考研数学高数习题集及其答案

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往年考研数学试题及答案

往年考研数学试题及答案

往年考研数学试题及答案一、选择题1. 根据题目所给的函数f(x)=x^2-2x+3,下列哪个选项是f(x)的导数?A. 2x-2B. x^2-2C. 2x-1D. 2x+3答案:A2. 已知等差数列的首项为a1=2,公差为d=3,求第5项的值。

A. 17B. 14C. 11D. 8答案:A二、填空题1. 若函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极值,则g'(2)的值为______。

答案:-12. 某工厂生产的产品,其成本函数为C(x)=50+0.1x^2,其中x表示产品数量。

若要使利润最大化,产品数量x应为______。

答案:200三、解答题1. 证明:对于任意实数x,不等式e^x ≥ x+1成立。

证明:令函数h(x) = e^x - (x + 1),则h'(x) = e^x - 1。

当x < 0时,h'(x) < 0,说明h(x)在x < 0时是递减的。

当x > 0时,h'(x) > 0,说明h(x)在x > 0时是递增的。

由于h(0) = e^0 - 1 = 0,所以对于所有x,h(x) ≥ 0,即e^x ≥ x + 1。

2. 已知曲线y = x^2与直线y = 4x在点(2,8)处相切,求曲线y =x^2在点(2,8)处的切线斜率。

解:曲线y = x^2的导数为y' = 2x。

将点(2,8)的横坐标x=2代入导数公式,得到切线斜率k = 2 * 2 = 4。

四、计算题1. 计算定积分∫[0,1] (2x - 3) dx。

解:根据定积分的计算法则,我们有:∫[0,1] (2x - 3) dx = [x^2 - 3x] (从0到1) = (1 - 3) - (0 - 0) = -2。

2. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在x=1处的切线方程。

解:首先求导数:y' = 3x^2 - 12x + 9。

高数考研习题及答案

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第一章 函数·极限·连续一. 填空题 1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ϕϕ则 定义域为___________.解.21)(sin )]([x x x f -==ϕϕ, )1arcsin()(2x x -=ϕ1112≤-≤-x , 2||,202≤≤≤x x2.设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a taxx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e=a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2.3.⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n 所以 n n n n +++++221 <n n n n n n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =214. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 5.)3(lim n n n n n --+∞→=_______.解.nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n6. 设当x bxaxe xf xx 为时++-=→11)(,0的3阶无穷小, 则.___________,==b a解.3030301lim )1(1lim 11limx ax bxe e bx x ax bxe e x bx axe k xx x x x x x x --+=+--+=++-=→→→203lim x abxe be e x x x x -++=→ ( 1 )2062lim x bxe be e x x x x ++=→ ( 2 )由( 1 ): 01)(lim 0=-+=-++→a b a bxe be e x x x x 由( 2 ):021)2(lim 0=+=++→b bxe be e x x x x21,21=-=a b7.⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______. 解.616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. 已知A n n n kkn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解.A kn n n n n k n k k n =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim 所以 k -1=1990, k = 1991; 1991111===k A A k ,二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(-∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点 解. (a) 反例 ⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1 (c) 反例 ⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1(d) 反设 g(x ) =)()(x f x ϕ在(-∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(-∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数x e x x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界(a) (-1, 0) (b) (0, 1) (c ) (1, 2) (d) (2, 3) 解. 42sin )0(,42sin )0(,)(lim ,)(lim1-=-=+∞=∞=→→f f x f x f x x 所以在(-1, 0)中有界, (a) 为答案.4. 当11211,1---→x e x x x 函数时的极限 (a) 等于2 (b) 等于0 (c ) 为∞ (d) 不存在, 但不为∞解. ⎩⎨⎧-→+→∞+=+=---→-→0101)1(lim 11lim 1111121x x e x e x x x x x x . (d)为答案.5. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在 解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 6. 设8)1()1()1(lim502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 =502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→=5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 7. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对解. (c)为答案. 8. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解.x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim 0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 9. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) -1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = -1, 所以(a)为答案.10. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ,其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =-4d (c) a = 4c (d) a =-4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =-4c, 所以(d)为答案.三. 计算题 1. 求下列极限(1)xxx e x 1)(lim ++∞→解.e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xx x =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2)x x xx )1cos 2(sinlim +∞→ 解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee yy yy yy y y y ==+-+→→(3)310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)sin 1(sin tan sin tan sin 10sin 1sin tan 1lim x x xx xx xx x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==30sin tan lim x xx x e -→=3)cos 1(sin limxx x x e-→=212sin 2sin lim32eexx x x =⋅→.2. 求下列极限(1)323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时,331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x(2)⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 解. 方法1:⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++-=21122cos 2sin cos 4cos 2lim 220+++-→x x x x x x x =2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2:⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x=3232lim 440=→x xx 3. 求下列极限 (1))1(ln lim-∞→nn n nn解.n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2)nxnxn e e --∞→+-11lim解.⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3)nn n n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0解.nnnn b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lima b c n x /,/1== xc xxx x x ae ca 2ln )1ln(lim 10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('xx dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xxx x x x320200)cos 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x xx x x x 所以0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1)1212)(11+-=xxx f解.11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x x x x x f π 00>≤x x解. f(+0) =-sin1, f(-0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;11sinlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点;)2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x cos 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e x x x f 1sin )( 00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数,则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)-x, 则F(a) = f(a)-a < 0, F(b) = f(b)-b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)-g(x), 则F(a) = f(a)-g(a) < 0, F(b) = f(b)-g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 11. 证明方程x 5-3x -2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5-3x -2, 则F(1) =-4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以 在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f x x x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→. 解.0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f x x x x x . 所以0)(3sin lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = -3. 因为 0)(3sin lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033cos 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→=2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x由293)(lim 20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章 导数与微分一. 填空题 1 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.解. )('31)()(lim 0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf =所以31=k 2. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy______. 解.0sin )'()'1(=+-++xy xy y y e y x , 所以xyx e e xy y y yx yx sin sin '--=++3. 已知f(-x) =-f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.解. 由f(-x) =-f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =-所以k x f x f =-=)(')('004. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +5. xx x f +-=11)(, 则)()(x fn = _______. 解.1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f 6. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解.x x x f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x xf -=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f 7. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 8. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y e yx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为x y 211=-, 即 x -2y + 2 = 0.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是(a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([! 解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以)()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x f n =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a(c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab解. b =0)0()(lim )0('0--=→x f x f f x =)1('1)1(1)1(1lim 0f ax f a x f a x =-+→, 所以=)1('f ab. (d)是答案 注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导.3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.⎩⎨⎧=3324)(xx x f00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x 24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x dyy x ∆-∆→∆0lim等于(a) -1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o x dy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=b ax xx x f 1sin )(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数 解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax xx x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 计算题 1.')]310ln[cos(2y x y ,求+=解.)310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x x x y +-=+⋅+-= 2. 已知f(u)可导,')][ln(2y x a x f y ,求++=解.='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a x x a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 已知20sin cos 22y tdt dt e x yt +=⎰⎰, 求'y .解.22cos '2cos 2'2y yy x x y e y +=22cos 2cos 2'2yy ex x y y -=4. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctanln22=+确定的, 求'y . 解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+='四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 0>≤x x 二阶可导. 解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 00x F x F x x +-→→=, 所以c = f (-0) = f (0);因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b =)0(')0('f f =-, 且⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x)0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以)0(''21f a =五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ,求-=. 解.xx x f +⋅+-⋅+-=112111211)(11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n nn n x x n x f0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …!)0(2n f k =, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n xn n x n x x n x x x f =121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n x n n所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n第三章 一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x xx 11ln 112解.=-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 21 2.c x x x xd x x dx x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x xx x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解.c x x x xd x x dx x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 =c x +⎪⎭⎫⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878 =c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 815.dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1⎰⎰⎰+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121xd x x x x ⎰++++-=c xx x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121二. 求下列不定积分: 1.⎰+++22)1(22x x x dx解.⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dtsec tan cos 22=⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 22 2.⎰+241xxdx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dtxxdx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224=c x x x x+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-23211313.⎰++221)12(xxdx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++tt d dt t t t dt t t t x x dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12(=c xx c t ++=+21arctansin arctan4.⎰-222x a dx x (a > 0)解. 令t a x sin =⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dxx 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222=c x a a x a x a +⎪⎭⎫⎝⎛--2222arcsin 25.⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt tt dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432=⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83=c tt t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6.⎰-dx xx 421 解. 令tx 1=⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx xx 224224211111u t sin =令⎰-udu u 2cos sin=c xx c u +-=+33233)1(cos 31 7.⎰-+dx x xx 1122解. 令tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x xx sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222c xx x+-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1.⎰+-+dx e e e e x x xx 1243解.⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e xx x x x x x x x x x x x x )arctan(1)()(11222243 2.⎰+)41(2x x dx解. 令x t2=, 2ln t dtdx =c tt dt t tt t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 1005)2(解.⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x xc x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(959697989923452.⎰+41xxdx解.⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令c x x c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分: 1.⎰xdx x 2cos 解.⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22 ⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412 c x x x x +++=2cos 812sin 41412 2.⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec3=⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan secc x x x x xdx +++=⎰|tan sec |ln 21tan sec 21sec 33.⎰dx x x 23)(ln解.⎰⎰⎰+-=-=dx x x x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(lnc xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 234.⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln∴c x x xdx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x xx dx xxx 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222六. 求下列不定积分:1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(解.⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(x dx x dx x x x x=⎰+⋅---++dx x x x x x 222211112111)1ln(21t x tan =令 tdt tt x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰ =dt t tx x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln(=⎰---++t td x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c tt x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22=c xx xx x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(2222 2.⎰+dx xx x 21arctan解.⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx x x x xd dx xx x 2222211arctan 11arctan 1arctan =c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 122223.⎰dx e e x x2arctan解.dx e e e e e de e dx e e x x x xx x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctandx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x x x )1(121arctan 2122c x e e e dx e e e e e x x x xx x x x +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-xe x x x x xf )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(. 解.⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dxx x dx x f x )32()3)1ln(()(22⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以c =-1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x 八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令t x e t x ln ==,, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)(=c x a b x b a x+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1.⎰++dx x xx )32(332解.⎰⎰+=+=++++c x d dx x xx xx xx 3ln 3)3(3)32(332332222.⎰-+-dx x x x)13()523(232解.)523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x xc x x ++-=252)523(513.dx xx x ⎰+++221)1ln(解.⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4.⎰+++++)11ln()11(222x x xxdx解.c x x xd x x xxdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十. 求下列不定积分: 1.⎰+dx x x x )1(arctan 2解.⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令 c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122c xx x x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2.⎰+dx x x1arcsin解. 令t x t xx2tan ,1arcsin==+则⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t tdt t t t d t dx xxtan tan tan tan tan 1arcsin2222c x xx x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3.⎰-+⋅dxx x x x 22211arcsin解.⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t tx dx x x x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令 ⎰⎰⎰+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 221cot cot cotc t t t t +++-=221|sin |ln cotc x x x x x +++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin4.dx x x x⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cotc x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十一. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 234 解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令c t t td dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x x a x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos4. ⎰-dx xa xx2 (a > 0)解.⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8 =⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222=c t t a t t a t a+--cos sin 2cos sin 333222=c axa a x a xa a x a a x a a x a+----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a+-+-)2(232arcsin32十二. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u u u du u u |22|ln 2211)211(22c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112. ⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2tan 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt=c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343. ⎰+dx x x xx cos sin cos sin解.⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin =⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十三. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x +--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e x x 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e xx x x x )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c ee e c t t t x x x +-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx x x x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x ttan sec 2,sec ,1tan ,1arctan 22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1 ⎰⎰⎰⎰--=-=-=222tan 2tan 2tan 22cos 2t dt t t t t t d t dt t dt ttc t t t t +-+=2|cos |ln 2tan 2c x x x x +-----=2)1(arctan ||ln 1arctan 12第三章 一元函数积分学(定积分)一.若f(x)在[a ,b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.证明: 假设f(ξ)≠ 0, a < ξ < b, 不妨假设f(ξ) > 0. 因为f(x)在[a ,b]上连续, 所以存在δ > 0, 使得在[ξ-δ, ξ + δ]上f(x) > 0.令m =)(minx f x δξδξ+≤≤-. 按以下方法定义[a ,b]上Φ(x): 在[ξ-δ, ξ + δ]上Φ(x) =22)(ξδ--x , 其它地方Φ(x) = 0. 所以02)()()()(2>≥Φ=Φ⎰⎰+-πδδξδξmdx x x f dx x x f ba.和0)()(=Φ⎰badx x x f 矛盾. 所以f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明:⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x . 证明: 先证:4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+2)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f令 t =x -2π, 所以=+⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰-+02)()(sin )(cos )(cos πt d t f t f t f= =+⎰20)(sin )(cos )(cos πdt t f t f t f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f于是=+⎰20)(cos )(sin )(sin 2πdx x f x f x f ++⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f=2)(cos )(sin )(cos )(sin 2020πππ==++⎰⎰dx dx x f x f x f x f所以4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+20)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f .所以⎰+=20)(tan 11πλdx x I 4)(sin )(cos )(cos cos sin 11220ππλλλπλ=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰x x x dx x x同理 4)(cot 112ππλ=+=⎰dx x I .三.已知f(x)在[0,1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)-f(y)| < M |x -y|, 证明n Mn k f n dx x f n k 21)(110≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=证明:∑⎰⎰=-=nk n kn k dx x f dx x f 111)()(,=∑=n k nkf n 1)(1dx nk f nk n kn k ∑⎰=-11)(。

数学考研试题大全及答案

数学考研试题大全及答案

数学考研试题大全及答案# 数学考研试题大全及答案## 一、高等数学### 1.1 函数、极限与连续例题:设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \),求 \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \)。

解答:函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不连续,因此\( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) 不存在。

### 1.2 导数与微分例题:求函数 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) 的导数。

解答:\( f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \)。

### 1.3 微分中值定理例题:设 \( f(x) \) 在闭区间 [1, 2] 上连续,在开区间 (1, 2) 内可导,且 \( f(1) = f(2) \),证明存在 \( c \in (1, 2) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)。

解答:由罗尔定理可知,由于 \( f(1) = f(2) \),故存在 \( c \in (1, 2) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)。

## 二、线性代数### 2.1 矩阵与向量例题:设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \),求 \( A \) 的逆矩阵。

解答:\( A \) 的逆矩阵为 \( A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \)。

### 2.2 线性方程组例题:解线性方程组:\[\begin{cases}x + y = 1 \\2x + 3y = 5\end{cases}\]解答:解得 \( x = 1 \),\( y = 0 \)。

### 2.3 特征值与特征向量例题:求矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} \) 的特征值和特征向量。

考研高数试题及答案

考研高数试题及答案

考研高数试题及答案考研高数对于许多考生来说都是非常具有挑战性的一门科目。

为了帮助考生更好地备考高数,本文将提供一些典型的高数试题及详细的解答。

接下来让我们一起来看看这些试题和答案吧!试题1:设函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5,求f(x)的驻点。

解答1:首先,我们要求出f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。

通过求导可得:f'(x) = 3x^2 - 6x - 9,f''(x) = 6x - 6。

驻点即为f'(x) = 0的解,因此我们解方程3x^2 - 6x - 9 = 0,得到x = -1和x = 3。

接下来我们需要判断这些解是否为极值点。

将x = -1代入f''(x) = 6x - 6,得到f''(-1) = -12。

由于f''(-1) < 0,所以x = -1为极大值点。

将x = 3代入f''(x) = 6x - 6,得到f''(3) = 12。

由于f''(3) > 0,所以x = 3为极小值点。

因此,f(x)的驻点为x = -1和x = 3,其中x = -1为极大值点,x = 3为极小值点。

试题2:已知函数g(x) = sin(x) + cos(x),求g(x)的周期。

解答2:函数g(x)的周期等于最小正周期,即2π。

因此g(x)的周期为2π。

试题3:设A是n阶方阵,如果A^2 = A,则A的特征值可能是什么?解答3:根据矩阵的特征值的定义,设A的特征值为λ,则存在非零向量v 使得Av = λv。

将A^2 = A代入方程,得到A(Av) = Av。

由于Av ≠ 0(根据非零向量的定义),所以A^2 = A仅当λ=1时成立。

因此,A的特征值可能是1。

通过以上试题及答案的解析,我们可以看到高数考研试题通常涉及到函数的性质、导数、极值点、周期等内容,以及矩阵的特征值等概念。

高数习题集(附答案)

高数习题集(附答案)

第一章 函数与极限§1 函数必作习题P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17必交习题一、一列火车以初速度0v ,等加速度a 出站,当速度达到1v 后,火车按等速运动前进;从出站经过T 时间后,又以等减速度a 2进站,直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式;(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、 证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f 1sin)(2= ;(2)1212)(+-=x x x f ;(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、 证明:若)(x f 为奇函数,且在0=x 有定义,则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31-33 1,8,9,10,16,17必交习题一、 设)(x f 的定义域是]1,0[,求下列函数的定义域:(1))(x e f ;(2))(ln x f ;(3))(arcsin x f ;(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=,求)(x ef -;(2)设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f ;(3)设xx f -=11)(,求)]([x f f ,})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数,且1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ,求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4),4,5,6必交习题一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =;(2)n n n n x n ++++++=22212111 ;(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-, 。

高等数学基础习题集(含答案)

高等数学基础习题集(含答案)

sin x
,则 f ( x ) 是(
) (C)周期函数 (D)单调函数
(B)无界函数
【解题思路】把函数看成三个分函数,该指数函数无奇偶性, x 为非周期函数, tan x 无严 格单调性. 【详解】 f ( x ) x tan x e
sin x
中, tan x 无界,另负无穷到正无穷都能取到,故整体无界.
n
7、已知极限 lim
x a
f ( x) f (a) 存在,则 lim f ( x) 是否存在?若存在,为多少? x a xa f ( x) f (a) 0 中,分母趋向于 0,而此极限存在,故只能为 型,因此分 xa 0
x a x a
【解题思路】考虑极限的类型. 2、设 f ( x) 0, 1,
x 1, x 1, g ( x ) e x ,求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] ,并作出这两个函数的图形. x 1,
x
x x 【解题思路】求 f [ g ( x)] 时,中间变量为 g ( x ) e ,利用函数 y e 的单调性质,考虑 e
【解题思路】利用数列的单调有界准则. 先求出 a2 , a3 ,易猜测数列是单调递减的,故只需 证有下界即可. 【详解】由已知条件易得 an 0 ,利用基本不等式可得, an+1 = (an + 有下界;又因为 an +1 an = 限 lim an 存在. 证毕.
x a
子也以 0 为极限,故 lim f ( x) f (a) 0 ,所以 lim f ( x) 存在,为 f (a) .
1 2 ex sin x 8、极限 lim 2 x 0 1 e x ln(1 x)

高中数学考研试题及答案

高中数学考研试题及答案

高中数学考研试题及答案1. 已知函数\( f(x) = \frac{1}{x} \),求\( f(2) \)的值。

答案:将\( x = 2 \)代入函数\( f(x) \)中,得到\( f(2) =\frac{1}{2} \)。

2. 计算下列极限:\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案:根据洛必达法则,当\( x \)趋近于0时,\( \frac{\sin x}{x} \)的极限值为1。

3. 解方程\( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)。

答案:首先计算判别式\( \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 13 \)。

然后,使用求根公式\( x = \frac{-b \pm\sqrt{\Delta}}{2a} \),得到\( x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} \)。

4. 已知点A(1, 2)和点B(4, 6),求直线AB的方程。

答案:首先计算斜率\( k = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} \)。

然后,使用点斜式方程\( y - y_1 = m(x - x_1) \),代入点A(1, 2)和斜率\( k \),得到直线AB的方程为\( y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1) \),化简后得到\( 4x - 3y + 2 = 0 \)。

5. 计算定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。

答案:使用定积分的计算公式,\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \),其中\( n \neq -1 \)。

代入上下限,得到\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{1} =\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。

考研高数基础练习题及答案解析

考研高数基础练习题及答案解析

考研高数基础练习题及答案解析一、选择题:1、首先讨论间断点:1°当分母2?e?0时,x?2x2,且limf??,此为无穷间断点;2ln2x?ln2x?0?2°当x?0时,limf?0?1?1,limf?2?1?1,此为可去间断点。

x?0?再讨论渐近线:1°如上面所讨论的,limf??,则x?x?2ln22为垂直渐近线; ln22°limf?limf?5,则y?5为水平渐近线。

xx当正负无穷大两端的水平渐近线重合时,计一条渐近线,切勿上当。

2、f?|x4?x|sgn?|x|sgn?|x|。

可见x??1为可导点,x?0和x?3为不可导点。

2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文:f|??|,当xi?yj时为可导点,否则为不可导点。

注意不可导点只与绝对值内的点有关。

?x,x?0?设f??ln2|x|,使得f不存在的最小正整数n是? ,x?0?0x?0123limf?f?0,故f在x?0处连续。

f’?limx?0f?f?0,故f在x?0处一阶可导。

x?0当x?0时,f’????x12x’‘223?ln?lnlnxsgnx?12,则limf’?f’?0,故f’在x?0处连续。

?23x?0ln|x|ln|x|f’’?limx?0f’?f’??,故f在x?0处不二阶可导。

x?0abx?0对?a,b?0,limxln|x|?0。

这是我们反复强调的重要结论。

3、对,该函数连续,故既存在原函数,又在[?1,1]内可积;1???sin,x?0对,首先假设该函数存在原函数F??,但对任意常数C,都无x?,x?0? C法满足F’?limx?011F?F1?0,故该函数不存在原函数。

另一方面,?2cosdx?1xx?0x111?2?2cosdx??2sin,该结果无意义,故该函数在[?1,1]内不可积。

0xxx011对,x?0为第一类间断点,故该函数不存在原函数。

另一方面,?1arctan1dx和x??1arctan1dx都有意义,故该函数在[?1,1]内可积。

考研高数试题及答案大全

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考研高数试题及答案大全模拟试题:考研高等数学一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列函数中,满足条件f(-x) = -f(x)的是()。

A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是()。

A. 0B. 1C. 2D. e3. 若函数f(x)在区间(a, b)内可导,且f'(x) > 0,则f(x)在该区间内是()。

A. 单调递增B. 单调递减C. 有界D. 无界4. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x + 5在点(2, 8)处的切线斜率是()。

A. -4B. -2C. 2D. 45. 定积分∫[0, 1] x^2 dx的值是()。

A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/36. 微分方程dy/dx + 2y = -3x的解的形式是()。

A. y = e^(-2x) + CB. y = e^(2x) + CC. y = e^(x) + CD. y = e^(-x) + C7. 函数F(x) = ∫[1, x] (t^2 + 1) dt是()。

A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶D. 线性函数8. 若级数∑[1, ∞] (1/n^2)收敛,则下列哪个级数也收敛()。

A. ∑[1, ∞] (1/n)B. ∑[1, ∞] (1/n^1.5)C. ∑[1, ∞] (1/n^3)D. ∑[1, ∞] (1/n^4)9. 二元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处沿向量v = (1, 2)的方向导数是()。

A. 2B. 3C. 4D. 510. 若矩阵A = [aij]是n阶可逆矩阵,则|A|()。

A. 等于0B. 大于0C. 不等于0D. 小于0二、填空题(每题4分,共20分)11. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1),则f(x)的定义域是_________。

高数考研真题及答案

高数考研真题及答案

高数考研真题及答案考研是很多学子们为了继续深造而迈出的大步,而高数作为考研数学科目中的重点,是许多考生们的难点和挑战。

为了帮助考生更好地备战高数考试,本文将提供一些高数考研真题及答案,供考生们参考和复习。

一、选择题1. 已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x + 4,求其在 x = 2 处的导数。

A. -1B. 0C. 1D. 2答案:C解析:对函数 f(x) 进行求导,得到 f'(x) = 3x² - 6x + 2,将 x = 2 代入f'(x),得到 f'(2) = 3(2)² - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2,故选 C。

2. 设数列 {an} 的通项公式为 an = 1/(2^n),则该数列的收敛性为:A. 收敛B. 发散C. 无法判断答案:A解析:当 n 趋向于无穷大时,2^n 无穷大,所以 an = 1/(2^n) 趋向于0,故该数列收敛,选 A。

二、填空题1. 设 f(x) = 2x^2 - kx + 5,若 f(x) 恰有一个实根,则 k 的取值范围为______。

答案:[-5, 5]解析:对于 f(x) 恰有一个实根的情况,根据韦达定理可知Δ = k^2 -4ac = 0,即 k^2 - 4(2)(5) = 0,解得k = ±√40,故 k 的取值范围为 [-√40, √40],约化后得到 [-5, 5]。

2. 设二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy,其中 D 为x^2 + y^2 ≤ 4 的区域,求该二重积分的值为______。

答案:16π解析:将二重积分转换为极坐标形式,即∬D (x^2 + y^2) dxdy = ∫[0,2π] ∫[0, 2] (r^2)rdrdθ,计算积分得 16π。

三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的驻点和拐点。

考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)

考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)

考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设函数f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,则A.一2f’(0).B.一f’(0).C.f’(0).D.0正确答案:B解析:2.函数f(x)=ln|(x一1)(x一2)(x一3)|的驻点个数为A.0B.1C.2D.3正确答案:C解析:令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11>0,则该方程有两个实根,f(x)有两个驻点.3.曲线y=渐近线的条数为A.0B.1C.2D.3正确答案:C解析:由于=1,则该曲线有水平渐近线y=1.又=∞,则x=1为该曲线的一条垂直渐近线,故应选(C).4.设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n),其中n为正整数,则f’(0)= A.(一1)n一1(n一1)!.B.(一1)n(n一1)!.C.(一1)n1n!.D.(一1)nn!.正确答案:A解析:排除法:当n=2时,f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然,(B)(C)(D)都不正确,故应选(A).5.设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定,则A.2B.1C.一1D.一2正确答案:A解析:由方程cos(xy)+lny一x=1知,当x=0时,y=1,即f(0)=1,以上方程两端对x求导得将x=0,y=1代入上式得y’|x=0=1,即f’(0)=1,6.下列曲线中有渐近线的是A.y=x+sinxB.y=x2+sinxC.y=x+sinD.y=x2+sin正确答案:C解析:由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x,故应选(C).7.设函数f(x)具有2阶导数,g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x,则在区间[0,1]上A.当f’(x)≥0时,f(x)≥g(x)B.当f’(x)≥0时,f(x)≤g(x)C.当f”(x)≥0时,f(z)≥g(x)D.当f”(x)≥0时,f(x)≤g(x)正确答案:D解析:由于g(0)=f(0),g(1)=f(1),则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f”(x)≥0时,曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的,曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方,即f(x)≤g(x) 故应选(D).8.曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A.B.C.D.正确答案:C解析:故应选(C).9.设函数f(x)=arctanx,若f(x)=xf’(ξ),则A.B.C.D.正确答案:D解析:由f(x)= arctanx,及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D).10.设函数f(x)=(α>0,β>0).若f’(x)在x=0处连续,则A.α一β>1.B.0<α一β≤1.C.α一β>2.D.0<α一β≤2.正确答案:A解析:f一’(0)=0,f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1>0,即α>1.此时,α>1,f+’(0)=0,f’(0)=0.当x>0时,f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0,当且仅当α一β一1>0.则α一β>1.故应选(A).11.设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示,则曲线y=f(x)的拐点个数为A.0B.1C.2D.3正确答案:C解析:由右图知f”(x1)=f”(x2)=0,f”(0)不存在,其余点上二阶导数f”(x)存在且非零,则曲线y=f(x)最多三个拐点,但在x=x1两侧的二阶导数不变号,因此不是拐点,而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号,则曲线y=f(x)有两个拐点,故应选(C).12.设函数f(x)在(一∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示,则A.函数f(x)有2个极值点,曲线y=f(x)有2个拐点.B.函数f(x)有2个极值点,曲线y=f(x)有3个拐点.C.函数f(x)有3个极值点,曲线y=f(x)有1个拐点.D.函数f(x)有3个极值点,曲线y=f(x)有2个拐点.正确答案:B解析:x1,x3,x5为驻点,而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号,则为极值点,在x5两侧一阶导数f’(x)不变号,则不是极值点,在x2处一阶导数不存在,但在x2两侧f’(x)不变号,则不是极值点.在x2处二阶导数不存在,在x4和x5处二阶导数为零,在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化,则都为拐点,故应选(B).13.设函数fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且fi”(x0)<0(i=1,2).若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x0的某个邻域内,有A.f1(x)≤f2(x)≤g(x).B.f2(x)≤f1(x)≤g(x).C.f1(x)≤g(x)≤f2(x).D.f2(x)≤g(x)≤f1(x).正确答案:A解析:由函数fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数,且fi”(x0)<0(i=1,2)可知,在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1,2)是凸的,而两曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处有公共切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x0的某邻域内三条曲线如图所示,故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A).填空题14.曲线y=的渐近线方程为________.正确答案:y=2x.解析:显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线,则原曲线有斜渐近线y=2x.15.函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________.正确答案:一2n(n一1)!.解析:利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加,宽ω以3 cm/s的速率增加,则当l=12 cm,ω=5 cm时,它的对角线增加的速率为________.正确答案:3.解析:设l=x(t),ω=y(t),其对角线长为z(t),则z2(t)=x2(t)+y2(t),2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12,y(t)=5,x’(t)=2,y’(t)=3,z(t)==13代入上式得z’(t)=3.17.设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数,则|x=0=________.正确答案:1.解析:在方程x2一y+1=ey中令x=0,得y=0,该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0,y=0代入上式得y’(0)=0,上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0,y=0,y’(0)代入上式得y”(0)=1.18.曲线y=x2+x(x<0)上曲率为的点的坐标是________.正确答案:(一1,0).解析:由y=x2+x得,y’=2x+1,y”=2,代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1,又x<0,则x=一1,这时y=0,故所求点的坐标为(一1,0).19.曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________.正确答案:y+x=解析:而t=1时,x=则t=1处的法线方程为20.设f(x)是周期为4的可导奇函数,且f’(x)=2(x 一1),x∈[0,2],则f(7)=________.正确答案:1.解析:由f’(x)=2(x一1),x∈[0,2]知,f(x)=(x一1)2+C.又f(x)为奇函数,则f(0)=0,C=一1.f(x)=(x一1)2一1.由于f(x)以4为周期,则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1.21.曲线L的极坐标方程是r=θ,则L在点(r,θ)=处的切线的直角坐标方程是________.正确答案:解析:22.=________.正确答案:48.解析:23.函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________.正确答案:n(n一1)(ln2)n一2.解析:24.曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________.正确答案:y=x+解析:则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25.已知函数f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt,则当n≥2时,f(n)(0)=________.正确答案:5.2n一1.解析:等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x),f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x),f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n>2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n>2)= 2n一2.10=2n一1.5.26.已知动点P在曲线y=x3上运动,记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0,则当点P运动到点(1,1)时,l对时间的变化率是________.正确答案:解析:由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学历年考研真题十二套含答案

高等数学历年考研真题十二套含答案
考研真题一
1. 求 lim
x ® 0
10. 设 f ( x ) = lim
n ® ¥
( n - 1 ) x , 则 f ( x ) 的间断点为 x = _________ . 04数二考研题 2 nx + 1 cos x 是等价无
05数二考研题
[
2 + e 1/ x sin x + . x 1 + e 4/ x
5. 设 f ( 0 ) = 0 , 则 f ( x ) 在点 x = 0 可导的充要条件为 : (A) lim
0 h ®
15. 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 - xe y 确定 , 则 dy dx
1
h 2
1
1 f ( - cos h ) 存在 ;
x ) g ( x ) - f ( x ) g ¢( x ) < 0 , 3. 设 f ( x ) , g ( x ) 是恒大于零的可导函数 , 且 f ¢(
则当 a < x < b 时有 ( ).
00数二考研题
a , b 的值 .
2 ln b - ln a 1 a < < 11. 设 0 < a < b , 证明不等式 2 . a + b 2 b - a ab
01数二考研题
(A) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第一类间断点 ; (B) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (C) x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (D) x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点 . 13. lim

考研高数1试题及答案

考研高数1试题及答案

考研高数1试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 已知函数 \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 \),下列选项中,\( f(x) \) 的导数正确的是:A. \( 3x^2 + 4x - 5 \)B. \( x^3 + 2x^2 - 5 \)C. \( 3x^2 + 2x - 5 \)D. \( 3x^3 + 4x^2 - 5x \)答案:A2. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵,\( \det(A) = 2 \),则\( \det(2A) \) 的值是:A. 4B. 8C. 16D. 32答案:B3. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是:A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{3} \)答案:B4. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是:A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 求定积分 \( \int_{0}^{1} (2x - 1) dx \) 的值是 _______。

答案:\( \frac{1}{2} \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 _______。

答案:\( (0, +\infty) \)3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 _______。

答案:\( e^x \)4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \),则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 _______。

答案:1三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。

高数1考研试题及答案

高数1考研试题及答案

高数1考研试题及答案模拟试题:高等数学一一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列函数中,满足f(-x) = f(x)的是()。

A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率为()。

A. 0B. 3C. 2D. 13. 设函数f(x)在点x=a处连续且可导,若lim (x→a) [f(x) - f(a)]/(x-a) = 3,则f'(a)的值为()。

A. 2B. 3C. 4D. 54. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为()。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/45. 设数列{an}满足a1 = 1,an+1 = √(an) + 1,若lim (n→∞) an = a,则a的值为()。

A. 1B. 2C. 3D. 46. 设函数f(x)在区间[a, b]上单调递增,若f(x)在x=c处取得最大值,则c()。

A. 一定等于aB. 一定等于bC. 属于区间(a, b)D. 可能属于[a, b],也可能属于(a, b]7. 二阶常系数线性微分方程y'' - 3y' + 2y = 0的特征方程为()。

A. r^2 - 3r + 2 = 0B. r^2 - 3r = 0C. r^2 + 2r - 3 = 0D. r^2 - 2r - 3 = 08. 设函数f(x)在点x=x0处可导,且f'(x0) ≠ 0,则f(x)在点x=x0处()。

A. 一定连续B. 一定不可导C. 一定是极值点D. 一定是拐点9. 利用分部积分法计算定积分∫[0,π] sin(x) dx,得到的结果为()。

A. -cos(x)|0^πB. 2C. -2D. π10. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续,要使∫[a, b] f(x) dx存在,则必须有()。

A. f(x)在[a, b]上可导B. f(x)在[a, b]上单调递增C. f(x)在[a, b]上无间断点D. f(x)在[a, b]上的每一点都有定义答案:1. B2. B3. B4. A5. B6. D7. A8. A9. A10. D二、填空题(每题4分,共20分)11. 设函数f(x) = x^2 - 4x,则f(x)的最小值是________。

土木考研试题高数及答案

土木考研试题高数及答案

土木考研试题高数及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限是:A. 0B. 1C. \( \infty \)D. 不存在答案:D2. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' - 2y' + y = 0 \) 的通解?A. \( y = e^x \)B. \( y = e^{2x} \)C. \( y = (Ax + B)e^x \)D. \( y = (A\cos x + B\sin x) \)答案:D3. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \),则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是:A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{7} \)答案:A4. 设 \( z = f(x, y) \),其中 \( x = x(t) \) 和 \( y = y(t) \),如果 \( \frac{dx}{dt} = 2t \) 和 \( \frac{dy}{dt} = t^2 \),那么 \( \frac{dz}{dt} \) 在 \( t = 1 \) 时的值是:A. 3B. 4C. 5D. 6答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \),则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = _______ \)。

答案:12. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数 \( f'(x) \) 是 _______。

答案:\( 3x^2 - 3 \)3. 若 \( \int_{0}^{1} e^x dx = e - 1 \),则 \( \int_{0}^{1}e^{-x} dx = _______ \)。

高等数学考研复习题及答案

高等数学考研复习题及答案

高等数学考研复习题及答案一、填空题1.设2)(xxaa x f -+=,则函数的图形关于对称。

2.若îíì<£+<<-=20102sin 2x x x x y ,则=)2(p y .3.极限lim sin sin x x x x®=021。

4.4.已知已知22lim222=--++®x x b ax x x ,则=a _____, =b __________。

5.已知0®x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数a = 6.设)(22yzy z x j =+,其中j 可微,则y z ¶¶= 。

7.设2e yz u x=,其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数,则=¶¶)1,0(xu 。

8.8.设设j j ,),()(1f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数,则=¶¶¶yx z 2。

9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为和。

10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=òxdx x 2sin 2.12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==p .1313.若.若21d e 0=ò¥+-x kx,则_________=k 。

14.设D:122£+y x ,则由估值不等式得òò£++£Ddxdy y x )14(2215.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成(0x ³),则(),Df x y d s òò在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ££-££,则()22Dfx ydxdy +òò的极坐标形式的二次积分为____. 17设级数å¥=+121n p n 收敛,则常数p 的最大取值范围是的最大取值范围是 .. 18.=+-+-ò1642)!3!2!11(dx x x x x . 19. 方程01122=-+-ydy x dx 的通解为的通解为20.微分方程025204=+¢-¢¢y y 的通解为的通解为 . 21.当n=_________时,方程ny x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。

专升本考研高数试题及答案

专升本考研高数试题及答案

专升本考研高数试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值是()。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知曲线y=x^2与直线y=4x-5相切于点P(a,b),则a的值为()。

A. 0B. 1C. 2D. 53. 设f(x)=2x-1,g(x)=x^2+1,若f(g(x))=3x^2+x,则x的值为()。

A. 0B. 1C. -2D. 24. 曲线y=x^3在点M(1,1)处的切线斜率为()。

A. 0B. 1C. 3D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上的值域是()。

A. [-1,1]B. [0,√2]C. [√2,2]D. [-√2,0]6. 已知等差数列{an}的前n项和为S(n),若S(5)=50,a(3)=10,则a(1)的值为()。

A. 2B. 4C. 6D. 87. 若f(x)=x^2+bx+c,且f(1)=f(3),则f(-1)的值为()。

A. -1B. 1C. 3D. 58. 设等比数列{bn}的首项为b1=3,公比为q=2,若b(5)=48,则b(3)的值为()。

A. 6B. 12C. 24D. 489. 函数y=ln(x)的图像关于直线x=1对称,那么y=e^x的图像关于直线()对称。

A. x=0B. x=1C. x=eD. x=ln(e)10. 若函数f(x)=x^2-4x+4,g(x)=x^2-4x+13,且f(x)-g(x)=-9,则x 的值为()。

A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题(每题4分,共20分)11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为x0,则f'(x0)=______。

12. 设数列{an}的通项公式为an=3n-2,若Sn是其前n项和,则S5=______。

13. 已知曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程为y-(-1)=m(x-2),则m的值为______。

考研高数阶段测试题及答案

考研高数阶段测试题及答案

考研高数阶段测试题及答案### 考研高数阶段测试题及答案#### 一、选择题(每题2分,共20分)1. 函数\( f(x) = x^2 + 3x - 2 \)的导数是:- A. \( 2x + 3 \)- B. \( 2x - 3 \)- C. \( 3x + 2 \)- D. \( 3x - 2 \)2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值为: - A. 0- B. 1- C. 2- D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)是: - A. 收敛的- B. 发散的- C. 条件收敛的- D. 无界4. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的定义域是:- A. \( x > 0 \)- B. \( x < 0 \)- C. \( x = 0 \)- D. \( x \neq 0 \)5. 微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)的特征方程是:- A. \( r^2 - r - 6 = 0 \)- B. \( r^2 + r + 6 = 0 \)- C. \( r^2 - 6 = 0 \)- D. \( r^2 + 6 = 0 \)#### 二、填空题(每题2分,共10分)6. 函数\( f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5 \)的二阶导数是\( f''(x) = ________ \)。

7. 根据洛必达法则,当\( x \to 0 \)时,\( \lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{\sin x} \)的极限值是\( ________ \)。

8. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)可以通过裂项求和法化简为\( ________ \)。

考研高数试题及答案

考研高数试题及答案

考研高数试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 设函数f(x)=x^3-3x,求f'(x)。

A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案:A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案:A3. 已知数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1,求a_5。

A. 17B. 15C. 13D. 11答案:A4. 设函数f(x)=x^2+2x+3,求f(-1)。

A. 4B. 2C. 0D. 1答案:A5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案:B二、填空题(每题4分,共20分)6. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6,求f'(x)=______。

答案:3x^2-12x+117. 计算定积分∫(0,2) (x^2-2x+1) dx=______。

答案:48. 设数列{a_n}满足a_1=2,a_{n+1}=a_n+n,求a_5=______。

答案:159. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f'(1)=______。

答案:-110. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。

答案:e三、解答题(每题10分,共60分)11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案:首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11,令f'(x)=0,解得x=1或x=11/3。

当x<1或x>11/3时,f'(x)>0;当1<x<11/3时,f'(x)<0。

因此,x=1是极大值点,x=11/3是极小值点。

12. 计算定积分∫(1,3) (2x-1)/(x+1) dx。

答案:首先进行积分,∫(2x-1)/(x+1) dx = ∫(2-2/(x+1)) dx = 2x - 2ln|x+1| + C。

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1 函数、极限、连续一. 填空题 1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ϕϕ则 定义域为___________.解.21)(sin )]([x x x f -==ϕϕ, )1arcsin()(2x x -=ϕ1112≤-≤-x , 2||,202≤≤≤x x2.设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a taxx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e=a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2.3.⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n 所以 n n n n +++++221 <n n n n n n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =214. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 5.)3(lim n n n n n --+∞→=_______.解.nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n6. 设当x bxaxe xf xx 为时++-=→11)(,0的3阶无穷小, 则.___________,==b a解.3030301lim )1(1lim 11limx ax bxe e bx x ax bxe e x bx axe k xx x x x x x x --+=+--+=++-=→→→203lim x abxe be e x x x x -++=→ ( 1 )2062lim x bxe be e x x x x ++=→ ( 2 )由( 1 ): 01)(lim 0=-+=-++→a b a bxe be e x x x x 由( 2 ):021)2(lim 0=+=++→b bxe be e x x x x21,21=-=a b7.⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______. 解.616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. 已知A n n n kkn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解.A kn n n n n k n k k n =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim 所以 k -1=1990, k = 1991; 1991111===k A A k ,二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(-∞, +∞)有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点 解. (a) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1 (b) 反例 ⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1(c) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1(d) 反设 g(x ) =)()(x f x ϕ在(-∞, +∞)连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(-∞, +∞)连续, 矛盾. 所以(d)是答案. 2. 设函数x e x x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间有界(a) (-1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3) 解.42sin )0(,42sin )0(,)(lim ,)(lim 01-=-=+∞=∞=→→f f x f x f x x 所以在(-1, 0)中有界, (a) 为答案.4. 当11211,1---→x e x x x 函数时的极限 (a) 等于2 (b) 等于0 (c) 为∞ (d) 不存在, 但不为∞解.⎩⎨⎧-→+→∞+=+=---→-→0101)1(lim 11lim 1111121x x e x e x x x x x x . (d)为答案.5. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 6. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 =502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→=5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 7. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531 (d) 均不对解. (c)为答案. 8. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解.x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim 0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 9. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) -1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = -1, 所以(a)为答案.10. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ,其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =-4d (c) a = 4c (d) a =-4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =-4c, 所以(d)为答案.三. 计算题 1. 求下列极限(1)xx x e x 1)(lim ++∞→解.e e e eee x xxx x x x e x e xe x xe x x xx x =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim )ln(1lim )(lim(2)x x xx )1cos 2(sinlim +∞→ 解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee yy yy yy y y y ==+-+→→(3)310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)sin 1(sin tan sin tan sin 10sin 1sin tan 1lim x x xx xx x x x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==30sin tan lim x x x x e -→=3)cos 1(sin limxx x x e-→=212sin 2sin lim32eexx x x =⋅→.2. 求下列极限(1)323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时,331~)11ln(--+x x ,323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x(2)⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 解. 方法1:⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++-=21122cos 2sin cos 4cos 2lim 220+++-→x x x x x x x =2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2:⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3232lim 440=→x xx 3. 求下列极限 (1))1(ln lim-∞→nn n nn解.n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2)nxnxn e e --∞→+-11lim解.⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3)nn n n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0解. nnnn b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lima b c n x /,/1== x c xxx x x ae ca 2ln )1ln(lim10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解.2200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('x x dt t xdt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xxx x x x320200)cos 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x xx x x x 所以0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1)1212)(11+-=xxx f解.11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π 00>≤x x 解. f(+0) =-sin1, f(-0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;11sinlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点;)2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x cos 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e xx x f 1sin )( 00≤>x x 在x = 0处的连续性.解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且 a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)至少存在一个ξ, 使nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)-x, 则F(a) = f(a)-a < 0, F(b) = f(b)-b > 0 于是由介值定理在(a, b)至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以xx f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)-g(x), 则F(a) = f(a)-g(a) < 0, F(b) = f(b)-g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 11. 证明方程x 5-3x -2 = 0在(1, 2)至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5-3x -2, 则F(1) =-4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以 在(1, 2)至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0. 12. 设f(x)在x = 0的某领域二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f x x x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→. 解.0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f x x x x x . 所以0)(3sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = -3. 因为 0)(3sin lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033cos 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→=2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim)0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x 由293)(lim20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .2 导数与微分一. 填空题1 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.解. )('31)()(lim0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf = 所以 31=k2. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy ______.解.0sin )'()'1(=+-++xy xy y y e y x , 所以xyx e e xy y y yx yx sin sin '--=++3. 已知f(-x) =-f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.解. 由f(-x) =-f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =-所以k x f x f =-=)(')('004. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +5. xx x f +-=11)(, 则)()(x fn = _______.解.1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f6. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解.x xx f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f 7. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 8. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y e yx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为 x y 211=-, 即 x -2y + 2 = 0.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是(a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([! 解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以 )()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x f n =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a(c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab解. b =0)0()(lim )0('0--=→x f x f f x =)1('1)1(1)1(1lim 0f ax f a x f a x =-+→, 所以=)1('f ab. (d)是答案 注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导.3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解.⎩⎨⎧=3324)(xx x f00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x 24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x dyy x ∆-∆→∆0lim等于(a) -1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o x dy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=b ax xx x f 1sin )(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数 解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax x x x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题 1.')]310ln[cos(2y x y ,求+=解.)310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x x x y +-=+⋅+-= 2. 已知f(u)可导,')][ln(2y x a x f y ,求++=解.='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a x x a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 已知20sin cos 22y tdt dt e x yt +=⎰⎰, 求'y .解.22cos '2cos 2'2y yy x x y e y +=22cos 2cos 2'2yy ex x y y -=4. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctanln22=+确定的, 求'y . 解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+='四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 0>≤x x 二阶可导. 解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 00x F x F x x +-→→=, 所以c = f (-0) = f (0);因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b =)0(')0('f f =-, 且⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x )0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以)0(''21f a =五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ,求-=. 解.xx x f +⋅+-⋅+-=112111211)(11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n nn n x x n x f0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …!)0(2n f k =, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n xn n x n x x n x x x f =121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n x n n所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n3 一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x xx 11ln 112解.=-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 21 2.c x x x xd x x dx x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x xx x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解.c x x x xd x x dx x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878=c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 5.dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1⎰⎰⎰+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121xd x x x x ⎰++++-=c xx x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121二. 求下列不定积分: 1.⎰+++22)1(22x x x dx解.⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dtsec tan cos 22=⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 222.⎰+241xxdx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dtxxdx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224=c x x x x +++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-23211313.⎰++221)12(xxdx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++ttd dt t t t dt t t t x x dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12(=c xx c t ++=+21arctansin arctan4.⎰-222x a dx x (a > 0)解. 令t a x sin =⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dxx 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222=c x a a x a x a +⎪⎭⎫⎝⎛--2222arcsin 25.⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt tt dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432=⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83=c tt t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6.⎰-dx xx 421 解. 令tx 1=⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx x x 224224211111u t sin =令⎰-udu u 2cos sin=c xx c u +-=+33233)1(cos 31 7.⎰-+dx x xx 1122解. 令tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x xx sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222c xx x+-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1.⎰+-+dx e e e e x x xx 1243解.⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e xx x x x x x x x x x x x x )arctan(1)()(11222243 2.⎰+)41(2x x dx解. 令x t2=, 2ln t dtdx =c tt dt t t t t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分:1.⎰-dx x x 1005)2(解.⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x xc x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(959697989923452.⎰+41xxdx解.⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令c xx c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分: 1.⎰xdx x 2cos解.⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412 c x x x x +++=2cos 812sin 41412 2. ⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec 3=⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sectan secc x x x x xdx +++=⎰|tan sec |ln 21tan sec 21sec 33.⎰dx x x 23)(ln解.⎰⎰⎰+-=-=dx x x x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(lnc xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 234.⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln∴c x x xdx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln 5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x x x dx x x x 2sin 812sin 812sin 812cos2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分:1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(解.⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(x dx x dx x x x x=⎰+⋅---++dx x x x x x 222211112111)1ln(21t x tan =令 tdt tt x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰ =dt t tx x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =⎰---++t t d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c tt x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22 =c xx xx x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(22222.⎰+dx xx x 21arctan解.⎰⎰⎰++-+=+=+dx x x x x x xd dx xx x 2222211arctan 11arctan 1arctan=c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 122223.⎰dx e e x x2arctan解.dx e e e e e de e dx e e x x x xx x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctandxe e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x xx )1(121arctan 2122c x e e e dx e e e e e x x x xx x xx +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-xex x x x x f )32(3)1ln()(220<≥x x , 求⎰dx x f )(.解.⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dx x x dx x f x )32()3)1ln(()(22⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以c =-1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-ce x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x 八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令t x e t x ln ==,, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)(=c x a b x b a x+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1.⎰++dx x xx )32(332解.⎰⎰+=+=++++c x d dx x x x x x x x 3ln 3)3(3)32(332332222.⎰-+-dx x x x)13()523(232解.)523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x xc x x ++-=252)523(513.dx xx x ⎰+++221)1ln(解.⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4.⎰+++++)11ln()11(222x x xxdx解.c x x xd x x xxdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十. 求下列不定积分: 1.⎰+dx x x x )1(arctan 2解.⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21 dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令 c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122c x x x x x aex +++++-=22141arctan 411tan 212.⎰+dx x x1arcsin解. 令t x t xx2tan ,1arcsin==+则⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t tdt t t t d t dx xxtan tan tan tan tan 1arcsin2222c x xx x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3.⎰-+⋅dxx x x x 22211arcsin解.⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t tx dx x x x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令⎰⎰⎰+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 221cot cot cotc t t t t +++-=221|sin |ln cotc x x x x x +++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin4.dx x x x⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cotc x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十一. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令c t t td dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x x a x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解.⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222=c t t a t t a t a+--cos sin 2cos sin 333222=c axa a x a xa a x a a x a a x a+----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a+-+-)2(232arcsin32十二. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u uu du u u |22|ln 2211)211(22c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112.⎰+-dx x xcos 2sin 2解. ⎰⎰⎰++++=+-x x d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2tan 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin=⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十三. 求下列不定积分:1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x+--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e x x 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e x x x xx )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c ee e c t t t x x x +-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx x x x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x ttan sec 2,sec ,1tan ,1arctan 22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1⎰⎰⎰⎰--=-=-=222tan 2tan 2tan 22cos 2t dt t t t t t d t dt t dt ttc t t t t +-+=2|cos |ln 2tan 2c x x x x +-----=2)1(arctan ||ln 1arctan 124 一元函数积分学(定积分)一.若f(x)在[a ,b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.证明: 假设f(ξ)≠ 0, a < ξ < b, 不妨假设f(ξ) > 0. 因为f(x)在[a ,b]上连续, 所以存在δ > 0, 使得在[ξ-δ, ξ + δ]上f(x) > 0. 令m =)(minx f x δξδξ+≤≤-. 按以下方法定义[a ,b]上Φ(x): 在[ξ-δ, ξ + δ]上Φ(x) =22)(ξδ--x , 其它地方Φ(x) = 0. 所以02)()()()(2>≥Φ=Φ⎰⎰+-πδδξδξmdx x x f dx x x f ba .和0)()(=Φ⎰badx x x f 矛盾. 所以f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明:⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x . 证明: 先证:4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+2)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f令 t =x -2π, 所以=+⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰-+02)()(sin )(cos )(cos πt d t f t f t f= =+⎰20)(sin )(cos )(cos πdt t f t f t f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f于是=+⎰2)(cos )(sin )(sin 2πdx x f x f x f ++⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f=2)(cos )(sin )(cos )(sin 2020πππ==++⎰⎰dx dx x f x f x f x f所以4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+20)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f .所以⎰+=20)(tan 11πλdx x I 4)(sin )(cos )(cos cos sin 11220ππλλλπλ=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰x x x dx x x 同理 4)(cot 112ππλ=+=⎰dx x I .三.已知f(x)在[0,1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)-f(y)| < M |x -y|, 证明n Mn k f n dx x f n k 21)(110≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=。

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