犹太数学文献中的数列问题
中国古代数学文献中的数列问题
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１ 等 差数 列 的通 项 与 求 和公 式 ． 《 章 算 术 》中涉 及等 差 数 列 的 题 目共 有 ８ 九
道 ：衰分 章 ３问， 输 章 ３ ， 不 足 章 ２ 均 问 盈 问．均
又令驽马初 口之行里数 为ｎ ， １ 减迟卑数 （ 即 每 日减 少 的里 数 ） ｄ 则 驽 马 ｎ日共 行 里数 为 为 ，
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一
来， 数列的各项就是 比例 中的相应项．如 《 九章 算术》 衰分章第 １ 问：“ 今有大 夫、不更、簪裹、 上造、公士， 凡五人， 共猎得五鹿．欲以爵次 分
之， 问各 得 几 何？” 即按 爵次 不 同 以 ５： ： ： ４ ３ ２：
铜 环 权，其 重 量 大致 郜 按 等 差 或 等 比数 列 配 嚣 ， 如长 沙近 郊 出土 的 １ 枚 战 国 时期 楚 国 “ 益” ０ 钧 铜 环权 ， 重 量 分 别为 １ 、 铢 、 铢 、 铢 、 ２ 、 其 铢 ２ ３ ６ １铢 １ ２ ４两、 两、 两、 ８两、 斤 ．《 子 ・ 下篇 》中 引 １ 庄 天
抽杀问题-约瑟夫问题
[阅读材料]世界名题与小升初之：抽杀问题（約瑟夫问题）--马到成功老师在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。
先给大家介绍这一问题的由来。
据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特後，39 個犹太人与Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個犹太人決定宁愿死也不要被人抓到，于是決定了一个自杀方式，41個人排成一个圆圈，由第1個人开始报数，每报数到第3人该人就必須自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。
然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他將朋友与自己安排在第16個与第31個位置，于是逃过了这场死亡游戏。
解法約瑟夫问题可用代数分析來求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直接计数來求解的話，只要將阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由計数1开始，每找到三个无资料区就填入一个計数，直而計数达41为止，然后將阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀順序，这就是約瑟夫排列，41個人报数3的約瑟夫排列如下所示：14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23由上可知，最后一個自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道約瑟夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。
jacobsthai定理
jacobsthai定理
Jacobsthal定理是一个数论定理，它涉及到Jacobsthal数列。
Jacobsthal数列是一个整数数列，定义如下，J(0) = 0, J(1) = 1, J(n) = J(n-1) + 2J(n-2)，其中n是一个正整数。
Jacobsthal数
列的前几项分别是0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171等。
Jacobsthal定理陈述如下，对于任意的正整数n，Jacobsthal
数列的第n项可以用以下公式表示，J(n) = 2^n (-1)^n。
这个定理
可以通过数学归纳法来证明。
从数论的角度来看，Jacobsthal定理提供了一种计算
Jacobsthal数列中任意项的有效方法，这对于解决一些特定的数学
问题非常有用。
从应用的角度来看，Jacobsthal数列以及相关的定理在计算机
科学和信息技术领域有一些应用，比如在算法设计和分析中可能会
涉及到类似的数学问题。
总的来说，Jacobsthal定理是一个重要的数论定理，它不仅有
着深刻的理论意义，也在一定程度上具有一些实际应用价值。
不同文化中的数列观念比较
文化背景与数列观念的形成
▪ 数列观念的发展趋势
1.跨学科融合：随着科学技术的发展，数列观念与其他学科的 融合越来越紧密。跨学科的研究为数列观念带来了新的思路和 方法，推动了数列理论的发展。 2.国际化趋势：全球化背景下，数列观念的国际化趋势日益明 显。各国学者之间的交流与合作促进了数列观念的传播和共享 ，推动了全球范围内数列研究的进步。 3.数字化技术应用：数字化技术的应用为数列教学和研究提供 了更多可能性。借助计算机技术和数据分析方法，数列研究更 加高效、精确，也为数列观念的普及和发展提供了有力支持。
1.东方文化注重实践和应用，数列观念多体现于天文、历法和 算术等领域。 2.西方文化更倾向于理论探索和抽象思维，数列观念在几何学 、代数和逻辑学中得到广泛应用。 3.阿拉伯数学在数列方面有着卓越的贡献，对东西方数学交流 产生了重要影响。
▪ 数列观念在教育中的应用
1.数列观念是数学教育的基础内容，有助于学生形成逻辑思维 和问题解决能力。 2.通过引入不同文化中的数列案例，可以激发学生的学习兴趣 和跨文化意识。 3.创新教育方法，将数列观念与实际生活相结合，培养学生的 实践能力和创新精神。
不同文化中的数列观念比较
数列观念的交流与融合
数列观念的交流与融合
▪ 数列观念的交流与融合
1.数列观念在不同文化中的交流：数列观念在不同文化中的交流促进了数学的发展和传播。不同文化背景下的数学 家们通过交流和合作，共同推动了数列理论的研究和应用。同时，数列观念的交流也促进了不同文化之间的相互理 解和欣赏。 2.数列观念的融合：随着全球化的推进和科学技术的迅猛发展，数列观念的融合越来越成为趋势。不同文化背景下 的数学家们在研究数列问题时，越来越注重吸收和借鉴其他文化的数列观念和方法，从而推动了数列理论的创新和 发展。 3.数列观念交流与融合的实例：例如，中国古代数学中的“算经十书”中就包含了丰富的数列问题，这些数列问题 与现代数学中的数列理论有很多相似之处。这表明不同文化中的数列观念存在相似之处，可以通过交流和融合，相 互促进和发展。 以上内容仅供参考，具体内容应根据实际的研究和分析结果来确定。同时，为了保证学术严谨性，需要参考相关的 学术文献和资料，进行充分的论证和阐述。
数列的历史渊源与发展趋势
数列的历史渊源与发展趋势数列，顾名思义，是按照一定规律排列的一组数。
数列是数学中非常基础和重要的一个概念，几乎贯穿于数学的各个分支中。
数列在古希腊时期已经被研究。
比如，毕达哥拉斯学派中的研究者提出了关于完全立方体的“对角线”的问题，求出了$\sqrt{2}$这个数，从而使代数这一学科得以迈向新的高峰。
在中世纪，阿拉伯学者发现了一些有规律的数列，并且给它们取了名字，比如斐波那契数列。
但是，在当时，数列研究并没有引起注目。
直到十七世纪，数列的研究才开始真正起飞。
著名的数学家、物理学家牛顿和莱布尼茨都对数列做出了重要的贡献。
牛顿发现了一个无限长的、级数收敛的数列，称之为牛顿级数，这个级数在计算机科学领域有很重要的应用。
莱布尼茨则发现了一种求和方法，称之为莱布尼茨公式。
十九世纪末期，法国数学家庞加莱提出了许多数学问题，其中就包括了无穷数列的问题。
这些问题极大地推进了数列的研究。
现代数学中，数列是一个极为重要的概念。
数列以它的数学定义和性质出现在各种不同领域的数学和科学中，特别是从级数、微积分和微分方程中，数列的应用也相当广泛。
数列的发展趋势随着自然科学在计算机科学、人工智能、机器学习等领域的重要应用，数列作为一种在理论与实际应用环节上具有广泛应用的数学工具，正在成为计算机领域的基石。
随着计算机硬件和算法的不断进步，数列计算技术的实时性、稳定性也将不断提高。
在GPGPU（通用计算图形处理器）系统中，数列公式往往能够运行得非常快，因为它们可以很好地映射到GPU的SIMD（单指令多数据流）核心上。
数列也在人工智能和机器学习领域中有着广泛应用。
比如，在自然语言处理中，对句子和文章进行向量化表示时就需要将其拆分为单词的数列。
除此之外，数列还被广泛应用于密码学、图形学、网络通信、数字信号处理等领域。
随着计算机科学的飞速发展，数列在应用领域的发展前景非常广阔。
总之，数列作为一种基础的数学概念，在历史上扮演着重要的角色，而在现代，随着科技的进步，数列的应用也在不断发展。
具体数学笔记-约瑟夫问题
具体数学笔记-约瑟夫问题据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马⼈占领乔塔帕特后，39 个犹太⼈与Josephus及他的朋友躲到⼀个洞中，39个犹太⼈决定宁愿死也不要被敌⼈抓到，于是决定了⼀个⾃杀⽅式，41个⼈排成⼀个圆圈，由第1个⼈开始报数，每报数到第3⼈该⼈就必须⾃杀，然后再由下⼀个重新报数，直到所有⼈都⾃杀⾝亡为⽌。
然⽽Josephus和他的朋友并不想遵从。
⾸先从⼀个⼈开始，越过k−2个⼈（因为第⼀个⼈已经被越过），并杀掉第k个⼈。
接着，再越过k−1个⼈，并杀掉第k个⼈。
这个过程沿着圆圈⼀直进⾏，直到最终只剩下⼀个⼈留下，这个⼈就可以继续活着。
问题是，给定了和，⼀开始要站在什么地⽅才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与⾃⼰安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。
现在考虑k=2时的问题，我们设J(n)表⽰当有n个⼈时幸存者的编号。
假设⼀开始有2n个⼈，那么⼀轮后会剩下1,3,5,7...2n−1,并且⼜是从1开始跳。
所以J(2n)=2J(n)−1奇数的情况差不多,会剩下3,5,7,9....2n+1所以J(2n+1)=2J(n)+1⽤这个⽅法可以在log2n的时间内求出J(n)接下来我们可以打⼀个表容易发现J(2m+l)=2l+10≤l<2m⽤数学归纳法很容易证。
⾄此这个问题已经解决，但我们还可以发现⼀些东西。
设n的⼆进制展开为n=(b m b m−1...b1b0)2b m=1把2l+1表⽰出来2l+1=(b m−1...b1b01)2这就是n在⼆进制下向左循环移动了⼀位。
难道是碰巧吗？考虑这个递推式的⼀般形式f(1)=af(2n)=2f(n)+bf(2n+1)=2f(n)+ca,b,c显然是互不影响的，f(n)⼀定可以这样表⽰出来f(n)=A(n)a+B(n)b+C(n)c可以看出对于所有的a,b,c，A,B,C都是相同的我们取a=1,b=c=0f(n)=A(n)A(1)=1A(2n)=2A(n)A(2n+1)=2A(n)则A(2m+l)=2m接下来我们反过来使⽤递推式，确定f(n),研究是否有a,b,c能表⽰它，取f(n)=1解得a,b,c=(1,−1,−1)−−−−−>A(n)−B(n)−C(n)=f(n)=1再取f(n)=n就可以解出A,B,C了。
神奇数字规律
神奇数字规律1、一列数中，相邻的两项的差是一个固定的数值。
例如：1、3、5、7、9……这个数列就是后一项总比前一项多2 ；或者例如：19、16、13、10、7……这样的形式，这个数列就是前一项总比后一项多3。
2、一列数中，相邻的两项，后一项总是前一项的n倍。
例如：2、4、8、16、32……这个数列就是相邻两项中后一项是前一项的2倍；或者后一项总是前一项的1／n。
例如：100、50、25、12.5、6.25……这个数列就是后一项总是前一项的1／2。
3、一列数中，奇数位上的数相邻的两项的差是一个固定的数值或者偶数位上的数相邻的两项的差是一个固定的数值。
例如：1、10、3、13、5、16、7、19……这个数列中，奇数位上的数是后一项总比前一项多2；偶数位上的数是后一项总比前一项多3。
4、一列数中，奇数位上的数是相同的倍数关系或者偶数位上的数也是相同的倍数关系。
例如：2、5、6、10、18、20、54、40……这个数列中，奇数位上的数中后一项总是它前一项的3倍，偶数位上的数中后一项总是它前一项的2倍。
5、一列数中，前n项之和等于后一项。
例如：0、1、2、3、6、11、20……这个数列就属于某项的数等于它前面3项之和的类型。
6、一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方。
例如：1、4、9、16、25……或者是1、8、27、64、125……数字排列的规律还有很多，就要我们去观察、探索。
例如：A、3、4、5、8、7、16、9、32……B、6、1、8、3、10、5、12、7……C、1、3、8、16、27、41……原理：整体与整体的较大部分之比等于较大部分与较小部分之比，即1：0.618。
最适合的点＝（最高点－最低点）×0.618＋最低点。
这就是真正的“物美价廉”的结合点第二个神秘数字：“250”定律第三个神秘数字：宇宙法则。
原理：聪明的犹太人认为，世界上的一切都是按78：22的比例存在，比如空气中的氮气和氧气的比例为78：22，人体内的水与其它物质之比为78：22。
你知道吗？——数列中的一些事
你知道吗？——数列中的一些事一、古巴比伦“泥板书”中的“分银子”问题 10个兄弟分银100两，后一个人比前一个人少，只知道每一级相差的数量都一样，但究竟相差多少不知道，现在知道第8个兄弟分到6两银子，问每一级相差多少？古巴比伦人用特殊的方法求得：如果兄弟10人平均分配，每人平均分得10两。
所以老三和老八所分银子共20两。
现已知老八得6两，那么老三应得14两，二人相差是8两。
由此可见，古巴比伦人一已经懂得等差数列的两个性质：n S a a n n ⨯=+21，d n a a n )1(1-+= 二、古埃及阿默斯的《算书》中得“分大麦”问题如何把10斗大麦分给10个人，使每个人（从第二个人起）都比他前面的人少81斗？《算书》中给出了计算第一人所得大麦斗数的法则用现在的符号表达就是)1(21--=n dn S a n ，只要用公式算出第一人所得大麦斗数，就可得出分配方案。
古埃及人究竟怎样得到这个公式的呢？较多的人认为，它最初是用尝试的方法解决的。
三、我国数列概念的起源最早的数学著作《周髀算经》和《九章算术》，它们都是公元纪元前后的作品，到现在已有两千年左右的历史了。
《周髀算经》里谈到“测日影”时，已经出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念。
南北朝《张丘建算经》中的“织布”问题：（1）“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。
”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式n a a S n n ⋅+=2)(1（2）今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？书中给出了计算公式)1()22(1-÷-=n a n S d n ，这个公式相当于给出了等差数列的求和公式d n n na S n ⋅-+=2)1(1。
中国古代数学文献中的数列问题
中国古代数学文献中的数列问题
中国古代数学文献中的数列问题是有关数学史的一个重要课题，它集中反映了
中国古代对复杂计算问题的思考和研究成果。
此课题具有重要的历史意义和科学价值，同时也具有一定的考古价值。
古代数列的研究，是中国古代数学和算学发展的精华所在，也是一种文化交流。
书籍《九章算法》《算说》《周礼传》等在中国古代数学文献中，提供了丰富的数列研究内容。
从其中我们可以看出，古代数列研究非常深入，运用复杂计算的技术来解决棘手的数列问题。
在《周礼传》中，记载了大量的Σ数列理论，如著名的“γ-Σ”概念，它是
一种运用等差数列特性和常量倍数来复杂计算求和问题的解决方案。
在《九章算法》中，又有多种数列解法，如等差数列求和解法、等比数列求和解法和阶乘数列求和解法等，为古代数学文献增添了新的历史价值。
从古代数学文献中，可以看出中国古代在解决数列问题方面，PRT拥有了非常
丰富的理论支撑和充足的弱解法技术，甚至早在古希腊的时期，中国古代就对等差数列与等比数列的求和有了很深的研究，它们都是中国古代算学发展史上珍贵的金字塔、宝库，它们蕴含着丰富的古代的科技精华。
中国古代数学文献中的数列问题研究，具有重要的历史意义和科学价值，同时
也具有一定的考古价值。
对古代数列研究的深化，不仅可以为数理科学提供基础，也可以促进现代社会个性化学习发展。
学习中的趣味历史数列的起源与应用
学习中的趣味历史数列的起源与应用历史数列是一种有趣而又具有教育意义的数学概念。
通过探索数列中的规律和特点，我们可以了解到不同历史时期的重要事件、人物，以及各种社会现象。
本文将从历史数列的起源开始，逐步介绍其应用和在学习中的重要性。
一、历史数列的起源历史数列的概念在古希腊就有所涉及，古希腊数学家毕达哥拉斯是首个应用数列来分析历史事件的人。
他发现了一种被称为“斐波那契数列”的数学规律，该数列通过每个数字与前两个数字的和来定义。
这个数列在后来的历史研究中被广泛应用，例如用来研究自然界的生长规律和商业发展趋势。
二、历史数列的应用1. 时间序列分析历史数列可以被应用于时间序列分析，以研究事件或现象的演变过程。
通过观察数列中的数字变化，我们可以发现其中的规律，并使用这些规律来预测未来的发展趋势。
例如，通过观察历史战争的起伏变化，我们可以预测未来的战争规模和频率。
2. 经济和财务分析历史数列在经济和财务分析中也有广泛的应用。
通过研究经济指标的发展过程，我们可以识别出周期性变化和趋势性发展。
这对于政府决策者和投资者来说是非常重要的，可以帮助他们做出有针对性的决策。
3. 历史事件研究历史数列为研究历史事件和人物提供了新的途径。
通过将重要历史事件转化为数列，我们可以更好地理解事件之间的关系和相互影响。
例如，研究罗马帝国的兴衰可以将不同时期的国力转化为数列，通过分析数列的变化可以揭示出导致帝国衰落的原因。
4. 教育和启发历史数列的学习对于培养学生的逻辑思维和分析能力非常有益。
通过解决数列问题，学生们可以培养他们的观察、推理和解决问题的能力。
此外，历史数列还可以激发学生对历史的兴趣，让他们更主动地学习和探索历史知识。
三、学习中的趣味历史数列为了提高学生对历史的兴趣和参与度，教育者们可以设计一些趣味的历史数列问题供学生解答。
例如，可以让学生通过观察数列中的数字变化，猜测这些数字表示的历史事件或人物是什么。
也可以将学生分组，让他们合作解决更为复杂的历史数列问题。
数字18的玄机研究它的相关数学模式
数字18的玄机研究它的相关数学模式数字18的玄机研究与相关数学模式数字在我们的生活中无处不在，并且它们有时会带给我们一些奇妙的发现。
有趣的是，数字18在许多文化和领域中都具有特殊的意义。
本文将深入研究数字18的玄机，并探讨与之相关的数学模式。
一、数字18的文化意义数字18在中西方文化中都有着独特的象征意义。
在犹太教中，数字18代表"生命"，因为在希伯来语中，数字18的发音与"活"的发音非常相似。
因此，在犹太教的传统中，人们常常会选择将捐款金额定为18的倍数，以表示对生命的珍视和祝福。
在中国文化中，数字18也被视为吉利的数字。
它含有丰富的象征意义，代表着富裕、长寿和幸福。
因此，数字18在中国的婚礼、庆典和商业领域中经常出现。
此外，数字18还与中国的历史和文化相联系，比如十八学士、十八般武艺等等。
二、数字18的数学奥秘数字18本身也蕴含着一些有趣的数学模式和属性。
以下是其中一些值得研究的方面：1. 整数的分解：数字18可以被分解为3和6的乘积，即18 = 3 × 6。
这个分解可以进一步扩展，因为3和6也可以继续被分解为更小的因数。
这样的数学分解可以揭示出数字18的内在结构和数学规律。
2. 数字序列：数字18在一些数列中出现得相对频繁。
例如，斐波那契数列中的前两个数是1和1，之后的每个数都是前两个数的和。
接下来的几个数字依次是2、3、5、8、13、21，然而令人惊奇的是，第八个斐波那契数正好是18。
这种数字序列中的关联性提供了对数字18的另一种解读方式。
3. 数字运算性质：18是一个有趣的数字，因为它有很多不同的因数。
事实上，18可以被1、2、3、6、9和18整除，这使得它在一些数学运算中具有独特的性质。
例如，18是一个半完全数，即它的所有真因数的和（不包括它自己）等于它本身。
三、数字18的应用场景数字18的特殊性质使得它在一些实际应用中发挥着重要作用。
宇宙法则78：22的数学原理及应用
宇宙法则78/22的数学原理及应用宇宙法则78/22简介犹太人认为，宇宙的法则就是“22：88"法则，它是犹太人成功致富的根本。
这个比数很有哲理，它是以一个正方形的内切圆关系计算出来的。
假设一个正方形的面积是100，那么，它的内切圆面积是78.5，剩下的面积即是21.5.以整数计算表达，便是22：78。
空气中的气体比例中，氦气占78%，氧气占22%;而人体的，也是有78%的水及22%的其他物质构成的。
22：78成为人类不可抗拒的宇宙大自然的法则，人类不能违背这则法则而生存发展。
在通常情况下，78%的生意是来自22%的客户大约78%的生意来自大约22%的客户。
让大约78%的精力凡在大约22%的客户上。
让大约78%的资金配置到大约22%的项目上。
宇宙自然法则78/22，也可称为宇宙分割78：22，或宇宙分割0.78，黄金分割0.618，或61.8：38.2，本质是一种数学上的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
宇宙法则78/22的数学含义，78/22自然法则,无处不在。
78:22的数字来源不仅仅是正方形的内切圆关系，一种数学上的比例关系。
自然分割（78：22）具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
0.78数字的内在数学原理？其数学含义是0.78…是数学常数？如何证明推导？0.78…的数学常数的来源及证明统计学概率论入手本质是常态分布，由一般分布的频数表资料所绘制的直方图，图⑴可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。
我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图⑶。
这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。
由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
概率论中最重要的分布-正态分布。
斐波纳契《计算之书》中的数列问题
斐波纳契《计算之书》中的数列问题汪 晓 勤（华东师大数学系， 上海, 200062）斐波纳契（Leonardo Fibonacci, 1170？~1250?）是中世纪欧洲最重要的数学家，其代表作之一是《计算之书》（1202）。
然而，除了包括“兔子问题”在内的少数名题外，人们对此书的具体内容知之甚少。
本文对该书第十二章[1]中的数列问题作一考察，以供HPM 视角下“数列"教学设计之参考.1 等差数列《计算之书》的第十二章开篇给出等差数列的求和方法。
设等差数列的首项、末项、项数、公差、前n 项和分别为1a 、n a 、n 、d 和n S 。
斐波纳契有命题1 ()11n a a n d =+-。
命题2 ()12n n n S a a =+。
若1a d =,则112n n n a a S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
由命题2易得命题3 ()213521n n ++++-=。
命题4 ()24621n n n ++++=+。
问题1 已知17a =、31n a =、3d =,求n S 。
根据命题1,斐波纳契先求得11n a a n d-=+,再根据命题2求得n S 。
问题2 求36960++++。
直接利用命题2的第二部分即可。
问题3 甲乙二人长途旅行，甲日行20里，乙第一日行1里，第二日行2里，第三日行3里，依此类推，日增1里.问：二人几日后相遇？由命题2,()1202n n n +=，故斐波纳契的解法如下：20乘以2得40，从中减去1得39,此即二人相遇所需天数.问题4 甲日行21里，乙从1里开始,日行里数按连续奇数逐日递增.[问：几日后乙追上甲？］由命题3易得21n =.问题5 甲日行30里，乙从2里开始，日行里数按连续偶数逐日递增。
［问：几日后乙追上甲？］由命题4易得29n =。
以下问题的解法均类似.问题6 甲日行60里，乙第一日行3里，第二日行6里，第三天9里，等等。
［问：几日后乙追上甲?]问题7 甲日行60里，乙第一日行5里，以后日增5里.[问：几日后乙追上甲？] 在下面的问题中，甲的日行里数不能被乙的日增里数整除.问题8 甲日行10里,乙第一日行3里，以后日增3里.[问：几日后乙追上甲？] 因方程33102n n n +=没有整数解,故取最近的一个正整数5，5日中甲行50里，乙行45里。
数学中的数列研究
数列是数学中一种非常重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列在数学中有着广泛的应用，许多数学问题都可以转化为数列问题进行研究。
同时，数列的研究也为我们认识数学的发展历程以及数学的本质提供了重要而有力的证据。
数学中的数列研究可以追溯到古希腊时期，当时的数学家亚历山大的毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，即在直角三角形中，直角边的平方等于另外两边平方的和。
这个定理实际上是通过研究特殊的数列得出的。
如果我们认为直角边的长度为1，那么根据毕达哥拉斯定理可以得出另外两边的长度分别为√2和√3。
这里，√2和√3实际上是数列的两个连续项，通过无穷逼近可以得到它们的真实值。
因此，可以说数列的研究成为了毕达哥拉斯定理的基石。
数列的研究不仅仅局限于几何学，在代数学中也有着重要的应用。
欧几里得曾经研究了一类特殊的数列，即等差数列。
等差数列的特点是每个数与它前一个数之差都相等，这个公差可以是任何实数。
欧几里得研究了等差数列的性质，发现了许多有趣的规律。
他发现等差数列的前n项和可以表示为n乘以首项和末项之和的一半。
这个等差数列的性质在几何学和代数学中都有重要的应用，解决了许多实际问题。
数列的研究在数学发展的历程中也发挥着重要的作用。
例如，从古至今，无穷级数的研究一直是数学家们探索的一个重要领域。
无穷级数由无穷多项相加而成，如果数列的前n项和存在极限，那么我们称这个无穷级数收敛，否则称为发散。
数学家们研究了无穷级数的收敛与发散的条件，发展了一系列重要的收敛判别法。
通过对无穷级数的研究，人们不仅可以解决许多实际问题，还可以认识到数学中的无限性和发散性。
总结起来，数学中的数列研究是数学发展的重要组成部分。
通过对数列的研究，我们可以认识到数学的发展历程以及数学的本质。
数列从古代开始就在数学中占据着重要地位，它们为我们解决实际问题提供了重要的工具和方法。
另外，数列的研究也引发了一系列有趣而深刻的数学问题，推动了数学的发展。
数字3的犹太奥秘
数字3的犹太奥秘
若回顾古代人类历史，无论观察到哪个文化，数字3总是会出现，且极重要。
因为与3相关的一切实在是太重要了，所以3会出现在宗教、建筑、数学及种种人类活动的领域里。
神话故事里，名为三宿命的全能者掌控了神与人的祸福。
世界各地各样文化长期以来有个共同信念：3代表着神的、圣的、奥秘的、万有适用的什么。
西元前6世纪，希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯提出了著名的定理：A平方 + B平方= C平方。
毕达哥拉斯公式解释了直角三角形三个边的数学关系，研究人员普遍认为这个公式原初是为了设计埃及金字塔而产生。
根据研究，毕达哥拉斯就教于“埃及伟大导师”，并将知识和智慧从埃及带到希腊，促成希腊哲学的诞生。
抽杀问题 约瑟夫问题
[阅读材料]世界名题与小升初之：抽杀问题（約瑟夫问题）--马到成功老师在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。
先给大家介绍这一问题的由来。
据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特後，39 個犹太人与Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個犹太人決定宁愿死也不要被人抓到，于是決定了一个自杀方式，41個人排成一个圆圈，由第1個人开始报数，每报数到第3人该人就必須自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。
然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他將朋友与自己安排在第16個与第31個位置，于是逃过了这场死亡游戏。
解法約瑟夫问题可用代数分析來求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在陈列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直接计数來求解的話，只要將阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由計数1开始，每找到三个无资料区就填入一个計数，直而計数达41为止，然后將阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀順序，这就是約瑟夫排列，41個人报数3的約瑟夫排列如下所示：14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23由上可知，最后一個自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道約瑟夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。
费不纳契数列
费不纳契数列费不纳契数列，又称黄金分割数列，是由意大利数学家费波那契在13世纪提出的数列。
这个数列的特点是每个数字都是前两个数字之和，即第三个数字等于前两个数字的和。
费不纳契数列的前几个数字是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……。
费不纳契数列的独特之处在于，它具有一种奇妙的比例关系。
当我们将相邻两个数字相除，随着数字的增大，这个比值会趋近于1.618，即黄金分割比。
这个比值在艺术、建筑、音乐等领域中经常被应用，被认为是最美的比例之一。
这个数列的美妙之处不仅仅在于它的数值关系，更在于它所代表的一种生命的律动。
这个数列在自然界中随处可见，例如：向日葵的花瓣数、松果的排列、贝壳的螺旋、旋涡云的形态等等，都可以用费不纳契数列来描述。
这种数列像是大自然的密码，向我们展示了一个奇妙而又神秘的世界。
当我们仔细观察这个数列，我们会发现其中蕴含着一种无限延伸的美妙。
每个数字都是前两个数字之和，而前两个数字又是前面两个数字之和，如此循环往复，永不停歇。
这种无限延伸的特性让人不禁想起宇宙的辽阔和时间的长河。
费不纳契数列不仅仅是一种数学上的规律，更是一种哲学上的思考。
它告诉我们，在这个世界上，一切都是相互联系的，一切都是无限延伸的。
每个数字都有它独特的位置和意义，就像每个人都有他们独特的存在和价值。
当我们面对生活中的困难和挑战时，不妨想一想费不纳契数列。
它告诉我们，每个困难都是一个数字，而我们可以通过不断努力和奋斗，找到解决问题的方法，就像数列中的每个数字都是由前两个数字相加得到的。
费不纳契数列的美丽和神奇让人感到震撼和敬畏。
它不仅仅是数学家们的研究对象，更是一种启迪和鼓舞。
它告诉我们，数学不仅仅是一堆枯燥的公式和计算，它可以让我们看到世界的奥秘和生命的美好。
让我们一起来探索费不纳契数列的奥秘，感受数学的魅力，让我们的思维跟随数字的律动，追寻无限的美丽。
szekeres wilf定理
szekeres wilf定理
Szekeres-Wilf定理，又称“有限上升序列定理”，是一个有趣而重要的数学定理。
它是由Hungarian数学家萨克雷斯和美国数学家威尔夫联合发现的（Loh et al，1998）。
定理主要说明，任意一个升序数列都存在这样一种可观察的模式：元素之和等于该序列的长度。
萨克雷斯-威尔夫定理表明，任何一个升序数列都存在一种可观察的属性：所有元素的和等于整个序列的长度。
它的正确性可以通过数学归纳法来证明。
Szekeres和Wilf的定理也有一些特定的应用，例如，它可用来表示数论中的素数，研究发现，素数的和的比例总是等于素数的长度，而且在升序数列中，每个比前一个大1的步骤使比例不断发生变化，这显示了它的高效性。
此外，Szekeres-Wilf定理也可用于数学运算，例如，在微积分和级数计算中。
比如，在级数计算中，通过求和序列（比如，汉明码）来实现，而汉明码序列的和总是与长度相同，由此可以用来加速计算（Korgid et al，2003）。
另外，Szekeres-Wilf定理也被广泛应用于计算机科学、统计学和计算机图形学等领域。
尤其是在计算机图形学中，它可以用来描绘空间几何关系，这些几何关系又可以用来解决许多有趣的问题，并为3D绘图技术提供基础（Guo et al，2008）。
总之，Szekeres-Wilf定理是一个非常强大的数学定理，它有着广泛的应用，同时也被用于许多领域的数学和计算机科学研究中。
这
也是一个有趣的定理，有很多有趣的应用，它也可以启发我们探索数学的新概念。
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去Ｅ（ ＋ 一’ ｒ 礼 ｎ 名 的犹 太 数学 家 吉 尔森
（ ａ ｂ Ｌ ｖ ｂ ｎＧ ｒｏ ， ２ ８ ３ ４ 在数列 Ｒ ｂ ｉ ｅｉ ｅ ｅｓｎ １８ —１４ ） 方面获得了很多结果 ． 吉尔森同时也是哲学家、 天文学家、科 学家和圣经评注者， 出生于法国 南部的普罗旺斯， 且终生生活在那里． 在数学方
命题 ５ 对任意正数列 ｛ ， ｎ ） 均有
／ 、２
太人．１ １ 著作多达二十余种． Ｊ 他曾经将阿拉伯天 ｎ ｛ ∑ （ 一 ）＝（ ａ） ∑０ 一 ２ ａ ∑ ｉ． ｉ ｉ ＝１ １ ＜Ｊ ≤ｉ ≤ｎ ＼ ＝１ ／ 文学家、数学家 阿尔 ・ 比鲁尼 （ｌ ｉ ｎ， ７ — ａ Ｂｒ ｉ ９３ — ｕ 我们不难用数学 归纳法证明上述命题 ． １４ ） ０ ８ 的天文著作译成希伯莱文， 在译本前言 并 艾兹拉 的另一部 著作记载 了中世纪著名的 中叙述了印度数学传入阿拉伯的细节【ｊ ２ 弥足珍 Ｊ 趣 味数学 问题 一 约瑟夫 问题 ． 该 问题源于一 贵． 中最重要 的数学著作是 《 数之书》 ．该书 则 战争故事： 公元 ６ 年，罗马将领 韦斯帕西恩 ７ 第三部分包含如下数列求和公式 （ ｅｐ ｓ ｎ ９ ９ 后任 罗马皇帝） Ｖ ｓａｉ ， ～７ ， ａ 率军攻陷发 命题 １ １ ＋２ ＋３ ．＋ｎ＝ ＋．． ． 生反叛的犹太城市约塔帕特 （ｏａ ａ， Ｊ ｔｐ ｔ今位于以 命题 ２ １ ＋２ ＋３ ＋．． ２＝ ２ ２ ２ ．＋ｎ ． 色列） 之后， 犹太军事首领约瑟夫 （ｏｅ ｈ ｓ ３ Ｊ ｓｐ ｕ ， ７ ２ ＋ １ ｎ １ ０ 和抵抗到最后 的另外四十个犹太人躲进 ０） 丁 。 个 山洞中． 们不愿被罗马人俘虏， 他 除了约瑟 艾兹拉还给 出了等 比数列求和公式 夫和他的一位朋友外， 其余 ３ 人都决心 自杀． ９ 约 （ ｑ≠１， ） 瑟夫不愿意这样做， 但他 又不便公开反对， 口头
、
一
＝
但 没有 给 出证 明．
兹拉所 给出的关于数列 平方和 的等式显 示 了相当高 的代数水平． 首先， 他给出
上只好表示 同意． 但是， 他提出 自杀行动必须有 序地进行： 所有４ 人排成一圈， １ 随意从某一位置
开始点数 （ 按顺时针或逆 时针方 向） 逢三 杀之， ，
２１ 年第 ４ ００ 期
数 学教 学
三３ 一１
犹 太数 学 文献 中的数 列 问题
２２ 东 大 数 系 ０４ ０ １华 师范 芝 学 汪晓 ２１ 东 淄 师汜 等 科学 蒲 萍 勤 ５０ ５０山 省 博 ４ 专 校 淑 ４ － 高
历史上， 犹太人没有 自己的家 园， 散居世界
各地， 但犹太人 的智慧却 为世人所 称道， 古代犹 太法 典 《 木 德经 》（ 撰 于公 元 前 ３ ０ 至 公元 塔 编 ０年 ５０ 至今读来仍振聋发聩， ０ 年） 让人受益无穷．
器（）（）…（ ” ， 器。 ， … 器， ， 器 ，
中世纪 的犹太数学 家 曾对数学作 出过卓越 的贡献．犹太数学文献 中的数列 内容主要 出 自 中世纪两位 犹太 数学家 的著述． 伊本 ・ 艾兹 拉
图 １命题 ３ 的几何解释 图 ２命题 ４ 的几何鳃释
命 题 ４ 对 任意正数 ａ ６ Ｃ 均有 ３ｎ ， 和 ， （ ＋ ｂ ＋Ｃ） ａ ） 一（ —ｃ 一（ 一６ 。 ｂ ） Ｃ ） ＝ （＋ 一（ —ｎ。 ａ
ｂ ｃ。 ＋ １．
（ ａ ｂ ｉ ｚａ １ ９ — ７ 出生于西班牙的 Ｒ ｂ ｉｂ Ｅ ｒ， ０ ０ １６ ） ｎ １ 托雷多， 广泛 游历世界各地， 历经磨难， 足迹 远 至埃及和英格兰， 是中世纪犹太数学传统中最重
要的数学家之一， 被誉为他那个时代最博学的犹
易知 图２ 中面积 Ｉ Ｉ之和为ａ ＋ｂ 一（ 一 和 Ｉ ｂ ０ 故 可得到命题 ４ ）， ． 最后， 艾兹拉给出了关于正数列的一般结果：
五３ ～２
数 学教 学
２１年第 ４ ００ 期
最后剩 下 的 一位 自杀 ． 意 选 定起 始 位置 后 ， 任 睿 智 的 约瑟 夫把 自己和 朋 友 分 别安 排 在 第 １ 和 ３ ６ １
个位置， 成功地避开了死神． 约瑟夫为罗马人所
捕， 后去罗马从事历史写作， 成为那个时代最著 名 的历史 学家 ． 在 约瑟夫 问题 中， 排成 一 圈的人 数为 ｎ， 设 并
，
∑ ｒ ＝ Ｅ 。 Ｅ Ｅ ｎ－ｒ ＝ （ ＋１ （ ） （ ） ／ ） ＼
＝
问题是： 数列 １ １ ３ １ ３ ５ ７ １ ３ … 的通项 ，， ，，，，，，， 公式是什么？ 不难 由归纳得到
ｒ １ ＝
Ｊ２ （ ＋ｆ＝ ２＋１ ｆ ， ） １ （、 ∈Ｚ ０≤ｆ ≤２）
对我们来说，《 塔木德经》中的一句话特别 有趣： 任何一个看望病人的人 能消除其疾病的六
命题 ３ 对正数ａ ｂ均有 ２ａ ＋ｂ） ａ 和 ， （ 一（一 ６。 （ ＋６。 ） ＝ ａ ）．
该 恒等 式 可从 图 １ 到 ． 得 然后 ， 他将等 式推 广
十分之一． 这导致 了以下问题： ６ 个人看望该 第 ０ 病人之后， 病情如何？虽 然从 医学上来说， 这个 问题或许并无意义， 但从数学上来说， 这是一个 有趣的数列问题 ： １ ２ … ， 第 ，， 礼个人看望病人之 后， 病情构成等 比数 列
且从 ｌ 号开始按顺时针方 向点数， 逢二取之． 记
图 ３ 命题 ９ 的几何解释
事 实上 ， 等式 左 边含 有 １ １ 个 ２ ＋３ 个 、２ 、３ 、
…
最后剩下的一个人位于第 Ｊｎ 号． （） 当ｎ＝ １ ２ ，， ｌ 时， ３ 相应的 Ｊｎ 如下： （）
…
、
几个 礼 如 图 ３ 示 ．由此 可 得 ， 所