数学思想方法在排列组合中的应用
运用数学思想解决排列组合问题
称性， 运用对称思想 ， 往得 到意想不到的简捷解法。 往 例 ３ １９ ：（９ ０年全 国） ， ， ， ， Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ五人并排站成一排 ， Ｂ必须 若
站 在 Ａ的右 边 Ｂ可 以 相邻 ） 那 么不 同的 排法 共 有 （ ） ， Ａ ４种 ．２ Ｂ ０种 ．６ Ｃ ０种 ．９ Ｄ ２ ．１０种
化 归 思 想 指 的是 变 更 转 化 的 解 题 思 想 ， 即将 条 件 或 结 论 经 过
适当的转化， 整个命题就可以变更 为我们熟知的一些常见 问题 。
例 ｌ （９ ３ 全 国） ： １９ 年 同室 四 人 各 写 一 张 贺 年 卡 ， 集 中起 来 ， 先 然 后 每人 从 中拿 一 张 别人 送 出 的贺 年 卡 ，则 四 张 贺 年 卡 不 同 的分 配方 式有 ［ ］ Ａ６ ． 种 Ｂ ９种 ． Ｃ１ ． １种 Ｄ２ ． ３种 思路分析： 建立数学模型转化 为数学问题。用 １ ２ ３ ４ 四个 ，，， 这
用 广 泛 ， 且 思 想 方法 独 特 灵 活 ， 是发 展 学 生 抽 象 能 力 和 逻 辑 思 而 也 维 能 力的 好 素材 。下 面谈 谈 数 学 思 想在 排 列 组合 问题 中的 运 用 。
（ 化 归 思想 一） （ ） 称 思 想 三 对 对称 思想 在 思想 数 学 中 广泛 应 用 ， 挖 掘 数 学 问 题 中 隐含 的对
解 ： ３ ．５ ＝７ ０种 。 Ａ ３Ａ ５ ２
’ ．
．
第 三类 ： 乙二 人 都未 被 选 上 有 Ａ ３＝ 种 选 法 ： 甲 ３ ６
共有 ６ ２ ＋＝ ６种 ＋４ ６ ３
（ 接 第 １ ０页 ） 上 ７
学 设
运用数学 思想解 决排列组 合问题
职高数学排列组合解题思想方法
特殊元素优先考虑
先考虑甲
甲在中间4个位置中选一个，有 4 种排法；
剩下的5个人排在5个位置有 A55排法.
共有 4 A55 种排法.
04 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲不能排在排头和排尾有 480 排法.
特殊位置优先考虑
先考虑排头和排尾
从5个人中选取2个排在排头和排尾有 A52种排法； 剩下的4个人排中间4个位置有 A44 排法. 共有 A52 A44 种排法.
05 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲、乙、丙3人A必须站在一起的种数有 144 .
捆绑法 相邻问题
甲乙丙
将3人捆绑在一起看成一个整体，与其他3个人排在4个位
置有 A44 种排法.
再将甲、乙、丙内部相互交换排在3个位置有 A33 排法.
共有 A44 A33 种排法.
06 排列组合解题思想方法
02 排列组合解题思想方法 一块木板上钉有9个钉子，排成三行三列，以其中的任意3个钉子
为顶点，可以组成的三角形的个数为 76 . 排除法 从9个钉子中选出3个钉子有 C93 选法.
排除：共线的3点有 8 种；
共有有C93 8 种排法.
03 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲不能排在排头和排尾有 480 排法.
01 排列组合解题思想方法
若11位同学排队照相，第1排5人，第2排6人，则不同的排法
有
A11 11
种.
直接法
第一步，从11人中选出5人排在第一排有 A151种排法. 第二步，从11人中选出6人排在第二排有 A161种排法. 第二步，剩下的6人排在第二排有 A66 种排法. 共有 A151 A161 种排法. 共有 A151 A66 A1111 种排法.
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。
在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3，由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
排列组合二项式定理中的数学思想方法
龙源期刊网
排列组合二项式定理中的数学思想方法
作者：童其林
来源：《数理化学习·高一二版》2013年第02期
现行高中数学中的排列和组合，是当今发展很快的组合数学的最初步的知识.虽然在高考
中占分不多，但是这种以计数问题为特征的内容在中学数学中是较为独特的，不仅应用广泛、蕴含的思想方法丰富，也是学习后续的概率统计知识以及进一步学习高等数学有关分支的准备知识，特别是新教材中对于数学思想方法的渗透贯穿于这一章节的始终，这是我们在教学中要加以重视的.本文通过实例介绍几种常用的数学思想方法在排列组合中的运用.。
例谈排列组合中的数学思想方法
（ ） 对 称法 ２用
） 塞顿开 ， 应得排法 １ ＝ ０ 种 ）选 Ｂ应用 ６（ ， ． 对称思想简洁明快 ， 给人以美 的享受． ３分类划分思想 ． 划分 不但是 掌握外延 的逻 辑方 法 ， 而
例４ ｃ＋ ＋ １ ：— ． ．＋ ｃ … （ ＋） ＝ — ｃ ３１ ２ ２ ｃ ｏ ５＋ 解： ＝ ｃ ５２ ・ ２ １ ：＋ 设ｓｃ ３ ｃ十 ＋ ｎ ）～ ０ １ ¨ （ ＋ ｃ ＋ ＋
贝 （） ： ｃ＋ ＋：＋ １ ＋ ０ １ ｃ ｃ＋：… ｃ ｃ＝＋ ／ ＝ ＋１ ～ ｎ ｎ ｃ … ｃ！ｌ＝（ ＋ ＋。＝ ． ａ ＋ ２ ＋ 【 … ｃ ） ： ＋ ，ｌ １ ）（＋ ’ ２ ＋ － ＋ ｃ ： ：
３种 填 法 ；
例 ３已知集 合 Ａ 和集合 曰各含 １ ． ２个 元素 ， ＡｎＢ含有 ４ 个元素 ， 试求同时满足下 面两个条件的集合 的个数．
（） ｉｃＣＡｎＢ， Ｃ中含有 ３个元素 ； 且
（ｉＣＮＡ≠０ ０表 示 空集 ） ｉ ） （ ．
５函数 思 想 ．
运用 函数 的概念 和性质 ， 过类 比、 通 联
解析 ：１ 可以先用常规解法分类法求 （）
合ｃ 曰 取０ 元 有ｃｃ ｎ 中 个 素， ：０ ： 。
①Ａ在左边第一位时有 ４ 种排法 ； １ ②Ａ在左边第二位时有 Ｐｔ１ 法 ； ３ ３ 种排 ③Ａ在左边第三位时有 Ｐ ！ 种排法 ； ④Ａ在左边第 四位时有 ３种排法． １
（ ＋） ， ２ １： ｃ
・ ． ．
解析 ： 用化归思想建立数学模 型转化为
数学 问题 ：用 １２ ３ ４这 ４个 数字组成无 “ ，，， 重 复的 四位数 ， 中 １不在个位 ， 在十 其 ２不 位 ， 在百位 ， ３不 ４不在 千位 上 的四位数 有
排列组合问题的非常规解题数学思想方法
排列组合问题的非常规解题数学思想方法一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线? BA二.分类讨论思想例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。
三．方程不等式思想例3．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？例4．将10个完全相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子内，要求放入盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）A 20种 B15种 C14种 D12种四.模型构造思想例5.证明：pn p m p m p n n m C C C C --⋅=⋅。
证明：原式左端可看成一个班有m 个同学，从中选出n 个同学组成兴趣小组，在选出的n 个同学中，p 个同学参加数学兴趣小组，余下的p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数。
原式右端可看成直接在m 个同学中选出p 个同学参加数学兴趣小组，在余下的p m -个同学中选出p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数。
显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
例6. 方程84321=+++x x x x 的非负整数解的组数是多少？五.“正难则反”的思想解决问题，当正面难以解决时，不妨从反面、侧面思考，顺繁则逆、正难则反．例7．有五张卡片，他们的正反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解析：（1）0不能作百位，但可以作十位或个位．（2）0与1在同张卡片上，因此直接分类既要考虑0又要考虑1分类较复杂．于是先不考虑任何情况算出总数，然后减去0在左边第一位的号码即为所求．由于任取三张可以组成不同的三个数的号码有：A C 333352⋅⋅，其中0在左边第一位的号码有：A C 222242⋅⋅， 故所求的不同三位数共有：A C 333352⋅⋅-A C 222242⋅⋅=432 个．例8．从1，2，3，…，1995这1995个自然数中，取出9个互不相邻的自然数，有多少种方法？解析：由于符合题意的条件错综复杂，正面进攻思维受阻，此时采用反面去考虑问题． 问题相当于“9个女生不相邻地插入站成一列横队的1986个男生之间（包括首尾外侧），有多少种方法？”任意相邻2个男生之间最多站1个女生，队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1个女学生，于是，这就是1987个位置中任选9个位置的组合问题，共有C 91987种方法．六. 枚举法把符合条件的安排不重复、不遗漏的一一列举出来，是最简单、最原始但也是最基本的计数方法．教材中多次应用到，高考中也常用枚举法解决问题．例9．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种 例10．从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？七. 利用映射关系解题．例11．圆上有10个点，每两点连成一条线段，这些线段在圆内在圆内最多有多少个交点？以这些交点为顶点的三角形最多有多少个？八. 利用递推关系解题．例12．有一楼梯共10级，每步只能跨上1级或2级，问要登上最后一级共有多少种走法？例13.把圆分成10个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的颜色,问共有多少种染色法?九.对称法．例14．A,B,C,D,E五人站成一排，若B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）的不同站法有（） A 24种B60种C90种D120种十.机会均等法例15：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？例16：用1，4，5，x四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求x。
分类讨论思想在排列组合中的应用
分析：思路一：1,3 都不与 5 相邻可用不相邻问题的插空法。但 1,3
高中数学 可相邻可不相邻。 于是以 1,3 是否相邻分成两类。 1。 若 1 与 3 相邻，
3 3 2 2 则有A3 3 A3 A2 =72 个；2。若 1 与 3 不相邻，则有 A3 A3 =36 个。∴共
有 72+36=108 个，选 C 思路二： 影响 1,3 位置安排的是数字 5.如果 5 的位置确定了， 我们就可以安排 1,3 的位置了。 由于是六位偶数，所以 5 只能在前 5 位上， 于是可以按 “5” 所在的位置进行分类： 1。 当 5 在 1 号位时，
ห้องสมุดไป่ตู้
两种思路虽然分类标准不同， “化整为零”后却“殊途同归” 。 可见，准确地选定分类标准、完整划分是正确使用分类讨论思 想方法解决排列组合问题的关键之举。
高中数学
分类讨论思想在排列组合中的应用
永新任弼时中学 李芳
分类讨论思想方法在高中数学中是重要的数学方法之一， 它在函 数、不等式、排列组合等知识中都有非常重要的作用。分类讨论思想 是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题， 通过对基础 性问题的解答，解决原问题的思维策略。实质上，分类讨论是“化整 为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题 思路，降低问题难度。 在分类讨论过程中， 学生面临的第一个难点就是分类标准的选定。 同一个问题，我们可能有不同的分类标准，关键是抓住导致结果多样 化的关键要素，确定分类标准，并遵循标准统一的原则，不重复、不 遗漏。 标准确定了， 思路便明朗清晰了， 接下来化整为零， 各个击破。 排列组合综合问题中，分类讨论思想应用十分广泛。而学生往往 在这类问题中， “伤脑筋，爱犯错” 。以下是本章《分类讨论思想专题 训练》学生问题集中的两题，以此为例，探讨分类讨论思想在排列组 合中的应用。 例1、 由 1, 2 ,3，4, 5, 6 组成没有重复数字且 1,3 都不与 5 相邻 的六位偶数的个数是（ A.72 B.96 ） C.108 D.144
例谈排列组合中的数学思想方法
将研究对 象在一定条件下转化并归结 为另 一种研究 对象 的 思想方法称之 为化归转化思想 ．一般将有 待解决 的问题进行转 化 ，使 之成 为大家熟悉的或容易解 决的问题模式 ．
要 的是 ，过 了多 年 以后 ，他 们 掌 握 的数 学 知 识 可 能会 淡 忘 ，或
解 ： （ ）若用四种颜色 给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ １ 涂色 ，则Ａ 必 同 与Ｆ
色 ，Ｃ 也同色 ，故有 × × ＝４ 与Ｅ １１２ 种涂色方法 ； 者 高中数 学知识在他们 将来所从 事的 Ｔ作 中可能无用 武之地 ， （ ２）若 用ｉ种 颜 色给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 色 ：① 当Ｂ、Ｄ同色 涂 但深深地铭 刻于头脑 中的数学思 想将随时 随地发生作用 ，使他 时 ，Ａ、 ｃ 有 ２ 颜 色 可 选 ；② 当 Ｂ、Ｅ同 色 时 ，Ａ有 ２ 颜 色 都 种 种 们受益终生 ．
，
（ ） 的值 ； １ 求ｃ． （ ２）组合数 的两个 性质 ：① ｃ ｃ ；② ｃ ＋ ＝ｃ ： ＝ ｃ 是
一
５ 整 体 思 想 ．
从 问题 的整体性 质 发 ，突 出对 问题 的整体结 构 的分 析
否都能 推广到 （ Ｒ， 是正整数 ）的情 况？若能推广 ，则 和 改造 ，发 现 问题 的 整体结 构 特征 ，把某 些式 子或 图形看 成 写 出推广的形 式并 给出证 明；若不能 ，则说明理由 ； 个整体 ，把 握 它们之 间 的关联 ，进 行有 目的的 、有 意识 的 （ ３）已知组 合数 ｃ 是正 整数 ，证 明 ：当 ｚ，ｍ是正整 整 体 处 理 。
ｘ ｘｘ－１ ｘ－２ （ （ ） （ ） ｘ－ｍ＋１ ｘｘ １（ ） （ ）
－ ． －
— — ． ． ． ． ． ． ． ． ． －
分析 ：将４ 名男生看 作一个整 体Ａ，５ 名女生看作 一个整体 Ｂ先整体 ，将Ａ、Ｂ ． 排队 ，有 种排法 ；后局部 ，男生有 种排 ；
第8节 排列组合中的数学思想方法及模型
排列组合问题中的数学思想方法及模型（一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。
例.已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）C A B ≠⊂ 且C 中含有3个元素，2）C A φ≠ 解：如图，因为A ，B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，所以A B 中的元素有12+12-4=20个，其中属于A 的有12个，属于A 而不属于B 的有8个，要使C A φ≠ ，则C 中的元素至少含在A 中，集合C 的个数是：1）只含A 中1个元素的有12128C C ；2）含A 中2个元素的有21128C C ；3）含A 中3个元素的有30128C C ，故所求的集合C 的个数共有12128C C +21128C C +30128C C =1084个（二）．等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。
1.具体与抽象的转化例.某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？分析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列1234567,,,,,,a a a a a a a 有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？解：1）两个0不相邻的情况有26C 种，2）两个0相邻的情况有16C 种，所以击中和末击中的不同顺序情况有26C +16C =21种。
2）不同的数学概念之间的转化例.连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥）解：从正文体珠8个顶点中任取4个，有48C 种，其中4点共面的有12种，（6个表面和6个对角面）将不共面的4点可构一个三棱锥，共有48C -12个三棱锥，因而共有3（48C -12）=174对异面直线。
小学数学常见的数学思想方法
小学数学常见的数学思想方法在小学数学中，有一些常见的数学思想方法，这些方法不仅帮助学生理解和解决数学问题，还培养了他们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍一些常见的小学数学思想方法。
第一、归纳法归纳法是一种从特殊到一般的思维方法。
通过观察和分析特殊情况，再总结规律，推广到一般情况。
例如，学习排列组合时，可以先从2个数字的排列开始归纳，然后推广到更多数字的排列。
这样做可以帮助学生理解和记忆更抽象的概念。
第二、类比法类比法是通过寻找事物之间的共同特征，把问题转化为已知问题的方法。
例如，在学习解方程时，可以把方程看作一个天平，通过移项和化简，使方程两边平衡。
这种类比可以帮助学生把抽象的数学问题转化为更具体和易于理解的形式。
第三、分解法分解法是将复杂的问题分解为若干简单的子问题来解决的思维方法。
例如，在学习长除时，可以将被除数分解成各个位的数字，并逐位进行计算。
这种分解的思维方法可以帮助学生理清思路，简化问题，更容易得到答案。
第四、逆向思维法逆向思维法是从问题的结果出发，逆向推导出解决问题的方法。
例如，在学习排序时，可以先思考如何将数字从大到小排列，然后将步骤反转，即可得到从小到大排列的方法。
逆向思维法可以培养学生的逻辑思维和反向推理能力。
第五、模型法模型法是通过建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决的思维方法。
例如，在学习面积时，可以通过绘制图形模型来计算面积。
这种方法可以帮助学生理解数学概念，并将数学应用于实际问题中。
第六、试错法试错法是通过尝试不同的方法和策略，找到解决问题的最优解的思维方法。
例如，在学习解方程时，可以尝试不同的代入法或变形法，直到找到满足方程的解。
试错法可以培养学生的探索精神和自主解题能力。
小学数学常见的数学思想方法多种多样，每种方法都有其独特的特点和适用范围。
学生在学习数学时，可以根据问题的性质和自己的思维特点选择合适的方法，培养灵活运用数学思想方法的能力。
通过不断练习和思考，学生可以提高数学思维能力，更好地理解和应用数学知识。
数学思想方法在排列组合中的应用+++
数学思想方法在排列组合中的应用安徽李庆社排列组合中的数学思想方法主要体现在如下几点，举例说明如下，供同学们参考。
（1）分类讨论的思想许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从一个不同的侧面，把原问题变几个小问题．分而治之，各个击破．【例1】已知集合和集合各含有12个元素，含有4个元素，求同时满足下面两个条件的集合的个数：（1），且中含有3个元素；（2）（为空集）．分析：该题是1986年的高考题，可算是高考试题里“数数”问题第一例，此题单纯利用集合的概念及运算显然无法解决，如图所示，中的三个元素的取法不只一类，可考虑分类解之．解：因为、各有12个元素，含有4个元素，所以中元素的个数是（个）.其中，属于的元素有12个，属于而不属于的元素有8个，要使，则组成中的元素至少有一个含在中，集合的个数是1）只含中1个元素的有个．2）含中2个元素的有个；3）含中3个元素的有个.故所求的集合C的个数共有++=1084（个）．（2）等价转化的思想很多“数数”问题的解决，如果能跳出题设所限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，从而使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局．①具体与抽象的转化【例2】某人射击7枪，击中5枪，问击中和未击中的不同顺序情况有多少种？分析：设击中用“1”表示，未击中用“0”表示，那么我们考虑的问题就转化为下列问题：数列、、、、、、中有5项是1，两项是0，不同的数列数目有多少个？解：（1）两个“0”不相邻的情况有种．（2）两个“0”相邻的情况有种．所以，击中和未击中的不同顺序情况有（种）．②不同数学概念之间的转化【例3】连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线的有多少对？分析：正面求解或反面考虑（利用补集）虽然可行，但容易遗漏或重复．注意到这样一个事实，每一个三棱锥对应着3对异面直线，因而转化为计算以正方体的顶点为顶点，可以组成多少个三棱锥？解：从正方体的8个顶点中任取4个，有种取法，其中4点共面的有12种（6个表面正方形，6个对角面长方形）．将不共面的4点构成一个三棱锥、共有个三棱锥，每个三棱锥确定了3对异面直线，因而共有=174对异面直线．③情景迁移转化【例4】在的展开式中的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．800分析：这是1992年高考题，表面看，题目并非要求“数数”，但如果我们将情景迁移，便可转化为“数数”问题，解：根据多项式的乘法法则，不妨将看作是五个相同的口袋，每个口袋都装有三个不同颜色的球：、、；依次记为黑、白、红球，于是可得下面的做法：先从五个口袋中的一个口袋取出一个白球（），有种取法，然后从乘下的四个口袋中各取出一个红球（2），有种取法，则得含的项为，其系数为，故选B．点评：利用此法可准确、迅速地解决如下列一般的问题：展开式中含项的系数（其中）是，.在这里，精巧的构思转化发挥了令人振奋的作用．④分解（分组）转化【例5】从集合中任取3个元素作为直线中的，其中，那么不同的直线共有多少条？解：考虑到，构造行列表如下：第1行：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12第2行：2 4 6 8 10 12第3行：3 6 9 12易知第2、第3行中任三数作出的直线必与第1行中对应的三个数作出的直线相同，故不同的直线共有条.3、数与形的转化的思想【例6】设，从A中任取两个元素作为虚数的实部和虚部，则能组成模大于5的不同虚数的个数为多少？解：由题设知且；根据复数模的几何意义，结合补集思想，只需求出以为圆心，5为半径的圆上及圆内以中元素为横纵坐标的点的个数，然后从中所有元素组成的不同复数对应的点中去除即可．如图所示，圆内及圆上的点有（个）（不含实轴上的5个点）．则圆内圆外及圆上共有（个）点（不含实轴上10个点），所以满足题设的虚数共有（个）．4、构造模型思想证明组合恒等式，一般是利用组合数公式，组合数的性质，数学归纳法，二项式定理等，通过适当的计算或化简来完成．但是很多恒等式，也可以直接利用组合数的定义来证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等即可证出要证明的组合恒等式．如，组合数的两个性质①，②在课本中给出了利用组合数定义的解释证明．【例7】证明。
排列组合的教学与数学思想的渗透
手 ，其 实 如果 教 师 注意 引 导 学 生复 习异 面直 线 与 四面 体 的有 关 概 念 后 ， 难 发 现 ： 个 四面 体确 定 了 ３ 异 面 直 线 。 这样 不 一 对
将 陌 生转 化 为 熟悉 呢 ？ 回答 是 可 以 的。
等， 所以甲站在乙之前的排法共有－ ｝ 种。总之 ， 先研究特殊
简单 情形 进 而再 来 研 究 复 杂抽 象 问 题 的方 法 就 是 渗 透 了 “ 退
中求 进 ” 想 。 思
例 １ 空间 ２ ０个点 ， 取其 中 ４个点 ， 最 多 可 以构 成 几 任 问
成效 。
对 于这 个 问题 ， 生 也许 一 下 子被 “ 个人 ” 学 ｒ ｔ 的抽 象 不定 所 困惑 ， 思 维受 阻 ， 使 其实 ， 不 防 引导 学 生 “ 先 退一 步 ” 研究 当 ｒ ， ｔ ＝
１ 渗透 “ 转化变 更” 思想
排 列组 合 为 什 么难 教 呢 ？原因 之一 是 内 容抽 象 ， 师如 果 教 强行采用填鸭式教学 ， 生最多也只能一知半解 ， 果不佳 ， 学 效
找 出解 决 问题 的突 破 口。 例 ２ 设 Ｓ是 平 面 上 的点 （ ，） （ ｋ） 集合 ， 中 ： ，３的 其
个 潜 移 默 化 、 环 往 复 、 步提 升 的认 识 过 程 ， 需 要 我 们 循 逐 它
在各 个 教学 环 节 中 去 认 真地 加 以挖 掘 、 提炼 和渗 透 ， 能 取 得 方
个？ ， ”这已是一个简明的组合问题， 其解为ｃ一： （ 。 ： １９个） 由此
可 知渗 透 “ 化变 更 ” 想是 十 分 必要 的 。 转 思
例谈排列组合中的数学思想方法
例谈排列组合中的数学思想方法作者：程勇来源：《新课程·教研版》2010年第19期在排列组合中蕴含着许多数学思想方法,诸如化归思想、对称思想、分类划分思想、整体思想、函数思想、逆反思想等,本文就这些思想举例说明.1.化归思想前苏联数学家雅诺夫斯卡娅在回答“解题意味着什么”时说“解题——就是把所要解决的问题转化为已经解决的问题”,可见化归是重要的解题策略和思维方式。
从广义上说,数学的推理、演绎的过程就是不断的地优化的过程.例1.(1993年全国高考题)同室四个人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()A.6种B.9种C.11种D.23种解析:用化归思想建立数学模型转化为数学问题:“用1,2,3,4这4个数字组成无重复的四位数,其中1不在个位,2不在十位,3不在百位,4不在千位上的四位数有多少个?”那么这个问题就可以利用乘法原理进行求解.首先,在第1号方格里填写数字,可填上2、3、4中的任一个数,有3种填法;其次,当第1号方格填写的数字为i(2≤i≤4)时,则填写第i种方格的数字,有3种填法;最后,将剩下的两个数填写到空着的两个空格里,只有1种填法(因为剩下的两个数中,至少有1个与空着的格子的序号相同).因此,根据乘法原理,得不同填法为3×3×1=9,故选B.2.对称思想对称是美的一种形式,对称思想在数学中有广泛应用,挖掘数学问题中隐含的对称性,运用对称思想解题,往往得到出人意料的简捷的解法.例2.(1990年全国高考题)A,B,C,D,E五个人并排站成一排,若B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同排法共有()A.24种B.60种C.90种D.120种解析:(1)可以先用常规解法分类法求解①A在左边第一位时有4!种排法;②A在左边第二位时有P313!种排法;③A在左边第三位时有P322!种排法;④A在左边第四位时有3!种排法.∴共有4!+P313!+P322!+3!=60(种)故选B.(2)用对称法。
排列组合中的数学思想
（ ： ＝ ； Ｃ ） Ｃ ．
比较 两端 展开式 中 的系数 即可 ， 由于
解析 ： 构造组 合模 型 ， 设想 一只 口袋 内有 ｎ个 不 同的红球 和 凡个 不 同的 白球 ， 这 ２ 从 个球 中任取 ／ ｇ －
（ ＋ （ ） １ ） １＋ ＝（ ：＋ｃ ＋ｃ ＋… ＋ ｃ Ｃｘ） ｃ ＋ ＋ ＋ ＋ ： ） 的系数为第 ： （： ｃ ｃ … Ｃｘ ，
分别写在每张卡片上 ， 先从 中任取 ３张排成一个三 位数 ， ６可当 ９用 ， 若 问可组成 多少个不 同的三位 数？ 解析 ： 以下 两种 情况 ： 有
解 析 ：ｔ （） 示这 ５位 同学无 限制条 件 时 的 － ，表 ３ ￣ｎ 全 排 列种数 ，（ 、，Ｂ） Ｃ） 别 表示 Ａ站 在排 ｎ Ａ） ｒ ｌ 、（ 分 （ 头 、 在 排尾 、 Ｂ站 Ｃ站在 中间的 排列 种数 ，，ＡｎＢ） １ ７ （ 、
１ ＢＯＣ 一 （ Ｏｃ ＋ （ Ｂ ） ７ ， （ ） ｎ Ａ ） ｎ ＡＡ Ｏｃ ］
＝
； ３ ： ３； Ａ 一Ａ ＋ Ａ ～ ；
＝
６ ４．
和 ｃ区不相邻 ， 它们可 以同色 ， 也可异色 ， Ａ区和 ｃ 区的涂色状况影响着 Ｄ区的选色种数． 故应按 Ａ区 和 Ｃ区是否同色（ 这一标准 ） 分类来解决．
般 地说 ， 用集合法解含有附加条件的排列组 合问题 ， 容易对 问题进行科学分类 ， 能够避免重复或
一
遗漏 现象 发生．
所有符合条件的涂色方法分两类 ： 区和 ｃ区 同色 ， 时 Ａ， Ｃ， 此 Ｂ， Ｄ各个 区域可 选颜色种数分别为 ５４ １４ 故有 ５Ｘ １ ４＝ ０ ，， ， ， ４× × ８
ｒ Ｂｎｃ 、，ＡｎＧ 分 别表示 Ａ站在 排头 且 站在 ｔ ， （ ）１ １ （ ） 排尾、 Ｂ站在 排尾且 Ｃ站在 中间 、 Ａ站排 头且 Ｃ站在
高中数学排列组合问题中的数学思想探究
2019年6月解法探穷一.WX高中数学排列组合问题中的数学思想探究!江苏省吴江中学苗春兰排列组合问题不涉及新的计算方法，但是对思维能力的要求较高.要想学好这部分内容，学生需要掌握基本概念及基本原理,在日常学习中总结常见问题及相应的方法技巧,提高学习效率.在解决排列组合问题时,首先需要看清题目要求,辨别究竟是“排列”问题还是“组合”问题,选用准确的计算方法，而不是盲目套用计算公式.因此需要对高中排列组合问题的常见形式及相应解法进行总结，从而提高学生的求解速度与准确率.-、常见问题及原因分析1.理论知识薄弱排列组合包含“排列”和“组合”两类问题，涉及的思维及计算公式存在较大差别.很多学生在审题时往往会产生混淆,无法正确区分问题类型,进而导致计算公式的选用错误,最终导致结果错误.2.计算不当虽然排列组合问题重点考查的是学生的思维能力，计算层面并没有涉及新的方法，但是很多学生在计算时粗心大意，经常出现重复计算或者遗漏数据的问题，导致失分甚至是不得分.3.重要条件遗漏排列组合问题的情境较为多样，问题形式变化较多，在求解过程中一个符号的改变有可能就会改变计算条件，使得整个计算过程偏离原有的分析思路.在审题阶段如果出现问题，那么就很容易遗漏重要的已知信息,导致“排列”或是“组合”类型的判断失误，最终无法正确求解出问题的结果.二、排列组合中的数学思想探析1.分类讨论分类讨论思想的核心就是根据对象某一维度的差异性进行类别的划分，分类的关键就是分类原则的确定.在解决排列组合问题时，如何准确对所有可能的情况进行分类是这一类方法的关键，如果类别划分不当，学生很容易发生重复或者遗漏数据的问题;反之，如果类别划分合理，就会将复杂的问题简单化，既不重复，也不遗漏，准确求解出最终结果.案例1盒子里面有8个大小完全相同的小球，其中红色、黄色、蓝色各1个，分别表示一等奖、二等奖和三等奖，剩下5个为白色，表示不获奖.现将这些小球平均分给4个人，试讨论获奖情况.分析：由已知条件可知，每个人会得到两个小球，可以进行如下分类：（1）有一个人获得两个奖，一个人获得一个奖，剩下的两个人没有获奖；（2）有三个人分别获得一个奖，剩下的一个人不获奖.在进行分类处理时，不考虑内部的具体排布，因此上面的两种类别就可以将所有情况包含其中.接下来就是针对每一种类别展开计算.解Q1）首先是从小球的角度考虑，从三个有奖的小球里面挑出两个，放在"位置，共有C2=3（种）可能,$位置为剩下的一个有奖小球及一个无奖小球,C、D位置各两个无差别的无奖小球；接着从抽奖人角度考虑,"、$位置为有奖，从4个人里面选2个出来，并且结果具有差异性，因此是排列问题，即A*=12.剩下的两堆无奖小球无差别,不存在先后顺序.因此共有C2A*=36（种）不同的获奖可能.（2）从四个人里面挑出三个去分别获得不同的奖项，剩余的一个人置后考虑，不存在先后影响，因此共有A*=24（种）可能.综上所述，共有60种不同的获奖情况.2.数形结合数形结合是一种常见的数学思想方法，在排列组合问题中也是如此，学生需要根据题目中的已知信息绘制相关图形来辅助思维，达到准确、快速解决问题的目的.案例2假设有一平面，面上共有10个点，其中有4个点共线，除此之外不存在任何3点在同一直线上.试分析过其中的两点作直线，一共能画出多少条不同的高中彳•了裂：•■?67解法探究2019年%月直线.分析:绘制直线的实质就是寻找到所有不同的两点组合,分析题干信息可知,这些点中，共线的4个点比较 特殊，对于其他的%个点而言，由于不存在多点(大于2) 共线的问题，因此彼此之间可以看成是相同的情况，只 需要考虑其中一种就可以.因此，在绘制示意图时，选择共线的4个点及直线外的2个点进行分析，如图1所示.解：采用分类的思想可以知道,所连直线共存在以下几种情况：(1) 由共线4点确定的直线，易知只存在1种情况；(2) 由共线4点中的1个点与其他%个点连成直线，共有C 'C '=24(种)可能；0)由共线4点外的点连成直线，共有C 2=15(种)可能.综上所述，结合加法原理可知，共可以绘制i +C 4C+C 2=4 0(条)不同的直线.3.递推排列组合问题在解决时经常会用到分步计数原理， 进而确定计算表达式进行求解，这其实就是一种递推的思想!案例3学校教学楼门口的楼梯共有9级，假设上楼梯时最多只能一次跨3个台阶，试求解共有多少种不同的爬楼梯方法.分析:假设走到第"个台阶共有%($)种方法，如果第一步爬1个台阶，那么剩下的$-1个台阶共有($-1)种方法;如果第一步爬2个台阶，那么剩下的$-2个台阶共有% ($-2)种方法；如果第一步爬3个台阶，那么剩下的$-3个台阶共有s($-3)种方法.易知s($)=s ($-1)+s ($-2)+%($-3)且满足%(1) = 1，即第一步爬1个台阶;％(2)=2，即第一步、第二步分别爬1个台阶或第一步爬2个台阶这两 种情况"⑶=4,即每次爬1个台阶、一次性爬3个台阶、第一步1个台阶第二步2个台阶或者第一步2个台阶第二 步1个台阶这四种情况.解：由上述分析可知：s (4)=s (3)+s (2)+s(1)=4+2+1=7；s(5)=s (4)+s (3)+s (2)=7+4+2=13;s(6)=s(5)+s (4)+s (3)=13+7+4=24；s (7)=s(6)+s(5)+s (4)=24+13+7=44； s (8)=s (7)+s(6)+s(5)=44+24+13=81; s (9)=s (8)+s (7)+s(6)=81+44+24=149.综上所述，共有149种不同的方法爬上这个9级台阶.三、结束语实际上，学生接触排列组合的知识并不是始于高 中，早在小学时就已经接触过基础的计数问题.到高中 阶段，问题情境更多样，难度也更大.总体来说，排列组合问题比较灵活，本文列举的只是其中的几种思想方法,诸如对称思想、类比思想、集合思想等也具有较强的适用性.在教学过程中，教师要注意两条线共同推进，即 教材知识、方法技能的讲授这一条“明线”与数学思想的融入这条“暗线”，以此培养学生深入思考的习惯，提升学生的创新思维能力.具体来说，排列组合问题对学生的思维能力要求较高，问题形式灵活多样.在解题过程中，学生常见的问题有两个，一是判断错“排列”或是“组合”问题类型，方法选用错误;二是计算不仔细，出现“重复”或是“遗漏”.因此，在日常学习中,学生要对常见的问题进行归纳总结，抽象成模型，同时要强化计算能力.作为教师，在教学环节需要凸显数学问题的本质，引导学生探索排列组合问题包含的数学思想,只有这样学生才能对这一类问题产生更深层次的理解，进而科学区分“排列”或是“组合”这 两种问题类型，同时也能强化学生的学习与思维能力，促进学生的全面发展.参考文献：[1] 尹爱国.高中数学排列组合解题技巧探究[J ].高中数理化，2015(8).[2] 徐辉梅.高中数学排列组合解题技巧研究[J ].高中数理化，2014(22).[3] 谢9欣.高中数学中排列组合问题的实际应用[J ].数学学习与研究，2017(19).[4] 李斑.高中数学排列组合问题的教学策略[J ].数学学习与研究，2013(9).[5] 高九明.浅谈高中数学排列组合解题方法[J ].课程教育研究，2017(40).[%]周淑清.高中数学“排列组合”教学现状及优化策略[J ].知识窗(教师版)，2016(4).应68 彳•了裂:7高中。
解决排列组合问题的几种思想
解决排列、组合问题的几种思想刘星红排列、组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，解答排列、组合问题，首先要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时还要注意讲究一些策略和技巧，恰当地运用数学思想，可以使一些看似复杂的问题迎刃而解。
本文就解决排列、组合问题的常见思想简单归纳如下。
一. 主元思想主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑，抓住主要矛盾，从而达到解决问题的目的。
例1. 某单位安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙2人都不安排在5月1日和5月2日，则不同的安排方法有多少种？解析：确定特殊对象，找出主元，优先考虑主元。
可优先安排甲乙2人有A 52种安排法，再安排其他5人，有A 55种安排法，这样共有A A 52552400=（种）安排法。
二. 分类思想分类思想，就是当问题中的元素较多，取出的情况也较多时，可按要求分成互不相容的几类情况，从而避免遗漏和重复，使问题顺利得到解决。
例2. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给行政区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。
现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有多少种？解析：因区域2和4、3和5不相邻，故分两类： （1）当2和4同色，3和5同色时，着色方法有A 43种；（2）当2和4、3和5其中之一同色时，着色方法有C C A 214133种。
这样着色方法共有A C C A 4321413372+=（种）。
例3. 某学校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？ 解：由题意知，甲和乙不同去分为三种情况：（1）甲去乙不去，丙去，则不同的选派方案有C A 5244240·（种）=； （2）甲不去乙去，丙不去，则不同的选派方案有C A 5344240·（种）=；（3）甲、乙都不去，则丙不去，此时不同的选派方案有A 54120=（种）。
排列组合原理思维方法
排列组合原理思维方法在数学中，排列组合原理是一种重要的思维方法，广泛应用于各个领域。
它通过计算不同元素之间的排列和组合方式，帮助我们解决各种问题，如概率计算、组合优化等。
本文将介绍排列组合原理的基本概念和应用方法。
首先，让我们来了解一下排列和组合的概念。
排列是指从给定元素中选出若干个进行排列，注意顺序，即考虑元素之间的位置关系。
组合是指从给定元素中选出若干个进行组合，不考虑元素之间的位置关系。
这两个概念是排列组合原理的核心。
在排列中，我们首先需要确定元素的总数和每个排列中元素的个数。
然后，通过计算逐个位置的可能情况数，并将其相乘得到总的排列数。
例如，对于元素集合{A，B，C}，要求选出2个元素进行排列，第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择，因此总共有3*2=6种排列方式。
在组合中，我们只需确定元素的总数和每个组合中元素的个数。
通过计算不同元素的可能组合数，并将其相加得到总的组合数。
与排列不同，组合不考虑元素的位置关系。
例如，对于元素集合{A，B，C}，要求选出2个元素进行组合，共有3种方式：{A，B}、{A，C}和{B，C}。
通过排列组合原理，我们可以解决各种实际问题。
例如，计算概率时，可以利用组合的思想计算出不同事件之间的可能性。
在组合优化问题中，可以利用排列组合方法确定最优解。
此外，排列组合原理还被应用于密码学、图论和组合数学等领域。
在使用排列组合原理时，需要注意一些细节。
首先，要正确理解排列和组合的定义，确保问题的要求与所使用的方法相符。
其次，要注意对重复元素的处理，避免重复计算。
另外，排列组合问题的求解思路要灵活，可以通过转化、化简等方法简化计算过程。
综上所述，排列组合原理是一种重要的思维方法，它通过计算不同元素之间的排列和组合方式，帮助我们解决各种问题。
我们需了解排列和组合的定义，掌握计算方法，并在实践中灵活运用。
通过合理运用排列组合原理，我们可以更好地理解和解决相关问题，提高数学思维能力。
用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题
用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题导读：本文用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题万海芬（怀仁县第一高级职业中学）排列组合属于数学中相对独立的一门分支学科，它研究的核心问题是在给定条件下的某事件可能出现的情况总数。
排列组合既是学习概率论与数理统计的理论基础，又是组合数学中最基本的概念。
由于排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思想抽象，难以找到解题的突破口。
因而在求解排列组合应用题时，除了做到排列组合分清，加法乘法原理辩明外，还应注意避免重复或遗漏。
在排列组合问题中，除了最直观的捆绑法和插空法外，还有常用的幂指法等。
这里，主要讨论分类的数学思想解决能用幂指法解决的问题。
幂指法属于分步法的一种特殊情况，完成目标事件的每一步方法的个数是相同的，即m1=m2=…=mn=m那么总数N=mn,因此我们也可称它为乘方原理。
幂指法一般出现于允许重复的排列问题中。
这类问题研究的对象是不受位置约束的元素，一般把n个不同的元素无限制地安排在m个不同的位置上的排列数为N=mn.不难看出这类排列问题允许空位的存在。
并且每一个位置中的元素个数不受限制。
所以我们可以根据位置的数量进行分类。
例：把三名实习生分配到5个车间实习，共有多少种不同的分法？利用幂指法解：每名实习生都有5种不同的分法。
所以3名实习生共有53=125（种）不同的分法。
利用分类的数学思想去解，根据所选车间的数量进行分类。
第一类：只选一个车间实习。
从5个车间中任选一个车间，3人同去一个车间有C51C33=5（种）分法。
第二类：选两个车间实习。
首先从五个车间中任取两个车间，有C52种取法。
针对每取出的两个车间又各有几种分配方法，不妨以取到1号车间和2号车间为例，（1）1号车间可以去1人。
2号车间去2人。
这时，1号车间的1人来自已有的3人，余下的2人去2号车间，有C31C22种分配方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
பைடு நூலகம்
关键词 ： 排列组合 ； 划分性 ； 顺序性 ； 灵活性 ； 变 异 性
一
、
要 抓 住 排 列组 合 问 题 中所 体 现 的 划 分 性 原
则 去 求解 问题
排列组合这 一部 分知识 ， 一开始 给出 了一个 重 要 的原理 ： 即加法 原理和乘法原理 。其 中加法原 理 明确 的告诉 我们 ，对于任何 一个 排列组合 问题 ， 应 首 先根据 问题 的要 求 ， 利用 划分性 原则 ， 把 问题 解 决 中的各种相互独立 的类一 一划分 出来 ， 才 能得到 正确 的求解结果 。因此教学中应充分借助划分性原 理， 通过对 问题的分析教会学生 找到问题解 的各类 彼 此独立的情况 ， 然 后 再 对 每一 类 独 立 情 况 下 的 解 依 乘法 原理加以计算 。如 ： 例 １如 下 图 所 示 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 Ｅ 为 五 块 不 同 的 地 域， 若 要 用 六 种 不 同 的颜 色 去 涂 这 五 块 ， 要 求 相 同 的区域不能用相同的颜色去涂 ， 问有 多少种涂 法？
０
难点 剖 析
数 粤想方法在撕列 舍中的 应 用
■ 高 鲲鹏
摘 要 ：排列组合 应用 问题是不 少学生感到头 痛 的 问题 ， 他 们在 具体处理 时 ， 由于对 问题 的认识 理 解不 到位 ，因而不 能准确 的获 得 问题 求解 的结 果， 那么究 其原 因 ， 除不少学 生对 应用题 缺乏 正确 的分析判断能力 外 ， 还在 于他们不能正确 的应用相 关 的数学思想 和数学方法去处理这一 方面 的问题 ， 下面就 这一部 分的 问题谈谈 数学 的思 想方 法的应
用。
悟概念 中体 现出来的顺序 ， 应认真分 析题意让 学生 明 白问题 的求解应分成哪些相 互关联 的步骤 ， 以便 让学生能依 次有序 的对 问题进 行求解 ，事实上 ， 对 任何 一个排 列组 合问题 在求 解时应 首先 考虑 如何 从 中选 出符 合题意要求 的元素来 ， 然后在选 出元素 后再去考虑是否要对选 的元 素进 行排 队。
四、 要 注 意 应 用 变 异 原 则 求 解 问题
“
一
二、 要 充 分 利 用 排 列 组 合 问 题 中所 体 现 的顺 序
性 原 则 去 求 解 问题
排列 组合 问题是一 个顺 序性 十分明确 的问题 ， 因此教学 中应 充分把 握好 如何 根据 问题 的 内涵 领
排列 组合题 在处 理过 程 中有 一个 值得 研究 的 问题那就是究竟从哪一个 角度 出发 去解 决问题。应 该说 有些 问题 ， 若选择 的切 入角 度得 当 ， 则 问题 的 求解 简便 ， 否 则便会 变得 复杂难解 ， 教学 中应 通过 实 例说 明 ， 应 该怎样 对待一 个 问题进行 认识 ， 以求 找 到解 决它的最优方案 ， 同时要 给出问题从 不 同角 度求解 的情况 ， 让学生通过求解 比较他们的优劣 ， 以 期 达到给学 生会 注意应用变异性原则去求解问题 。
一
顺 序一 ： 先 放１ 号球 人 盒 有 三 种 方 法 ； 顺 序二 ：将 １ 号球安 置入 的盒号 对应 的球 进行 安置 ， 显然有三种方法 ； 顺 序 三 ： 安 置 剩 下 的 两 个 球 入 盒 只 有 一 种 方 法 。故 ３ ｘ ３ ｘ ｌ ＝ ９ ； 但 由于直接 法处理时 的顺 序二学生 不易考 虑 ， 因此 此 问题 通 常 采 取 间接 法处 理 如 下 ： 间接法 ：不考虑要求 将编号 １ ， ２ ， ３ ， ４ 的球放入 编号 为１ ， ２ ， ３ ， ４ 的盒子 内，每一 个盒子 内放一个球 的方法 为２ ４ 种， 其 中不合要求 的情况有 ： （ １ ） 四个 球 的球 号 与 四个 盒 的 盒 号 全 对 应 的情 况有 １ 种； （ ２ ） 两 个 球 的 球 号 与 两 个 盒 的 盒 号 对 应 而 另 两 个 不对应的情况有６ 种； （ ３ ） 一个球 的球号与一 个盒 的盒 号对应而另 三 个 不对应的情况有８ 种； 故 该问题共有２ ４ 一 ｌ ＿ ６ — ８ ＝ ９ 种解法 。 相 比之 下 ， 间接 法要好一 些 ， 因此 间接法 处理 问题 是排列组合 问题求解 时一种十分重要 的方法 。
直接法 ：
Ｂ
ｃ
Ｅ
分析 ： 依题要求 。完成 符合题意要 求的涂法 有 三类相互独立 的方案如下 ： 分类方案之一 ： 五块区域用五块不同的颜色去涂 ； 分类方案之二 ： 五块区域用 四中不同的颜色去涂 ； 分类方案之三 ： 五块区域用三种不同的颜色去涂 ； 应该说 ， 如果数学 中通过分析 能够教会学 生 自 己划分这 些彼此独立 的涂 法 ， 那 么问题 的求解 便有 了一 个 良好 的开端 了。当然利用划分性原则对问题 的各 种彼此独立且各成 一支的情况进行 划分时 ， 须 严格 注意两条原则 ： ①不重复② 不遗漏 。这 也就是 切 可 能 成 为 解 决 问题 的 独 立 情 况 中 的 “ 独立 ” 及 切” ， 对于此二点划分 时须 确认 一个划分 的标准 亦即“ 立 足点” 。如 例１ 中五块 区域所涂 的颜 色不 能 相 同， 一旦标准明白了， 划分成那些“ 类” 也就明白了。
Ａ
在排列 组合问题 的求解 中 ， 常常使用 的方法是 “ 直接法 ” 和“ 间接 法”， 但 是就一个具体 问题而 言 ， 究 竞选用 这两种 方法 中 的哪一种 却会使 我们 的求 解 过程繁易不 同 ， 因此教学 中应 着重说 明这两种方 法 的使用要点和 大致 使用范 围， 并通过 实例分析探 究 具体问题在使用这 两种方法求解 时的优劣情 况 ， 以教会 学生会 根据具 体 问题灵 活选用 某一 种方法 去简明的求解问题 。如下例 ： 例２ 四个 编 号 为 １ ， ２ ， ３ ， ４ 的 小 球 放 入 编 号 为 １ ， ２ ， ３ ， ４ １ ￣ ４ Ｊ 四个盒子里 ， 每个 盒子放一个小球 ， 求球 号 与 盒 号 均 不 对 应 的方 法 有 多 少 种 ？