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小学数学聪明题小练习

小学数学聪明题小练习1. ８个数字“８”，如何使它等于1000？答案：8+8+8+88+8882. 小强数学只差6分就及格，小明数学也只差6分就及格了，但小明和小强的分数不一样，为什么？答案：一个是54分，一个是0分。

3. 一口井7米深，有只蜗牛从井底往上爬，白天爬3米，晚上往下坠2米。

问蜗牛几天能从井里爬出来？答案：5天。

4. 某人花19快钱买了个玩具，20快钱卖出去。

他觉得不划算，又花21快钱买进，22快钱卖出去。

请问它赚了多少钱？答案：2元。

5. 100个包子，100个人吃，1个大人吃3个，3个小孩吃1个，多少个大人和多少小孩刚好能吃完？答案：25个大人，75个小孩。

6. 小王去网吧开会员卡，开卡要20元，小王没找到零钱，就给了网管一张50的，网管找回30元给小王后，小王找到20元零的，给网管20元后，网管把先前的50元还给了他，请问谁亏了？答案：网管亏了30元。

7. 每隔1分钟放1炮，10分钟共放多少炮？答案：11炮。

8. 一个数去掉首位是13,去掉末位是40。

请问这个数是几？答案：四十三。

9. 1根2米长的绳子将1只小狗拴在树干上，小狗虽贪婪地看着地上离它2.1米远的l根骨头，却够不着，请问，小狗该用什么方法来抓骨头呢？答案：转过身用后腿抓。

10. 烟鬼甲每天抽50支烟，烟鬼乙每天抽10支烟。

5年后，烟鬼乙抽的烟比烟鬼甲抽的还多，为什么？答案：烟鬼甲抽得太多了早死了。

11. 一个数若去掉前面的第一个数字是11，去掉最后一个数字为50，原数是多少？答案：五十一。

12. 有一种细菌，经过1分钟，分裂成2个，再过1分钟，又发生分裂，变成4个。

这样，把一个细菌放在瓶子里到充满为止，用了1个小时。

如果一开始时，将2个这种细菌放入瓶子里，那么，到充满瓶子需要多长时间？答案：59分钟。

13. 往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加1倍，这样，12分钟后，篮子满了。

那么，请问在什么时候是半篮子鸡蛋？答案：11分钟。

数列-2024高考数学压轴小题(解析版)

数列-2024高考压轴小题一．选择题（共13小题）1．数列{a n}中，＞1(∈∗)，点（a n，a n+1）在双曲线2y2﹣x2＝1上．若a n+2﹣a n+1＞λ（a n+1﹣a n）恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．[12，+∞)B．(12，+∞)C．+∞)D．（1，+∞）2．已知等比数列{a n}的公比为−13，其前n项和为S n，且a1，2+43，a3成等差数列，若对任意的n∈N*，均有≤−2≤恒成立，则B﹣A的最小值为（）A．2B．76C．103D．53 3．已知数列{a n}满足1=13，r1=(r1)+，1+12+⋯+12⋯＜o∈p恒成立，则m的最小值为（）A．1B．2C．3D．54．已知数列{a n}满足a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n，记数列{a n﹣tn}的前n项和为S n，若S n≤S10对任意的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[1211，1110]B．(1211，1110]C．[1110，109]D．(1110，109) 5．已知数列{142+4K3}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式12T n＜3a2﹣a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[−1，43]B．[−43，1] C．(−∞，−1]∪[43，+∞)D．(−∞，−43]∪[1，+∞)6．设S n是一个无穷数列{a n}的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式＜r1r1恒成立，则称数列{a n}为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n均有a n＜a n+1，则{a n}为和谐数列；②若等差数列{a n}是和谐数列，则S n一定存在最小值；③若{a n}的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个．A．0B．1C．2D．37．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且满足S n+1＝2S n+2n+1，若存在实数λ，使不等式λa n≤（n﹣19）S n对任意n∈N*恒成立，则λ的最大值为（）A．﹣24B．﹣18C．−683D．−703 8．已知等比数列{a n}的首项为2，公比为−13，其前n项和记为S n，若对任意的n∈N*，均有A≤3S n−1≤B恒成立，则B﹣A的最小值为（）A．72B．94C．114D．1369．已知等差数列{a n}满足a2＝2，a3+a6＝1+a8，数列{b n}满足b n a n+1a n＝a n+1﹣a n，记{b n}的前n项和为S n，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜22+B−3恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]10．已知数列{a n}的首项是a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+3n+1（n∈N*），设c n＝log2（a n+3）．若存在常数k，使得不等式k≥−1(r16)(∈∗)恒成立，则k的取值范围为（）A．[19，+∞）B．[116，+∞)C．[125，+∞)D．[136，+∞) 11．已知数列{a n}满足1=3，r1=+2−1，记数列{|a n﹣2|}的前n项和为S n，设集合={125，6225，4517，3512}，N＝{λ∈M|λ＞S n对n∈N*恒成立}，则集合N的元素个数是（）A．1B．2C．3D．4 12．设S n是数列{a n}的前n项和，=32−3r1，若不等式≥n∈N+恒成A．13B．16C．19D．13613．S n为数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝5，a3＝10，a4＝17，对任意大于2的正整数n，有S n+1﹣3S n+3S n﹣1﹣S n﹣2+m＝0恒成立，则使得12−2+13−2+⋯+1K1−2+1−2≥2542成立的正整数k的最小值为（）A．7B．6C．5D．4二．多选题（共5小题）（多选）14．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n＝2a n﹣1（n∈N*），b1＝20a4，b n+1＝a n b n（n∈N •），数列{b n}的前n项和为T n，且对∀n∈N*，2T n+400≥λn恒成立，则（）A．a4=45B．数列{1−1}为等差数列C．b n＝16n D．λ的最大值为225（多选）15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且4=235，S7＝28，记T n为数列{1}的前n项和，若T n＜λ恒成立，则λ的值可以是（）A．1B．2C．3D．4（多选）16．已知数列{a n}满足：a1＝2，=2−1K1，n＝2，3，4，…，则下列说法正确的是（）A．5=65B．对任意n∈N*，a n+1＜a n恒成立C．不存在正整数p，q，r使a p，a r，a q成等差数列D．数列{1−1}为等差数列（多选）17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1=(r1)+2，对于任意n∈N*，a∈[﹣2，2]，不等式3⋅2＜2t2+at﹣1恒成立，则t的取值可以是（）A．1B．2C．32D．4（多选）18．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1−1=(1+1)，n∈N*．若对于任意的t∈[1，2]，不等式＜−22−(+1)+2−a+2恒成立，则实数a可能为（）A．﹣4B．﹣2C．0D．22024高考压轴练--数列小题参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．数列{a n }中，＞1(∈∗)，点（a n ，a n +1）在双曲线2y 2﹣x 2＝1上．若a n +2﹣a n +1＞λ（a n +1﹣a n ）恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．[12，+∞)B ．(12，+∞)C ．+∞)D ．（1，+∞）【解答】解：由题意可知：双曲线2y 2﹣x 2＝1的渐近线方程为，因为点（a n ，a n +1）在双曲线2y 2﹣x 2＝1上，则2r12−2=1，且＞1(∈∗)，可得r12−2=1−r12＜0，可知{2}为递减数列，且＞1(∈∗)，则{a n }为递减数列，可得a n +1﹣a n ＜0，且a n +2﹣a n +1＞λ（a n +1﹣a n ），可得＞r2−r1r1−，记点A n （a n ，a n +1），则r2−r1r1−为直线A n A n +1的斜率，记=r2−r1r1−，由双曲线的性质以及{a n }为递减数列可知，直线A n A n +1的斜率{k n }为递减数列，即k n ≤k 1，且随着a 1增大，直线A 1A 2越接近渐近线=，故k 1接近于22，所以则≥故选：C ．2．已知等比数列{a n }的公比为−13，其前n 项和为S n ，且a 1，2+43，a 3成等差数列，若对任意的n ∈N *，均有≤−2≤恒成立，则B ﹣A 的最小值为（）A ．2B ．76C ．103D ．53【解答】解：等比数列{a n}的公比为−13，因为a1，2+43，a3成等差数列，所以2×−131+43= 1+191，解得a1＝2，所以=2[1−(−13)]1−(−13)=32−32⋅(−13)，当n为奇数时，=32+32⋅(13)，易得S n单调递减，且32+32⋅(13)＞32，所以32＜≤1=2；当n为偶数时，=32−32⋅(13)，易得S n单调递增，且32−32⋅(13)＜32，所以43=2≤＜32．所以S n的最大值与最小值分别为2，43．函数=−2在（0，+∞）上单调递增，所以≤(−2)m=43−243=−16．≥(−2)B=2−22=1．所以B﹣A的最小值1−(−16)=76．故选：B．3．已知数列{a n}满足1=13，r1=(r1)+，1+12+⋯+12⋯＜o∈p恒成立，则m的最小值为（）A．1B．2C．3D．5【解答】解：依题意，a n≠0，由r1=(r1)+，得1r1=+(r1)，即r1r1=+1，因此数列{}是首项11=3，公差d＝1的等差数列，则=11+o−1)=+2，即=r2，则当n≥2时，12⋯=13⋅24⋅35⋅⋯⋅r2=2(r1)(r2)=2(1r1−1r2)，1=13= 22×3也符合上式，1+12+⋯+12⋯=2(12−13+13−14+⋯+1r1−1r2)=1−2r2＜1，所以m≥1，即m的最小值为1．故选：A．4．已知数列{a n}满足a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n，记数列{a n﹣tn}的前n项和为S n，若S n≤S10对任意的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[1211，1110]B．(1211，1110]C．[1110，109]D．(1110，109)【解答】解：由1+22+⋯+2K1=⋅2①，当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，1+22+⋯+2K2K1=(−1)⋅2K1②，①﹣②可得a n＝n+1（n≥2），又a1也符合上式，∴a n＝n+1，令b n＝a n﹣tn＝n+1﹣tn＝（1﹣t）n+1，∴b n+1﹣b n＝（1﹣t）（n+1）+1﹣[（1﹣t）n+1]＝1﹣t为常数，∴数列{b n}是等差数列，首项b1＝2﹣t，∴=2−r(1−pr12×=1−22+3−2，其对称轴为=−3−21−=−3−2−2，∵S n≤S10对任意的n∈N*恒成立，3−2−2≤10.5，解得1211≤≤1110，∴t的取值范围是[1211，1110]．故选：A．5．已知数列{142+4K3}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式12T n＜3a2﹣a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[−1，43]B．[−43，1] C．(−∞，−1]∪[43，+∞)D．(−∞，−43]∪[1，+∞)【解答】解：由142+4K3=1(2r3)(2K1)=14（12K1−12r3），可得T n=14（1−15+13−17+15−19+...+12K3−12r1+12K1−12r3）=14（1+13−12r1−12r3）＜14×43=13．由对任意的n∈N*，不等式12T n＜3a2﹣a恒成立，可得3a2﹣a≥12×13，解得a≥43或a≤﹣1．故选：C．6．设S n是一个无穷数列{a n}的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式＜r1r1恒成立，则称数列{a n}为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n均有a n＜a n+1，则{a n}为和谐数列；②若等差数列{a n}是和谐数列，则S n一定存在最小值；③若{a n}的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个．A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，由＜r1r1，可得（n+1）S n＜nS n+1，则S n＜n（S n+1﹣S n），即S n＜na n+1，若a n＜a n+1，则S n＜na n＜na n+1，故①正确；对于②，设等差数列{a n}的公差为d，则=22+(1−)，则=2+1−2，即{}为公差为2的等差数列，若{a n}为和谐数列，即＜r1r1，则2＞0，所以关于n的二次函数=22+(1−)开口向上，则在n∈N•上一定存在最小值，故②正确；对于③，取1＜0，=−14，则=11−⋅(1−)=451[1−(−14)]，B r1=B1⋅(−14)，下面证明S n＜na n+1，即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列，即证451[1−(−14)]＜B1(−14)，即证45[1−(−14)]＞o−14)，即证(+45)(−14)＜45，当n＝2k+1，k∈N时，上式左边为负数，显然成立；当n＝2k，k∈N•时，即证(2+45)⋅116＜45，即证16−52−1＞0(⋅)，设op=16−52−1，′(p=16B16−52＞B16−52＞0，则f（k）＞f（1）＞0，即（*）式成立，故③正确．故选：D．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且满足S n+1＝2S n+2n+1，若存在实数λ，使不等式λa n≤（n﹣19）S n对任意n∈N*恒成立，则λ的最大值为（）A．﹣24B．﹣18C．−683D．−703【解答】解：由S n+1＝2S n+2n+1，得r12r1−2=1，∵S1＝a1＝2，∴121=1，∴{2}是首项为1，公差为1的等差数列，则2=1+1×（n﹣1）＝n，即S n＝n•2n，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，验证n＝1也满足，∴a n＝（n+1）•2n﹣1，由λa n≤（n﹣19）S n，得λ（n+1）•2n﹣1≤（n﹣19）•n•2n，即λ≤2oK19)r1．令f（n）=2oK19)r1，则f（n+1）﹣f（n）=2(r1)(K18)r2−2oK19)r1=2(2+3K18)(r1)(r2)= 2(K3)(r6)(r1)(r2)，可得f（1）＞f（2）＞f（3）＝f（4）＜f（5）＜…，∴f（n）min＝f（3）＝f（4）＝﹣24，而λ≤2oK19)r1，∴λ≤﹣24，得λ的最大值为﹣24．故选：A．8．已知等比数列{a n}的首项为2，公比为−13，其前n项和记为S n，若对任意的n∈N*，均有A≤3S n−1≤B恒成立，则B﹣A的最小值为（）A．72B．94C．114D．136【解答】解：S n=2[1−(−13)]1−(−13)=32−32•(−13)，①n为奇数时，S n=32+32•(13)，可知：S n单调递减，且m m∞=32，∴32＜S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n=32−32•(13)，可知：S n单调递增，且m m∞=43，∴43=S2≤S n＜32．∴S n的最大值与最小值分别为：2，43．考虑到函数y＝3t−1在（0，+∞）上单调递增，∴A≤(3−1)m=3×43−143=134．B≥(3−1)B=3×2−12=112．∴B﹣A的最小值=112−134=94．故选：B．9．已知等差数列{a n}满足a2＝2，a3+a6＝1+a8，数列{b n}满足b n a n+1a n＝a n+1﹣a n，记{b n}的前n项和为S n，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜22+B−3恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：由等差数列的性质知a3+a6＝a8+a1＝a8+1，则a1＝1，又a2＝2，则等差数列{a n}的公差d＝a2﹣a1＝1，∴a n＝1+（n﹣1）＝n．由b n a n+1a n＝a n+1﹣a n，得=1−1r1=1−1r1，∴=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1K1−1)+(1−1r1)=1−1r1，则不等式＜22+B−3恒成立等价于1−1r1＜22+B−3恒成立，而1−1r1＜1，∴问题等价于对任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，2t2+at﹣4≥0恒成立．设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，则o2)≥0o−2)≥0，即2+−2≥02−−2≥0，解得：t≥2或t≤﹣2．故选：A．10．已知数列{a n}的首项是a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+3n+1（n∈N*），设c n＝log2（a n+3）．若存在常数k，使得不等式k≥−1(r16)(∈∗)恒成立，则k的取值范围为（）A．[19，+∞）B．[116，+∞)C．[125，+∞)D．[136，+∞)【解答】解：因为S n+1＝2S n+3n+1，所以当n≥2时，S n＝2S n﹣1+3（n﹣1）+1，两式相减，得a n+1＝2a n+3，所以a n+1+3＝2（a n+3），又a1+3＝4，a1+a2＝S2＝2S1+3×1+1＝6，所以a2＝5，a2+3＝2（a1+3），所以数列{a n+3}是以4为首项、2为公比的等比数列，所以+3=4×2K1=2r1，所以c n＝log2（a n+3）＝n+1，所以−1(r16)=(r16)(r1)=2+17r16=1r16+17≤18+17=125，当且仅当n＝4时等号成立，所以≥125，所以k的取值范围为[125，+∞)．故选：C．11．已知数列{a n}满足1=3，r1=+2−1，记数列{|a n﹣2|}的前n项和为S n，设集合={125，6225，4517，3512}，N＝{λ∈M|λ＞S n对n∈N*恒成立}，则集合N的元素个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：令r1=+2−1=，解得a n＝2，即数列{a n}的不动点为2，其生成函数为=+2−1，所以，作出函数=+2−1与函数y＝x的图像如图：故由上图：2＜a n+1＜a n≤3，∴13≤1＜12，∴r1=22−1+1=2(1−14)2+78∈[89，1)，即89≤r1＜，又∵r1−=2−1=2−，∴a n﹣2＝a n（a n﹣a n+1），一方面，由r1≥89得+r1≥179，∴≤917(+r1)，−2=(−K1)≤917(2−r12)，∴=(1−2)+(2−2)+⋯(−2)≤917[(12−22)+(22−32)+⋯+(2−r12)]=917(9−r12)∵a n+1＞2，且当n→+∞，a n+1→2，∴＜917(9−4)=4517，∵4517≥4517，3512＞4517，∴4517，3512∈，另一方面，由r1−2=(−2)(−1)，2＜≤3，得r1−2−2=1−1＞12，又∵1−2=1，2−2=23，3−2=512，∴=(1−2)+(2−2)+⋯(−2)≥1+23+512+512⋅12+⋯+512⋅(12)K3=52−53⋅2K1，又当→+∞，52−53⋅2K1→52，∴λ必须大于等于52，∵125＜52，6225＜52，∴125，6225∉，所以集合N的元素个数是2，故选：B．12．设S n是数列{a n}的前n项和，=32−3r1，若不等式≥n∈N+恒成A．13B．16C．19D．136【解答】解：当n＝1时，1=321−32，所以a1＝18，由=32−3r1，当n≥2时，K1=32K1−3，所以=−K1=32−3r1−32K1+2，所以=3K1+4⋅3，两边同除以3n，所以3=K13K1+4，所以数列{3}是以6为首项，以4为公差的等差数列，所以34(−1)=4+2，所以=(4+2)，由≥n∈N+恒成立，即2(2+1)⋅3≥所以≥2⋅3，设=2⋅3，则r1=r12⋅3r12⋅3=r13=13+13＜1，所以数列{c n}为递减数列，所以≥12×3=16，所以≥136，所以k的最小值为136，故选：D．13．S n为数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝5，a3＝10，a4＝17，对任意大于2的正整数n，有S n+1﹣3S n+3S n﹣1﹣S n﹣2+m＝0恒成立，则使得12−2+13−2+⋯+1K1−2+1−2≥2542成立的正整数k的最小值为（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：依题意知：当n＝3时有S4﹣3S3+3S2﹣S1+m＝0＝a4﹣2a3+a2+m，∵a2＝5，a3＝10，a4＝17，∴m＝﹣2，S n+1﹣3S n+3S n﹣1﹣S n﹣2﹣2＝0，即（S n+1﹣S n）﹣2（S n﹣S n﹣1）+（S n﹣1﹣S n）﹣2＝0，﹣2∴a n+1﹣2a n+a n﹣1﹣2＝0，即（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）＝2，n≥3，又a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝5，（a3﹣a2）﹣（a2﹣a1）＝2，∴数列{a n+1﹣a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n+1﹣a n＝2n+1，故a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝5，a4﹣a3＝7，…，a n﹣a n﹣1＝2n﹣1（n≥2），由上面的式子累加可得：a n ﹣2=(K1)(3+2K1)2=（n ﹣1）•（n +1），n ≥2，∴1−2=1(K1)(r1)=12（1K1−1r1），n ≥2．由12−2+13−2+⋯+1K1−2+1−2≥2542可得：12[（11−13）+（12−14）+（13−15）+…+（1K1−1r1）]=12（1+12−1−1r1）≥2542，整理得1+1r1≤1342，∵k ∈N *且k ≥2，∴解得：k ≥6．所以k 的最小值为6．故选：B ．二．多选题（共5小题）（多选）14．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ＝2a n ﹣1（n ∈N *），b 1＝20a 4，b n +1＝a n b n （n ∈N •），数列{b n }的前n 项和为T n ，且对∀n ∈N *，2T n +400≥λn 恒成立，则（）A ．a 4=45B ．数列{1−1}为等差数列C ．b n ＝16n D ．λ的最大值为225【解答】解：∵数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ＝2a n ﹣1，∴r1=2−1，∴r1−1=−1，∴1r1−1=−1=1−1+1，∴1r1−1−1−1=1，又11−1=12−1=1，∴{1−1}是以1为首项，公差为1的等差数列，∴B 选项正确；∴1−1=，∴=r1，∴4=54，∴A 选项错误；∴1=20×54=25，∴r1=(r1)，∴r1=r1，∴21=21，32=32，•••，K1=K1，累乘可得：21⋅32⋅⋅⋅⋅⋅K1=21×32×⋅⋅⋅×K1，∴1=，∴b n ＝b 1n ＝25n ，∴C 选项错误，∴=(25+25p2，又对∀n ∈N *，2T n +400≥λn ，∴对∀n ∈N *，25n 2+25n +400≥λn ，∴对∀n∈N*，λ≤25+400+25，又25+400+25≥225×400+25=225，当且仅当25=400，即n＝4时，等号成立，∴λ≤225，∴λ的最大值为225，∴D选项正确．故选：BD．（多选）15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且4=235，S7＝28，记T n为数列{1}的前n项和，若T n＜λ恒成立，则λ的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵4=235，∴41+4×32=23（51+5×42），整理得12a1+18d＝10a1+20d，即a1＝d，由S7＝28，可得71+7×62=28，即a1+3d＝4，∴a1＝d＝1，∴=+oK1)2=or1)2，1=2or1)=2(1−1r1)，∴=11+12+...+1=2(1−12+12−13+...+1−1r1)=2(1−1r1)=2−2r1．∵T n＜λ恒成立，∴λ≥2．结合选项可知，λ的值可以是2或3或4．故选：BCD．（多选）16．已知数列{a n}满足：a1＝2，=2−1K1，n＝2，3，4，…，则下列说法正确的是（）A．5=65B．对任意n∈N*，a n+1＜a n恒成立C．不存在正整数p，q，r使a p，a r，a q成等差数列D．数列{1−1}为等差数列【解答】解：∵=2−1K1，（n≥2，n∈N*），∴r1=2−1，（n∈N*），∴r1−1=1−1，又a1﹣1＝1≠0，∴1r1−1=11−1=−1=1−1+1，∴1r1−1−1−1=1，且11−1=1，∴数列{1−1}是以首项为1，公差为1的等差数列，∴1−1=，∴=1+1，∴D正确；对A，∵5=1+15=65，∴A正确；对B，∵r1−=(1+1r1)−(1+1)=−1or1)＜0，∴a n+1＜a n，∴B正确；对C，若存在正整数p，q，r使a p，a r，a q成等差数列，则2a r＝a p+a q，∴2+2=2+1+1，∴2=1+1，令p＝3，r＝4，q＝6，满足等式，∴C错误；故选：ABD．（多选）17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1=(r1)+2，对于任意n∈N*，a∈[﹣2，2]，不等式3⋅2＜2t2+at﹣1恒成立，则t的取值可以是（）A．1B．2C．32D．4【解答】解：根据题意，r1=(r1)+2，两边同时取倒数可得，r1r1=1+2，即得r1r1+1=2(+1)，由此可得数列{1+}是首项为2，公比为2的等比数列，所以1+=2⇒=2−1，∴3⋅2=3(2−1)2=3−32＜3，∴2t2+at﹣1≥3，又因为at+2t2﹣4≥0在a∈[﹣2，2]上恒成立，所以−2+22−4≥02+22−4≥0⇒t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：BD．（多选）18．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1−1=(1+1)，n∈N*．若对于任意的t∈[1，2]，不等式＜−22−(+1)+2−a+2恒成立，则实数a可能为（）A．﹣4B．﹣2C．0D．2【解答】解：由a n+1−1=(1+1)，得a n+1−1=r1，∴r1r1−=1or1)=1−1r1，∴=(−K1K1)+(K1K1−K2K2)+⋯+⋯+（a2﹣a1）+a1，＝（1K1−1）+（1K2−1K1）+…+（1−12）+1＝2−1＜2，∵不等式＜−22−(+1)+2−a+2恒成立，∴2≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+2，∴2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[1，2]上恒成立，设f（t）＝2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[1，2]，∴o1)=2++1−2+≤0o2)=8+2(+1)−2+≤0，解得a≤﹣2或a≥5，∴实数a可能为﹣4，﹣2．故选：AB．。

高中数学(必修1)小题狂做集合

高中数学小题狂做〔必修1〕集合1、全集U =R ，那么正确表示集合{1,0,1}M =-和2{|0}N x x x =+=关系的韦恩〔Venn 〕图是( ) A ． B ． C ． D ．2、集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 那么A B =( )(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1]3、设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,那么M N =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2- 4、设集合；那么( )5、全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，那么( )A ．B ．C ．D ．6、集合{}{}2|20,|55A x x x B x x =->=-<<，那么( )A.A ∩B=B.A ∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B 7、集合A ={0,1,2}，那么集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是( )(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)98、集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且221x y +=}，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}，那么A ∩ B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39、集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.假设P ∪M=P,那么a 的取值范围是( ) 〔A 〕(-∞, -1] 〔B 〕[1, +∞〕〔C 〕[-1，1] 〔D 〕〔-∞，-1] ∪[1，+∞〕10、设集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}4,5,6,7B =，那么知足S A ⊆且SB ≠Φ的集合S 的个数为( )〔A 〕57 〔B 〕56 〔C 〕49 〔D 〕8 {1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==U C M =()()=U U C A C B {}5,8{}7,9{}0,1,3{}2,4,6UU U U M N N M N M M N11、集合}1,0,1{-共有个子集。

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ．【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ．考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；（4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4）【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4．设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ，则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2，即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C 【解析】试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图内切圆球三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C【解析】设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝.易证PQ ⊥面DCQ ，而PQ ＝，△DCQ 的面积为，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1:1，选C.25．正四面体ABCD ，线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（）A ． [0，22]B ．[22，1]C ．[21，1] D ．[21，22] 【答案】B【解析】试题分析：如图，取AC 中点为G ，结合已知得GF //AB ，则线段AB 、EF 在平面α上的射影所成角等于GF 与EF 在平面α上的射影所成角，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 转动时，因为GF //平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，而GF 在平面α上的射影长为定值21，所以AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[22，1].故选B 考点：1线面平行；2线面垂直。

高三数学中难度小题

高三数学中难度小题一．选择题（共16小题）1．已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3的值为（）A．35 B．20 C．5 D．﹣52．已知函数f（x）=x+e x﹣a，g（x）=ln（2x+1）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=4成立，则实数a的值为（）A．ln 1﹣1 B．1﹣ln 2 C．ln 2 D．﹣ln 23．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|=6，则|EM|的长为（）A．2 B．C．2 D．4．已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e为自然对数的底数，若不等式f（3a2）+f（﹣2a﹣1）≤f （0）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣]B．[﹣]C．[﹣1，]D．[]5．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a9a10﹣1＞0，＜0，则使T n＞1成立的最大自然数n的值为（）A．9 B．10 C．18 D．196．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量=λ+μ，则λ+μ的取值范围为（）A．[﹣1，5]B．[] C．[] D．[﹣1，]7．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（）A．[1，1+]B．[2﹣，2+] C．[]D．[3﹣2，3+2]8．已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+19．已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A．B．C．D．11．如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2．设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．4 C．D．212．已知f（x）=x+xlnx，若k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则整数k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．613．若函数y=2sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上只有一个极值点，则ω的取值范围是（）A．1≤ω≤B．＜ω≤3 C．3≤ω＜4 D．≤ω＜14．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”15．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．16．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．二．填空题（共12小题）17．如图，圆锥的高PO=，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为．18．设函数f（x）=，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，若f（a1）+f （a2）+…+f（a10）=a1，则a1=．19．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC 的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．20．如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为10kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F1|=|F2|=|F3|．要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于xkg，则x的最小值为．21．在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为．22．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，若AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC 的表面积为．23．已知数列{a n}的通项为a n=，若{a n}的最小值为，则实数a的取值范围是．24．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为．25．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为．26．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球体积．27．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a n}满足a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），若a2015=4a，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015的值为．28．已知AD、BE分别是△ABC的中线，若AD=BE=1，且•=，则与的夹角为．三．解答题（共2小题）29．一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个．（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．30．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（℃）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对（x，y）叫作一组）数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅲ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：．高三数学中难度小题参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3的值为（）A．35 B．20 C．5 D．﹣5【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=•（﹣1）3+•（﹣1）2=﹣5．故选：D．2．已知函数f（x）=x+e x﹣a，g（x）=ln（2x+1）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=4成立，则实数a的值为（）A．ln 1﹣1 B．1﹣ln 2 C．ln 2 D．﹣ln 2【解答】解：f（x）﹣g（x）=x﹣ln（2x+1）+e x﹣a+4e a﹣x，令h（x）=x﹣ln（2x+1），则h′（x）=1﹣，∴h（x）在（﹣，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，所以h（x）min=h（0）=0，又e x﹣a+4e a﹣x≥2=4，∴f（x）﹣g（x）≥4，当且仅当时，取等号．解得x=0，a=﹣ln 2，故选：D．3．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|=6，则|EM|的长为（）A．2 B．C．2 D．【解答】解：由已知得F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，并与y2=4x联立得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x0，y0），y1+y2=4m，则y0==2m，x0=2m2+1，所以E（2m2+1，2m），又|AB|=x1+x2+2=m（y1+y2）+4=4m2+4=6，解得m2=，线段AB的垂直平分线为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2﹣1），令y=0，得M（2m2+3，0），从而|ME|==．故选：B．4．已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e为自然对数的底数，若不等式f（3a2）+f（﹣2a﹣1）≤f （0）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣]B．[﹣]C．[﹣1，]D．[]【解答】解：易知y=x3﹣2x，与y=e x﹣，都是奇函数，所以函数f（x）为奇函数，又因为f′（x）=3x2﹣2+e x+e﹣x≥3x2≥0，所以函数f（x）为增函数，原不等式转化为：f（3a2）≤f（2a+1）⇒3a2﹣2a﹣1≤0，解得：﹣≤a≤1，故选：B．5．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a9a10﹣1＞0，＜0，则使T n＞1成立的最大自然数n的值为（）A．9 B．10 C．18 D．19【解答】解：根据题意，a9a10﹣1＞0，即a9a10＞1，则有a92×q＞1，即q＞0，等比数列{a n}的各项均为正数，若＜0，则有（a9﹣1）（a10﹣1）＜0，又由a1＞1，q＞0，分析可得a9＞1，a10＜1，则T18=a1•a2•a3•a4•…•a15•a16•a17•a18=（a9a10）9＞1；T19=a1•a2•a3•a4•…•a16•a17•a18•a19=（a10）19＜1；则使T n＞1成立的最大自然数n的值为18；故选：C．6．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量=λ+μ，则λ+μ的取值范围为（）A．[﹣1，5]B．[] C．[] D．[﹣1，]【解答】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．设P（cosθ，sinθ），∴AC=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（+μcosθ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′=＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故当θ=时，即cosθ=0，这时λ+μ取最大值为=5，故λ+μ的取值范围为[，5]故选：C．7．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（）A．[1，1+]B．[2﹣，2+] C．[]D．[3﹣2，3+2]【解答】解：由，是单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|﹣﹣|=2，∴|（x﹣1，y﹣1）|=2，∴=2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，其圆心C（1，1），半径r=2，∴|OC|=∴2﹣≤||=≤2+．故选：B．8．已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+1【解答】解：设直线l的方程为m（y﹣1）=x．A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（9+5m2）y2﹣10m2y+5m2﹣45=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵=﹣，∴y1﹣1=﹣．联立解得m=±3．则直线l的方程为：y=x+1．故选：B．9．已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令f（x）=0可得：，令，则，令t（x）=x2+3x﹣4﹣2lnx，则，据此可得函数t（x）在区间上单调递增，且t（1）=0，故当x∈（0，1）时，t（x）＜0，h’（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，t（x）＞0，h’（x）＞0，则函数h（x）在区间上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，而：，据此可得：实数k的取值范围为．故选：A．10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（x+2），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]，若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，则f（x）=﹣f（x﹣2）==，x∈[1，2]，作出函数f（x）的图象如图：由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=，由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣＜b＜﹣，即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+，令k=n﹣1，则4k+＜b＜4k+，故选：D．11．如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2．设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．4 C．D．2【解答】解：由PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为，由圆的切线和勾股定理可得：圆外一点引圆的切线所得切线长相等，可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r=1，由双曲线的定义可得|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=1，可得|AF2|﹣|AF1|=1﹣2a，由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，即有a=．又|F1F2|=2，可得c=1，则e==2．故选：A．12．已知f（x）=x+xlnx，若k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则整数k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x＞2，∴k（x﹣2）＜f（x）可化为k＜=；令F（x）=，则F′（x）=；令g（x）=x﹣2lnx﹣4，则g′（x）=1﹣＞0，故g（x）在（2，+∞）上是增函数，且g（8）=8﹣2ln8﹣4=2（2﹣ln8）＜0，g（9）=9﹣2ln9﹣4=5﹣2ln9＞0；故存在x0∈（8，9），使g（x0）=0，即2lnx0=x0﹣4；故F（x）在（2，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数；故F min（x）=F（x0）==；故k＜；故k的最大值是4；故选：B．13．若函数y=2sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上只有一个极值点，则ω的取值范围是（）A．1≤ω≤B．＜ω≤3 C．3≤ω＜4 D．≤ω＜【解答】解：函数y=2sinωx（ω＞0）则y′=2ωcosωx．∵x∈（﹣，）上，∴ωx∈（﹣ω，ω）．∵在区间（﹣，）上只有一个极值点，则﹣ω，且，解得：，即＜ω≤3．故选：B．14．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．15．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，；∴由得：①，②，③；①两边平方得：；∴；∴；∴OA⊥OB；同理②③两边分别平方得：，；∴；∴S△ABC =S△AOB+S△BOC+S△AOC==．故选：C．16．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为（0，）．故选：D．二．填空题（共12小题）17．如图，圆锥的高PO=，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为．【解答】解：设点O到平面PAC的距离为d，设直线OC和平面PAC所成角为α，则由等体积法有：V O﹣PAC=V P﹣OAC，即S△PAC •d=•PO•S△OAC，在△AOC中，求得AC=，在△POD中，求得PD=，∴d==，∴sin α==，于是cos α==，故答案为．18．设函数f（x）=，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，若f（a1）+f （a2）+…+f（a10）=a1，则a1=e．【解答】解：若x＞1，则0＜＜1；则f（x）=xln x，=﹣xln x，故f（x）+f（）=0对任意x＞0成立．又∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，所以a6=1．故a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=a6=1；故f（a2）+f（a3）+…+f（a10）=f（a2）+f（a10）+f（a3）+f（a9）+…+f（a5）+f（a7）+f（a6）=0，所以f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=f（a1）=a1，若a1＞1，则a1ln a1=a1，则a1=e；若0＜a1＜1，则＜0，无解；故答案为：e．19．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC 的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，cos∠BAC==﹣，∴sin∠BAC=，∴△ABC外接圆的直径为2r==，设球O的半径为R，∴R==∴球O的表面积为，故答案为．20．如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为10kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F1|=|F2|=|F3|．要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于xkg，则x的最小值为．【解答】解：由题意可得：3xsin60°≥10，解得x≥（kg），故答案为：．21．在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为2+2．【解答】解：数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），∴数列{a n}为等比数列，首项为a1，公比为．∴，．S n=，S2n=，T n====≤=2（），当且仅当n=2时取等号．∴T n的最大值为2+2．故答案为：2+2．22．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，若AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC 的表面积为16．【解答】解：∵∠BSC=∠ASC=45°，且SC为直径，∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形，∴BO⊥SC，AO⊥SC；又AO∩BO=O，∴SC⊥面ABO；△SAB中，SA=AB=，AB=2，∴S△SAB=×2×=3，同理S△ABC=3，∵S△BSC =S△ASC=×2×=5，∴棱锥S﹣ABC的表面积为16．故答案为：16．23．已知数列{a n}的通项为a n=，若{a n}的最小值为，则实数a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：由题可知当n≤5时结合函数y=x+（x＞0），可知a n≥a4=4+=，又因为{a n}的最小值为，所以当n＞5时y=alnn﹣≥，即alnn≥8，又因为lnn＞ln5＞0，所以当n＞5时a≥恒成立，所以，故答案为：[，+∞）．24．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为72．【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=﹣2=﹣2×（+）=﹣（+），由OA⊥OB，AB=6，则=0，+==36．则•=（﹣）•（﹣）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+2×36=72．故答案为：72．25．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，当k∈（1，e一1]时，k取中间值，交点在f（x）=e x上两点，定点（0，1），另一点在第一象限A点下方．当k∈（，1）时，任取k为中间值，则交点过C，另一点在笫二象限，点c的左下方．当k∈（0，]，交点有3点以上，与f（x）、f（x一1）都有交点．当k∈（一∞，e一1）时，与f（x）只交于点C．综上要使两个函数有两个交点，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：（，1）∪（1，e﹣1]；26．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球体积．【解答】解：由三视图知几何体是三棱锥A﹣BCD，是棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，AB=AD=BD=4，AC=BC==2，CD==6，设三棱锥C﹣ABD的外接球球心是O，设半径是R，取AB的中点E，连接CE、DE，如图所示：设OA=OB=OC=OD=R，△ABD是等边三角形，∴O在底面△ABD的射影是△ABD中心F，∵DE⊥BE，BE=2，∴DE==2，同理可得，CE=2，则满足CE2+DE2=CD2，即CE⊥DE；在Rt△CED中，设OF=x，∵F是等边△ABD的中心，∴DF=DE=，EF=DE=，则，∴，解得x=，代入其中一个方程得，R==，∴该四面体的外接球体积是=．故答案为：．27．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a n}满足a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），若a2015=4a，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015的值为7254．【解答】解：当0＜a＜2时，∵a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），∴a3=•2max{1，2}=＞2，a4=2max{，2}=，a5=•2max{，2}=4，a6=•2max{4，2}=a，a7=•2max{a，2}=1，a8=•2max{1，2}=，…∴数列{a n}是以5为周期的周期数列，∵2015=403×5，∴a2015=a5=4=4a，解得a=1，∴S2015=403（a+1+）=403（1+1+4+8+4）=7254；当a≥2时，∵a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），∴a3=•2max{1，2}=＜2，a4=2max{，2}=4，a5=•2max{4，2}=2a≥4，a6=•2max{2a，2}=a＞2，a7=•2max{a，2}=1，a8=•2max{1，2}=，…∴数列{a n}是以5为周期的周期数列，∵2015=403×5，∴a2015=a5=2a=4a，解得a=0，不合题意．故答案为：7254．28．已知AD、BE分别是△ABC的中线，若AD=BE=1，且•=，则与的夹角为．【解答】解：∵AD、BE分别是△ABC的中线，∴，又，∴，∴=，=．∴且•=（）•（）=﹣﹣=，∵，∴．∴cos＜＞==﹣．∴与的夹角为．故答案为：．三．解答题（共2小题）29．一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个．（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，这2个球为异色球”，则P（A）=1﹣=；（5分）注：也可直接求概率P（A）==；（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为1，2，3；计算P（ξ=3）==，P（ξ=2）==，P（ξ=1）==，则随机变量ξ的分布列为ξ123P于是数学期望为Eξ=1×+2×+3×=．（12分）30．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（℃）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对（x，y）叫作一组）数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅲ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：．【解答】解：（1）设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件A，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的．其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种．所以P（A）==．（2）由数据求得=11，=24．由公式求得=，再由=﹣求得：=﹣，所以y关于x的线性回归方程为：=x﹣．（3）当x=10时，y=，|﹣22|=＜2；当x=6时，y=，|﹣12|=＜2；所以，该小组所得线性回归方程是理想的．。

数学题目及答案

数学题目及答案本文档包含一些数学题目及它们的答案，供您参考和研究。

题目一题目：求解方程：2x + 5 = 15解答：通过移项和合并同类项，我们可以求得方程的解。

首先，将5从等式的左边移动到右边，得到2x = 15 - 5，即2x = 10。

然后，通过除以2，我们可以解得x = 10 ÷ 2，即x = 5。

所以，方程的解为x = 5。

题目二题目：计算三角形的面积，已知底边长度为8，高为6。

解答：三角形的面积可以通过公式A = 0.5 * 底边* 高来计算。

将已知的值代入公式，我们可以得出结果。

所以，A = 0.5 * 8 * 6 = 24。

所以，三角形的面积为24。

题目三题目：计算圆的周长，已知半径为3。

解答：圆的周长可以通过公式C = 2 * π * 半径来计算，其中π近似为3.14。

将已知的值代入公式，我们可以得出结果。

所以，C= 2 * 3.14 * 3 ≈ 18.84。

所以，圆的周长约为18.84。

题目四题目：求解方程组：2x + y = 103x - 2y = 5解答：通过联立方程组的方法，我们可以求解方程组的解。

首先，我们可以使用第一个方程将y表示为x的函数：y = 10 - 2x。

然后，将这个表达式代入第二个方程中，得到3x - 2(10 - 2x) = 5。

通过整理和化简，我们可以解得x = 3。

然后，将这个解代入第一个方程中，可以求得y = 4。

所以，方程组的解为x = 3，y = 4。

以上是本文档中的一些数学题目及它们的答案。

希望对您的学习有所帮助！。

五下数学因数与倍数小题训练200题带答案

41、根据和差的奇偶性填空奇数+奇数=（偶数）奇数-奇数=（偶数）奇数+偶数=（奇数）奇数-偶数=（奇数）偶数+偶数=（偶数）偶数-偶数=（偶数）
42、根据积的奇偶性填空奇数×奇数=（奇数）奇数×偶数=（偶数）偶数×偶数=（偶数）
43、两个数的和是18，这两个数可能都是（奇）数，也可能都是（偶）数。
29、根据下面的信息推算出2013年全国参加高考的大约是（ 9120000 ）人。（1）这个数是一个七位数，同时又是2、5、3的倍数。（2）最高位上的数是10以内的最大奇数。（3）十万位上的数既不是质数也不是合数。（4）万位上的数是最小的质数。（5）千位、百位、十位上的数和个位上的数相同。
18、如果m(m＞4)是偶数，那么（m+3）是（奇）数，(m-4) 是（偶）数
19、从0，2，5，7这四个数字中任意选择三个数字组成一个三位数，能组成（ 8 ）个同时可以是2，3，5的倍数的数，其中最大是（ 750 ）
20、李芳一家三口去看电影，发现他们三人的座位号是连续的三个奇数，并且和是45，那么李芳一家的座位号分别是（ 13 ）（ 15 ）（ 17 ）。
34、三个连续奇数的和是87,这三个连续的奇数分别是（ 27 ）、（ 29 ）、（ 31 ）。
35、下面是一道有余数的整数除法算式:A÷B=C…R,若B是最小的合数,C是最小的质数,则A最大是( 11 ),最小是( 9 )
36、写出两个都是质数的连续自然数。( 2 )( 3 )
37、写出两个既是奇数,又是合数的数。( 9 )( 21 )
一、填空题。 1、在30÷5＝6中，30是（ 5 ）和（ 6 ）的倍数，5和6是30 的（因数）。

数学小题专项训练答案

数学小题专项训练答案1. 题目：求下列等式的解：\[ 3x + 2 = 7x - 3 \]答案：首先将等式两边的x项合并，得到：\[ 3x - 7x = -3 - 2 \]\[ -4x = -5 \]然后两边同时除以-4，得到：\[ x = \frac{-5}{-4} = 1.25 \]2. 题目：计算下列表达式的值：\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{8} \]答案：首先找到分母的最小公倍数，即24，然后将各分数转换为相同的分母：\[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} =\frac{16}{24} \]\[ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} =\frac{6}{24} \]\[ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} =\frac{9}{24} \]然后进行加减运算：\[ \frac{16}{24} + \frac{6}{24} - \frac{9}{24} = \frac{16 + 6 - 9}{24} = \frac{13}{24} \]3. 题目：解下列不等式：\[ 2x - 5 < 3x + 1 \]答案：将不等式两边的x项移项，得到：\[ 2x - 3x < 1 + 5 \]\[ -x < 6 \]将不等式两边同时乘以-1（注意，乘以负数时不等号方向要改变）： \[ x > -6 \]4. 题目：求下列二次方程的根：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]答案：使用因式分解法，找到两个数，它们的乘积为6，和为-5。

这两个数是-2和-3。

因此，我们可以将二次方程分解为：\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]根据零乘律，我们得到两个根：\[ x_1 = 2, x_2 = 3 \]5. 题目：计算下列几何图形的面积：\[ \text{矩形}，长 = 4 \text{ 米}, 宽 = 2 \text{ 米} \]答案：矩形的面积计算公式为长乘以宽：\[ \text{面积} = 长 \times 宽 = 4 \times 2 = 8 \text{ 平方米} \]6. 题目：找出下列数列的第10项：\[ 1, 3, 5, 7, \ldots \]答案：这是一个等差数列，首项为1，公差为2。

黄金30题系列七年级数学小题易丢分

2017-2018学年度上学期期末考试备考黄金30题系列小题易丢分（人教版七年级上册）（选择15道填空15道共30道）班级：________ 姓名：________一、单选题1．方程34[14（x+1）+4]=323+23x变形第一步较好的方法是（）A. 去分母B. 去括号C. 移项D. 合并同类项【答案】A【解析】试题解析：根据题意可得：先去分母比较简单，因为去分母后，去括号、移项时系数都变为整数,计算变得比较简单．故选A．2．已知：点A，B，C在同一条直线上，点M、N分别是AB、AC的中点，如果AB=10cm，AC=8cm，那么线段MN的长度为（）A. 6cmB. 9cmC. 3cm或6cmD. 1cm或9cm【答案】D【解析】试题分析：有两种情况：①点C在AB上，②点C在AB的延长线上，这两种情况根据线段的中点的性质，可得BM、BN的长，再利用线段的和、差即可得出答案．解：（1）点C在线段AB上，如：点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，MB=12AB=5，BN=12CB=4，MN=BM-BN=5-4=1cm；（2）点C在线段AB的延长线上，如：点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，MB=12AB=5，BN=12CB=4，MN=MB+BN=5+4=9cm，故选：D．点睛：本题考查了两点间的距离. 解题的关键在于要利用分类讨论思想结合线段中点的性质、线段的和差进行解答．3．按某种标准把多项式进行分类时，3x3﹣4和a2b+ab2+1属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类（）A. abc﹣1 B. x2﹣2 C. 3x2+2xy4 D. m2+2mn+n2【答案】A【解析】从多项式的次数考虑求解．解：3x3﹣4和a2b+ab2+1属于同一类，都是3次多项式，A、abc﹣1是3次多项式，故本选项正确；B、x2﹣2是2次多项式，故本选项错误；C、3x2+2xy4是5次多项式，故本选项错误；D、m2+2mn+n2是2次多项式，故本选项错误．故选A．4．如图，下列说法不正确的是（）A. OC的方向是南偏东30°B. OA的方向是北偏东45°C. OB的方向是西偏北30°D.∠AOB的度数是75°【答案】D【解析】解：A．OC的方向是南偏东30°，正确；B．OA的方向是北偏东45°，正确；C．OB的方向是西偏北30°，正确；D．∠AOB的度数是180°-75°=105°，错误．故选D．5．有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b、﹣a、|b|的大小关系正确的是（）A. |b|＞a＞﹣a＞bB. |b|＞b＞a＞﹣aC. a＞|b|＞b＞﹣aD. a＞|b|＞﹣a＞b【答案】A【解析】根据题意b是负数，|b|=-b，在数轴上标出-a和-b大致位置，根据数轴上右边的数比左边的数大，得-b>a>-a>b，即|b |＞a ＞﹣a ＞b ．故选A ．点睛：有理数比较大小时可以利用数轴进行比较，规则是数轴上左边的数小于右边的数.6．若方程()22120m x mx x ---+=是关于x 的一元一次方程，则代数式|m ﹣1|的值为（）A. 0B. 2C. 0或2D. ﹣2【答案】A【解析】根据一元一次方程的定义，得m 2-1=0，且-m-1≠0，即m 2=1，且m≠-1，得m=1，则|m ﹣1|=|1﹣1|=0. 故选A.点睛：本题利用一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等号两边都是整式的方程.7．射线OC 在∠AOB 的内部，下列给出的条件中不能得出OC 是∠AOB 的平分线的是（） A. ∠AOC=∠BOC B.∠AOC+∠BOC=∠AOB C. ∠AOB=2∠AOCD. ∠BOC=12∠AOB 【答案】B【解析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知： A.正确； B.不一定正确； C.正确； D.正确；故选：B.8．小强的年龄比妈妈小33岁，今年妈妈的年龄正好是小强的4倍，小强今年的年龄是 A. 10岁B. 11岁C. 12岁D. 13岁【答案】B【解析】解：设小强的年龄为x 岁，则妈妈的年龄为4 x 岁，由题意得：4 x - x =33，解得：x =11．故选B ． 9．一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1=12，a n =111n a --（n 为不小于2的整数），则a 2015=（） A.12B. 2C. ﹣1D. ﹣2【答案】B【解析】试题解析：因为111n n a a -=- ，所以22a = ， 31a =- ， 412a = ，……， 20152a = ，故本题应选B.10．如图，下列一束束“鲜花”都是由一定数量形状相同且边长为1的菱形按照一定规律组成，其中第①个图形含边长为1的菱形3个，第②个图形含边长为1的菱形6个，第③个图形含边长为1的菱形10个，... ...，按此规律，则第⑦个图形中含边长为1的菱形的个数为（）A. 36B. 38C. 34D. 28【答案】A【解析】试题解析：∵第①个图形含边长为1的菱形1+2=3个，第②个图形含边长为1的菱形1+2+3=6个，第③个图形含边长为1的菱形1+2+3+4=10个， …，∴第n 个图形中含边长为1的菱形的个数为1+2+3+4+…+n+（n+1）=（n+1）（n+2）， ∴第⑦个图形中含边长为1的菱形的个数为1+2+3+4+5+6+7+8=36．故选A ．考点：规律型：图形的变化类．11．如图，若数轴上A ，B 两点所对应的有理数分别为a ，b ，则化简()a b b a -+-的结果为( )A. 0B. 2b -C. 22a b -+D. 22a b -【答案】C【解析】根据数轴上点的位置得：a ＜0＜b ， ∴a-b ＜0，则原式=b-a+b-a=-2a+2b ，故选C ．12．如图①所示，此正方体的展开图是图②中的( )A. AB. BC. CD. D【答案】A【解析】根据正方体的展开图可得：图①的展开图是图②中的A 选项. 故选：A点睛：本题主要考查正方体的展开图的问题，通过结合立体图形和平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形. 13．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需________根火柴( )A. 156B. 157C. 158D. 159【答案】B【解析】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n 个图案需n （n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案．解：根据题意可知：第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3， …，第n 个图案需n （n+3）+3根火柴，则第11个图案需：11×（11+3）+3=157（根）；故选B ．“点睛”此题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题. 14．已知下列一组数：1，34， 59， 716， 925，…，则第n 个数为( ) A. 21nn -B. 224n n -C.221n n - D.221n n + 【答案】C【解析】第一个数为22111⨯-，第二个数为22212⨯-，第三个数为22313⨯-，第四个数为22414⨯-， …所以第n 个数为22n 1n-. 故选：C.点睛：此题是一道找规律的题目，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.15．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72 016的末位数字是( ) A. 9B. 7C. 6D. 0【答案】D【解析】∵7的n 次方的个位数字是7，9，3，1四个一循环，7+9+3+1=20， ∴连续四个数的和的末位数字是0，又∵2016÷4=504，∴71＋72＋73＋…＋72 016的末位数字是0，故选D.【点睛】本题考查有理数的乘方，有理数的混合运算，数字的变化规律等，解决问题的关键要通过观察发现7的n 次方的个位数字的变化规律. 二、填空题16．6.35°=____°____’. 【答案】6；21【解析】因为0.35o =0.35 =21′, 所以6.35o =6o 21′. 故答案是：6,21. 17．已知3x =， 15y =，且0xy <，则x y的值等于__________ 【答案】-15【解析】已知3x =， 15y =，可得x=±3，y=±15，又因0xy <，所以x=3，y=-15或x=-3，y=15；即可得xy的值等于-15. 18．若24513m n ab a b +--与的和仍是一个单项式，则m + n =_____________________【答案】8【解析】由题意得，两者可以合并说明两式为同类项，可得m+2=5，n −1=4，解得：m=3，n=5，m+n=8. 故答案为：8.点睛：本题考查了同类项的知识，两者可以合并说明两式为同类项，根据同类项的字母相同及相同字母的指数相同可得出m 和n 的值．19．若，则 ____________ 【答案】-4【解析】由3a 2−a −2=0，得3a 2−a=2， ∴−6a 2+2a=−2(3a 2−a)=−2×2=−4，故答案为：-4.点睛：此题考查代数式求值，观察已知等式与所求的代数式，本题可采用整体代入的方法． 20．若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,∣m ∣=2， 4a b m++m 2－3cd =___________ 【答案】1【解析】由题意得：a+b=0，cd=1，m 2=4，原式=0+4−3=1. 故答案为：1.21．∠α的补角比∠α的余角的3倍大10°，则∠α=__________．【答案】50°【解析】根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．解：设∠α=x ，由题意得，180°﹣x=3（90°﹣x ）+10°，解得，x=50°，故答案为：50°．“点睛”本题考查的是余角和补角的概念，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补是解题的关键． 22．小明做作业时，不小心将方程24123x x--=+●中的一个常数污染了看不清楚，小芳告诉他该方程的解是负数，并且这个常数是负整数，该方程的解是_______．【答案】-6 5 .【解析】试题解析：设这个常数为m，则24123x x--=+m整理得：3（x-2）-6=8x+6m解得x=-6125m+，因为解是负数，m是负整数，所以6m+12≥0，m≥-2，m的值只有-2和-1，代入验证得出m=-1．故方程的解为：x=-6 5 .23．不讲究说话艺术常引起误会。

一年级数学趣味小题

一年级数学趣味小题
在一年级数学教学中，趣味小题是非常重要的，可以帮助学生在轻松愉快的氛
围中学习数学知识，提高他们的学习兴趣和动手能力。

下面我将给大家介绍一些一年级数学趣味小题，希望能够帮助学生更好地学习数学。

1. 比一比：给学生准备一些不同大小的物品，让他们两两比较，找出大小的差异，如大如小、长如短等。

通过比较，让学生感受到大小的概念，培养他们的观察力和比较能力。

2. 数一数：在教室或操场上布置一些物品，让学生数一数，如数操场上的树木、数教室里的椅子等。

通过数物品，帮助学生掌握基本的数数技巧，培养他们的数学思维能力。

3. 排一排：给学生一些数字卡片，让他们按照大小顺序排一排，或者按照颜色、形状等特征排一排。

通过排列，帮助学生理解顺序的概念，培养他们的逻辑思维能力。

4. 画一画：让学生根据一些简单的数学题目画图，如画出比较长的线段、画出
多少个小圆等。

通过画图，帮助学生将抽象的数学概念转化为具体的形象，培养他们的创造力和想象力。

5. 算一算：给学生一些简单的加减法题目，让他们算一算，如2+3=、4-1=等。

通过算术题目，帮助学生掌握基本的加减法运算技巧，培养他们的计算能力和思维能力。

通过以上趣味小题的设计，可以让学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他
们的学习兴趣和动手能力。

希望学生们能够通过这些趣味小题，更好地掌握一年级数学知识，为以后的学习打下坚实的基础。

愿学生们在数学学习的道路上越走越远，越走越好！。

小学小考题数学的试卷

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列数中，哪个数是质数？A. 15B. 17C. 18D. 202. 下列图形中，哪个图形的周长最小？A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 梯形3. 小华有12个苹果，小明有8个苹果，他们两人共有多少个苹果？A. 20个B. 22个C. 24个D. 26个4. 一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，它的面积是多少平方厘米？A. 20平方厘米B. 24平方厘米C. 28平方厘米D. 32平方厘米5. 下列分数中，哪个分数的值最大？A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/56. 小明骑自行车从家到学校用了15分钟，骑电动车用了10分钟，那么骑电动车比骑自行车快多少？A. 50%B. 40%C. 30%D. 20%7. 下列算式中，哪个算式的结果是12？A. 6 + 6 = 12B. 6 - 6 = 12C. 6 × 6 = 12D. 6 ÷ 6 = 128. 小红有10个橘子，小明给她一半，小红还剩多少个橘子？A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个9. 一个班级有男生25人，女生20人，这个班级一共有多少人？A. 45人B. 50人C. 55人D. 60人10. 下列哪个数是两位数？A. 10B. 100C. 1000D. 10000二、填空题（每题2分，共20分）11. 7 × 8 = _______（答案：_______）12. 36 ÷ 6 = _______（答案：_______）13. 5 + 3 = _______（答案：_______）14. 9 - 4 = _______（答案：_______）15. 1/4 + 1/2 = _______（答案：_______）16. 2/3 - 1/6 = _______（答案：_______）17. 12 × 5 = _______（答案：_______）18. 48 ÷ 4 = _______（答案：_______）19. 8 + 7 = _______（答案：_______）20. 15 - 9 = _______（答案：_______）三、解答题（每题10分，共30分）21. 小明有5个苹果，小华有3个苹果，他们一共有多少个苹果？22. 一个正方形的边长是8厘米，求这个正方形的周长和面积。

数学题小红旗小黄旗

数学题小红旗小黄旗
1、学校圆形跑道长600米，如果每隔4米插一面小红旗，一共可以插多少面小红旗？如果每两面小红旗之间再插一面小黄旗，可以插多少面小黄旗？
试题答案
分析：学校圆形跑道长600米，这是一个封闭图形，插的小红旗数等于间隔数，用周长600米除以间隔距离4米即可；如果每两面小红旗之间再插一面小黄旗，因为间隔数等于插的小红旗数，所以每两面小红旗之间再插一面小黄旗，它们的旗数相等。

解答：解：
600÷4=150（面）。

答：一共可以插150面小红旗；可以插150面小黄旗。

点评：在封闭图形中植树，植树棵数等于间隔数，用封闭图形的周长除以间隔距离即可。

2、同学们剪小旗，小黄旗有8面，小红旗的面数是小黄旗的3倍。

（）？
试题答案
小红旗有多少面？8×3=24
3、同学们做小旗，小黄旗做了9面，小红旗的数量是小黄旗的5倍。

试题答案
答案：1、9×5＝45;2、45－9＝36。

小学数学-4年级上学期-解决问题小练习

解决问题小练习
1.学校给全校36个班买一套《十万个为什么》，每套125元，优惠活动买五套送一套，要花多少元钱？
2.某公园有一个长方形广场，长108米，宽85米，整个公园相当于80个长方形广场那么大，这个公园占地面积是多少平方米？大约是多少平方米？
3.一列火车8：00从武汉出发，以每小时126千米的速度沿京广铁路开往广州，计划20：00到达广州。

由于特大暴雨的影响，这列火车改走京九铁路，22：00到达广州。

（1）从武汉到达广州走京广铁路有多远？
（2）从武汉到广州的京九铁路比京广铁路长多少米？
4.一辆汽车平均每小时行驶97千米，第一天上午8：30从甲底出发，第二天上午11：30到达乙地，甲.乙两地大约相距多少千米？
5.潍坊是世界风筝之都，一个风筝厂做了840只蝴蝶风筝和686只老鹰风筝。

（1）如果把蝴蝶风筝装在30个箱子里，那么平均每箱装多少只风筝？
（2）如果每箱装32只老鹰风筝，那么全部装完需要多少个箱子？
6.小军计划折760颗幸运星，他每天折40个，已经折了2天了，照这样计算，他还需要多少天才能完成计划？
7.200千克大豆可以榨油30千克，照这样计，800千克大豆可以榨油多少千克？如果要榨油90千克，那么需要多少千克大豆？
8.一个修路队修公路，30个小时修了960米，照这样计算，在修11个小时又修了多少米？
9.20个少先队员摘了160千克苹果，如果每筐装20千克，那么还缺少两个筐，现在有多少个筐？
10.商场共有大米320千克，每个袋子装38千克，最多可以装满多少袋？
11.把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟，如果把这根木头锯成10段，那么需要几分钟？。

数学小问题

【1】假设有一个池塘，里面有无穷多的水。

现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。

问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。

【2】周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。

一天，周雯来到化验室做作业。

做完后想出去玩。

"等等，妈妈还要考你一个题目，"她接着说，"你看这6只做化验用的玻璃杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。

你能只移动1只玻璃杯，就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?" 爱动脑筋的周雯，是学校里有名的"小机灵"，她只想了一会儿就做到了。

请你想想看，"小机灵"是怎样做的?【3】三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。

小李的命中率是30％，小黄比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100％。

由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。

然后这样循环，直到他们只剩下一个人。

那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？【4】一间囚房里关押着两个犯人。

每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。

起初，这两个人经常会发生争执，因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。

后来他们找到了一个两全其美的办法：一个人分汤，让另一个人先选。

于是争端就这么解决了。

可是，现在这间囚房里又加进来一个新犯人，现在是三个人来分汤。

必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。

该怎么办呢？按：心理问题，不是逻辑问题【5】在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。

这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。

请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖【6】一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺.你怎样测出球的半径？方法很多，看看谁的比较巧妙【7】五个大小相同的一元人民币硬币。

量的换算问题小学生数学练习题

量的换算问题小学生数学练习题一、长度的换算1. 把10厘米转换成毫米。

答：10厘米 = 100毫米。

2. 把25毫米转换成厘米。

答：25毫米 = 2.5厘米。

3. 把65厘米转换成米。

答：65厘米 = 0.65米。

4. 把4米转换成厘米。

答：4米 = 400厘米。

5. 把80厘米转换成毫米。

答：80厘米 = 800毫米。

二、容量的换算1. 把300毫升转换成升。

答：300毫升 = 0.3升。

2. 把2升转换成毫升。

答：2升 = 2000毫升。

3. 把500毫升转换成升。

答：500毫升 = 0.5升。

4. 把1.5升转换成毫升。

答：1.5升 = 1500毫升。

5. 把700毫升转换成升。

答：700毫升 = 0.7升。

三、质量的换算1. 把250克转换成千克。

答：250克 = 0.25千克。

2. 把3千克转换成克。

答：3千克 = 3000克。

3. 把850克转换成千克。

答：850克 = 0.85千克。

4. 把1.2千克转换成克。

答：1.2千克 = 1200克。

5. 把500克转换成千克。

答：500克 = 0.5千克。

四、时间的换算1. 把120秒转换成分钟。

答：120秒 = 2分钟。

2. 把5分钟转换成秒。

答：5分钟 = 300秒。

3. 把3小时转换成分钟。

答：3小时 = 180分钟。

4. 把90分钟转换成小时。

答：90分钟 = 1.5小时。

5. 把240秒转换成分钟。

答：240秒 = 4分钟。

在小学数学学习中，学习量的换算是非常重要的。

通过练习题的形式，能够帮助我们巩固和掌握长度、容量、质量和时间的换算方法。

希望大家能够认真完成以上练习题，并积极参与课堂讨论，提高自己的换算能力。