安徽省滁州市六校2017-2018学年高一上学期第一次联考数学试题 Word版含答案

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(最新精选)安徽省2017-2018学年高一1月联考数学试题

2017-2018 学年宣城二中、广德中学、郎溪中学三校高一年级第一学期联考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以，故选项A正确。

选项B,C,D不正确。

选A。

2.下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：和均是奇函数，是偶函数，但在上是减函数；二次函数是偶函数，且在上是增函数，∴正确选项D．考点：（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，所以。

选C。

4.函数的零点所在区间为：（）A. （1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【答案】C【解析】根据条件得。

所以，因此函数的零点所在的区间为。

选C。

5.三个数之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,，故选B.6.已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三角函数的定义得，解得。

又点在第二象限内，所以。

选D。

7.已知, 那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】上下同时除以,得到：故答案选点睛：本题可以采用上下同时除以求得关于的等式，继而求出结果，还可以直接去分母，化出关于和的等式，也可以求出结果。

8.已知向量，．若共线,则的值是（）A. -1B. -2C. 1D. 2【答案】B【解析】∵，，且共线，∴，解得。

选B。

9.函数的图象（）A. 关于原点对称B. 关于点（－，0）对称C. 关于y轴对称D. 关于直线x=对称【答案】B【解析】由于函数无奇偶性，故可排除选项A,C；选项B中，当时，，所以点是函数图象的对称中心，故B正确。

选项D中，当时，,所以直线不是函数图象的对称轴，故D不正确。

安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2017-2018学年高一上学期入学考试数学试题

安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.中国海军第一艘国产航母001A 型航母在2017年4月26日下水，该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米，将21000用科学记数法表示应为（）A ．50.2110⨯B ．42.110⨯C ．32110⨯D ．52.110⨯2.下列整式计算的结果为6a 是（）A ．33a a +B ．122a a +C ．23()aD ．24()a 3.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A ．B ．C ．D ．4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5是指（）A ．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B ．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C.抛掷2n 次硬币，恰好有n 次“正面朝上”D ．抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.55.分式11x --可变形为（） A ．11x -- B ．11x + C. 11x -+ D ．11x -6.不等式12x +≥的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C.D ． 7.已知实数755+的小数部分为a ，575-的小数部分为b ，则57a b +的值为（） A ． 4 B ．5 C. 6 D ．78.在抛物线223y ax ax a =--上有1(0.5,)A y -、2(2,)B y 、3(3,)C y 三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则1y 、2y 和3y 的大小关系为（）A ．312y y y <<B ．321y y y << C. 213y y y << D ．123y y y <<9.如图，在矩形ABCD 中，AB a =，AD b =，分别延长AB 至点E ，AD 至F ，使得()AF AE c b a c ==<<，连接EF ，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则AMN ∆的面积为（）A ．1()2c a b c +-B ．1()2c b c a +- C. 1()2c a c b +- D ．1()2a b c a +- 10.挑棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走，如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（）A ．②号棒B ．⑦号棒 C.⑩号棒 D ．⑧号棒二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.分解因式：224ax ay -= ．12.已知集合{||2|3}A x R x =∈+<，集合{|()(2)0}B x R x m x =∈--<，且(1,)AB n =-，则m = ，n = ．13.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE 的长度为．14.如图，,AD AE 分别是ABC ∆的中线和交平分线，2AC =，5AB =，过点C 作CF AE ⊥于F ，连接DF ，有下列结论：①若将ACF ∆沿直线AE 折叠，则点C 恰好落在AB 上；②327AD <<；③若30B ∠=，15FCE ∠=，则55ACB ∠=；④若ABC ∆的面积为S ，则DFC ∆的面积为320S ．其中正确的结论是．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题（本大题共4小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.计算：01112cos 45(1)()42π--++. 16.已知函数2()426f x x ax a =+++.（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；（2）若函数()f x 的函数值均为非负数，求()2|3|g a a a =-+的值域.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -.（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转90后得到22A BC ∆，请在图中画出22A BC ∆，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.18. 如图，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45，从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30，已知树高6EF =米，求塔CD 的高度.（结果保留根号）四、（本大题共2小题，每题6分，满分12分）19.在反比例函数6(0)y x x =>的函数图像上有点1231,,,,,n n P P P P P +，过点1231,,,,,n n P P P P P +分别作x 轴，y 轴的垂线段，构成若干个矩形，将图形中阴影部分面积从左至右依次记为123,,,,n S S S S .（1）若点1234,,,P P P P 的横坐标依次为1,2,3,4，则1S = ，2S = ，3S = ；（2）若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为2,4,6，…，则9S = ；若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为,2,3,a a a ，则n S = .20.如图，圆O 与直线l 相离，OA l ⊥于点A ，OA 交圆O 于点C ，过点A 作圆O 的切线AB ，切点为B ，连接BC 交直线l 于点D .（1）求证：AB AD =；（2）若tan 2OCB ∠=，圆O 的半径为3，求BD 的长.五、（本大题共1小题，每题10分，满分10分）21.已知抛物线21222y x mx m =+--与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C . （1）当1m =时，求点A 和点B 的坐标；（2）抛物线上有一点(1,)D n -，若ACD ∆的面积为5，求m 的值；（3）P 为抛物线上,A B 之间一点（不包含,A B ），PM x ⊥轴于点M ，求AM BM PM•的值. 六、（本大题共1小题，每题12分，满分12分）22.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知8AB =.问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以,AP BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE .（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是请求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接,,AD DF AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在APK ∆、ADK ∆、DFK ∆中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点,P Q 在正方形ABCD 的边上运动，且8PQ =，若点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长.（4）如图3，在“问题思考”中，若点,M N 是线段AB 上的两点，且1AM BM ==，点,G H 分别是边,CD EF 的中点，请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM OB +的最小值.安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C二、填空题11. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 三、计算15.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略（2）π413 18. 米)326(+ 四、 19.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 20.（1）证明：连接OB ，∵AB 是圆O 的切线，OA l ⊥，∴90OBA OAD ∠=∠=，又OB OC =，∴OBC COB ACD ∠=∠=∠，∴ADB ABD ∠=∠，∴AB AD =（2）∵tan tan 2AD OCB ACD AC ∠=∠==，圆O 的半径为3，设AC a =，则2AB AD a ==，在Rt AOB ∆中，222OA AB OB =+，∴222(3)(2)3a a +=+，∴2a =过点A 作AE BD ⊥，则5BD BE ==，∴BD = 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12x 2＋x －4．当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12．又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12p 2＋mp －2m －2．所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2．六、21.（1）不是定值，最小值32（2）存在设AP a =，则8PB BF a ==-，∵//PE BF ， ∴PK AP BF AB =，即88PK a a =-， ∴(8)8a a PK -=， ∴2(8)88a a a DK PD PK a -=-=-= ∴21(8)216APK a a S PK PA ∆-=•=，21(8)216DFK a a S DK EF ∆-=•=， ∴DFK APK S S ∆∆=（3）当点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上，若点P 在点A ，点Q 在点D ，此时PQ 的中点O 即为DA 边的中点，若点Q 在DA 边上，且不在点D ，则点P 在AB 上，且不在点A ，此时，在Rt APQ ∆中，O 为PQ 的中点，所以142AO PQ ==，所以点O 在以A 为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上，PQ 的中点O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示，所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为32464ππ⨯⨯=，（4）点O 所经过的路径的长为3，OM OB +113安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C三、填空题12. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 四、计算 16.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略（2）π413 18. 米)326(+ 四、 22.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 23.（1）略（2）5516 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12 x 2＋x －4．当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；……………………………3分（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．……………………………4分 ∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12．……………………………6分又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，分（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．……………………………10分 PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12 p 2＋mp －2m －2．所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2．……………………………12分六、24.（1）不是定值，最小值32（2）存在DFK APK DFK APK S S a a EF DK S a a PA PK S a a a a PK PD DK a a PK a a PK AB AP BF PK BFPE aBF PB a AP ∆∆∆∆=∴-=⋅=-=⋅=∴=--=-=∴-=∴=-=∴-===16)8(21,16)8(2188)8(8)8(888222，即，则设。

2017-2018学年天一大联考(安徽版)高一期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年天一大联考（安徽版）高一期末考试数学试题一、单选题1．（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．下列选项中,与向量垂直的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可.详解：逐一考查所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；本题选择D选项.点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）A. 81B. 83C. 无中位数D. 84.5【答案】D【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可.详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：，则这些数据的中位数是.本题选择D选项.点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．5．一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查事件之间的关系即可.详解：由题意逐一考查所给的两个事件之间的关系：A.甲和乙既不互斥也不对立；B.甲和丙互斥而不对立；C.乙和丙互斥且对立；D.乙和丁既不互斥也不对立；本题选择B选项.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.6．已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A. 3.4B. 0.3C. 0.6D. 0.15【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．若锐角满足，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由同角三角函数基本关系可知：结合题意可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知满足(其中是常数)，则的形状一定是（）A. 正三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．9．如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可.详解：结合流程图分类讨论：若，则，输出值，若，则，输出值，即输出值为：.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10．函数在区间上的所有零点之和等于（）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数的零点满足：，解得：，取可得函数在区间上的零点为：，则所有零点之和为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．设非零向量夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法则进行化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：不等式等价于：，即，①其中，，将其代入①式整理可得：，由于是非零向量，故：恒成立，将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：，解得：；且：，解得：；综上可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．【答案】0.4【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由质数的定义可知：这十个自然数中的质数有：等4个数，结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 14．数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是__________．【答案】3【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：数据，，…，的平均数为：，方差为：，则平均数和方差之和是.点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②若乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如图所示：则正确表述的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：结合流程图逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①在里程不超过的情况下，，则，即出租车费为8元，该说法正确；②由流程图可知，超出的部分的计费方式为向上取整后每公里元，若乘车，，需支付出租车费为：元，该说法正确.当乘车里程为和时，出租车车费均为元，据此可知说法③④错误.综上可得，正确表述的序号是①②.点睛：本题主要考查流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如图为函数的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________．【答案】【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由三角函数的最大值可知，不妨设，则，由三角函数的性质可知：，则：，则，结合，故.点睛：本题主要考查三角函数图象的对称性，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．已知向量，.(1)若实数满足，求的值；(2)若，求实数的值.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：(1)由题意得，据此求解关于m,n的方程组有所以.(2)由题意可得，，结合向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程可知.详解：(1)由题意得所以解得所以.(2)，，·因为，所以解得.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间内，则为一等品；若长度在或内，则为二等品；否则为不合格产品.现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示.(1)试估计该样本的平均数；(2)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润.【答案】（1）100.68；（2）68万元【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.据此可估计该企业生产这批零件所获得的利润为万元.详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02.平均数估计值是.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件.故该企业生产这批零件预计可获利润万元.点睛：频率分布直方图问题需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 19．某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表：参加人数(1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程；（2）根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.其中，.【答案】（1）；（2）33【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得，，则线性回归方程为.(2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.详解：(1)，，所以关于的回归直线方程是.(2)当时，由回归方程可得，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20．函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得.由最大值可知，结合三角函数的性质可得，则.(2)由题意得，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域为.详解：(1)因为最小正周期为，得，.点为其图象上一个最高点，得，，又因为，所以.所以.(2)由题意得，当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以在区间上的值域为.点睛：本题主要考查三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为.(2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，则这个规则不公平.详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，共36种，其中事件“甲获胜”包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，共13种.根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.（1）若，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，取得最大值.详解：(1)如图所示，设与，分别交于，两点，由已知得，.，，所以.故，所以，当时，.(2)因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值.点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2017-2018学年安徽省高三(上)第一次联考数学试卷(理科)Word版含答案

22017-2018学年安徽省高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．2．（5分）设集合A={x|2x﹣1≥5}，集合，则A∩B等于（）A．（3，7）B．[3，7] C．（3，7] D．[3，7）3．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．24．（5分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．6．（5分）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣37．（5分）已知a=，则展开式中，x3项的系数为（）A．B．C．D．8．（5分）在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3•a n﹣2=64，且前n项和为S n=42，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线对称，则f（x）在以下区间上是单调函数的是（）A．[﹣π，﹣π] B．[﹣π，﹣π] C．[﹣π，π] D．[0，π]10．（5分）如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，P表示估计结果，则输出P的近似值为（）A．B．C．D．11．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③B．②③ C．①③ D．②③④12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，本小题5分，共20分）13．（5分）设向量，，则向量在向量上的投影为．14．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=π（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2（x≥0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．15．（5分）某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间（每种房间仅能入住相应人数）各一间可用，有4个成年男性带2个小男孩来投宿，小孩不宜单住一间（必须有成人陪同）．若三间房都住有人，则不同的安排住宿方法有种．16．（5分）将f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线 C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=+g（x）的最小值为m且m＞2+，则实数a 的取值范围为．三．解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）=cosxcos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC的面积为2，求边长c的值．18．（12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．19．（12分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，．（I）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆C：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．①求椭圆C的方程；②设A、B是椭圆C上两个动点，满足（0＜λ＜4，且λ≠2）求直线AB的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号．注意所做题目的题号必须和所写的题号一致．【选修4-1：几何证明选讲．】22．（10分）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2017-2018学年安徽省高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•青岛二模）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解答】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•鹰潭一模）设集合A={x|2x﹣1≥5}，集合，则A∩B等于（）A．（3，7）B．[3，7] C．（3，7] D．[3，7）【分析】求出集合A，B的等价条件，利用交集定义进行求解即可．【解答】解：A={x|2x﹣1≥5}={x|x≥3}，集合={x|7﹣x＞0}={x|x＜7}，则A∩B={x|3≤x＜7}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3．（5分）（2015•宜宾模拟）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．2【分析】容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为（1，0），y=±x，所以根据点到直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离．【解答】解：抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线方程为y=±x；∴由点到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为：．故选A．【点评】考查抛物线的焦点概念及求法，双曲线渐近线方程的求法，以及点到直线的距离公式．4．（5分）（2014•埇桥区校级学业考试）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）•f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．【点评】本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．5．（5分）（2016•锦州二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．6．（5分）（2015•南昌校级模拟）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【分析】利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，则•=﹣cacosB=﹣．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7．（5分）（2015•鹰潭一模）已知a=，则展开式中，x3项的系数为（）A．B．C．D．【分析】求定积分可得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】解：a=dx=﹣sinx=﹣1，则二项式的展开式的通项公式为T r+1=﹣•（）r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展开式中x3项的系数为﹣•=﹣，故选：C【点评】本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）（2016•西宁校级模拟）在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3•a n﹣2=64，且前n项和为S n=42，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由题意易得a1和a n是方程x2﹣34x+64=0的两根，结合数列递增可解得a1=2，a n=32，再由S n=42的q，可得n值．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a n=a3•a n﹣2=64，又a1+a n=34，∴a1和a n是方程x2﹣34x+64=0的两根，解方程可得x=2或x=32，∵等比数列{a n}递增，∴a1=2，a n=32，∵S n=42，∴==42，解得q=4，∴32=2×4n﹣1，解得n=3故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，属基础题．9．（5分）（2015•江西校级一模）已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线对称，则f（x）在以下区间上是单调函数的是（）A．[﹣π，﹣π] B．[﹣π，﹣π] C．[﹣π，π] D．[0，π]【分析】先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由题意知：y=3sin2x+acos2x=sin（2x+φ），当x=时函数y=3sin2x+acos2x取到最值±，将x=代入可得：3sin（2×）+acos（2×）==±，解得：a=，故f（x）=3sin2x+cos2x=2sin（2x+），由于[﹣π，﹣π]∈[﹣，﹣]，根据正弦函数的图象可知函数在[﹣π，﹣π]上是单调递减的，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查了三角函数的单调性，属于中档题．10．（5分）（2015•宜宾模拟）如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，P表示估计结果，则输出P的近似值为（）A．B．C．D．【分析】由题意以及框图的作用，直接计算出结果．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计几何概型概率的程序框图，如图，M是点落在六边形OCDEFG内的次数，由当i＞2015时，退出循环，∴六边形OCDEFG内的点的次数为M，总试验次数为2015，所以要求的概率满足=1﹣=1﹣=，故M=，所以空白框内应填入的表达式是P==．故选：C．【点评】本题考查程序框图的作用，考查计算、分析能力，属基础题．11．（5分）（2015•上海模拟）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③B．②③ C．①③ D．②③④【分析】根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．【解答】解：①函数f（x）=sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A=[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[﹣1，1]一个．③A=[0，1]为函数f（x）=|2x﹣1|的“可等域区间”，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数单调递增，f（0）=1﹣1=0，f（1）=2﹣1=1满足条件，∴m，n取值唯一．故满足条件．④∵f（x）=log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2=0的两个根，设f（x）=2x﹣2x+2，f′（x）=2x ln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）=2x﹣2x+2=0不可能存在两个解，故f（x）=log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．12．（5分）（2013•泉州二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A 为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；对照选项，B正确．故选B．【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，本小题5分，共20分）13．（5分）（2015•湖北二模）设向量，，则向量在向量上的投影为．【分析】利用向量在向量上的投影公式||cosθ进行计算即可．【解答】解：∵向量，，∴||==，设、的夹角是θ，则cosθ===，∴向量在向量上的投影为：||cosθ=×=；故答案为：．【点评】本题考查了求一向量在另一向量上的投影问题，是基础题．14．（5分）（2015•怀化三模）如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=π（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2（x≥0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= 2π．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V==πydy=，故答案为：2π【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．15．（5分）（2015秋•九江月考）某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间（每种房间仅能入住相应人数）各一间可用，有4个成年男性带2个小男孩来投宿，小孩不宜单住一间（必须有成人陪同）．若三间房都住有人，则不同的安排住宿方法有36 种．【分析】由题意按2个小孩的住宿方法不同分2种情况讨论：①若2个小孩全住三人间，②若2个小孩一个住三人间，另一个住两人间；分别求出每种情况下的安排方法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，按2个小孩的住宿方法不同分2种情况讨论：①若2个小孩全住三人间，则需要选出一个大人陪同，有C41=4种情况，则另外的3个大人必须2人住双人间，一人住单间，有C32=3种情况，此时共有4×3=12种安排方法，②若2个小孩一个住三人间，另一个住两人间，2个小孩的安排方法有A22=2种4个大人必须2人住三人间，1人住双人间，1人住单间，有C42A22=12种情况，此时共有2×12=24种安排方法，则一共有12+24=36种安排方法；故答案为：36．【点评】本题考查计数原理的应用，求解本题的关键是正确分类讨论，理清符合实际情况的安排方法并选择恰当的计数方法计算所有的种数．本题易因分不清符合情况的安排方法有哪些而导致错误或解答不出．16．（5分）（2014•上海模拟）将f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线 C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=+g（x）的最小值为m且m ＞2+，则实数a的取值范围为（，2）．【分析】根据C1推出C2，由C2推出g（x），再算出F（x）=（）•2x++2，设t=2x，利用非单调函数取最值的性质和均值定理能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，∴曲线C1：p（x）=2x﹣2﹣，∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称，∴曲线C2：q（x）=﹣2x﹣2，∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，∴g（x）=﹣2x﹣2+2，∴=+﹣2x﹣2+2=（）•2x++2，设t=2x，∵2x＞0，∴t＞0，∵函数定义域的端点值取不到，∴如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，也就是说该函数一定不是单调函数，而对于形如y=ax+的函数只有当ab＞0时才是（0，+∞）上的非单调函数，∴（﹣）（4a﹣1）＞0，解得a＜0或＜a＜4，当a＜0时，变量t的两个系数都为负数，此时F（x）只有最大值，不合题意．当＜a＜4时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，∴可以用基本不等式：F（x）≥2+2，∵的最小值为m且，∴m=2+2＞2+，联立＜a＜4，解得：＜a＜2．综上所述：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．【点评】本题考查函数中参数的取值范围的求法，涉及到函数图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值定理等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．三．解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2015•河南二模）已知函数f（x）=cosxcos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC的面积为2，求边长c的值．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．【解答】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=cos（2x+）+，∴f（x）的最小正周期T==π；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=﹣，∴cos（2C+）=﹣1，∴C=，又∵△ABC的面积S=absinC=ab=2，∴ab=8，∴b===4，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=12，∴c=2【点评】本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题．18．（12分）（2015•淮南校级三模）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a的值和50个样本中空气质量指数的平均值，从而能估计2014年这一年度空气质量指数的平均值．（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3）．由此能求出ξ的分布列和一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1，解得a=0.02．…（3分）50个样本中空气质量指数的平均值为：由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …（6分）（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3）．ξ的可能取值为0，1，2，…（7分），…（10分）…（11分）．（或者Eξ=2×0.3=0.6），…（12分）设一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数为η，则η～B（30，0.3）故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为Eη=30×0.3=9天．…（13分）【点评】本题考查频率分直方图的应用，考查离散型随机变量的概率分布列的求法，在历年高考中都是必考题型之一．19．（12分）（2014•上城区校级模拟）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，．（I）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．【分析】（I）连接OC，由已知中O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，，根据等腰三角形“三线合一”及勾股定理，可分别证得AO⊥BD，AO⊥OC，结合线面垂直的判定定理即可得到AO ⊥平面BCD；（Ⅱ）法一：过O作OE⊥BC于E，连接AE，则∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平角，解三角形AEO即可得到二面角A﹣BC﹣D的余弦值；法二：以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC与平面BCD的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）法一：设点O到平面ACD的距离为h，根据V O﹣ACD=V A﹣OCD，分别求出三棱锥的体积和底面ACD的面积，即可得到O点到平面ACD的距离；法二：求出平面ACD的法向量，代入公式，即可得到O点到平面ACD的距离．【解答】解法一：（I）证明：连接OC，△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD，∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，，∴．在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD．（Ⅱ）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影为OE∴AE⊥BC∴∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平角．在Rt△AEO中，∴二面角A﹣BC﹣D的余弦值为（Ⅲ）解：设点O到平面ACD的距离为h，∵V O﹣ACD=V A﹣OCD，∴在△ACD中，，而，∴，∴点O到平面ACD的距离为．解法二：（I）同解法一．（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则∵AO⊥平面BCD，∴平面BCD的法向量设平面ABC的法向量，由设与夹角为θ，则∴二面角A﹣BC﹣D的余弦值为．（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为，又设与夹角为θ，则设O到平面ACD的距离为h，∵，∴O到平面ACD的距离为．【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中解法一（几何法）中要熟练掌握空间线线垂直，线面垂直之间的相互转化，及棱锥体积的转化；解法二（向量法）的关键是建立适当的坐标系，将二面角问题及点到平面的距离问题转化为向量问题．20．（12分）（2014•陕西一模）已知点P（﹣1，）是椭圆C：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．①求椭圆C的方程；②设A、B是椭圆C上两个动点，满足（0＜λ＜4，且λ≠2）求直线AB的斜率．【分析】①由于PF1⊥x轴，可得c=1，把点P（﹣1，）代入椭圆的方程得，又a2﹣b2=c2=1，联立解得a2，b2即可；②设直线y=kx+m，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用向量运算和向量相等即可得出．【解答】解：①∵PF1⊥x轴，∴c=1，把点P（﹣1，）代入椭圆的方程得，又a2﹣b2=c2=1，联立解得a2=4，b2=3．∴椭圆C的方程为；②设直线y=kx+m，联立，化为（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∵直线AB与椭圆有两个不同的交点，∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化为3+4k2﹣m2＞0．（*）∴．∵满足（0＜λ＜4，且λ≠2），∴+=，∴x1+x2+2=λ，，又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k（x1+x2）+2m，∴，∴+2m=0，∴，化为m（2k﹣1）=0，若m=0，则直线AB经过原点，此时，λ=2，不符合题意，因此m≠0．∴2k﹣1=0，解得．【点评】本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算与相等等基础知识与基本技能方法，属于难题．21．（12分）（2015•长沙校级一模）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x 对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．【解答】（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．（3分）（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．（6分）令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为，，所以，而在上单调递减，所以．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以（舍去）．综上可知，．（9分）（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以，h（x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，因为，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．（13分）综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（14分）【点评】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号．注意所做题目的题号必须和所写的题号一致．【选修4-1：几何证明选讲．】22．（10分）（2016•上饶校级二模）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可．（2）通过三角形的两角和，求解角即可．【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（5分）（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO …（10分）【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•绥化校级二模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．【选修4-5：不等式选讲】24．（2016•上饶一模）设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．。

2017-2018学年安徽省滁州市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年安徽省滁州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|3x＞2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）复数z＝，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z|＝B．z的共轭复数为+iC．z的实数与虚部之和为1D．z在平面内的对应点位于第一象限4．（5分）若a＝log3，b＝log23，c＝（）3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．（5分）若执行如图所示的程序图，则输出S的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝3，S8＝12，则{a n}的公差为（）A．﹣1B．1C．2D．37．（5分）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m⊂α，α∥β，则m∥βC．若n⊥β，α⊥β，则n∥αD．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β8．（5分）榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”．若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（）A．10B．12C．14D．169．（5分）已知实数x，y满足，若z＝x+my的最大值为10，则m＝（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的最小正周期为T，将曲线y＝f（x）向左平移个单位之后，得到曲线y＝sin（2x+），则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，）D．（，）11．（5分）过双曲线﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+5）2+y2＝4和圆C2：（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0）作切线，切点分别为M，N，若|PM|2﹣|PN|2的最小值为58，则r＝（）A．1B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）＝在[﹣2，2]上的最大值为5，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣2ln2，+∞）B．[0，ln2]C．（﹣∞，0]D．[﹣ln2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（﹣k，k+2），＝（2，﹣3），若∥（+2），则实数k＝．14．（5分）（x+2y）（x﹣y）6的展开式中，x4y3的系数为（用数字作答）．15．（5分）若在各项都为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，a9＝a33，则a2018＝．16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为，则|MF|＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．18．（12分）随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续300亿立方米的年增量．进口LNG和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约．未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿方以内．为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续200天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格（2）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在101～150以及151～200的等级中抽取14天进行调研，再从这14天中任取4天进行空气颗粒物分析，记这4天中空气质量指数在101～150的天数为X，求X的分布列；（3）以频率估计概率，根据上述情况，若在一年365天中随机抽取5天，记空气质量指数在150以上（含150）的天数为Y，求Y的期望．19．（12分）已知三棱锥D﹣ABC中，BE垂直平分AD，垂足为E，△ABC是面积为的等边三角形，∠DAB＝60°，CD＝，CF⊥平面ABD，垂足为F，O为线段AB的中点．（1）证明：AB⊥平面DOC；（2）求CF与平面BCD所成的角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足|PF1|+|PF2|＝4，且椭圆C过点（﹣1，﹣），过点R（4，0）的直线l与椭圆C 交于两点E、F．（1）求椭圆C的方程；（2）过点E作x轴的垂线，交椭圆C于N，求证：N，F2，F三点共线．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）＝．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1，C2相交于A，B两点，求线段AB的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+2018．（1）解关于x的不等式f（x）＞|x|+2018；（2）若f（|a﹣4|+3）＞f（（a﹣4）2+1），求实数a的取值范围．2017-2018学年安徽省滁州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|3x＞2}＝{x|x＞log32}，∴A∩B＝{x|x＞1}．故选：C．2．【解答】解：设圆的半径为r，则正方形的边长为2r；∴圆的面积为πr2，正方形的面积为4r2；以面积为测度，可得点P落在⊙O外的概率为P＝1﹣＝．故选：A．3．【解答】解：复数z＝＝＝+i，∴|z|＝＝，A错误；z的共轭复数为﹣i，B错误；z的实数与虚部之和为+＝2，C错误；z在平面内的对应点是（，），位于第一象限，D正确．故选：D．4．【解答】解：∵a＝log3＜log31＝0，b＝log23＞log22＝1，0＜c＝（）3＜（）0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：B．5．【解答】解：模拟程序的运行，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝log32•log43•log54•log65•log76•log87的值，可得：S＝log32•log43•log54•log65•log76•log87＝＝＝＝．故选：A．6．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a6＝3，S8＝12，∴，解方程可得，a1＝﹣2，d＝1，故选：B．7．【解答】解：由m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊂α，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥β，故B正确；在C中，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，故D错误．故选：B．8．【解答】解：如图所示，该几何体为一个3×2×3的长方体，去掉四个角（棱长为1的正方体）余下的几何体．∴该“榫头”体积＝3×2×3﹣4×13＝14．故选：C．9．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，联立，解得A（2，4），化目标函数z＝x+my为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：10，即2+4m＝10．解得m＝2．故选：B．10．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的最小正周期为T＝＝π，将曲线y＝f（x）向左平移＝个单位之后，得到曲线y＝sin（2x++φ）的图象，又因为得到曲线y＝sin（2x+）的图象，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．结合所给的选项，故选：A．11．【解答】解：圆C1：（x+5）2+y2＝4的圆心为（﹣5，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣5）2+y2＝1的圆心为（5，0），半径为r，设双曲线﹣＝1的左右焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r2）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣r2）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣4+r2＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣4+r2＝2a（|PF1|+|PF2|﹣4+r2＝6（|PF1|+|PF2|）﹣4+r2≥6•2c﹣4+r2≥60﹣4+r2＝58，当且仅当P为右顶点时，取得等号，即r2＝2，则r＝故选：B．12．【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），∴f′（x）在（0，1）为负，在（1，2）为正，∴f（x）在[0，1]递减，在[1，2]递增，又f（0）＝1，f（2）＝5，故f（x）在[0，2]上最大值为5；当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝e ax+1，f′（x）＝ae ax，若a＞0，则f′（x）＞0，f（x）递增，此时，f（x）＜f（0）＝2，符合题意；若a＝0，f（x）＝2，符合题意；若a＜0，则f′（x）＜0，f（x）递减，此时，f（x）≤f（﹣2）＝e﹣2a+1，由题意，e﹣2a+1≤5，解得a≥﹣ln2．综上可知，a的取值范围为[﹣ln2，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：∵＝（﹣k，k+2），＝（2，﹣3），∴+2＝（4﹣k，k﹣4），又∥（+2），∴﹣k（k﹣4）﹣（k+2）（4﹣k）＝0，解得：k＝4．故答案为：4．14．【解答】解：∵（x+2y）（x﹣y）6＝（x+2y）•（x6﹣6x5•y+15x4•y2﹣20x3•y3+15x2•y4﹣6x •y5+y6），∴x4y3的系数为﹣20+2×15＝10，故答案为：10．15．【解答】解：设，∵，∴，∴q6（q2﹣4）＝0，∵在各项都为正数的等比数列{a n}中q＞0，∴q＝2，∴＝22018．故答案为：22018．16．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝﹣，抛物线C：y2＝5x，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的倾斜角为，直线AF 的斜率k AF＝﹣，准线与x轴的交点为N，则AN＝tan ＝，A（﹣，），|AF|＝＝5．故答案为：5．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，∴cos B＝．又B∈（0，π），∴B＝．（2）据（1）求解知B＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①又S＝ac sin B＝3，∴ac＝12，②又∵b＝，∴据①②解，得a+c＝7．18．【解答】解：（1）所求表格数据如下：（2）依题意，从空气质量指数在101～150以及151～200的天数分别是10，4，故X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝．故X的分布列为：（3）依题意，任取1天空气质量指数在150以上的概率为．由二项分布知识可知，Y～B（5，），故B（Y）＝5×＝．19．【解答】证明：（1）∵BE垂直平分AD，垂足为E，∴AB＝DB．∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．又△ABC是等边三角形．∴O是AB中点，DO⊥AB，CO⊥AB．∵DO∩CO＝O，DO，CO⊂平面DOC，∴AB⊥平面DOC．解：（2）由（1）知OC＝OD，平面DOC⊥平面ABD．∵平面DOC与平面ABD的交线为OD．∵CF⊥平面ABD．∴F∈CD．又等边△ABC面积为，∴OC＝，又CD＝，∴F是OD中点．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，B（1，0，0），C（0，，0），D（0，，），F（0，，），∴＝（0，﹣，），＝（﹣1，，0），＝（﹣1，，），设平面BDC的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝，则x＝3，z＝1．即平面BCD的一个法向量为＝（3，，1）．∴CF与平面BCD所成角的正弦值为＝＝．20．【解答】解：（1）依题意，|PF1|+|PF2|＝4＝2a，故a＝2．将（﹣1，﹣）代入C：+＝1中，解得b2＝3，故椭圆C：+＝1．证明（2）由题知直线l的斜率必存在，设l的方程为y＝k（x﹣4）．点E（x1，y1），F（x2，y2），则N（x1，﹣y1），联立可得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．可得x1+x2＝，x1x2＝由题可得直线FN方程为y﹣y2＝（x﹣x2），又∵y1＝k（x1﹣4），y2＝k（x2﹣4）代入∴直线FN方程为y+k（x1﹣4）＝（x﹣x1），令y＝0，整理得x＝＝＝＝1，即直线FN过点（1，0）．又∵椭圆C的左焦点坐标为F2（1，0），∴N，F2，F三点共线21．【解答】解：（1）依题意，f′（x）＝2x﹣1﹣＝＝．故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．故当x＝1时，函数f（x）有极小值f（1）＝0，无极大值；证明：（2）∵x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根．∴，两式相减得，解得a＝．要证：lnx1+lnx2+2lna＜0，即证：x1x2＜，即证：x1x2＜，即证＜＝，不妨设x1＜x2，令＞1．只需证ln2t．设，则；令h（t）＝2lnt﹣t+，则h′（t）＝＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）＝0，即g′（t）＜0，∴g（t）在（1，+∞）上为减函数，则g（t）＜g（1）＝0．即ln2t＜在（1，+∞）上恒成立，∴原不等式成立，即lnx1+lnx2+2lna＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴平方得曲线C1的普通方程为x2+y2＝1，∵C2的极坐标方程为ρcos（θ+）＝，∴ρ（cosθ+sinθ）＝1，∴x+y＝1，故曲线C2的普通方程为x﹣y﹣1＝0；（2）据，得或，所以线段AB的长度为＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＞|x|+2018可化为|x﹣1|＞|x|，∴（x﹣1）2＞x2，∴x＜，∴不等式的解集为{x|x＜}．（2）∵f（x）＝|x﹣1|+2017在[1，+∞）上单调递増，又|a﹣4|+3＞1，（a﹣4）2+1≥1，∴只需要|a﹣4|+3＞（a﹣4）2+1，化简为（|a﹣4|+1）（|a﹣4|﹣2）＜0，∴|a﹣4|＜2，解得2＜a＜6，即实数a的取值范围是（2，6）．。

2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题

2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，，且，则A. B. C. D.2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是A. B.C. D.3．下列函数中，值域为的偶函数是A. B. C. D.4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是A. B. C. D.5．设，则的大小关系是A. B. C. D.6．函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.7．设函数A. B. C. D.8．函数的图象的大致形状是A B C D9．直线与圆交点的个数为A. 2个B. 1个C. 0个D. 不确定10．圆与圆的位置关系是A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切11. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A. 若，则B. 若，则C.若，则D. 若，则12．某几何体的三视图如图所示，它的体积为A.B.C.D.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算 .14．经过，两点的直线的倾斜角是 .15．若函数在区间上的最大值比最小值大,则 . 16．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知的三个顶点（1）求边上高所在直线的方程；（2）求的面积．18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.EDBA CC1 A1第12题图求证：（1）；（2）.19. （本小题满分12分）已知函数.（1）根据定义证明：函数在上是增函数；（2）根据定义证明：函数是奇函数.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，.（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥的体积.第20题图21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆经过三点．（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．22. （本小题满分12分）已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R 且，，求证：方程在区间上有实数根.2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112答案 A C Ｄ B Ａ B C D A D B C二、填空题．16.；15.；14.；113.三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步聚或推理过程．）17．（本小题满分10分）已知的三个顶点⑴求边上高所在直线的方程；⑵求的面积．解(1)设边上高所在直线为，由于直线的斜率…………………….…2分所以直线的斜率.…………………….…3分又直线经过点，所以直线的方程为，…………….…4分即…………………………………………..…4分⑵边所在直线方程为：,即…………………….…5分点到直线的距离,…………………………………7分又………………………9分…………….…10分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：⑴； ⑵.证明：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，………....................……….….................…1分为的中点，……………….….................................................…2分又为的中点，，………………….………………3分又平面，平面，……………..……4分平面.……………………………………………….…5分⑵在直三棱柱中，平面,平面,.………………6分又，平面，平面，，….....7分平面，………………………………………....................................…8分平面，.…………………....…..................................…9分矩形是正方形，，……………………...............................…10分平面，，平面.…….............…11分又平面，.…………………….….................................…12分19.（本小题满分12分）已知函数.⑴根据定义证明：函数在上是增函数；⑵根据定义证明：函数是奇函数.EDBACC 1B 1A 1证明：⑴设任意的，且，…………1分则…………………………2分………………………3分……………………………………………4分，，即，……….…5分又，………………………………….…6分，即，………………7分在上是增函数.……………………………8分⑵，……………………9分,……………………………………………10分…………………………………………11分，即所以函数是奇函数. ……………………………………12分20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，.⑴画出二面角的平面角，并求它的度数；⑵求三棱锥的体积.解：⑴取中点，连接、，……....................................……....1分，，，…...….........2分且平面，平面，….............................................…...3分是二面角的平面角. ….....................................……....4分在直角三角形中，…...5分在直角三角形中，…...6分是等边三角形，………………….7分…...………………………...8分⑵解法1：，......................9分又平面，平面平面，且平面平面.............10分在平面内作于，则平面，..................11分即是三棱锥的高.在等边中，，三棱锥的体积.....................................12分解法2：平面.........9分在等边中，的面积，.......................10分三棱锥的体积...................12分21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆经过三点． ⑴求圆的方程； ⑵若圆与直线交于两点，且求的值．解：⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上，所以可设圆的圆心为，………………………….….……1分则有解得…………………2分则圆C 的半径为……………………………3分ODSCBA所以圆C的方程为……………………4分⑵设，其坐标满足方程组：............5分消去，得到方程….....................................…....6分由根与系数的关系可得，…………......8分由于可得,…………………….....................................….....10分又所以………........11分由①，②得，满足故……......................................……………12分22.（本小题满分12分）已知函数.⑴若，判断函数零点个数；⑵若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；⑶已知且，，求证：方程在区间上有实数根.解:⑴……………………………………………………1分,………………………………………………2分当时，，函数有一个零点；……………………………3分当时，，函数有两个零点.………………………….…4分⑵已知，则对于恒成立,…………………….…...…6分即恒成立；…………………………………………...…6分所以,……………………………………………………7分从而解得.……………………………………………………...……8分⑶设，则……….…9分……….…10分,……………………………11分在区间上有实数根，……………………………….…12分即方程在区间上有实数根. ……..…12分。

安徽省滁州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

滁州市2017-2018学年第一学期高一期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D2. 已知角的始边是轴的正半轴，终边经过点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知，故.3. 计算：（）A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】原式.5. 若幂函数的图象过点，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意有，，.6. 函数的最大值是（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】，故最大值为.7. 下列函数是奇函数，且在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选项为偶函数，选项为非奇非偶函数.选项在为减函数，在为增函数.选项在上为增函数，符合题意.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性.判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称，选项定义域显然不关于原点对称，故为非奇非偶函数.然后计算，化简后看等于还是.函数的单调性中是对钩函数，在不是递增函数.8.9. 函数的零点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故函数的零点在区间.11. 曲线，曲线，下列说法正确的是（）A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到【答案】B【解析】由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.12. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，原不等式化为，不恒成立，排除，故选.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.14. ，则__________．【答案】【解析】，，故原式.15. 若函数在是单调函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由于函数为二次函数，对称轴为，只需对称轴不在区间上即可，即或，解得.【点睛】本题主要考查二次函数单调区间的知识.对于二次函数来说，它的单调区间主要由开口方向和对称轴来决定.当开口向上时，左减右增，当开口向下是，左增右减.本题中由于题目只需要区间上的单调函数，不需要递增还是递减，故只需对称轴不在给定区间内即可.16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【试题分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.【试题解析】解：，（1）；（2）∵，∴，∵，∴，∴．18.19. 已知函数的图象过点．（1）若，求实数的值；（2）当时，求函数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）将点代入函数，由此求得的值，进而得出的表达式.解方程，可求得实数的值.（2）将分离常数，得到，它在上为减函数，在区间端点取得最小值和最大值.由此求得函数的值域.【试题解析】解：（1），∴，，∴，∴；（2），显然在与上都是减函数，∵，∴在上是减函数，∵，∴．20. 函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求图中的值及函数的递增区间．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）根据图像最大值求得,根据可求得，在根据图像上一个点，可求得的值.（2）利用求出，利用周期为可求得的值.将代入余弦函数的单调递增区间，求得的范围即函数的递增区间.【试题解析】解：（1）由图知，∴，∴，又，∴，且，∴；（2）由（1）知，由，∴，由得，∴的单调增区间为．21.22. 已知函数．（1）求证：是奇函数；（2）判断的单调性，并证明；（3）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）定义域为关于原点对称，判断故函数为奇函数.（2）函数在定义域的两个区间上都是减函数.利用定义法，计算，由此判断出函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式转化为即，解不等式得.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用定义法求函数单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.判断函数的奇偶性首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系，进而判断函数的奇偶性.定义法判断函数的单调性，需计算的值来判断.【试题解析】（1）证明：由，得，∵，∴是奇函数；（2）解：的单调减区间为与没有增区间，设，则．∵，∴，∴，∴，∴，∴在上是减函数，同理，在上也是减函数；（3）是奇函数，∴，∴化为，又在上是减函数，∴，∴，即．。

安徽省“江淮十校”2017-2018学年高三上学期第一次联考数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年安徽省“江淮十校”高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题满分60分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}C．{1，2}D．{2，3，4}2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，由甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65 B．64 C．63 D．623．sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=（）A．B．C． D．4．直线l过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行，则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x+2y﹣5=05．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是（）A．.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．.若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β9．将函数y=1+sin（2x+）的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位，所得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=sin2x10．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．πB．2+C．2+πD．2+π11．若变量x，y满足约束条件，则z=的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．412．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=的定义域是．14．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=．15．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．16．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）e x+4﹣3a＞0，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.52，1）…[4，4，5）分成九组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民月均用水量不低于3吨的人数并说明理由；（III）若该市政府希望85%的居民每月用水量不超过标准x吨，估计x的值，并说明理由．18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，2S n=（n+1）a n，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）令b n=，数列{b n}的前n和为T n，试着比较T n与的大小．20．如图所示，凸五面体ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，F为BE的中点．（I）若CE=2，求证：①DF∥平面ABC；②平面BDE⊥平面BCE；（II）若动点E使得凸多面体ABCED体积为，求线段CE的长度．21．已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切．（I）过点G（1，3）作直线与圆C相交，相交弦长为2，求此直线的方程；（II）若与直线l1垂直的直线l不过点R（1，﹣1），且与圆C交于不同的两点P，Q，若∠PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=|x﹣1|．（I）若a=1，求函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点；（II）若a＜0时，求G（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上的最大值．2016-2017学年安徽省“江淮十校”高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题满分60分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}C．{1，2}D．{2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B中的绝对值不等式的解集，找出解集中的自然数解，确定出集合B中的元素，然后求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合B中的不等式|x|≤2，解得：﹣2≤x≤2，又x∈N，所以集合B={0，1，2}，而集合A={1，2，3，4}，则A∩B={1，2}．故选C2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，由甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．65 B．64 C．63 D．62【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，把甲、乙运动员的得分按从小到大的顺序排列，求出中位数，再求它们的和．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员得分从小到大的顺序是8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，42，51，∴它的中位数是=27；乙运动员得分从小到大的顺序是12，15，24，25，31，36，36，37，39，44，49，50，∴它的中位数是=36；∴27+36=63．故选：C．3．sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=（）A．B．C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值．【解答】解：sin20°cos170°﹣cos20°sin10°=﹣sin20°cos10°﹣cos20°sin10°=﹣（sin20°cos10°+cos20°sin10°）=﹣sin30°=﹣．故选：D．4．直线l过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行，则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x+2y﹣5=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，把点（3，1）代入，解得即可．【解答】解：设过点（3，1）且与直线2x﹣y﹣2=0平行的直线方程为2x﹣y+c=0，把点（3，1）代入，得6﹣1+c=0，解得c=﹣5．∴所求直线方程为：2x﹣y﹣5=0．故选：A．5．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点．【分析】可从三个数的范围上比较大小【解答】解：设函数f（x）=0.9x，g（x）=5.1x，h（x）=log0.9x则f（x）单调递减，g（x）单调递增，h（x）单调递减∴0＜f（5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m＜1g（0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n＞1h（5.1）=log0.95.1＜log0.91=0，即p＜0∴p＜m＜n故选C6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米【考点】扇形面积公式．【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO•sin=4×=2，可得：弦=2AD=2×2=4，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．故选：B．8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是（）A．.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．.若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n D．.若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】不正确的列举反例，正确的进行证明，即可得出结论．【解答】解：由题意，A中α，β可能相交，不正确；B中，m，n可能相交或异面，不正确；C中，m⊥α，α∥β，则m⊥β，因为n∥β，所以m⊥n，正确；D中，α，β可能相交，不正确；故选：C．9．将函数y=1+sin（2x+）的图象向下平移1个单位，再向右平移个单位，所得到的函数解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=sin2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=1+sin（2x+）的图象向下平移1个单位，可得函数y=sin（2x+）的图象．再向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象；故选：D．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．πB．2+C．2+πD．2+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图可知该几何体是底面为半圆，半径是1，高为2的半圆锥体，其表面积四整圆锥体的一半+一个三角形．【解答】解：由由已知三视图可知该几何体是底面为半圆，半径是1，高为2的半圆锥体，=πr（r+l）其表面积是整圆锥体的一半+一个三角形．根据S圆锥=1×2=2=，S三角形所以该几何体的表面积为：．故选B．11．若变量x，y满足约束条件，则z=的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的几何意义：平面区域内的一点与原点连线的斜率求最小值．【解答】解：作出可行域如图所示的阴影部分，由于z=的几何意义是平面区域内的一点与原点连线的斜率的2倍，结合图形可知，直线OC的斜率最小由可得C（2，1），此时z==1．故选：C．12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（）A．2 B．3 C．6 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的值，根据f（x）的函数图象判断根的个数．【解答】解：∵f2（x）﹣5（f（x）+4=0，∴f（x）=4或f（x）=1．做出f（x）的函数图象如下：由图象可知方程f（x）=4有3个根，方程f（x）=4有4个根，∴方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根共有7个．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数函数y=log a x的定义域为（0，+∞）与分式有意义的条件是分母不为零可列不等式组解之．【解答】解；函数y=有意义需满足x+1＞0且x≠0，∴函数y=的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．14．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=1．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解AC的值．【解答】解：在△ABC中，∵AB=，BC=3，∠C=120°，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，即：（）2=AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4=0，解得：AC=1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：416．对任意实数x均有e2x﹣（a﹣3）e x+4﹣3a＞0，则实数a的取值范围为a≤．【考点】函数恒成立问题；对勾函数．【分析】分离参数，再求右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，a＜．令t=e x+3（t＞3），则=t+﹣3，∵t＞3，∴t+＞3+，∴t+﹣3＞，∴a≤．故答案为：a≤．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.52，1）…[4，4，5）分成九组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民月均用水量不低于3吨的人数并说明理由；（III）若该市政府希望85%的居民每月用水量不超过标准x吨，估计x的值，并说明理由．【考点】频率分布直方图．【分析】（I）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（II）根据频率分布直方图，求出月均用水量不低于3吨人数所占百分比，计算对应的人数；（III）求出月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，计算出有85%的居民每月用水量不超过标准的值．【解答】解：（I）由频率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∵频率=×组距，∴0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，解得a=0.3；（II）由图知，市居民月均用水量不低于3吨人数所占百分比为0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，∴全市月均用水量不低于3吨的人数为30×12%=3.6（万）；（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨；同理，88%的居民月均用水量小于3吨；故2.5＜x＜3假设月均用水量平均分布，则x=2.5+0.5×=2.9（吨），即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【考点】余弦定理的应用．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+CB 2﹣2AB •BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，2S n =（n +1）a n ，n ∈N *．（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）令b n =，数列{b n }的前n 和为T n ，试着比较T n 与的大小．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）由2S n =（n +1）a n ，n ∈N *，n ≥2时，2S n ﹣1=na n ﹣1，可得=（n ≥2），利用==…=即可得出．（II ）由（I ）可得：b n ===，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（I ）∵2S n =（n +1）a n ，n ∈N *，∴n ≥2时，2S n ﹣1=na n ﹣1，可得2a n =（n +1）a n ﹣na n ﹣1．∴=（n ≥2），又a 1=1，∴==…==1，∴a n =n ．（II ）由（I ）可得：b n ===，∴数列{b n }的前n 和为T n =+++…+==﹣＜．∴T n ＜．20．如图所示，凸五面体ABCED 中，DA ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ，AC=AD=AB=1，BC=，F 为BE 的中点．（I ）若CE=2，求证：①DF ∥平面ABC ； ②平面BDE ⊥平面BCE ；（II ）若动点E 使得凸多面体ABCED 体积为，求线段CE 的长度．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（I ）①取BC 的中点G ，连接GF ，GA ，通过证明四边形AGFD 是平行四边形得出DF ∥AG ，故DF ∥平面ABC ；②证明AG ⊥平面BCE ，得出DF ⊥平面BCE ，故有平面BDE ⊥平面BCE ；（II ）先证明AB ⊥平面ACED ，再代入棱锥的体积公式计算CE ．【解答】证明：（I ）①取BC 的中点G ，连接GF ，GA ， ∵G ，F 分别是BC ，BE 的中点， ∴GF ∥CE ，GF=CE=1，∵DA ⊥平面ABC ，EC ⊥平面ABC ， ∴DA ∥CE ，又DA=1， ∴AD ∥GF ，AD=GF ，∴四边形AGFD 是平行四边形，∴DF ∥AG ，又AG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ， ∴DF ∥平面ABC ．②∵AB=AC ，G 是BC 的中点， ∴AG ⊥BC ，∵CE ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴AG ⊥CE ，又BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，BC ∩CE=C ， ∴AG ⊥平面BCE ． ∵AG ∥DF ，∴DF ⊥平面BCE ，又DF ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCE ．（II ）∵AB=AC=1，BC=， ∴AB ⊥AC ，∵AD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AB ⊥AD ，又AD ⊂平面ACED ，AC ⊂平面ACED ，AD ∩AC=A ， ∴AB ⊥平面ACED ．∴V ABCED =V B ﹣ACED =S 梯形ACED •AB=（1+CE ）×1×1=．∴CE=1．21．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线l 1：x ﹣y ﹣2=0相切．（I）过点G（1，3）作直线与圆C相交，相交弦长为2，求此直线的方程；（II）若与直线l1垂直的直线l不过点R（1，﹣1），且与圆C交于不同的两点P，Q，若∠PRQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意求出圆心（0，0）到直线l1：x﹣y﹣2=0的距离，可得圆的半径长，得到圆的方程，分类讨论，利用弦长，即可得出结论；（2）直线l1的斜率为1，且l⊥l1，可得直线l的斜率为﹣1，设直线l的方程为y=﹣x+b，联立圆的方程与直线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P，Q两点横坐标的和与积，结合∠POQ为钝角，得＜0，即x1x2+y1y2＜0，从而可得直线l 的纵截距的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，圆心（0，0）到直线l1：x﹣y﹣2=0的距离为圆的半径长r，即r==2∴圆C的标准方程为x2+y2=4．①直线斜率不存在时，x=1满足题意；②斜率存在时，设直线方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1=0∵相交弦长为2，∴圆心到直线的距离d==1，∴k=，∴直线方程为x=1或4x﹣3y+5=0；（2）∵直线l1的斜率为1，且l⊥l1，∴直线l的斜率为﹣1，设直线l的方程为y=﹣x+b，则与圆C的方程x2+y2=4 联立，化简得2x2﹣2bx+b2﹣4=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是方程2x2﹣2bx+b2﹣4=0的两个不同的根，故x1+x2=b，x1+x2=③，由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得﹣2＜b＜2．∵∠POQ为钝角，∴＜0，即x1x2+y1y2＜0，又y1=﹣x1+b，y2=﹣x2+b，∴x1x2+y1y2=2x1x2﹣b（x1+x2）+b2＜＜0 ④，由③④得b2＜4，即﹣2＜b＜2，满足△＞0．当与反向共线时，直线y=﹣x+b过原点，此时b=0，不符合题意，故直线l的纵截距的取值范围是﹣2＜b＜2，且b≠0．22．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=|x﹣1|．（I）若a=1，求函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点；（II）若a＜0时，求G（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）函数的零点就是方程的解，解方程即可；（Ⅱ）G（x）=，分别根据函数的单调性，分类讨论即可求出G（x）max．【解答】解：（Ⅰ）令y=0，得|x﹣1|（|x+1|﹣1）=0，解得x=﹣2或x=0，或x=1．∴函数y=|f（x）|﹣g（x）的零点为﹣2，0，1；（Ⅱ）由题意得G（x）=f（x）+g（x）=，此时在[0，1）上G（x）单调递增，故而G（x）＜G（1）=0，在区间[1，2）上，G（x）max=max{G（1），G（2）}，若﹣≤，即﹣3≤a＜0，∴G（1）≤G（2），∴G（x）max=G（2）=a+3≥0，若﹣＞，即a＜﹣3，∴G（1）＞G（2），∴G（x）max=G（1）=0，综上所述G（x）max=2016年11月4日。

2017_2018学年高一数学上学期第一次联考测试试题

12+=x y xx y 2=x x y 1+=本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题5分,共60分)1．已知集合{}13},1|{<=<=x x B x x A ，则（） A ．}0|{<=x x B AB ．R B A =C ．}1|{>=x x B AD ．φ=B A2．函数的定义域为（） A.()+∞,0 B. [)+∞,0 C. ()+∞,1 D.[)+∞,13．下列函数在()+∞,0上为增函数的是（）A ．1+=x yB ．122--=x x yC ．x y -=2D ． 4．下列函数中既不是奇函数又不是偶函数的是（）A ．x e x y +=BC ．x x y -+=22 D 12+=x y5、下列四个函数中与x y =表示同一个函数的是（）A ．()2x y =B ．33x y =C ．2x y =D ． 6．已知函数⎩⎨⎧≤+>+=1,121,5)(2x x x x x f ，则=)]1([f f （） A. 3B. 13C. 8D. 18 7. 已知342=a ，524=b ，213-=c ，则c b a ,,的大小关系是 ( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b a c >>8．定义在R 上的函数()f x =25,1,, 1.x ax x a x x---≤>⎧⎨⎩对任意12x x ≠都有，1212()[()()]0x x f x f x -->成立，则实数a 的取值范围是（）A. [3,2]--B. [3,0)-C. (,2]-∞-D. (,0)-∞121)(-=x x f9．已知函数2)(7-+=bx ax x f ，若10)2017(=f ，则)2017(-f 为（）A. 10B. -10C. 14D. -1410.函数)(x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若1)1(-=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的取值范围是（）A. []2,2-B. []1,1-C. []4,0D. []3,112. 已知函数)(x f ，对任意的两个实数21,x x ，都有)()()(2121x f x f x x f =+成立，且0)0(≠f ，则(2006)(2005)f f -⋅-(2005)(2006)f f ⋅的值是( ) A. 0 B. 1 C. 2006 D. 20062第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.2231125()2-+。

安徽省滁州市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1}A x x =>，{|32}x B x =>，则AB =（）A ．(01)，B ．(12)，C ．(1)+∞，D ．(0)+∞， 2.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（） A ．44π- B ．4π C ．34π- D ．24π-3.复数2i1iz +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．z =．z 的共轭复数为31i 22+ C ．z 的实数与虚部之和为1 D ．z 在平面内的对应点位于第一象限 4.若31log 2a =，2log 3b =，312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >> C.b a c >> D ．c a b >> 5.若执行如图所示的程序图，则输出S 的值为（）A ．13B ．14 C.15 D ．166.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63a =，812S =，则{}n a 的公差为（） A ．1- B ．1 C.2 D ．37.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥ B ．若m α⊂，αβ∥，则m β∥ C. 若n β⊥，αβ⊥，则n α∥ D ．若m α⊂，n β⊂，l αβ=，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥8.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（）A ．10B ．12 C.14 D ．169.已知实数x ，y 满足2210x yx y +⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（）A ．1B ．2 C.3 D ．410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，将曲线()y f x =向左平移4T 个单位之后，得到曲线sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的一个单调递增区间为（）A ．123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．223ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11.过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：22(5)4x y ++=和圆2C ：222(5)x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（）A ．1 B．212.已知函数322310()10ax x x x f x e x ⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩，，≥在[22]-，上的最大值为5，则实数a 的取值范围是（）A ．[2ln 2)-+∞，B ．[0ln 2]，C.(0]-∞， D ．[ln 2)-+∞，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2)a k k =-+，，(23)b =-，，若(2)a a b +∥，则实数k = ． 14.6(2)()x y x y +-的展开式中，43x y 的系数为（用数字作答）．15.若在各项都为正数的等比数列{}n a 中，12a =，393a a =，则2018a = ．16.已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线l ：54x =-，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA l ⊥，直线AF 的倾斜角为3π，则MF = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos ()cos b A c B c a B -=-. （1）求角B 的值；（2）若ABC △的面积为b =a c +的值.18. 随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续300亿立方米的年增量.进口LNG 和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续200天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格（2）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在101~150以及151~200的等级中抽取14天进行调研，再从这14天中任取4天进行空气颗粒物分析，记这4天中空气质量指数在101~150的天数为X，求X的分布列；（3）以频率估计概率，根据上述情况，若在一年365天中随机抽取5天，记空气质量指数在150以上（含150）的天数为Y，求Y的期望.19. 已知三棱锥D ABC-中，BE垂直平分AD，垂足为E，ABC△形，60DAB∠=︒，CD=，CF⊥平面ABD，垂足为F，O为线段AB的中点.（1）证明：AB⊥平面DOC；（2）求CF与平面BCD所成的角的正弦值.20. 已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的左右焦点分别为1F，2F，若椭圆上一点P满足124PF PF+=，且椭圆C过点312⎛⎫--⎪⎝⎭，，过点(40)R，的直线l与椭圆C交于两点E F.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点E 作x 轴的垂线，交椭圆C 于N ，求证：N ，2F ，F 三点共线. 21. 已知函数2()ln f x x x x =--. （1）求函数()f x 的极值；（2）若1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-（0a >）的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 相交于A ,B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12018f x x =-+.（1）解关于x 的不等式()2018f x x >+；（2）若2(43)((4)1)f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围.参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBCBA 11、12：BD二、填空题13.4 14.10 15.20182 16.5三、解答题17.解：（1）∵cos cos ()cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理，得sin cos sin cos (sin sin )cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=. sin()2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴sin()sin A B C +=. 又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又(0)B π∈，，3B π∴=. （2）据（1）求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 2S ac B ==，∴12ac =，②又13b =，∴据①②解，得7a c +=. 18.解：（1）所求表格数据如下：（2）依题意，从空气质量指数在101~150以及151~200的天数分别是10,4；故X 的可能取值为0，1，2，3，4；141141(0)1001C P X C ===，3141031440(1)1001C C P X C ===，22410414270(2)1001C C P X C ===，134********(3)1001C C P X C ===，410414210(4)1001C P X C ===. 故X 的分布列为：（3）依题意，任取1天空气质量指数在150以上的概率为320. 由二项分布知识可知，3~520Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故33()5204E Y =⨯=.19.（1）证明：∵BE 垂直平分AD ，垂足为E ，∴ABDB =. ∵60DAB ∠=︒，∴ABD △是等边三角形. 又ABC △是等边三角形.∴O 是AB 中点，DO AB ⊥，CO AB ⊥. ∵DOCO O =，DO ，CO ⊂平面DOC ，∴AB ⊥平面DOC .（2）解：由（1）知OC OD =，平面DOC ⊥平面ABD . 因为平面DOC 与平面ABD 的交线为OD . ∵CF ⊥平面ABD .∴F CD ∈. 又等边ABC △OC =又CD =，∴ F 是OD 中点. 如图建立空间直角坐标系O xyz -，(100)B ，，，(00)C，3(0)2D ，，3(0)4F ，所以3(0)4CF =，，，(10)BC =-，3(1)2BD =-，设平面BDC 的法向量为()n x y z =，，，则302n BC x n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取y =3x =，1z =. 即平面BCD的一个法向量为(31).所以CF 与平面BCD所成角的正弦值为32CF n CF n⋅-==⋅⋅20.解：（1）依题意，1224PF PF a +==，故2a =.将312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入22214x y b +=中，解得23b =，故椭圆C ：22143x y +=.（2）由题知直线l 的斜率必存在，设l 的方程为(4)y k x =-.点11()E x y ，，22()F x y ，，11()N x y -，，联立22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22234(4)12x k x +-=. 即2222(34)3264120k x k x k +-+-=，0∆>，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+由题可得直线FN 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，又∵11(4)y k x =-，22(4)y k x =-. ∴直线FN 方程为211121(4)(4)(4)()k x k x y k x x x x x -+-+-=--，令0y =，整理得2122111212112124424()88x x x x x x x x x x x x x x x --+-+=+=+-+-22222264123224343432834k k k k k k -⨯-⨯++=-+22222434132243234k k k k -+==--+，即直线FN 过点(10)，. 又∵椭圆C 的左焦点坐标为2(10)F ，，∴三点N ，2F ，F 在同一直线上.21.解：（1）依题意，2121()21x x f x x x x--'=--=(21)(1)x x x +-=故当(01)x ∈，时，()0f x '<，当(1)x ∈+∞，时，()0f x '> 故当1x =时，函数()f x 有极小值(1)0f =，无极大值.（2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根.∴1122ln 0(1)ln 0(2)ax x ax x -=⎧⎨-=⎩两式相减得2121()ln 0x a x x x -+=，解得2121lnx x a x x =-要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a<，即证：2211221()ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证222212111212()ln 2x x x x x x x x x x ⎛⎫-<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>.只需证21ln 2t t t<-+. 设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭；令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1)+∞，上单调递减， ∴()(1)h t h <0=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1)+∞，为减函数，∴()(1)0g t g <=. 即21ln 2t t t<-+在(1)+∞，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<. 22.解：（1）曲线1C 的普通方程为221x y +=. 曲线2C 的普通方程为10x y --=. （2）据22110x y x y ⎧+=⎨--=⎩得01x y =⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩所以线段AB23.解：（1）()2018f x x >+可化为1x x ->，所以22(1)x x ->，所以12x <，所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. （2）因为函数()12018f x x =-+在[1)+∞，上单调递增， 431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+. 所以243(4)1a a -+>-+所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<. 即实数a 的取值范围是(26)，。

2017-2018学年安徽省江淮十校高三(上)第一次联考数学试卷(理科)

2017-2018学年安徽省江淮十校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|log2（4﹣x）≤1}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．（5分）若复数z满足（+i）z=4i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．+i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）如图是某年北京国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，每个直角三角形的两直角边的和是5，在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a3+a8=13，且a4=5，则a7=（）A．11 B．10 C．9 D．85．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S＞100”改为关于n的不等式“n≥n0”且要求输出的结果不变，则正整数n0的取值（）A．是4 B．是5 C．是6 D．不唯一7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[2，4]B． C． D．8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象经过点（0，1），则函数g（x）=cos（2x+φ）（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上有最大值D．在区间上有最小值9．（5分）函数f（x）=的大致图象（）A．B．C．D．10．（5分）已知球O1与正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的所有表面都相切，并且该三棱柱的六个顶点都在球O2上，则球O1与O2的表面积之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：511．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣4x）sin（x﹣2）+x+1在[﹣1，5]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．0 B．2 C．4 D．612．（5分）已知F为抛物线x2=2py的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A，B 两点，l1，l2分别是该抛物线在A、B两点处的切线，l1，l2相交于点C，设|AF|=a，|BF|=b，则|CF|=（）A．B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若非零向量，满足，则与的夹角余弦值为．14．（5分）在（x﹣2）（2x+1）5的展开式中，x5的系数为．（用数字作答）15．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=．16．（5分）对于数列{a n}，定义H n=为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n=2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，已知，外接圆半径R=2．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD=2，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．19．（12分）计划在某水库建一座至多安装2台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足100的年份有40年，不低于100的年份有10年．将年入流量在以上两段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多1年的年入流量不低于100的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X的限制，并有如下关系：某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定值．21．（12分）已知函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=﹣2时，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．在22，23两题中任选一题作答，如果多做则按所作第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）若存在实数x0，使得不等式f（x0）＜|m+t|+|t﹣m|对任意实数t恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年安徽省江淮十校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|log2（4﹣x）≤1}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={x|log2（4﹣x）≤1}={x|0＜4﹣x≤2}={x|2≤x＜4}，则A∩B={2，3}．故选：B．2．（5分）若复数z满足（+i）z=4i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．+i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：由（+i）z=4i，得z=，∴．故选：D．3．（5分）如图是某年北京国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，每个直角三角形的两直角边的和是5，在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，由题意，得，解得a=3，b=2．∵大方形的边长为，小方形的边长为a﹣b=3﹣2=1，∴满足题意的概率值为：．故选：A．4．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a3+a8=13，且a4=5，则a7=（）A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a3+a8=13，且a4=5，∴，解得a1=2，d=1，∴a7=a1+6d=8．故选：D．5．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S＞100”改为关于n的不等式“n≥n0”且要求输出的结果不变，则正整数n0的取值（）A．是4 B．是5 C．是6 D．不唯一【解答】解：框图首先赋值n=1，s=2，执行n=1+1=2，s=2+4=6；判断框中的条件不满足，执行n=2+1=3，s=6+8=14；判断框中的条件不满足，执行n=3+1=4，s=14+16=30；判断框中的条件不满足，执行n=4+1=5，s=30+32=62；判断框中的条件不满足，执行n=5+1=6，s=62+64=126；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，退出循环输出结果s为126．若将判断框内“S＞100”改为关于n的不等式“n≥n0”且要求输出的结果不变，则条件6≥n0成立，可得正整数n0的取值为6．故选：C．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[2，4]B． C． D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则=，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象可知BD的斜率最小，AD的斜率最大，由得B（2，1）．此时k==1，由得A（1，2）k==3，即1≤k≤3，则2≤k+1≤4，即2≤z≤4，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象经过点（0，1），则函数g（x）=cos（2x+φ）（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上有最大值D．在区间上有最小值【解答】解：已知函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到：k（x）=sin（2x++∅），所得的函数图象经过点（0，1），所以：k（0）=1，则：π+∅=2k（k∈Z），解得：（k∈Z），已知：﹣π＜φ＜0，则：．所以：g（x）=cos（），函数的单调递增区间为：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z），解得：x∈[kπ﹣，]（k∈Z），函数的单调递减区间为：（k∈Z），解得：x（k∈Z），根据k的取值，在k=1时，选项A、B、D错误．故选：C9．（5分）函数f（x）=的大致图象（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣x）===﹣=﹣f（x），所以函数是奇函数，排除选项A．当x→0，x＞0时，3x cos3x→1，9x﹣1→0，排除选项B，当x=2π时，f（2π）≈=3﹣2π→0，排除选项C．故选：D．10．（5分）已知球O1与正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的所有表面都相切，并且该三棱柱的六个顶点都在球O2上，则球O1与O2的表面积之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【解答】解：取BC中点D，B1C1中点D1，连结AD、A1D1，取△ABC重心E、△A1B1C1重心F，连结EF，由EF中点为O1和O2，设AB=a，则球O1的半径r1=EO1=ED==，AE==，∴球O2的半径r2===，∴球O1与O2的表面积之比为：=．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣4x）sin（x﹣2）+x+1在[﹣1，5]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．0 B．2 C．4 D．6【解答】解：∵f（x）=（x2﹣4x）sin（x﹣2）+x+1=[（x﹣2）2﹣4]sin（x﹣2）+x﹣2+3，令g（x）=[（x﹣2）2﹣4]sin（x﹣2）+x﹣2，而g（4﹣x）=[（x﹣2）2﹣4]sin（2﹣x）+（2﹣x），∴g（4﹣x）+g（x）=0，则g（x）关于（2，0）中心对称，则f（x）在[﹣1，5]上关于（2，3）中心对称．∴M+m=6．故选：D．12．（5分）已知F为抛物线x2=2py的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A，B 两点，l1，l2分别是该抛物线在A、B两点处的切线，l1，l2相交于点C，设|AF|=a，|BF|=b，则|CF|=（）A．B． C． D．【解答】解：对抛物线x2=2py （p＞0）两边对x求导数，得到2py′=2x，则y′=．设A（m，n），B（s，t），则切线l1的斜率为，切线l2的斜率为，设AB：y=kx+，代入抛物线方程，消去y得，x2﹣2pkx﹣p2=0，则m+s=2pk，ms=﹣p2，则•=﹣1，即有l1⊥l2，又l1：y﹣n=（x﹣m），即有py=mx﹣pn，同理可得l2：py=sx﹣pt，由于m2=2pn，s2=2pt，则由l1，l2解得交点C（，﹣），即（pk，﹣），则CF的斜率为：=﹣k，故直线AB与直线CF垂直，在直角三角形ABC中，CF是斜边AB上的高，则由射影定理可得，CF2=AF•BF，即有CF==，故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若非零向量，满足，则与的夹角余弦值为．【解答】解：设向量、的夹角为θ；因为，∴||2=9||2=（）2=2；即42cosθ=0，||=，∴+||•||cosθ=0cosθ=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）在（x﹣2）（2x+1）5的展开式中，x5的系数为﹣16．（用数字作答）【解答】解：（2x+1）5展开式的通项公式为：T r+1=C5r•（2x）r，令r=5，所以T6=C55•（2x）5=32x5；令r=4，所以T5=C54•（2x）4=80x4；所以（x﹣2）（2x+1）5展开式中x5的系数为32×（﹣2）+80×1=﹣16．故答案为：﹣16．15．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e=5．【解答】解：可设P为第一象限的点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①•=0，可得PF1⊥PF2，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2，即有|PF1|+|PF2|=，由三角形的面积公式可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=|PF1|•|PF2|，即为2a（+2c）=2b2，即有c+2a=，两边平方可得c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2﹣a2，即c2﹣4ac﹣5a2=0，解得c=5a（c=﹣a舍去），即有e==5．故答案为：5．16．（5分）对于数列{a n}，定义H n=为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n=2n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立，则实数k的取值范围为≤k≤．【解答】解：由题意，H n==2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1a n=n2n+1，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1=（n﹣1）2n，则2n﹣1a n=n2n+1﹣（n﹣1）2n=（n+1）2n，则a n=2（n+1），对a1也成立，故a n=2（n+1），则a n﹣kn=（2﹣k）n+2，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a5≥0，a6≤0；即解得，≤k≤，故答案为：≤k≤．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，已知，外接圆半径R=2．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，已知2sin2+cos2C=1∴由三角函数公式可得1﹣cos（A+B）+cos2C=1，∵A+B+C=π，∴cos（A+B）=﹣cosC，∴2cos2C+cosC﹣1=0，解得cosC=﹣1（舍），或cosC=，∴C=；（2）由正弦定理可得=2R=4，∴c=4sinC=4×=2，由余弦定理可得12=c2=a2+b2﹣2abcosC≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab≤12，=absinC≤×12×=3，∴S△ABC故△ABC面积的最大值为3．18．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD=2，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．【解答】证明：（1）∵AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，∠ADC=60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD．解：（2）∵CD=2，AD=2CD，∠ADC=60°，∴AD=4，AC==2，设AA1=λAC=2λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），则=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣2），=（0，0，﹣2），设面C1AD的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设面C1DC的一个法向量为=（0，1，0），∵二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，∴|cos＜，＞===，解得λ=1，即AA1=AC，﹣A1CD的体积V=V=CD AC•AA1=×2×则三棱锥C2=4．19．（12分）计划在某水库建一座至多安装2台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足100的年份有40年，不低于100的年份有10年．将年入流量在以上两段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多1年的年入流量不低于100的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X的限制，并有如下关系：某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解答】解：（1）依题意，P（40＜X＜100）=，P（X≥100）=，由二项分布知，在未来4年中至多有1年入流量不低于100的概率为：P=C40•（0.8）4+C41•（0.8）3•0.2=0.8192；（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000．②安装2台发电机．依题意，当40＜X＜100时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜100）==0.8，当X≥100时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥100）==0.2，由此得Y的分布列如下：∴E（Y）=4200×0.8+10000×0.2=5560．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e==，则a=2c，将x=c代入椭圆方程，解得：y=±，|RS|==3，由a2=b2+c2，则a=2，b=，c=1，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）=k2+1＞0恒成立，x1+x2=，x1x2=，由k TR+k TS=+，TR，TS的斜率存在，由R，S两点的直线y=k（x﹣1），故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），则=，由2x1x2﹣5（x1+x2）+8=2×﹣5×+8=0，∴k TR+k TS=0，∴直线TS与TR的斜率之和为0，综上所述，直线TS与TR的斜率之和为为定值，定值为0．21．（12分）已知函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a=﹣2时，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣+（1﹣a）x，a∈R，∴f′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，…（1分）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0．∴f（x）在（0，+∞）上是递增函数，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．…（3分）当a＞0时，f′（x）=，令f′（x）=0，得x=．∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．…（5分）综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．…（6分）（2）当a=﹣2时，f（x）=lnx+x2+3x，（x＞0）正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，⇒lnx1+x12+3x1+lnx2+x22+3x2，+x1x2=0⇒（x1+x2）2+3（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2）令函数g（t）=t﹣lnt，（t＞0），则g′（t）=1﹣t∈（0，1）时，g′（t）＜0，t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0∴g（t）≥g（1）=1∴（x1+x2）2+3（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2）≥1．则x1+x2≥，或x1+x2（舍去）．∴x1+x2≥．在22，23两题中任选一题作答，如果多做则按所作第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆C的极坐标方程为，所以所以圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）由圆C的方程，可得，所以圆C的圆心是，半径是2，将，代入，得u=4﹣t，又直线l过，圆C的半径是2，所以﹣2≤t≤2，即的取值范围是[2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）若存在实数x0，使得不等式f（x0）＜|m+t|+|t﹣m|对任意实数t恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，∵不等式f（x）＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x≤，解③求得＜x＜．综上可得，不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜|m+t|+|t﹣m|对任意实数t恒成立，由（1）知函数f（x）的最小值为f（）=，∴=|m+t|+|t﹣m|＜|m+t﹣t+m|=|2m|对任意实数t恒成立成立，故|2m|＞，解得：m＞或m＜﹣，故实数t的取值范围为{m|m＞，或m＜﹣}．。

【全国市级联考word】安徽省滁州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(原卷版)

滁州市2017-2018学年第一学期高一期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D.2. 已知角的始边是轴的正半轴，终边经过点，且，则（）A. B. C. D.3. 计算：（）A. 3B. 2C.D.4. 已知向量，若，则（）A. B. 9 C. 13 D.5. 若幂函数的图象过点，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.6. 函数的最大值是（）A. B. C. 1 D.7. 下列函数是奇函数，且在上是增函数的是（）A. B. C. D.8. 若，是第二象限角，则（）A. B. C. D.9. 函数的零点为，则（）A. B. C. D.10. 在平行四边形中，是中点，是中点，若，则（）A. B. C. D.11. 曲线，曲线，下列说法正确的是（）A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到12. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13. 若，则__________．14. ，则__________．15. 若函数在是单调函数，则实数的取值范围是__________．16. 已知函数在区间内单调递减，则的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．18. 已知向量．（1）若与共线，求的值；（2）记，求的最大值和最小值，及相应的的值．19. 已知函数的图象过点．（1）若，求实数的值；（2）当时，求函数的取值范围．20. 函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求图中的值及函数的递增区间．...21. 已知都是锐角，．（1）求的值；（2）求的值．22. 已知函数．（1）求证：是奇函数；（2）判断的单调性，并证明；（3）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．。

安徽省六校2018届高三数学第一次联考试题文201709070124

安徽省六校 2018届高三（上）第一次联考数学（文科）试卷（考试时间：120分钟试卷分值：150分）一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分． 1．设集合 A {x | x 2 4 0},B{x | x 2 0}，则 A B （）A ．x x 2B.x x 2C.x x 2或x 2D.1x x 22．已知复数 z 满足： (z i )(1 2i ) i 3 （其中i 为虚数单位），则复数 z 的虚部等于()241 A ．B ．C ．D ．55 53 53．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为( )A.1B.2C.3D.4 4. “a1”是“a 2 a 成立”的()A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充分必要条件D . 既不充分也不必要条件1 x2yx 2y215.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）4313 A ． B ．C ． 1D ．2236.设 a ，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若 α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则 a ∥b B ．若 a ∥α，b ⊥β，且 α⊥β，则 a ∥b C ．若 a ⊥α，a ∥b ，b ∥β，则 α⊥β D ．若 a ⊥b ，a ⊂α，b ⊂β，则 α⊥β7. 在区间0,上随机地取一个数x ,则事件“sin 1 ”发生的概率为（）x2 3211A ．B ．C ．D ．4 3 2 3cos 18.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b1，B，A,则a4 31( )4 2 3 A ．B ．C ．D ．33429.已知向量 a ,b 均为单位向量，且夹角为 60° ，若 (a b )(ab ) | a b | ，则实数（）A ． 3B ．3C ．1D ．310. 已知函数 fx是奇函数，若函数2 的一个零点为，则必为下列哪个y xf xxxx函数的零点（）A ． y 2f x xB ．xy 2x f x1 xC ． y 2 f x xD ．xy fx2x1xy | x |11.设实数 x , y 满足不等式组，则的最大值为（）2xyx 2y 4 04412A ．B ．C ．D ．3312.已知函数 f (x )sin x cos x ， x[0,)，直线 L 过原点且与曲线 yf (x ) 相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为，则下列说法正确的是（）x 1, x 2 , x 3,, x n,A.| f (x ) |1B.数列{x } 为等差数列nnC.x tan(x )D.[ f(x )]2x 2n2 n n n4 x 12n二．选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

安徽省滁州市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，∴，故选C.2. 在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设正方形边长为，则，故选A.3. 复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（）A. B. 的共轭复数为C. 的实数与虚部之和为D. 在平面内的对应点位于第一象限【答案】D【解析】，所以，，的实部与虚部之和为2，对应点为，在第一象限，D正确，故选D.........................4. 若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知，，，∴，故选B.5. 若执行如图所示的程序图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，故选A.6. 已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，则，∴，故选B.7. 已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，且，，则【答案】B【解析】两个平行平面中的两条直线可能异面，A错；两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行，B正确；C中直线也可能在平面内，C错；任一二面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，D错.故选C.8. 榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.9. 已知实数，满足，若的最大值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出可行域，如图内部（含边界），其中，若A是最优解，则，，检验符合题意；若B是最优解，则，，检验不符合题意，若，则最大值为34；若C是最优解，则，，检验不符合题意；所以，故选B.10. 已知函数的最小正周期为，将曲线向左平移个单位之后，得到曲线，则函数的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由题意，，，只有A符合，故选A.11. 过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：（）作切线，切点分别为，，若的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，所以，显然其最小值为，，故选B.12. 已知函数在上的最大值为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】时，，，或，，当时，，，时，，符合题意；时，，因此在上是增函数，，符合题意；时，，在上是减函数，，所以，，综上有，故选D.点睛：求函数在闭区间上的最值，可先求导函数，利用导函数确定极值点，当然作为填空题或选择题可不需要确定是极大值还是极小值，因此最值一定在极值点或区间的端点处取得，只要求得相应的函数值比较即得．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】，则题意，解得.14. 的展开式中，的系数为__________（用数字作答）．【答案】【解析】.15. 若在各项都为正数的等比数列中，，，则__________．【答案】【解析】设公比为，则，（因），∴.16. 已知抛物线：（）的焦点为，准线：，点在抛物线上，点在准线上，若，直线的倾斜角为，则__________．【答案】【解析】如图，设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，∴，双，∴，又由已知，即，∴.点睛：破解抛物线上的动点与焦点、定点的距离和最值问题的关键：一是“化折为直”的思想，即借助抛物线的定义化折为直；二是“数形结合”思想，即画出满足题设条件的草图，通过图形的辅助找到破题的入口．本题就是得出＝，然后再由已知得等边三角形，从而有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，，求的值.【答案】（1）（2）7【解析】试题分析：（1）由正弦定理把已知等式化为角的关系，再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得，从而得；（2）由三角形面积公式及已知可得，再利用余弦定理可求得.试题解析：（1）∵.∴由正弦定理，得.∴..又，∴.又∵，.又，.（2）据（1）求解知，∴.①又，∴，②又，∴据①②解，得.18. 随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续亿立方米的年增量.进口LNG和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格空气质量指数（（2）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在以及的等级中抽取天进行调研，再从这天中任取天进行空气颗粒物分析，记这天中空气质量指数在的天数为，求的分布列；（3）以频率估计概率，根据上述情况，若在一年天中随机抽取天，记空气质量指数在以上（含）的天数为，求的期望.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可计算各区间的天数，从而填写表格；（2）由分层抽样的概念可知从空气质量指数在以及的天数分别是，则的可能取值为，，，，，应用组合的知识及概率公式可计算出相应概率，得概率分布列；（3）由（2）任取天空气质量指数在以上的概率为.变量，由二项分布知识要计算出期望．试题解析：（1）所求表格数据如下：空气质量指数（（2）依题意，从空气质量指数在以及的天数分别是；故的可能取值为，，，，；，，，，.故的分布列为：（3）依题意，任取天空气质量指数在以上的概率为.由二项分布知识可知，，故.19. 已知三棱锥中，垂直平分，垂足为，是面积为的等边三角形，，，平面，垂足为，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证线面垂直，一般先证线线垂直，这可由和是等边三角形及O是AB中点易得；（2）要求直线与平面所成的角，一种方法作出线面角的平面角，然后解三角形得结论，也可建立空间直角坐标系，如解析中的坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，由方向向量与法向量的夹角与直线和平面所成角互余可得．试题解析：（1）证明：∵垂直平分，垂足为，∴.∵，∴是等边三角形.又是等边三角形.∴是中点，，.∵，，平面，∴平面.（2）解：由（1）知，平面平面.因为平面与平面的交线为.∵平面.∴.又等边面积为，∴又，∴ 是中点.如图建立空间直角坐标系，，，，所以，，设平面的法向量为，则，取，则，.即平面的一个法向量为.所以与平面所成角的正弦值为.20. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：，，三点共线.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得，再把点的坐标代入可求得，得椭圆方程；（2）由于的坐标为，因此我们可以求出直线的方程，再证明点在此直线上即可．为此设设的方程为，点，，，联立直线方程与椭圆方程，消元后得一元二次方程，用韦达定理得，写出直线方程，并把代入得直线方程，令，求出，利用可得结果，结论得证．试题解析：（1）依题意，，故.将代入中，解得，故椭圆：.（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.点，，，联立得.即，，，由题可得直线方程为，又∵，.∴直线方程为，令，整理得，即直线过点.又∵椭圆的左焦点坐标为，∴三点，，在同一直线上.点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：（1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为；（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；（3）利用韦达定理得，，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）．21. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若，是方程（）的两个不同的实数根，求证：. 【答案】（1）有极小值，无极大值.（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出导函数，再求出的零点，确定零点两侧的正负，得极值；（2）关键是参数的转换，由是某方程的解，代入得，两式相减可解得，这样要证的不等式即为证，这样可用换元法，设，且不妨役，于是有，只要证，此时又可转化为求函数的最大值，求出的导数，，为确定的正负及零点，可对函数求导，利用导数确定它的单调性，最终确定的单调性，从而得出结论．试题解析：（1）依题意，故当时，，当时，故当时，函数有极小值，无极大值.（2）因为，是方程的两个不同的实数根.∴两式相减得，解得要证：，即证：，即证：，即证，不妨设，令.只需证.设，∴；令，∴，∴在上单调递减，∴，∴，∴在为减函数，∴.即在恒成立，∴原不等式成立，即.点睛：本题不等式的证明难点是变量较多，因此首先找到参数与的关系（可利用方程根的定义），然后把代入，转化为只有参数的不等式，接着设，这样不等式就变为只有一个变量的不等式，从而可借助函数的知识来证明，其次在证明转化后的不等式时，把不等式化为，用导数知识求得的最大值，证明此最大值＜0即可，为确定的正负，可能还要确定（或其中的一部分）的单调性，因此还要再一次求导，才能得出结论．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若曲线，相交于,两点，求线段的长度.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程，利用三角函数的平方关系消参数可得的普通方程；（2）把的直角坐标方程联立方程组，解得两曲线的交点，由两点间距离公式可得线段长度．试题解析：（1）曲线的普通方程为.曲线的普通方程为.（2）据得或所以线段的长度为23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）不等式可化为，两边平方可去掉绝对值符号得二次不等式，从而得到解集；（2）利用函数在上是单调增函数，函数不等式可化为，把作为一个整体，可求得此不等式的解集．试题解析：（1）可化为，所以，所以，所以所求不等式的解集为.（2）因为函数在上单调递增，，，.所以所以，所以，所以. 即实数的取值范围是。