2019高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练文

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精品高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练理

【最新】2019年高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练理
1.累加、累乘法
例1：数列满足：，且，求．
【答案】．
【解析】，，，，
累加可得：，
．
2．与的关系的应用
例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．
【答案】．
【解析】∵当时，，
，
整理可得：，，
为公差为2的等差数列，，
，．
3．构造法
例3：数列中，，，求数列的通项公式．
，
由，即，
∴且，，，
其中最小项为，，
其中最大项为，因此．故选C．
11．已知数列满足，，是数列的前项和，则（）
A．B．
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【答案】B
【解析】数列数列满足，，
当时，两式作商可得：，
∴数列的奇数项，，，，成等比，偶数项，，，，成等比，
对于A来说，，错误；
对于B来说，
，正确；
，故答案为．故选B．
二、填空题
13．已知数列的前项和为，且，则___________．
【答案】
【解析】数列的前项和为，且，
，两式想减得到．
此时，检验当时，符合题意，故．故答案为．
14．数列中，若，，则______．
【答案】
【解析】∵，，则，
∴．故答案为．
15．设数列满足，，___________．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，，累加可得，
∵，，
∴．故答案为．
16．已知数列满足，，则_______．
【答案】
【解析】令，则，
由题意可得，
即，整理可得，
令，则，由题意可得，
且，，故，
即，，，，

数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案

数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。

这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。

下面我们逐个讲解这些重要的方法。

递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。

这种方法有两种类型。

第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。

但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。

第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。

累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。

其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。

只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。

基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。

+f(n)。

因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。

累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。

它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。

*f(n)。

以上是数列通项公式的三种求法。

2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。

左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。

2020届高三精准培优专练十一数列求通项公式(理) 学生版

2020届高三好教育精准培优专练例1：根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式；（1）4，6，8，10，；（2）112-⨯，123⨯，134-⨯，145⨯，；（3）1-，7，13-，19；；（4）5，55，555，5555，．例2：（1）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则n a = ．（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则n a = ．培优点十一数列求通项公式一、由数列的前几项求数列的通项公式二、由与的关系求数列的通项公式例3：（1）设数列{}n a 满足11a =，且11()n n a a n n +=++∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为．（2）在数列{}n a 中，11a =，11(2)n n n a a n n--=≥，则数列{}n a 的通项公式为．（3）已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为．一、选择题 1．数列0，23，45，67，的一个通项公式为（）A ．1()1n n a n n -=∈+*N B ．1()21n n a n n -=∈+*N C ．2(1)()21n n a n n -=∈-*ND ．2()21n na n n =∈+*N 2．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则218a a +=（） A ．36B ．35C ．34D ．333．若数列{}n a 满足12a =，22112n n n n a a a a +++=⋅，则数列{}n a 的前32项和为（） A ．16B ．32C ．64D ．1284．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且3(1)()2n n S a n =-∈*N ，则n a =（） A ．3(32)n n -B ．32n +C ．3nD ．132n -⋅5．已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n 的最小值为（） A ．21 B ．10C ．172D ．212三、由递推关系式求数列的通项公式对点增分集训6．已知数列{}n a 满足：11a =，122nn n a a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a 为（） A ．11n + B ．21n + C ．1nD ．2n7．数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若135a =，则2019a =（） A ．15B ．25C ．35D ．458．已知数列{}n a 满足11a =，n a ∈Z ，且11132nn n a a +--<+，12132n n n a a ++->-，则2019a =（） A ．2021318-B ．2020318-C ．2019318-D ．2018318-二、填空题9．设数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=⋅，则通项公式n a = ．10．已知函数()22,,n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，且()(1)n a f n f n =++，则1232020a a a a ++++= ．11．已知数列{}n a 的通项公式为(1)21nn a n =-⋅+，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第10行第3个数为．123456a a a a a a ⋅⋅⋅三、解答题12．根据数列{}n a 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式．（1）7，77，777，；（2）4，52-，2，74-，85，；（3）3，5，3，5，；（4）1，2，2，4，3，8，4，16，．13．已知数列{}n a 的通项公式是24n a n kn =++．（1）若5k =-，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值；（2）对于n ∈*N ，都有1n n a a +>，求实数k 的取值范围．14．n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11232(2)n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =．（1）证明：数列12n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记n T 为数列1n n a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若n ∀∈*N ，n T m <，求m 的最小值．例1：【答案】（1）2(1)n a n =+，n ∈*N ；（2）1(1)(1)nn a n n =-⨯+，n ∈*N ；（3）(1)(65)nn a n =--，n ∈*N ；（4）5(101)9nn a =-．【解析】（1）各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式2(1)n a n =+，n ∈*N ．（2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式1(1)(1)nn a n n =-⨯+，n ∈*N ．（3）这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为(1)(65)nn a n =--，n ∈*N ．（4）将原数列改写为599⨯，5999⨯，59999⨯，易知数列9，99，999，的通项为101n-，故数列的一个通项公式为5(101)9nn a =-．例2：【答案】（1）3,12,2n n n =⎧⎨≥⎩；（2）12n --．【解析】（1）由2log (1)1n S n +=+，得112n n S ++=，当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，12nn n n a S S -=-=，所以数列{}n a 的通项公式为3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩．（2）∵21n n S a =+，当2n ≥时，1121n n S a --=+， ∴1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=．当1n =时，11121a S a ==+，得11a =-．∴数列{}n a 是首项1a 为1-，公比q 为2的等比数列，培优点十一数列求通项公式答案∴11122n n n a --=-⨯=-．例3：【答案】（1）2()2n n n a n +=∈*N ；（2）1()n a n n=∈*N ；（3）1231()n n a n -=⋅-∈*N ．【解析】（1）累加法由题意得212a a =+，323a a =+，，1(2)n n a a n n -=+≥，以上各式相加，得123n a a n =++++．又∵11a =，∴2123(2)2n n na n n +=++++=≥．∵当1n =时也满足上式，∴2()2n n na n +=∈*N ．（2）累乘法 ∵11(2)n n n a a n n--=≥， ∴1221n n n a a n ---=-，2332n n n a a n ---=-，，2112a a =．以上(1)n -个式子相乘得11121123n n a a a n n n-=⋅⋅==．当1n =时，11a =，上式也成立． ∴1()n a n n=∈*N ．（3）构造法∵132n n a a +=+，∴113(1)n n a a ++=+，∴1131n n a a ++=+，∴数列{1}n a +为等比数列，公比3q =，又112a +=，∴1123n n a -+=⋅，∴1231()n n a n -=⋅-∈*N ．一、选择题 1．【答案】C【解析】解法一：特例淘汰法．令1n =，淘汰D 选项，令2n =，淘汰A ，B 选项．解法二：数列变形为01，23，45，67，分子、分母都是等差数列，分子2(1)n -，分母21n -．故选C ． 2．【答案】C【解析】当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-；当1n =时，111a S ==-，所以23()n a n n =-∈*N ，所以21834a a +=，故选C ．3．【答案】C【解析】根据题意，由22112()n n n n a a a a n +++=⋅∈*N ，得21()0n n a a +-=，即1n n a a +=．由12a =，得2n a =，则数列{}n a 前32项和3223264S =⨯=，故选C ． 4．【答案】C【解析】当1n =时，13a =；当2n ≥时，1133(1)(1)22n n n n n a S S a a --=-=---，得到13n n a a -=，所以3nn a =．故选C ． 5．【答案】D【解析】由已知条件可知，当2n ≥时，2121321()()()33242(1)33n n n a a a a a a a a n n n -=+-+-++-=++++-=-+．又1n =时，133a =满足此式．所以331n a n n n=+-．令33()1n a f n n n n==+-，则()f n 在[1,5]上为减函数，在[6,)+∞上为增函数，又53(5)5f =，21(6)2f =，则(5)(6)f f >，故()na f n n =的最小值为212，故选D ． 6．【答案】B 【解析】由122nn n a a a +=+，可得1121122n n n n a a a a ++==+．所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，公差为12的等差数列，所以112n n a +=，即21n a n =+． 7．【答案】B 【解析】由131,152a ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，得2111210,52a a ⎡⎫=-=∈⎪⎢⎣⎭，所以322120,52a a ⎡⎫==∈⎪⎢⎣⎭，所以43412,152a a ⎡⎫==∈⎪⎢⎣⎭，所以5413215a a a =-==．由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列，所以201950443325a a a ⨯+===． 8．【答案】B【解析】∵11132nn n a a +--<+，∴12132n n n a a ++-<+，又∵12132n n n a a ++->-，∴112113322n n n n a a +++-<-<+， ∵n a ∈Z ，∴2n n a a +-∈Z ，则123n n n a a ++-=，于是得到24201831532019201710093,3,,3a a a a a a -=-=⋅⋅⋅-=个，上述所有等式全部相加得210092020242018201913(19)39333198a a ---=+++==-，因此202020202020201913939311888a a ---=+=+=，故选B ．二、填空题 9．【答案】(1)22n n n a -=【解析】由12nn n a a +=⋅，得112(2)n nn a n a --=≥，所以(1)12123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==，又11a =适合上式，故(1)22n n n a -=．10．【答案】2020【解析】当n 为奇数时，22221(1)(1)(2)2n n a a n n n n ++=-+-+++=，为定值，所以12320202020220202a a a a ++++=⨯=．故填2020． 11．【答案】97【解析】由题意可得该数阵中的第10行，第3个数为数列{}n a 的第910123933482⨯+++++=+=项，而4848(1)96197a =-⨯+=，故该数阵第10行、第3个数为97．三、解答题12．【答案】（1）7(101)9n n a =-；（2）13(1)n n n a n -+=-⋅；（3）3,(21,)5,(2,)n n k k a n k k ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩**N N 或4(1)nn a =+-；（4）21,(21,)22,(2,)n nn n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩**N N ．【解析】（1）将各项改写如下，7(101)9-，27(101)9-，37(101)9-，47(101)9-，，易知7(101)9nn a =-．（2）将各项绝对值改写如下，41，52，63，74，85，．综合考查分子、分母，以及各项符号可知13(1)n n n a n-+=-⋅．（3）3,(21,)5,(2,)n n k k a n k k ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩**N N 或1(35)(1)(35)4(1)2n nn a -++--==+-．（4）观察数列{}n a 可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，所以21,(21,)22,(2,)n nn n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩**N N ．13．【答案】（1）数列中有两项是负数，23n =或时，n a 有最小值，最小值为232a a ==-；（2）(3,)-+∞．【解析】（1）由2540n n -+<，解得14n <<．因为n ∈*N ，所以2,3n =，所以数列中有两项是负数，即为2a ，3a ．因为22595424n a n n n ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，由二次函数性质，得当2n =或3n =时，n a 有最小值，其最小值为232a a ==-．（2）由于对于n ∈*N ，都有1n n a a +>知该数列是一个递增数列，又因为通项公式24n a n kn =++，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈*N ，所以322k -<，即得3k >-．所以实数k 的取值范围为(3,)-+∞． 14．【答案】（1）21n a n =+；（2）3(23)nn +．【解析】（1）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+．可得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-．由于0n a >，可得12n n a a +-=．又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去）或13a =．所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+．（2）由21n a n =+可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =+++1111111[()()()]235572123n n =-+-++-++3(23)nn =+． 15．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）证明：由11232(2)n n n a a n ---=⋅≥，得11132424n n n n a a --=⋅+，所以1124n na -=11(1)(2)2n n a n ---≥．由11232(2)n n n a a n ---=⋅≥，可得2126a a -=，又1232a a =，所以126a =，得13a =．所以数列{1}2n n a -是以12为首项，14为公比的等比数列．（2）由（1）知1211111()()2242n n n n a ---=⋅=，所以1212(21)22n n n n n a --=+=+．所以23111(1)(2222)22n n n S -=++++++++111()2(12)222211212n n n n ---=+=⋅---， 111112222232n n n n nn n a S --==+++⋅-⋅，所以1111111()(1)3242323n n n T =+++=-<，因为对n ∀∈*N ，n T m <，所以m 的最小值为13．。

高考数学精准培优专练十一求数列通项公式(文) 学生版

A．1024
B．1023
C．2048
D．2047
2．已知数列{an} 的前 n 项和 Sn n2 6n ，第 k 项满足 5 ak 8 ，则 k （）
A．9
B．8
C．7
D．6
3．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn
1 2
1 2
an
，则 an
（
）
A． 1 (1)n1 32
B． 1 ( 2)n1 23
．
10．记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，若 S2 3 ， an1 Sn 1(n N*) ，则通项公式 an
．
11．在数列 an 中， a1 1， a2 2 ， an1 3an 2an1 n 2 ，则 an ________．
12．在数列{an}中，已知 a1
a2
ln
3 2
,
,
an
an1
ln
n， n 1
将以上 n 1 个等式两边相加可得 an
a1
ln
n n 1
n 1 n2
2 1
2
ln n ，应选
A．
5．【答案】A
【解析】由条件可得 an1 1 2(an 1) ，即 an 1 是以 a1 1 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，
所以 an 1 2 2n1 2n ， an 2n 1， a6 26 1 63 ，故选 A．
6．【答案】B
【解析】∵ an1 3Sn 2 ，∴当 n 2 时， an 3Sn1 2 ， an1 an 3(Sn Sn1 ) ，
即 an1 4an ，
1,
n 1
又 a2
3a1
2
5
4a1 ，∴ an

(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全

求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。

解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。

)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。

高中数学《数列求通项公式》完美编辑解析版

数列求通项公式【教学目标】1.了解数列求通项的常见方法：待定系数法、已知n S 求n a 、构造法、累加法、累乘法。

【知识梳理】1. 已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1(n ≥2)替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． 2. 由数列递推式求通项公式的常用方法(1)构造法：形如a n ＝pa n －1＋m (p 、m 为常数，p ≠1，m ≠0)时，构造等比数列. (2)累加法：形如a n ＝a n －1＋f (n )({f (n )}可求和)时，用累加法求解． (3)累积法：形如a n a n ＋1＝f (n )({f (n )}可求积)时，用累积法求解．【典型例题】考点一待定系数法【典型例题1】1.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36，求d 及S n . 解析：由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．【对点演练1】1.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.考点二由a n 与S n 的关系求通项a n命题点1 已知a n 与S n 【典型例题2】1. (2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝ . 答案－63解析：∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝－1×1－2n1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 【对点演练2】1.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 命题点2 已知n 与S n 【典型例题3】1. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝ . 答案 4n －5解析：a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. 【对点演练3】1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N * 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， a 1＝2不满足上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，a 1＝2不满足上式.2n －1，n ≥2，n ∈N *.命题点3 S n 链式运算【典型例题4】1.已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝ . 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2解析：当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.【对点演练4】1. 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则a n ＝ .答案13n解析：因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .考点三由递推关系求数列的通项公式命题点1 构造法【典型例题5】1.数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式思路：观察到n a 与1n a -有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对n a 与1n a -分别加上同一个常数λ，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出λ 解析：设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+ 对比132n n a a -=+，可得1λ=()1131n n a a -∴+=+{}1n a ∴+是公比为3的等比数列()11113n n a a -∴+=+⋅ 1231n n a -∴=⋅-【对点演练5】1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．解析：由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3a n ＋32＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.命题点2 累加法【典型例题6】1.数列{}n a 满足：11a =，且121nn n a a +-=+，求n a 解析：121nn n a a +-=+1121n n n a a ---=+12121a a -=+累加可得：()2112221n n a a n --=++++-()122112321n n n n --=+-=+--22n n a n ∴=+-【对点演练6】1.a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；解析：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2.命题点3 累乘法【典型例题7】1.已知数列{}n a 满足：11a =，且()11n n na n a +=+，求n a 解析：()1111n n n n a n na n a a n+++=+⇒= 1212112121n n n n a a a n n a a a n n ----∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-- 1na n a ⇒= 1n a na n ∴== 【对点演练7】 1.a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．解析：当n ≥2，n ∈N *时， a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×n n －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式。

数列的通项公式的求法以及典型习题练习

数列的通项公式的求法以及典型习题练习数列解题方法与研究顺序一、累加法累加法是最基本的两个数列解题方法之一，适用于广义的等差数列，即an+1=an+f(n)。

1.若an+1-an=f(n)（n≥2），且a2-a1=f(1)，则可得an+1-a1=∑f(n)（k=1至n）。

例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2n+1，故an+1-an=f(n)=2n+1，且a2-a1=f(1)=3.根据累加法得an+1-a1=∑f(n)=∑(2n+1)=n(n+1)+n= n^2+2n，即an=n^2+2n。

所数列{an}的通项公式为an=n^2+2n。

2.若an+1-an=f(n)，则可得an+1/an=f(n)。

例2：已知数列{an}满足an+1=an+2×3+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2×3+1=7，故an+1-an=f(n)=7.根据累乘法得an+1/an=f(n)=7，即an=3×7^(n-1)。

所以数列{an}的通项公式为an=3×7^(n-1)。

二、累乘法累乘法是最基本的两个数列解题方法之二，适用于广义的等比数列，即an+1=f(n)×an。

1.若an+1/an=f(n)，则可得an+1/an=∏f(k)（k=1至n）。

例3：已知数列an=an-1/n，a1=2，求数列的通项公式。

解：由题可知，f(n)=1/n，故an+1/an=f(n)=1/n。

根据累乘法得an+1/an=∏f(k)=∏(1/k)=1/n。

即an=n!/n。

所以数列的通项公式为an=n!/n。

2.若an+1/an=f(n)，则可得an+1×an=f(n)。

例4：已知数列{an}满足an+1=2(n+1)5×an，a1=3，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2(n+1)5，故an+1/an=f(n)=2(n+1)5.根据累乘法得an+1×an=∏f(k)=∏2(k+1)5=2^(n+1)×3^(n(n+1)/2)，即an=3^n×2^(n-1)。

高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练文(1)

高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练文(1)1.累加、累乘法例1：数列满足：，且，求．{}n a 11a =121n n n a a +-=+n a 【答案】．22n n a n =+-【解析】，，，，121n n n a a +-=+1121n n n a a ---=+L 12121a a -=+累加可得：，()()1211221222112321n n n n a a n n n ----=++++-=+-=+--L22n n a n ∴=+-．2．与的关系的应用nS n a例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．{}n a 11a =2221nn n S a S =-{}n a【答案】．11,221231,1nn a n n n ⎧-≥⎪=--⎨⎪=⎩ 【解析】∵当时，，2,n n *≥∈N 1n n n a S S -=-222111222221nn n n n n n n n n S S S S S S S S S S ---∴-=⇒--+=-，整理可得：，，112n n n n S S S S ---=1112n n S S -∴-= 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差为2的等差数列，，()1111221n n n S S ∴=+-⋅=- 121n S n ∴=-，．11,221231,1nn a n n n ⎧-≥⎪=--⎨⎪=⎩ 3．构造法例3：数列中，，，求数列的通项公式．{}n a 11a =132n n a a -=+{}n a【答案】．1231n n a -=⋅-【解析】设即，对比，可得，()13n n a a λλ-+=+132n n a a λ-=+132n n a a -=+1λ=()1131n n a a -∴+=+，是公比为3的等比数列，{}1n a ∴+()11113n n a a -∴+=+⋅，．1231n n a -∴=⋅-一、单选题1．由，给出的数列的第34项是（）11a =131nn n a a a +=+{}na A ． B ．100C ．D ．11003410314【答案】A【解析】由，，11a =131nn n a a a +=+ 则，，，211314a ==+311417314a ==⨯+4117110317a ==⨯+ 511101133110a ==⨯+，，，611131163113a ==⨯+L 由此可知各项分子为1，分母构成等差数列，首项，公差为，{}n b 11b =3d = ∴，∴，故选A ．()3413411333100b b d =+-=+⨯=51100a =2．数列满足，，则等于（）{}n a 112a =111n n a a +=-2018a A ． B ． C ．2D ．3121-【答案】B【解析】时，，，，，1n =2121a =-=-()3112a =--=411122a =-=5121a =-=- ∴数列的周期是3，∴．故选B ．()20182337221a a a ⨯+===-3．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（）{}n a 12a =mk m k m k a a a +=+{}n a n n S =。

2019年高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练文

最新中小学教学设计、试题、试卷培长处十一数列求通项公式1. 累加、累乘法例 1：数列 a n 知足： a 1 1 ，且 a n 1a n2n 1 ，求 a n ．【答案】 a n 2n n 2 ．【分析】 a n1a n 2n1 ， a n a n 1 2n11 ， L ， a2 a 121 1 ，累加可得： ana 1 222L2n 1n 1 2 2n 11 1 2nn 3，2n1a n 2n n 2 ．2． S n 与 a n 的关系的应用例 2：在数列 a n 中， a 11 ， a n2S n 2，则 a n 的通项公式为 _________．2 S n11 1 , n 2【答案】 a n2n 1 2n3．1,n 1【分析】 ∵当 n2,nN 时， a n S nS n 1 ，2S n S n 12S n 12S n 2S n 2S n S n 1 S n 12S n 2 ，2S n整理可得： S n 1S n2 S n S n 1 ，11S n S n2 ，112 的等差数列，11 12 2n 1 ，为公差为 S nn S nS 1 11 1 , n 2， a n2n 1 2nS n13．2n1,n13．结构法例 3：数列 a n 中， a 1 1， a n3a n 1 2 ，求数列a n 的通项公式．【答案】 a n2 3n 1 1 ．【分析】设 a n 3 a n 1即 a n3a n12 ，对照 a n3a n 1 2 ，可得1，a n 1 3 a n 1 1 ，a n 1 是公比为 3 的等比数列，a n 1 a1 13n 1，a n 2 3n 1 1 ．对点增分集训一、单项选择题1．由 a1 1 ， a n 1a n给出的数列a n的第 34 项是（）3a n1A．1B． 100C．34D．1 1001034【答案】 A【分析】由 a1 1 ，an 1a n，3a n11111则 a211， a34， a47，3141711031314711， a611， La51013，31113311161013由此可知各项分子为1，分母组成等差数列b n，首项 b11，公差为 d3，∴ b34b134 1 d1333100 ，∴ a51，应选 A．1002．数列 a n知足 a1111，则a2018等于（）， a n1a n2A．1B．1C． 2D． 3 2【答案】 B【分析】 n 1 时， a2121， a311 2 ， a411121，1， a522∴数列的周期是3，∴a2018 a 3 372 2a2 1 ．应选B．3．在数列a n中，若 a1 2 ，且对随意正整数m 、 k ，总有 a m k a m a k，则an的前 n 项和为 S n（）A． n 3n 1n n 3C． n n 1D．n 3n 1 B．2 2【答案】 C【分析】递推关系 a m k a m a k中，令 k1可得： a m 1 a m a1a m2，即 a m 1 a m2恒建立，据此可知，该数列是一个首项a1 2 ，公差 d 2 的等差数列，其前 n 项和为：S nn n12nn n12n n 1．应选 C．na12d24．数列 a n的前 n 项和为 S n，若 S n2n 1 n N，则 a2017的值为（）A． 2B． 3C． 2017D． 3033【答案】 A【分析】 a2017S2017S20162，应选 A．5．已知数列a n是递加数列，且对 n N ，都有a n n 2n ，则实数的取值范围是（）A．7 ,B．1,C．2,D．3, 2【答案】 D【分析】∵ a n是递加数列，∴a n 1a n，∵ a n n2n 恒建立，即 n2n1n2n ，1∴ 2 n 1 对于 n N 恒建立，而2n 1 在 n1时获得最大值3，∴ 3 ，应选 D．6．在数列 a n中，已知 a12a n 1， n 2，则 a n等于（2 ，an）a n 12A．2B．2C．3D．3n1n n n1【答案】 B2a n 1两边取倒数获得111111【分析】将等式ana n a n 12，a n 1，a n 12a n211的等差数列，1 1 是公差为a 1，a n 22依据等差数列的通项公式的求法获得11n 11 n，故 2 ．应选 B ．a n222 a nn7．已知数列a n的前 n 项和 S n ，若 a 1 1 ， S1 a1，则 a 7（）nn3A ． 47B ．3 45C ．3 46D ． 461【答案】 B【分析】由 S n 1，可得 S n1a n ， n2 ．两式相减可得： a n1 12 ．a n 1 1a n 1a n ， n3333即 a n 14a n ， n 2 ．数列an是从第二项起的等比数列，公比为 4，又 S n 1 a n 1 ， a 1 1 ．∴ a 2 3， S 1 3 ．∴ a 7 a 2 47 2 3 45 ．应选 B ．38．已知 F x f x 1 2 是 R 上的奇函数， a n f 0f 1 f n 1 1 ，2L nfn n N 则数列 a n的通项公式为（）A ． a nnB ． a n 2 n 1C ． a n n1a n 2 2n 3D ． n【答案】 B【分析】由题已知 Fx fx1 2 是 R 上的奇函数，2故 FxF x ，代入得： f1xf1 x4 ， x R ，22∴函数 fx 对于点1,2 对称，2令 t1 x ，则1x 1 t ，获得 f tf 1 t 4 ，22∵ a n f 01Lfn 1f 1 ， a nf 1n 1L1 f 0 ，fnfnfnn倒序相加可得 2a n 4 n 1 ，即 a n 2 n 1 ，应选 B ．9．在数列a n 中，若 a 10 ， a n 1a n 2n ，则1 1 L 1 的值（）a 2a 3a nA ．n 1B ．n 1C ．n 1D ．n1nnn 1n【答案】 A【分析】由题意，数列n中，若 a0 ， an 1a2n ，a1n则 a n a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 2 a 1 a 1 2 1 2 L n 1 n n 1 ，1 111∴n n 1n 1 ，a nn1 1 1 1 1 1 1111 n 1∴L122 3Ln，应选 A ．a 2a 3a nn 1 nnn10．已知数列a n 的首项 a 11 ，且知足 a n 1 a n1 n N ，假如存在正整数n ，2使得 a nan 10 建立，则实数的取值范围是（）1 ,2 , 1 ,2 , 5A ．2B ．1C ．1D ．62323【答案】 C【分析】由题意 n2 时，2n 1 na n a 1a 2 a 1a 3a 2 La n a n 111 1 L1 2 1 122232，由 a na n 10 ，即a na n 10 ，2 2k21∴ a 2 ka 2k 1 且 a 2 ka 2k 1 ， kN ， a 2 k1 1，1232 k322 13 12k 1此中最小项为 a 2， a 2k12 11 2 11，34 232322 k 1此中最大项为 a 11 ，所以11 ．应选 C ．211．已知数列 a n知足 a 11， a n 1 a n 2n n N * ， S n 是数列 a n 的前 n 项和，则（）A ． a 2018 2018B ． S 2018 1009323 2C ．数列a2 n 1是等差数列D ．数列a n 是等比数列【答案】 B【分析】数列数列 a n 知足 a 1 1 ， a n 1 a n 2n n N * ，当 n 2 时， a n a n 1 2n 1 两式作商可得：an 12 ，a n 1∴数列 a n的奇数项 a1， a3， a5，L，成等比，偶数项a2， a4， a6，L，成等比，2018对于A来说，a2018a2122100821009，错误；2 2对于 B 来说， S2018a1a3 L a2017a2 a4L a2018 112100921210091009，正确；1212323对于 C 来说，数列a2n1是等比数列，错误；对于 D 来说，数列a n不是等比数列，错误，应选B．12．已知数列 a n知足： a1 1 ，ana nn N．设 b n 1 n 211a n1 n N，2a nb125，且数列 b n是单一递加数列，则实数的取值范围是（）A．,2B．, 3C．11,D．12,12【答案】 B【分析】∵数 a n知足： a1 1 ，an1a nn N．a n212 1 ，化为1122 ，a n a n a n a n11∴数列11 是等比数列，首项为112 ，公比为2，a a1n1nn 211n22n，∴ 1 2 ， b n 1a n a n∵ b12 5 ，且数列b n是单一递加数列，∴ b2b1，∴1 222 5 ，解得1 2 ，由 b n2b n 1 ，可得n1，对于随意的 n N 恒建立，23，故答案为 13．应选 B ．2 2二、填空题13．已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n n 2 2n ，则 a n___________．【答案】 2 n 1【分析】数列 a n 的前 n 项和为 S n，且Sn 2 2n，nS n 1 n 22 n 1 ，两式想减获得 a n 2n1 ．1此时 n 1 ，查验当 n 1 时， a 1 3 切合题意，故 a n2n 1 ．故答案为 a n 2n 1 ． 14．数列 a n 中，若 a 11 ， a n 1n n a n ，则 a n ______．1【答案】1n【分析】 ∵ a 11 ， a n 1nna n a 1 1 ，na n ，则 n 1 a n 11∴ a n1 ．故答案为 1 ．nn15．设数列 a n 知足 na nn 1 a nn n N， a 1 1 ___________．1n， a n22【答案】n 2n 1【分析】 ∵ na n1n1 a nn nN，n 2a n 1 a n111，n 1 nn 2 n 1n 1 n 2∴ a n a n 1 1 1， a 2a 11 1 ，累加可得 a na 1 1 1 ，n n 1 n n 12123n 2 n 1∵ a 1 1 ， a n 1 n 1 n n ，2 n 1 1 ∴ a nn2n 2n ．故答案为 a nn ．1116 ．已知数列 a n满足 a 1 2 ， 4a n 1 5 4a n 1 3 ，则1111_______．a1 1 a2 1 a31a n1【答案】 3n 12n322【分析】令 b n4a n 1 ，则 b n 1 4 a n 1 1 ，由题意可得b n11b n3 3 ，即 b b3b b0，整理可得311，1n n n 1n b n b n1令 c n 1，则 c3c 1cn 1111，由题意可得3 c n，b n n n22且c1111， c11 3，故 c n 1 3 3n 1，b1 4 a1 1 4 2 4 2 41n114b n11n即 c n43 2 ，b nc n3n2，a n1 4 3n2，a n13 2 ，据此可知111L1323L n2n3n 12n3a1 1 a2 1 a31a n13332．2三、解答题17．已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 S n，且 a n22a n4S n．（1）求 S n；（2）设 b n n1n S n，求数列1的前n 项和 T n．b n【答案】（ 1） S n n2n ；（ 2）Tn11．n1【分析】（ 1）由题意得a n22a n4S n，两式作差得a n1a n a n1a n 20 ，a n22a n 14S n11又数列a n各项均为正数，∴a n 1a n20 ，即 a n 1a n 2 ，当 n 1 时，有 a122a1 4 S14a1，得a1a120，则 a1 2 ，故数列 a n为首项为 2 公差为 2 的等差数列，∴S n na1n n1d n 2n ．2111n1n11（2）b nn1nnn n1n n，S1最新中小学教学设计、试题、试卷n1 n ∴ T nb ii 1i 11 1 1(i 1) 1． in 118．在数列 a n 中， a 1 4 ， na n 1 n 1 a n 2n 2 2n ．（1）求证：数列a n 是等差数列；n1 的前 n 项和 S n ．（2）求数列a n【答案】（ 1）看法析；（ 2） S nn ．2 n1【分析】（1） na n 1n1 a n 2n22n 的两边同时除以 n n1 ，得a n 1a n2 n N ，n 1 n∴数列a n 是首项为 4，公差为 2 的等差数列n（2）由（ 1），得a n2n2 ，n∴ a n 22n ，故111n 1 n 1112na n2，2n 2n 2 n n 12 n n 1∴ S n 1 1 1 1 112 12 3nn 1211111 111 1 1 1 n 22 3 n2 3n 12n 12 n 1 ．。

高考数学精准培优专练十一求数列通项公式学生版

高考数学精准培优专练十一求数列通项公式学生版数列是高中数学中的重要概念，很多数学题目都涉及到数列的问题。

而求解数列的通项公式是数列相关问题的基础，掌握数列通项公式的推导方法和求解技巧对于学生来说是非常重要的。

下面我来为大家介绍一下数列通项公式的求解方法。

首先，我们要明确数列通项公式的定义。

对于一个数列{an}，如果我们能够找到一个关于n的函数f(n)，使得an=f(n)，那么我们称f(n)为数列的通项公式。

接下来，我们可以通过观察数列的规律来猜测数列的通项公式，然后通过数学归纳法来证明我们的猜想。

具体的步骤如下：第一步，观察数列的前几项，找出数列的规律。

我们可以通过计算数列的相邻两项之间的差值或比值，以及前几项的和来寻找数列的规律。

第二步，猜测数列的通项公式。

我们可以根据数列的规律来猜测数列的通项公式，通常情况下数列的通项公式可以表示为n的多项式形式。

第三步，通过数学归纳法来证明猜测的通项公式。

我们可以首先证明通项公式对于n=1时成立，然后假设通项公式对于n=k时成立，利用这个假设来证明通项公式对于n=k+1时也成立。

这样就可以得出通项公式对于任意n都成立的结论。

以上就是求解数列通项公式的一般方法，下面我们通过一个具体的例子来演示一下。

例子：已知数列的前几项为3，8，15，24，35，……，求数列的通项公式。

解：根据数列的前几项可以观察到，数列的相邻两项之间的差值分别为5，7，9，11，……。

可以看出差值逐步增加2根据观察结果，我们猜测数列的通项公式为an=n^2+2n+1下面通过数学归纳法来证明我们的猜测。

当n=1时，根据猜测的通项公式an=1^2+2*1+1=4，符合数列的第一项。

假设当n=k时，通项公式成立，即ak=k^2+2k+1当n=k+1时，根据猜测的通项公式an=(k+1)^2+2(k+1)+1=k^2+4k+4+2k+2+1=k^2+2k+1+2k+2=ak+2k+2，根据猜测的通项公式，我们可以得到an=ak+2k+2=k^2+2k+1+2k+2=k^2+4k+3=(k+1)^2+3所以，根据数学归纳法，我们可以得出猜测的通项公式对于任意n都成立。

公式法求数列通项

公式法求数列通项数列这个东西啊，在咱们数学学习里那可是相当重要的一部分。

今天咱就专门来聊聊怎么用公式法求数列的通项。

先来说说啥是数列通项。

简单说，数列通项就是一个能表示数列中每一项的公式。

就好像是给数列中的每一个数都找到了一个“身份证号码”，通过这个“号码”，咱就能清楚地知道每个数到底是多少。

那公式法求数列通项都有哪些常见的类型呢？比如说等差数列和等比数列。

咱先瞅瞅等差数列。

比如说有一个等差数列：1，3，5，7，9……那它的通项公式就是 an = a1 + (n - 1)d ，这里的 a1 是首项，d 是公差。

就拿这个例子来说，首项 a1 是 1，公差 d 是 2，所以通项公式就是 an = 1 + (n - 1)×2 = 2n - 1 。

是不是一下子就清楚了每个数是咋来的？再说说等比数列。

像 2，4，8，16，32……它的通项公式就是 an = a1×q^(n - 1) ，a1 是首项，q 是公比。

这个例子里，首项 a1 是 2，公比q 是 2，所以通项公式就是 an = 2×2^(n - 1) = 2^n 。

我记得我之前教过一个学生，叫小明。

这孩子一开始对数列通项那是一头雾水，怎么都搞不明白。

我就给他举了个特别简单的例子，我说：“小明啊，你想想，咱们排队跑步，前面第一个同学跑的速度是 5 米每秒，后面每个同学都比前面的快 2 米每秒，那第 n 个同学的速度是多少呢？”小明眨巴眨巴眼睛，想了想说：“老师，是不是 5 + 2×(n -1) ？”我笑着说：“对呀，这其实就是一个等差数列的通项公式呀！”从那以后，小明就好像突然开窍了，对数列通项的理解越来越深。

除了等差数列和等比数列，还有一些稍微复杂点的类型。

比如说累加法、累乘法。

累加法呢，就是当数列的递推公式形如 an - an - 1 = f(n) 时，咱们就可以用累加法。

比如说有个数列，a1 = 1 ，an - an - 1 = n ，那咱们就可以从第二项开始，把这些式子都加起来：a2 - a1 = 2a3 - a2 = 3a4 - a3 = 4……an - an - 1 = n把左边加起来就是 an - a1 ，右边加起来就是2 + 3 + 4 + …… + n ，这样就能求出 an 啦。

2019届高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练理201811081153

培优点十一数列求通项公式1.累加、累乘法例 1：数列a 满足： na，且11a 1a 21，求nnna ．n【答案】 a2n n 2． na1a21， aan2121 1，L ， 121a a，【解析】nnnnn12 21累加可得：a a2 22nn1n1 2n n 32 L1 ，n12 1a2n n 2 ．n2． S n 与 a n 的关系的应用例 2：在数列a 中， na 11，an2S 2，则na 的通项公式为_________．2S1nn1 1,n2an n【答案】2 1 2 3n1,n 1．【解析】∵当 n 2,nN 时， aSS，nnn 12S2S S2SS 2S S S2Sn22，nn 1nnn n1n 1 n2S1n112，整理可得： S n1S n2S n S n 1 ，S Snn 11Sn11为公差为 2的等差数列，，n 1 2 2n 1SSn1Sn1 2n 1，1 1,2na2n1 2n 3n1,n 1．3．构造法例 3：数列a 中，na 11，aa，求数列 32 a 的通项公式．nn 1n【答案】 a23n 11．n1【解析】设即 aaa a，对比 3 32aa aa，对比 33 2nn1nn 1aa，可得 1， 32nn 1，1a1 3 a1a是公比为 3的等比数列，nn 1na1 a 1 3n ，a 23n11．1n1n对点增分集训一、单选题a1．由 a 11，给出的数列aa 的第 34项是（）n n131nan1A ．10034 B ．100C ．103D ．1 4【答案】Aa【解析】由 a 11，ana， n 1 31 n11 a则231 41 14 a， 31 7 3 1 4 1 17a， 41 10 3 17 ， 1 1 10 a51131113a， 6116，L ，31 103113由此可知各项分子为 1，分母构成等差数列b ，首项b 11，公差为 d3，n∴b b d，∴ 341 34 1 1 33 3 1001a，故选 A ．5100112．数列，则a 满足 a， a11a等于（）n1a2018n2nA ．1 2B ． 1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 n 1时，1 1 a， a 31 12 ， a1 ，2 1 2 142 2a 5 1 21， ∴数列的周期是 3，∴ a 2018a33722a 21．故选 B ．23．在数列a 中，若 a 12 ，且对任意正整数 m 、 k ，总有naaa ，则a 的前 n 项和m k mkn为 S n （）A ． n3n1B ．3n n 2C ． nn 1D ．3 1n n2【答案】C【解析】递推关系 a m ka m a k 中，令 k1可得： a1aa 1 a 2 ，mmm即 a m1a m 2 恒成立，据此可知，该数列是一个首项 a 1 2 ，公差 d2 的等差数列，其前 n 项和为：Snad2n2 n n1 ．故选 C ．n n 1n n1n122 4．数列a 的前 n 项和为 nS ，若2 1S n nN，则a 的值为（）nn2017A ．2B ．3C ．2017D ．3033【答案】A 【解析】 a 2017S 2017S 2016 2 ，故选 A ．5．已知数列a 是递增数列，且对 nN ，都有 an 2n ，则实数的取值范围是nn（）7, B ．1,C ．2,D ．3,A ．2【答案】D【解析】∵aa ，a 是递增数列，∴nn 1n∵ an 2n恒成立，即n 1n1nn ，22n∴2n 1对于 n N 恒成立，而 2n 1在 n 1时取得最大值 3，∴3，故选D．6．在数列a ，aa中，已知12nn2an1，n2，则a2n1a等于（）nA．2n 1B．2nC．3nD．3n1【答案】Ba 【解析】将等式n2an1a2两边取倒数得到n1111，a a 2n n1111，a a2n n11 a n 是公差为12的等差数列，11，a21311 1 n，故2 根据等差数列的通项公式的求法得到n 1．故选 B ．aa22 2nnn7．已知数列a 的前 n 项和nS ，若 a 11，n1 Sa，则nn 13a（） 7A ． 47B ．345C ．346D ． 461【答案】B1 Sa，可得【解析】由1nn31 1 1 Sa ， n 2 ．两式相减可得： a a a ， n2 ．n 1nnn 1n3 3 3即 a n14a n ， n 2．数列a 是从第二项起的等比数列，公比为 4，n1S a ，又 1n n 3a．∴ 11 a23 ， S 1 3 ．∴ aa725 ．故选B ．724 3 4F xfx1 2 8．已知21 n 1是 R 上的奇函数，a f 0 fL ff 1 ，nnnn N则数列a 的通项公式为（）nA ． a nnB ．21anC ． an 1 D ． an 2 2n 3nnn【答案】BF xf x 1【解析】由题已知2 2 是 R 上的奇函数，故 F x Fx ，代入得：fxf x 1 1 2 24 ，x R ，1∴函数f x关于点,22对称，tx，则111，得到ft f 1t4，令x t 22n11n11∵L，a f0f f f1a f1f L f f0，n nnnnn倒序相加可得2a 4n 1，即a 2n 1，故选B．n n9．在数列a a n，则a中，若a10，12a中，若1012n n n 111L 的值（）a a a23nA．n 1nB．n 1nC．nn11D．nn 1【答案】A【解析】由题意，数列a 中，若a ，aa n，101 2 n n n则a a a 1a 1a 2L a2a1a1212L n 1n n 1，n n n n n4111 1∴，a n n 1n 1 nn∴11 111 1 111 n 1LL，故选 A ．1 1aaan nn n2 2 3123nn110．已知数列a，且满足a 的首项aanN，如果存在正整数 n ，11nn 1 n2使得aa10成立，则实数的取值范围是（）nn1212 5,2 B ．,1 C ．,1D ．,A ．2323 6【答案】C【解析】由题意 n 2 时，2n 1 n1112 1aa a a a aaaL1L 1 ， n12132nn122 23 2由aa，即，aannnn11 0∴ a 2ka 2k 1 且， kN ，aa2k2k 12k2 1 21 a112k2k，32 3 2a2 311 其中最小项为 23 42，2k 12 1 2 1 a11，2k12k132 3 2其中最大项为 a 1 1，因此1 21．故选C ．11．已知数列a ，a 满足n11 a 1 a2n N ，*n nnS 是数列a 的前 n 项和，则（）nnA ． a 2018 22018B ． 20183 21009 3 SC ．数列a是等差数列 D．数列a 是等比数列2n 1n【答案】B【解析】数列数列a，a 满足 11a1a2 nN ，nnnn*当 n 2 时， 1 2 1a a n 两式作商可得：nnaa n 1 n1，2∴数列a 的奇数项 a ，n1a ， 3a ，L ，成等比，偶数项 a ， 52a ， a ，L ，成等比，4652018110081009 对于A来说，，错误；2a2018a22222对于B来说，Sa a L aa a L a20181320172420181121009212100932 312121009，正确；对于C来说，数列a是等比数列，错误；2n1对于D来说，数列a不是等比数列，错误，n故选B．12．已知数列a满足：na1a ，N ．设21N，n11b n na nn12a n1annb，152且数列b是单调递增数列，则实数휆的取值范围是（）n3A．,2B ． ,C ．1,1D ．1,212【答案】Baa，【解析】∵数a 满足： annN ． 1 1nan 12 n1 21，化为aan 1n1212 ， a an 1 n11∴数列是等比数列，首项为an1 a 11 2 ，公比为2，∴ 1 an1 ，1 2nbn 21 n 22nn1an，b，且数列∵ 1 2 5 b 是单调递增数列，n∴b 2b 1 ，∴12225 ，解得12 ，n由b n 2b n 1 ，可得1，对于任意的 n N 恒成立，233，故答案为 1．故选 B ．226二、填空题 13．已知数列a 的前 n 项和为 nS ，且 Sn 22n ，则 a___________．nnn【答案】 2n 1【解析】数列a 的前 n 项和为 nS ，且 Sn 22n ，n nSn2n，两式想减得到 a2n 1．nn1121此时 n 1，检验当 n 1时，a 13符合题意，故2 1an ．故答案为 a 2n1．nnn14．数列a 11， aa a 中，若n11nnn，则 a n ______．【答案】1 nn【解析】∵ a 11，aa n n11n，则n anaa， 1 1n 1n1∴ an．故答案为 11 nn． n115．设数列a 满足na 1n 1 anN ， a， a___________． nnn1nn 22【答案】n2n1n【解析】∵na1n 1 anN，nnn 2a1a11 1nnn 1 nn 2 n 1n 1 n 2， aa11 ∴1nnn n1 n n 1aa1 1 ，累加可得，2121 2 3a1 1 nan2 n 11， 1a，∵1 2 a1 nn1，nn1 n 1 ∴ ann 2．故答案为 n1ann 2． n 116．已知数列a，aa，则a 满足1245 413nn 1n11 1 1a1 a1 a1a1123n_______．【答案】33 n12n22 【解析】令b4a 1，则ba，nnn n14 117由题意可得bb，n n1133即b n b n 13b n 1b n 0 ，整理可得311， bbnn 1c令n1 1 1，则 c13c1，由题意可得3ccbnn2 2n 1nn，1 1 11 3 1 3 cc，c，故3 1n且，11 nb4 a 142 4 24 1 111 b1 14c 3，a1即，nnbnnnc3 2n n424 3 2n， 132 na 1，n据此可知11 11 33 n13 33 32n2nL 23Ln． a1 a1 a1a 122123n三、解答题17．已知各项均为正数的数列a 的前 n 项和为 nS ，且 a 22a4S ．n nnn（1）求 S n ；1的前 n 项和T ．n（2）设1bn nS ，求数列nnbn【答案】（1） S n 2 n ；（2）Tnn11 n 1．2a2a4Sn nn【解析】（1）由题意得aaS224n 1n 1n 1，两式作差得a 1aa1a2 0 ，nnnn又数列aa，即 aa ，a 各项均为正数，∴12 012 nn n n naa Sa ，得 a a，则a，当 n 1时，有12 2 1 4 1 4 1112 012a 为首项为 2公差为 2的等差数列，∴n n 1故数列Snadn n ．2nn12111 n 1 n1 1（2）b nnSn nnn 1 1 1n n，T∴nn1n1 11．( ) 1 bii 1 n 1i i i1118．在数列a ， nana n n ．a中，1122142n n n8a（1）求证：数列 nn是等差数列；1（2）求数列an的前 n 项和 S ．nnS【答案】（1）见解析；（2）21．nna a【解析】（1） nanann 的两边同时除以 n n 1，得2n nn n11 2 2 12 n N ，n1 na∴数列nn是首项为 4，公差为 2的等差数列．a nn（2）由（1），得n22 ，∴ a 2n22n ，故n11 1 n 1 n 1 1 1a2n2n 2 n n 1 2 n n 1 2n，S∴n11 1 1 1 11 2 2 2 3 n n 111 1 1 1 11 11 n1．1223n23n12n12n19。

高三数学通项公式(2019年11月)

若数列{an}满足a1=a, 通过取倒可转化为
即转化为
是等差数列求解．
数列的通项公式的求法
题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
数列的通项公式的求法
题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式．例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
练习3.
数列的通项公式的求法
数列复习 ——通项公式
基本概念
数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式题型一：已知数列的前几项，求数列的通项公式．例1. 根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式：
(1)
(2) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,
是等比数列求解 .
数列的通项公式的求法
题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
数列的通项公式的求法
题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式．例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
练习2.
数列的通项公式的求法
题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
数列的通项公式的求法
题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
；公司起名https:/// 公司起名；
魏军攻县瓠夏大赦凡十七条封宕昌王姜产之等十一人」及太后崩后数日颇忽时务省平蛮府甲寅领司徒江夏王义恭为骠骑将军更申五年故镇东将军李安人配飨太祖庙庭扬州牧少有大志立皇弟休范为顺阳郡王三月丙寅公远稽殷宋大将军彭城王义康被黜二月丁丑癸卯癸亥三月甲戌余如故

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培优点十一数列求通项公式1.累加、累乘法例1：数列n a 满足：11a ，且121nnn a a ，求n a ．【答案】22nn a n ．【解析】121nnna a ，1121n nna a ，L ，12121a a ，累加可得：1211221222112321n n nna a n n n L ，22nna n．2．n S 与n a 的关系的应用例2：在数列n a 中，11a ，2221nnn S a S ，则n a 的通项公式为_________．【答案】11,221231,1nn a n n n．【解析】∵当2,nnN 时，1n nn a S S ，222111222221nn nnn n n n nn SS S SS S S S S S ，整理可得：112nnn n S S S S ，1112nn S S ，1nS 为公差为2的等差数列，1111221n n n S S ，121n S n ，11,221231,1nn a n n n．3．构造法例3：数列n a 中，11a ，132nna a ，求数列n a 的通项公式．【答案】1231n na ．【解析】设13nna a 即132n na a ，对比132nna a ，可得1，1131n na a ，1n a 是公比为3的等比数列，11113n n a a ，1231n na ．一、单选题1．由11a ，131nnn a a a 给出的数列n a 的第34项是（）A ．1100B ．100C ．34103D ．14【答案】A 【解析】由11a ，131nnn a a a ，则211314a ，311417314a ，4117110317a ，511101133110a ，611131163113a ，L ，由此可知各项分子为1，分母构成等差数列n b ，首项11b ，公差为3d ，∴3413411333100b b d ，∴51100a ，故选A ．2．数列n a 满足112a ，111nna a ，则2018a 等于（）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】1n时，2121a ，3112a ，411122a ，5121a ，∴数列的周期是3，∴20182337221a a a ．故选B ．3．在数列n a 中，若12a ，且对任意正整数m 、k ，总有mkmk a a a ，则n a 的前n 项和为n S （）A ．31n n B ．32n nC ．1n nD ．312n n 对点增分集训※精品试卷※【答案】C【解析】递推关系m kmk a a a 中，令1k 可得：112mm ma a a a ，即12mma a 恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a ，公差2d 的等差数列，其前n 项和为：11122122n n n n n S na dnn n ．故选C ．4．数列n a 的前n 项和为n S ，若21nS n n N ，则2017a 的值为（）A ．2B ．3C ．2017D ．3033【答案】A 【解析】2017201720162a S S ，故选A ．5．已知数列n a 是递增数列，且对nN ，都有2na nn ，则实数的取值范围是（）A ．72,B ．1,C ．2,D ．3,【答案】D【解析】∵n a 是递增数列，∴1nn a a ，∵2n a nn 恒成立，即2211n n nn ，∴21n 对于n N 恒成立，而21n 在1n 时取得最大值3，∴3，故选D ．6．在数列n a 中，已知12a ，1122n nna a a ，2n ，则n a 等于（）A ．21n B ．2n C ．3nD ．31n 【答案】B 【解析】将等式1122n nna a a 两边取倒数得到11112nna a ，11112nna a ，1na 是公差为12的等差数列，1112a ，根据等差数列的通项公式的求法得到1111222nn n a ，故2na n．故选B ．7．已知数列n a 的前n 项和n S ，若11a ，113nn S a ，则7a （）A ．74B ．534C ．634D ．641【答案】B※精品试卷※【解析】由113n n S a ，可得113nn S a ，2n ．两式相减可得：11133n nn a a a ，2n ．即14n n a a ，2n ．数列n a 是从第二项起的等比数列，公比为4，又113nn S a ，11a ．∴23a ，13S ．∴72572434a a ．故选B ．8．已知122F x f x是R 上的奇函数，1101nn a f f f f nnL，nN 则数列n a 的通项公式为（）A ．na nB ．21na n C ．1na n D ．223na nn 【答案】B【解析】由题已知122F x f x 是R 上的奇函数，故FxF x ，代入得：11422f xf x，xR ，∴函数f x 关于点1,22对称，令12t x ，则112x t ，得到14f tf t，∵111nn a f f f f nn L，1110n n a f f f f nnL，倒序相加可得241n a n ，即21na n ，故选B ．9．在数列n a 中，若10a ，12n na a n ，则23111na a a L的值（）A ．1n nB ．1n nC ．11n n D ．1n n 【答案】A【解析】由题意，数列n a 中，若10a ，12nna a n ，则11221121211nnnnna a a a a a a a n n n LL，∴111111n a n n n n，∴231111111111112231nn a a a n n nnLL ，故选A ．10．已知数列n a 的首项11a ，且满足112nnna a n N，如果存在正整数n ，※精品试卷※使得10n na a 成立，则实数的取值范围是（）A ．122,B ．213,C ．112,D ．2536,【答案】C 【解析】由题意2n时，21121321111211122232n nn nna a a a a a a a LL，由10nna a ，即10n na a ，∴221kk a a 且221kk a a ，kN ，2222121113232kkka ，其中最小项为22311342a ，2121212121113232k kk a ，其中最大项为11a ，因此112．故选C ．11．已知数列n a 满足11a ，*12nnn a a nN，n S 是数列n a 的前n 项和，则（）A ．201820182a B ．10092018323S C ．数列21na 是等差数列D ．数列n a 是等比数列【答案】B 【解析】数列数列n a 满足11a ，*12nnna a nN，当2n 时，112n n na a 两式作商可得：112n na a ，∴数列n a 的奇数项1a ，3a ，5a ，L ，成等比，偶数项2a ，4a ，6a ，L ，成等比，对于A 来说，20181100810092201822222aa ，错误；对于B 来说，2018132017242018S a a a a a a LL1009100910091122123231212，正确；对于C 来说，数列21na 是等比数列，错误；对于D 来说，数列n a 不是等比数列，错误，故选B ．12．已知数列n a 满足：11a ，12nnn a a n a N．设1121nnb n n a N，215b ，且数列n b 是单调递增数列，则实数的取值范围是（）A ．2,B ．312,C ．11,D ．12,【答案】B【解析】∵数n a 满足：11a ，12nn na a n a N．1121nn a a ，化为11212nna a ，∴数列11na 是等比数列，首项为1112a ，公比为2，∴112nna ，112122nnnb n n a ，∵215b ，且数列n b 是单调递增数列，∴21b b ，∴21225，解得12，由21nn b b ，可得12n ，对于任意的nN 恒成立，32，故答案为312．故选B ．二、填空题13．已知数列n a 的前n 项和为n S ，且22nS nn ，则na ___________．【答案】21n 【解析】数列n a 的前n 项和为n S ，且22n S nn ，21121nS nn，两式想减得到21na n ．此时1n ，检验当1n 时，13a 符合题意，故21na n ．故答案为21na n ．14．数列n a 中，若11a ，11nn na a n ，则na ______．【答案】1n【解析】∵11a ，11nn na a n ，则1111nn n a na a ，∴1na n．故答案为1n．15．设数列n a 满足112nnn na n a nnN，112a ，na ___________．【答案】21nn 【解析】∵112nn n na n a n n N ，111112112n n a a n n n n n n ，∴11111n n a a nn n n ，21112123a a ，累加可得11121n a a nn ，∵112a ，1111na nnn n ，∴21nna n ．故答案为21nna n ．16．已知数列n a 满足12a ，145413nn a a ，则12311111111na a a a _______．【答案】133222n n【解析】令41n n b a ，则1141nnb a ，由题意可得1133nn b b ，即1130n nnnb b b b ，整理可得1311nnb b ，令1n n c b ，则131nn c c ，由题意可得111322n nc c ，且111111414c b a ，11324c ，故113324n nc ，即11342nnc ，1432nnnb c ，11432n nnb a ，1321nn a ，据此可知123123111133333322111122n nnnna a a a LL ．三、解答题17．已知各项均为正数的数列n a 的前n 项和为n S ，且224nnn a a S ．（1）求n S ；（2）设1nn b nnS ，求数列1n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n S nn ；（2）111n T n ．【解析】（1）由题意得221112424n n nn n n a a S aa S ，两式作差得1120nn nn a a a a ，又数列n a 各项均为正数，∴120nna a ，即12n na a ，当1n 时，有21111244a a S a ，得1120a a ，则12a ，故数列n a 为首项为2公差为2的等差数列，∴2112nn n S na dnn ．（2）111111111nnn n b S nn n n n n ，∴111111()111nnni i iT b ii n．18．在数列n a 中，14a ，21122nn na n a nn ．（1）求证：数列n a n是等差数列；（2）求数列1na 的前n 项和n S ．【答案】（1）见解析；（2）21n n S n ．【解析】（1）21122n nna n a nn 的两边同时除以1n n ，得121nn a a n n nN，∴数列n a n是首项为4，公差为2的等差数列（2）由（1），得22n a nn ，∴222n a nn ，故21111111222121n nna nn n n nn ，∴111111122231nS n n※精品试卷※111111111112232312121n nn n n ．。

2019高考数学试题分项版解析专题11数列通项公式与求和文

【2019最新】精选高考数学试题分项版解析专题11数列通项公式与求和文1.【2016高考浙江文数】如图，点列分别在某锐角的两边上，且{}{},n n A B*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，.(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)若，为的面积，则（）*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N n n n d A B =n S 1n n n A B B +△A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列{}n S {}2n S {}n d {}2n d 【答案】A 【解析】1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以为定值．故选A ．1n n S S +- 考点：新定义题、三角形面积公式.【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列．1n n n +∆A B B 1n n n +∆A B B 112n n n +++∆A B B n S 1n S +1n n S S +-{}n S2.【2016高考上海文科】无穷数列由k 个不同的数组成，为的前n 项和.若对任意，，则k 的最大值为________.{}n a n S {}n a *∈N n {}3,2∈n S 【答案】4【解析】试题分析：当时，或；当时，若，则，于是，若，则，于是.从而存在，当时，.其中数列：满足条件，所以.1n =12a =13a =2n …2n S =12n S -=0n a =3n S =13n S -=0n a =N k *∈n k …0k a ={}n a 2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅max 4k =考点：数列的求和.【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.n S n a {}n a 3.【2014全国2，文16】数列满足，则________．}{n a 2,1181=-=+a a a nn =1a 【答案】．12【考点定位】数列的概念.【名师点睛】本题考查了数列的概念，递推数列，属于中档题目，根据已知条件，逐步试算即可求出结果，注意计算的准确性即可.4. 【2014，安徽文12】如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，以此类推，设，，，…，，则________．ABC BC =A BC 1A 1A AC 2A 2A 1A C 3A 1BA a =12AA a =123A A a =567A A a =7a =【答案】．14【解析】试题分析：由题意，，，所以是以首项，公比的等比数列，则．12B A a==32121t a n 4n n a a a a a a π-====={}n a 12a =2q =667112()24a a q =⋅=⋅= 考点：1．等比数列通项公式．【名师点睛】此题是以平面几何为依托，考查数列通项公式和性质的知识交汇性问题，是高考今后的方向，主体知识是等差数列及其性质，都是基本点，因而提醒考生在今后复习中基础知识一定要狠抓不放.要求等比数列通项，必须求出首项和公比.5. 【2015高考安徽，文13】已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 .}{n a 11=a 211+=-n n a a 2≥n }{n a 【答案】27【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.6. 【2015高考福建，文16】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q + 【答案】9【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．a b p +=a b q ⋅=0,0a b >>,,2a b -2-4a b q ⋅==4b a =2-422a a=-1a =4b =4a 82a a=-4a =1b =5a b p +==p q +9=【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．7.【2017课标3，文17】设数列满足.{}n a 123(21)2n a a n a n +++-= （1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和.21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭【答案】（1）；（2）122-=n a n 122+n n∴时，②2≥n )1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n ①-②得，，，2)12(=-n a n 122-=n a n 又时，适合上式，1=n 21=a ∴.122-=n a n （2）由（1），121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ∴.1221211)121121()5131()311(125321+=+-=+--++-+-=++++=n nn n n n a a a S n n 【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 1(1)(3)n n ++1(2)n n +8.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. 121236,a a a a a +== (I)求数列{an}通项公式；(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n 项和Sn,已知,求数列的前n 项和.211n n n S b b ++=n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【答案】(I)；(II) 2n n a =2552n nn T +=- 解得，1,22a q == 所以.2n n a = (II)由题意知121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+⋅2111,0,n n n n S b b b +++=≠,所以,21n b n =+ 令,.nn nb c a = 则212n nn c += 因此12231 (357212122222)n n n n T c c c n n -=+++-+=+++++,又,235113572121222222n nn n n T +-+=+++++ 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++-⎪⎝⎭所以.2552n nn T +=-【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．9.【2017天津，文18】已知为等差数列，前n 项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，{}n a *()n S n ∈N {}n b2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）求数列的前n 项和.2{}n n a b *()n ∈N【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.32n a n =-2n n b =2(34)216n n T n +=-+试题解析：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.{}n a d {}n b 2312b b +=21()12b q q +=12b =260q q +-=0q >2q =2n n b = 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.3412b a a =-138d a -=①11411S b =1516a d +=②11,3a d ==32n a n =- 所以，的通项公式为，的通项公式为.{}n a 32n a n =-{}n b 2n n b = （Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有2{}n n a b n T 262n a n =-2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----.得.2(34)216n n T n +=-+所以，数列的前项和为.2{}n n a b 2(34)216n n +-+ 【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.1+=n n n a a cc ()!!1!n n n n c n -+=⋅=nn c c n ++=110.【2017北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．{}n a {}n b （Ⅰ）求的通项公式；{}n a （Ⅱ）求和：．13521n b b b b -++++【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.21n a n =-312n -（Ⅱ）设的公比为，.=，所以{}n b 2b 4b 5a ⇒93=qq 32=q所以是以为首项，为公比的等比数列，{}2-1n b 11=b '23q q == 所以.1-2531n b b b b ＋＋＋＋ 21331)31(1-=--⋅=n n 【考点】1.等比，等差数列；2.等比数列的前项和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.1+=n n n a a cc ()!!1!n n n n c n -+=⋅=nn c c n ++=111.【2017江苏，19】对于给定的正整数,若数列满足{}n a 1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.2n ka =()n n k >{}n a ()P k（1）证明：等差数列是“数列”;{}n a (3)P（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.{}n a (2)P (3)P {}n a【答案】（1）见解析（2）见解析（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，{}n a ()P 2()3P 当时，，①3n ≥n n n n n a a a a a --+++++=21124当时，.②4n ≥n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236 由①知，，③n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得，其中，n n n a a a -++=1124n ≥ 所以是等差数列，设其公差为.345,,,a a a d'在①中，取，则，所以，4n =235644a a a a a +++=23a a d'=- 在①中，取，则，所以，3n =124534a a a a a +++=122a a d'=- 所以数列是等差数列.{}n a【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明为等差数列的方法：{}n a (1)用定义证明：为常数）；1(n n a a d d +-= (2)用等差中项证明：；122n n n a a a ++=+ (3)通项法：为的一次函数；n a(4)前项和法： 2n S An Bn =+12【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知是公差为3的等差数列,数列满足,.{}n a {}n b 12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，（I ）求的通项公式；{}n a （II ）求的前n 项和.{}n b 【答案】（I ）（II ）31n a n =-131.223n --⨯试题解析：（I ）由已知,得得,所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.1221121,1,,3a b b b b b +===1221121,1,,3a b b b b b +===12a ={}n a 31n a n =- （II ）由（I ）和 ,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则11n n n n a b b nb +++=13n n b b +={}n b 13{}n b n S 考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.13.【2014高考广东卷.文.19】(本小题满分14分)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足,.{}n a n S n S ()223n n S n n S -+--()230n n +=n N *∈ (1)求的值；1a(2)求数列的通项公式；{}n a (3)证明：对一切正整数,有.()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++【答案】(1)；(2)；(3)详见解析.12a =2n a n =()0n a n N *>∈,,从而,,0n S ∴>30n S +>2n S n n ∴=+所以当时,,2n ≥()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦又,；1221a ==⨯()2n a n n N *∴=∈ (3)当时,,k N *∈22313221644kk k k k k ⎛⎫⎛⎫+>+-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()11111111434331144n n ⎡⎤⎢⎥=-=-<⎢⎥+⎢⎥-+-⎣⎦. 证法二：当时,成立,1n =()11111112363a a ==<+⨯当时,,2n ≥()()()()1111111221212122121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++-+-+⎝⎭则()()()()11223311111111n n a a a a a a a a ++++++++.1111111623213633n n ⎛⎫=+-=-< ⎪++⎝⎭ 【考点定位】本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解,以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中等偏难题.n S n a【名师点晴】本题主要考查的是数列的通项公式和利用放缩法证明数列不等式，属于难题．本题通过将的递推关系式进行因式分解，得到与的关系式，利用可得数列通项公式，再根据式子的特点进行裂项相消法，即可证明．解题时一定要注意公式的条件“”，否则很容易出现错误．n S n S ()()1112n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩{}n a 2n ≥14. 2016高考新课标Ⅲ文数]已知各项都为正数的数列满足，.{}n a 11a =211(21)20n n n n a a a a ++---=（I ）求；23,a a（II ）求的通项公式.{}n a 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．41,2132==a a 121-=n n a （Ⅱ）由得.02)12(112=---++n n n n a a a a )1()1(21+=++n n n n a a a a因为的各项都为正数，所以，{}n a 211=+n n a a 故是首项为，公比为的等比数列，因此. ......12分{}n a 21121-=n n a 考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．1n na q a +=212n n n a a a ++= 15. 【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列的前项和为，已知，且，{}n a n S 121,2a a ==13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈ （I ）证明：；23n n a a += （II ）求。