全国高考数学“三角函数”试题分析小结

全国高考数学“三角函数”试题分析小结

一、客观题重基础，有关三角函数的小题其考查重点是三角函数的概念、图象与图象变换、定义域与值域、三角函数的性质和三角函数的化简与求值.

【例1】 （2007年四川）下面有五个命题：

①函数y =sin 4x -cos 4

x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =

Z k k ∈π

,2

|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36

)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π

π+= ⑤函数.0)2

sin(〕上是减函数，在〔ππ

-

=x y 其中真命题的序号是①④（（写出所有真命题的编号））

解答：①4

4

2

2

sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．

【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.

【例2】（2007年安徽）函数π

()3sin(2)3

f x x =-的图象为C ：

① 图象C 关于直线π12

11

=

x 对称; ② ②函数)(x f 在区间)12

π

5,12π(-内是增函数;

③由x y 2sin 3=的图象向右平移3

π

个单位长度可以得到图象C .

以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1

（C ）2

（D ）3

解答 C ①图象C 关于直线232

x k ππ

π-

=+

对称，当k =1时，图象C 关于π1211=

x 对称；①正确；②x ∈)12π

5,12π(-时，

23x π-∈(－2π，2π

)，∴函数)(x f 在区间)12

π5,12π(-内是增函数；②正确；③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个

单位长度可以得到23sin(2)3

y x π

=-，得不到图象，③错误；∴正确的结论有2个，选C.

【点评】 本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.

二、解答题重技能.三角函数解答题是高考命题的常考常新的基础性题型，其命题热点是章节内部的三角函数求值问题；命题的亮点是跨章节的学科综合命题. 【例3】 （2007年安徽）已知0αβπ<<

4，为()cos 2f x x π⎛

⎫=+ ⎪8⎝

⎭的最小正周期，

1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，，a b ，且a ·b m =．

求22cos sin 2()

cos sin ααβαα

++-的值．

解答：因为β为π()cos 28f x x ⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a

b ··．故1cos tan 24m ααβ⎛

⎫+=+ ⎪⎝

⎭·． 由于π

04

α<<，所以

222cos sin 2()2cos sin(22π)

cos sin cos sin ααβαααααα++++=--

22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα

++==--

1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛

⎫==+=+ ⎪-⎝

⎭·．

【点评】 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．属于三角函数求值问题.

本类问题一般有三种形式：①给式求值，②给值求值，③给值求角.其一般解法是：将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简，最后求出三角函数的值来.

【例4】 （2007年天津）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的最小值和最大值．

解答：（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛

⎫=-+=-=- ⎪⎝

⎭．

因此，函数()f x 的最小正周期为π．

（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=

- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又

π08f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，3π

8f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫

=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，，最小值为1-．

解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=

- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的图象如下：