5.3数学归纳法证明不等式1 课件(人教A版选修4-5)

当n k 1时，不等式成立。 由（1）（2）可知，对一切n N，且n 2，不等式都成立。
3. 用 数学 归 纳法 证明 : An 5n 2 3n1 1(n N * )
能被 8 整除.
证:(1)当 n=1 时,A1 =5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当 n=k 时,Ak 能被 8 整除,即 Ak 5k 2 3k 1 1 是 8 的倍数.那么: Ak 1 5k 1 2 3k 1
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 ,, ak 的乘积 a1a2 ak 1 ,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
若 k 1 个正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立. 若这 k 1 个 正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 不全 相等,则 其中
必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
证明:⑴当 n 1 时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
⑵设当 n k(k ≥1) 时,不等式成立,即有 sin k ≤ k sin . 那么,当 n k 1 时, sin(k 1) =
答案接上见课本(或见板书)
1 1 1 1 1.求证: 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2 3 n 3. 用 数学 归纳 法证 明 : An 5n 2 3n1 1(n N * ) 1 1 n
k k 1 k 1 k 1
5(5 2 3 1) 4(3 1) 5 Ak 4(3 1) 因为 Ak 是 8 的倍数,3k-1 +1 是偶数即 4(3k-1 +1)也是 8 的倍数,所以 Ak+1 也是 8 的倍数 ,即当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数 n, An 能被 8 整除.
当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
(2)假设n=k( k N , k ≥ 2)时命题成立,即
1 1 1 1 1 2 2 2 2 . 2 3 k k
则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 2 . 2 k (k 1) k k (k 1) k k k 1 k 1 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n N , n ≥ 2都成立.
证明贝努利不等式你有第二种方法吗？
答案
例4、已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．
求证：(1+x)n>1+nx.
证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立 （2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2

1
1 3

1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2时，左式 1 1 17 2 右式 2 2 当n 2时，不等式成立
思考 1：证明贝努利不等式 如果 x 是实数，且 x 1 ， x 0 ， n 为大于 n 1 的自然数，那么有 (1 x) 1 nx .
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立. 当 是实数,且 或 0 时,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
课外训练:
能被 8 整除.
作业:课本 P 6 题 54 明天开始复习不等式(使用发的资料).
答案
1.求证:
1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 2 ,右边= 2 2 2 ,由于 2 4 5 3 ,故不等式成立. 4 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
（2）假设当n k( 2) 时，不等式成立，即 1 则当n k 1时， 左式 1
1 2 1

1 3
1
1 k
k 1 k 1
1 2

1 3

k
k 1
k

k (k 1) 1 k 1

kk 1 k 1

k 1 k 1
k 1 右式
数学归纳法证明不等式
复习引入
练习答案
思考1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考2
作业:课本 P 6 题 54
数学归纳法证明不等式
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可 以采用下面方法来证明其正确性： 1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的 n的值，如n0＝1) (归纳奠基） ； 2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也 成立(归纳递推）. 用上假设，递推才真 由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！ 注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
思考 2 证明:如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 ,, an 的 乘积 a1a2 an 1 ,那么它们的和 a1 a2 an ≥ n .
注：这一命题与均值不等式是等价的.
你能根据上面不等式推出均值不等式吗？
1答案
2答案
思考 2 证明:如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 ,, an 的 乘积 a1a2 an 1 ,那么它们的和 a1 a2 an ≥ n .