福建省福州市2020届高三5月调研卷理科数学试题

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(详解版)福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案

A.①②③
B.②③④
C.①②
D.③④
【答案】C
【解析】①根据题图中的数据，可得 2012-2018 年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以①
正确；
理科数学详解（第 2 页共 15 页）
②2013-2015 年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加，所以②正确； ③中国雪场 2015 比 2014 年增加的滑雪人数和 2018 年比 2017 年增加的滑雪人数均为 220 万人，但 2015 年的同比增长率比 2014 年提高了 7%，2018 年的同比增长率比 2017 年降低了 3.3%，所以③错误； ④2016-2018 年，中国雪场滑雪人数增长率为 1970 1510 100% 30.5% ，所以④错误.
A B
且 x 时， f (x) ； x 时， f (x) 0 ， M
O
作出 f (x) 的大致图象，如图. 设 g(x) a(x 1) ，g(x)
2
3
x
恒过定点 M (1, 0) ，设 A(2, 4 ), B(3, 9 ) ，结合图象可知需考虑 AM ， BM 斜率 .因为
2π )
的周期为
2π
，图象向右平移
1
个周期后得到的函数为
g
(
x)
，
3
3
2
则
g(x)
2 sin[3( x
π )
2π ]
2 sin(3x
π )
，由 3x
π
kπ
π
k
Z
，得
33
3
3
2
x kπ 5π k Z ,取 k 1，得 x 11π ，故选 D.
3 18
18

【终稿】福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案

福州市2020届高三理科数学5月调研卷参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 2．B 3．A 4. C 5. C 6．C 7. C 8. B 9. D 10. A 11. B 12. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 6 14. 22163x y += 15．4，164n -π三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．【解析】（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b cA B C==得222a c ac b +-=， ················································ 2分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， ····················································· 4分 0180B ︒<<︒Q ，60B ∴=︒. ·············································· 6分（2）连接CE ，如右图，D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE ∴sin DE CE AE A ∴===， ············································· 7分在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BC B BEC A ==∠，22sin cos A A=，cos A ∴， ·············································· 8分 0180A ︒<<︒Q ，45A ∴=︒， ·································································· 9分 75ACB ∴∠=︒，30BCE ACB ACE ∴∠=∠-∠=︒，90BEC ∠=︒，CE AE ∴==1AB AE BE =+=， ············································· 11分1·2ABC S AB CE ∴=△. ································································· 12分18. 【解析】（1）证明：因为AB EF ∥，AB BC ⊥，所以EF BC ⊥．··················································································· 1分取CD 中点为G ，连接FG ，所以142CG DG CD ===，因为CD EF ∥，4EF =，所以CG EF ∥且CG EF =，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE GF ∥，且4CE GF ==. ··················· 3分因为DF =222DG GF DF +=，所以DG GF ⊥，所以CD CE ⊥， ···························································· 4分因为CD EF ∥，所以EF CE ⊥．因为BC CE C =I ，所以EF ⊥平面BCE ． ················································ 5分（2）由（1）知，EF ⊥平面BCE ，因为CD EF ∥，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB u u u r 、CD uu u r的方向为x轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -所以(8,0,4),(8,0,0),(((0,0,8),A B E F D --所以(8,0,4),(4)AD AE =-=--u u u r u u u r，设平面ADE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ， ···················································································· 7分所以111118401040x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取11x =，则n =r， ··································································· 8分设平面ADF的法向量为222(,,)m x y z =u r ，因为(AF =-u u u r，所以00AD n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r， ················································································· 9分所以2222840100x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21x =，则m =u r ， ································································ 10分所以14cos ,n m +<=r u r， ························· 11分所以二面角E AD F --． ··············································· 12分19.【解析】（1）由已知可设C 的方程为22(0x py p =>），则12p=,得2p =，所以C 的方程是24x y =. ········································································· 2分（2）设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以14AO x k =，24BO x k =,所以直线AO 的方程是：14x y x =,由142x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，184M x x ∴=-，同理由242x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，284N x x =-， ····························································· 4分所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x ---=---++，①······ 5分设:1AB y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-，12||x x ∴-，代入①得||MN == ······································ 7分设43,0k t t -=≠，则34tk +=，当0t >时，||MN == ······················ 9分当0t <时，4|||5MN ===，当253t =-时，||MN，此时43k =-； ······························· 11分综上，||MN. ······························································· 12分20.【解析】（1）()12cos f x x '=-， ······························································· 1分由()0f x '>得1cos 2x <，解得π5π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ），由()0f x '<得1cos 2x >，解得π03x <<或5π7π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）4分所以()f x 的单调递增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（k ∈N ）；()f x 的单调递减区间为π(0,)3和5π7π(2π,2π)33k k ++（k ∈N ）. ················ 5分（2）要证当0x >时，2()e x f x ->，即证当0x >时，2()(12sin )e 1x g x x x =+->， ············································ 6分 222()2(12sin )e (12cos )e (324sin 2cos )e x x x g x x x x x x x '=+-+-=+--， ····· 7分令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-…，()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >， ······························································ 8分所以324sin 2cos 32sin 4sin 2cos 32(sin cos )x x x x x x x x +-->+--=-+π3)04x =-+>， ································· 10分所以()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g >=， ··················· 11分故当0x >时，2()e x f x ->. ···································································· 12分21.【解析】（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”，事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”，事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+=. ···································· 4分（2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， ··············································· 6分所以()(1)(1)1(1)1(1)n n nE P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以1*(1)1()n P n n=-∈N ； ···················· 8分 (ii)141e P -=-,所以4()1en E n n η-=+-⋅，所以4(1)en n n n -+-⋅<， ···················· 9分所以ln 04n n ->，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44xf x x x-'=-=，当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增；当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ·························· 11分又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈⨯->，999(9)ln92ln32 1.100444f =-=-≈⨯-<，所以n 的最大值为8. ··········································································· 12分22.【解析】（1）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=，化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=. ···························· 3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0x m -=. ····························· 5分（2）设(2cos )P θθ，由点到直线的距离公式得π|)|||m PQ θ+-==····································· 7分由题意知0m ≠，当0m >时，min ||2PQ ==，得m =， ···························· 8分当0m <时，min ||2PQ ==，得m =- ························· 9分所以m =m =-. ··················································· 10分23.证明：证法一、（1）由条件1abc =得222222111111111()()a b c a b c a b c bc ca ab++-++=++-++ 222222222222a b b c c a a bc b ca c a a b c b +---+=， ··················· 2分由二元基本不等式可得222222a b c a c a b +…，222222a b b c b ac +…，222222b c c a b c a +…，（等号成立当且仅当1a b c ===），将上述三个不等式相加，从而2222222222220a b b c c a a bc a b ca c abb c +---+…， ················································ 4分得证222111a b c a b c ++++„. ··································································· 5分（2）由条件1abc =得 111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++， ············· 8分由三元基本不等式得3ab bc ca ++=…（等号成立当且仅当1a b c ===），从而得证1111222a b c+++++„. ··························································· 10分证法二、（1）因为,,a b c 为正数，且满足1abc =，欲证222111a b c a b c ++++„，只需证222abc abc abca b c a b c++++„，即证bc ca aba b c a b c ++++…. ··································································· 1分因为2bc ca c a b +?，（当且仅当a b =时取等号） ···························· 2分2ca ab a b c +=?，（当且仅当b c =时取等号）2bc ab b a c +=?，（当且仅当c a =时取等号） ····························· 3分将上述三个不等式相加，得222bc ca ca ab bc abc a b a b b c a c+++++++…，（当且仅当1a b c ===时取等号） ·········································································· 4分即bc ca aba b c a b c++++…成立，所以原不等式成立. ·············································································· 5分（2）略，同证法一.。

2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)含答案解析

A．1
B．2
C．3
D．4
数学试题（第 1 页共 6 页）
4. 某种疾病的患病率为 0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%，则
患该种疾病且血检呈阳性的概率为
A．0.495%
B．0.940 5%
C．0.999 5%
D．0.99%
5. 函数 f x ex x2 2x 的图象大致为
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分． 17. （本小题满分 12 分）
已知数列 an 和bn 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ， a1 2 ， b1 1，且 an1 a1 2Tn ．
成角的余弦值为
．
15. 在 △ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 2sin2 A cos B 1 ，则 c 的取值 ba
范围为
．
16. 已知梯形 ABCD 满足 AB ∥CD,BAD 45 ，以 A, D 为焦点的双曲线经过 B,C 两
点．若 CD 7 AB ，则的离心率为
用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13. 已知向量 AB 1, 2 ， CB 2,5 ， MN t,1 ．若 AC ∥ MN ，则实数 t
．
14. 正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为 BC1 中点， Q 为 A1D 中点，则异面直线 DP 与 C1Q 所

福建省福州市2019-2020学年高三5月调研卷理科数学试题

福建省福州市2019-2020学年高三5月调研卷理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2|931A x x =-<，{}|2B y y =<，则()R C A B =I （） A ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．∅ C ．22,,233⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U D ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（）A B C ．D ．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a = A ．99 B ．101 C ．2500 D ．4592⨯ 4．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为( )A ．1:2B ．1:4C ．1:)1D ．1:(3- 5．()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 则3a =( )A ．40B ．40C ．80D ．80- 6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是( )①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④7．7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入m =10，则输出的S =（）A ．100B ．140C ．190D ．2508．若1451314,log 12,log 9a b c ===，则（） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 9．将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是( )A ．π18x =B ．π6x =C ．7π18x =D ．11π18x = 10．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为( ) A ．5 BC ．53D ．5411．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n =+-（*N n ∈），则22n nS n -的最小值为( )A ．2-B ．1-C ．23D ．312．若关于x 的不等式()210x ae x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为( )A ．241[,)32e e B ．391[,)42e e C ．391[,]42e e D ．3294[,)43e e 13．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，2a =r ，3b =r ，则32a b -=r r __________.14．椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，焦距为点E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc（c 为半焦距），则C 的方程为__________. 15．已知点(,)P x y 满足14x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_________.16．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球nO 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________.17．如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，交AB 于点E ，且2BC =，DE =.（1）求B ；（2）求ABC △的面积.18．如图，在五面体ABCDEF 中，////AB CD EF ，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，DF =（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值.19．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.20．已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：2()x f x e ->.21．某医药开发公司实验室有()*n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.(1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；(2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤.若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η.(i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii )若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ|的最小值为2，求m 的值． 23．已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：（1）222111a b c a b c ++++„；（2）1111222a b c+++++„.参考答案1．C【解析】【分析】先化简集合A ，求出R C A ，即可求出结果.【详解】由题意得，2233A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则2233R C A x x x ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭或， ∴()22,,233R C A B ⎛⎤⎡⎫=-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭I U . 故选:C .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可.【详解】 4312i z i +===- 故选：B【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.3．A【解析】依题意212d a a =-=5549a S S =-=50545945299a a d ∴=+=+⨯=故选A4．C【解析】【分析】分析被平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比再求解即可.【详解】因为截面面积与底面面积之比为1:2,且面积是平方的关系,故平面截取后小棱锥与大棱锥的相似比为1:故小棱锥与大棱锥的高比值也为故此棱锥的高被分成的上、下两段之比为1:)1.故选：C【点睛】本题主要考查了立体几何中相似比的问题,需要注意高为一维的量,面积为二维的量,体积为三维的量,故若立体图形的相似比为1:a ,则高的比为1:a ,各面积的比为21:a ,体积比为31:a .属于基础题.5．C【解析】【分析】将()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 化为 ()525012521t a a t t a t a +=++++L ，利用展开式的通项求解即可.【详解】Q ()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1=x t -，则=1x t + ∴()525012521t a a t t a t a +=++++L ，()521t +展开式的通项为：515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，2r =，所以23335(2)80T C t x ==，所以380a =.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.6．C【解析】【分析】根据图中条形统计图与折线图的实际意义分析逐个判定即可.【详解】对①,由条状图可知, 中国雪场滑雪人数逐年增加正确.故①正确.对②, 2013-2015年,中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加正确. 故②正确.对③,中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人,但2018年同比增长率为0012.6,相比 2017年同比增长率为0015.9有所下降.故③错误.对④, 2016-2018年,中国雪场滑雪人数的增长率为001970151030.51510-≈.故④错误. 故①②正确.故选：C【点睛】本题主要考查了根据图表分析所给结论是否正确的问题,需要注意图中的横纵坐标的意义,再进行判断分析.属于基础题.7．C【解析】由题意得，当输入m =10时，程序的功能是计算并输出S =12−12+222+32−12+422+⋯+92−12+1022．计算可得S =12(8+24+48+80)+12(4+16+36+64+100)=190．选C ． 8．B【解析】【分析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解.【详解】1434 1.52a ==<=，又32512<，即32512<，所以53log 122b <=，所以a b <，又55131log 12log 252log 9b c =<===，所以a b c <<，故选：B.【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.9．D【解析】【分析】你根据三角函数图像平移求解()g x 的解析式,再求解对称轴逐个选项判断即可.【详解】易得()f x 周期为23π,故12周期为3π,故()22sin 32sin 3333g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故()g x 对称轴为53,32183k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈.当1k =时11π18x =满足条件. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换求解析式以及根据解析式判断对称轴的问题,属于基础题.【解析】【分析】根据直线43200x y -+=过点F 可先求得5c =,再画图分析可知2PFF △为直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】因为直线43200x y -+=与x 轴的交点为()5,0F -,故半焦距为5c =.设双曲线C 的右焦点为()25,0F ,连接2PF ,根据OP OF =可得2PFF △为直角三角形, 如图,过O 作OA 垂直于直线43200x y -+=,垂足为A ,则易知OA 为2PFF △的中位线.又O 到直线43200x y -+=的距离4d ==,所以228PF d ==,6PF ==,故结合双曲线的定义可知222PF PF a -==,所以1a =. 故离心率5ca=.故选：A 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题.【解析】【分析】利用数列的通项与前n 项和的关系()11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,将2(1)n n Sa n n =+-转换为1,n n S S -的递推公式,继而构造数列求出n S ,再得到22n nS n -关于n 的表达式,进而根据函数的性质可得22n nS n -的增减性求解即可.【详解】由题,当2n ≥时, 12(1)n n n S S S n n -+--=,整理得112n n S S n n --=-,即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,2为公差的等差数列.所以()12121nS n n n=+-=-,故22n S n n =-. 所以232232n nS n n n =--,令函数3223,1y x x x =-≥,则()266610y x x x x ='=--≥.故数列{}22n nS n -是一个递增数列,当1n =时,22nnSn -有最小值121-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n 项和的关系，构造函数求解递推公式与通项公式,并根据函数性质解决数列的最值问题.属于中档题. 12．D 【解析】【分析】将原不等式化简成()21xx ae x >+,设()2f x x =,()()1x g x a x e =+再分0a ≤与0a >两种情况,构造函数并分析函数的单调性与最值,再数形结合根据函数零点存在定理列出区间端点满足的不等式求解即可. 【详解】将原不等式化简可得()21xx ae x >+.设()2f x x =,()()1xg x a x e =+,则原不等式等价于()()f x g x >.若0a ≤,则当0x >时, ()0f x >,()0g x ≤,所以原不等式的解集中有无数个正整数解,不符合题意,所以0a >.因为()00f =,()00g a =>,所以()()00f g <. 当()()11f g ≤,即12a e≥时,设()()()()2h x f x g x x =-≥, 则()()()2'2222x xx e h x x a x ex e+=-+≤-. 设()()()2222x x e x x x eϕ+=-≥,则()()()35'2'22022x x e ex eϕϕ+=-≤=-<, 所以()x ϕ在[)2,+∞上为减函数,所以()()()2220x e ϕϕ≤=-<, 所以当2x ≥时, ()'0h x <,所以()h x 在[)2,+∞上为减函数,所以()()23243402eh x h ae ≤=-≤-<, 所以当2x ≥时,不等式()()f x g x <恒成立.所以原不等式的解集中没有正整数. 所以结合()(),f x g x 的函数图像可得,要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数,则()()()()()()112233f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩,即23124394ae ae ae >⎧⎪>⎨⎪≤⎩,解得329443a e e ≤<. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值,从而结合零点存在性定理分析零点存在,从而求得参数范围的问题.需要根据题意将原不等式分成两个函数,再求导分析函数的单调性,进而根据区间端点满足的不等式求解.属于难题. 13．6. 【解析】【分析】求出2(32)a b -r r 即得解.【详解】由题意，向量,a b r r 的夹角为60,2,3a b ==or r ，所以22222(32)9124921223cos604336a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯⨯+⨯=o r r r r r r ，所以326a b -=r r.故答案为：6 【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．22163x y +=【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系分析焦点12EF F V 中三边的关系,再根据椭圆的定义列出关于12EF F V 三边的等式求解即可.【详解】因为12EF EF ⊥,且直线1EF 的斜率为b c,根据斜率的定义可知,倾斜角的正切值21EF bEF c=,故根据比例关系有2112:::::EF EF F F b c b c a==. 故离心率122122F F c c a a a EF EF b c ===++,即c a a b c=+. 故22222a bc c a c bc b bc =+⇒-=⇒=,故b c =.又2c =故b c ==故a ==故C 的方程为22163x y +=.故答案为：22163x y +=【点睛】本题主要考查了根据焦点三角形中的关系求解椭圆方程的问题,需要根据题意,结合三角形中的比例关系以及椭圆的定义进行求解.属于中档题. 15．4 【解析】【分析】画出可行域,根据直线与圆的位置关系可知,当圆2214x y +=的圆心()0,0O 到(,)P x y 的距离最大时, ||AB 取得最小值.故求解OP 的最大值,再用垂径定理求解AB 的最小值即可. 【详解】画出可行域,易得当圆2214x y +=圆心()0,0O 到(,)P x y 的距离最大时, ||AB 取得最小值.由图可知,点为()1,3P 时, OP 取最大值,此时AB 取最小值为4==.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,当圆心到直线的距离最大时弦长最小.属于中档题.16 164n π- 【解析】【分析】由正四面体的内切球的半径是高的14可求得1O 的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第n 个球．【详解】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD ∆的外心，设BC a =，则OB =，3AO a ==， 1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222))R R =+-，R R =，所以113412r AO AO AO R a a =-=-=-=， 114r AO =，1333144)33O V r a ππ====，过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理球n O 的半径为n r ，则{}n r 是仅比为12的等比数列，所以111()2n n r r -=⨯，即11()1222n n n r a -=⨯=，2216444n n n S r πππ-==⨯=．；164n π-．【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键．实质上正四面体的高是h ，其外接㼀半径是34h ，内切球半径是14h ．17．(1) 60B ︒=【解析】【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B 。

福州市2020年5月高三综合质量数学理科试题含答案

福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R I ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数（B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数（D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 200300X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2-（B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为（A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是（A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为（A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于．正视图侧视图俯视图212215、抛物线2:4C yx =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===．（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分非优分总计男生女生总计 50()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ．（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是¼BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=，因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =，所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分（Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥，因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，优分非优分总计男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--u u u r ，(1,2,3)PC =--u u u r ，33(,0,)22EC =--u u u r ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n u u u r ， ···················································· 11分因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）；直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分（Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>，从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ，则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=，所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'E CODBA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅，所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分（23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分解得2x >．依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…，所以12t t+=， ························································································ 9分所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

(详解版)福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案

福州市2020届高三理科数学5月调研卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|931}A x x =-<，{|2}B y y =<，则()A B =R I ðA ．2[,2)3B ．∅C ．22(,][,2)33-∞-UD ．()22,33-【答案】C【解析】由题意得，22{|}33A x x =-<<，则22{|}33A x x x=-R 或剠ð，∴()22(,][,2)33A B =-∞-R I U ð.故选C.2．复数z 满足(12i)43i z -=+，则z =C. D.【答案】B【解析】解法一：43i (43i)(12i)211i12i (12i)(12i)5z +++-+===--+，z == B.解法二：因为(12i)43i z -=+5=，所以z = B. 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =A ．99B ．101C ．2500D ．4592⨯【答案】A【解析】依题意得，等差数列{}n a 的公差212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选A.4.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1:2，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为A ．1:2B ．1:4C ．1:1)D ．1:(3-【答案】C【解析】设原棱锥的高为H ，截后小棱锥的高为h ，由于截面与底面相似，所以212h H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2h H =，∴:()1:(21)h H h -=-．故选C ． 5. 若5250125()211()((11))x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则3a =A ．40B ．40-C ．80D ．80- 【答案】C【解析】因为5250125()211()((11))x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1x t -=，则1x t =+，所以5250125)21(t a a t a a t t +=++++L ，5(2)1t +展开式的通项为515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，解得2r =，所以23335(2)80T C t t ==，所以380a =.故选C.6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是①2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%. A.①②③ B.②③④ C.①② D.③④【答案】C【解析】①根据题图中的数据，可得2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以①正确；②2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加，所以②正确；③中国雪场2015比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，但2015年的同比增长率比2014年提高了7%，2018年的同比增长率比2017年降低了3.3%，所以③错误；④2016-2018年，中国雪场滑雪人数增长率为19701510100%30.5%1510-⨯≈，所以④错误.7. 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如右1图，“大衍数列”：0，2，4，8，12，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．右2图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =A ．100B ．140C ．190D ．250【答案】C【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出22211231222S --=++22249110222-++++L ，计算得11(8244880)(4163664100)19022S =++++++++=，选C.8.若144a =，5log 12b =，131log 9c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b << 【答案】B【解析】143422a ==<，由于551225<，所以53log 12(,2)2b =∈，131log 29c ==，所以a b c <<，故选B.9. 将函数2π()2sin(3)3f x x =+的图象向右平移12个周期后得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴可以是 A ．π18x =B ．π6x = C ．7π18x = D ．11π18x =【答案】D【解析】2π()2sin(3)3f x x =+的周期为2π3，图象向右平移12个周期后得到的函数为()g x ，则π2ππ()2sin[3()]2sin(3)333g x x x =-+=-，由ππ3π32x k -=+()k ∈Z ，得π5π318k x =+()k ∈Z ,取1k =，得11π18x =，故选D.10.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为A ．5 B. 5 C. 53D. 54【答案】A【解析】根据直线43200x y -+=与x 轴的交点F 为(5,0)- ，可知半焦距5c =，设C 的右焦点为2F ，连接2PF ，根据2||||OF OF =且||||OP OF =可得，2PFF △为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线43200x y -+=，垂足为A ，则易知OA 为2PFF △的中位线，又原点O 到直线43200x y -+=的距离4d =，所以2||28,PF d ==2222||||||6,PF FF PF =-=又因为2||||22,PF PF a -==所以1a =，故5ce a==.故选A. 11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)nn S a n n=+-（*n ∈N ），则22n nS n -的最小值为A ．2-B ．1-C ．23D ．3 【答案】B【解析】解法一：由条件2(1)nn S a n n=+-得2(1)n n S na n n =--，当2n …时，可得11(1)2(1)(2)n n S n a n n --=----，112(1)(1)2(1)(2)n n n n n a S S na n n n a n n --=-=----+--，则1(1)4(1)n n n a na n a n -=----，11)(1)4(1)0n n n a n a n ------=（，得14n n a a --=，从而数列{}n a 是以1为首项，4为公差的等差数列，得2(1)422n n n S n n n -=+⨯=-，222322(2)223n nS n n n n n n n -=--=-.令32()23f x x x =-（1x …），则2()666(1)0f x x x x x '=-=-…，()f x 在[1+∞，）上单调递增，从而()(1)1f x f =-…，22n nS n -的最小值为1-，故选B.解法二：由条件2(1)n n S a n n =+-得()12(1)2n n n SS S n n n--=+-…，整理得121n n S S n n --=-，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项111S =，公差2d =的等差数列，所以12(1)21n S n n n =+-=-，22n S n n =-.下同解法一.12. 若关于x 的不等式()2e 10x a x x +-<解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为A. 241[,)3e 2eB. 391[,)4e 2eC. 391[,]4e 2e D.3294[,)4e 3e 【答案】D【解析】题意等价于关于x 的不等式2(1)e x x a x >+恰有两个正整数解.设2()e x x f x =，则(2)()e x x x f x -'=,故()f x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递减，(0,2)上单调递增，且x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()0f x →，作出()f x 的大致图象，如图. 设()(1)g x a x =+，()g x 恒过定点(1,0)M -，设2349(2,),(3,)e e A B ，结合图象可知需考虑AM ，BM 斜率.因为23493e 4e AM BMk k =>=，所以a 的取值范围为3294[,)4e 3e .故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a r 和b r 的夹角为60︒，||2a =r ，||3b =r ，则|32|a b -=r r_______________. 【答案】6【解析】2222132(32)9||4||1236361223362a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r r r r r ，则326a b -=r r.14.椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F，焦距为，点E 在C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc （c 为半焦距），则C 的方程为_______________. 【答案】22163x y += 【解析】解法一：由题意知12π2F EF ∠=，c =.设12,tan ,sin ,cos b b c EF F c a a θθθθ∠=∴=∴==，16||c EF a a ∴==，2||EF ，因为12||||2EF EF a +=，即62a a =.又223a b =+，解得a b =，C 的方程为22163x y +=. 解法二：∵1EF bk c=，1(,0)F c -，∴E 为椭圆的上顶点.又12EF EF ⊥，∴145F EO ∠=︒，故b c ==2226a b c =+=，C 的方程为22163x y +=.15．已知点(,)P x y 满足1,,4,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为_______________. 【答案】4【解析】不等式组1,,4,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………所表示的平面区域为CDE △及其内部(如图)，其中(1,3)C ，(2,2)D ，(1,1)E ，且点C ，D ，E 均在圆2214x y +=的内部，故要使||AB 最小，则AB OC ⊥，因为||10OC =，所以||214104AB =⨯-=.16.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n …，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】6π，164n -π．【解析】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD △的外心，因为三棱锥A BCD -的棱长均为6，则3623OB =⨯=，226(23)26AO =-=. 求解三棱锥A BCD -的内切球体积，这边提供两种方法.解法一：设内切球半径为1r ，根据体积相等，得2136263A BCD V -=⨯⨯⨯三棱锥，同时2113643A BCD V r -=⨯⨯⨯⨯三棱锥，从而1426r =，16r =，所以球1O 的体积1331446633O V r =π=π()=π.解法二：显然1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222(23)(26)R R =+-，36R =，所以1136626r AO AO AO R =-=-=-=，所以1331446633O V r =π=π()=π. 过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理，球n O 的半径为n r ，则{}n r 是公比为12的等比数列，所以1116()2n n r r -=⨯=，所以2216644()4n n n S r -π=π=π⨯=.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，DE 交AB 于点E ，且2BC =，DE =（1）求B ；（2）求ABC △的面积.【解析】（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=Q ，由sin sin sin a b cA B C==得222a c ac b +-=， ················································ 2分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， ····················································· 4分 0180B ︒<<︒Q ，60B ∴=︒. ·············································· 6分（2）连接CE ，如右图，D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE ∴sin DE CE AE A ∴===， ············································· 7分在BCE △中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BC B BEC A ==∠，22sin cos A A=，cos A ∴， ·············································· 8分 0180A ︒<<︒Q ，45A ∴=︒， ·································································· 9分 75ACB ∴∠=︒，30BCE ACB ACE ∴∠=∠-∠=︒，90BEC ∠=︒，CE AE ∴==1AB AE BE =+=， ············································· 11分1·2ABC S AB CE ∴=△. ································································· 12分 18.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB CD EF ∥∥，AB BC ⊥，228CD CE EF ===，120BCE ∠=︒，DF =（1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若8BC =，AB EF =，求二面角E AD F --的余弦值．【解析】（1）证明：因为AB EF ∥，AB BC ⊥，所以EF BC ⊥．··················································································· 1分取CD 中点为G ，连接FG ，所以142CG DG CD ===，因为CD EF ∥，4EF =，所以CG EF ∥且CG EF =，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE GF ∥，且4CE GF ==. ··················· 3分因为DF =222DG GF DF +=，所以DG GF ⊥，所以CD CE ⊥， ···························································· 4分因为CD EF ∥，所以EF CE ⊥．因为BC CE C =I ，所以EF ⊥平面BCE ． ················································ 5分（2）由（1）知，EF ⊥平面BCE ，因为CD EF ∥，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB u u u r 、CDu u u r的方向为x 轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -所以(8,0,4),(8,0,0),(((0,0,8),A B E F D --所以(8,0,4),(4)AD AE =-=--u u u r u u u r，设平面ADE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ， ···················································································· 7分所以111118401040x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，取11x =，则n =r， ··································································· 8分设平面ADF 的法向量为222(,,)m x y z =u r ，因为(AF =-u u u r，所以00AD n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r， ················································································· 9分所以2222840100x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21x =，则m =u r ， ································································ 10分所以14cos ,n m +<=r u r， ························· 11分所以二面角E AD F --． ··············································· 12分 19.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点F 为(0,1). （1）求C 的方程；（2）过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线:2l y x =-于M ，N 两点，求||MN 的最小值．【解析】（1）由已知可设C 的方程为22(0x py p =>），则12p=,得2p =，所以C 的方程是24x y =. ········································································· 2分（2）设211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以14AO x k =，24BO x k =,所以直线AO 的方程是：14x y x =,由142x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，184M x x ∴=-，同理由242x y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，284N x x =-， ····························································· 4分所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x ---=---++，①······ 5分设:1AB y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x ∴+==-，12||x x ∴-，代入①得||MN == ······································ 7分设43,0k t t -=≠，则34tk +=，当0t >时，||MN == ······················ 9分当0t <时，4|||5MN ===，当253t =-时，||MN ，此时43k =-； ······························· 11分综上，||MN . ······························································· 12分 20.（本小题满分12分）已知函数()12sin f x x x =+-（0x >）.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：2()e x f x ->.【解析】（1）()12cos f x x '=-， ··································································· 1分由()0f x '>得1cos 2x <，解得π5π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ），由()0f x '<得1cos 2x >，解得π03x <<或5π7π2π2π33k x k +<<+（k ∈N ）4分所以()f x 的单调递增区间为π5π(2π2π)33k k ++，（k ∈N ）； ()f x 的单调递减区间为π(0,)3和5π7π(2π,2π)33k k ++（k ∈N ）. ················ 5分（2）要证当0x >时，2()e x f x ->，即证当0x >时，2()(12sin )e 1x g x x x =+->， ············································ 6分 222()2(12sin )e (12cos )e (324sin 2cos )e x x x g x x x x x x x '=+-+-=+--， ····· 7分令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-…，()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，即sin x x >， ······························································ 8分所以324sin 2cos 32sin 4sin 2cos 32(sin cos )x x x x x x x x +-->+--=-+π3)04x =-+>， ································· 10分所以()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g >=， ··················· 11分故当0x >时，2()e x f x ->. ···································································· 12分21.（本小题满分12分）某医药开发公司实验室有*()n n ∈N 瓶溶液，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.（1）若5n =，其中2瓶中含有细菌R ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对该n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P P 剟. 若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η.(i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =；(ii)若141e P -=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln7 1.95≈.【解析】（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”，事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”，事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A P B P C A A =+=+=+=. ···································· 4分（2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， ··············································· 6分所以()(1)(1)1(1)1(1)n n n E P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦，由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以1*(1)1()n P n n =-∈N ； ···················· 8分 (ii)141e P -=-,所以4()1en E n n η-=+-⋅，所以4(1)e n n n n -+-⋅<， ···················· 9分所以ln 04n n ->，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44x f x x x-'=-=，当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增；当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ·························· 11分又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈⨯->，999(9)ln92ln32 1.100444f =-=-≈⨯-<，所以n 的最大值为8. ··········································································· 12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设P 为C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若||PQ 的最小值为2，求m 的值.【解析】（1）因为C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，则2224x y +=，化简得22142x y +=，所以C 的直角坐标方程为22142x y +=. ···························· 3分 l 参数方程消去参数t ，得l的普通方程为0x m -=. ····························· 5分（2）设(2cos )P θθ，由点到直线的距离公式得π|)|||m PQ θ+-== ····································· 7分由题意知0m ≠，当0m >时，min ||2PQ ==，得m =， ···························· 8分当0m <时，min ||2PQ ==，得m =- ························· 9分所以m =m =-. ··················································· 10分23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足1abc =.证明：（1）222111a b c a b c ++++…；（2）1111222a b c+++++…. 证明：证法一、（1）由条件1abc =得222222*********()()a b c a b c a b c bc ca ab++-++=++-++ 222222222222a b b c c a a bc b ca c a a b c b +---+=， ··················· 2分由二元基本不等式可得222222a b c a c a b +…，222222a b b c b ac +…，222222b c c a b c a +…，（等号成立当且仅当1a b c ===），将上述三个不等式相加，从而2222222222220a b b c c a a bc a b ca c ab b c+---+…， ················································ 4分得证222111a b c a b c++++…. ··································································· 5分（2）由条件1abc =得111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++， ············· 8分由三元基本不等式得3ab bc ca ++=…（等号成立当且仅当1a b c ===），从而得证1111222a b c+++++…. ··························································· 10分证法二、（1）因为,,a b c 为正数，且满足1abc =，欲证222111a b c a b c ++++…，只需证222abc abc abc a b c a b c ++++…，即证bc ca ab a b c a b c ++++…. ··································································· 1分因为2bc ca c a b +?，（当且仅当a b =时取等号） ···························· 2分2ca ab a b c +=?，（当且仅当b c =时取等号）2bc ab b a c +=?，（当且仅当c a =时取等号） ····························· 3分将上述三个不等式相加，得222bc ca ca ab bc ab c a b a b b c a c+++++++…，（当且仅当1a b c===时取等号）··········································································4分即bc ca aba b ca b c++++…成立，所以原不等式成立. ··············································································5分（2）略，同证法一.。

2020届高三5月质量检测数学理科试卷(解析版)

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|√2x−4≤2}，则B∩（∁U A）＝（）A．[2，3]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（3，4]D．[3，4]2．已知复数z=a2−i+1（i为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．52B．−52C．0D．23．已知函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，若f（m）＝1，则实数m的值是（）A．0B．√3C．0或√3D．0或√3或−√3 4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A ．a ＜b ？；a ＝a +a2 B ．a ＜b ？；a ＝a +2aC ．a ≥b ？；a ＝a +a2D ．a ≥b ？；a ＝a +2a6．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3＝4，a 9＝256，则a 8＝（） A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．647．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（）A ．511B ．611C ．12D ．238．函数f （x ）=5(x 2−cosx)e x +e−x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．直线l ：x ﹣y +√2=0将圆O ：x 2+y 2＝4分成的两部分的面积之比为（） A ．（4π−√3）：（8π+√3） B ．（4π﹣3√3）：（8π+3√3） C ．（2π﹣2√3）：（10π+2√3）D ．（2π﹣3√3）：（10π+3√3）10．设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017＝2017，则下列判断错误的是（） A ．a 1009＝1B ．a 1010≥1C ．S 2016＞2016D ．S 2019≥201911．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列结论正确的是（）A ．函数g （x ）是奇函数B ．函数g （x ）在区间[﹣2π，0]上单调递增C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称D ．函数g （x ）图象关于直线x ＝﹣3π对称12．定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：f （x ）+f '（x ）=√x ex ，f(12)=√12e ．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2−x 4)≥1a +a 8e成立，则实数x 的取值范围是（） A ．[﹣1，2] B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） C ．[﹣1，0]∪[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（﹣2，1），b →=（4，3），c →=（﹣1，λ），若（a →+b →）∥c →，则λ＝． 14．二项式(1x −3x 2)6的展开式中的常数项是．（用数字作答） 15．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝120°且AB ＝AC ＝3，BB 1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为．16．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：2x 2a −y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos(B+C)cosC=a 2b+c．（1）求角A 的大小；（2）若a =4√3，b =4√2，求△ABC 的面积．18．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，12，且各关口能否顺利闯过相互独立．（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19．如图，四边形ABCD 为正方形，PA ∥CE ，AB ＝CE =12PA ，PA ⊥平面ABCD ．（1）证明：PE ⊥平面DBE ；（2）求二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值的大小．20．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点P （2，0）的直线l 交抛物线C 于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点．（1）当x 1+x 2＝8时，求直线l 的方程；（2）若过点P （2，0）且垂直于直线l 的直线l '与抛物线C 交于M ，N 两点，记△ABF 与△MNF 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的最小值．21．已知函数g （x ）＝e x ﹣ax 2﹣ax ，h （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ．其中e 为自然对数的底数．（1）若f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）． ①讨论f （x ）的单调性；②若函数f （x ）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．（2）已知a ＞0，函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 2＜ln(4a 2)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0交于点N ．（1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3．（1）求不等式13[f(x)+3]＞|x +1|的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x |√2x −4≤2}，则B ∩（∁U A ）＝（） A ．[2，3] B ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C ．（3，4]D ．[3，4]【分析】求出集合B ，∁U A ，由此能求出B ∩（∁U A ）．解：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}， B ＝{x |√2x −4≤2}＝{x |2≤x ≤4}， ∴∁U A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}， ∴B ∩（∁U A ）＝{x |3≤x ≤4}，故选：D ．2．已知复数z =a2−i +1（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则实数a ＝（） A ．52B ．−52C ．0D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，且虚部不为0列式求解．解：∵z =a2−i +1=a(2+i)(2−i)(2+i)+1=2a+55+a5i 为纯虚数， ∴{2a+55=0a 5≠0，解得a =−52．故选：B ．3．已知函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，若f（m）＝1，则实数m的值是（）A．0B．√3C．0或√3D．0或√3或−√3【分析】讨论字母m的范围，求出f（m）的表达式，列出方程求出符合条件的m值．解：因为函数f（x）={e x，x＜14−mx，x≥1，当m＜1时，有f（m）＝e m，e m＝1解得m＝0满足条件；当m≥1时，有f（m）＝4﹣m2，∴4﹣m2＝1解得m=√3（−√3舍）总之，m=√3或0；故选：C．4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β【分析】对于A，l∥α或l⊂α；对于B，m∥β或m⊂β；对于C，l与m相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α∥β．解：对于A，若l∥m，m∥α，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥β或m⊂β，故B错误；对于C，若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l与m相交、平行或异面，故C错误；对于D，若l⊥α，l∥n，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A．a＜b？；a＝a+a2B．a＜b？；a＝a+2aC．a≥b？；a＝a+a2D．a≥b？；a＝a+2a【分析】由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解．解：竹逾松长，意为竹子比松高，即a＜b，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为a≥b？，松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a＝a+a 2．故选：C．6．在等比数列{a n}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（）A ．128或﹣128B ．128C ．64或﹣64D ．64【分析】由已知结合等比数列的性质可求a 2，然后结合等比数列的通项公式即可求解．解：由等比数列的性质可得，a 1a 3=a 22=4， ∴a 2＝2或﹣2，∵a 9＝256，当a 2＝2时，q 7＝128即q ＝2，则a 8＝128，当a 2＝﹣2时，q 7＝﹣128即q ＝﹣2，则a 8＝﹣128，故选：A ．7．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲、乙不在同一组的概率为（）A ．511B ．611C ．12D ．23【分析】设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420，由此能求出甲、乙不在同一组的概率．解：设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420， ∴甲、乙不在同一组的概率P ＝1−mn =1−420924=611．故选：B ．8．函数f （x ）=5(x 2−cosx)e x +e−x 的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：函数的定义域为R，且f(−x)=5[(−x)2−cos(−x)]e−x+e x =5(x2−cosx)e x+e−x=f(x)，∴函数f（x）为偶函数，故排除B选项；又f(0)=−52，故排除C选项；当|x|＞1时，x2＞cos x，故当|x|＞1时，f（x）＞0，故排除D选项．故选：A．9．直线l：x﹣y+√2=0将圆O：x2+y2＝4分成的两部分的面积之比为（）A．（4π−√3）：（8π+√3）B．（4π﹣3√3）：（8π+3√3）C．（2π﹣2√3）：（10π+2√3）D．（2π﹣3√3）：（10π+3√3）【分析】根据题意，设直线l与圆O：x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得∠MON=2π3以及|MN|＝2√3；进而计算可得S△MON和S扇形OMN的值，据此可得直线l将圆O分成的两部分的面积，计算即可得答案．解：根据题意，设直线l与圆O：x2+y2＝4交于点M、N，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，则点O到直线l的距离|OP|=|√2|1+1=1，又由圆O ：x 2+y 2＝4的半径|OM |＝r ＝2，则∠MOP =π3，则∠MON =2π3；同时|MP |=√|OM|2−|OP|2=√4−1=√3，则|MN |＝2√3，且S △MON =12×|OP |×|MN |=√3，则S 扇形OMN =12×2π3×r 2=4π3，则劣弧对应的弓形的面积S 1=4π3−√3，另一部分的面积S 2＝πr 2﹣S 1＝4π﹣（4π3−√3）=8π3+√3，故两部分的面积之比S 1S 2=4π3−√38π3+√3=√38π+3√3=（4π﹣3√3）：（8π+3√3）；故选：B ．10．设无穷等差数列{a n }的各项都为正数，且其前n 项和为S n ，若S 2017＝2017，则下列判断错误的是（） A ．a 1009＝1B ．a 1010≥1C ．S 2016＞2016D ．S 2019≥2019【分析】由S 2017＝2017=2017(a 1+a 2017)2=2017a 1009，可得a 1009．由无穷等差数列{a n }的各项都为正数，可得公差d ≥0．进而判断出结论．解：S 2017＝2017=2017(a 1+a 2017)2=2017a 1009，∴a 1009＝1．∵无穷等差数列{a n }的各项都为正数，∴公差d ≥0．∴a 1010≥1． S 2016=2016(a 1+a 2016)21008（a 1009+a 1008）≤1008×2＝2016，S 2019＝S 2017+a 2018+a 2019≥2017+2＝2019，综上可得：只有C 错误．故选：C ．11．函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则下列结论正确的是（）A ．函数g （x ）是奇函数B ．函数g （x ）在区间[﹣2π，0]上单调递增C ．函数g （x ）图象关于（3π，0）对称D ．函数g （x ）图象关于直线x ＝﹣3π对称【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用求出函数g （x ）的关系式，最后利用函数的性质的应用求出结果．解：根据T =4×(7π12−π3)=π，所以ω=2ππ=2，由于函数的图象过（7π12，−1），所以2×7π12+φ=2kπ+3π2，由于|φ|＜π2，解得φ=π3，故f （x ）＝sin （2x +π3），先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7π2个单位长度，得到g （x ）＝sin[13×(x +7π2)+π3]=−cos 13x ．①故函数g （x ）为偶函数，故错误．②令13x ∈[2kπ，2kπ+π]，所以x ∈[6k π，3π+6k π]，故[﹣2π，0]⊄[6k π，3π+6k π]，故错误． ③令13x =π2+kπ（k ∈Z ），解得x =3π2+3kπ（k ∈Z ），所以函数的对称中心为（3π2+3kπ，0）（k ∈Z ），故错误④令13x =kπ解得x ＝3k π，当k ＝﹣1时，x ＝﹣3π，故正确．故选：D ．12．定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：f （x ）+f '（x ）=√xex ，f(12)=√12e．其中f '（x ）表示f （x ）的导函数，若存在正数a ，使得f(x 2−x 4)≥1a +a 8e成立，则实数x 的取值范围是（） A ．[﹣1，2] B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） C ．[﹣1，0]∪[1，2]D ．[﹣2，﹣1]∪[1，2]【分析】由已知可得[e x f （x ）]′=√x ，结合其结构特点考虑构造函数g （x ）＝e x f （x ），结合导数可判断相应函数的单调性，结合单调性即可求解不等式．解：由f （x ）+f '（x ）=√xex ，可得，e x [f(x)+f′(x)]=√x ，即[e x f （x ）]′=√x ，令g （x ）＝e x f （x ），则f （x ）=g(x)e x，且g′(x)=√x ，故f′(x)=√x−g(x)e x，令h （x ）=√x −g(x)，x ＞0，则h′(x)=2x，当x ∈(0，12)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈(12，+∞)时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，故h （x ）max ＝h （12）＝0，则f ′（x ）≤0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递减，因为1a+a 8e≥√12e，当且仅当1a=a 8e即a ＝2√2e 时取等号，由题意f(x 2−x 4)≥√12e=f （12），因为f （x ）在[0，+∞）上单调递减，则0≤x 2−x 4≤12，解可得，﹣1≤x ≤0或1≤x ≤2，故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（﹣2，1），b →=（4，3），c →=（﹣1，λ），若（a →+b →）∥c →，则λ＝ ﹣2 ．【分析】根据题意，用坐标表示出a →+b →，根据两直线平行的坐标表示列式子计算即可得答案．解：由题，a→+b→=(2，4)，c→=(−1，λ)，∵（a→+b→）∥c→，∴2λ＝﹣4，λ＝﹣2．故答案为：﹣2．14．二项式(1x−3x2)6的展开式中的常数项是−1352．（用数字作答）【分析】先求出其通项公式，再令x的指数为0即可求解．解：因为二项式(1x−3x2)6的展开式得通项为：T r+1=∁6r•（1x）6﹣r•(−3x2)r=（−32）r•∁6r•x2r﹣6；令2r﹣6＝0得r＝3；故二项式(1x−3x2)6的展开式中的常数项是：（−32）3•∁63=−1352．故答案为：−135 2．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝120°且AB＝AC＝3，BB1＝4，则此三棱柱外接球的表面积为52π．【分析】由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝4，底面ABC的小圆半径为2，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的表面积．解：由题意可知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，AA 1＝4， ∴底面小圆ABC 的半径r 满足：2r =3sin30°=6，即r ＝3，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：R =√32+22=√13∴三棱柱的外接球的表面积为：4π•R 2＝52π；故答案为：52π．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线C '：2x 2a 2−y 2=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C '的一个交点M 满足|MF 1|•|MF 2|＝2，则△MF 1F 2的面积是 1 ．【分析】先将双曲线的方程化成标准形式，再由椭圆和双曲线的定义可得{|MF 1|+|MF 2|=2a |MF 1|−|MF 2|=2⋅√22a =√2a，解得{|MF 1|=2+√22a|MF 2|=2−√22a，再代入|MF 1|•|MF 2|＝2，即可解得a 的值，从而得|MF 1|、|MF 2|和|F 1F 2|的长，由勾股定理可知，△MF 1F 2是直角三角形，因此S △MF 1F 2=12⋅|MF 1|⋅|MF 2|．解：将双曲线C '：2x 2a −y 2=1化成标准形式为x 2a 22−y 2=1，不妨设点M 在双曲线的右支上，则根据椭圆和双曲线的定义，有{|MF 1|+|MF 2|=2a |MF 1|−|MF 2|=2⋅√22a =√2a，解得{|MF 1|=2+√22a|MF 2|=2−√22a． ∵|MF 1|•|MF 2|＝2， ∴2+√22a ⋅2−√22a =2，解得a ＝2或﹣2（舍负）， ∴|MF 1|=2+√2，|MF 2|=2−√2，双曲线的焦距|F 1F 2|=2√a 22+1=2√3．显然有|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，∴△MF1F2是直角三角形，∴S△MF1F2=12⋅|MF1|⋅|MF2|=12×(2+√2)×(2−√2)=1．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos(B+C)cosC=a2b+c．（1）求角A的大小；（2）若a=4√3，b=4√2，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵cos(B+C)cosC=a2b+c=−cosAcosC，由正弦定理可得，sinA2sinB+sinC =−cosAcosC，所以2sin B cos A+sin C cos A＝﹣sin A cos C，所以2sin B cos A+sin C cos A+sin A cos C＝0，即2sin B cos A+sin（C+A）＝0，所以2sin B cos A+sin B＝0，因为sin B≠0，故cos A=−1 2，因为A 为三角形的内角，故A =2π3，（2）∵a =4√3，b =4√2，由余弦定理可得，48=32+c 2−2×4√2c ×(−12)，解可得c =2√6−2√2，∴S △ABC =12bcsinA =12×4√2×(2√6−2√2)×√32=12﹣4√318．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏．假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为23，12，12，且各关口能否顺利闯过相互独立．（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【分析】（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，求出概率．（2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望即可．解：（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，则P （A ）=(23)3=827；P （B ）=(12)3=18；P （C ）=(12)3=18；（2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3；P （X ＝0）=1927×78×78=9311728；P （X ＝1）=827×78×78+1927×18×78+1927×78×18=6581728； P （X ＝2）=827×18×78+827×78×18+1927×18×18=1311728， P （X ＝3）=827×18×18=81728．所有随机变量的分布列为：X0123P93117286581728131172881728故E（X）＝0×9311728+1×6581728+2×1311728+3×81728=59108．19．如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB＝CE=12PA，PA⊥平面ABCD．（1）证明：PE⊥平面DBE；（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小．【分析】（1）连结AC，推导出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而BD⊥平面APEC，进而BD⊥PE，推导出PE⊥DE，由此能证明PE⊥平面DBE．（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面APEC，∵PE⊂平面APEC，∴BD⊥PE，设AB＝1，则AD＝1，PA＝2，∴PD=√5，同理解得DE=√2，要梯形PACE中，解得PE=√3，∴PE2+DE2＝PD2，∴PE⊥DE，∵BD ∩DE ＝D ，∴PE ⊥平面DBE ．（2）解：以A 为原点，AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，令AB ＝1，则CE ＝，AP ＝2，∴P （0，0，2），E （1，1，1），D （1，0，0），B （0，1，0），EP →=（﹣1，﹣1，1），DP →=（﹣1，0，2），BP →=（0，﹣1，2），BD →=（1，﹣1，0），设平面DPE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EP →=−x −y +z =0n →⋅DP →=−x +2z =0，取z ＝1，得n →=（2，﹣1，1），设平面BPD 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BD →=a −b =0m →⋅DP →=−a +2c =0，取c ＝1，得m →=（2，2，1），设二面角B ﹣PD ﹣E 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√66，∴二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值sin θ=1−(66)2=√306．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2＝8时，求直线l的方程；（2）若过点P（2，0）且垂直于直线l的直线l'与抛物线C交于M，N两点，记△ABF 与△MNF的面积分别为S1与S2，求S1S2的最小值．【分析】（1）判断直线l的斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和直线方程，化简整理，解方程可得m，进而得到所求直线方程；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，可得S1，同理可得S2，化简整理，由基本不等式，可得S1S2的最小值．解：（1）直线l过定点P（2，0），在x轴上，且直线l与抛物线相交，则斜率一定不为0，可设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，因为x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）设直线l的方程为x＝my+2，联立抛物线的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，则S1=12|PF|•|y1﹣y2|=12√(y1+y2)2−4y1y2=12√16m2+32=2√m2+2，因为直线MN与直线l垂直，且当m＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l'的方程为x＝0，但此时直线l'与抛物线C没有两个交点，所以不符题意，所以m≠0，所以直线l的斜率为1m ，因此直线MN的斜率为﹣m（m≠0），由点斜式方程可得直线l'的方程为y﹣0＝﹣m（x ﹣2），即mx+y﹣2m＝0，联立抛物线的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4=4m 2+4m2，x3x4＝4，则y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），因此|y3﹣y4|＝|m|•|x3﹣x4|＝|m|•√(x3+x4)2−4x3x4=|m|•√(4m2+4m2)2−4×4= |m|m2√(4+4m2)2−16m2=1|m|√16+32m2，所以S2=12|PF|•|y3﹣y4|=12×1×1|m|√16+32m2=2|m|√2m2+1，所以S1S2＝2√m2+2•2 |m|√2m2+1=4√(m2+2)(2m2+1)m2=4√5+2m2+2m2≥4√5+2√2m2⋅2m2=4√5+2×2=12，当且仅当2m2=2m2即m＝±1时等号恒成立，所以S1S2的最小值为12．21．已知函数g（x）＝e x﹣ax2﹣ax，h（x）＝e x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x2＜ln(4a2)．【分析】（1）①求出f（x）并求导，解关于导函数的不等式即可得到单调区间；②显然a＞0，分析可知只需f（x）的最小值小于0即可满足条件，进而得解；（2）依题意，将所证不等式转化为证明(x1−x2)ex1−x22＞e x1−x2−1，再通过换元构造新函数即可得证．解：（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0），①f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a−2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x（x ＞0），（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上递减；（ii ）当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＞1a ；令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1a ，∴函数f （x ）在(0，1a )递减，在(1a ，+∞)递增；综上，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f （x ）在(0，1a )上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增；②由①知，若a ≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a ＞0；且当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞；故要使函数f （x ）有两个不同的零点，只需f(x)min =f(1a )=a ⋅(1a )2+a−2a −ln 1a ＜0，即lna −1a+1＜0，又函数y =lnx −1x +1在（0，+∞）上为增函数，且ln1−11+1=0，故lna −1a+1＜0的解集为（0，1）．故实数a 的取值范围为（0，1）；（2）证明：g ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣a ，依题意，{e x 1−2ax 1−a =0e x 2−2ax 2−a =0，两式相减得，2a =e x 1−e x 2x 1−x 2(x 1＜x 2)，要证x 1+x 2＜ln(4a 2)，即证x 1+x 22＜ln2a ，即证e x 1+x 22＜e x 1−e x 2x 1−x 2，两边同除以e x 2，即证(x 1−x 2)ex 1−x 22＞e x 1−x 2−1，令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0），即证te t 2−e t +1＞0，令h(t)=te t 2−e t +1(t ＜0)，则h′(t)=−e t 2[e t 2−(t 2+1)]，令p(t)=e t 2−(t 2+1)，则p′(t)=12(e t 2−1)，当t ＜0时，p ′（t ）＜0，p （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴p （t ）＞p （0）＝0，∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴h （t ）＞h （0）＝0，即te t 2−e t +1＞0，故x 1+x 2＜ln(4a 2)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1与曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）交于P ，Q 两点，与直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0交于点N ．（1）求曲线C 的普通方程与直线l 2的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较|PQ |与|MN |的大小关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和弦长公式的应用求出|MN |和|PQ |的长，进一步比较出结果．解：（1）曲线C ：{x =3+4cosα，y =4+4sinα（α是参数）转换为直角坐标方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16．直线l 2：ρcos θ+2ρsin θ+4＝0根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x +2y +4＝0．（2）已知过点A （﹣1，﹣2）且斜率为1的直线l 1的直角坐标方程为x ﹣y ﹣1＝0．所以{x −y −1=0(x −3)2+(y −4)2=16，整理得x 2﹣8x +9＝0，设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），所以中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），根据一元二次方程根和系数关系式的应用，解得x 1+x 2＝8，x 1x 2＝9，整理得：M （4，3）．联立{x +2y +4=0x −y −1=0，解得{x =−23y =−53，即N （−23，−53），所以|MN |=√(−23−4)2+(−53−3)2=14√23．根据弦长公式：|PQ |=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+12⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14．由于14√23−2√14=2√2(√499−√7)＜0，所以|PQ |＞|MN |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3．（1）求不等式13[f(x)+3]＞|x +1|的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥mx +m 恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）不等式13[f(x)+3]＞|x +1|化为|x ﹣2|＞|x +1|，去掉绝对值求出x 的取值范围；（2）画出函数f （x ）与函数y ＝mx +m 的图象，结合图象求出满足条件时m 的取值范围．解：（1）由函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3，则不等式13[f(x)+3]＞|x +1|可化为13[3|x ﹣2|﹣3+3]＞|x +1|，得|x ﹣2|＞|x +1|，等价于（x ﹣2）2＞（x +1）2，整理得6x ＜3，解得x ＜12，所以所求不等式的解集为（﹣∞，12）；（2）函数f （x ）＝3|x ﹣2|﹣3={3x −9，x ≥23−3x ，x ＜2；画出函数f （x ）={3x −9，x ≥23−3x ，x ＜2与函数y ＝mx +m 的图象，如图所示；由图象知函数y ＝f （x ）图象的最低点N （2，﹣3），函数y ＝mx +m 可化为y ＝m （x +1），其图象恒过点M （﹣1，0），又直线MN的斜率为−3−02−(−1)=−1，．直线y＝m（x+1）以M（﹣1，0）为中心，在直线l和MN之间转动时（含边界）满足条件；否则不满足条件；所以﹣3≤m≤﹣1，即不等式f（x）≥mx+m恒成立时，实数m的取值范围是[﹣3，﹣1]．。

福州市2020届高中毕业班期末质量检测试卷(理科数学)

准考证号姓名 .（在此卷上答题无效）绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分. 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =A BC ．52D 2. 已知集合{}|02A x x x =≤或≥，{}2|20B x x x =--≤，则A ．AB Ü B ．B A ÜC ．A B =∅D ．A B =R3. 执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =A ．6B ．5C ．4D ．34. 已知向量(2,),(,2)λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)-a a b ”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5. 若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =A ．32-B ．2-C ．1D ．326. 若实数,a b 满足201,a b a ＜＜＜＜且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为 A ．m p n ＞＞B ．p n m ＞＞C ．n p m ＞＞D ．p m n ＞＞7. 若2cos21sin2x x =+，则tan x =A ．1-B ．13C ．1-或13D ．1-或13或38. 若,x y 满足约束条件31,933,x y x y --⎧⎨-+⎩≤≤≤≤则z x y =+的最小值为A ．1B ．3-C ．5-D ．6-9. 把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则A ．()2g x x =B ．()32g x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭C ．()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭ D ．()1328g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10. 已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接BE FB EF ,,，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥；②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒．其中所有正确结论的编号是 A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④11. 已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF 夹角的取值范围为,32π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率取值范围是A ．B ．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,912. 已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=A ．BCD ．绝密★启用前2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（理科）试题第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 函数,0,()e 1,0,x x x f x x ⎧=⎨-⎩＜≥则()(2)1f f +-= ．14. 设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为． 15. 已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S = ． 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）在ABC △中，1,AC BC == （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC △的面积．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足12211+=+++n nn b a c a c a c ,求数列{}n c 的前2020项的和．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ．（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30︒．20.（本小题满分12分）已知圆22:43x y O +=，椭圆2222:1x y C a b +=（0a b ＞＞）的短轴长等于圆O倍，C．（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,A B 两点，且与圆O 相切，证明：AOB △为直角三角形． 21.（本小题满分12分）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当12a =时，证明：()0f x …；（2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(， l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数1()212f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，证明：22213a b c ++≥．2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学（文科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

2020年福建省福州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z1+i所对应的点为(2,−1)，i是虚数单位，则z=()A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i2.已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2−3x+2<0}，则A∩∁R B=()A. {x|0≤x≤1}B. {x|0≤x≤1或x≥2}C. {x|1<x<2}D. {x|0≤x<1或x>2}3.已知a=(12019)2019，b=201912019，c=log120192019，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a4.样本中共有五个个体，其值分别为1，m，n，2.5(m,n∈N∗).若该样本的中位数与平均数都为3，则mn=()A. 6B. 8C. 10D. 125.如图是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是()A. i<10B. i>10C. i<20D. i>206.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2π3B. 43π C. 2π D. 8π37. 函数f(x)=2+ln|x|x 2的图象大致为( )A.B.C.D.8. 已知抛物线y 2=2px(p >o)的焦点为F ，过点M(p,0)的直线交抛物线于A ，B 两点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF||BF|=( ) A. 2B. 52C. √2D. 与p 有关9. 若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 310. 已知f(x)是R 上的可导函数，其导函数为f′(x)，若对任意实数x ，都有f(x)>f′(x)，且f(x)−1为奇函数，则不等式f(x)<e x 的解集为( )A. (−∞,0)B. (−∞,e 4)C. (e 4,+∞)D. (0,+∞)11. 在锐角△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且bcosA =a +acosB ，则1tanA −1tanB 的取值范围为( )A. (1,23√3)B. (√2,23√6)C. (1,√3)D. (1,+∞)12. 方程x +|y −1|=0表示的曲线是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X ，则X =3的概率是______ ．14. 已知△ABC 中，BC =4，AC =8，∠C =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =________． 15. 函数y =2cos(−14x −π6)周期为______ ．16. 设ΔABC 的三边长分别为a ，b ，c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆的半径为r ，则r =2Sa+b+c ，类比这个结论可知，四面体S −ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R ，四面体S −ABC 的体积为V ，则R =________ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }满足：a 1=1，且2a n =a n+1+a n−1(n ≥2)，a 3+a 4=12．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1an a n+2}的前n 项和．18. 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB =BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =120°， E 、F 分别为AC 、DC 的中点． (Ⅰ)求证：AD ⊥BC ；(Ⅱ)求四棱锥B −ADFE 的体积．19. 如图是某企业2013年至2019年污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2013～2019．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程，预测2020年该企业污水净化量；附注：参考数据：y =54,∑(t i −t − )7i=1(y i −y − )=21，√14≈3.74，∑(y i −y − )7i=12=18参考公式：相关系数r =i −t)n i=1i −y )√∑(t i −t)ni=1∑(y i −y )2n i=1回归方程y ̂=a ̂+b ̂t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(t i −t −)2n i=1,â=y −b ̂t20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且△PF 1F 2面积的最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点T(0,t)，使得|TP|=|TQ|？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 设函数f(x)=1−e −x ，证明：当x >−1时，f(x)≥xx+1．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 证明下列不等式；(1)a(a −b)≥b(a −b).(2)已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab +cd)(ac +bd)≥4abcd ．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，属于基础题．根据复数z1+i 在复平面内对应的点为(2,−1)可得z1+i=2−i，化简即可求出z．【解答】解：因为复数z1+i在复平面内对应的点为(2,−1)，所以z1+i=2−i，所以z=(1+i)(2−i)=3+i．故选D．2.答案：B解析：解：A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2−3x+2<0}={x|(x−1)(x−2)<0}={x|1< x<2}，则∁R B={x|x≥2或x≤1}，则A∩∁R B={x|0≤x≤1或x≥2}，故选：B．求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：【分析】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．由指数函数、对数函数的性质易知，0<a<1，b>1，c=−1，比较大小即可．【解答】解：∵0<a=(12019)2019<(12019)0=1，b=201912019>20190=1，c=log120192019=−log20192019=−1，∴c<a<b．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查了中位数he和平均数，根据题意kede可得m或n有一个为3，再根据平均数算出另一个值，即可得出结果．【解答】因为中位数为3，可知m或n中有一个为3，假设m为3，又因为平均数也是3，则有1+2+3+n+55=3，可知n=4，故mn=12，故选D．5.答案：B解析：解：根据算法的功能是计算12+14+16+⋯+120的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i>10或i≥11．故选：B．根据算法的功能是计算12+14+16+⋯+120的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程确定终止程序运行的i值是关键．6.答案：B解析：解：综合正视图，侧视图和俯视图可以判断出这个几何体是半个圆锥体，且底面半圆的半径2，高为2，则该几何体的体积是：12V 圆锥=12×(13×π×22×2)=43π，故选B ．根据三视图可判断这个几何体为半个圆锥体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积．本题要先根据三视图确定出是什么几何体然后再根据其体积公式进行求解．7.答案：B解析：【分析】分析函数的奇偶性和零点，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档．【解答】解：函数f(x)=2+ln|x|x 2满足f(−x)=f(x)，即函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ；又f(1)=2≠0，故排除A 、C ，故选：B ．8.答案：B解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识，考查抛物线的定义，属于中档题．设直线方程为x =my +p ，代入y 2=2px ，可得y 2−2pmy −2p 2=0，利用向量条件，求出A 、B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为x =my +p ，代入y 2=2px ，可得y 2−2pmy −2p 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=−2p 2， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(p −x 1,−y 1)=2(x 2−p,y 2)，∴x 1=−2x 2+p ，y 1=−2y 2，可得y 2=p ，y 1=−2p ， ∴x 2=12p ，x 1=2p ，∴|AF||BF|=2p+12p12p+12p =52．故选B ．9.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．设|PF 2|=x ，由双曲线的定义及性质得|x −3|=6，由此能求出|PF 2|. 【解答】解：设|PF 2|=x ， ∵双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，∴a =3，b =4.c =5，∴|x −3|=6，解得x =9或x =−3(舍)． ∴|PF 2|=9．故选B ．10.答案：D解析：解：设g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x<0，∴g(x)是减函数，∵f(x)−1为奇函数，∴f(0)−1=0，即f(0)=1， ∴g(0)=1， ∴当x >0时，g(x)=f(x)e x <1，即f(x)<e x ，故选D ．构造函数g(x)=f(x)e x，利用导数判断g(x)的单调性，根据单调性得出g(x)<1的解．本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．11.答案：A解析：解：因为：bcosA=a+acosB，可得：sinBcosA−sinAcosB=sinA，所以：sin(B−A)=sinA，可得：B=2A．结合在锐角△ABC中，有π3<B<π2，由1tanA −1tanB=cosAsinA−cosBsinB=sin(B−A)sinAsinB=sinAsinAsinB=1sinB∈(1,2√33)．故选：A．由正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式可得sin(B−A)=sinA，可得B=2A.结合在锐角△ABC中，有π3<B<π2，化简所求即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查了方程所表示的曲线，属于基础题．方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，可得x≤0，即可得结果．【解答】解：方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，则x≤0．所以曲线方程为x+y−1=0(x≤0,y≥1)或x−y+1=0(x≤0,y<1)故选B．13.答案：35解析：【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，是基础题．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：当X =3时，甲取到黄球，乙取到白球或甲取到白球，乙取到黄球，故P(X =3)=25×34+35×24=35．故答案为35．14.答案：−16解析：【分析】本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．【解答】解：因为△ABC 中，BC =4，AC =8，∠C =60°，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=−16．故答案为−16．15.答案：8π解析：解：函数y =2cos(−14x −π6)=2cos(14x +π6)的周期为T =2π14=8π，故答案为：8π．由条件根据函数y =Acos(ωx +φ)的周期为2πω，可得结论．本题主要考查诱导公式、函数y =Acos(ωx +φ)的周期性，利用了函数y =Acos(ωx +φ)的周期为2πω，属于基础题．16.答案：3VS1+S2+S3+S4解析：【分析】本题主要考查了类比推理，属于中档题型．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V=13(S1+S2+S3+S4)R，∴R=3VS1+S2+S3+S4．故答案为3VS1+S2+S3+S4．17.答案：解：(1)由2a n=a n+1+a n−1(n≥2)，则a n−a n−1=a n+1+a n(n≥2)，可知数列{a n}是等差数列，设公差为d，∵a1=1，且a3+a4=12，∴2a1+5d=12，解得d=2，∴{a n}的通项公式为a n=1+2(n−1)=2n−1(n∈N∗).(2)由(1)知a n=2n−1，则1a n a n+2=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，设数列{1a n a n+2}的前n项和为S n，则S n=14[(1−15)+(13−17)+(15−19)+⋯+(12n−1−12n+3)]=14(1+13−12n+1−12n+3)=13−n+1(2n+1)(2n+3)解析：本题主要考查了数列的通项公式，利用列项相消法进行数列的求和，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．(1)根据题意可知a n−a n−1=a n+1+a n(n≥2)，从而可得数列{a n}为等差数列，从而即可得{a n}的通项公式．(2)根据(1)中a n=2n−1，利用列项相消法即可求得数列{1a n a n+2}的前n项和．18.答案：证明：(Ⅰ)取AD的中点M，连结BM，CM，∵AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，AM=MD，∴AD⊥CM，∵AB=BD，AM=MD，∴AD⊥BM，∵CM∩BM=M，∴AD⊥平面BCM，∵BC⊂平面BCM，∴AD⊥BC．解：(Ⅱ)过A作AN⊥BC，交CB延长线于N，由题意AN⊥平面BCM，且AN=√3，∴V A−BCD=13×12×2×2×sin120°×√3=1，∴V E−BCF=13×(12×S△BCD)×12AN=14，∴棱锥B−ADFE的体积：V=V A−BCD−V E−BCF=1−14=34．解析：本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)取AD的中点M，连结BM，CM，推导出AD⊥CM，AD⊥BM，由此能证明AD⊥平面BCM，从而AD⊥BC．(Ⅱ)过A作AN⊥BC，交CB延长线于N，棱锥B−ADFE的体积V=V A−BCD−V E−BCF，由此能求出结果．19.答案：解：(1)由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵t =4 ，∑(t i −t)2n i=1=28, ∑(t i −t)n i=1(y i −y )=21，∑(y i −y )2n i=1=18， ∴r =i −t)n i=1i −y )√∑(t i −t)n i=1∑(y i −y )2n i=1=√28×18≈0.935，∵0.935>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系； (2)由y =54及(1)得b ∧=i −t)n i=1i −y )∑(t −t)2n i=1=2128=34， a ∧=y −b ̂t =54−34×4=51．所以，y 关于t 的回归方程为：y ∧=34t +51．将2020年对应的t =8代入回归方程得：y ∧=57，所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约57亿吨．解析：本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．(1)由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；(2)根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2020年对应的t 值为8，代入可预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．20.答案：解：(Ⅰ)∵椭圆离心率为12，当P 为C 的上顶点时，△PF 1F 2的面积有最大值√3．∴{ca =1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =√3，c =1．故椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(Ⅱ)设直线PQ 的方程为y =k(x −1)，当k ≠0时，y =k(x −1)代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0；设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为N(x 0,y 0)，x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2，y 0=y 1+y 22=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2，即N(4k 23+4k 2,−3k 3+4k 2)，∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线；∴TN⊥PQ，则k TN⋅k PQ=−1．所以−3k4k2+3−t4k24k2+3⋅k=−1，⇒t=k4k2+3=14k+3k，当k>0时，因为4k+3k ≥4√3，∴t∈(0,√312];当k<0时，因为4k+3k ≤−4√3，∴t∈[−√312,0);当k=0时，t=0符合题意．综上，t的取值范围为[−√312,√312]．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的方程的求法，圆锥曲线的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)根据椭圆离心率为12，△F1PF2的面积为√3.列式计算a，b，c即可．(Ⅱ)设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得出关于x的一元二次方程；再设出P、Q的坐标，表示出线段PQ的中点R，根据k TN⋅k PQ=−1.，求出T点的横坐标t的取值范围，即可得出结论．21.答案：证明：由1−e−x≥xx+1⇔e x≥1+x．当x>−1时，f(x)≥xx+1当且仅当e x≥1+x．令g(x)=e x−x−1，则g′(x)=e x−1．当x≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上为增函数，当x≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(−∞,0]上为减函数，于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当x∈R时g(x)≥g(0)，即e x≥1+x．所以当x>−1时，f(x)≥xx+1．解析：把给出的不等式f(x)≥xx+1等价变形，然后构造函数，求出函数的导函数，利用导函数的符号判断原函数的单调性，从而求出最小值，原不等式得到证明．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上，故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：证明：(1)a (a −b )−b (a −b )=(a −b )2⩾0，所以a(a −b)≥b(a −b)；(2)由a ，b ，c ，d 都是正数，得ab+cd 2≥√ab ·cd ，ac+bd 2≥√ac ·bd ，所以(ab+cd)(ac+bd)4≥abcd ，即(ab +cd)(ac +bd)≥4abcd ．解析：(1)本题主要考查作差法证明不等式．(2)本题主要考查均值不等式证明不等式．。

2020高三数学毕业班5月质量检查试题理含解析

7。在“弘扬中华文化"的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）．
A。 18种B。 24种C。 36种D。 48种
【答案】A
福建省厦门市2020届高三数学毕业班5月质量检查试题理（含解析）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡和试卷的指定位置上。
2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
A。 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用参变分离,将问题转化为与图象之间的关系，即可得答案；
【详解】 ,
令，则，
当；当，
在单调递增，在单调递减,且 ,
如图所示：
恒过定点，且，，
, ,
存在唯一整数使得，
当时,存在唯一的整数使得命题成立，
故选：B。
【点睛】本题考查不等式解的整数根问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用半分离法，将问题转化为两个函数图象之间的关系问题。
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13。的内角，，的对边分别为 , ，，且，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理将角化成边得，结合，将边统一用表示,再利用余弦定理，即可得答案；