随机事件与概率

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随机事件与概率知识点

随机事件与概率知识点随机事件和概率是概率论中的基本概念，它们揭示了不确定性现象背后的规律性。

本文将介绍随机事件的定义及性质，以及概率的概念、性质和计算方法。

一、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下，具有不确定性的事件。

简单来说，就是不知道会发生什么的事件。

一个事件发生与否，可以用0或1表示，其中0代表事件不发生，1代表事件发生。

这种不确定性使得我们需要运用概率论的知识来描述和研究。

对于一个随机试验，其样本空间为Ω，由所有可能出现的结果组成。

样本空间中的每一个元素称为一个样本点，记作ω。

而样本空间中的子集，称为事件。

简单来说，事件就是样本空间的一个子集，用来描述某些结果的集合。

二、随机事件的性质1. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在所有可能的结果中，一定会发生的事件。

记作Ω，其对应的概率为1。

例如，在一次掷骰子的实验中，必然事件就是出现的点数在1至6之间。

不可能事件是指在所有可能的结果中，一定不会发生的事件。

记作∅，其对应的概率为0。

例如，在一次掷骰子的实验中，不可能事件就是出现的点数为7。

2. 事件的互斥与对立：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。

例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是互斥事件，因为在一次实验中，掷出奇数的点数和掷出偶数的点数不可能同时发生。

对立事件是指两个事件必定有一个发生，但不能同时发生的情况。

例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是对立事件。

三、概率的概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。

概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。

1. 古典概型：古典概型是指所有样本点出现的概率相等的情况。

例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率都是1/6。

2. 几何概型：几何概型是指样本空间是一个有限的几何图形的情况。

例如，在一个正方形平面内随机选择一个点，那么点落在正方形的某个子区域中的概率就可以通过计算子区域面积与正方形面积的比值得到。

随机事件和的概率计算公式

随机事件和的概率计算公式
我们要探讨随机事件和的概率计算公式。

首先，我们需要了解什么是随机事件和。

随机事件和是指两个或多个随机事件同时发生的概率。

例如，投掷一枚骰子，出现1或2的概率就是随机事件和。

假设有两个随机事件A和B，它们的概率分别是P(A)和P(B)。

那么，A和B同时发生的概率P(A∩B)可以用以下公式计算：
P(A∩B) = P(A) × P(BA)
其中，P(BA)表示在事件A发生的情况下，事件B发生的条件概率。

对于多个随机事件的概率和，我们可以用类似的公式来计算。

例如，如果有三个随机事件A、B和C，那么它们同时发生的概率P(A∩B∩C)可以用以下公式计算：
P(A∩B∩C) = P(A) × P(BA) × P(CA∩B)
这个公式告诉我们如何计算多个随机事件同时发生的概率。

通过这个公式，我们可以计算出任意多个随机事件同时发生的概率。

例如，如果我们有四个随机事件A、B、C和D，那么它们同时发生的概率P(A∩B∩C∩D)可以用以下公式计算：
P(A∩B∩C∩D) = P(A) × P(BA) × P(CA∩B) × P(DA∩B∩C)
这个公式为我们提供了一种计算多个随机事件同时发生的概率的方法。

总结：
通过使用条件概率的概念，我们可以推导出随机事件和的概率计算公式。

这个公式告诉我们如何计算多个随机事件同时发生的概率，为我们解决概率问题提供了重要的工具。

第二章随机事件与概率

古典概率
1、古典概型（等可能性概型）
（1）试验结果只有有限个；（2）每个结果出现的可能性相同。如抛一颗骰子，出现的结果为{1点，2点…，6点} 共有6个结果，每个结果出现的可能性都是1/6，因此这个试验就是古典概型.
2、概率的古典定义若互斥完备群由有限的n个基本事件构成，而事件A包含m个基本事件，则事件A发生的概率为
（一）条件概率
已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
【例13 】设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率
设A：第一次取到红球, B：第二次取到红球
P ( B | A) 1
2、对立事件加法证： A A Φ, A A Ω
P ( A) 1 P ( A).
【例12】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5片, 随机抽取3片, 求其中至少有1片穿心莲的概率。解：设 Ai = {任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有1片穿心莲} 3 0 C15C5 P( B) 1 P( A0 ) 1 3 1 0.3991 0.6009 C20 3、一般加法 A,B任意,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
【例11】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5 片, 随机抽取3片, 求其中至少有2片穿心莲的概率。解：设 Ai ={任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有2片穿心莲} 则 B A2 A3 ，故 P ( B) P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 2 0 3 C15 C5 C15 C5 0.1404 3 3 C 20 C 20

概率论-第一章-随机事件与概率

第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。

这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。

这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。

随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。

举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。

随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。

随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。

样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。

上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。

二、随机事件试验£样本空间。

随机事件与概率

§10.4随机事件与概率考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．知识梳理1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇B A＝B并事件(和事件) A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω3.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用：可以用频率f n(A)估计概率P(A)．常用结论1．为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．3．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)必然事件一定发生．(√)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(×)教材改编题1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案 D解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．答案0.5解析掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验的样本空间中有________个样本点．答案 4解析这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，共4个样本点.题型一随机事件与样本空间例1(1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均有可能答案 A解析从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为()A．5 B．6 C．7 D．8答案 D解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}．共8个．教师备选一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．(1)写出这个试验的样本空间；(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)}．(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．思维升华确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．跟踪训练1(1)下列说法错误的是()A．任一事件的概率总在[0,1]内B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定答案 D解析任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的样本点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 D解析事件A 包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点．题型二事件的关系与运算例2 (1)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A ＝“只有一次中靶”，B ＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝“至少一次中靶”D ．A 与B 互为对立事件答案 BC解析事件A ＝“只有一次中靶”，B ＝“两次都中靶”，所以A ，B 是互斥但不是对立事件，所以AD 选项错误，B 选项正确．A ∪B ＝“至少一次中靶”，C 选项正确．(2)(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则( )A ．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B ．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C ．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D ．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是13答案 BD解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A 错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B 正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C 错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是1，D正确．3教师备选1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立B．D1与D2互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案 C解析对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．2．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；E＝“至多有一个奇数”．下列结论正确的有()A．A＝B B．B⊆CC．D∩E＝∅D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω答案ABD解析事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.思维升华事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．跟踪训练2(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球答案 D解析对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A i＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()A.A1⊆B B．A2＋B＝ΩC．A3与B互斥D．A4与B对立答案 C解析对于A，A1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，∴B⊆A1，故A错误；对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；对于C ，A 3与B 不能同时发生，是互斥事件，故C 正确；对于D ，A 4＝{4}，B ＝{1,3,5}，A 4与B 是互斥但不对立事件，故D 错误．题型三频率与概率例3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15)[15，20) [20，25) [25，30) [30，35)[35，40]天数 216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y ＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y ＝450×(6－4)＝900，所以利润Y 的所有可能值为－100,300,900.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 教师备选某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数605030302010(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 思维升华 (1)概率与频率的关系(2)随机事件概率的求法跟踪训练3 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110, 160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120320420720320220(2)根据题意，Y ＝460＋X －7010×5＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530) ＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220) ＝120＋320＋220＝310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.课时精练1．下列说法正确的是( ) A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间 B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定答案 C解析不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A 错；频率是由试验的次数决定的，故B 错；概率是频率的稳定值，故C 正确，D 错．2．2021年东京奥运会中国体育代表团共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接种的有3人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为( ) A ．99.61% B ．99.49% C ．99.36% D ．99.23% 答案 A解析中国体育代表团成员的疫苗接种率约为777－3777≈0.996 1＝99.61%.3．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个样本点．4．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A ，“向上的点数是2或3”为事件B ，则( ) A ．A ⊆B B ．A ＝BC ．A ＋B 表示向上的点数是1或2或3D ．AB 表示向上的点数是1或2或3 答案 C解析由题意，可知A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则A ∩B ＝{1}，A ∪B ＝{1,2,3}，∴A ∪B 表示向上的点数为1或2或3.5．(多选)依次抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验的样本点是( )A．第一枚是3点，第二枚是1点B．第一枚是1点，第二枚是3点C．两枚都是4点D．两枚都是2点答案ABD解析X＝4表示两次抛掷所得总数之和为4，则随机试验的样本点是“第一枚是3点，第二枚是1点”或“第一枚是1点，第二枚是3点”或“两枚都是2点”．6．(多选)下列说法正确的是()A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点答案BCD解析对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事件，B正确；对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．7．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数．则该试验的样本空间Ω＝________.答案{0,2,4,6,8}解析最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．答案60解析∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9，∴第1,2,4组的频率分别为6 40＝0.15，740＝0.175，940＝0.225.∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的积事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA ＝A.10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有样本点；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示．解(1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，则应从甲协会抽取27×654＝3(人)，从乙协会抽取9×654＝1(人)，从丙协会抽取18×654＝2(人)．故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．②事件A 可用集合表示为{(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)}．11．(多选)2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗(Vero 细胞)，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”(EUL)．世卫组织审评认为该疫苗的效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力＝对照组发病率－疫苗组发病率对照组发病率×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的是( )A ．只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎B ．注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低C ．若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则效力为80%D ．若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病答案 BC解析由题意知，疫苗的效力为78.1%，最高达90%，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，故选项A 错误；疫苗的效力为78.1%，最高达90%，所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低，故选项B 正确；若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则注射疫苗的效力＝10010 000－4020 00010010 000×100%＝80%，故选项C 正确；若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%，只是反应了一个概率问题，并不能说明在 10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病，故选项D 错误．12．(多选)一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．则以下结论正确的是()A．A∪B＝C B．D∪B是必然事件C．A∪B＝B D．A∪D＝C答案AB解析A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以A正确，C不正确；D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；A∪D表示的事件为至多有一件次品，即事件D，所以D不正确．13．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案 D解析对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确．对于选项B，由于事件B，D不能同时发生．故B∩D＝∅，故B正确．对于选项C，由题意知正确．对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确．14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为________．答案1 2解析共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中，上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为36＝1 2.15．(多选)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到如下数据：后半夜天气情况“日落云里走”的情况下雨未下雨合计出现 25 5 30 未出现 25 45 70 合计5050100α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.8416.6357.87910.828并计算得到χ2≈19.05，则小波对该地区天气的判断正确的是( ) A ．后半夜下雨的概率约为12B ．未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为59C ．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D ．若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨答案 AC解析对于A ，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为50100＝12，故A 判断正确；对于B ，未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为2525＋45＝514，故B 判断错误；对于C ，由χ2≈19.05>6.635＝x 0.01，认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关，故C 判断正确；易知D 判断错误．16．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)写出甲、乙抽到牌的所有样本点；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解(1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有样本点为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12个．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是23.(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个样本点，因此甲胜的概率为512，乙胜的概率为712.因为512<712，所以此游戏不公平．。

随机事件与概率

贝叶斯公式
如果事件A1, A2, ..., An是n个互斥事件，且满足P(Ai) > 0, i=1,2,...,n，则对于任意事件B，有 P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)/P(B), i=1,2,...,n
条件概率的应用
医学诊断
在医学诊断中，医生通常会使用条件概率来评估患者的疾病风险。例如，如果一个患者具有某种特定的症状，医生可以使用条件概率来计算该患者患有某种特定疾病的概率。
03
条件概率
条件概率的定义与性质
• 定义：在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A相对于事件B的条件概率。记作P(A|B)。
条件概率的定义与性质
性质 1. 非负性：0 ≤ P(A|B) ≤ 1 2. 对于任意两个事件A和B，有P(A|B)+P(B|A)=1
条件概率的定义与性质
3. 对于必然事件Ω，有P(Ω)=1 5. 对于任意事件A和B，有P(A|B)=1-P(¬A|B)
乘法规则
若A和B为独立事件，则P(A和B) = P(A) * P(B)。
条件概率
给定事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 P(B|A)。
古典概型与几何概型
古典概型
在有限等可能情况下，定义事件A的概率P(A)为事件A出现的次数n(A)除以总次数 N。
几何概型
在无限等可能情况下，定义事件A的概率P(A)为事件A出现的测度d(A)除以总测度 D。
交集
若A和B均为随机事件，则称A与B的交集为 A与B的积。
并集
若A和B均为随机事件，则称A与B的并集为 A与B的和。
差集
若A和B均为随机事件，则称A与B的差集为 A与B的差。
试验与结果
试验

《随机事件与概率》概率(事件的关系与运算)

扑克牌
扑克牌是一种流行的赌博游戏，玩家通过比较手中的牌来决定胜负。
保险业
精算科学
精算科学是保险业中非常重要的应用概率和统计学的领域。精算师使用这些知识来估计风险并制定保险策略。
索赔处理
保险公司使用概率模型来估计潜在的索赔，并制定相应的策略来处理这些索赔。
保费定价
保险公司使用概率和统计模型来确定保费，考虑到各种因素，例如风险分布、过去的经验等。
通信与信息科学
数据加密
在通信和信息科学中，概率论被广泛应用于数据加密，以保护信息的安全。
信息论
信息论是通信和信息科学的另一个重要领域，它研究信息的压缩、存储和传输。
信号处理
在通信和信息科学中，信号处理是一个非常重要的领域，它涉及到如何将原始信号转换为更易于传输或处理的形式。
生物统计学与遗传学
发生概率的乘积。
概率的运算
包含关系
互斥关系
当一个事件B包含另一个事件A时，A的概率等于B的概率。
当两个事件A和B互斥时，它们同时发生的概率为0。
独立事件
条件概率
当两个事件A和B独立时，它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。
在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率。条件概率可以通过贝叶斯公式进行计算。
事件关系与运算
3
研究事件的运算（交、并、补等）及其性质。
随机事件的模拟
事件关系
研究事件之间的关系，包括独立性、互斥性、包含关系等。
运算性质
研究事件的运算性质，如结合律、分配律、互斥律等。
概率的基本性质
研究概率的基本性质，如非负性、规范性、可加性等。
随机事件的模拟
古典概型
研究古典概型的概率计算公式及其应用。

概率论与数理统计随机事件与概率条件概率与乘法公式

概率论与数理统计第1章随机事件与概率第4讲条件概率与乘法公式01 条件概率02 乘法公式本讲内容在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件下世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也不例?条件概率外.通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要大得定程度的相互影响．多．在同一个试验中的不同事件之间，通常会存在着一例如，在天气状况恶劣的情况下交求事件的概率.概率，将此概率记作P(B|A).如在事件A 发生的条件下求事件B 发生的在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”. 求P(B),P(B|A).Ὅ例1解由前例可知无论有放回抽样和无放回抽样都有（1）有放回抽样（2）无放回抽样独立性如何定义？.设A 、B 为两事件, P ( A ) > 0 , 则称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.称为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率.同理Ὅ 定义Ὅ性质条件概率也是概率, 故概率的重要性质都适用于条件概率.例如：在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A 表示“第一件为一等品”，B 表示“第二件为一等品”. Ὅ例2 2) 可用缩减样本空间法1) 用定义计算:P (A )>0A 发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B 所含样本点个数无放回抽样Ὅ 计算.在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品. 现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.Ὅ例3解设A=依题意，P(A)=所求概率为P(B|A) .{任取一件为合格品}，B={任取一件为一等品}0.96,0.72.P(B)=利用事件的关系及概率性质公式求条件概率Ὅ例4设A，B，C 是随机事件，A与C互不相容，则.由条件概率的定义：若已知P(A), P(B|A)时, 可以反过来求P(AB).὎注乘法公式.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，Ὅ例5男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职工，计算（1）该职工技术优秀的概率；（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率.解设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男性”，则:(1)利用古典概率有.(2)通过缩减样本空间，有.Ὅ例6某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件A）、“图书”（记为事件B）、“电影”（记为事件C），调查读者的阅读习惯有如下结果:试求解01 条件概率02 乘法公式本讲内容乘法公式推广ab -1ab O F (x )xb a 1xf (x )O盒中装有100个产品, 其中3个次品，从中不放回Ὅ例7地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.解令A i为第 i 次取到正品（波利亚罐子--传染病模型）一个罐子中包含b 个白球和r 个红球. b 个白球, r 个红球Ὅ 乘法公式应用举例8随机地抽取一个球，观看颜色后放进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.回罐中，并且再加进c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续于是W 1W 2R 3R 4表示事件“连续取四个球，第一、二个是白球，第三、四个是红球. ”设W i =R j ==P (W 1)P (W 2|W 1)P (R 3|W 1W 2)P (R 4|W 1W 2R 3)P (W 1W 2R 3R 4)解1,2,3,4{第i 次取出是白球}，i =j ={第j 次取出是红球}，1,2,3,4记A=为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率.Ὅ例9解报警系统至少一个有效”可表示为A ∪B ，由于“两个“系统(Ⅰ) 有效”，B=“系统(Ⅱ)有效”，且A 和互斥，因此:学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。

第一章事件与概率

1
古典概型的定义
定义
称满足以下两个特点的随机现象的数学模型为古典概型，如果 (1) 有限性：试验的样本空间只有有限个样本点; (2) 等可能性：每个样本点作为基本事件出现的可能性相同.
利用排列、组合知识来求概率的模型通常都属于古典概型. 那么, 古典概型为什么要通过数数来求概率呢？
Department of Mathematics, Tianjin University
内容提要
1 2 3 4
随机事件的定义事件之间的关系事件的运算律例题
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3
事件的运算律
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中的随机事件. 交换律： AB=BA，A B=B A. 结合律： ABC=A(BC)，A B C=A (B C).
2
事件之间的关系
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中的随机事件. 包含（于）：若A发生，则B一定发生，则称A包含于B,记为A B. 相等：若A与B相互包含，则称A与B相等，记为A=B.
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事件的交（积）：若事件C发生，当且仅当A与B同时发生，则称C为A与B的交 (积)事件，记为C=A B,或简记为C=AB.
注：符号“ ”等同于“至少”.
事件的逆(对立)：由样本空间中所有不属于A的样本点构成的集合表示的事件称为A的逆(对立)事件，记为 A . 注：若A与B对立，则A与B互不相容，反之不然.即A、B对立，则AB= , 且A B= .
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概率论

第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。

有的是人为设置，有的是必须经历。

通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。

例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。

4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。

例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。

5．样本点：即基本事件，记为。

随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。

6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。

如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。

例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。

7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。

如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。

抽牌：Ω=“抽到一张牌”。

8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。

如投币：=“正面朝上且反面朝上”。

抽牌：=“抽到一张电影票”。

例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。

二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。

1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。

随机事件与概率

的事件未必是对立事件.
如：抛一颗骰子， A “出现点数不超过3”， B “出现点数大于4”，则：
A {1,2,3} B {5,6} A {4,5,6} 显然：A 与 A 互为对立事件，同时也是互斥事
件；A 与B 互为互斥事件，但不是对立事件.
【例】随机将一枚硬币抛三次,用H表示正面, T表示反面,求：
数点”，请思考：
1、事件 A 发生会导致事件B 的发生吗？会 2、事件 B 发生会导致事件 A的发生吗？不会
事件的包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，也称事件 A 包含于事件 B. 记为 A B（或 B A ）.
维恩图表示：
AB
注：⑴事件 A 是事件 B 的子事件即 A B ，换一说法：如果事件 B 不发生必然导致事件 A 不发生；
例3：某人连续三次购买体育彩票，每次一张，令 A, B,C 分别表示其第一、二、三次所买彩票中奖的事件. 试用A, B,C及运算写出下列事件.
A
B
C
⑴第三次未中奖； ⑵只有第三次中了奖；
C
A BC
⑶恰有一次中奖； AB C U ABC U A BC A B C ⑷至少有一次中奖；
⑸不止一次中奖； AB U BC U AC
如：包含两个样本点的样本空间
{H, T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型，又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型 …………
⑵样本空间的元素是由试验的目的所确定的.
如：将一枚硬币连续抛掷两次，观察正面H、反面 T出现的情况. 则样本空间为：
A B A发生或B发生 A, B中至少有一个发生
维恩图表示：

随机事件与概率(学生版)

概率1 随机事件与概率①有限样本空间与随机事件(1)我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为E试验的样本空间.用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果结果ω1 ,ω2 ,… ,ωn则称样本空间Ω= {ω1 ,ω2 ,… ,ωn}为有限样本空间.(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母A ,B ,C ,…表示.②各种事件必然事件，不可能事件，随机事件.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.(1)“3件都是二级品”是什么事件？(2)“3件都是一级品”是什么事件？(3)“至少有一件是一级品”是什么事件？解：(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.③事件的关系和运算一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件A包含于事件B，记作A⊆B；一般地，事件A与事件B至少有一个发生，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A+B).一般地，事件A与事件B同时发生，我们称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB).一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω且A∩B=∅，则称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A̅.④古典概型(1) 古典概型的特点有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(2) 古典概型事件A的概率P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数⑤概率的基本性质性质1 对任意事件A，都有P(A)≥0性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；性质3 若事件A与事件B互斥时，则P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4 若事件A与事件B对立事件，则P(B)=1−P(A) ,P(A)=1−P(B)性质5 如果A⊆B那么P(A)≤P(B)性质6 设A ,B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解【典题1】从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是()A．3位都是女生B．至少有1位是女生C．3位都不是女生D．至少有1位是男生【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是() A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球【典题3】如果事件A，B互斥，记A ,B̅分别为事件A，B的对立事件，那么()A．A∪B是必然事件B.A⋃B̅是必然事件C. A与B̅一定互斥D. A与B̅一定不互斥【题型二】求古典概型【典题1】先后投掷两枚骰子，出现的点数记作 (m ,n)，设 X=m+n．(1)求m=n 的概率；(2)试列举出X≤6的所有可能的结果;(3)求 X≤3 或X>6的概率．【典题2】任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为.【典题3】一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为 .【典题4】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 .【题型二】概率的基本性质【典题1】有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t 无关，统计得到P(n)={(12)n ⋅P(0) ,1≤n ≤60 ,n ≥7，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是．【典题2】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？巩固练习1(★) 将一根长为a 的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是( ) A ．必然事件 B ．不可能事件 C ．随机事件 D ．不能判定2(★) 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( ) A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．以上选项均不正确3(★) 下列每对事件是互斥事件的个数是( )(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A ：两次出现正面；事件B ：只有一次出现正面 (2)某人射击一次，记事件A ：中靶，事件B ：射中9环(3)某人射击一次，记事件A ：射中环数大于5；事件B ：射中环数小于5． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4(★) 袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个白球；都是白球 B ．两个白球；至少有一个红球 C ．红球、白球各一个；都是白球 D ．红球、白球各一个；至少有一个白球5(★) 设M 、N 为两个随机事件，如果M 、N 为互斥事件，那么( ) A ．M ∪N 是必然事件 B ．M ∪N 是必然事件 C ．M 与N 一定为互斥事件 D ．M 与N 一定不为互斥事件6(★) 已知一次试验，事件A 与事件B 不能同时发生且A ，B 至少有一个发生，又事件A 与事件C 不能同时发生．若P (B)0.6=，P (C)0.2=，则()(P A C = )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.37(★) 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是8，7，6的概率依次为P 1,P 2,P 3，则( )A ．P 1=P 2<P 3B ．P 3<P 2<P 1C ．P 3=P 1<P 2D ．P 3=P 1>P 28(★★) 从集合A ={－1,12,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ={12,32,2}中随机选取一个数记为a ，则a k >1的概率为( ) A ．13B ．23C ．79D ．599(★) [多选题]抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A = “至少一枚点数为1”， B = “两枚骰子点数一奇一偶”， C = “两枚骰子点数之和为8”， D = “两枚骰子点数之和为偶数”．判断下列结论，正确的有( ) A ．A B ⊆B ．B ，D 为对立事件C ．A ，C 为互斥事件D ．A ，D 相互独立10(★) 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设“出现3点”、“出现6点”分别为事件A 、B ，已知P(A)=P(B)=16，则出现点数为3的倍数的概率为．11(★) 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅰ、Ⅰ 构成，射手命中Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ的概率分别为0.25、0.20、0.35，则不命中靶的概率是．12(★) 事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)，则P(A)= ．13(★) 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为．14(★★) 若连掷两次骰子，分别得到的点数是m 、n ，将m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在区域|2||2|2x y -+-内的概率是．15(★★) 如图所示，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格的两个顶点，在格点中任意放置点C ，恰好能使其构成△ABC 且面积为1的概率是．16(★) 抛掷一枚均匀的骰子，事件A 表示“朝上一面的点数是偶数”，事件B 表示“朝上一面的点数不超过4 ”，求P(A ∪B)．17(★★) 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：乘坐站数x0<x≤33<x≤66<x≤9票价(元)123现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的．(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．。

概率论知识点

。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
泊松分布
设随机变量的分布律为
，，，
则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

随机事件的概念及其常见概率

随机事件的概念及其常见概率随机事件是指在相同的随机试验中，可以发生也可以不发生的事件。

随机事件的出现是由于试验过程中某些不确定的因素所决定的。

概率是研究随机事件发生规律的一种数学工具。

在概率论中，我们可以通过概率的计算和分析来描述随机事件的可能性和发生规律。

1. 随机事件的概念随机事件是指在一次或多次试验中可能发生的某个结果或一组结果。

每个试验具有明确的标准和确定的结果，但具体的结果却是不确定的。

例如，掷一颗骰子的结果是1、2、3、4、5或6，每个结果都是一种随机事件。

又如，从一副扑克牌中抽取一张牌，每个牌面的出现都是一种随机事件。

2. 随机事件的概率概率是用来度量随机事件发生可能性的数学工具。

概率通常用一个介于0到1之间的实数来表示。

当一个事件必然发生时，其概率为1；当一个事件不可能发生时，其概率为0。

事件发生的可能性越大，其概率就越接近1；事件发生的可能性越小，其概率就越接近0。

对于一个随机事件A，可以用P(A)来表示事件A发生的概率。

概率的计算可以通过以下公式进行：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的样本点数目，N(S)表示全体样本点的数目。

3. 常见概率的计算方法在实际应用中，我们经常需要计算一些常见随机事件的概率。

以下是几种常见的概率计算方法：3.1 事件的等可能性原理当一个试验的样本空间中的样本点具有相同的概率时，每个事件的概率可以通过事件包含的样本点数目与样本空间中的样本点总数之比来计算。

例如，掷一颗普通骰子，事件A为出现偶数点数，事件A的概率可以计算如下：P(A) = N(A) / N(S) = 3 / 6 = 1 / 23.2 事件的排列组合当一个试验的样本空间中的样本点不具有相同的概率时，我们可以利用排列组合的方法来计算事件的概率。

例如，从一副扑克牌中抽取一张红心牌的概率可以计算如下：P(A) = N(A) / N(S) = 26 / 52 = 1 / 23.3 事件的条件概率在一次试验中，如果一个事件A的发生与另一个事件B的发生有关，我们可以定义关于事件B发生的条件下事件A发生的概率为条件概率。

第1章随机事件与概率

2. 基本事件 —— Ω的单点集.
3. 必然事件 (Ω)
4. 不可能事件 ( ) —— 空集. 5. 随机变量表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
12 March 2020
第一章随机事件与概率
第6页
1.1.4 随机变量
表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
第一章随机事件与概率
第30页
几何概型的例子
例1.2.3 蒲丰投针问题平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.
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第一章随机事件与概率
蒲丰投针问题(续1)
第31页
解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，
又以表示针与此直线间的交角.

Pnr r!
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第一章随机事件与概率
注意
第24页
求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.
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第一章随机事件与概率
第25页
1.2.3 确定概率的频率方法
➢ 随机试验可大量重复进行.
➢ 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， n( A)
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
12 March 2020
第一章随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
随机现象：在一定的条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象.

概率论与数理统计随机事件与概率随机事件

概率论与数理统计第1章随机事件与概率第1讲随机事件第一讲随机事件随机现象随机现象的统计规律性随机试验如何研究随机现象的规律性？概率统计的研究对象概率统计的研究内容全概率统计的研究方法本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算随机现象的规律性是通过大量试验呈现出来的，为了研究这种规律性，我们需要对随机现象进行调查、观察或试验.这类工作我们统称为“随机试验”，简称为“试验”，用E表示.随机试验具有下列三个特点：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的所有结果明确可知，并且不止一个；每次试验只能出现一个结果，事先不能确定.随机试验具有下列三个特点：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的所有结果明确可知，并且不止一个；每次试验只能出现一个结果，事先不能确定. 例1给微信好友发消息，观察对方是否回复；检验10件产品，记录其中的次品数；调查某收银台一天内使用移动支付的次数；研究某品牌电脑的使用寿命.随机试验E 所有可能的结果组成的集合,记为S 或Ω.E 1给微信好友发消息，观察对方是否回复.E 2检验10件产品，记录其中的次品数.1=S 2=S 样本空间例2{0,1,2,,10}E 4研究某品牌电脑的使用寿命.E 3调查某收银台一天内使用移动支付的次数.3=S 4=S 注研究随机现象时, 第一步就是建立样本空间.{0,1,2,3,}{|0}≥t t本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算随机事件样本空间的子集, 记为A ,B ,…基本事件仅由一个元素(样本点)组成的子集，每次试验必定生.发生且只可能发生一个的结果.复合事件由若干个基本事件组成的随机事件.每次试验必定不发生的事件，记为每次试验必定发生的事件，即样本空间S . 必然事件不可能事件∅=A =B =C =D 抛骰子例3.AS文氏图(Venn diagram)在一般情况下，事件的关系是怎样的呢？事件是样本空间的子集，因此，事件的关系和运算与01随机事件集合的关系和运算是完全相似的. 要学会利用概率论的语言来解释这些关系及其运算.这里需要强调的是，本讲内容01 随机试验与样本空间02 随机事件03 随机事件的关系与运算A=BSAB它表示事件A 发生，则事件B 一定发生.它表示：事件A 与事件B 的样本点完全相同.().⊂⊃A B B A 包含关系如果事件A 的样本点都在事件B 中，则称事件A 包含于事件B .抛一枚骰子中的随机试验中=A例4相等关系=B{2}，A B⋃ 事件的和(并)考察某同学期末考试的成绩情况.=A 例5事件A 与事件B 的样本点合在一起构成的事件.它表示：“事件A 与事件B 至少有一个发生”.A B ⋃=BA ABS=B推广推广它表示英语、高数至少有一门及格.1=ni i A 至少有一个发生.表示12,,,n A A A 1∞=i i A 同时发生.表示12,,A A它表示英语、高数两门课都及格.A B AB⋂或事件的积(交)表示事件A 与事件B 共有的样本点构成的事件.考察某同学期末考试的成绩情况.A = 例5它表示：“事件A 与事件B 同时发生”.AB =B=推广推广1=ni i A 12,,n A A A 表示同时发生.1∞=i i A 12,,A A 表示同时发生.A B- 事件的差由属于A 但不属于B 的样本点构成的事件.A =考察电视机的使用寿命t (:h) 例4它表示：“事件A 发生而事件B 不发生”.B =A B -=SBA -A B{t |t 3000}.>{t |t 10000}≥，{t |3000t 10000}<<，互不相容（互斥）若事件A ，B 不能同时发生.即考察电视机的使用寿命t (:h)A = 例5B =ABS则事件A 与B 互不相容. 对立事件（逆事件）"A∩B=Φ".则称事件A 与B 互不相容.对于事件A ，由所有不包含在A 中的样SAB A=本点所组成的事件称为A 的对立件，{t |t 3000}>，{t |t 10000}≥，记对应事件运算集合运算()=A B C ()=A B C 03随机事件的关系和运算运算规律BA ，=AB =A B .BA ()ABC ，()=A B C ().A B C ()().A CBC ()=A B C ()().A B A C (1)交换律：(2)结合律：(3)分配律：逆交和差=A B 1==ni i A 03随机事件的关系和运算运算顺序括号优先AB ，.A B =A B 1=ni i A ， 1.=ni i A 1==ni i A(4)对偶律：(D.Morgan 律)CAB ABCABC A B C利用事件的关系和运算可表达复杂事件01随机事件的关系与运算例6设A 、B 、C 表示三个事件，利用A 、B 、C 表示下列(1)A 发生, B 与C 不发生.(2)A 与B 发生, C 不发生.(3)A 、B 、C 中至少有一个发生.(4)A 、B 、C 都发生.事件ABC =ABACBCC B A CB AC B A C B A C B A ——A ,B ,C 不都发生.=ABC ⋃⋃A B C03随机事件的关系和运算设A 、B 、C 表示三个事件，利用A 、B 、C 表示下列事件(5)A 、B 、C 都不发生.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生.(7)A 、B 、C 中不多于两个个发生(8)A 、B 、C 中不至少有两个发生.D 如右图所示的电路中,设事件A 、B 、C 分别表示开关a 、b 、c 闭合，用A 、B 、C 表示事件“指示灯亮”及事件“指示灯不亮”. 例701排列及其逆序数解=D设abc=D ().A B C =D ,,则D 发生当且仅当A 及B ∪C 都发生A 发生当且仅当发生或 BC 发生=ABC =ABCABCABCABC A B C ABCABCABC设A ，B ，C 分别表示第1，2，3个产品为次品，例8A B C AB BC CA用A ，B ，C 的运算可表示下列各事件(1)至少有一个次品(2)没有次品(3)恰有一个次品(4)恰有两个个次品()()()ABCABCABC ABCABCABC ABC ABC=(5)至多有两个次品(考虑其对立事件)ABC =第1讲随机事件这一讲我们学习了随机事件以及事件间的关系与运算，利用这些关系与运算，我们可以用简单事件去表示复杂事件，从而利用简单事件的概率得到复杂事件的概率.下一讲我们介绍一类简单概率模型——古典概型.学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。

概率论与数理统计第一章——随机事件及概率

P65 = 6 5 4 3 2 = 720 (个)
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生（随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测验其使用寿命（按小时计）。

随机事件与概率

随机事件与概率知识点

随机事件和的概率计算公式

第二章 随机事件与概率

概率论-第一章-随机事件与概率

随机事件与概率

随机事件与概率

《随机事件与概率》概率(事件的关系与运算)

概率论与数理统计随机事件与概率条件概率与乘法公式

第一章事件与概率

概率论

随机事件与概率

随机事件与概率(学生版)

概率论知识点

随机事件的概念及其常见概率

第1章 随机事件与概率

概率论与数理统计随机事件与概率随机事件

概率论与数理统计第一章——随机事件及概率

第二章随机事件与概率

第1章随机事件与概率