3,2x n ==； 符合条件13x ≤≤，4,3x n ==；不符合条件13x ≤≤，输出3n =.答案为3. 12．16【详解】由tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r 得，tantan 26cos tan ,cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===， 所以，1121sin sin 22366ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯=. 13．14【详解】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==14．2 【解析】26()b ax x+展开式的通项为266123166()()r r r r r r r r bT C ax a b C x x −−−+==，令1233,r −=得3r =，所以，由6333620a b C −=得1ab =，从而2222a b ab +≥=，当且仅当a b =时，22a b +的最小值为2.15．).+∞ 【解析】由“对称函数”的定义及中点坐标公式得()3,2h x x b =+所以，()62h x x b =+，()()h x g x >恒成立即恒成立，亦即直线3y x b =+位于半圆y =的上方.在同一坐标系内，画出直线3y x b =+及半圆y =（如图所示）2,=解得b =).+∞16．（I）1m n ==.（II ）函数()y g x =的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ−∈.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点(12π和点2(,2)3π−代入就可得到关于,m n 的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到()y g x =的解析式，利用最高点到点(0,3)的距离的最小值为1求得ϕ角，得()2cos 2g x x =，求减区间需令[]22,2x k k πππ∈+解x 的范围试题解析：（1）由题意知．()y f x =的过图象过点(12π和2(,2)3π−，所以sincos,66{442sin cos ,33m n m n ππππ=+−=+即1,22{12,22m n m n =+−=−−解得{ 1.m n == （2）由（1）知．由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++．设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，1=，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．将其代入()y g x =得sin(2)16πϕ+=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=．由222,k x k k πππ−+≤≤∈Z 得,2k x k k πππ−+≤≤∈Z ，所以函数()y f x =的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ−+∈17．（I ）证明：见解析；（II ）平面11C D M 和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为5. 【解析】 试题解析：（I ）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且2AB CD =，所以//AB CD ，又由M 是AB 的中点， 因此//CD MA 且CD MA =. 连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D −中， 因为1111//,CD C D CD C D =， 可得1111//,C D MA C D MA =， 所以，四边形11AMC D 为平行四边形， 因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ， 1D A ⊂平面11A ADD ， 所以1//C M 平面11A ADD .（II ）解法一： 连接AC ，MC ，由（I ）知CD//AM 且CD=AM ， 所以四边形AMCD 为平行四边形， 可得BC AD MC ==， 由题意060ABC DAB ∠=∠=， 所以MBC ∆为正三角形，因此22,AB BC CA ===因此CA CB ⊥.以C 为坐标原点，建立直角坐标系C xyz −.所以)()(1,0,1,0,AB D .因此1,,022M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以112MD ⎛=−⎝，111,02D C MB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11C D M 的一个法向量(),,n x y z =， 由111•0{•0n D C n MD ==，得0 0y y −=+−=，可得平面11C D M 的一个法向量()1,3,1n =.又(1CD =为平面ABCD 的一个法向量，因此111•5cos ,5CD n CD n CD n==. 所以平面11C D M 和平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为5. 18．（I ）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.（II ）机变量ξ的分布列为：z数学期望9130E ξ=【解析】试题解析：（I ）记1A 为事件“小明对落点在A 上的来球的得分为i 分”（ 0,1,3i =） 则31011111(),(),()123236P A P A P A ===−−=， 记i B 为事件“小明对落点在B 上的来球的得分为i 分” （ 0,1,3i =） 则31013131(),(),()155555P B P B P B ===−−=， 记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”， 由题意，30100103D A B A B A B A B =+++，由事件的独立性和互斥性，30100103()()P D P A B A B A B A B =+++30100103()()()()P A B P A B P A B P A B =+++30100103()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B =+++1111131132535656510=⨯+⨯+⨯+⨯=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.（II ）由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得00111(0)()6530P P A B ξ===⨯=, 1001100111131(1)()()()35656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,11131(2)()355P P A B ξ===⨯=,3003300311112(3)()()()255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,31133113131111(4)()()()253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,33111(6)()2510P P A B ξ===⨯=,ξ所以数学期望111211191012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19．（1）a n =2n −1；（2）T n ={2n2n+1,n 为偶数2n+22n+1,n 为奇数【详解】（1）∵等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1、S 2、S 4成等比数列．∴S n ＝na 1+n （n ﹣1） （2a 1+2）2＝a 1（4a 1+12），a 1＝1，∴a n ＝2n ﹣1； （2）∵由（1）可得b n =(−1)n−14nan a n+1=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，T n ＝(1+13)−(13+15)+(15+17)−⋯⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1) =1−12n+1=2n2n+1．当n 为奇数时，T n =(1+13)−(13+15)+(15+17)−⋯⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1) =1+12n+1=2n+22n+1 ． ∴T n ={2n 2n+1,n 为偶数2n+22n+1,n 为奇数 ． 20．（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞；（2）2(,)2e e ． 【详解】试题解析：（I ）函数()yf x =的定义域为(0,)+∞，242221()()x x x e xe f x k x x x −=−−+'322(2)x x xe e k x x x −−=−3(2)()x x e kx x−−= 由0k ≤可得0x e kx −>，所以当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减， 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增.所以()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞.（II ）由（I ）知，0k ≤时，函数()f x 在(0,2)内单调递减，故()f x 在(0,2)内不存在极值点；当0k >时，设函数(),[0,)x g x e kx x =−∈+∞，因为ln ()x x k g x e k e e '=−=−，当01k <≤时，当(0,2)x ∈时，()0x g x e k '=−>，()y g x =单调递增，故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点； 当1k >时，得(0,ln )x k ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减，(ln ,)x k ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增，所以函数()y g x =的最小值为(ln )(1ln )g k k k =−，函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点；当且仅当(0)0(1)0(2)00ln 2g g nk g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，解得22e e k <<， 综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2(,)2e e . 21．（I ）24y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16.【解析】试题解析：（I ）由题意知(,0)2P F 设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t +， 因为FA FD =，由抛物线的定义知：322p p t +=−， 解得3t p =+或3t =−（舍去）.由234p t +=，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，因为FA FD =，则011D x x −=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +，故直线AB 的斜率为02AB y k =−， 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =−+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +−=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =−. 设(,)E E E x y ，则04E y y =−，204E x y =.当204y ≠时，0000220002044444E AB E y y y y y k y x x y y +−==−=−−−， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y −=−−，由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =−−， 直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ，所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为+1x my =，因为点00(,)A x y 在直线AE 上，故001x m y −=， 设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x −=−−，由于00y ≠，可得0022x y x y =−++， 代入抛物线方程得2008840y y x y +−−=，所以0108y y y +=−， 可求得1008y y y =−−，10044x x x =++，所以点B 到直线AE的距离为d ===.则ABE ∆的面积00112)162S x x =⨯++≥， 当且仅当001x x =即01x =时等号成立.所以ABE ∆的面积的最小值为16.。
山东省2019届理科数学一轮复习试题选编(6)：方程的解与函数的零点
山东省2019届理科数学一轮复习试题选编6：方程的解与函数的零点及二分法一、选择题 1 ．（山东省枣庄市2019届高三3月模拟考试数学（理）试题）设函数4()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[0,5]上,则函数1()g x x=与函数3()h x x a =- 的图象的交点的横坐标为正整数时实数a 的取值个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．无穷个【答案】B43()()0f x x ax x x a =-=-=,解得0x =或x =即函数的零点有两个,要使零点都在区间[0,5]上,则有05<≤,解得0125a <≤.由()()h x g x =得31x a x-=,即41x ax -=有正整数解.设4()m x x ax =-,当1x =时,(1)11m a =-=,解得0a =,不成立.当2x =时,4(2)221621m a a =-=-=,解得151252a =<成立.当3x =时,4(3)338131m a a =-=-=,解得2551254a =<成立.当5x =时,4(5)5562551m a a =-=-=,解得6241255a =<成立.当6x =时,4(6)66129661m a a =-=-=,解得12951256a =>,不成立.所以满足条件的实数a 的取值为2,3,4,5,共有4个.选B ．2 ．（山东省德州市乐陵一中2019届高三十月月考数学(理)试题）设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ,则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点,在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点,在区间),1(e 内有零点【答案】D 【解析】111()10(1)=0()10333e f e f f e e =->>=+>，，,根据根的存在定理可知,选D ．3 ．（山东省莱芜市第一中学2019届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[0,1)C ．(,1)-∞D ．[0,)+∞【答案】C 【解析】做出函数)(x f 的图象如图,,由图象可知当直线为1+=x y 时,直线与函数)(x f 只要一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线1+=x y 向下平移,此时直线恒和函数)(x f 有两个交点,所以1<a ,选C ．4 ．（山东省青岛市2019届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数2, 0(), 0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩,若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为（ ）A ．1[,1]2-B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4- 【答案】 C 由()()=0g x f x m =-得()f x m =,作出函数()y f x =的图象,,当0x >时,2211()()024f x x x x =-=--≥,所以要使函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则104m <<,即1(,0)4-,选 C ．5 ．（山东省济南市2019届高三3月高考模拟题理科数学（2018济南二模））偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于x 的方程f(x)= 110x⎛⎫⎪⎝⎭,在x∈[0,4]上解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】由)1()1(+=-x f x f ,知)()2(x f x f =+,周期为2,又函数为偶函数,所以)1()1()1(x f x f x f -=+=-,函数关于1=x 对称,在同一坐标内做出函数xy x f y )101(),(==的图象,由图象知在]4,0[内交点个数为个.选 D ． 6 ．（山东省曲阜市2019届高三11月月考数学（理）试题）如果若干个函数图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同族函数”.给出下列函数:①()sin cos f x x x =; ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;③()sin f x x x =; ④()21f x x +其中“同族函数”的是 （ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 【答案】C 7 ．（山东省实验中学2019届高三第三次诊断性测试理科数学）函数x x x f ln )1()(+=的零点有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】B 【解析】由()(1)ln 0f x x x =+=得1ln 1x x =+,做出函数1ln ,1y x y x ==+的图象,如图由图象中可知交点个数为1个,即函数的零点个数为1个,选 B ．8 ．（2019年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）函数1f (x )lg x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)【答案】B 因为1(2)lg 202f =-<,1(3)lg 303f =->, 所以函数的零点在区间(2,3)上,选 B ． 9 ．（山东省烟台市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）设()338x f x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间 （ ） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定 【答案】B【解析】因为(1.5)0,(1.25)0f f ><,所以根据根的存在定理可知方程的根落在区间(1.25,1.5)上,所以选 B ．10．（山东省寿光市2019届高三10月阶段性检测数学（理）试题）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+⎩的零点个数为 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 11．（山东省凤城高中2019届高三4月模拟检测数学理试题 ）若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时,()f x x =,则方程3()log ||f x x =的解个数是 （ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个 【答案】C 12．（山东济南外国语学校2018-2019学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））函数23)(3+-=x x x f 的零点为（ ） A ．1,2 B ．±1,-2 C ．1,-2 D ．±1, 2 【答案】C 【解析】由3()320f x x x =-+=得3(22)0x x x ---=,即2(1)(2)0x x -+=,解得1x =或2x =-,选 C ． 13．（山东省青岛市2019届高三上学期期中考试数学（理）试题）若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则a 的取值范围是 （ ）A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1a <-【答案】B14．（山东省曲阜市2019届高三11月月考数学（理）试题）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 15．（山东省滨州市2019届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）定义在R 上的奇函数()f x ,当x ≥0时, ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩则关于x 的函数()()F x f x a =-(0<a <1)的所有零点之和为（ ）A ．1-2aB ．21a-C ．12a--D ．21a--【答案】A当01x ≤<时,()0f x ≤.当1x ≥时,函数()1|3|f x x =--,关于3x =对称,当1x ≤-时,函数关于3x =-对称,由()()0F x f x a =-=,得(),y f x y a ==.所以函数()()F x f x a =-有5个零点.当10x -≤<,时,01x <-≤,所以122()log (1)log (1)f x x x -=-+=--,即2()log (1)f x x =-,10x -≤<.由2()log (1)f x x a =-=,解得12a x =-,因为函数()f x 为奇函数,所以函数()()F x f x a =-(0<a <1)的所有零点之和为12a x =-,选 （ ） A ． 16．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈,若函数()y f x k =+有三个零点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．2k ≤B ．10k -<<C ．21k -≤<-D ．2k ≤-【答案】D【解析】由()0y f x k =+=,得()f x k =-,所以0k ≤.做出函数()y f x =的图象如图,要使函数()y f x k =+有三个零点,则由2k -≥,即2k ≤-,选 D ．17．（山东省菏泽市2019届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,且当3x ≥-时,()23x f x =-,若函数()f x 在区间(1,)()k k k Z -∈上有零点,则K 的值为（ ）A ．2或-7B ．2或-8C ．1或-7D ．1或-8【答案】A18．（山东省日照市2019届高三12月份阶段训练数学(理)试题）设函数()f x 的零点为1x ,函数()422x g x x =+-的零点为2x ,若1214x x ->,则()f x 可以是 （ ）A ．()122f x x =-B ．()214f x x x =-+- C．()110xf x =-D ．()()ln 82f x x =-【答案】C 【解析】113()20422g =+-=<,1()212102g =+-=>,则11()()024g g ⋅<,所以21142x <<.若为（ ） A ．()122f x x =-,则()122f x x =-的零点为114x =,所以211044x <-<,所以121||4x x -<,不满足题意.如为 B ．()214f x x x =-+-的零点为112x =,211024x <-<,所以121||4x x -<,不满足题意.若为 C ．()110xf x =-的零点为10x =,所以211042x <-<,所以满足121||4x x ->.若为 D ．()()ln 82f x x =-的零点为138x =,23133182884x -<-<-,即2131888x -<-<,所以121||8x x -<,不满足题意,所以选C ． 19．（山东省潍坊市四县一校2019届高三11月期中联考(数学理)）已知0x 是xx f x 1)21()(+=的一个零点,)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,则 （ ）A ．0)(,0)(21<<x f x fB ．0)(,0)(21>>x f x fC ．0)(,0)(21<>x f x fD ．0)(,0)(21><x f x f【答案】C 【解析】在同一坐标系下做出函数11()(),()2x f x f x x==-的图象由图象可知当0(,)x x ∈-∞时,11()2xx >-,0(,0)x x ∈时,11()2x x<-,所以当)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,有0)(,0)(21<>x f x f ,选C20．（山东省临沂市2019届高三5月高考模拟理科数学）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-,当11x -≤＜ 时,3()f x x =,若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则a 取值范围是（ ）A ．10,5,5+∞（]（） B ．10,[5,5+∞（）） C ．11,]5,775（（） D ．11,[5,775（））【答案】 A 由(1)()f x f x +=-得,(2)()f x f x +=,所以函数的周期是 2. 由()()log =0a g x f x x =-.得()=log a f x x ,分别作出函数(),()=log a y f x y m x x ==的图象,因为(5)=log 5(5)a m m =-.所以若1a >,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m <.此时5a >.若01a <<,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m -≥-,此时105a <≤.所以a 取值范围是10,5,5+∞（]（）,选 （ ）A ．21．（山东省莱芜市莱芜十七中2019届高三4月模拟数学（理）试题）已知()f x 是定义在R 上的奇函数,满足33()()22f x f x -+=+,当3(0,)2x ∈时, 2()ln(1)f x x x =-+,则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D22．（山东省莱芜市莱芜十七中2019届高三4月模拟数学（理）试题）已知函数x x f x21log 2)(-=,且实数a >b >c >0满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ,若实数0x 是函数y =)(x f 的一个零点,那么下列不等式中不可能．．．成立的是 （ ）A ．a x <0B ．a x >0C ．b x <0 D ．c x <0【答案】D 二、填空题 23．（山东省文登市2019届高三3月二轮模拟考试数学（理））函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.【答案】 9 24．（2019年高考（山东理））已知函数()log a f x x x b =+-(0a >,且1a ≠).当234a b <<<<时,函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+,*n N ∈,则n =_________.【答案】解析:根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=,(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=,而函数()f x 在(0,)+∞上连续,单调递增,故函数()f x 的零点在区间(2,3)内,故2n =.答案应填:2.25．（2019届山东省高考压轴卷理科数学）给定方程:1()sin 102x x +-=,下列【答案】②③④【解析】由1()sin 102x x +-=得1sin 1()2x x =-,令()f x =sin x ,()g x =11()2x-,在同一坐标系中画出两函数的图像如右,由图像知:①错,③、④对,而由于()g x =11()2x-递增,小于1,且以直线1=y 为渐近线,()f x =sin x 在-1到1之间振荡,故在区间(0,+∞)上,两者图像有无穷多个交点,所以②对,故选填②③④.26．（山东省烟台市2019届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数2221()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ， 的图象和函数()()ln 1g x x =-的图象的交点个数是 ____________. 【答案】2 【解析】画出图象知交点个数为2.27．（山东省烟台市莱州一中2019届高三第二次质量检测数学(理)试题）若函数()33f x x x a =-+有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是__________.【答案】(2,2)- 【解析】函数的导数为()22'333(1)f x x x =-=-,所以1x =和1x =-是函数的两个极值,由题意知,极大值为(1)2f a -=+,极小值为(1)2f a =-+,所以要使函数()f x 有三个不同的零点,则有20a +>且20a -+<,解得22a -<<,即实数a 的取值范围是(2,2)-. 28．（山东省济南市2019届高三3月高考模拟理科数学）()()()()()()()121116()|21|,(),,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x -=-===．则函数()4y f x =的零点个数为______________.【答案】8由43()(())0f x f f x ==,即32()10f x -=,解得31()2f x =.又3221()(())2()12f x f f x f x ==-=,解得23()4f x =或21()4f x =.当23()4f x =时,2113()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得17()8f x =或11()8f x =,当21()4f x =时,2111()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得15()8f x =或13()8f x =,由17()()218f x f x x ==-=,所以1511616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以1151616x =或.由15()()218f x f x x ==-=,所以1331616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以1151616x =或.所以共有8个零点.29．（2009高考(山东理)）若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】【解析】: 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是函数(0,x y a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)xy a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a=+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a 答案: 1>a30．（山东省威海市2019届高三上学期期末考试理科数学）已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.【答案】5 由22()3()10y f x f x =-+=解得()1f x =或1()2f x =.若()1f x =,当0x >时,由lg 1x =,得lg 1x =±,解得10x =或110x =.当0x ≤时,由21x =得0x =.若1()2f x =,当0x >时,由1lg 2x =,得1lg 2x =±,解得x =或x =.当0x ≤时,由122x=得1x =-,此时无解.综上共有5个零点.31．（山东省寿光市2019届高三10月阶段性检测数学（理）试题）若函数()(01)xf x a x a aa =--≠且有两个零点,则实数a 的取值范围是________. 【答案】{|1}a a。
山东省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10 方程的解与函数的零点
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编10：方程的解与函数的零点一、选择题 1 ．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）已知函数f(x)是R 上的偶函数,且f(1-x)=f(1+x),当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,则函数 y=f(x)-log 5x 的零点个数是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B2 ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数⎩⎨⎧>-≤-=0,120,2)(x x x a x f x (R a ∈),若函数)(x f 在R 上有两个零点,则a 的取值范围是 （ ）A ．)1,(--∞B ．]1,(-∞C ．)0,1[-D ．]1,0(【答案】D3 ．（山东省滨州市北镇中学2014届高三10月阶段性检测数学（理）试题）设函数f (x )=x |x |+bx +c ,给出下列四个命题:①c =0时,f (x )是奇函数 ②b =0,c >0时,方程f (x )=0只有一个实根 ③f (x )的图象关于(0,c )对称 ④方程f (x )=0至多两个实根其中正确的命题是 （ ）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．①②④ 【答案】C4 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()ln 38f x x x =+-的零点0[,]x a b ∈,且1(,)b a a b N +-=∈,则a b +=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A5 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）函数21f ()log 22x x x =-+的零点个数为( )（ ）A ．0B ．1C ．3D ．2【答案】D6 ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数()22xf x x =-零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C7 ．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）函数12ln )(-+=x x x f 的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B8 ．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）奇函数()f x ,偶函数()g x 的图像分别如图1、2所示,方程(())0,(())0f g x g f x ==的实根个数分别为,a b ,则a b +=（ ）A ．14B ．10C ．7D ．3【答案】B 9 ．（山东省枣庄市滕州一中2014届高三10月第一次单元测试数学（理）试题）实系数一元二次方程01)1(2=+++++b a x a x 的两个实根为21,x x ,若有2110x x <<<,则ab的取值范围是 （ ） A ．)21,1(- B ．)21,2(-C ．)21,1(--D ．)21,2(--【答案】D10．（山东省聊城市东阿一中2014届高三10月模块测试数学（理）试题）已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5log 1x -,则函数()y g x =的所有零点之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C11．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点,)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,则 （ ）A ．0)(,0)(21<<x f x fB ．0)(,0)(21>>x f x fC ．0)(,0)(21<>x f x fD ．0)(,0)(21><x f x f【答案】C12．（山东省枣庄三中2014届高三10月学情调查数学（理）试题）已知函数()()21,2,03,2,1x x f x f x a x x ⎧-⎪=-=⎨≥⎪-⎩＜若方程有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围 （ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．()0,3D ．()1,3【答案】A13．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）若关于x 的方程24||5x x m -+=有四个不同的实数解,则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(1,5)D ．[1,5]【答案】C 14．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有 （ ） A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 【答案】.A 画出两个函数图象可看出交点有10个. 15．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数()()f x x ∈R 是偶函数,且()(4)f x f x =-+,当x ∈[0,2]时,()1f x x =-,则方程1()1||f x x =-在区间[-8,8]上的解的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B16．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C17．（山东省枣庄三中2014届高三10月学情调查数学（理）试题）如右上图:二次函数abx x x f +-=2)(的部分图象,则函数)()(x f e x g x'+=的零点所在的区间是（ ）A ．)0,1(-B ．()1,2C ．)1,0(D ．)3,2(【答案】C18．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）设函数2()2,()ln 3x f x e x g x x x =+-=+-,若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==,则（ ）A ．0()()g a f b <<B ．()()0f b g a <<C ．()0()f b g a <<D ．()0()g a f b <<【答案】D19．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）函数()ln xf x x e =+的零点所在的区间是（ ）A ．(10,e) B ．(1,1e)C ．(1,e )D ．(,e ∞)【答案】A20．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数||()e ||x f x x =+.若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 （ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(1,0)-D ．(,1)-∞-【答案】B 由()f x k =得||()e ||x f x x k =+=,即||e ||x k x =-.令||e ,||x y y k x ==-,分别作出函数||e ,||x y y k x ==-的图象,如图,由图象可知要使两个函数的交点有2个,则有1k >,即实数k 的取值范围是(1,)+∞,选B ．21．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,且(0,),[()ln ]1x f f x x ∀∈+∞-=,则方程2()2()7f x x f x '+=的解所在的区间为 （ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C 22．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）函数f(x)对任意x ∈R,满足f(x)=f(4-x).如果方程f(x)=0恰有2011个实根,则所有这些实根之和为 （ ） A ．0 B ．2011 C ．4022 D ．8044 【答案】C 23．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）已知关于x 的方程26(0)x x a a -=>的解集为P ,则P 中所有元素的和可能是（ ）A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15【答案】B24．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）函数0.5() 2 |log |1x f x x =⋅-的零点个数为A . 1B . 2C . 3D .4 【答案】B25．（山东省聊城市东阿一中2014届高三10月模块测试数学（理）试题）函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）A ．(3,4) B(1, 2) C ．(2,e )D ．(0,1)【答案】B26．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）下列区间中,函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为 （ ）A ．(1-4,0) B ．(0,14) C ．(14,12) D ．(12,34) 【答案】C 二、填空题 27．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）已知关于x 的方程220x x m -+=(0m ≤)的解集为M ,则集合M 中所有的元素的和的最大值为____________.【答案】4。
山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编42 函数的最值与导数 理 新人教A版.pdf
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编42：函数的最值与导数 一、填空题 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数,给出如下四个命题: ①f(x)在[)上是减函数; ②f(x)的最大值是2; ③函数y=f(x)有两个零点; ④f(x)≤在R上恒成立; 其中正确的命题有___________(把正确的命题序号都填上). 【答案】①③④ ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知若使得成立,则实数a的取值范围是. 【答案】【解析】,当时,函数递增;当时,函数递减,所以当时取得极小值即最小值.函数的最大值为,若使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即. 二、解答题 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知函数,的图象过点,且在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值; (2)求在为自然对数的底数)上的最大值; (3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上 【答案】【解析】(1)当时,, 由题意,得即解得. (2)由(1),知 ①当时,,由,得;由,得或.所以在和上单调递减,在上单调递增. 因为,,,所以在上的最大值为2. ②当时,,当时,;当时,在上单调递增. 所以在上的最大值为. 所以当时,在上的最大值为; 当时,在上的最大值为2. (3)假设曲线上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在轴两侧, 因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,所以, 不妨设,则由△POQ斜边的中点在轴上知,且 .所以.(*) 是否存在两点P,Q满足题意等价于方程(*)是否有解. 若,则,代入方程(*),得, 即,而此方程无实数解; 当时,则,代入方程(*),得,即, 设,则在上恒成立, 所以在上单调递增,从而,即的值域为. 因为,所以的值域为, 所以当时,方程有解,即方程(*)有解. 所以对任意给定的正实数,曲线上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上. ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.(1) 当a=-1时,求f(x)的最大值;(2) 若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值;(3) 当a=-1时,试推断方程=是否有实数解.【答案】解:(1) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+ 当0<x0;当x>1时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数=f(1)=-1 (2) ∵f′(x)=a+,x∈(0,e],∈ ① 若a≥,则f′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上增函数 ∴=f(e)=ae+1≥0.不合题意 ② 若a0>0,即0<x< 由f(x)<0<0,即<x≤e. 从而f(x)在上增函数,在为减函数 令-1+ln=-3,则ln=-2 ∴=,即a=. ∵<,∴a=为所求 (3) 由(Ⅰ)知当a=-1时=f(1)=-1, ∴|f(x)|≥1 又令g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,得x=e, 当0<x0,g(x) 在(0,e)单调递增; 当x>e时,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)单调递减 ∴=g(e)=<1, ∴g(x)g(x),即|f(x)|> ∴方程|f(x)|=没有实数解 ．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数 (1)当时,求函数的单调区间; (2)已知对定义域内的任意恒成立,求实数的范围. 【答案】【解析】: (Ⅰ)当时,的变化情况如下表: 1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是 (Ⅱ)由于,显然时,,此时对定义域内的任意不是恒成立的, 当时,易得函数在区间的极小值、也是最小值即是,此时只要即可,解得,实数的取值范围是 ．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知函数 (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围; (Ⅲ)若对任意,且恒成立,求的取值范围. 注:以下为附加题,附加题满分为5分,附加题得分计入总分,但附加题:23.已证:在中,分别是的对边. 求证:. 【答案】解:(Ⅰ)当时, 因为. 所以切线方程是 (Ⅱ)函数的定义域是 当时, 令,即, 所以或 当,即时,在[1,e]上单调递增, 所以在[1,e]上的最小值是; 当时,在[1,e]上的最小值是,不合题意; 当时,在(1,e)上单调递减, 所以在[1,e]上的最小值是,不合题意 (Ⅲ)设,则, 只要在上单调递增即可 而 当时,,此时在上单调递增; 当时,只需在上恒成立,因为,只要, 则需要, 对于函数,过定点(0,1),对称轴,只需, 即. 综上 【D】23．(本小题满分5分,但Ⅱ卷总分不超过90分) 证法一:如图,在中,过点B作,垂足为D , , 即, 同理可证, 如图,在中,过点B作,垂足为D , , 同理可证, ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A））函数.(I)若函数在处取得极值,求的值;(II)若函数的图象在直线图象的下方,求的取值范围;(III)求证:.【答案】 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设函数.(Ⅰ)当时,求的极值;(Ⅱ)当时,求的单调区间;(Ⅲ)当时,对任意的正整数,在区间上总有个数使得成立,试问:正整数是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由 【答案】解:(I)函数的定义域为 当时,,∴ 由得.,随变化如下表: 0极小值由上表可知,,没有极大值 (II)由题意,. 令得, 若,由得;由得 若,①当时,,或,;,. ②当时,.③当时,,或,;,.综上,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;当时,函数的单调递减区间为,,单调递增区间为;当时,函数的单调减区间是,当时,函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.(Ⅲ) 当时,,.∵,∴. ∴, 由题意,恒成立.令,且在上单调递增,,因此,而是正整数,故,所以,时,存在,时,对所有满足题意.∴ ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）(本小题满分l3分)已知函数. (I)若a=-1,求函数的单调区间; (Ⅱ)若函数的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o,对于任意的t [1,2],函数是的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围; (Ⅲ)求证: 【答案】解:(Ⅰ)当时, 解得;解得的单调增区间为,减区间为 (Ⅱ) ∵∴得, ,∴ ∵在区间上总不是单调函数,且∴ 由题意知:对于任意的,恒成立,所以,,∴. (Ⅲ)证明如下: 由(Ⅰ)可知当时,即, ∴对一切成立 ∵,则有,∴ ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）设函数.(1) 求的单调区间与极值; (2)是否存在实数,使得对任意的,当时恒有成立.若存在,求的范围,若不存在,请说明理由. 【答案】解: (1).令,得; 列表如下 -0+极小值的单调递减区间是,单调递增区间是 极小值=(2) 设,由题意,对任意的,当时恒有,即在上是单调增函数 , 令 若,当时,,为上的单调递增函数,,不等式成立 若,当时,,为上的单调递减函数,,,与,矛盾 所以,a的取值范围为 ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知函数> (I)求证 (II)若对任意的,总存在唯一的(e为自然对数的底数),使得,求实数a的取值范围. 【答案】 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数(I)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;(II)若对任意恒成立,求正整数的值.【答案】 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元.假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为y元.(1)试写出y关于x的函数关系式,并写出定义域;(2)当k=50米时,试确定座位的个数,使得总造价最低? 【答案】 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知函数,(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若恒成立,试确定实数的取值范围;(Ⅲ)证明:1). ．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知是指数函数,且过点,令. (I)求的单调区间; (II)记不等试的解集为P,若且,求实数的取值范围; (III)当时,设,问是否存在,使曲线在点处的切线斜率与在R上的最小值相等?若存在,求出符合条件的的个数;若不存在,请说明理由.2012年高三阶段训 【答案】解:由题意可设,又过点,∴,∴, ∴,. (Ⅰ), (1)时,所以的单调区间是; (2)时,令,得, 且当时,当时, 所以的单调减区间是,单调增区间是 (Ⅱ) 因为,所以. 从而不等式在上恒成立,即在上恒成立. 令,,则, 所以在上递增,在上递减. ,,且, 所以,所以 (Ⅲ), 所以. 由(I)知,当时,的最小值是. 假设存在,使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等,则为方程即的解. 令,, 由,知在上为减函数,在上为增函数, 所以,故方程在上有唯一解. 所以,符合条件的存在,且只有一个 ．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）已知函数(1)若曲线在点(1,)处的切线与直线垂直,求实数a的值; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)当时,记函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≥-e-4.【答案】 当时,函数在上单调递减,在上单调递减(3)由(2)当时,函数的最小值为 a负0正减函数极小值增函数又 所以当时, g(a)≥-e-4 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知函数,(其中). (1)求的单调区间; (2)若函数在区间上为增函数,求的取值范围; (3)设函数,当时,若存在,对任意的,总有成立,求实数的取值范围.【答案】解:(1),, ,故. 当时,;当时,. 的单调增区间为,单调减区间为 (2),则,由题意可知在上恒成立,即在上恒成立,因函数开口向上,且对称轴为,故在上单调递增,因此只需使,解得; 易知当时,且不恒为0. 故 (3)当时,,,故在上,即函数在上单调递增, 而“存在,对任意的,总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”. 而在上的最大值为中的最大者,记为. 所以有,, . 故实数的取值范围为 (Ⅰ)求的单调区间; (Ⅱ)如果当且时,恒成立,求实数的范围. 【答案】(1)定义域为 设 ① 当时,对称轴,,所以在上是增函数 ② 当时,,所以在上是增函数 ③ 当时,令得 令解得;令解得 所以的单调递增区间和;的单调递减区间 (2)可化为(※) 设,由(1)知: ① 当时,在上是增函数 若时,;所以 若时,.所以 所以,当时,※式成立 ② 当时,在是减函数,所以※式不成立 综上,实数的取值范围是 解法二 :可化为 设 令 , 所以 在 由洛必达法则 所以 ．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数的图象过坐标原点,且在点处的切线的斜率是. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)求在区间上的最大值; (Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点、,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.【答案】解:(Ⅰ)当时,,则. 依题意得:,即 解得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ①当时,,令得 当变化时,的变化情况如下表: 0—0+0—单调递减极小值单调递增极大值单调递减又,,.∴在上的最大值为2. ②当时, .当时, ,最大值为0; 当时, 在上单调递增.∴在最大值为. 综上,当时,即时,在区间上的最大值为2; 当时,即时,在区间上的最大值为. (Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧. 不妨设,则,显然 ∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴ 即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q; 若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q. 若,则代入(*)式得: 即,而此方程无解,因此.此时, 代入(*)式得: 即 (**) 令 ,则 ∴在上单调递增, ∵ ∴,∴的取值范围是. 因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上. ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知函数(I)若曲线在点(1,))处的切线与直线垂直,求实数a的值; (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅲ)当时,记函数f(x)的最小值为g(a),求证: 【答案】 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知f(x)=x-ln(x+l),g(x)=ax2. (I)求函数f(x)的单调区间与最值; (Ⅱ)若对任意的 [0,+),有f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】 所以,又是唯一的极小值点所以它也最小值点,时 在区间 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）本小题满分13分) 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交元()的管理费,预计当每件产品的售价为元()时,一年的销售量为万件. (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价(元)的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出L的最大值 【答案】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价的函数关系式为: (少定义域去1分) (2) 令得或(不合题意,舍去) ∵,∴ 在两侧的值由正变负 所以(1)当即时, (2)当即时, , 所以 ．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知球的直径为,求它的内接圆锥体积的最大值,并求出此时圆锥的底面半径和高 【答案】【解析】设圆锥的底面半径为 ,高为,则 , , , 此时 ．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知函数为实数).(1)若a=-2,求证:函数在上是增函数;(2)求函数在[0,e]上的最小值及相应的x值;(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.【答案】 ．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）设,曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值;(2)若,恒成立,求的范围.(3)求证:【答案】解:(1) 由题设,, (2) ,,,即设,即. ①若,,这与题设矛盾 ②若方程的判别式当,即时,.在上单调递减,,即不等式成立 当时,方程,其根,,当,单调递增,,与题设矛盾.综上所述, (3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以, 累加可得 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））已知函数 . (Ⅰ)若,求的最大值; (Ⅱ)若恒成立,求的取值范围; (Ⅲ)若方程有两个不等实根,求的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)若,则,, ∵∴,∴在上为增函数, ∴ (Ⅱ)要使,恒成立,只需时, 显然当时,在上单增,∴,不合题意; 当时,,令,当时,,当时, ①当时,即时,在上为减函数∴,∴; ②当时,即时,在上为增函数∴,∴; ∵,∴,∴成立; 由①②③可得 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当或时,在上单调,不满足题意; 当时, ∴ 即解得 ∴的取值范围为 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数(1)若函数在x=2处取得极值,求实数a的值;(2)若函数在定义域内单调递增,求实数a的取值范围;(3)当时,关于x的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围. 【答案】 ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）(本小题满分13分)已知函数e为自然对数的底数).(Ⅰ)若不等式对于一切恒成立,求的最小值;(Ⅱ)若对任意的在上总存在两个不同的使成立,求的取值范围. 【答案】解:(Ⅰ)由题意得在内恒成立, 即在内恒成立,设则设则∴在内是减函数,∴∴ 在内为增函数,则 ∴故的最小值为(Ⅱ)∵∴ ∴在(0,1)内递增,在(1,e)内递减.又∵∴函数在(0,e)内的值域为(0,1]由 得①当时,在(0,e]上单调递减,不合题意;②当时,令则令则)当,即时,在(0,e]上单调递减,不合题意;)当,即时,在上单调递减,在上单调递增.令则∴在上单调递增,在上单调递减;∴即在上恒成立.令,则设则∴在(0,1)内单调递减,在上单调递增,∴即 ∴,∴即.∵当时,且在上连续.欲使对任意的在上总存在两个不同的使成立,则需满足,即又∵,∴∴综上所述, ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数(1)求函数的单调区间;(2)已知对任意成立,求实数a的取值范围. 【答案】 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知向量,,(为常数, 是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴垂直,. (Ⅰ)求的值及的单调区间; (Ⅱ)已知函数(为正实数),若对于任意,总存在, 使得,求实数的取值范围.【答案】解:(I)由已知可得:=, 由已知,,∴ 所以 由,由的增区间为,减区间为 (II)对于任意,总存在, 使得, 由(I)知,当时,取得最大值 对于,其对称轴为当时,, ,从而 当时,, ,从而 综上可知: ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知函数.(Ⅰ)求函数的极大值.(Ⅱ)求证:存在,使;(Ⅲ)对于函数与定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得和都成立,则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)令解得令解得.∴函数在(0,1)内单调递增,在上单调递减. 所以的极大值为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在(0,1)内单调递增,在上单调递减,令∴ 取则 故存在使即存在使(说明:的取法不唯一,只要满足且即可)(Ⅱ)设则则当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.∴是函数的极小值点,也是最小值点,∴ ∴函数与的图象在处有公共点().设与存在“分界线”且方程为,令函数①由≥,得在上恒成立,即在上恒成立,∴, 即,∴,故②下面说明:,即恒成立.设则∵当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴当时,取得最大值0,.∴成立.综合①②知且故函数与存在“分界线”,此时 ．（2013山东高考数学（理））设函数(=2.71828是自然对数的底数,).(Ⅰ)求的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于的方程根的个数.【答案】解:(Ⅰ),由,解得,当时,,单调递减所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,最大值为(Ⅱ)令 (1)当时,,则,所以,因为, 所以 因此在上单调递增.(2)当时,当时,,则,所以,因为,,又所以 所以 因此在上单调递减.综合(1)(2)可知 当时,,当,即时,没有零点,故关于的方程根的个数为0;当,即时,只有一个零点,故关于的方程根的个数为1;当,即时,①当时,由(Ⅰ)知 要使,只需使,即;②当时,由(Ⅰ)知; 要使,只需使,即;所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2;综上所述:当时,关于的方程根的个数为0;当时,关于的方程根的个数为1;当时,关于的方程根的个数为2. ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知为函数图象上一点,O为坐标原点,记直线OP的斜率.(I)若函数在区间上存在极值,求实数m的取值范围;(II)当 时,不等式恒成立,求实数t的取值范围;(III)求证. 【答案】解:(Ⅰ)由题意, 所以 当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减.故在处取得极大值 因为函数在区间(其中)上存在极值,所以得.即实数的取值范围是 (Ⅱ)由得令则 令 则因为所以,故在上单调递增 所以,从而在上单调递增, 所以实 , . 所以 所以所以 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设函数,其中.( I )若函数图象恒过定点P,且点P关于直线的对称点在的图象上,求m的值;(Ⅱ)当时,设,讨论的单调性;(Ⅲ)在(I)的条件下,设,曲线上是否存在两点P、Q,使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)令,则, 关于的对称点为(1,0), 由题知 (Ⅱ),定义域为, 则,当时,此时上单调递增, 当时,由由此时上为增函数,在为减函数, 综上当时,上为增函数,时,在上为增函数,在为减函数 (Ⅲ)由条件(Ⅰ)知.假设曲线上存在两点、满足题意,则、两点只能在轴两侧,设则是以为直角顶点的直角三角形,.① (1)当时, 此时方程①为化简得.此方程无解,满足条件的、两点不存在 (2)当时,,方程①为即设则显然当时为增函数,的值域为当时方程①总有解.综上若存在、两点满足题意,则的取值范围是 ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数(1)求函数单调递增区间; (2)当时,求函数的最大值和最小值. 【答案】解:(1) (2) 所以, ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知函数f(x)=axlnx图像上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x平行(其中e=2.71828),g(x)=x2-x2-tx-2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切x,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围. 【答案】 ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）设(Ⅰ)若对一切恒成立,求的最大值.(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=ex-a(x+1),∴f′(x)=ex-a, ∵a>0,f′(x)=ex-a=0的解为x=lna. ∴f(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna, ∵f(x)≥0对一切x∈R恒成立, ∴-alna≥0,∴alna≤0,∴amax=1 (II)设是任意的两实数,且,故 不妨令函数,则上单调递增, ,恒成立=故(III)由(1) 知ex≥x+1,取x=,得1- 即 累加得 ．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,若每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量之间满足关系:已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件装次品将亏损1万元.(利润=盈利—亏损)(I)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润(万元)表示为的函数;(II)当每台机器的日产量(万件)写为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少? 【答案】 ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数.(1)若,试求函数的单调区间; (2)过坐标原点作曲线的切线,证明:切点的横坐标为1; (3)令,若函数在区间(0,1]上是减函数,求的取值范围.【答案】解: (1)时, 的减区间为,增区间(2)设切点为, 切线的斜率,又切线过原点 满足方程,由图像可知 有唯一解,切点的横坐标为1; ,且,方程有唯一解 (3),若函数在区间(0,1]上是减函数,则,所以---(*) 若,则在递减,即不等式恒成立 若,在上递增, ,即,上递增, 这与,矛盾 综上所述, 解法二: ,若函数在区间(0,1]上是减函数, 则,所以 显然,不等式成立 当时,恒成立 设 设 在上递增, 所以 在上递减, 所以 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知函数. (1)若a=l,求在上的最大值; (2)利用(1)的结论证明:对任意的正整数n,不等式都成立: (3)是否存在实数a(a>0),使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知函数.(I)当时,求的单调区间(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值菹围;(Ⅲ)定义:对于函数和在其公共定义域内的任意实数.,称的值为两函数在处的差值.证明:当a=0时,函数和在其公共定义域内的所有差值都大干2.【答案】 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知函数,其中. (Ⅰ)若是的极值点,求的值; (Ⅱ)求的单调区间; (Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)解:. 依题意,令,解得 . 经检验,时,符合题意 (Ⅱ)解:① 当时,. 故的单调增区间是;单调减区间是. ② 当时,令,得,或. 当时,与的情况如下: 所以,的单调增区间是;单调减区间是和. 当时,的单调减区间是. 当时,,与的情况如下: 所以,的单调增区间是;单调减区间是和. ③ 当时,的单调增区间是;单调减区间是. 综上,当时,的增区间是,减区间是; 当时,的增区间是,减区间是和; 当时,的减区间是; 当时,的增区间是;减区间是和. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 时,在上单调递增,由,知不合题意. 当时,在的最大值是,由,知不合题意. 当时,在单调递减,可得在上的最大值是,符合题意. 所以,在上的最大值是时,的取值范围是 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）已知函数 (1)求的单调区间和值域. (2)设,函数,若对任意,总存在,使得成立,求a的取值范围. 【答案】解:(1)对函数f(x)求导,得 令 x01-0+f(x)-4-3所以,当 当时,f(x)的值域为[-4,-3]. (2)对函数g(x)求导,得图表1 因此当 又,所以a的取值范围为 ．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）已知是函数的一个极值点. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)当,时,证明: 【答案】(Ⅰ)解:, 由已知得,解得. 当时,,在处取得极小值. 所以 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,,. 当时,,在区间单调递减; 当时,,在区间单调递增. 所以在区间上,的最小值为 又,, 所以在区间上,的最大值为 对于,有. 所以 ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）设,.(I)当时,求曲线在处的切线方程;(II)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数; (III)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.【答案】(I)当时,,,,,所以, 曲线在处的切线方程为. (II)存在,使得成立,等价于:, 考察,,2—+递减极小值递增1 由上表可知:, ,所以满足条件的最大整数; (III)对任意的,都有成立, 等价于:在区间上,函数的最小值不小于的最大值, 由(II)知,在区间上,的最大值为. ,下证当时,在区间上,函数恒成立.当且时,,记,, . 当,;当,, 所以, 函数在区间上递减,在区间上递增,,即, 所以当且时,成立,即对任意,都有. (III)另解:当时,恒成立, 等价于恒成立,记,, . 记,, 由于,, 所以在上递减,当时,,时,,即函数在区间上递增,在区间上递减,所以, ,所以. ．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题） (Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围. 【答案】 当变化时,的变化情况如下表: -+-单调递减极小值单调递增极大值单调递减根据表格,又,, ．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）设.(1)若,试求出函数的单调区间;(2)若对任意,都有成立,求实数的取值范围.【答案】 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知函数,其中a为大于零的常数 (1)若函数在区间内单调递增,求a的取值范围; (2)求函数在区间上的最小值; (3)求证:对于任意的>1时,都有>成立. 【答案】 ．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知函数. (1)求的单调区间; (2)若对,,都有,求的取值范围. 【答案】解:(1),令得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6：方程的解与函数的零点及二分法一、选择题1 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设函数4()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[0,5]上,则函数1()g x x=与函数3()h x x a =- 的图象的交点的横坐标为正整数时实数a 的取值个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．无穷个【答案】B43()()0f x x ax x x a =-=-=,解得0x =或x =即函数的零点有两个,要使零点都在区间[0,5]上,则有05<≤,解得0125a <≤.由()()h x g x =得31x a x-=,即41x ax -=有正整数解.设4()m x x ax =-,当1x =时,(1)11m a =-=,解得0a =,不成立.当2x =时,4(2)221621m a a =-=-=,解得151252a =<成立.当3x =时,4(3)338131m a a =-=-=,解得2551254a =<成立.当5x =时,4(5)5562551m a a =-=-=,解得6241255a =<成立.当6x =时,4(6)66129661m a a =-=-=,解得12951256a =>,不成立.所以满足条件的实数a 的取值为2,3,4,5,共有4个.选B ．2 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ,则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点,在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点,在区间),1(e 内有零点【答案】D 【解析】111()10(1)=0()10333e f e f f e e =->>=+>，，,根据根的存在定理可知,选D ．3 ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[0,1)C ．(,1)-∞D ．[0,)+∞【答案】C 【解析】做出函数)(x f 的图象如图,,由图象可知当直线为1+=x y 时,直线与函数)(x f 只要一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线1+=x y 向下平移,此时直线恒和函数)(x f 有两个交点,所以1<a ,选C ．4 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数2, 0(), 0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩,若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为（ ）A ．1[,1]2-B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4-【答案】 C 由()()=0g x f x m =-得()f x m =,作出函数()y f x =的图象,,当0x >时,2211()()024f x x x x =-=--≥,所以要使函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则104m <<,即1(,0)4-,选 C ．5 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )= 110x⎛⎫⎪⎝⎭,在x ∈[0,4]上解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由)1()1(+=-x f x f ,知)()2(x f x f =+,周期为2,又函数为偶函数,所以)1()1()1(x f x f x f -=+=-,函数关于1=x 对称,在同一坐标内做出函数x y x f y )101(),(==的图象,由图象知在]4,0[内交点个数为个.选 D ．6 ．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）如果若干个函数图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同族函数”.给出下列函数:①()sin cos f x x x =; ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;③()sin f x x x =; ④()21f x x =+其中“同族函数”的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C 7 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）函数x x x f ln )1()(+=的零点有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B 【解析】由()(1)ln 0f x x x =+=得1ln 1x x =+,做出函数1ln ,1y x y x ==+的图象,如图由图象中可知交点个数为1个,即函数的零点个数为1个,选 B ．8 ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）函数1f (x )lg x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)【答案】B 因为1(2)lg 202f =-<,1(3)lg 303f =->, 所以函数的零点在区间(2,3)上,选 B ． 9 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设()338xf x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间 （ ） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定 【答案】B【解析】因为(1.5)0,(1.25)0f f ><,所以根据根的存在定理可知方程的根落在区间(1.25,1.5)上,所以选 B ．10．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+⎩ 的零点个数为 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B 11．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时,()f x x =,则方程3()log ||f x x =的解个数是（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个 【答案】C 12．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））函数23)(3+-=x x x f 的零点为 （ ）A ．1,2B ．±1,-2C ．1,-2D ．±1, 2【答案】C 【解析】由3()320f x x x =-+=得3(22)0x x x ---=,即2(1)(2)0x x -+=,解得1x =或2x =-,选C ．13．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则a 的取值范围是 （ ）A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1a <-【答案】B14．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 15．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）定义在R 上的奇函数()f x ,当x ≥0时, ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩则关于x 的函数()()F x f x a =-(0<a <1)的所有零点之和为（ ）A ．1-2aB ．21a-C ．12a--D ．21a--【答案】A当01x ≤<时,()0f x ≤.当1x ≥时,函数()1|3|f x x =--,关于3x =对称,当1x ≤-时,函数关于3x =-对称,由()()0F x f x a =-=,得(),y f x y a ==.所以函数()()F x f x a =-有5个零点.当10x -≤<,时,01x <-≤,所以122()log (1)log (1)f x x x -=-+=--,即2()log (1)f x x =-,10x -≤<.由2()log (1)f x x a =-=,解得12a x =-,因为函数()f x 为奇函数,所以函数()()F x f x a =-(0<a <1)的所有零点之和为12a x =-,选 （ ）A ．16．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈,若函数()y f x k =+有三个零点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．2k ≤B ．10k -<<C ．21k -≤<-D ．2k ≤-【答案】D【解析】由()0y f x k =+=,得()f x k =-,所以0k ≤.做出函数()y f x =的图象如图,要使函数()y f x k =+有三个零点,则由2k -≥,即2k ≤-,选D ．17．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,且当3x ≥-时,()23xf x =-,若函数()f x 在区间(1,)()k k k Z -∈上有零点,则K 的值为 （ ）A ．2或-7B ．2或-8C ．1或-7D ．1或-8 【答案】A18．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）设函数()f x 的零点为1x ,函数()422x g x x =+-的零点为2x ,若1214x x ->,则()f x 可以是 （ ）A ．()122f x x =-B ．()214f x x x =-+- C．()110xf x =-D ．()()ln 82f x x =-【答案】C 【解析】113()20422g =+-=-<,1()212102g =+-=>,则11()()024g g ⋅<,所以21142x <<.若为（ ） A ．()122f x x =-,则()122f x x =-的零点为114x =,所以211044x <-<,所以121||4x x -<,不满足题意.如为 B ．()214f x x x =-+-的零点为112x =,211024x <-<,所以121||4x x -<,不满足题意.若为 C ．()110xf x =-的零点为10x =,所以211042x <-<,所以满足121||4x x ->.若为 D ．()()ln 82f x x =-的零点为138x =,23133182884x -<-<-,即2131888x -<-<,所以121||8x x -<,不满足题意,所以选C ． 19．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知0x 是xx f x 1)21()(+=的一个零点,)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,则 （ ）A ．0)(,0)(21<<x f x fB ．0)(,0)(21>>x f x fC ．0)(,0)(21<>x f x fD ．0)(,0)(21><x f x f【答案】C 【解析】在同一坐标系下做出函数11()(),()2xf x f x x==-的图象由图象可知当0(,)x x ∈-∞时,11()2x x >-,0(,0)x x ∈时,11()2x x<-,所以当)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,有0)(,0)(21<>x f x f ,选C20．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-,当11x -≤＜ 时,3()f x x =,若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则a 取值范围是（ ）A ．10,5,5+∞ （]（） B ．10,[5,5+∞ （））C ．11,]5,775 （（）D ．11,[5,775（））【答案】 A 由(1)()f x f x +=-得,(2)()f x f x +=,所以函数的周期是 2. 由()()log =0a g x f x x =-.得()=log a f x x ,分别作出函数(),()=log a y f x y m x x ==的图象,因为(5)=log 5(5)a m m =-.所以若1a >,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m <.此时5a >.若01a <<,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m -≥-,此时105a <≤.所以a 取值范围是10,5,5+∞ （]（）,选 （ ）A ．21．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知()f x 是定义在R 上的奇函数,满足33()()22f x f x -+=+,当3(0,)2x ∈时, 2()ln(1)f x x x =-+,则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D22．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知函数x x f x 21log 2)(-=,且实数a >b >c >0满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ,若实数0x 是函数y =)(x f 的一个零点,那么下列不等式中不可．．能．成立的是 （ ）A ．a x <0B ．a x >0C ．b x <0 D ．c x <0【答案】D 二、填空题 23．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.【答案】 924．（2011年高考（山东理））已知函数()log a f x x x b =+-(0a >,且1a ≠).当234a b <<<<时,函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+,*n N ∈,则n =_________.【答案】解析:根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=,(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=,而函数()f x 在(0,)+∞上连续,单调递增,故函数()f x 的零点在区间(2,3)内,故2n =.答案应填:2.25．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）给定方程:1()sin 102x x +-=,下列命题中:①该方程没有小于0的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;④若0x 是该方程的实数解,则0x>–1.则正确命题是___________. 【答案】②③④【解析】由1()sin 102x x +-=得1sin 1()2x x =-,令()f x =sin x ,()g x =11()2x-,在同一坐标系中画出两函数的图像如右,由图像知:①错,③、④对,而由于()g x =11()2x-递增,小于1,且以直线1=y 为渐近线,()f x =sin x 在-1到1之间振荡,故在区间(0,+∞)上,两者图像有无穷多个交点,所以②对,故选填②③④.26．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数2221()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ， 的图象和函数()()ln 1g x x =-的图象的交点个数是 ____________.【答案】2 【解析】画出图象知交点个数为2.27．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）若函数()33f x x x a =-+有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是__________.【答案】(2,2)- 【解析】函数的导数为()22'333(1)f x x x =-=-,所以1x =和1x =-是函数的两个极值,由题意知,极大值为(1)2f a -=+,极小值为(1)2f a =-+,所以要使函数()f x 有三个不同的零点,则有20a +>且20a -+<,解得22a -<<,即实数a 的取值范围是(2,2)-.28．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）()()()()()()()121116()|21|,(),,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x -=-=== ．则函数()4y f x =的零点个数为______________.【答案】8由43()(())0f x f f x ==,即32()10f x -=,解得31()2f x =.又3221()(())2()12f x f f x f x ==-=,解得23()4f x =或21()4f x =.当23()4f x =时,2113()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得17()8f x =或11()8f x =,当21()4f x =时,2111()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得15()8f x =或13()8f x =,由17()()218f x f x x ==-=,所以1511616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以1151616x =或.由15()()218f x f x x ==-=,所以1331616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以1151616x =或.所以共有8个零点.29．（2009高考(山东理)）若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】【解析】: 设函数(0,xy a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)xy a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a 答案: 1>a30．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.【答案】5 由22()3()10y f x f x =-+=解得()1f x =或1()2f x =.若()1f x =,当0x >时,由lg 1x =,得lg 1x =±,解得10x =或110x =.当0x ≤时,由21x =得0x =.若1()2f x =,当0x >时,由1lg 2x =,得1lg 2x =±,解得x =或x =.当0x ≤时,由122x=得1x =-,此时无解.综上共有5个零点.31．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）若函数()(01)xf x a x a a a =--≠ 且有两个零点,则实数a 的取值范围是________.a a 【答案】{|1}。