薄平板模型气动导数之间的关系

( 6)
1= 0
2=
= ei( ! t+ ∀) 0
其中的 ∀代表竖向和扭转向运动的相位差。将式 ( 6)
代入式 ( 1) , 得:
L=
1 2
B
-
B2∀h∀ -
∀
2UC ( k ) h -
1 [ 1 + C ( k ) ] UB∀ - 2U2C ( k ) = 2
1 2
B
B 2
!h2 h
-
2UF ( kh
L=
1 2
U2 ( 2B )
K
hH
* 1
(K h )
h∀ U
+K
H
* 2
(K
) B∀a + U
K
2H
* 3
(K
)a
+
K
H2 *
h4
(K h
)
h B
∀
M=
1 2
U2 ( 2B2 )
K hA*1
(K h )
h U
+
K A*2 (K
)
B∀a + U
K 2A*3
(K
) a1
+
K
A2 *
h4
(Kh )
h B
( 5)
得相应的气动导数之间的关系。最后, 基于前人和笔者的试验结果, 定义了气 动导数之间关系的适用范围, 给出了一 些可
供有关研究和设计人员参考的有意义的结论。
关键词: 气动导数; 折减频率; 气动力; 风洞试验
中图分类号: U 441+ . 3
文献标识码: A
气动导数作为桥梁结构颤振分析的基础, 是确定 颤振临界风速的一个重要因素。对于桥梁结构的气动 导数, 自从 20世纪 70 年代 Scan lan[ 1] 提出这个概念以 来, 其识别与应用都取得了长足的发展。近年来, 有关 气动导数之间的关系问题, 逐渐引起人们的注意。已 有多位研究者通过各种理论或试验的方法导出了气动 导数之间的关系, 并证明了在某些特定条件下这些关 系的正确性。 Scanlan[ 2 ] 等人基于桥梁断面和薄平板之 间的相似性, 首先提出了气动导数之间的关系, 讨论了 这种关系在薄平板和钝体之间存在的差异性, 认为由 薄平板气动导数之间的近似关系, 并不能直接移植到 钝体模型上。M atsum oto[ 3] 等人基于试验测量的结果, 证实了某些气动导数之间的关系对一系列几何缩尺比 为 1 5到 1 20的方形薄板以及某些流线型桥梁断面 的有效性, 但是并不能因为流线型断面的气动导数之 间存在的这种近似关系, 就认定对于任意钝体断面这 种近似关系均成立。 Chen和 K areem[ 4] 提出了和 M at sum oto类似的气动导数之间的 关系, 同样指出气动导 数之间的关系, 对某些桥梁断面而言是一种很好的近 似, 可以帮助 我们理解 气动力的 发生机 理, 但 另一方 面, 这种近似关系并非对所有的钝体断面均具有普适 意义。 T ubino[ 5 ] 从基于准定常的简化形式出发, 定义了 作用在桥梁刚性节段模型上的自激力, 建立了一种新 的气动导数 ( 包括侧向气动导数 ) 之间的关系; 并根据 多名研究者已完成的风洞试验结果, 得到如下结论: 气 动导数之间的近似关系, 对于流线型断面而言是合理 的, 对于钝体桥梁断面则还存在一定偏差, 这种偏差可 能是由于自激力的非线性造成的。
h1 U
+
∀
K
hH
* 2
(Kh
)
B a1 U
+
K
h2H
* 3
(Kh
) a1
+
K
2hH
* 4
(K h )
h1 B
+
1 2
U2 ( 2B )
K
H
* 1
(K
)
h∀ 2 U
+
∀
K
H
* 2
(K
)
Ba2 U
+
K
2H
* 3
(K
)a2 +
K
2H
* 4
(K
) h2 B
M=
1 2
U2 ( 2B 2 )
Kh A*1
(Kh )
第 28卷第 2 期
振 动与 冲 击 JOU RNAL O F V IBRAT ION AND SHOCK
V o.l 28 N o. 2 2009
薄平板模型气动导数之间的关系
王雄江1, 秦仙蓉 2, 顾 明1
( 1. 同济大学 土木工程防灾国家重点实验室 , 上海 200092; 2. 同济大学 机械工程学院, 上海 200092)
∀h1 U
+
∀
K h A*2
(K h
)
Ba1 U
+
K
A2 *
h3
(K
h
)
a1
+
K
A2 *
h4
(K h )
h1 B
∀
+
1 2
U2 ( 2B2 )
K A*1 (K
) h2 + U
∀
K A*2 (K
)
B a1 U
+
K 2A*3
(K
) a1 + K 2 A*4
(K
)
h2 B
( 4)
式中 K h = !h B /U, K = !a B /U。
1 薄平板模型气动导数之间的关系
根据 T heodo rson的理论, 二 维理想流线型薄平板 在均匀水平流中作小幅振动时所受到的非定常气动升 力和力矩可以表示为:
第 2期
王雄江等: 薄平板模型气动导数之间的关系
61
L = b { - b∀h∀ - 2UC ( k ) h∀ -
[ 1 + C ( k ) ] U b∀ - 2U2C ( k ) }
摘 要: 气动导数识别目前在识别算法、试验技术等方面均有诸多进展, 但有关气动导数 之间的关系则很少涉及。
在国内外文献中总结气动导数之间关系的理论依 据的基础上, 根据 T heodorsen薄机翼理论推导出了以无量纲折减频 率为
参量的气动导数之间的关系, 在紊流风场中完成了薄平板节段模型的风洞试验, 采用随机子空间法进行气动导数识别, 获
h B
( 3)
其中
K
为折减频率
(无量纲
),
K
=
B!
/U,
H
* i
、A*i
( i= 1
~ 4)即为气动导数, 其余参数同式 ( 1)。
当模型的竖向和扭转向以同一频率 ! 发生耦合振 动时, 气动导数能够很简 单地进行无量纲化。但是在 采用自由振动法或随机激励法识别气动导数时, 模态 识别的前提是振动体系特征值不能有重根, 即竖弯和 扭转不 能只 有一 个频 率, 否 则其 特征 向量 没有 唯一 解 [ 8] 。这就出现了一个问题: 体系的运动包含了竖弯
H
* 1
(K h )
=-
Kh F ( kh )
A*1
(K h )
=
Kh
F ( kh ) 4
H
* 2
(K
) =-K
1 4
+
F( k 4
)
+
G (k K
)
A*2 (K ) = - K
1 16
-
F (k 16
)
+
G( k 4K
)
H
* 3
(K
)=K
G (k ) F(k ) 4 -K
A*3 (K ) = K
F (k 4K
14G ( k ) UB !
+ U 2F ( k )
∀
+ U2G ( k ) ! =
1 2
U2 ( 2B2 )
F ( kh ) 4
∀
h U
+
!
F (k ) 16
1K
+
G( k 4
)
∀+
K 2 G ( k )K
F (k )
-
+
128
16
4
-
G ( kh )K h h 4B
( 8) 式中 kh = !h b /U, k = ! b /U。对 比 式 ( 5 )和 式 ( 7)、 ( 8)中的同类项可得如下关系:
( 9)可改写成:
H
* 1
(K h )
=-
F ( kh ) Kh
K
H
* 3
(K
)-
G (k )
F (k )
4 =- K
A*1 (K h ) =
F ( kh ) Kh
K A*3 (K ) +
G (k 16
)-
128 =
F (k ) 4K
H
* 4
(Kh ) -
4=
频率 !h 和扭转频率 ! 这两个振动频率, 由于交叉导
数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ影响, 模型的竖向运动和扭转运动都分别包含了
这两个频率成分, 如果定义 !h、! 对应的竖向和扭转
向运动成分分别为 ( h1, 1 )和 ( h2, 2 ), 这时的气动升
力和力矩应该表示为:
∀
L=
1 2
U2 ( 2B )
K
hH
* 1
(Kh )
基金项目: 国家自然科学 基金面 上项目 ( 50308022)及 国家 创新研 究群 体科学基金 ( 50621062 ) 项目联合资助
收稿日期: 2008 - 01- 28 修改稿收到日期: 2008- 05- 27 第一作者 王雄江 男, 博士生, 1978年 4月生
对于气动导数之间关系的研究意义, T ub ino 认为, 如果气动导数之间的关系确实成立的话, 那只需从风 洞试验中提取部分气动导数即可, 其余的可由这些已 知的气动导数推导得出, 这无疑会大大减小试验的工 作量。这一观点对那些分步获得气动导数的试验是有 意义的, 但是因为现有的系统识别法已经可以做到一 次同时识别所有气动导数, Tub ino 所说的气动导数之 间关系意义似乎变得不再重要。事实上, 研究气动导 数之间的关系, 更重要的意义在于: 为高风速条件 下气动导数的精确识别提供一种验证, 这是因为除了 薄平板模型以外, 其余断面形式的气动导数并没有理 论值, 所以我们无法直接判断高风速条件下气动导数 识别结果是否在一个合理的范围之内, 而基于现有的 试验手段和识别方法得到的高风速条件下的气动导数 识别结果仍然不够理想; ! 虽然气动导数之间的关系 并非对所有的钝体断面都适用, 但对于流线型断面而 言仍是一种很好的近似, 且有助于我们理解气动力的 发生机理, 鉴于现有超大跨径桥梁越来越多的采用流 线型主梁断面, 因此研究气动导数之间的关系将具有 明显的工程意义。本文首先根据 Theodorsen气动力理 论推导出了以无量纲折减频率为参量的气动导数之间 的关系, 然后在紊流风场中完成了薄平板节段模型的 风洞试验, 采用随机子空间法 [ 6, 7] 识别气动导数, 最后 结合前人的研究成果讨论了气动导数之间的关系及适 用范围, 通过与现有研究成果进行的比较, 考察了紊流 风场对薄平板模型气动导数之间关系的影响程度。
)
-
G
(k 16
)
+
128
H
* 4
(K h )
=
G kh
( kh
)
+
4
A*4
(Kh )
=
-
K
h
G
( kh 4
)
( 9)
若将与竖向运动相关的气动导数
H
* 1
,
H
* 4
,
A*1
,
A*4
视为
竖弯折减频率 Kh 的函数, 将与扭转运动相关的气动导
数
H
* 2
,
H
* 3
, A*2
,
A*3
视为扭转折减频率 K
的函数, 则式
)h∀ +
2UG ( kh ) !h h -
1 2
[
1+
F(k
∀
) ] UB +
1 2
G
(
k
)UB !
-
∀
2U 2F ( k ) - 2U2 G ( k ) ! =
1 2
U 2 ( 2B )
-
∀
F ( kh )
h U
B [ 1+ F (k ) ] G (k ) ∀
4U
+!
+
G (k )K 4 - F (k )
+
K
2 h
4
+
h G ( kh )K h B
M=
1 4
B2
∀
UC ( k ) h
-
B 2∀∀ 32
+
( 7)
-
1 4
+
1 4
C
(
k)
∀
UB +
62
振 动与 冲击
2009年第 28卷
U2C ( k )
=
1 4
B2
∀
UF ( kh ) h -
UG ( kh ) !h h +
!2 B2 32
+
- 1 + 1F ( k ) UB∀ 44
M=
b2
-
b2∀∀ 8
+
UC ( k ) h∀ -
1-
1C(k)
∀
Ub
+
U2C ( k )
( 1)
22
其中 U 是平均风速 ( m / s) , B 为模型宽度 ( m ), 为空
气质量密度 ( kg /m3 ) , b 是平板模型的半宽度, b = B / 2,
k = !b /U 为折减频率 (无量纲 ), h 为竖向位移 ( m ) ,
识别的试验装置, 故本文仍采用经典的包含 8个气动
导数的桥梁断面自激力表达式:
L se =
1 2
U2 ( 2B )
KH
* 1
∀h U
+
KH
* 2
B∀a + U
K
H2 * 3
a+
K
2H
* 4
h B
M se =
1 2
U2 ( 2B2 )
K A*1
∀h U
+ KA*2
B∀a U
+
K
A2 * 3
a
+
K 2 A*4
根据上式不能唯一确定出其中的 16个气动导数。
对于这个问题的处理方法, 在所有利用自由振动法测
试气动导数的文献中, 均在计算与竖向运动有关的气
动导
数
H
* 1
,
H
* 4
,
A*1
,
A*4
时采用频率
!h, 计算与扭转运
动有关的气动导数
H
* 2
,
H
* 3
,
A*2
,
A*3
时采用
! 。也就
是说, 采用了下面的气动升力和力矩的近似表达式:
M. Iw am ato和 Y. Fu jino[ 9] 已通过一个数值仿真算
例验证了上述近似的合理性, 目前在利用自由振动法
测试气动导数时, 都采用上述处理方法。而采用这种
处理方法事实上隐含了如下假设, 即式 ( 4) 中的竖向和
扭转向运动 (设其为简谐振动 ) 可分别表示如下:
h1 = h = h0 ei!ht h2 = 0
为扭转角 ( rad) 。C ( k )是 T heodorson函数, 当用 B essel
函数表示时可以写成:
C ( k ) = F ( k ) + iG ( k)
( 2)
其中的 i代表复数单位, F ( k )、G ( k )分别为 T heodorson
函数的实部和虚部。
鉴于目前缺乏一套足够精确的包含侧向气动导数