固体01_03晶向晶面

说明： 说明：晶向可以在原胞 基矢坐标系中表示， 基矢坐标系中表示，也 可以在单胞基矢坐标系 中表示。 中表示。
2.晶向指数 2.晶向指数
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
′ ′ ′ R = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3
a 1 ,a 2 ,a 3
为固体物理学原胞基矢
′ ′ ′ 其中 l1 , l2 , l3 为整数，将 l1 , l2 , l3 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ， ′ ′ ′ 为整数， 记为[ l1l2l3]， [ l1l2l3 ]即为该晶列的晶列指数。一个晶列簇中 记为[ ]， ]即为该晶列的晶列指数。 即为该晶列的晶列指数 的各个晶列，其晶向指数相同，中括号专指方向。 的各个晶列，其晶向指数相同，中括号专指方向。
C B
G
a
AEG 的密勒指数是 (111)； ； OEFG的密勒指数是 (001)； 的密勒指数是 ； DIHG的密勒指数是 (120)。 的密勒指数是 。
I F
O
E
H
例3:
在立方晶系中画出(210)、 121) 晶面。 、 ( 晶面。 在立方晶系中画出
解：晶面在三个坐标轴上的截距分别为： 晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
3
为坐
标系的三个轴， 为该晶面族相邻晶面间的距离， 标系的三个轴，d为该晶面族相邻晶面间的距离，该晶面法 线方向的单位矢量用 表示。 表示 n 。
的末端上的格点分别在离原点距离h 、 、 设 a1 , a2 , a3的末端上的格点分别在离原点距离 1d、h2d、 h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。 的晶面上， 的晶面上 A3 N
3. 简单立方晶格的晶向标志
在立方体中有，沿立方边的晶列一共有 个不同的晶向 在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向 个晶向并没有什么区别， ，由于晶格的对称性，这6个晶向并没有什么区别，晶体在 由于晶格的对称性， 个晶向并没有什么区别 这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶 这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶 写成< > 向，写成<100>。
综上所述，晶面指数 表示的意义是； 综上所述，晶面指数(h1 h2 h3 )表示的意义是； 表示的意义是 (1)基矢 被平行的晶面等间距的分割成h (1)基矢a1 , a2 , a3 被平行的晶面等间距的分割成 1、h2、h3 等份； 等份； (2)以 a1 , a2 , a3 (2)以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴 上的截距倒数的互质比； 上的截距倒数的互质比；
2.晶面指数（晶面的标志） 2.晶面指数（晶面的标志） 晶面指数 一个晶面的标志，就是要指明它的空间方位。 一个晶面的标志，就是要指明它的空间方位。 空间方位 一个晶面的空间方位， 一个晶面的空间方位，由该晶面在三个坐标轴上的截 距完全确定； 距完全确定；与这三个截距的倒数相对应的三个互质 整数，就称为该晶面的晶面指数。 整数，就称为该晶面的晶面指数。 晶面指数
3. 等效晶面
用大括号表示， 用大括号表示，即：{h1h2h3} 例1：立方晶格中的晶面(100) 立方晶格中的晶面(100) 及其等效晶面{100} 及其等效晶面{100}
(100)与立方边[100] 垂直 (100)与立方边[100] 与立方边
等效晶面{110} 等效晶面{110}
(110)面等效的晶面数为：6个 面等效的晶面数为： 个 面等效的晶面数为 (110) (110) (011) (011) (101)（101） （ ） (110)与面对角线 与面对角线[110] 垂直 与面对角线
DIHG 2 1 ∞
AEG 1 在三个坐标 h' 1 轴上的截距 k'
l'
ABCD ∞ ∞ 1 1 1 1 : : ∞ ∞ 1 (001) D A
c
b
DIHG 2 1 ∞
1 1:1:1 (111)
1 1 1 h: k : l = : : h′ k′ l′
(hkl)
1 1 1 : : 2 1 ∞ (120)
n
A A
1 2
a 3 µd
a2
O
a1
(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族 中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1 , a2 , a3 末端 中必有一个晶面通过坐标系的原点； 上的格点也一定落在该晶面族的晶面上； 上的格点也一定落在该晶面族的晶面上； (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故 在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。 在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。 最靠近原点的晶面在坐标轴上的截距为： 最靠近原点的晶面在坐标轴上的截距为：
晶面的性质： 晶面的性质：
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； 平行的晶面组成晶面族 (2)晶面上格点分布具有周期性； (2)晶面上格点分布具有周期性； 晶面上格点分布具有周期性 (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； 同一晶面族中的每一晶面上 (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。 (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。 同一晶面族中相邻晶面间距相等
< 110 >：沿立方体的面对 ： 角线的晶向共有12个 角线的晶向共有 个
< 111 >：沿立方体的体对角 ： 线的晶向共有8个 线的晶向共有 个
注意: 注意:
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； (1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列指数一定是一组互质的整数 (2)晶列指数用方括号表示[ (2)晶列指数用方括号表示[l1 l2 l3 ]； 晶列指数用方括号表示 ； (3)遇到负数在该数上方加一横线。 (3)遇到负数在该数上方加一横线。 遇到负数在该数上方加一横线 晶列(11-1) 晶列(11(11 晶列[11晶列[11-1] [11 晶列(111) 晶列(111) 晶列[111] 晶列[111]
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值
#
以布拉伐原胞基矢 a, b,c 以布拉伐 为坐标轴来表示的晶面指
数称为密勒指数，用(h k l)表示。 数称为密勒指数， )表示。 密勒指数 说明： 和面指数(h 说明：晶面的密勒指数（h k l）和面指数 1h2h3 ) ，使用 起来各有所长；其显著的特点是 密勒指数所用的坐标系 起来各有所长；其显著的特点是，密勒指数所用的坐标系 各有所长 特点 比较简单，单胞基矢坐标系的坐标轴大多是互相垂直的， 比较简单，单胞基矢坐标系的坐标轴大多是互相垂直的， 从而晶面的密勒指数比较容易确定；而面指数在数学解析 从而晶面的密勒指数比较容易确定； 面指数在数学解析 分析中具有很多优越的性质，例如，面指数 分析中具有很多优越的性质，例如，面指数(h1h2h3 ) 直接 给出的是距离原点最近的晶面， 给出的是距离原点最近的晶面，这在计算晶面间距时比较 简单；根据情况不同，两种晶面指数的方便程度不同； 简单；根据情况不同，两种晶面指数的方便程度不同；在 做习题和进一步学习以及实际应用的过程中， 做习题和进一步学习以及实际应用的过程中，晶面的密勒 指数和面指数都会用到。 指数和面指数都会用到。
√
(4)等效晶向< (4)等效晶向<l1 l2 l3 >。 等效晶向 。
晶胞基矢坐标系中 基矢坐标系中， 在晶胞基矢坐标系中，沿晶向到最近 一个格点的位置矢量可以表示为
*
R = ma + nb + pc
晶向指数： 晶向指数：[m n p]
二、 晶面及密勒指数
1.晶面 1.晶面 在布拉伐格子中作一族平行的平面，这些相互平 在布拉伐格子中作一族平行的平面，这些相互平 行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗，这些 等间距的平面可以将所有的格点包括无遗， 的平面可以将所有的格点包括无遗 相互平行的平面称为晶体的晶面。 相互平行的平面称为晶体的晶面。 晶面
a1 a 2 a 3 , , h1 h 2 h 3
则该晶面族表示为(h1h2h3),通常 1h2h3)称为该晶面族的面指 则该晶面族表示为 通常(h 称为该晶面族的面指 通常 称为该晶面族的 数。同族的其他晶面的截距为这组最小截距的整数倍。 同族的其他晶面的截距为这组最小截距的整数倍。 最小截距的整数倍
晶面指数有两种： 晶面指数有两种： 基于单胞基矢坐标系的晶面指数称为密勒指数， 基于单胞基矢坐标系的晶面指数称为密勒指数， 密勒指数 基于原胞基矢坐标系的晶面指数称为面指数 面指数。 基于原胞基矢坐标系的晶面指数称为面指数。
#
以固体物理学原胞基矢表示 取一格点为原点O 取一格点为原点O，原胞的三个基矢 a 1 , a 2 , a
(1)平行晶列组成晶列族， (1)平行晶列组成晶列族，晶列 平行晶列组成晶列族 族包含所有的格点； 族包含所有的格点； (2)晶列上格点分布是周期性的； (2)晶列上格点分布是周期性的； 晶列上格点分布是周期性的 (3)晶列族中的每一晶列上， (3)晶列族中的每一晶列上， 晶列族中的每一晶列上 格点分布都是相同的； 格点分布都是相同的； (4)在同一平面内， (4)在同一平面内，相邻晶列间的 在同一平面内 距离相等。 距离相等。 晶向的标志：原胞是最小的晶格重复单元， 晶向的标志：原胞是最小的晶格重复单元，格点只在原胞 的顶角上。 的顶角上。
等效晶面{111} 等效晶面{111}
(111)面等效的晶面数为：4个 面等效的晶面数为： 个 面等效的晶面数为 (111) (111) (111) (111)
简单立方晶格的密勒指数与晶面法线的晶向指数完全相同。 简单立方晶格的密勒指数与晶面法线的晶向指数完全相同。
符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有 意义，在晶体内部这些面都是等效的。 意义，在晶体内部这些面都是等效的。
a
(210)
1 2
1
b
1
c ∞
1
C E
B D
a F
c
G
wk.baidu.com
b
(121)
1 − 2
A
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面； 密勒指数是 面 密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面. 面
注意：包含坐标轴的晶面， 注意：包含坐标轴的晶面，无法确定该晶面在该
坐标轴上的截距，从而， 坐标轴上的截距，从而，无法直接确定该晶面的 晶面指数。由于互相平行的晶面，晶面指数相 晶面指数。由于互相平行的晶面， 同，我们可以首先找到一个与之平行的晶面，确 我们可以首先找到一个与之平行的晶面， 定其晶面指数， 定其晶面指数，该晶面指数也就是包含坐标轴的 晶面的晶面指数。 晶面的晶面指数。
晶向、 §1.3 晶向、晶面和它们的标志
一、晶向及晶向指数
1.晶向 1.晶向 通过晶格中任意两个格点连 一条直线称为晶列， 一条直线称为晶列，晶列的取向 晶列 称为晶向， 称为晶向，描写晶向的一组数称 晶向 为晶向指数(或晶列指数)。 晶向指数( 晶列指数) 过一格点可以有无数晶列。 过一格点可以有无数晶列。 晶列
例2：如图所示 a⊥b⊥c，I和H ： 和 分别为BC， 之中点 之中点， 分别为 ，EF之中点，试求晶面 AEG，ABCD，DIHG的密勒指数。 ， 的密勒指数。 ， 的密勒指数 解：
D A
c
b
C B
G
a
I F
O AEG 1 1 1 ABCD ∞ ∞ 1
E
H
在三个坐标 h' 轴上的截距 k' l'
晶列的特点
本教材上的描述为:在布拉伐格子中作一簇平行的直线， 本教材上的描述为:在布拉伐格子中作一簇平行的直线， 这些平行直线可以将所有的格点包括无遗， 这些平行直线可以将所有的格点包括无遗，这些平行直 线称为晶体的晶列 在一个平面里， 晶体的晶列。 线称为晶体的晶列。在一个平面里，相邻晶列之间的距 离相等。每一簇晶列定义了一个方向，称为晶向。 离相等。每一簇晶列定义了一个方向，称为晶向。 晶向
如遇到负数，将该数的上面加一横线。 如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 [121]表示
l1 = 1, l 2 = −2, l 3 = 1
例1:
晶列的晶向指数为[230] Rl = 2a1 + 3a 2 ，OA 晶列的晶向指数为
例2:
晶列的晶向指数为[311] Rl = 3a1 + a 2 + a3 ，OA 晶列的晶向指数为